CN104598682A - 一种等效结点荷载的通用精确积分计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种等效结点荷载的通用精确积分计算方法。首先对四边形单元面受水压力作用情况采用混合离散化原理，将其等效拆成三角形叠加形式；然后对三角形单元面受水压力作用的等效结点力计算，采用叠加计算进而求得等效结点力；最后将等效结点力施加到模型上，进行数值分析。与现有的技术相比，本发明克服了由于单元结点有一部分在水上一部分在水下等情况计算的困难，可以很好地为工程数值模拟提供服务，具有很强的实用性。

Description

一种等效结点荷载的通用精确积分计算方法

技术领域

本发明专利属于土木工程等工科数值分析领域，具体涉及一种将荷载转化为等效结点力的计算方法。

背景技术

工程结构承受的荷载大都是分布荷载，结构分析依赖于现代的数值方法和计算工具。从上世纪60年代起，随着有限单元法的发展与完善，工程上已经将它作为一种强有力的分析计算方法。在有限元计算中，把模型离散成网格，结点和单元，荷载需要通过转化为结点力的方式加载到模型中去。传统的有限元计算过程中需要把所有的体力和分布面力通过积分的方式按照静力等效的原则移置到结点上，当单元受水压力作用下，需要考虑单元结点与水位的关系，使用传统的方法难以快速方便的将其转化为等效结点力。随着工程尺度与网格数目的大幅度增加，如何快速地把复杂的荷载分配到适当的结点上去，是有限元分析获得正确确结果的关键，因此分布载荷离散自动化具有十分重要的意义。

发明内容

发明目的：本发明的目的在于提供一种等效结点荷载的通用精确积分计算方法。有限元模型的网格划分达到一定要求后，水压力可以通过计算直接分配到有限元模型的单元的结点上。有限元分析时单元是规则的单元，一般是三角形或四边形单元。因为四边形单元可以基于混合离散化原理通过连接对角顶点的方法来转化成三角形单元来计算，因此本发明重点对水压力的作用在三角形单元上进行分析计算。

技术方案：包括以下实施步骤：

(1)将任意结点数量的单元剖分为多组单纯性组合，平面问题对应的单元为三角形或四边形单元，三维问题对应的单元为四面体或六面体单元；

(2)基于单纯性的简单性，计算单纯性在任意分布荷载作用下的结点力；

(3)计算基于多种单纯性组合的最终等效结点力；

(4)将最终等效结点力施加到模型上，进行数值分析。

根据权利要求1所述的等效结点荷载的通用精确积分计算方法，其特征在于：所述步骤(1)中将任意结点数量的单元采用单纯性进行多次不同的剖分，将每次的剖分结果进行标记。

根据权利要求2所述的等效结点荷载的通用精确积分计算方法，其特征在于：将四边形单元按混合离散化原理拆分为三角形叠加。

具体地，所述步骤(2)计算单纯性在任意分布荷载作用下的结点力具体步骤包括：

(2.1)将单纯性N个结点的荷载作用分布划分为N+1种情况；

(2.2)结合静力等效原理，得到N+1种荷载分布情况下结点力的计算公式；

对于三角形受水压力荷载作用的四种情况：

a单元面的三个结点都位于水位面上时， F1=0,F2=0,F3=0；

b单元面的三个结点都位于水位面下时，

F1=P1*area/6+P2*area/12+P3*area/12,

F2=P1*area/12+P2*area/6+P3*area/12,

F3=P1*area/12+P2*area/12+P3*area/6；

c单元面的第一结点位于水位面上，第二、第三结点位于水位面以下时,

F1=(F4’*H4+F5’*H5)/H1，

F2=(F2’*H2+F4’*H6)/H2，

F3=(F3’*H3+F5’*H7)/H3；

d单元面的第二结点位于水位面以下，

当第一结点位于水位面上，第三结点刚好切于水平面时，

F1=P2*A7*H4/H1/12，

F2=(P2*A7*H2/6+ P2*A7*H5/12)/H2，

F3=F3’；

当第一结点与第三结点都位于水位面上时，

F1=P2*A7*H4/H1/12，

F2=(P2*A7*H2/6+P2*A7*H5/12+P2*A7*H7/12)/H2，

F3=P2*A7*H6/H3/12；

式中，F1、F2、F3、F2’、F3’、F4’、F5’分别为各结点的等效结点力，area、A1、A2、A3为三角形单元的面积，H1、H2、H3、H4、H5、H6、H7分别为各结点到对应边上的高，P1、P2、P3为各结点处的压强。

