JP7231284B2 - 有限型の流れパターンの語表現装置、語表現方法、プログラム、構造物形状の学習方法および構造物設計方法 - Google Patents

Description

本発明は、流れパターンの語表現装置、語表現方法、プログラム、構造物形状の学習方法および構造物設計方法に関する。

曲面上の非圧縮性流体の流れパターンに対して、多対１の語表現（極大語表現）を与える技術、および語表現と正規表現を使った流体中の構造物の形状の設計方法が開示されている（例えば、特許文献１参照）。また、位相幾何学的な二次元流れ構造における構造安定な流線パターンから、位相幾何学的にとり得る別の構造安定な流線パターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得する技術が開示されている（例えば、特許文献２参照）。さらに、曲面上の非圧縮性流体の流れ構造に対して、流れパターンに１対１に対応するグラフ表現から語表現（正規表現）を与える技術、およびこれを利用して流体中の構造物の形状を最適化する技術が開示されている（例えば、特許文献３参照）。

国際公開第２０１４／０４１９１７号 国際公開第２０１５／０６８７８４号 国際公開第２０１６／０７２５１５号

前述の先行技術は、曲面上の非圧縮性流体の流れパターンに語表現を与えることができるが、圧縮性流体を含む一般的な流れパターンに対しては語表現を与えることができない。

本発明はこうした課題に鑑みてなされたものであり、その目的の１つは、圧縮性流体を含む一般的な流体の流れパターンに対して語表現を与えることにある。また、本発明の別の目的は、このような圧縮性流体を含む一般的な流れの中に存在する構造物の周囲の流れパターンが所望のパターンとなるような構造物の形状を与える設計方法を与えることにある。

上記課題を解決するために、本発明のある態様の語表現装置は、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置であって、記憶部と、語表現生成部と、を備える。記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、語表現生成部は、ルート決定手段と、木表現構成手段と、ＣＯＴ表現生成手段と、を備える。ルート決定手段は、与えられた流れパターンのルートを決定し、木表現構成手段は、与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成し、ＣＯＴ表現生成手段は、木表現構成手段によって構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、与えられた流れパターンの語表現を生成する。

この態様によれば、装置を用いて、圧縮性流体を含む一般的な流体の流れパターンに対して語表現を与えることができる。

流れパターンを構成する流線構造のうち、基本構造は、σ_φ±、σ_φ～±０、σ_φ～±±、σ_φ～±干、β_φ±およびβ_φ2であってもよい。

流れパターンを構成する流線構造のうち、二次元構造は、ｂ_～±およびｂ_±であってもよい。

流れパターンを構成する流線構造のうち、ゼロ次元点構造は、σ_～±０、σ_～±±、σ_～±干であってもよい。

流れパターンを構成する流線構造のうち、一次元構造は、ｐ_～±、ｐ_±、ａ_±、ｑ_±、ｂ_±±、ｂ_±干、β_±、ｃ_±、ｃ_２±、ａ_２、γ_φ～±、γ_～±±、ａ_～±およびｑ_～±であってもよい。

語表現生成部は、組合せ構造抽出手段をさらに備えてもよい。組合せ構造抽出手段は、与えられた流れパターンから組み合わせ構造を抽出することにより、与えられた流れパターンの一対一対応の語表現を生成してもよい。

本発明の別の態様は、語表現方法である。この方法は、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータによって実行される、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現方法であって、記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、語表現生成部は、ルート決定ステップと、木表現構成ステップと、ＣＯＴ表現生成ステップと、を実行し、ルート決定ステップは、与えられた流れパターンのルートを決定し、木表現構成ステップは、与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成し、ＣＯＴ表現生成ステップは、木表現構成ステップで構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、与えられた流れパターンの語表現を生成する。

この態様によれば、コンピュータを用いて、圧縮性流体を含む一般的な流体の流れパターンに対して語表現を与えることができる。

本発明のさらに別の態様は、プログラムである。このプログラムは、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータに処理を実行させる。記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶する。このプログラムは、与えられた流れパターンのルートを決定するルート決定ステップと、与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成する木表現構成ステップと、木表現構成ステップで構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、与えられた流れパターンの語表現を生成するＣＯＴ表現生成ステップと、を語表現生成部に実行させる。

この態様によれば、圧縮性流体を含む一般的な流体の流れパターンに対して語表現を与えるプログラムを記憶媒体等に実装することができる。

本発明のさらに別の態様は、方法である。この方法は、二次元領域における流体内の構造物の形状を学習する学習方法であって、請求項１に記載の語表現装置を用いて、流体中の構造物の周囲に発生する流れパターンの流線構造を語表現するステップと、当該構造物の三次元形状と前記語表現との関係をＡＩで学習するステップと、を備える。

本発明のさらに別の態様もまた、方法である。この方法は、二次元領域における流体内の構造物を設計する構造物設計方法であって、請求項１に記載の語表現装置を用いて、流体中の構造物の周囲に発生する流れパターンの流線構造を語表現するステップと、当該構造物の三次元形状と前記語表現との関係をＡＩで学習するステップと、請求項１に記載の語表現装置を用いて、目的とする流れパターンの流線構造を語表現するステップと、当該目的とする流れパターンの語表現をＡＩに入力するステップと、当該目的とする流れパターンを実現する構造物の三次元形状をＡＩで計算して出力するステップと、を備える。

この態様によれば、流体の流れを制御するために最適な構造物形状を得ることができる。

なお、以上の構成要素の任意の組み合わせや、本発明の構成要素や表現を方法、装置、プログラム、プログラムを記録した一時的なまたは一時的でない記憶媒体、システムなどの間で相互に置換したものもまた、本発明の態様として有効である。

本発明によれば、曲面上の圧縮性流体を含む一般的な流体の流れパターンに対して語表現を与えることができ、所望の流れパターンをその周囲に発生させる構造物形状を計算することができる。

ゼロ次元の点構造を示す図である。（ａ）はｃｅｎｔｅｒ（渦心点）を示す。（ｂ）はサドル点（ｓａｄｄｌｅ）を示す。（ｃ）は境界サドル点（∂－ｓａｄｄｌｅ）を示す。（ｄ）は湧き出し点（ｓｏｕｒｃｅ）を示す。（ｅ）は境界湧き出し点（∂－ｓｏｕｒｃｅ）を示す。（ｆ）は吸い込み点（ｓｉｎｋ）を示す。（ｇ）は境界吸い込み点（∂－ｓｉｎｋ）を示す。 一次元構造としてのｃｉｒｃｕｉｔを示す図である。（ａ）はｃｙｃｌｅ（サイクル）を示す。（ｂ）は周回軌道を示す。 一次元構造としてのｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを示す図である。（ａ）はｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの軌道を示す。（ｂ）はｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの軌道を示す。 一次元構造としてのｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとそれらを結ぶｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを示す図である。 一次元構造としてのｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅおよびｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅを示す図である。（ａ）、（ｂ）はｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅを示す。（ｃ）、（ｄ）は、ｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅを示す。 二次元構造を示す図である。（ａ）はｔｒｉｖｉａｌ ｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｋを示す。（ｂ）はｔｒｉｖｉａｌ ｓｏｕｒｃｅ ｄｉｓｋを示す。（ｃ）はｐｅｒｉｏｄｉｃ ｂｏｒｄｅｒ ａｎｎｕｌｕｓを示す。（ｄ）はｌｉｍｉｔ ａｎｎｕｌｕｓを示す。（ｅ）はｐｅｒｉｏｄｉｃ ａｎｎｕｌｕｓを示す。（ｆ）はｒｏｔａｔｉｎｇ ｓｐｈｅｒｅを示す。 二次元構造としてのＲｅｅｂ ｄｏｍａｉｎとｒｏｔａｔｉｎｇ ａｎｎｕｌｕｓを示す図である。（ａ）、（ｂ）はＲｅｅｂ ｄｏｍａｉｎを示す。（ｃ）はｒｏｔａｔｉｎｇ ａｎｎｕｌｕｓを示す。 有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）の中に現れる４種類のｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔｓを示す図である。 有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）ｖの境界軌道の集合Ｂｄ（ｖ）の補集合に表れる領域内の軌道群の分類を示す図である。（ａ）は開矩形領域で軌道空間が開区間であるものを示す。（ｂ）は開円環領域で軌道空間が円周であるものを示す。（ｃ）は開円環領域で軌道空間が開区間であるものを示す。 構造安定なハミルトンベクトル場の基本流線構造を示す図である。（ａ）は非有界領域における一様流を示す。（ｂ）は有界領域内の反時計回り流れを示す。（ｃ）は有界領域内の時計回り流れを示す。 構造安定なハミルトンベクトル場に入る局所流線構造を示す図である。（ａ）はＡ系列の流線構造を示す。（ｂ）はＢ系列の流線構造を示す。（ｃ）はＣ系列の流線構造を示す。 文字化の対象とする流れパターンの例を示す図である。 （Ｂｄ（ｖ））^ｃの軌道群を表す構造（二次元構造）を示す図である。（ａ）は構造ｂ_～±を示す。（ｂ）は構造ｂ_±を示す。自明な構造である（ｃ）には構造を付与しない。 球面Ｓ上の基本構造を示す図である。（ａ）は構造σ_φ±、σ_φ～±０、σ_φ～±±、σ_φ～±干を示す。（ｂ）は構造β_φ±を示す。（ｃ）は構造β_φ2を示す。 Ｂｄ（ｖ）の流れのゼロ次元点構造と一次元構造の例を示す図である。（ａ）は一次元構造としての構造β_±を示す。（ｂ）はゼロ次元点構造としての構造σ_±、σ_～±０、σ_～±±、σ_～±干を示す。（ｃ）は一次元構造としての構造ｐ_～±を示す。（ｄ）は一次元構造としての構造ｐ_±を示す。 （Ｓ１）系列の一次元構造を示す図である。（ａ）は構造ａ_±を示す。（ｂ）は構造ｑ_±を示す。 （Ｓ２）系列の一次元構造を示す図である。（ａ）は構造ｂ_±±を示す。（ｂ）は構造ｂ_±干を示す。 （Ｓ４）系列の一次元構造を示す図である。（ａ）は構造β_±を示す。（ｂ）は構造ｃ_±を示す。（ｃ）は構造ｃ_２±を示す。 （Ｓ５）系列の一次元構造を示す図である。（ａ）は構造ａ_２を示す。（ｂ）は構造γ_φ～±を示す。（ｃ）は構造γ_～±－を示す。（ｄ）は構造γ_～±＋を示す。 （Ｓ３）系列の一次元構造を示す図である。（ａ）は構造ａ_～±を示す。（ｄ）は構造ｑ_～±を示す。 木表現の説明図である。 第１実施形態に係る語表現装置の機能ブロック図である。 第１実施形態における木表現を構成する処理のフロー図である。 曲面上の流れパターンの例を示す図である。 曲面上の流れパターンの別の例を示す図である。 第２実施形態に係る語表現装置の機能ブロック図である。 同じＣＯＴ表現を持つが、異なる流線トポロジーを持つ流れパターンの例を示す図である。 図２７の流れパターンから組合せ構造を抽出する手続きを示す図である。 流れパターンから抽出すべき組合せ構造を示す図である。 第３実施形態に係る語表現方法のフロー図である。 河川の地形図からシミュレーションにより得られた流れパターンと、そのＣＯＴ表現とを示す図である。 第５実施形態に係る構造物形状の学習方法のフロー図である。 第６実施形態に係る構造物設計方法のフロー図である。 図３１の地形図に対してユーザが描画した望ましい流れパターンと、そのＣＯＴ表現とを示す図である。

以下、本発明を好適な実施の形態をもとに各図面を参照しながら説明する。実施の形態および変形例では、同一または同等の構成要素、部品には、同一の符号を付するものとし、適宜重複した説明は省略する。また、各図面における部品の寸法は、理解を容易にするために適宜拡大、縮小して示される。また、各図面において実施の形態を説明する上で重要ではない要素の一部は省略して表示する。また、第１、第２などの序数を含む用語は多様な構成要素を説明するために用いられるが、この用語は１つの構成要素を他の構成要素から区別する目的でのみ用いられ、この用語によって構成要素が限定されるものではない。

［概要］
特許文献１に記載の構造安定なハミルトンベクトル場（非圧縮ベクトル場）の分類理論では、特徴的な５種類の一次元の流線構造によって分割される領域の隣接関係をグラフ化することにより文字情報化した。これを圧縮性流体に拡張するために、以下の実施形態では上記の５種類に１４種類の一次元構造を新たに追加し、これらによって分割される二次元領域の内部を埋め尽くしている軌道群に対応した３種類の分類もあわせて文字化する。すなわち、これらの二次元領域を分割する特徴的な一次元流線構造が存在するか否かを確認し、存在すればそれに対応する文字を割り当てる。さらに内部に入る流線群の情報を反映した文字列を順次割り当てることにより、全体の流線構造を文字列として表現することができる。ここで用いるアルゴリズムでは、与えられた流線群における最も内側（細かい構造）から流線構造を抜き出して文字を付与し、順次外側（大きな構造）の流線構造を抜き出していくことにより、最終的な文字化を達成する。また、圧縮性流体に拡張したことにより、文字列だけでは構造を一意に表現できないため、流線構造のつながり具合を組み合わせ論的に指定するアルゴリズムを加えることで一意な表現を得る。

特許文献３に記載の構造安定なハミルトンベクトル場の正規表現においては、その内部の流線群の構造（一様流または周期軌道）は、これらの領域を分割する一次元構造から自動的に定まった。従ってこの内部の流線群の情報を正規表現するためには、単純に＋、－、○ という記号表現を与えるだけで十分であった。また圧縮成分に相当する流れは、一様流（無限遠点での吸い込みと湧き出しのペア構造（１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔ））以外に存在しなかったため、つながり具合を表現する必要もなかった。以下の実施形態で用いるアルゴリズムを構造安定なハミルトンベクトル場に適用した場合は、アルゴリズムによって得られた文字から内部の流線群を表す構造を削除することにより、自動的に正規表現へと変換することができる。従って本実施例は、特許文献３に記載の非圧縮流に対する技術を包含しているといえる。

［用語の定義］
以下、本明細書で用いる数学的用語について説明する。以下の実施形態において語表現の対象となる流れは「曲面Ｓ上の流れｖ」である。ここで「曲面Ｓ」とは、二次元構造、すなわち二次元のコンパクト多様体（ここでは特に境界の存在を許す球面）のことをいう。幾何学的には、球面は平面に無限遠点を付け加えたものと同一視できるので、本質的には境界を持つ二次元領域と考えてよい。「曲面Ｓ上の流れｖ」とは、ｖ：Ｒ×Ｓ→Ｓなる曲面Ｓ上のＲ－作用とする。この流れｖを用いて、ｔ∈Ｒ に対してＳ上の写像ｖ_ｔ：＝Ｓ→Ｓを、ｖ_ｔ：＝ｖ（ｔ，・）のように定義する。ここでＳ上の点ｘに対して、Ｏ（ｘ）＝｛ｖ_ｔ（ｘ）∈Ｓ｜ｔ∈Ｒ｝を「ｘを通る軌道」と呼ぶ。本実施形態のアルゴリズムは、このＳ上のＯ（ｘ）の集合の位相的構造を分類する。ここで定義した流れｖは、完全に抽象的な対象である。しかしながら流体力学のアナロジーによれば、これらの軌道群は与えられた流れ場により粒子が流される軌道（流線）群に対応するので、特に混乱がない限り、以下では「軌道群」または「流線群」と呼ぶ。

数学の一般論 (トポロジーの一分野の葉層構造理論) によれば、曲面Ｓ上の流れｖの軌道は、
（１）ｐｒｏｐｅｒ
（２）ｌｏｃａｌｌｙ ｄｅｎｓｅ
（３）ｅｘｃｅｐｔｉｏｎａｌ
の３種類に分類されることが知られている。これに対して本明細書では以下の仮定を置く。
（仮定）「軌道集合はｐｒｏｐｅｒな軌道のみからなる」
この仮定は本発明の実施形態が対象とする「境界の存在を許す球面上」で満たされているので、本質的な制限とはならない点に注意する。ｐｒｏｐｅｒな軌道集合は、さらに３種類の軌道群、すなわち、
（ｉ）特異点（ｓｉｎｇｕｌａｒ ｏｒｂｉｔｓ）
（ｉｉ）周期軌道（ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｏｒｂｉｔｓ）
（ｉｉｉ）非閉軌道（ｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔｓ）
に分類される。これらの数学的な定義は以下で与えられる。

（定義１）「曲面Ｓ上の流れｖで定義されているｐｒｏｐｅｒな軌道に対して、
（ｉ）特異点（ｓｉｎｇｕｌａｒ ｏｒｂｉｔ）
（ｉｉ）周期軌道（ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｏｒｂｉｔｓ）
（ｉｉｉ）非閉軌道（ｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔｓ）
を以下で定義する。
（ｉ）ｘ∈Ｓが特異点（ｓｉｎｇｕｌａｒ ｏｒｂｉｔ）であるとは、すべてのｔ∈Ｒに対してｘ＝ｖ_ｔ（ｘ）が成り立つ、すなわち、Ｏ（ｘ）＝｛ｘ｝であることをいう。
（ｉｉ）軌道Ｏ（ｘ）が周期的（ｐｅｒｉｏｄｉｃ） とは、あるＴ＞０が存在して、ｖ_Ｔ（ｘ）＝ｘかつ０＜ｔ＜Ｔに対してｖ_ｔ（ｘ）≠ｘであることをいう。
（ｉｉｉ）特異点でも周期軌道でもない軌道を非閉軌道（ｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔ） という。」

