CN104615905A - 一种多容惯性过程惯性时间常数的确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种多容惯性过程惯性时间常数的确定方法，包括以下步骤：1)将多容惯性过程设计为期望的多容惯性标准传递函数；2)基于部分分式分解和拉氏逆变换，求取步骤1)中的多容惯性标准传递函数在对应激励作用下的输出响应；3)基于调整时间的定义和含积分型余项的泰勒定理，求解多容惯性过程的惯性时间常数。与现有技术相比，本发明基于完备的理论分析和推导，所计算的惯性时间常数更精确、计算更简单，更易推广应用到含零点的高阶多容惯性过程。

Description

一种多容惯性过程惯性时间常数的确定方法

技术领域

本发明涉及自动控制系统时域分析技术领域，尤其是涉及一种多容惯性过程惯性时间常数的确定方法。

背景技术

在经典自动控制理论中，除了根轨迹法、频率特性法和状态反馈极点配置法，还有一种标准传递函数设计法用于控制器的设计。只要将含有控制器和受控对象的闭环传递函数设计为具有理想性能的标准传递函数，控制器的参数就可通过简单的代数运算求取。然而，在应用多容惯性标准传递函数时必须事先确定惯性单元的惯性时间常数。在线性系统的时域分析中，惯性时间常数是表征系统惯性的一个主要参数。在工程应用中，其物理意义更直观，更容易让工程技术人员理解并灵活应用。

常用的一阶惯性环节，其惯性时间常数为当输出达到输入的63.2％时所需的时间，即为调整时间的1/3。对于n阶多容惯性环节，工程上常用的经验公式为惯性时间常数取调整时间的1/(3n)。只要确定了控制系统期望的调整时间，就能算出多容惯性过程的惯性时间常数。不过，此方法只针对不含零点的1型多容惯性过程，算法尚未经过严谨的理论推导，所得结果较为粗糙。当滞后阶数较大时，所估计的结果误差较大。

发明内容

本发明的目的是为了解决多容惯性过程惯性时间常数的精确确定问题，针对传统经验公式计算粗略、误差大的缺点，而提供一种多容惯性过程惯性时间常数的确定方法。基于完备的理论分析和推导，所计算的惯性时间常数更精确、计算更简单，更易推广应用到含零点的高阶多容惯性过程。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种多容惯性过程惯性时间常数的确定方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)将多容惯性过程设计为期望的多容惯性标准传递函数；

2)基于部分分式分解和拉氏逆变换，求取步骤1)中的多容惯性标准传递函数在对应激励作用下的输出响应；

3)基于调整时间的定义和含积分型余项的泰勒定理，求解多容惯性过程的惯性时间常数。

所述的步骤1)具体为：

期望的多容惯性标准传递函数是指具有期望性能的多容惯性过程的闭环传递函数，具有可含零点、惯性环节相同的特征，定义为：

$G_{M,n}\left(s\right)=\frac{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{C}_n^{n-i}{T}^i{s}^i}{{(\mathrm{Ts}+1)}^n}$

其中s为复变量，G_M,n(s)为期望的多容惯性标准传递函数，M为系统的型次，M＝1,2,3且M＝m+1，m和n分别表示分子和分母多项式的阶次，m＝0,1,2，n≥2且n＞m，为二项式系数，T为惯性时间常数。

所述的多容惯性标准传递函数包括1、2、3型多容惯性标准传递函数。

所述的步骤2)具体为，1、2、3型多容惯性标准传递函数在对应激励作用下的响应分别为：

1型多容惯性标准传递函数的单位阶跃响应：

2型多容惯性标准传递函数的单位斜坡响应：

3型多容惯性标准传递函数的单位抛物线响应：

$y\left(t\right)=\frac{t^2}{2}+\frac{e^{-\frac{t}{T}}}{T^n}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{t^{n-1-i}}{i!(n-1-i)!}\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^{k-(i+3)}{C}_n^k{T}^{i+3}\underset{j=1}{\overset{i}{\mathrm{\Π}}}(k-(j+2))$

其中t为时间变量，y(t)为t时刻的响应值，n为分母多项式的阶次，为二项式系数，T为惯性时间常数。

所述的步骤3)具体为：

由线性系统±5％误差带的调整时间的定义建立其与惯性时间常数的关系分别为：

1型多容惯性标准传递函数：

2型多容惯性标准传递函数：

3型多容惯性标准传递函数：

$\frac{t_s^2}{2}+e^{-\frac{t_s}{T}}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{t_s^{n-1-i}}{i!(n-1-i)!T^{n-(i+3)}}\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^{k-(i+3)}{C}_n^k\underset{j=1}{\overset{i}{\mathrm{\Π}}}(k-(j+2))=0.95\·\frac{t_s^2}{2}$

其中t_s为调整时间，T为惯性时间常数，n为分母多项式的阶次，为二项式系数；

基于泰勒定理，将惯性时间常数方程中指数型表达式泰勒展开为含积分型余项的泰勒展开式，并运用Gamma累积分布函数的定义，求得1、2、3型多容惯性过程的惯性时间常数可用调整时间分别表达为：