具体地，所述步骤(3)中所建立的基于多种单纯性组合的最终等效结点力计算方法，是结合积分公式，分别计算每种组合下每个结点对应的结点力，通过对相应组合结果进行叠加，进而得到最终的等效结点力

有益效果：本发明通过改进分布外载荷自动离散化的方法，提出一种等效结点荷载的通用精确积分计算方法，不仅可以处理平面问题，同时也适用于空间问题，可以快速地将静水压力转化为等效结点力，从而可以实现分布载荷离散自动化。

附图说明

图1是本发明的设计流程图；

图2是本发明实施例中三角形单元三种受载情况；

图3是三角形单元及载荷分布；

图4是三角形单元三结点位于水下及其拆分方式；

图5是三角形单元两结点位于水下及其拆分方式；

图6是三角形单元结点到对边的高；

图7是三角形单元一结点位于水下及结点到对边；

图8是四边形单元表示成三角形单元的拆分方式；

图9是本发明实施例的计算模型；

图10是坝面计算应力云图。

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明进行详细说明：

本实施例的计算流程如图1所示，包括以下步骤：

第一步：三角形单元面受水压力作用的等效结点力计算

在有限元模型任意取出某个单元,由于单元所处的位置和布置方位的不同,三角形单元上通常受到如图2所示的三种可能的载荷情况：a单元面的三个结点位于水位面下，如图2(a)所示；b单元面的两个结点均位于水位面以下，如图2(b)所示；c单元面的一个结点位于水位面以下，如图2(c)所示。得到如图3所示的三角形单元及载荷分布。

（1）单元面的三个结点位于水位面上或水位面下。

step1:若单元面的三个结点都位于水位面以上，其三个结点的等效结点荷载分别为：F1=0、F2=0、F3=0。

step2：在三角形区域内，假定载荷沿三角形平面坐标轴x，y呈线性分布，则单元的压力分布式：

             （1）

其中的参数可以根据各点压强求出。垂直于三角形区域的总压力可以由三个顶点的结点力来等效力,三个结点力可以根据式（2）计算。

             （2）

式中：

-—各结点力（i=1，2，3）；

—受载区域中心到各顶点对边的距离；

—受载顶点到各边的距离

是影阴面积围成的载荷多面体的形心坐标，也就是单元面上的载荷的形心。

三角形单元受垂直分布的线性分布荷载作用，如图3所示，结点A的压强为P1，结点B和结点C的压强均为0，即P2=P3=0。设三角形单元的面积为area。根据上式可以求出作用在3个结点的等效结点荷载大小分别为F1=q*area/6，F2=q*area/12，F3=q*area/12，力的方向垂直于单元面（F1、F2和F3分别是结点1、2、3处的等效结点力），并且可以发现F1:F2:F3=2:1:1。

若单元面的三个结点位于水位面下，单元面所受的压强分布见图4(a)，结点分别是1、2、3与其对应的面力集度为P1、P2、P3。设水位线高度为water_level，水的密度为p，z2、z3分别为结点2、3处的高度，其三个结点处的压强可以用分别表示为：P1=p*g*(water_level-z1)，P2=p*g*(water_level-z2)，P3=p*g*(water_level-z3)。

根据上面所述的结论，对于图4(b)来说，其三个结点的等效结点荷载分别为：F1=P1*area/6、F2=P1*area/12、F3=P1*area/12；对于图4(c)来说，其三个结点的等效结点荷载分别为：F1=P2*area/12、F2=P2*area/6、F3=P2*area/12；对于图4(d)来说，其三个结点的等效结点荷载分别为：F1=P3*area/12、F2=P3*area/12、F3=P3*area/6。