（ｉｉｉ）の非閉軌道という用語は、特異点と周期軌道とが軌道として閉集合 （ｃｌｏｓｅｄ）となっていることに由来する。今後の便宜のため、流れｖの特異点の集合、周期軌道の集合、および非閉軌道の集合を、それぞれＳｉｎｇ（ｖ）、Ｐｅｒ（ｖ）およびＰ（ｖ）と書く。

次に、流れの流線構造を説明するため、いくつかの数学的な定義を示す。ただし、Ａの上にマクロン（￣）を付した記号は集合Ａの閉包を表す。
（定義２）曲面Ｓ上の流れｖで定義されたｘ∈Ｓを通るｐｒｏｐｅｒな軌道に対して、ω極限集合（ω－ｌｉｍｉｔ ｓｅｔ）ω（ｘ）およびα極限集合（α－ｌｉｍｉｔ ｓｅｔ）α（ｘ）を以下で定義する。
・

・

・ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ（セパラトリクス）γが連結（ｃｏｎｎｅｃｔｉｎｇ）であるとは、ω(γ) および α(γ) が特異点であるときのことをいう。
ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの定義は後述する。なお、ω（ｘ）やα（ｘ）は軌道Ｏ（ｘ）上の点ｘの取り方によらないので、記号としてω（Ｏ）やα（Ｏ）と書くこともある。

次に、圧縮流れの流線群の分類に必要な流れ構造を導入し、ゼロ次元点構造、一次元構造、二次元構造ごとに説明する。

［ゼロ次元点構造］
図１に、ｒｅｇｕｌａｒなゼロ次元の点構造のすべてを示す。図１（ａ）は「ｃｅｎｔｅｒ（渦心点）」を示す。渦心点は、周囲に周期軌道を伴う特異点を表す。図１（ｂ）は「サドル点（ｓａｄｄｌｅ）」を示す。サドル点は、この点から離れていく２つのｓｅｐａｒａｔｒｉｘと、近づいていく２つのｓｅｐａｒａｔｒｉｘと連結している。図１（ｃ）は境界についている「境界サドル点（∂－ｓａｄｄｌｅ）」を示す。境界サドル点では、１本のｓｅｐａｒａｔｒｉｘが境界からＳの内部に伸びており、２つのｓｅｐａｒａｔｒｉｘが境界に沿った軌道になっている。図１（ｄ）は「湧き出し点（ｓｏｕｒｃｅ）」を示す。湧き出し点では、１点から流体が湧き出す。図１（ｅ）は「境界湧き出し点（∂－ｓｏｕｒｃｅ）」を示す。境界湧き出し点では、境界に湧き出し点がある。図１（ｆ）は「吸い込み点（ｓｉｎｋ）」を示す。吸い込み点は、湧き出し点の方向を逆にしたものである。図１（ｇ）は「境界吸い込み点（∂－ｓｉｎｋ）」を示す。境界吸い込み点は、境界湧き出し点の方向を逆にしたものである。

図１（ａ）～（ｃ）に示される点構造は非圧縮流れでも観察され、特許文献１に記載の語表現理論や特許文献３に記載の正規表現理論で扱われたものである。一方図１（ｄ）～（ｇ）に示される点構造は、本実施形態が圧縮性流れを扱うことに伴い、本発明者らによって今回新たに加えられたものである。

［一次元構造］
（ｃｉｒｃｕｉｔ）
図２に、一次元構造としての「ｃｉｒｃｕｉｔ（サーキット）」を示す。ｃｉｒｃｕｉｔは、一点集合か円周のＳ上へのはめ込み（ｉｍｍｅｒｓｉｏｎ）を意味する。ｃｉｒｃｕｉｔが点のときは「ｔｒｉｖｉａｌ ｃｉｒｃｕｉｔ」と呼び、円周のときは「ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｃｉｒｃｕｉｔ」と呼ぶ。さらにｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｃｉｒｃｕｉｔは、その上で定義されている流れによって２種類に分類される。１つは円周が周期軌道になるときであり、これを「ｃｙｃｌｅ（サイクル）」と呼ぶ。ｃｙｃｌｅはＰｅｒ（ｖ）の元である。図２（ａ）は、ｃｙｃｌｅの例である。いま１つは、サドル点（Ｓｉｎｇ（ｖ）の元）と、それをつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘ（Ｐ（ｖ）の元）から構成される「周回軌道」である。図２（ｂ）は、周回軌道のいくつかの例である。

ｃｉｒｃｕｉｔに付随していくつかの概念が定義される。ｃｉｒｃｕｉｔ γが「ａｔｔｒａｃｔｉｎｇ」であるとは、ｃｉｒｃｕｉｔ の片側近傍Ａ（これをγのａｔｔｒａｃｔｉｎｇ ｂａｓｉｎと呼ぶ）が存在して、この一方の境界がγであり、かつＡ⊆Ｗ^ｓ（γ）となっているときのことをいう。一方ｃｉｒｃｕｉｔ γが「ｒｅｐｅｌｌｉｎｇ」であるとは、ｃｉｒｃｕｉｔ の片側近傍Ａ（これをγのｒｅｐｅｌｌｉｎｇ ｂａｓｉｎと呼ぶ）が存在して、この一方の境界がγであり、かつＡ⊆Ｗ^ｕ（γ）となっているときのことをいう。ここで、Ｗ^ｓ（γ）およびＷ^ｕ（γ）は、それぞれγの安定多様体および不安定多様体を示す。この概念を用いると、湧き出し点や境界湧き出し点はｒｅｐｅｌｌｉｎｇ ｔｒｉｖｉａｌ ｃｉｒｃｕｉｔであり、吸い込み点や境界吸い込み点はａｔｔｒａｃｔｉｎｇ ｔｒｉｖｉａｌ ｃｉｒｃｕｉｔであることが分かる。軌道γが「ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔ」であるとは、ある点ｘ（γに含まれていない）でα（ｘ）＝γあるいはω（ｘ）= γとなるようなｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｃｉｒｃｕｉｔであるときのことをいう。この定義からも分かるように、特異点が有限個しかない場合、ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔは、少なくとも１つのａｔｔｒａｃｔｉｎｇ／ｒｅｐｅｌｌｉｎｇ ｂａｓｉｎを持つ。図２に、ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔｓのいくつかの例を示す。

（（ｓｓ）－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ構造）
図３に「ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ（サドルセパラトリクス構造）」を示す。ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとは、そのα極限集合とω極限集合がサドル点または境界サドル点であるような軌道をいう。ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘはＰ（ｖ）の元である。

ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが同じｓａｄｄｌｅをつなぐとき、これを「ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ」と呼ぶ。また、ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが同じ境界上にある２つの異なる∂－ｓａｄｄｌｅをつなぐとき、これを「ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ」と呼ぶ。図３（ａ） に、ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの軌道の例を示す。異なるサドル点や、異なる境界の上にある境界サドル点をつなぐｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを「ｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ」と呼ぶ。図３（ｂ）に、ｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの軌道の例を示す。

ハミルトンベクトル場に構造安定性を仮定したときに表れるｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘはｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄなもののみであることが証明されている。「ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ」とは、サドル点、境界サドル点およびｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの全体がなす集合であり、これは先行技術の語表現理論や正規表現理論で扱われたものである。

次に、圧縮性流れ構造に特有のｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを定義する。「ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ」とは、（１）（境界）湧き出し点、（２）（境界）吸い込み点および（３）ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔのいずれかを指す。サドル点あるいは境界サドル点とｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔをつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘを「ｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ」と呼ぶ。図４に、ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとそれらを結ぶｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの例を示す。サドル点、境界サドル点、ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ、ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔおよびｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを集めた集合を「ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ」と呼ぶ。以下、曲面Ｓ上の流れｖが生成するｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを、Ｄ_ｓｓ（ｖ）と書く。

（ｓｌｉｄａｂｌｅ （∂－）ｓａｄｄｌｅ構造）
図５に、一次元構造としての「ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅ」および「ｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅ」を示す。

図５（ａ）、（ｂ）は、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅの点ｘを示す。サドル点ｘは、その定義から、４つのｓｅｐａｒａｔｒｉｘと連結している。これらをγ_１、γ_２、γ_３、γ_４と書くと、α（γ_１）＝α（γ_３）＝ω（γ_２）＝ω（γ_４）＝ｘである。この「サドル点ｘがｓｌｉｄａｂｌｅ」であるとは、「ω（γ_１）が吸い込み点であり、ω（γ_３）が吸い込み構造（図中では－を○で囲んだ記号で示される）である」場合（図５（ａ））、あるいは「α（γ_２）が湧き出し点であり、α（γ_４）が湧き出し構造である（図中では＋を○で囲んだ記号で示される）」場合（図５（ｂ））のいずれかを指す。

図５（ｃ）、（ｄ）に、ｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅの点ｘを示す。「境界サドル点ｘがｓｌｉｄａｂｌｅである（あるいはｘがｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅである）」とは、ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ γ ⊂ ｉｎｔＳと境界に沿ったｓｅｐａｒａｔｒｉｘ μと１つのｘと同じ境界にあって吸い込み構造につながる境界サドル点ｙ≠ｘがあって、ω（γ）＝ｘ、α（γ）が湧き出し点、α（μ）＝ｘ、ω（μ）＝ｙとなる構造を持つときのことをいう（図５（ｃ））。このベクトルの向きを反転させた構造もｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅである（図５（ｄ））。

ここで導入した湧き出し／吸い込み構造という用語は、（境界）サドル点から出るｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの連結先を表しており、湧き出し点／吸い込み点／ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔなどの様々な吸い込み／湧き出しの構造を許容することに注意する。一方ｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅの定義におけるもう１つのｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘは、湧き出し／吸い込みの点構造しか許しておらず、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅ構造と呼ぶ場合は、サドル点ｘとそれにつながるｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘと湧き出し点（吸い込み点）の組を指す。また、ｓｌｉｄａｂｌｅ （∂－）ｓａｄｄｌｅ構造と呼ぶときは、ｘとｙの２つの境界サドル点およびｘとつながるｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ γと湧き出し点／吸い込み点の組を指す。

［二次元構造］
図６にいくつかの二次元構造を示す。
「ｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｋ」とは、１個の渦心点とその周りを埋め尽くす周期軌道とからなる構造をいう。このｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｋの境界が、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ；ｓａｄｄｌｅとそれを結ぶｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ；同じ境界上にある２つの境界サドル点を結ぶ２つのｓｅｐａｒａｔｒｉｘのいずれかになっているとき「ｔｒｉｖｉａｌ ｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｋ」と呼ぶ。図６（ａ）に、ｔｒｉｖｉａｌ ｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｋの例を示す。

「ｓｉｎｋ（ｓｏｕｒｃｅ）ｄｉｓｋ」とは、１つの吸い込み点（湧き出し点）とその周りを埋め尽くす非閉軌道からなる構造をいう。ｓｅｐａｒａｔｒｉｘと共通部分を持たないｓｉｎｋ／ｓｏｕｒｃｅ ｄｉｓｋを「ｔｒｉｖｉａｌ ｓｉｎｋ／ｓｏｕｒｃｅ ｄｉｓｋ」という。図６（ｂ）に、ｔｒｉｖｉａｌ ｓｏｕｒｃｅ ｄｉｓｋの例を示す。

「ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｂｏｒｄｅｒ ａｎｎｕｌｕｓ」とは、境界とその周りを埋め尽くす周期軌道とからなる構造をいう。特に、ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｂｏｒｄｅｒ ａｎｎｕｌｕｓはｐｅｒｉｏｄｉｃ ａｎｎｕｌｕｓの一種である。図６（ｃ）に、ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｂｏｒｄｅｒ ａｎｎｕｌｕｓの例を示す。

「ｌｉｍｉｔ ａｎｎｕｌｕｓ」とは、Ｐ（ｖ）の非閉軌道で埋め尽くされた開円環領域で、その境界がｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔとなっている構造をいう。図６（ｄ）に、ｌｉｍｉｔ ａｎｎｕｌｕｓの例を示す。

「ｐｅｒｉｏｄｉｃ ａｎｎｕｌｕｓ」とは、Ｐｅｒ（ｖ）の周期軌道で埋め尽くされた開円環領域である。図６（ｅ）に、ｐｅｒｉｏｄｉｃ ａｎｎｕｌｕｓの例を示す。ｐｅｒｉｏｄｉｃ ａｎｎｕｌｕｓの一方の境界がｃｙｃｌｅ （Ｐｅｒ（ｖ）のｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｃｉｒｃｕｉｔ）になっている場合、その反対側では、これはｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅでなければならないことに注意する。なぜなら、もし反対側も周期軌道ｓで埋め尽くされていれば、このｃｙｃｌｅは通常の周期軌道と区別できないからである。

「ｒｏｔａｔｉｎｇ ｓｐｈｅｒｅ」とは、球面全体の流れで２つの渦心点とその間を埋め尽くす周期軌道とからなる構造をいう。これは、境界を持たない二次元球面の基本流れを表している。図６（ｆ）に、ｒｏｔａｔｉｎｇ ｓｐｈｅｒｅの例を示す。

図７に、二次元構造としてのＲｅｅｂ ｄｏｍａｉｎとｒｏｔａｔｉｎｇ ａｎｎｕｌｕｓを示す。
（Ｒｅｅｂ ｄｏｍａｉｎ）
「Ｒｅｅｂ ｄｏｍａｉｎ」とは、非閉軌道で埋め尽くされた開円環領域Ｕで、その境界に２つのｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔ γ_＋とγ_－が存在して、ＵがＷ^ｕ（γ_－) ∩Ｗ^ｓ（γ_＋）の連結成分であり、γ_±の回転方向が逆になっている同じ構造を指す。図７（ａ）、（ｂ）に、Ｒｅｅｂ ｄｏｍａｉｎの例を示す。図７（ａ）のＲｅｅｂ ｄｏｍａｉｎでは、円環領域は非閉軌道で埋め尽くされる円環領域であり、内側境界と外側境界での流れの向きが反転している。そして両側境界はｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅとなっている。図７（ｂ）のＲｅｅｂ ｄｏｍａｉｎでは、内側と外側境界がｓａｄｄｌｅとそれを結ぶｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ（ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔｓ）になっている。

（ｒｏｔａｔｉｎｇ ａｎｎｕｌｕｓ）
一方、γ_±の回転方向が同じになっている構造を「ｒｏｔａｔｉｎｇ ａｎｎｕｌｕｓ」と呼ぶ。このような構造が許されることから、開円環領域内を非閉軌道で埋め尽くす場合、その外側、内側境界上の軌道の方向を独立に決めることができる。図７（ｃ）に、ｒｏｔａｔｉｎｇ ａｎｎｕｌｕｓの例を示す。この例では、Ｒｅｅｂ ｄｏｍａｉｎと同様、内部は非閉軌道で埋め尽くされているが、外側と内側の境界での流れの方向がそろっている。
以上で各次元の流れ構造の説明を終える。

［曲面Ｓ上の流れｖの流線群の位相分類理論］
本発明者らは、鋭意研究を重ねた結果、以下に示すような条件の下で球面Ｓ上の流れｖが生成する軌道群の理論的分類を与えた。
（定義３）「曲面Ｓ上の流れｖが以下の５つの条件を満たすとき、これを「有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）」であるという。
（１）ｖによって生成される軌道はすべてｐｒｏｐｅｒである。
（２）すべての特異点は非退化（ｎｏｎ ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ）である。
（３）ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅの数は有限個である。
（４）サドル点や境界サドル点を結ぶすべてのｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘはｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄである。」

（１）の条件は既に仮定した。（２）の条件を課すと、特異点の数は有限で孤立していることが分かる。（３）の条件は、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅのような構造が無限に集積しないことを意味する。（４）の条件を踏まえれば、サドル点をつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘによって構成されるｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔは、図８に示す４つのパターンしかないことも結論できる。既存研究のハミルトンベクトル場の分類理論では、流れに構造安定という数学的制限を加えることにより条件（１）、（２）、（４）が満たされることを示した。本実施形態では非圧縮性の条件を外すので、構造安定の条件を課すことはできない。しかし応用で得られる圧縮流れが作る流線においては、退化するような特異点や、無限に集積するようなｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ、ｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ軌道を持つ構造は、観測ノイズやシミュレーションエラーなどのため、ｇｅｎｅｒｉｃには観察されない。従って、本実施形態おける分類理論やこの理論に基づくアルゴリズムの適用範囲が強く制限されることはない。

有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）の分類理論は、Ｐｏｉｎｃａｒｅ－Ｂｅｎｄｉｘｏｎの定理を大域的な接続状況を含む形で一般化したものとなっている。まず、ω－極限集合に関して以下が成立する。
（補題１）「曲面Ｓの流れｖを有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）とする。このとき、ｖのｐｒｏｐｅｒな非閉軌道のω極限集合（α極限集合）は以下で構成される。
（１）サドル点
（２）境界サドル点
（３）吸い込み点
（４）湧き出し点
（５）境界吸い込み点
（６）境界沸きだし点
（７）渦心点
（８）ａｔｔｒａｃｔｉｎｇ（ｒｅｐｅｌｌｉｎｇ）ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ
（９）ａｔｔｒａｃｔｉｎｇ（ｒｅｐｅｌｌｉｎｇ） ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔ」