1型多容惯性标准传递函数的惯性时间常数：

2型多容惯性标准传递函数的惯性时间常数：

3型多容惯性标准传递函数的惯性时间常数：

其中t_s为调整时间，T为惯性时间常数，n为分母多项式的阶次， $F^{-1}\left(p\right|a,b)=\{x:F\left(x\right|a,b)=p=\frac{1}{b^a\mathrm{\Γ}\left(a\right)}{\∫}_0^x{t}^{a-1}{e}^{-\frac{t}{b}}\mathrm{dt}\}$ 为Gamma累积分布函数的逆，其中p为设定的概率值，a,b为正实数，x为正实变量，Γ(·)为Gamma函数。

与现有技术相比，本发明基于严谨的数学推导和仿真验证，其优点在于公式简单易行，能精确地表征多容惯性过程惯性时间常数的解析解。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。

在多容惯性过程惯性时间常数公式的验证过程中，采用探讨其调整时间的计算精度来验证公式的正确性。假设惯性时间常数T分别为1和10，用所提出的公式和建立系统仿真求解的方式分别求得调整时间如表1所示，其中和分别表示调整时间的仿真测量值和本发明的公式计算值。由表1可见，本发明提出的惯性时间常数计算式所得结果与其测量值几乎完全一致，具有精确的计算性能。

表1

Claims (5)

1.一种多容惯性过程惯性时间常数的确定方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)将多容惯性过程设计为期望的多容惯性标准传递函数；

2)基于部分分式分解和拉氏逆变换，求取步骤1)中的多容惯性标准传递函数在对应激励作用下的输出响应；

3)基于调整时间的定义和含积分型余项的泰勒定理，求解多容惯性过程的惯性时间常数。

2.根据权利要求1所述的一种多容惯性过程惯性时间常数的确定方法，其特征在于，所述的步骤1)具体为：

期望的多容惯性标准传递函数是指具有期望性能的多容惯性过程的闭环传递函数，具有可含零点、惯性环节相同的特征，定义为：

$G_{M,n}\left(s\right)=\frac{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{C}_n^{n-i}{T}^i{s}^i}{{(\mathrm{Ts}+1)}^n}$

其中s为复变量，G_M,n(s)为期望的多容惯性标准传递函数，M为系统的型次，M＝1,2,3且M＝m+1，m和n分别表示分子和分母多项式的阶次，m＝0,1,2，n≥2且n＞m，为二项式系数，T为惯性时间常数。

3.根据权利要求1所述的一种多容惯性过程惯性时间常数的确定方法，其特征在于，所述的多容惯性标准传递函数包括1、2、3型多容惯性标准传递函数。

4.根据权利要求3所述的一种多容惯性过程惯性时间常数的确定方法，其特征在于，所述的步骤2)具体为：

1、2、3型多容惯性标准传递函数在对应激励作用下的响应分别为：

1型多容惯性标准传递函数的单位阶跃响应：

2型多容惯性标准传递函数的单位斜坡响应：

3型多容惯性标准传递函数的单位抛物线响应：

$y\left(t\right)=\frac{t^2}{2}+\frac{e^{-\frac{t}{T}}}{T^n}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{t^{n-1-i}}{i!(n-1-i)!}\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^{k-(i+3)}{C}_n^k{T}^{i+3}\underset{j=1}{\overset{i}{\mathrm{\Π}}}(k-(j+2))$

其中t为时间变量，y(t)为t时刻的响应值，n为分母多项式的阶次，为二项式系数，T为惯性时间常数。

5.根据权利要求3所述的一种多容惯性过程惯性时间常数的确定方法，其特征在于，所述的步骤3)具体为：

由线性系统±5％误差带的调整时间的定义建立其与惯性时间常数的关系分别为：

1型多容惯性标准传递函数：

2型多容惯性标准传递函数：

3型多容惯性标准传递函数：

$\frac{t_s^2}{2}+e^{-\frac{t_s}{T}}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{t_s^{n-1-i}}{i!(n-1-i)!T^{n-(i+3)}}\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{-1}^{k-(i+3)}{C}_n^k\underset{j=1}{\overset{i}{\mathrm{\Π}}}(k-(j+2))=0.95\·\frac{t_s^2}{2}$

其中t_s为调整时间，T为惯性时间常数，n为分母多项式的阶次，为二项式系数；

基于泰勒定理，将惯性时间常数方程中指数型表达式泰勒展开为含积分型余项的泰勒展开式，并运用Gamma累积分布函数的定义，求得1、2、3型多容惯性过程的惯性时间常数可用调整时间分别表达为：

1型多容惯性标准传递函数的惯性时间常数：

2型多容惯性标准传递函数的惯性时间常数：

3型多容惯性标准传递函数的惯性时间常数：

其中t_s为调整时间，T为惯性时间常数，n为分母多项式的阶次，为Gamma累积分布函数的逆，其中p为设定的概率值，a,b为正实数，x为正实变量，Γ(·)为Gamma函数。