本発明の実施形態では、（５）と（６）は存在しないものと仮定する。実際、境界吸い込み点と境界湧き出し点は、観測ノイズやシミュレーションエラーなどのため、ｇｅｎｅｒｉｃには観察されないため、これは強い制約ではない。また、この条件を外すことは可能ではあるが、結果的に局所構造が増えて表現が煩雑になる。

補題１によれば、有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）の軌道群は以下の３つのカテゴリに分類できることが分かる。
（ｉ）ｌｉｍｉｔ ｓｅｔとそれらをつなぐｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｐｒｏｐｅｒ ｏｒｂｉｔ
（ｉｉ）渦心点、Ｓの境界∂Ｓ上のｃｙｃｌｅ、またはｃｉｒｃｕｉｔとその周りの周期軌道
（ｉｉｉ）ｉｎｔＰ（ｖ）に入っている非閉軌道群

次に、これに基づいて軌道群の分類を行う。有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ） ｖのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ_ｓｓ（ｖ）とＳの境界∂Ｓを構成する一次元以下の構造の集合は「境界軌道（ｂｏｒｄｅｒ ｏｒｂｉｔｓ）」と呼ばれ、以下のように特徴付けられる。
（定義４）「曲面Ｓ上のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ ｖの境界軌道の集合Ｂｄ（ｖ）は以下で与える。
Ｂｄ（ｖ）：＝Ｓｉｎｇ（ｖ）∪∂Ｐｅｒ（ｖ）∪∂Ｐ（ｖ）∪Ｐ_ｓｅｐ（ｖ）∪∂_Ｐｅｒ（ｖ）
ただし、各集合は以下で与えられる軌道集合である。
（１）Ｐ_ｓｅｐ（ｖ）：Ｐ（ｖ）の内点集合にあるｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとからなる軌道集合
（２）∂Ｐｅｒ（ｖ）：周期軌道集合の境界となる軌道の集合
（３）∂Ｐ（ｖ）：非閉軌道集合の境界となる軌道の集合
（４）∂_Ｐｅｒ（ｖ）：Ｓの境界∂Ｓに沿って回る周期軌道の集合（∂Ｓ∩ｉｎｔＰｅｒ（ｖ））」

なお、Ｐ_ｓｅｐ（ｖ）はｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘやｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘからなる集合でｐｒｏｐｅｒな軌道の内点にある構造なので、その構造の近傍もｐｒｏｐｅｒな軌道であり、極限集合にはなっていないものも指す。また、∂Ｐ（ｖ）および∂Ｐｅｒ（ｖ）の軌道は、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅやｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔのことを指すことに注意する。先行研究の構造安定なハミルトンベクトル場の流線位相構造の正規表現理論では、この境界軌道によって分割される領域（数学的には（Ｂｄ（ｖ））^ｃ＝Ｓ－Ｂｄ（ｖ）と書ける）の隣接関係をグラフとして表現し、これに文字列を割り当てた。このとき、分割された領域内部に含まれる軌道群は非圧縮性の条件から一意に決まるため、これ以上の情報は不要であった。これに対し圧縮性流れの場合は、分割した二次元領域の中に入っている軌道群にも種類があるため、その情報も含めて文字化しなければならない。この内部軌道の分類を与えるため、軌道群にある種の同値関係を導入して得られる「ｏｒｂｉｔ ｓｐａｃｅ（軌道空間）」の概念を導入する。
（定義５）「曲面Ｓ上の流れｖによって生成されるｐｒｏｐｅｒな軌道群で開部分集合Ｔ（⊂Ｓ）の内部を通るものとする。このときＴのｏｒｂｉｔ ｓｐａｃｅ（軌道空間）Ｔ／～は次の同値関係「任意のｘ、ｙ∈Ｔ、Ｏ（ｘ）＝Ｏ（ｙ）ならばｘ～ｙ」から導入される商集合である。」

定義５の商集合は、同じ軌道上にある点を１つの点につぶして同一視するという操作を意味する。図９は、有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ） ｖの境界軌道の集合Ｂｄ（ｖ）の補集合に表れる領域内の軌道群の分類を示す。図９（ａ）は、開矩形領域で軌道空間が開区間であるものである。すなわち図９（ａ）に示されるような矩形をした開集合Ｔの中に一様流のような流れが平行に入る場合、その軌道空間は開区間となる。図９（ｂ）は、開円環領域で軌道空間が円周であるものである。図９（ｃ）は、開円環領域で軌道空間が開区間であるものである。図９（ｂ）、（ｃ）に示されるように、開円環領域にある軌道群の軌道空間は、それぞれ円周と開区間とからなる。

以下の定理１は「Ｂｄ（ｖ）によって分割される開領域を埋め尽くす軌道群は図９に示される３種類しかない」ことを主張する。この定理の証明は、本発明者によって与えられた。
（定理１）「曲面Ｓ⊆Ｓ^２上の任意の有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ） ｖに対して、境界集合の補集合 （Ｂｄ（ｖ））^ｃ に入る領域の軌道は以下の３種類のいずれかである。
（１）開矩形領域でＰ（ｖ）の非閉軌道で埋め尽くされたもの。その軌道空間は開区間（図９（ａ））。これは、ｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの近傍領域の流れである。
（２）開円環領域で Ｐ（ｖ）の非閉軌道で埋め尽くされたもの。その軌道空間は円周（（図９（ｂ））。これは、ｓｏｕｒｃｅ（ｓｉｎｋ） ｄｉｓｋ／ｌｉｍｉｔ ａｎｎｕｌｕｓの近傍領域の流れである。
（３）開円環領域でｉｎｔＰｅｒ（ｖ）の周期軌道で埋め尽くされたもの。その軌道空間は開区間（（図９（ｃ））。これは、ｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｋ／ｐｅｒｉｏｄｉｃ ａｎｎｕｌｕｓ／ｒｏｔａｔｉｎｇ ｓｐｈｅｒｅの近傍領域の流れである。」

［ＣＯＴ表現］
後述する実施形態で用いるアルゴリズムは、この圧縮性流れの軌道群の位相構造を、「部分円順序根付き木表現」（以下、「ＣＯＴ表現」と呼ぶ。ＣＯＴ：ｐａｒｔｉａｌｌｙ Ｃｙｃｌｉｃａｌｌｙ Ｏｒｄｅｒｅｄ ｒｏｏｔｅｄ Ｔｒｅｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ）に変換するものである。ＣＯＴ表現は、非圧縮性流れの流線位相構造の文字化を計算機プログラムに実装するためのデータ構造として、本発明者らが計算機科学的な見地から新たに考案したものである。先行研究である語表現理論（例えば、特許文献１参照）や正規表現理論（例えば、特許文献３参照）は、理論としては正しいが、プログラミングのためのデータ構造という観点で見たとき、後述のように若干曖昧なところがある。この曖昧さは、ＣＯＴ表現を採用することで完全に除去することができる。以下、図１０、図１１を参照して、構造安定なハミルトンベクトル場の流線構造を表現するＣＯＴ表現を解説する。なお、本明細書で説明する有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）のＣＯＴ表現は、図１０、図１１に示される表現を、圧縮流れに対応できるように自然な形で拡張したものである。

図１０は、 構造安定なハミルトンベクトル場の基本流線構造を示す。図１１は、 構造安定なハミルトンベクトル場に入る局所流線構造を示す。ここで、これらの図および後述の説明で用いる記号について説明する。□_ａの中には、図１１（ａ）で与えられるＡ系列の局所的流線構造が入ることを示す。□_ｂ＋や□_ｂ－は中には、図１１（ｂ）で与えられるＢ系列の流線構造が入ることを示す。□_ｃ＋や□_ｃ－には、図１１（ｃ）で与えられるＣ系列の流線構造が任意の個数入ってよいことを示す。□の右肩上に書いてある番号はＣＯＴ表現に並べる順序を示す。

非有界領域における最も単純な流れとして、図１０（ａ）に示される左から右への一様流がある。それぞれ図中にある□_ａと点線の部分は、この流れ場の中に図１１（ａ）に示されるＡ系列（ｃｌａｓｓ－ａ）の流線構造が入ってもよいことを表す。この流れに対応するＣＯＴ表現をａ_φ（□_ａｓ）と書く。ここで、□_ａｓの記法は□_ａの構造がｓ個ついていることを意味している。具体的に書き下すと、
□_ａｓ：＝□^１ _ａ・・・□^ｓ _ａ （ｓ＞０）
□_ａｓ：＝λ_～ （ｓ＝０）
となる。なお、□_ａの流線構造がないときは、「構造がない」ことを示す記号λ_～を入れることに決めておく。Ａ系列の並べ方については、一様流が左から右へ流れているときにその構造を下から順に番号付けを行う。逆に、一様流が右から左に流れている場合は、図の天地を入れ替えたものと同じになるので、上から順に番号付けを行う。

次に一様流が存在しないときは、有界領域内部における単純回転流がある。これには、反時計回りと時計回りの回転方向の違いに応じて、図１０（ｂ）、（ｃ）の２種類がある。この流れのＣＯＴ表現は外側物理境界における流れの方向が反時計回りのときβ_φ－（□_ｂ＋，｛□_ｃ－ｓ｝）と書き、時計回りのときはβ_φ＋（□_ｂ－，｛□_ｃ＋ｓ｝）のように書く。ここからも分かるように、本文字化理論では流れの向きも正確に分類することに注意する。ＣＯＴ表現に現れる□_ｂ＋にはｂ_＋＋、ｂ_＋－、β_＋のいずれかが入り、□_ｂ－にはｂ_－－、ｂ_－＋、β_－のいずれかが入る。□_ｃ±ｓは、境界についている図１１（ｃ）にあるＣ系列の構造が任意の個数入ってもよいことを示す。具体的には複合同順で次のように表される。
□_ｃ±ｓ：＝□^１ _Ｃ±・・・□^ｓ _Ｃ± （ｓ＞０）
□_ｃ±ｓ：＝λ_± （ｓ＝０）
ここでも特に何も構造が入っていなければ、複合同順でλ_±の記号を用いて表現する。また、このＣ系列の構造には反時計回りに番号を付与して並べるが、どれを１番目に選ぶかについては（ｃｙｃｌｉｃ に）任意性がある。これを表現するために、ＣＯＴ表現では｛｝で囲むことをルールとして決めておく。

図１１は、構造安定なハミルトンベクトル場が生成するすべての局所的な流線位相構造と、それに付随した記号と、を示す。生成される流線構造の向き（反時計回りと時計回り）に応じて、それぞれ＋や－の符号を付ける。

図１１（ａ）は、Ａ系列の流線構造を示す。構造ａ_＋のＣＯＴ表現は、ａ_＋（□_ｂ＋）である。これは、□_ｂ＋の内部にＢ系列の反時計回り（正）方向の流れ局所部分構造ｂ_＋＋、ｂ_＋－、β_＋のいずれかがその中に含まれることを示す。構造ａ_－のＣＯＴ表現は、ａ_－（□_ｂ－）である。これは、□_ｂ－の内部にＢ系列の時計回り（負）方向の流れ局所部分構造ｂ_－－、ｂ_－＋、β_－のいずれかその中に含まれることを示す。構造ａ_２では、物理境界の上下にＣ系列の構造が任意個つけられる。向きについては、上側には反時計回りの□_ｃ＋が入り、下側には時計回りの□_ｃ－が入る。従って、そのＣＯＴ表現はａ_２（□_ｃ＋ｓ、□_ｃ－ｓ）となる。

図１１（ｂ）は、Ｂ系列の流線構造を示す。Ｂ系列の構造は、ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄなｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ構造である。そのＣＯＴ表現は、複合同順で、ｂ_±±｛□_ｂ±，□_ｂ±｝，ｂ_±干（□_ｂ±，□_ｂ干），β_±｛□_ｃ±ｓ｝と書くことができる。円順序の構造は｛｝で、順序確定の構造は（）で囲み、□_ｃ±ｓとしてつける構造がない場合に□_ｃ±ｓ：＝λ_±の記号を用いる点は、前述と同様である。

図１１（ｃ）は、Ｃ系列の流線構造を示す。Ｃ系列は、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘによって囲まれた領域内の流線構造、すなわち物理境界に任意の個数の∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとそれらを囲む大きな∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ構造を示す。∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの回転方向に応じて、そのＣＯＴ表現は複合同順で、ｃ_±（□_ｂ±、□_ｃ干ｓ）となる。ここで、□_ｂ±には必ずＢ系列の構造が入る。□_ｃ±ｓには、さらにＣ系列の構造が、内部構造に任意の個数つけられる。つける構造が存在しない場合はλ_±と書く。以上述べたように、基本的な構造から□の中に入りうる局所流線構造を再帰的に埋めこむことにより、任意の構造安定なハミルトニアンベクトル場が生成する流線構造を構成することができる。局所流線構造の下部構造は、より細かい流れの微細構造が表現することに注意する。

特許文献１に記載された流れパターンの極大語表現は、基本流れと局所流線構造に基づいて文字列を割り当てたものであるが、その表現力は必ずしも十分とはいえない。例えば図１１（ｂ）に示されるｂ_＋＋、ｂ_－－、ｂ_＋－、ｂ_－＋の４つのＢ系列のパターンは、極大語表現ではすべてＢ_０と表現される。このことが、語表現が一対一対応にならないことの要因となった。また、特許文献３に記載の正規表現は、こうした構造を区別はするものの、内部に入りうる局所構造の情報までは表現されないため、β_±やｃ_±に対応する構造の表現を予め明示することができない。この欠点は、流線構造の文字化を実現するアルゴリズムを構成する上で、そのデータ構造としての表現を困難にしている。例えば、図１０（ｂ）にあるような構造では、□_ｂ＋に対応する局所構造が（ｇｅｎｕｓ ｅｌｅｍｅｎｔを入れることも含めて）必要だが、ｇｅｎｕｓ ｅｌｅｍｅｎｔが入るとしたときにも、ここに渦心点が入るのか、あるいは物理境界が入るのかは区別できない。そこで、ｐｏｉｎｔ ｇｅｎｕｓ ｅｌｅｍｅｎｔが入る場合は 「点」 が入っている記号として□_ｂ±に「σ_±」の文字を（符号はこの点周りの周期軌道の回転方向に対応している）付与し、何の構造も入らずｇｅｎｕｓ ｅｌｅｍｅｎｔのみが入る場合は、□_ｂ±にはβ_±の構造に全くＣ系列の構造がついていないことを意味するＣＯＴ表現β_±｛λ_±｝の文字を付与する。さらに□_ｃ－に対応する構造はあってもなくてもよいので、この「何も入っていない」という情報は正規表現では陽的に表現されない。

表１に、図１０および図１１に示された流線位相構造に対応する極大語表現、正規表現およびそのＣＯＴ表現の対応関係を示す。

ここで□_ｃ＋ｓおよび□_ｃ－ｓは、それぞれ非負整数（ｓ≧０）個の□_ｃ＋および□_ｃ－が入ることを表す。この記法では、各構造の下部構造に入りうるＣ系列の局所流線構造を□_ｃ±ｓによって表し、それ以上の構造を含まない終端記号としては□_ｃ±ｓにλ_±を代入することとする。このようなＣＯＴ表現は、正規表現をさらに厳密化したものである。これは流れの向きや内部に入りうる局所流線構造の状況までを含めてすべて記号化することができるため、極めて有用である。なおｂ_＋＋、ｂ_－－の下にある２つの局所内部構造□_ｂ±については、双方等価な構造を表現するため、どちらを左右に並べるかには任意性がある。また上記で注意したように、β_±にあるＣ系列の局所構造の識別番号の決め方、すなわち並べ方にも任意性があるため、こうした任意性がある場合は、それぞれの構造を中括弧｛｝で囲む。一方、順序が自然に決まる局所構造は、丸括弧（）で囲む。このＣＯＴ表現を採用することにより、曖昧さを排除した上で、流線位相構造をデータ構造として精密に表記することができる。なお、非圧縮ベクトル場の先行研究におけるｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘはｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと読み替え、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘは∂－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと読み替える。

一例として、このＣＯＴ表現を使って、図１２の流線図で示される流れパターンに対して語表現を与えてみる。まずこの流れには、非有界領域内にある一様流の中ａ_＋の局所下部構造がある。図１１（ａ） に示されるように、ａ_＋（□_ｂ＋）の構造の中には、Ｂ系列の構造が必ず下部構造として含まなければならない。実際、図１２を見ると、□_ｂ＋にはｂ_＋－（□_ｂ＋，□_ｂ－）の構造が入っていることが分かる。従って、ここまでの構造はＣＯＴ表現ではａ_φ（ａ_＋（ｂ_＋－（□_ｂ＋，□_ｂ－）））と表現される。さらにｂ_＋－の内部構造を見ると、□_ｂ－には反時計回りの物理境界のｇｅｎｕｓ ｅｌｅｍｅｎｔがあるため、そこには時計回りの周期軌道を周りに伴う物理境界を表す□_ｂ－：＝β_－｛λ_－｝を入れる。□_ｂ＋には β_＋｛□_ｃ＋ｓ｝の構造が入っており、そこに２つのＣ系列ｃ_＋が付いているが、左側にあるｃ_＋の内部に周期軌道を伴う物理境界が１つあって終端に到達しているため、その記号はｃ_＋（β_＋｛λ_＋｝，λ_－）となる。右側にあるｃ_＋には、さらにｃ_－の構造が下部に入っている。そのため、ｃ_＋のＣＯＴ表現ｃ_＋（□_ｂ＋，□_ｃ－ｓ）における□_ｂ＋の構造としては反時計回りの周期軌道を伴う点を意味するσ_＋が入り、□_ｃ－ｓにはｃ_－（β_－｛λ_－｝，λ_＋）が入る。従って、β_＋｛□_ｃ±ｓ｝の中は□_ｃ＋ｓ＝ｃ_＋（β_＋｛λ_＋｝，λ_－）・ｃ_＋（σ_＋，ｃ_－（β_－｛λ_－｝，λ_＋））とできる。

以上をまとめると、図１２の流れパターンのＣＯＴ表現は、
ａ_φ（ａ_＋（ｂ_＋－（β_＋｛ｃ_＋（β_＋｛λ_＋｝，λ_－）・ｃ_＋（σ_＋，ｃ_－（β_－｛λ_－｝，λ_＋））｝，β_－｛λ_－｝）））
で与えられる。ここで「構造が入っていない」ことを示す記号λ_±は、プログラム上は重要であるが、文字として表現する場合は冗長である。従って、このλ_±は省略することができ、
ａ_φ（ａ_＋（ｂ_＋－（β_＋｛ｃ_＋（β_＋）・ｃ_＋（σ_＋，ｃ_－（β_－））｝，β_－）））
と略記しても混乱なく表現が可能である。本発明者らは、このＣＯＴ表現から正規表現に変換するアルゴリズムが存在し、さらに正規表現は極大語表現に変換することができるので、ＣＯＴ表現からすべての表現が自動的に得られることを見出した。実際、図１２の流れパターンのＣＯＴ表現から、正規表現○_φ（○_２（＋_０（＋_０（＋_０，＋_０（＋_０），－_０））））と、極大語表現ＩＡ_０Ｂ_０Ｂ_２ＣＣ とが得られる。

前述の理論に基づいて、以下では位相幾何学的に取り得るすべての流線構造を分類し、そこに文字（ＣＯＴ表現）を割り当てる。

［二次元構造］
定理１には、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ_ｓｓ（ｖ）における境界軌道の集合Ｂｄ（ｖ）によって分割された二次元領域には３種類の流れが入ることが示されている。ここではまずこの二次元領域構造を定義し、次にこれらに対応する文字（ＣＯＴ表現）を与える。図９（ａ）に示される開矩形領域は、湧き出し構造と吸い込み構造とを結ぶｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの近傍の非閉軌道群を含むものであるが、本変換アルゴリズムではこれには記号を与えない。すなわちデフォルトの構造とする。これ以外の２つの二次元構造に文字（ＣＯＴ表現）を割り当てる。これらは、表３に示されるようにｃｌａｓｓ－ｂ_±およびｃｌａｓｓ－ｂ_～±の要素をなす。図１３に、定理１で与えられた（Ｂｄ（ｖ））^ｃの軌道群を表す構造（二次元構造）を示す。

（二次元構造：ｂ_～±）
図９（ｂ）に示される開円環領域の構造は、外側から内側へ向かう非閉軌道で埋め尽くされている状況にある。これに対して、図１３（ａ）のようにｂ_～±と記号を割り当てる。記号についている符号_～±については、軌道群が円環の外側境界から内側境界へ流れるときは、流れが中心に吸い込まれていることを表現するために～－とする。反対に内側境界から外側境界に軌道群が広がるような場合は、～＋とする。その内側境界には吸い込み／湧き出し構造が必ず入るが、そのようなＢｄ（ｖ）の構造の集合を□_～±と書いておく。また、領域を埋め尽くしている非閉軌道の１つ１つに対しては、□_ａ～±で表されるＢｄ（ｖ）のｃｌａｓｓ－ａ_～±の軌道構造を任意個数（ｓ≧０個）入れることができるので、これを表す記号を□_ａ～±ｓと書いておく。この□_ａ～±ｓに対応する構造の並びは円順序で一意に決まらない。以上の考察に基き、ＣＯＴ表現はｂ_～±（□_～±，｛□_ａ～±ｓ｝）（複合同順）のようになる。なお、□_～±や□_ａ～±ｓに入りうるｃｌａｓｓ－～±およびｃｌａｓｓ－ａ_～±の構造群の定義については表３を参照されたい。また、□_ａ～±ｓは、非圧縮流の□_ａｓの場合の記法と同様に、
□_ａ～±ｓ：＝□^１ _ａ～±・・・ □^ｓ _ａ～± （ｓ＞０）
□_ａ～±ｓ：＝λ_～ （ｓ＝０）
としておき、「何も入っていない」ことを表現するのに構造安定なハミルトンベクトル場のときと同様にλ_～の記号を用いる。

（二次元構造：ｂ_±）
図９（ｃ）は、開円板領域内部が周期軌道で埋め尽くされている状況を表す。これに対応する流線構造は、図１３（ｂ）に示される構造ｂ_±である。符号は、周期軌道が反時計回り（正方向回転）であるときに＋を、時計回り（負方向回転）であるときに－を割り当てる。この内部に入る構造も同様にＢｄ（ｖ）の元であるが、そこに入るのはｃｌａｓｓ－αの軌道構造であるため、□_α±と書いておき、その定義は表３で与える。非閉軌道と異なり周期軌道には□_ａのような構造は入らないので、このＣＯＴ表現は複合同順で、ｂ_±（□_α±）と与えられる。

以下、Ｂｄ（ｖ）によって分割された領域に含まれうる軌道群の構造を、上の中から選ぶ。ここで、Ｂｄ（ｖ）に対して定義されるＣＯＴ表現で用いるために、（Ｂｄ（ｖ））^ｃ の構造から定義される集合□_ｂφ、□_ｂ＋、□_ｂ－、□_ｂ～＋、□_ｂ～－を以下のように定める。
□_ｂ＋＝｛ｂ_～±，ｂ_＋｝
□_ｂ－＝｛ｂ_～±，ｂ_－｝
□_ｂ～＋＝｛ｂ_～＋｝
□_ｂ～－＝｛ｂ_～－｝

［基本構造］
トポロジカルには平面は、無限遠点を取り除いた球面Ｓと同一視できる。この球面Ｓ上に、以下のような基本的な流れが存在する。以下、これらの流体構造を「基本構造」または「ルート構造」と呼ぶ。図１４に、球面Ｓ上の基本構造を示す。

（基本構造：σ_φ±、σ_φ～±０、σ_φ～±±、σ_φ～±干）
平面内に物理境界が全く存在しないときの流れ場は、図１４（ａ）に示されるような球面の流れと同一視できる。この球面上の有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）は、両極の２つのゼロ次元点構造を除く円環領域内の流れを与える。このときこの構造のＣＯＴ表現は、内部にどのような軌道構造が入るかで分類する必要がある。この円環領域が構造ｂ_±で与えられる周期軌道からなる軌道群構造ｂ_±で埋め尽くされるとき、σ_φ干（□_ｂφ±) の表現を割り当てる。ただし□_ｂφ±＝ｂ_±（□_α±）である。一方、円環領域が湧き出し点／吸い込み点のｃｌａｓｓ－～±の非閉な軌道群構造ｂ_～±で埋め尽くされているとき、そのＣＯＴ表現は、湧き出し点／吸い込み点の周辺の軌道の回転方向により、σ_φ～干０（□_ｂφ～±）、σ_φ～干±（□_ｂφ～±）、σ_φ～干干（□_ｂφ～±）のいずれかとなる。すなわち、無限遠点の点である湧き出し点／吸い込み点の周りで，非閉な軌道群が回転していないときは複合同順でσ_φ～干０（□_ｂφ～±）、反時計回りに回転しているときは複合同順でσ_φ～干＋（□_ｂφ～±）、時計回りに回転しているときは複合同順でσ_φ～干－（□_ｂφ～±）である。ここで□_ｂφ～±＝ｂ_～±（□_～±，｛□_ａｓ｝）である。なお、σ_φ~±０、σ_φ～干干、σ_φ～干±の記号についている符号と中に入る二次元軌道群構造のＣＯＴ表現の符号とが逆になっているのは、無限遠点に相当する点の周りの流れの構造に符号をつけていることによる。例えば、ｂ_＋の表現が内部に入って反時計回り（すなわち＋の方向）の周期軌道を埋め込むためには、無限遠点の点の周りには時計回り（すなわち－の方向）の流れが生じなければならない。従って具体的なＣＯＴ表現は、
σ_φ－（□_ｂφ＋）
□_ｂφ＋＝ｂ_＋（□_α＋）
となる。

（基本構造：β_φ±、β_φ2）
球面が物理境界をいくつか含んでいると仮定する。このとき、その中から１つを選んで特別な境界とし、北極がその境界内部に含まれるような球面極座標を導入することができる。このとき、この座標系に付随した立体射影（Ｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ）を通して、球面上の流れを二次元有界領域の内部流れと同一視することができる。図１４（ｂ）に、ルートの子で外側物理境界に湧き出し／吸い込み構造が全く存在しない流れを示す。このＣＯＴ表現は、外側境界の流れの方向が反時計回りのときは、β_φ－（□_ｂ＋，｛□_ｃ－ｓ｝）と与える。この流れは、図１０（ｂ）に示される構造安定なハミルトンベクトル場の基本構造と同じであることに注意する。この構造は、□_ｂ＋のところに常にｃｌａｓｓ－ｂ_＋構造を含まなければならないが、外側境界には任意の個数ｃｌａｓｓ－ｃ_－ の軌道構造をつけることができる。外側境界の流れの方向が時計回りのときは、すべての符号を反転させてβ_φ＋（□_ｂ－，｛□_ｃ＋ｓ｝）なるＣＯＴ表現を持つ基本構造となる。なお、双方において、ｓ≧０個のｃｌａｓｓ－ｃ軌道構造を意味する□_ｃ±ｓは、具体的には複合同順で以下のように書ける。

図１４（ｃ）に示される外側物理境界につながる湧き出し／吸い込み構造が少なくとも１つ存在する基本流れ構造を示す。基本構造β_φ2は、この図１４（ｃ）に示される基本流れ構造である。この湧き出し／吸い込み構造から最も左側にあるペアを選んでｃｌａｓｓ－～±の特別な軌道構造とし、他の湧き出し／吸い込み構造にはｃｌａｓｓ－γ_φの軌道構造（表３）を割り当てる。他に境界に沿って、任意の個数のｃｌａｓｓ－ｃ_±の軌道構造を左右につけることができる。この状況をＣＯＴ表現では、特別な湧き出し点－吸い込み点のペアを□_～±で、任意の個数のｃｌａｓｓ－γ_φｓ 軌道構造を□_γφｓで表す。具体的には以下のように書けばよい。

特別な湧き出し点－吸い込み点のペアがあるため、それらを結ぶｃｌａｓｓ－ａの軌道構造を任意の個数つけることができる。それらを、ＣＯＴ表現では□_asと表す。なお、□_asに入りうるｃｌａｓｓ－ａの構造群の定義については表３を参照のこと。□_as は、非圧縮流の場合の記法と同様に、
□_as：＝□^１ _a・・・□^ｓ _a （ｓ＞０）
□_as：＝λ_～ （ｓ＝０）
と定める。まとめると、この基本構造のＣＯＴ表現は、外側境界についている各構造を反時計回りに円順序で並べて、
β_φ2（｛□_ｃ＋ｓ，□_～＋，□_ｃ－ｓ，□_～－，□_γφｓ｝，□_ａｓ）
のように与えられる。

［Ｂｄ（ｖ）の流れのゼロ次元点構造および一次元構造］
次に、曲面Ｓ上の有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ） ｖが定めるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ_ｓｓ（ｖ）を構成するＢｄ（ｖ）のゼロ次元点構造および一次元構造の分類とそれに対応するＣＯＴ表現を与える。前述の理論によれば、Ｂｄ（ｖ）＝Ｓｉｎｇ（ｖ）∪∂Ｐｅｒ（ｖ）∪∂Ｐ（ｖ）∪Ｐ_ｓｅｐ（ｖ）∪∂_ｐｅｒ（ｖ）と表現されているので、それぞれの集合に対応させて Ｂｄ（ｖ）を実現するゼロ次元点構造および一次元構造を導入する。ここで、各一次元構造はその周辺の軌道群情報によって、どの集合に入るかが変わりうることに注意する。図１５に、Ｂｄ（ｖ）のゼロ次元点構造と一次元構造の例を示す。

［∂_ｐｅｒ（ｖ）、Ｓｉｎｇ（ｖ）の構造］
（一次元構造：β_±）
その定義から∂_ｐｅｒ（ｖ）の流れは物理境界に沿って流れる周期軌道を指す。構造安定なハミルトンベクトル場において、物理境界には図１１（ｂ）に示されるように記号βが与えられていた。これとの整合性をとり、物理境界に∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘで囲まれたｃｌａｓｓ－ｃの構造が全くついていないことを同じ記号で表す。すなわち、物理境界の流れが反時計回りのときβ_＋｛λ_＋｝、時計回りのときβ_－｛λ_－｝のようにＣＯＴ表現を与える（図１５（ａ）参照）。これらの物理境界は、ｃｌａｓｓ－～±およびｃｌａｓｓ－α_±の構造に入る。

（ゼロ次元点構造：σ_±、σ_～±０、σ_～±±、σ_～±干）
Ｓｉｎｇ（ｖ）＼Ｄ_ｓｓ（ｖ）の元は、ゼロ次元の点構造（孤立構造）である。点構造は、その周りの軌道によって分類することができる。もし点が渦心点で、その周囲に反時計回りあるいは時計回りの周期軌道を伴うとき、そのＣＯＴ表現はそれぞれσ₊ およびσ_－ で与えられる。一方、点が湧き出し点または吸い込み点であるとき、ＣＯＴ表現は、その周囲の軌道の回転方向と合わせてそれぞれσ_～±０、σ_～±±、σ_～±干で与える（表２および図１５（ｂ）参照）。これらの点構造はｃｌａｓｓ－～±の構造に入る。

［∂Ｐ（ｖ）、∂Ｐｅｒ（ｖ）に入る構造］
（一次元構造：ｐ_～±、ｐ_±）
集合∂Ｐ（ｖ）および∂Ｐｅｒ（ｖ）は、それぞれ非閉軌道および周期軌道の境界集合として定義される一次元構造である。また、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅはその内側と外側のいずれかが非閉軌道の極限軌道となる周期軌道である。これはｉｎｔＰ（ｖ）の元ではないため、集合Ｐ_ｓｅｐ（ｖ）の元にはなり得ない構造である。このとき、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅの外側と内側の構造によって場合分けが必要となる。すなわち、１つには図１５（ｃ）に示されるｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅの外側領域では周期軌道となる構造、いま１つには図１５（ｃ）に示されるｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅが外側領域にある非閉軌道のω（α）極限集合となる構造である。前者の構造をｐ_～±と書く。このときこの周期軌道がｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅとなるためには、これが内側からの非閉軌道の極限軌道（すなわち境界軌道）となっていなければならない。そのため、内部にはｂ_～±の二次元構造を入れる。従って、そのＣＯＴ表現はｐ_～±（□_ｂ～±）である。後者の構造を記号ｐ_±で表す。このとき外側からの極限周期軌道になっているため、内部の二次元極限軌道群の構造はどのようなものでもよい。従って、そのＣＯＴ表現は複合同順でｐ_±（□_ｂ±）で表すことができる。

［∂Ｐ（ｖ）、∂Ｐｅｒ（ｖ）、Ｐ_ｓｅｐ（ｖ）に入る構造］
∂Ｐ（ｖ）、∂Ｐｅｒ（ｖ）、Ｐ_ｓｅｐ（ｖ）のいずれかの構造集合に入りうる一次元構造は、図８に示されるような、ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘやｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの構造を含む非閉軌道を持つ。その内部と外部に入る二次元構造は、一方が非閉軌道で、他方が周期軌道で埋め尽くされた領域である場合（このとき、∂Ｐ（ｖ）か∂Ｐｅｒ（ｖ））と、両側が非閉軌道で埋め尽くされた領域である場合（このときＰ_ｓｅｐ（ｖ）の元とする）と、を考えなければならない。

まず、サドル点につながるｓｅｐａｒａｔｒｉｘは４本存在するので、このｓｅｐａｒａｔｒｉｘの局所的な流れの方向を考慮すれば、以下の３つの可能性がある。
（Ｓ１）１つが湧き出し構造、１つが吸い込み構造につながり、残り２つが ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘである。
（Ｓ２）２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎがある。
（Ｓ３）２つが湧き出し（吸い込み）構造につながっている。残り２つは、流れの方向からｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘになりえないことに注意する。

このうち（Ｓ３）の場合は、図８に示される非閉軌道を持ち得ないので、ここでは（Ｓ１）と（Ｓ２）だけを考えればよい。一方、境界サドル点は３本のｓｅｐａｒａｔｒｉｘが存在するが、そのうち２本は境界上を走る必要があるので自由度は１本しかない。従って、その連結する構造の可能性は以下の２つとなる。
（Ｓ４）同じ境界上にある別の境界サドル点とつながる∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ。
（Ｓ５）領域内部にある湧き出し／吸い込み構造につながる。

（Ｓ４）の場合は明らかに非閉軌道を形成するので問題はないが、（Ｓ５）の場合は周囲の状況による。すなわち、この場合は単独で非閉軌道は生じない。しかしながらＥｕｌｅｒ数との関係で、１つの境界サドル点と、少なくとも１つの異なる境界サドル点との存在を認めなければならない。そのため、その境界サドル点が∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持てば、構造全体が非閉軌道を含みうる。以上のことから、以下、（Ｓ１）（Ｓ２）（Ｓ４）（Ｓ５）に対応する４つの構造を考える。

（一次元構造：ａ_±、ｑ_±）
図１６に、（Ｓ１）系列の一次元構造を示す。湧き出し構造と吸い込み構造、およびｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの位置関係で、これらの構造を分類する。

まず、図１６（ａ）に示される構造、すなわちｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの囲む領域の外側に湧き出し／吸い込み構造が存在する構造をａ_±と書く。その符号は、左から右の流れに対して、下側にｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがある場合をａ_＋、上側にある場合をａ_－と決める。この構造では、ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの内部には周期軌道か非閉軌道が入りうる。このうち周期軌道が入る場合は、その回転方向が自動的に決まることから、ａ_＋には□_ｂ＋で定義された構造集合が、ａ_－には□_ｂ－で定義された構造集合が入る。これは構造安定なハミルトンベクトル場に現れるＡ系列の軌道構造（図１１（ａ））と同じ構造であるため、同じＣＯＴ表現を割り当てていることに注意する。

次に図１６（ｂ）に示される構造、すなわちｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの囲む領域の内部に湧き出し／吸い込み構造が存在する構造をｑ_±と書く。符号については、外側のｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの向きが反時計回りのときｑ_＋、時計回りのときｑ_－と書く。この構造の内部に、囲まれている湧き出し／吸い込み構造とそれらをつなぐ□_ａｓの構造集合の元が任意個（ｓ≧０）存在しうるので、そのＣＯＴ表現はｑ_±（□_～＋，□_～－，□_ａｓ）となる。

（一次元構造：ｂ_±±、ｂ_±干）
図１７に、（Ｓ２）系列の一次元構造を示す。これは、構造安定なハミルトンベクトル場の分類で用いられる構造、すなわち図１１（ｂ）に示される構造と同じ構造である。従って同じＣＯＴ表現を与える。すなわち、２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの位置関係で構造を分類する。

まず、図１７（ａ）に示される構造、すなわち２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの囲む領域が互いの外側にある構造を、複合同順でｂ_±±と書く。符号については、２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの回転方向が反時計回りのときｂ_＋＋、時計回りのときｂ_－－と書く。この２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘで囲まれた内部領域には二次元構造が入りうる。周期軌道が入る場合はその回転方向が自動的に決まること、また２つの領域の並べる順番には自由度があることから、これらを｛｝で囲み、そのＣＯＴ表現をｂ_＋＋｛□_ｂ＋，□_ｂ＋｝およびｂ_－－｛□_ｂ－，□_ｂ－｝とする。

次に、図１７（ｂ）に示される構造、すなわち１つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの囲む領域の内部にもう１つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが含まれる構造を、複合同順でｂ_±干と書く。符号については、外側にあるｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの向きが反時計回りのときｂ_＋－、時計回りのときｂ_－＋と書く。この符号の決め方から、内部にある軌道群が周期軌道の場合は、その回転方向が互いに反対方向となることが自動的に決まる。従ってそのＣＯＴ表現は、ｂ_＋－（□_ｂ＋，□_ｂ－）およびｂ_－＋（□_ｂ－，□_ｂ＋） となる。ここでは ｂの下についている符号と合うように内部の構造の並べ方の順序をつけると決める。

図１８に、（Ｓ４）系列の一次元構造を示す。
（一次元構造：β_±）
図１８（ａ）に示される構造は、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが任意個数ついた物理境界に対応する。もし、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがついていないときは、図１５（ａ）に示される形となり、そのＣＯＴ表現は β_±｛λ_±｝であった。一方、境界に１個以上の∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがついているときは、構造安定なハミルトンベクトル場で与えた図１１（ｂ）β_±と同じ構造となる。従ってこのときのＣＯＴ表現は、境界に沿って反時計回りの流れとなっている場合はβ_＋｛□_ｃ＋ｓ｝、時計回りの流れとなっている場合はβ_－｛□_ｃ－ｓ｝を与える（図１８（ａ）参照）。すなわち□_ｃ±ｓには、各構造を円順序で反時計回りに並べた以下の記号が入る。
□_ｃ±ｓ：＝□^１ _ｃ±・・・□^ｓ _ｃ± （ｓ＞０）
□_ｃ±ｓ：＝λ_±・・・ （ｓ＝０）

（一次元構造：ｃ_±、ｃ_２±）
一次元構造ｃ_±、ｃ_２±は（Ｓ４）系列に対応する。これらは、図１８（ｂ）、（ｃ）に示されるように、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた内部にどのような構造が入るかによって分類することができる。

まず、周期軌道や非閉軌道で埋め尽くされた二次元構造が入るとき、すなわち、境界サドル点とつながる湧き出し／吸い込み構造が入らないときは、図１８（ｂ）に示される構造となる。これをｃ_±と書く。符号については、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘと境界に沿った軌道で回る方向が反時計回りのとき＋、時計回りのとき－とする。このとき、内部の軌道群が周期軌道からなれば、その方向は自動的に決まる。この内部にさらにｃ_±の構造を任意個含みうるが、その場合は内部の回転方向が逆になることに注意する。このことを踏まえてｃ_±構造の集合を、
□_ｃ＋＝｛ｃ_＋｝
□_ｃ－＝｛ｃ_－｝
と定義する。これが任意個（ｓ≧０）並ぶという意味で、□_ｃ±ｓなる構造集合を複合同順で定義しておけば、そのＣＯＴ表現は複合同順でｃ_±（□_ｂ±，□_ｃ干ｓ）となる。

次に内部に湧き出し／吸い込み構造が入る場合、これらの構造はＥｕｌｅｒ数との関係で、同じ境界にある境界サドル点につながっている必要がある。すなわち図１８（ｃ）に示される構造、すなわちｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅが∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた構造となる。これをｃ_２±と書く。一般にｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅはいくつでも境界につけることができるので、その最も右側にあるものを選出し、これに対応する湧き出し／吸い込み構造のペアを□_～±と表す。また、この湧き出し／吸い込み構造をつなぐ構造集合□_ａが任意個（ｓ≧０）存在しうることを示す構造集合□_ａｓを含む。さらに境界の上には、ｃ_±構造がその向きに応じて任意個（ｓ≧０）存在しうることに加えて、これ以外にも任意個（ｓ≧０）のｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅ構造を表す集合□_γ干ｓが存在しうる。なお、□_γ±ｓの構造が常に向かって左側についているのは、全部でｓ＋１個あるｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅ構造のうち最も右側にあるものを選出して□_～±と表現しているためである。ここでこの構造のＣＯＴ表現を与えるために、内部構造の並べ方に１つのルールを決めておく。すなわち「内部にある円境界に∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた構造が存在する場合、その内部構造を境界の内部から見て反時計回りに回る方向に並べる。一方、さきほど現れたβ_φ２の外部境界につく場合は境界の内部からみて時計回り（逆に流体のある部分から見れば反時計回り）に構造を並べる」というルールである。このルールに従えば、図１８（ｂ）に示される構造のＣＯＴ表現は、この構造が内部境界につくことを踏まえれば、一番右から構造を並べればよく、ｃ_２±（□_ｃ干ｓ，□_～±，□_ｃ±ｓ，□_～干，□_γ干ｓ，□_ｃ干ｓ，□_ａｓ）となる。なお、このようにルールを決めておくと、構造は内部・外部の境界によらず必ず時計回りについている構造が並ぶ形となる。

（一次元構造：ａ_２、γ_φ～±、γ_～±±）
図１９に、（Ｓ５）系列の一次元構造を示す。この一次元構造は、基本的に、境界にある湧き出し／吸い込み構造のペアをつなぐｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅに対応する。後のアルゴリズム構成の便宜のため、このような構造が複数存在する場合は、その１つを特別なものとして扱う。

図１９（ａ）に示される構造は、湧き出し／吸い込み構造のペアをつなぐｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅのうち特別な１つを表す構造であり、これをａ_２と書く。物理境界には∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた構造□_ｃ±がその境界上の流れの方向に応じて任意個（ｓ≧０）つきうる。これを□_ｃ±ｓと表す。また、他のｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅ構造も任意個つきうるが、特に最も下側にあるｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅを選べば、その上側にのみ他のｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅの構造□_γ－がｓ≧０個存在することになる。これを□_γ－ｓと表現する。最終的にそのＣＯＴ表現は、内部円境界につく構造に対するＣＯＴ表現の構造の並べ方のルールに従い、構造を境界反時計回りに並べることにしてａ_２（□_ｃ＋ｓ，□_ｃ－ｓ，□_γ－ｓ）とできる。なお、□_ｃ－ｓの左側にしか□_γ－ｓが入っていないのは、後で導入する構造γ_～±±の定義によるものである。

特別な湧き出し／吸い込み構造をつなぐｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅを選出した後は、他のｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅはすべて同等に扱う必要がある。ここに追加する構造については、つける境界の構造で分類をしなければならない。まずβ_φ２ の外側円境界に任意個の構造をつけられるが、β_φ２の定義では常に最も左側にある湧き出し点－吸い込み点のペア構造に□_～±の記号を割り当てるため、他のものはすべて右側についていることになる。右側の境界に沿って流れは上から下へと進むのでｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅも同じ方向にｓ≧０個追加することができる。このときＥｕｌｅｒ数との関係で、２つの∂－ｓａｄｄｌｅが追加される。これによって、間に□_ｃ±ｓの構造を挟むことが可能になる。図１４（ｄ）を参照すると、右側境界は流れに沿って□_ｃ＋ｓの構造が入る。従ってこの先にｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅの構造を足すためには、図１９（ｂ）に示されるような構造である必要がある。この構造をγ_φ～±と書く。符号については、新たに足す構造が湧き出し構造である場合はγ_φ～＋、吸い込み構造である場合はγ_φ～－とする。各構造のＣＯＴ表現は、外部境界につく構造の場合は、左側から右へ反時計回り（つまり外部内部からみれば時計回り）構造を読むので、γ_φ～＋（□_ｃ＋ｓ，□_～＋，□_ｃ－ｓ）およびγ_φ～－（□_ｃ＋ｓ，□_ｃ－ｓ，□_～－）となる。なお、追加された湧き出し（吸い込み） 構造につながる境界サドル点とは異なる境界サドル点には、既存の吸い込み（湧き出し） 構造がつながっていることに注意する。

最後に、ａ_２やｃ_２にある境界につくｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅの構造は、境界に沿った流れの下流側から追加した構造（図１９（ｃ））と、上流側から追加する構造（図１９（ｄ））の２種類がある。これらをそれぞれγ_～±－、γ_～±＋と書く。あとは新規に追加するものが湧き出し構造か吸い込み構造かにより、その符号が決まる。これに対応するＣＯＴ表現は、内部境界を反時計回りに構造を読むので、γ_～＋－（□_ｃ－ｓ，□_～＋，□_ｃ＋ｓ），γ_～－－（□_ｃ－ｓ，□_ｃ＋ｓ，□_～－），γ_～＋＋（□_ｃ＋ｓ，□_ｃ－ｓ，□_～＋）およびγ_～－＋（□_ｃ＋ｓ，□_～－，□_ｃ－ｓ）となる。なおここで導入される□_γ＋ｓにはγ_～±＋の構造がｓ≧０個あり、□_γ－ｓにはγ_～±－の構造がｓ≧０個あることを示す。

［Ｐ_ｓｅｐ（ｖ）に入る構造］
（一次元構造：ａ_～±、ｑ_～±）
図２０に、（Ｓ３）系列の一次元構造を示す。これらはサドル点に２つの同じ湧き出し／吸い込み構造がつくので、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅとなる。このｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅにつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの位置関係により、構造を分類する。このとき近傍の軌道はすべて非閉軌道で埋め尽くされた二次元領域（開矩形領域）なので、常にＰ_ｓｅｐ（ｖ）の元となる。ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅがつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの外側に存在する図２０（ａ）のｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅに対応する構造をａ_～±と書く。ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅがつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの内側に存在する図２０（ｂ）の構造は、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅに対応する。これをｑ_～±と書く。符号については、両側に湧き出し構造□_～＋がついている場合ａ_～＋、両側に吸い込み構造□_～－がついている場合ａ_～－と書く。これらの湧き出し／吸い込み構造の順序は自由に選べるので、そのＣＯＴ表現は複合同順でａ_～±｛□_～±、□_～±｝とｑ_～±（□_～±）である。

以上により、曲面Ｓの有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）が生成するすべての流線構造（すなわち、二次元領域における任意の流れパターンを構成する流線構造）とそれに対応する文字（ＣＯＴ表現）が与えられた。これらの流線構造に関し、各流線構造とその文字（ＣＯＴ表現）との対応関係を表２に示す。また、各ＣＯＴ表現に入る構造の集合のリストを表３に示す。

［木表現］
次に図２１を参照して、本明細書で用いる「木表現」についての基本的な事項を説明する。図２１は、一般的な木表現の一例を示す。図示されるように、木表現は頂点同士を線で結んだ構造を持つグラフである。木の頂点には大きく分けて、木の終端に位置するもの（○）と、そうでないもの（●）の２種類がある。前者（ｄ、ｅ、ｇ、ｈ、ｊ）を終端頂点（「葉」または「ｌｅａｆ」）、後者（ａ、ｂ、ｃ、ｆ、ｉ）を非終端頂点と呼ぶ。最上部にある非終端頂点（ａ）を「ルート」と呼ぶ。線で直接結ばれている2つの頂点のうち、ルートに近い方（図では上の方）を「親」と呼び、葉に近い方を「子」と呼ぶ。ルートは、木構造の中で親を持たない唯一の頂点である。ルート以外の頂点は、必ず親を1個だけ持つ。例えば図２１では、ｂはａの子でありｃの親である、ｄはｃの子である、といった具合である。

［第１実施形態］
本発明の第１実施形態は、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置である。
図２２に、第１実施形態に係る語表現装置１の機能ブロック図を示す。語表現装置１は、記憶部１０と、語表現生成部２０と、を備える。語表現生成部２０は、ルート決定手段２１と、木表現構成手段２２と、ＣＯＴ表現生成手段２３と、を備える。

記憶部１０は、有限型の流れ（以後単に「流れ」と書く）パターンを構成する複数の流線構造あるいはベクトル場（以後、これをあわせて「流線構造」と書く）に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶する。

流れパターンを構成する流線構造のうち、基本構造は、σ_φ±、σ_φ～±０、σ_φ～±±、σ_φ～±干、β_φ±およびβ_φ2であってよい。

流れパターンを構成する流線構造のうち、二次元構造は、ｂ_～±およびｂ_±であってよい。

流れパターンを構成する流線構造のうち、ゼロ次元点構造は、σ_±およびσ_～±０、σ_～±±、σ_～±干であってよい。

流れパターンを構成する流線構造のうち、一次元構造は、ｐ_～±、ｐ_±、ａ_±、ｑ_±、ｂ_±±、ｂ_±干、β_±、ｃ_±、ｃ_２±、ａ_２、γ_φ～±、γ_～±±、γ_～±干、ａ_～±およびｑ_～±であってよい。

ルート決定手段２１は、与えられた流れパターンのルートを決定する。このとき流れの回転の向きは、ルートとなる特異点または境界を中心と見たときの回転の向きとする。ある構造の「内部構造」とは、補集合の連結成分でルートを含まないもののことをいう。さらに、「最内部構造」とは、内部構造を持たない構造か、図９（ａ）のようなｆｌｏｗ ｂｏｘ（開区間の形をしている軌道からなる長方形）以外の内部構造を持たない構造のことをいう。

ルートに対応する流れの構造を無限遠点または無限遠境界とみなした場合で、かつルート以外の構造がある場合、ある構造が最内部であるとは、補集合の連結成分が空か図９（ａ）のようなｆｌｏｗ ｂｏｘのみであることをいう。なお「境界成分」とは、境界の連結成分のことをいう。

ルートは以下のいずれかである
１．無限遠点が「周りの軌道が反時計回り」の渦心点
２．無限遠点が「周りの軌道が時計回り」の渦心点
３．無限遠点が「周りの軌道が回転していない」吸い込み点
４．無限遠点が「周りの軌道が反時計回り」の吸い込み点
５．無限遠点が「周りの軌道が時計回り」の吸い込み点
６．無限遠点が「周りの軌道が回転していない」湧き出し点
７．無限遠点が「周りの軌道が反時計回り」の湧き出し点
８．無限遠点が「周りの軌道が時計回り」の湧き出し点
９．無限遠点から見て反時計回りの軌道と境界サドル点からなる境界成分（この場合、ルートの子に湧き出し構造とつながるｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ境界サドル点が存在しない。この場合、ルートとなる境界成分に無限遠点が含まれていると思うと、□_ｂφ～－にある原点から見たとき、ルートとなる境界は時計回りに回っているように見える）。
１０．無限遠点から見て時計回りの軌道と境界サドル点からなる境界成分（この場合、湧き出し点とつながるｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ境界サドル点が存在しない）。
１１．吸い込み点とつながるｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ境界サドル点とその反時計回りして隣にある湧き出し点とつながるｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ境界サドル点と境界成分。
ただし、有限データから無限遠点にある吸い込み点／湧き出し点の回転方向を判断する場合は、データ領域の境界を一点に潰してその点を無限遠点と思い回転方向を判断してもよい。たとえば、閾値δと確率ｐを定めて、「角度の誤差δ以下で境界に（反）時計回りの方向に接するベクトル」の割合が確率ｐ以上ある場合に（反）時計回りに回っていると判断し、それ以外は回転してないと判断する基準を作って、回転方向を判断してもよい。

ルートの記号は、１の場合はσ_φ＋（□_ｂφ－）、２の場合はσ_φ－（□_ｂφ＋）、３の場合はσ_φ～－０（□_ｂφ～＋）、４の場合はσ_φ～－＋（□_ｂφ～＋）、５の場合はσ_φ～－－（□_ｂφ～＋）、６の場合はσ_φ～＋０（□_ｂφ～－）、７の場合はσ_φ～＋＋（□_ｂφ～－）、８の場合はσ_φ～＋－（□_ｂφ～－）、９の場合はβ_φ＋（□_ｂφ～－，｛□_ｃ＋ｓ｝）、１０の場合はβ_φ－（□_ｂφ～＋，｛□_ｃ－ｓ｝）、１１の場合はβ_２φ（｛□_ｃ＋ｓ，□_～＋，□_ｃ－ｓ，□_～－，□_γφｓ｝，□_ａｓ）とする。

ルートが決まると、以下のように周期軌道などの流れの向きが定まり、流れの局所構造の符号が定まる。
１．ルートを無限遠点または無限遠境界とみなし、残りの構造が平面上にあるとみなす。
２．抜き出す流れの構造の向きを見て、反時計回りの場合は＋、時計回りの場合は－と符号を定める。

さらに、向きや吸い込み湧き出しに関する符号～±±と～±干は以下のようにして定められる。
１．流れの構造を抜くとき、その親となる構造が吸い込み構造であり、その近傍で非閉軌道が反時計回りに回転している場合は～－＋と符号を定める。
２．流れの構造を抜くとき、その親となる構造が吸い込み構造であり、その近傍で非閉軌道が時計回りに回転している場合は～－－と符号を定める。
３．流れの構造を抜くとき、その親となる構造が吸い込み構造であり、その近傍で非閉軌道が回転していない場合は～－０と符号を定める。
４．流れの構造を抜くとき、その親となる構造が湧き出し構造であり、その近傍で非閉軌道が反時計回りに回転している場合は～＋＋と符号を定める
５．流れの構造を抜くとき、その親となる構造が湧き出し構造であり、その近傍で非閉軌道が反時計回りに回転している場合は～＋－と符号を定める。
６．流れの構造を抜くとき、その親となる構造が湧き出し構造であり、その近傍で非閉軌道が回転していない場合は～＋０と符号を定める。

木表現構成手段２２は、与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、記憶部１０に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成する。木表現の構成は、以下の原則に基づいて実行される。
１．与えられた流れパターンから流線構造を抜き出す。
２．流線構造を抜き出すとき、当該流線構造に対応する文字（ＣＯＴ表現）を木の頂点として付与する。そして当該流線構造を削除する。以下、「流れパターンから流線構造を抜き出し、当該流線構造に文字を付与し、当該流線構造を削除する」処理をまとめて「構造を抜く」と表記する。
３．構造を抜くとき、最内部の構造を抜き出すことから始めて、すべての構造がなくなるまで順次抜いていく。
３．１．最内部の構造は葉に対応する。
３．２．最後に抜く構造はルートに対応する。すなわち、与えられた流れパターンのルートに到達するまで構造を抜く処理を繰り返す。
３．３．ある構造を抜くときに、その構造を□に置き換え、□とその構造をリンクさせて対応させる（これにより、この□を含む上の構造を抜くときに、この構造を上の構造の「子」構造とすることができる）。

以下、図２３を参照して、木表現構成手段２２が木表現を構成する処理を詳細に説明する。木表現構成手段２２は、葉からルートに向けて順次頂点を付け加えることで木表現を構成する。具体的には、最内部の流れの構造から抜く過程で、葉に頂点を付け加えることで木表現を構成する。すなわち「新しく付け加える頂点の子が何であるか」と「その並び方」の２点を確認しながら新しい頂点を付け加えて、木表現を構成する。

具体的には、木表現構成手段２２は、ステップＳ１０～ステップＳ５３の処理を実行することにより、木表現を構成する。図２３はステップＳ１０～ステップＳ５３の処理を示すフロー図である。図２３（ａ）は、ステップＳ１０～ステップＳ２０のフローを示す。図２３（ｂ）は、ステップＳ２１～ステップＳ３１のフローを示す。図２３（ｃ）は、ステップＳ３２～ステップＳ４３のフローを示す。図２３（ｄ）は、ステップＳ４４～ステップＳ５３のフローを示す。前述のように木表現の構成は、与えられた流れパターンにルートが決定された状態で開始する。

ステップＳ１０で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に特異点が存在するか否かを判断する。ステップＳ１０における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ１１に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ１８に移行する。

ステップＳ１１で本方法は、最内部に存在する特定点がルートであるか否かを判断する。ステップＳ１１における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ１２に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ１５に移行する。

ステップＳ１２で本方法は、前述の特異点の子の構造が図１３（ｂ）に示される構造であるか否かを判断する。ステップＳ１２における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ１３に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ１４に移行する。

ステップＳ１３で本方法は、前述の特異点に文字σ_φ±を付与して、この特異点を流れパターンから抜く。すべての特異点を抜き切ると、処理は終了する。

ステップＳ１４で本方法は、前述の特異点に、回転方向に合わせて、文字σ_φ～±０、σ_φ～±±、σ_φ～±干のいずれかを付与して、この特異点を流れパターンから抜く。すなわち、無限遠点の点である湧き出し点／吸い込み点の周りで，非閉な軌道群が回転していないときは複合同順でσ_φ～±０、反時計回りに回転しているときはσ_φ～干＋、時計回りに回転しているときはσ_φ～干－を付与して、この特異点を流れパターンから抜く。同じ特異点が複数あった場合は、それぞれの特異点に文字σ_φ～±０、σ_φ～±±、σ_φ～±干を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての特異点を抜き切ると、処理は終了する。

ステップＳ１５で本方法は、前述の特異点の親の構造が図１３（ｂ）に示される構造であるか否かを判断する。ステップＳ１５における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ１６に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ１７に移行する。

ステップＳ１６で本方法は、前述の特異点に文字σ_±を付与して、この特異点を流れパターンから抜く。同じ特異点が複数あった場合は、それぞれの特異点に文字σ_±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての特異点を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ１７で本方法は、前述の特異点に、回転方向に合わせて、文字σ_～±０、σ_～±±、σ_～±干のいずれかを付与して、この特異点を流れパターンから抜く。すなわち、湧き出し点／吸い込み点の周りで，非閉な軌道群が回転していないときは複合同順でσ_～±０、反時計回りに回転しているときはσ_～干＋、時計回りに回転しているときはσ_～干－を付与して、この特異点を流れパターンから抜く。同じ特異点が複数あった場合は、それぞれの特異点に文字σ_～±０、σ_～±±、σ_～±干を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての特異点を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ１８で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に境界が存在するか否かを判断する。ステップＳ１８における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ１９に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ２２に移行する。

ステップＳ１９で本方法は、最内部に存在する境界がルートであるか否かを判断する。ステップＳ１９における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ２０に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ２１に移行する。

ステップＳ２０で本方法は、前述の境界に文字β_φ±を付与して、この境界を流れパターンから抜く。すべての境界を抜き切ると、処理は終了する。

ステップＳ２１で本方法は、前述の境界に文字β_±を付与して、この境界を流れパターンから抜く。同じ境界が複数あった場合は、それぞれの境界に文字β_±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての境界を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ２２で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に周期軌道が存在するか否かを判断する。ステップＳ２２における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ２３に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ２６に移行する。

ステップＳ２３で本方法は、前述の周期軌道の親の構造が図１３（ｂ）に示される構造であるか否かを判断する。ステップＳ２３における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ２４に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ２５に移行する。

ステップＳ２４で本方法は、前述の周期軌道に文字ｐ_～±を付与して、この周期軌道を流れパターンから抜く。同じ周期軌道が複数あった場合は、それぞれの周期軌道に文字ｐ_～±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての周期軌道を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ２５で本方法は、前述の周期軌道に文字ｐ_±を付与して、この周期軌道を流れパターンから抜く。同じ周期軌道が複数あった場合は、それぞれの周期軌道に文字ｐ_±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての周期軌道を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ２６で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１７（ａ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ２６における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ２７に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ２８に移行する。

ステップＳ２７で本方法は、前述の図１７（ａ）に示される構造に文字ｂ_±±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｂ_±±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１７（ａ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ２８で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１７（ｂ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ２８における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ２９に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ３０に移行する。

ステップＳ２９で本方法は、前述の図１７（ｂ）に示される構造に文字ｂ_±干を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｂ_±干を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１７（ｂ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ３０で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１８（ｂ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ３０における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ３１に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ３２に移行する。

ステップＳ３１で本方法は、前述の図１８（ｂ）に示される構造に文字ｃ_±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｃ_±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１８（ｂ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ３２で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１３（ｂ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ３２における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ３３に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ３４に移行する。

ステップＳ３３で本方法は、前述の図１３（ｂ）に示される構造に文字ｂ_±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｂ_±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１３（ｂ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ３４で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１３（ａ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ３４における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ３５に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ３６に移行する。

ステップＳ３５で本方法は、前述の図１３（ａ）に示される構造に文字ｂ_～±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｂ_～±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１３（ａ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ３６で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図２０（ａ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ３６における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ３７に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ３８に移行する。

ステップＳ３７で本方法は、前述の図２０（ａ）に示される構造に文字ａ_～±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ａ_～±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図２０（ａ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ３８で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図２０（ｂ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ３８における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ３９に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ４０に移行する。

ステップＳ３９で本方法は、前述の図２０（ｂ）に示される構造に文字ｑ～±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｑ～±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図２０（ｂ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ４０で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１６（ａ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ４０における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ４１に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ４２に移行する。

ステップＳ４１で本方法は、前述の図１６（ａ）に示される構造に文字ａ_±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ａ_±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１６（ａ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ４２で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１６（ｂ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ４２における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ４３に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ４４に移行する。

ステップＳ４３で本方法は、前述の図１６（ｂ）に示される構造に文字ｑ_±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｑ_±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１６（ｂ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ４４で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１４（ｃ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ４４における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ４５に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ４６に移行する。

ステップＳ４５で本方法は、前述の図１４（ｃ）に示される構造に文字β_φ２を付与して、この構造を流れパターンから抜く。すべての境界を抜き切ると、処理は終了する。

ステップＳ４６で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１９（ａ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ４６における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ４７に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ４８に移行する。

ステップＳ４７で本方法は、前述の図１９（ａ）に示される構造に文字ａ_２を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ａ_２を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１９（ａ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ４８で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１８（ｃ）に示される構造が存在するか否かを判断する。ステップＳ４８における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ４９に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ５０に移行する。

ステップＳ４９で本方法は、前述の図１８（ｃ）に示される構造に文字ｃ_２±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字ｃ_２±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１８（ｃ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ５０で本方法は、与えられた流れパターンの最内部に図１９（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）に示される構造のいずれかが存在するか否かを判断する。ステップＳ５０における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ５１に移行する。一方否定的であった場合、構造に文字を付与することができないため、エラー処理を行った上で処理を終了する。

ステップＳ５１で本方法は、前述の図１９（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）に示される構造のいずれかの構造の親がルートであるか否かを判断する。ステップＳ５１における判断が肯定的であった場合、処理はステップＳ５２に移行する。一方否定的であった場合、処理はステップＳ５３に移行する。

ステップＳ５２で本方法は、前述の図１９（ｂ）に示される構造に文字γ_φ～±を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字γ_φ～±を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１９（ｂ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

ステップＳ５３で本方法は、前述の図１９（ｃ）、（ｄ）に示される構造のいずれかの構造に文字γ_～±±またはγ_～±干を付与して、この構造を流れパターンから抜く。同じ構造が複数あった場合は、それぞれの構造に文字γ_～±±またはγ_～±干を付与して流れパターンから抜く処理を繰り返す。すべての図１９（ｃ）、（ｄ）に示される構造を抜き切ると、処理はステップＳ１０に戻る。

木表現構成手段２２は、以上のステップＳ１０－Ｓ５３の処理を実行することにより、任意の曲面Ｓ上の流れパターンに文字を付与し、当該流れパターンの抽象木表現を得る。

以上によって得られた当該流れパターンの抽象木表現はｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの抽象グラフとしての構造を含んでいるが、ＣＯＴ表現に変換するためには、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの曲面グラフとしての組み合わせ構造が必要なため、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの曲面グラフとしての組み合わせ構造の必要な組み合わせ構造を抽出する。

例えば、このｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの曲面グラフとしての組み合わせ構造を抽出する方法として、以下のようなものがある:
１．ｓａｄｄｌｅを抽出する。
２．ｓａｄｄｌｅとｓａｄｄｌｅをつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出する。
３．これらの情報から得られる抽象グラフはｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの抽象グラフであり、曲面上の配置に対応するように頂点と辺を配置して、曲面グラフとしてｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを構成する。
以上の処理を実行することにより、任意の曲面Ｓ上の流れパターンに文字を付与し、当該流れパターンの木表現を得る。

ＣＯＴ表現生成手段２３は、木表現構成手段２２により構成された木表現をＣＯＴ表現に変換する。具体的には、木表現を括弧を用いた表現に変換することにより、ＣＯＴ表現を構成する。ただし、円順序で並んだ要素を持つ場合は中括弧｛｝を用い、全順序で並んだ要素を持つ場合は丸括弧（）を用いることで変換が実現される。後述で、ＣＯＴ表現の生成を実例を用いて説明する。

本実施形態によれば、二次元領域における任意の有限型の流れパターンが与えられたときに、当該流れパターンのＣＯＴ表現を得る、すなわち当該流れパターンを文字化することができる。

以下、具体的な流れパターンに対して語表現を与える手順を説明する。
（第１実施形態の例１）
図２４（ａ）に、流れパターンの一例を示す。第１実施形態に従い、以下に示す手順を実行することにより、この流れパターンのＣＯＴ表現が得られることを示す。

手順：
１．物理境界がないため、ルートは無限遠点である。無限遠点は湧き出し点であり、無限遠点の近傍では非閉軌道が反時計回りに回転しているため、ルートに対応する文字は、σ_φ～＋＋（□_ｂφ～－）となる。これによりルートが決定された。
２．最内部は湧き出し点であり、その近傍では非閉軌道が時計回りに回転しているため、対応する文字はσ_～＋－である。従って先ずこの構造を抜き、□_～＋に置き換える。このとき生成された語はｂ_～＋（σ_～＋－，λ_～＋）である。
３．最内部は湧き出し流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ_～＋（□_～＋，｛□_ａ～＋ｓ｝）である。この構造を抜き、□_ｂ＋に置き換える。このとき生成された語はｐ_－（ｂ_～＋（σ_～＋－，λ_～＋））である。
４．最内部は時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ_－（□ｂ_－）である。この構造を抜き、□_～－に置き換える。このとき生成された語はｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（σ_～＋－，λ_～＋）），λ_～－）である。
５．最内部は吸い込み流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ_～－（□_～－，｛□_ａ～－ｓ｝）である。この構造を抜き、□_ｂφ～－に置き換える。このとき生成された語はσ_φ～＋＋（ｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（σ_～＋－，λ_～＋）），λ_～－））である。
６．最内部はルートであり、対応する文字はσ_φ～＋－（□_ｂφ～－）である。生成された語はσ_φ～＋＋（ｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（σ_～＋－，λ_～＋）），λ_～－））である。

以上の手順を実行することにより、図２４（ａ）の流れパターンに対するＣＯＴ表現
σ_φ～＋＋（ｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（σ_～＋－，λ_～＋）），λ_～－））
が与えられることが示された。

（第１実施形態の例２）
図２４（ｂ）に、流れパターンの別の例を示す。第１実施形態に従い、以下に示す手順を実行することにより、この流れパターンのＣＯＴ表現が得られることを示す。

手順：
１．物理境界がないため、ルートは無限遠点である。無限遠点は吸い込み点であり、無限遠点の近傍では非閉軌道が反時計回りに回転しているため、ルートに対応する文字は、σφ_～－＋（□_ｂφ～＋）となる。これによりルートが決定された。
２．最内部は吸い込み点であり、その近傍では非閉軌道が時計回りに回転しているため、対応する文字はσ_～－－である。この構造を抜き、□_～－に置き換える。このとき生成された語はσ_～－－である。
３．最内部は吸い込み流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ_～－（□_～－，｛□_ａ～－ｓ｝）である。この構造を抜き、□_ｂ－に置き換える。このとき生成された語はｂ_～－（σ_～－－，λ_～－）である。
４．最内部は時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ_－（□_ｂ－）である。この構造を抜き、□_～－に置き換える。このとき生成された語はｐ_－（ｂ_～－（σ_～－－，λ_～－））である。
５．最内部は湧き出し流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ_～＋（□_～＋，｛□_ａ～＋ｓ｝）である。この構造を抜き、□_ｂ＋に置き換える。このとき生成された語はｂ_～＋（ｐ_－（ｂ_～－（σ_～－－，λ_～－）））である。
６．最内部は時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ_－（□_ｂ－）である。この構造を抜き、□_～－に置き換える。このとき生成された語はｐ_－（ｂ_～＋（ｐ_－（ｂ_～－（σ_～－－，λ_～－）），λ_～－））である。
７．最内部は吸い込み流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ_～－（□_～－，｛□_ａ～－ｓ｝）である。この構造を抜き、□_ｂ－に置き換える。このとき生成された語はｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（ｐ_－（ｂ_～－（σ_～－－，λ_～－）），λ_～－）），λ_～－）である。
８．最内部は時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ_－（□_ｂ－）である。この構造を抜き、□_～－に置き換える。このとき生成された語はｐ_－（ｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（ｐ_－（ｂ_～－（σ_～－－，λ_～－）），λ_～－）），λ_～－））である。
９．最内部は湧き出し流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ_～＋（□_～＋，｛□_ａ～＋ｓ｝）である。この構造を抜き、□_ｂ＋に置き換える。このとき生成された語はｂ_～＋（ｐ_－（ｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（ｐ_－（ｂ_～－（σ_～－－，λ_～－）），λ_～－）），λ_～－）），λ_～－）である。
１０．最内部はルートであり、対応する文字はσ_φ～－＋（□_ｂφ～＋）である。生成された語はσ_φ～－＋（ｂ_～＋（ｐ_－（ｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（ｐ_－（ｂ_～－（σ_～－－，λ_～－）），λ_～－）），λ_～－）），λ_～－））である。

以上の手順を実行することにより、図２４（ｂ）の流れパターンに対するＣＯＴ表現
σ_φ～－＋（ｂ_～＋（ｐ_－（ｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（ｐ_－（ｂ_～－（σ_～－－，λ_～－）），λ_～－）），λ_～－，λ_～－））
が与えられることが示された。

（第１実施形態の例３）
図２４（ｃ）に、流れパターンの別の例を示す。第１実施形態に従い、以下に示す手順を実行することにより、この流れパターンのＣＯＴ表現が得られることを示す。

手順：
１．物理境界がないため、ルートは無限遠点である。無限遠点は吸い込み点であり、無限遠点の近傍では非閉軌道が時計回りに回転しているため、ルートに対応する文字は、σ_φ～－－（□_ｂφ～＋）となる。これによりルートが決定された。
２．最内部は吸い込み点であり、その近傍では非閉軌道が反時計回りに回転しているため、対応する文字はσ_～－＋である。この構造を抜き、□_～－に置き換える。このとき生成された語はσ_～－＋である。
３．最内部は吸い込み流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ_～－（□_～－，｛□_ａ～－ｓ｝）である。この構造を抜き、□_ｂ－に置き換える。このとき生成された語はｂ_～－（σ_～－＋，λ_～－）である。
４．最内部は反時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ_＋（□_ｂ＋）である。この構造を抜き、□_～＋に置き換える。このとき生成された語はｐ_＋（ｂ_～－（σ_～－＋））である。
５．最内部は湧き出し流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ_～＋（□_～＋，｛□_ａ～＋ｓ｝）である。この構造を抜き、□_ｂ＋に置き換える。このとき生成された語はｂ_～＋（ｐ_＋（ｂ_～－（σ_～－＋）））である。
６．最内部は時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ_－（□_ｂ－）である。この構造を抜き、□_～－に置き換える。このとき生成された語はｐ_－（ｂ_～＋（ｐ_＋（ｂ_～－（σ_～－＋，λ_～－）），λ_～＋））である。
７．最内部は吸い込み流れで開円環領域となるので、対応する文字はｂ_～－（□_～－，｛□_ａ～－ｓ｝）である。この構造を抜き、□_ｂ－に置き換える。このとき生成された語はｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（ｐ_＋（ｂ_～－（σ_～－＋，λ_～－）），λ_～＋）），λ_～－）である。
８．最内部は反時計回りの周期軌道となるので、対応する文字はｐ_＋（□_ｂ＋）である。この構造を抜き、□_～＋に置き換える。このとき生成された語はｐ_＋（ｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（ｐ_＋（ｂ_～－（σ_～－＋，λ_～＋）），λ_～－）），λ_～－））である。
９．最内部は湧き出し流れで開円環領域なので、対応する文字はｂ_～＋（□_～＋，｛□_ａ～＋ｓ｝）である。この構造を抜き、□_ｂ＋に置き換える。このとき生成された語はｂ_～＋（ｐ_＋（ｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（ｐ_＋（ｂ_～－（σ_～－＋，λ_～＋）），λ_～＋）），λ_～－）），λ_～－）である。
１０．最内部はルートであり、対応する文字はσ_φ～－（□_ｂφ～＋）である。生成された語はσ_φ～－－（ｂ_～＋（ｐ_＋（ｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（ｐ_＋（ｂ_～－（σ_～－＋，λ_～－）），λ_～＋）），λ_～－）），λ_～＋））である。

以上の手順を実行することにより、図２４（ｃ）の流れパターンに対するＣＯＴ表現
σ_φ～－－（ｂ_～＋（ｐ_＋（ｂ_～－（ｐ_－（ｂ_～＋（ｐ_＋（ｂ_～－（σ_～－＋，λ_～－）），λ_～＋）），λ_～－）），λ_～＋））
が与えられることが示された。

（第１実施形態の例４）
図２５（ａ）に、流れパターンの別の例を示す。第１実施形態に従い、以下に示す手順を実行することにより、この流れパターンのＣＯＴ表現が得られることを示す。

手順：
１．ルートは物理境界であり、ルートに対応する文字は、β_φ－（□_ｂ＋，｛□_ｃ＋ｓ｝）となる。これによりルートが決定された。
２．最内部は渦心点なので、対応する文字はσ_±である。この構造を抜き、□_±に置き換える。このときｖ_１－ｖ_７に対応して生成された語はσ_＋とσ_－の計 7 つである。
３．最内部は周期軌道からなる開円環となるので、対応する文字はｂ_±（□_α±）である。さらに親が周期軌道ではないので、この構造を抜き、□_ｂ±に置き換える。このときｖ_１－ｖ_７の周りの周期軌道からなる開円環に対応して生成された語は３つのｂ_＋（σ_＋）と４つのｂ_－（σ_－）の計７つである。
４． 最内部はｂ_＋－となるので、この構造を抜き、□_α＋に置き換える。このときｖ_５を含む構造に対応して生成された語はｂ_＋－（ｂ_＋（σ_＋），ｂ_－（σ_－））である。
５．最内部はｃ_±となるので、この構造を抜き、□_ｃ±ｓに置き換える。このときｖ_１－ｖ_４、ｖ_７を含むに対応して生成された語は２つのｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－）と３つのｃ_－（ｂ_－（σ_－），λ_＋）の計５つである。
６．最内部はβ_＋となるので、この構造を抜き、□_ｃ±ｓに置き換える。このとき、ｃ_３に対応して生成された語はβ_＋｛ｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－）｝である。
７．最内部は周期軌道からなる開円環となるので、対応する文字はｂ_＋（□_α±）である。さらに親がｂ_＋＋であるので、この構造を抜き、□_ｂ＋に置き換える。このときｖ_５－ｖ_７を含む開円環に対応して生成された語はｂ_＋（ｂ_＋－（ｂ_＋（σ_＋），ｂ_－（σ_－）））とｂ_＋（β_＋｛ｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－）｝）である。
８．最内部はｂ_＋＋となるので、対応する文字はｂ_＋＋｛□_ｂ＋，□_ｂ＋｝である。この時生成された語は、以下である。
ｂ_＋＋｛ｂ_＋（ｂ_＋－（ｂ_＋（σ_＋），ｂ_－（σ_－））），ｂ_＋（β_＋｛ｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－）｝）｝

以上と同様の手順を繰り返すことにより、図２５（ａ）の流れパターンに対するＣＯＴ表現
β_φ－（ｂ_＋（β_＋｛ｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－）・ｃ_＋（ｂ_＋（β_＋｛ｃ_＋（ｂ_＋（ｂ_＋＋｛ｂ_＋（ｂ_＋－（ｂ_＋（σ_＋），ｂ_－（σ_－））），ｂ_＋（β_＋｛ｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－）｝）｝））｝），ｃ_－（ｂ_－（σ_－）））｝），｛ｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－）・ｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－）｝）
が与えられることが示される。

（第１実施形態の例５）
図２５（ｂ）に、流れパターンの別の例を示す。第１実施形態に従い、以下に示す手順を実行することにより、この流れパターンのＣＯＴ表現が得られることを示す。

手順:
１．ルートは物理境界とＳ_１であり、ルートに対応する文字は、β_φ２（｛□_ｃ＋ｓ，□_～＋，□_ｃ－ｓ，□_～－，□_γφｓ｝，□_ａｓ）となる。
２．最内部はＳ_１、Ｓ_２とｖ_１－ｖ_９なので、対応する文字はσ_±とσ_～±０である。この構造を抜き、□_±と□_～±に置き換える。
３．最内部は周期軌道からなる開円環となるので、対応する文字はｂ_±（□_α±）である。さらに親が周期軌道ではないので、この構造を抜き、□_ｂ±に置き換える。このときｖ_１－ｖ_７の周りの周期軌道からなる開円環に対応して生成された語は３つのｂ_＋（σ_＋）と４つのｂ_－（σ_－）の計７つである。
４．最内部はｂ_－－となるので、この構造を抜き、□_α－に置き換える。このときｖ_４、ｖ_５を含む構造に対応して生成された語はｂ_－－｛ｂ_－（σ_－），ｂ_－（σ_－）｝である。
５．最内部は周期軌道からなる開円環となるので、対応する文字はｂ_－（□_α－）である。さらに親が周期軌道ではないので、この構造を抜き、□_ｂ－に置き換える。このときｖ_４、ｖ_５の周りの周期軌道からなる開円環に対応して生成された語はｂ_－（ｂ_－－｛ｂ_－（σ_－），ｂ_－（σ_－）｝）である。
６．最内部はｃ_±となるので、対応する文字はｃ_±（□_ｂ±，□_ｃ干ｓ）である。この構造を抜き、□_ｃ±に置き換える。このときｖ_１、ｖ_２、ｖ_６、ｖ_７を含む構造に対応して生成された語はｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－）とｃ_－（ｂ_－（σ_－），λ_＋）である。
７．最内部はａ_±となるので、対応する文字はａ_±（□_ｂ±）である。この構造を抜くが、ｃｌａｓｓ－ａ_２が残っているため□には置き換えない。このとき、ｖ_３とｖ_４、ｖ_５と対応して生成された語はａ_＋（ｂ_＋（σ_＋））とａ_－（ｂ_－（ｂ_－－｛ｂ_－（σ_－），ｂ_－（σ_－）｝））である。
８．最内部はａ_２となるので、対応する文字はａ_２（□_ｃ＋ｓ，□_ｃ－ｓ，□_γ－ｓ）である。この構造を抜き、□_ａｓに置き換える。このときｃ_１、ｃ_２、ｃ_３を含む構造に対応して生成された語はａ_２（λ_＋，λ_－）とａ_２（ｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－），ｃ_－（ｂ_－（σ_－），λ_＋））である。
９．最内部はｃ_２－となるので、対応する文字はｃ_２－（□_ｃーｓ，□_～＋，□_ｃ＋ｓ，□_～ー，□_γーｓ，□_ｃーｓ，□_ａｓ）である。この構造を抜き、□_ｃ－に置き換える。このとき、ｓ_３、ｓ_４を含む構造に対応して生成された語は
ｃ_２－（λ_＋，σ_－０，λ_－，σ_～＋０，λ_～，λ_＋，λ_～）である。
１０．ここでルートが最内部になるので、以下の語を得る。
β_φ２（｛ｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－），σ_～＋０，ｃ_－（ｂ_－（σ_－），λ_＋）・ｃ_２－（λ_＋，σ_－０，λ_－，σ_～＋０，λ_～，λ_＋，λ_～），σ_～－０，λ_～｝，ａ_２（λ_＋，λ_－）・ａ_＋（ｂ_＋（σ_＋））・ａ_２（λ_＋，λ_－）・ａ_－（ｂ_－（ｂ_－－｛ｂ_－（σ_－），ｂ_－（σ_－）｝））・ａ_２（ｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－），ｃ_－（ｂ_－（σ_－），λ_＋）））

以上の手順を実行することにより、図２５（ｂ）の流れパターンに対するＣＯＴ表現
β_φ２（｛ｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－），σ_～＋０，ｃ_－（ｂ_－（σ_－），λ_＋）・ｃ_２－（λ_＋，σ_－０，λ_－，σ_～＋０，λ_～，λ_＋，λ_～），σ_～－０，λ_～｝，ａ_２（λ_＋，λ_－）・ａ_＋（ｂ_＋（σ_＋））・ａ_２（λ_＋，λ_－）・ａ_－（ｂ_－（ｂ_－－｛ｂ_－（σ_－），ｂ_－（σ_－）｝））・ａ_２（ｃ_＋（ｂ_＋（σ_＋），λ_－），ｃ_－（ｂ_－（σ_－），λ_＋）））
が与えられることが示された。

［第２実施形態］
本発明の第２実施形態は、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置である。
図２６に、第２実施形態に係る語表現装置２の機能ブロック図を示す。語表現装置２の語表現生成部２０は、図２２の語表現装置１の構成に加えて、木表現構成手段２２とＣＯＴ表現生成手段２３との間に、組合せ構造抽出手段２４を備える。その他の構成と動作は、語表現装置１と共通である。

組合せ構造抽出手段２４は、与えられた流れパターンから組み合わせ構造を抽出する。第１実施形態の語表現装置１が生成するＣＯＴ表現は多対一対応であるが、本第２実施形態はＣＯＴ表現に組み合わせ構造を付与することにより、一対一対応を得ることができる。

ＣＯＴ表現は局所構造の配置を一意に表現することができる一方，一次元の大域的なつながりの情報を持たない。このため、ＣＯＴ表現は多対１の表現になっている。ここでゼロ次元および二次元の構造は、ＣＯＴ表現で一意に定まることに注意する。一次元の大域的なつながりの情報のことを、以下「組み合わせ構造」と呼ぶ。この構造の情報を十分持っているものとして、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍがある。

ＣＯＴ表現は局所的な構造を完全に記述する。しかしながら、２つの構造があったとき、これらの局所構造が同じであっても、全体の構造が一致するとは限らない。そこでＣＯＴ表現に組合せ構造を付与することで，大域的な構造も決まる結果、構造が１対１に決まる。ただし前述のように、組合せ構造は大域的なつながりの構造の情報のみを持ち、ゼロ次元点構造や二次元構造については何の情報も持たない。従って、これら２つの情報を合わせることにより、局所構造と大域構造の両方が決まり、結果として１対１に構造が決まる。

組合せ構造抽出手段２４は、ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがどのようなｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔにつながっているかをグラフ構造として抜き出す。実際、頂点は、「ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅ」と「ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ」であり、辺はｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘである。ここで、「ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ」は、ｓｉｎｋ、ｓｏｕｒｃｅ、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔのいずれかの構造であった。このグラフは、頂点と辺の数が有限であるような抽象グラフとなっている。ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔを含まない場合は、この抽象グラフは曲面グラフとして実現されている。一方、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔを含む場合は、これらの頂点が周期軌道またはｃｉｒｃｕｉｔとして実現されているため、抽象グラフは曲面グラフとして実現されていない。そのため、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔの補集合を考え、新しくできた境界上のｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔをそれぞれ１点につぶした曲面を考えると、「ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ」は、ｓｉｎｋ、ｓｏｕｒｃｅのみからなり、抽象グラフのｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔに対応する頂点を２つに切って得られる新しい抽象グラフは、曲面グラフとして実現される。２つに切って得られた点の組にラベルを振って、切られたという情報を保持することで、新しく得られた曲面グラフはｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがどのようにｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔに巻きつくかの情報を完全に持っている。従って、この曲面グラフとＣＯＴ表現の組は元のｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの情報を完全に持っている。そこで、この曲面グラフを抽出する。

例えば、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔを含まない場合は、この曲面グラフを抽出する方法として、以下のようなものがある。
１．ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅを抽出する。
２．ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔを抽出する。
３．ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出する。
４．これらの情報から得られる抽象グラフを、平面上の配置に対応するように頂点と辺を配置して、平面グラフを構成する。例えば、図２７の（ａ）と（ｂ）は、同じＣＯＴ表現を持つが、大域的な構造（組合せ構造）が異なるため、異なる流線トポロジーを持つ流れパターンの例である。

一方、一般のｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔを含む場合は、この曲面グラフを抽出する方法として、以下のようなものがある。
１．ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅを抽出する。
２．ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔを抽出する。
３．ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出する。
４．これらの情報から得られる抽象グラフを得る。
５．ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔを除いて、新しい境界上のｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔをそれぞれ一点につぶした曲面を考える。
６．抽象グラフのｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔに対応する点を切って二つの頂点にした抽象グラフを作る。
７．新しく得られた曲面上にはｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔが含まれないので、上記の「ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔを含まない場合」の方法で曲面グラフを構成する。さらに、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔ由来の頂点には、どの点と元々同じ点だったかという情報をラベルとして付与する。

本実施形態によれば、曲面上の任意の流れパターンが与えられたときに、当該流れパターンの１対１表現を得ることができる。

（第２実施形態の例）
以下、図２７を参照して、異なる流線トポロジーを持つ２つの流れパターンに対してＣＯＴ表現を与える手順を説明する。
手順：
１．物理境界がなく、ルートは無限遠点かつ吸い込みである。ルートに対応する文字は、σ_φ－となる。
２．はじめに、最内部は吸い込み点、湧き出し点であり、その近傍では非閉軌道が回転していないため、対応する文字はσ_～±０である。そのため、この構造を抜き、□_～±に置き換える。このとき生成された語はσ_～＋０とσ_～－０の計３つである。
３．次に、最内部はａ_～＋に対応するｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅなので、対応する文字はａ_～＋｛□_～＋，□_～＋｝である。このとき生成された語はａ_～＋｛σ_～＋０，σ_～＋０｝である。
４．次に、最内部はｑ_～－に対応するｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅなので、対応する文字はｑ_～－（□_～－）である。このとき生成された語はｑ_～－（σ_～－０）である。
５．このとき、ルートが最内部になるので、以下の語（ＣＯＴ表現）を得る。
σ_φ－（ｂ_～＋（ａ_～＋｛σ_～＋，σ_～＋｝，ｑ_～－（σ_～－０）））

次に、図２７（ａ）、（ｂ）に示される流れパターンから組合せ構造を抽出する手順を説明する。図２８は、図２７の流れパターンから組合せ構造を抽出する手続きを示す。
手順：
１．ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅであるｖ_４、ｖ_５を抜き出す。
２．ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔである２つのｓｏｕｒｃｅ ｖ_１、ｖ_２と２つのｓｉｎｋ ｖ_３とｖ_６を抽出する（ｖ_６は無限遠点である）。
３．ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出することにより、抽出すべき組合せ構造である曲面グラフが求まる。
この手続きを実行することにより、組合せ構造が抽出される。

このように、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔを含まない場合には、ｓａｄｄｌｅとｓｉｎｋ、ｓｏｕｒｃｅとｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出することにより得られた図２８は、図２７の流れパターンから抽出すべき組合せ構造を示す図である。

一般の場合には、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔの補集合を考えて、新しい境界上のｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔをそれぞれ一点に潰すことにより新しい曲面を構成し、その新しく潰されてできた頂点のラベルと曲面上の曲面グラフの組が、流れパターンから抽出すべき組合せ構造である。

次に、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ／ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔが存在する場合について、図２９の左側に示される流れパターンから右側に示される組合せ構造を抽出する手順を説明する。
手順：
１．ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅであるｖ_４、ｖ_５、ｖ_９を抜き出す。
２．ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔである３つｓｏｕｒｃｅ ｖ_１、ｖ_２、ｖ_８と２つのｓｉｎｋ ｖ_３とｖ_７とｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ Ｏ_６を抽出する。
３．ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ Ｏ_６を取り除き中央図に示されるＯ_６の補集合を得る。
４. 新しい２つの境界をそれぞれ１点に潰して、右図に示される新しい曲面を得る。
５． ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出することにより、抽出すべき組合せ構造である曲面グラフが求まる。

［第３実施形態］
本発明の第３実施形態は、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現方法である。この方法は、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータによって実行される。
図３０に、第３実施形態に係る語表現方法のフローを示す。本方法は、与えられた流れパターンのルートを決定するステップＳ１と、当該流れパターンの木表現を構成するステップＳ２と、当該流れパターンのＣＯＴ表現を生成するステップＳ３と、を備える。

ステップＳ１で本方法は、与えられた流れパターンのルートを決定する。ルート決定の具体的な処理は、第１実施形態で説明したものと共通であるので、詳細な説明は省略する。

ステップＳ２で本方法は、与えられた流れパターンの木表現を構成する。木表現構成の具体的な処理は、第１実施形態のステップＳ１０～ステップＳ５３と共通であるので、詳細な説明は省略する。

ステップＳ３で本方法は、ステップＳ２で構成された木表現をＣＯＴ表現に変換する。

本実施形態によれば、二次元領域における任意の流れパターンが与えられたときに、当該流れパターンのＣＯＴ表現を得る、すなわち当該流れパターンを文字化することができる。

［第４実施形態］
本発明の第４実施形態は、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータに処理を実行させるプログラムである。このプログラムは、図３０に示されるフローをコンピュータに実行させる。すなわち本プログラムは、与えられた流れパターンのルートを決定するステップＳ１と、当該流れパターンの木表現を構成するステップＳ２と、当該流れパターンのＣＯＴ表現を生成するステップＳ３と、をコンピュータに実行させる。

本実施形態によれば、二次元領域における任意の流れパターンが与えられたときに、当該流れパターンのＣＯＴ表現を得る、すなわち当該流れパターンを文字化するプログラムをソフトウェアに実装できるので、コンピュータを用いて精度の高い語表現を実現することができる。

［第５実施形態］
本発明の第５実施形態は、構造物形状の学習方法である。以下、流体の例として河川を取り上げて説明する。

図３１は、河川の地形図を基にシミュレーションにより得られた流れパターンと、そのＣＯＴ表現とを示す。図３１に示される通り、河床の深さや形状が変化する場所では、川の表面の流れに吸い込みや湧き出しを伴う渦が発生する。このような渦は、例えば河川交通の障害となる場合がある。船の安全な航行や防災上の観点からは、こうした渦を除去し、できるだけ一様な流れに整流できることが望ましい。しかしながら、渦を消そうとして浚渫や土砂投入などを行っても、河川の形状の複雑さに起因して、予想外の場所に新たな吸い込みや湧き出しが発生してしまう場合がある。本実施形態は、構造物の周囲に発生する流れパターンを語表現化して、この語表現と構造物形状との関係を人工知能（以下、「ＡＩ」という）に学習させることにより、流れを制御するために最適な構造物形状を計算することを目的とする。

図３２に、第５実施形態に係る構造物形状の学習方法のフローを示す。本方法は、流体中の構造物の周囲に発生する流れパターンの流線構造を語表現するステップＳ１１０と、当該語表現を入力とし、構造物の三次元形状が出力されるようＡＩで学習するステップＳ１２０と、を備える。

ステップＳ１１０で本方法は、流体中の構造物の周囲に発生する流れパターンの流線構造を語表現化する。流体は例えば河川等であり、構造物は例えば当該河川の河床、河岸、岩礁等である。語表現は、流れパターンを例えば図２２の語表現装置１に入力することによって得られるＣＯＴ表現である。

ステップＳ１２０で本方法は、当該語表現を入力とし、構造物の三次元形状が出力されるようＡＩで学習する。ＡＩの具体的な手法は特に限定されないが、例えば畳み込みニューラルネットワーク（Ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋ：ＣＮＮ）、再帰形ニューラルネットワーク（Ｒｅｃｕｒｒｅｎｔ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋ：ＲＮＮ）、ＬＳＴＭネットワーク（Ｌｏｎｇ Ｓｈｏｒｔ Ｔｅｒｍ Ｍｅｍｏｒｙ：ＬＳＴＭ）などのニューラルネットワークを用いてもよく、この場合入力層を共通にした上で計算モデルごとに異なるニューラルネットワークを混在させてもよい。本実施形態では、構造物の三次元形状と流れパターンの語表現との組を大量に用意し、これらを学習データとしてＡＩに学習させる。これによりＡＩは、流れパターンの語表現を入力したときに、当該流れパターンを実現する構造物の三次元形状を計算して出力することができる。

本実施形態に係る構造物形状の学習方法の作用および効果を説明する。例えばステップＳ１２０において、構造物の三次元形状と流れパターンを学習データとして直接ＡＩに学習させようとしても、実際には学習は困難である。これは、流れパターンそのものはデータ構造として複雑すぎるためである。これに対して、本実施形態は、流れパターンの流線構造を一旦語表現した上で、この語表現と構造物の三次元形状とを学習データとするところに特徴を持つ。すなわち、複雑な流れパターンをＣＯＴ表現のような有限な文字列で表現することにより、データ構造がシンプルになるため、ＡＩによる学習が可能となる。このように、本実施形態によれば、ＡＩによる学習を利用して、流体の流れを制御するために最適な構造物形状を得ることができる。

［第６実施形態］
本発明の第６実施形態は、構造物の形状設計方法である。図３３に、第６実施形態に係る構造物設計方法のフローを示す。本方法は、第１実施形態に記載の語表現装置を用いて、目的とする流れパターンの流線構造を語表現するステップＳ１３０と、当該目的とする流れパターンの語表現を第５実施形態に記載の学習済みＡＩに入力するステップＳ１４０と、当該目的とする流れパターンを実現する構造物の三次元形状を学習済みＡＩで計算して出力するステップＳ１５０と、を備える。

ステップＳ１３０で本方法は、第１実施形態に記載の語表現装置を用いて、目的とする流れパターンの流線構造を語表現化する。このとき、例えばユーザが描画ソフトを用いて河川の地形図に所望の流れパターンを描画し、この流れパターンを例えば図２２の語表現装置１に読み取らせることによってＣＯＴ表現を得てもよい。図３４に、図３１の地形図に対してユーザが描画した望ましい流れパターンと、そのＣＯＴ表現とを示す。

ステップＳ１４０で本方法は、ステップＳ１３０で作成された目的とする流れパターンの語表現（ＣＯＴ表現）を第５実施形態に記載の学習済みＡＩに入力する。

ステップＳ１５０で本方法は、ステップＳ１４０で入力された目的とする流れパターンの語表現から、ステップＳ１２０での学習結果に基づいて、当該語表現を実現するために最適な構造物の形状を学習済みＡＩから出力する。この出力結果に基づいて、例えば浚渫、土砂投入、消波ブロック等の設置などを行って目的とする構造物を形成することにより、現状の河川の三次元形状が修正され、望ましい流れパターンを得ることができる。

本実施形態によれば、目的とする流れパターンを入力することにより、この流れパターンを実現する構造物の具体的な三次元形状を得ることができる。

なお、ＡＩからの出力結果に基づいて、例えば多数の魚礁を設置して目的とする構造物を形成したような場合は、この構造物の形状がＡＩの出力した理想的な形状に対して誤差を持つことがある。このような場合、形成した構造物によって実現される流れパターンをシミュレーションにより描画し、その流線構造を語表現してもよい。その上でこの語表現を、ＡＩの出力した理想的な形状から得られる流れパターンの流線構造の語表現と比較してもよい。この比較の結果、所望の流れパターンの語表現が実現できていなかった場合は、その時点における形状図面に所望の流れパターンを描画し、再度ステップＳ１３０～ステップＳ１５０の処理を行ってもよい。このような確認・修正作業を必要に応じて繰り返し行うことにより、より精度の高い構造物設計をすることができる。

以上述べた手法は河川の流れの制御に限定されない。構造物の形状とその周囲の流体の流れのＣＯＴ表現との関係をＡＩに学習させておいた上で、目標とする流体の流れパターンのＣＯＴ表現をＡＩに入力すれば、望ましい構造物の形状を出力することができる。これは、例えば燃焼効率の高いエンジンの設計や、推力の高いスクリュー形状の設計などに応用することも可能である。

以上、本発明のいくつかの実施形態をもとに説明した。これらの実施形態は例示であり、いろいろな変形および変更が本発明の特許請求の範囲内で可能なこと、またそうした変形例および変更も本発明の特許請求の範囲にあることは当業者に理解されるところである。従って、本明細書での記述および図面は限定的ではなく例証的に扱われるべきものである。

［変形例１］
第１または第２実施形態の語表現装置は、与えられた流れパターンの画像を取得する画像取得部（例えば、カメラ等）を備えてもよい。画像取得部により取得された画像は語表現生成部に送信され、前述の処理によって語表現が与えられる。本変形例によれば、流れパターンの画像が与えられたときに、これを取り込んで語表現を得ることができる。

［変形例２］
第１または第２実施形態の語表現装置は、変形例１の画像取得部に加えて、画像認識部を備えてもよい。画像取得部により取得された画像は画像認識部に送信され、画像内の流体構造が認識される。認識された流体構造は、語表現部に送信され、前述の処理によって語表現が与えられる。本変形例によれば、流れパターンの画像が与えられたときに、画像内の流体構造を認識することにより、正確な語表現を得ることができる。

変形例は実施の形態と同様の作用・効果を奏する。

上述した各実施形態と変形例の任意の組み合わせもまた本発明の実施形態として有用である。組み合わせによって生じる新たな実施形態は、組み合わされる各実施形態および変形例それぞれの効果をあわせ持つ。

本発明は、医療画像の解析、建築物や工業製品の設計、気象予測、河川や海面の流体分析による災害対策や漁業に利用可能である。

１・・語表現装置
２・・語表現装置
１０・・記憶部
２１・・ルート決定手段
２２・・木表現構成手段
２３・・ＣＯＴ表現生成手段
２４・・組合せ構造抽出手段
Ｓ１・・ルートを決定するステップ
Ｓ２・・木表現を構成するステップ
Ｓ３・・ＣＯＴ表現を生成するステップ
Ｓ１１０・・流体中の構造物の周囲に発生する流れパターンの流線構造を語表現するステップ
Ｓ１２０・・語表現を入力とし、構造物の三次元形状が出力されるようにＡＩで学習するステップ
Ｓ１３０・・第１実施形態に記載の装置を用いて、目的とする流れパターンの流線構造を語表現するステップ
Ｓ１４０・・目的とする流れパターンの語表現を第５実施形態に記載の学習済みＡＩに入力するステップ
Ｓ１５０・・目的とする流れパターンを実現する構造物の三次元形状をＡＩで計算して出力するステップ

Claims (10)

1. 二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置であって、記憶部と、語表現生成部と、を備え、
   前記記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、
   前記語表現生成部は、ルート決定手段と、木表現構成手段と、ＣＯＴ表現生成手段と、を備え、
   前記ルート決定手段は、与えられた流れパターンのルートを決定し、
   前記木表現構成手段は、前記与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、前記記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、前記流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、前記与えられた流れパターンの木表現を構成し、
   前記ＣＯＴ表現生成手段は、前記木表現構成手段によって構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、前記与えられた流れパターンの語表現を生成する語表現装置。
2. 前記流れパターンを構成する流線構造のうち、基本構造は、σ_φ±、σ_φ～±０、σ_φ～±±、σ_φ～±干、β_φ±およびβ_φ2である請求項１に記載の語表現装置。
3. 前記流れパターンを構成する流線構造のうち、二次元構造は、ｂ_～±およびｂ_±である請求項１または２に記載の語表現装置。
4. 前記流れパターンを構成する流線構造のうち、ゼロ次元点構造は、σ_～±０、σ_～±±、σ_～±干である請求項１乃至３のいずれかに記載の語表現装置。
5. 前記流れパターンを構成する流線構造のうち、一次元構造は、ｐ_～±、ｐ_±、ａ_±、ｑ_±、ｂ_±±、ｂ_±干、β_±、ｃ_±、ｃ_２±、ａ_２、γ_φ～±、γ_～±±、ａ_～±およびｑ_～±である請求項１乃至４のいずれかに記載の語表現装置。
6. 前記語表現生成部は、組合せ構造抽出手段をさらに備え、
   前記組合せ構造抽出手段は、前記与えられた流れパターンから組み合わせ構造を抽出することにより、前記与えられた流れパターンの一対一対応の語表現を生成する請求項１乃至５のいずれかに記載の語表現装置。
7. 記憶部と語表現生成部とを備えたコンピュータによって実行される、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現方法であって、
   前記記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、
   前記語表現生成部は、ルート決定ステップと、木表現構成ステップと、ＣＯＴ表現生成ステップと、を実行し、
   前記ルート決定ステップは、与えられた流れパターンのルートを決定し、
   前記木表現構成ステップは、前記与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、前記記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、前記流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、前記与えられた流れパターンの木表現を構成し、
   前記ＣＯＴ表現生成ステップは、前記木表現構成ステップで構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、前記与えられた流れパターンの語表現を生成する語表現方法。
8. 記憶部と語表現生成部とを備えたコンピュータに処理を実行させるプログラムであって、
   前記記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、
   与えられた流れパターンのルートを決定するルート決定ステップと、
   前記与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、前記記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、前記流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、前記与えられた流れパターンの木表現を構成する木表現構成ステップと、
   前記木表現構成ステップで構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、前記与えられた流れパターンの語表現を生成するＣＯＴ表現生成ステップと、を前記語表現生成部に実行させるプログラム。
9. 二次元領域における流体内の構造物の形状を学習する方法であって、
   請求項１に記載の語表現装置を用いて、流体中の構造物の周囲に発生する流れパターンの流線構造を語表現するステップと、
   前記語表現を入力とし、前記構造物の三次元形状が出力されるようＡＩで学習するステップと、を備える学習方法。
10. 二次元領域における流体内の構造物を設計する構造物設計方法であって、
    請求項１に記載の語表現装置を用いて、目的とする流れパターンの流線構造を語表現するステップと、
    前記目的とする流れパターンの語表現を請求項９に記載の学習済みＡＩに入力するステップと、
    前記目的とする流れパターンを実現する構造物の三次元形状を前記学習済みＡＩで計算して出力するステップと、を備える構造物設計方法。

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