对于图4(a)来说，根据静力等效原理，其等效结点荷载为图4(b,c,d)三部分的等效结点荷载之和，因此，其三个结点的等效结点力分别为：F1=P1*area/6+P2*area/12+P3*area/12,F2=P1*area/12+P2*area/6+P3*area/12,F3=P1*area/12+P2*area/12+P3*area/6。

(2)单元面的两个结点均位于水位面以下。

如图5(a)所示，结点分别为1、2、3，单元面的两个结点均位于水位面以下，单元面与水位面的交界面过1、2结点连线交于结点4，过结点1、3连线交于结点5，连接结点4、5的交线将单元面分解为A1和A2两部分。单元面所受的压强作用于A2面域上，其分布形式见图5(b)、5(c)所示，设水位线高度为water_level，水的密度为p，z1、z2、z3分别为结点1、2、3处的高度，则结点2、3、4、5处的压强分别可以表示为：P2=p*g*(water_level-z2)，P3=p*g*(water_level-z3)，P4=P5=0。在这种情况下，单元面的等效结点力可以通过下面两步得到：

Step1:基于混合离散化原理将A2面域及其上分布的压强分解为四部分(A3,A4,A5,A6)之和的一半，如图5所示。

如图5(b)，5（c）所示，连接结点4和结点3，将面积为A2的面域分解为A3和A4两部分，设两部分的面积分别为A3和A4；以及连接结点5与结点2，将面域A2分解为A5和A6两部分，设两部分的面积分别为A5和A6。则A2为A3,A4,A5和A6之和的一半。其中5(b)可分解5(d)和5(e),5(c)可分解5(f)和5(g)。其上相应分布的压强见图5(c-g)。可以利用(1)中所述的方法分别计算这四部分的等效结点力。

在图5(d)中，结点2的等效结点力荷载F2’=P2*A3/6+P3*A3/12，结点3的等效结点荷载F3’=P2*A3/12+P3*A3/6，结点4的等效结点荷载F4’=P2*A3/12+P3*A3/12；在图5(e)中，结点3的等效结点荷载F3’=P3*A4/6，结点4的等效结点荷载F4’=P3*A4/12，结点5的等效结点荷载F5’=P3*A4/12；则图5(f)中结点2的等效结点荷载F2’=P2*A5/6，结点4的等效结点荷载F4’=P2*A5/12，结点5的等效结点荷载F5’=P2*A5/12，在图5(g)中，结点2的等效结点荷载F2’=P2*A6/6+P3*A6/12，结点3的等效结点荷载F3’=P2*A6/12+P3*A6/6，结点5的等效结点荷载F5’=P2*A6/12+p3*A6/12。

在图5(a)中，将5(b)，5(c)计算的叠加得到结点2的等效结点荷载为F2’=(P2*A3/6+P3*A3/12+P2*A5/6+P2*A6/6+P3*A6/12)/2，结点3的等效结点荷载为F3’=( P2*A3/12+P3*A3/6+P3*A4/6+P2*A6/12+P3*A6/6)/2，结点4的等效结点荷载为F4’=(P2*A3/12+P3*A3/12+P3*A4/12+P2*A5/12)/2，结点5的等效结点荷载为F5’=(P3*A4/12+P2*A5/12+P2*A6/12+P3*A6/12)/2。

Step 2：求解单元面的等效结点力。

设Step1计算出的结点2和结点3及结点4和5的作用力大小分别为F2’、F3’、F4’、F5’。如图6所示，H1、H2、H3、H4、H5、H6、H7分别为各结点到对应边上的高，根据静力等效原理，计算出三角形单元的三个结点的等效结点力力。

结点1的等效结点力F1=(F4’*H4+F5’*H5)/H1；结点2的等效结点力F2=(F2’*H2+F4’*H6)/H2；结点3的等效结点力F3=(F3’*H3+F5’*H7)/H3。

(3)单元面的一个结点位于水位面以下。

单元面的一个结点位于水位面以上，水位面与单元面相交，交线将单元面分解为A7和A8两部分，设两部分的面积分别为A7和A8，设水位线高度为water_level，水的密度为p，z2为结点2处的高度。其单元面上的压强分布形式有两种类型：第一种类型的压强分布形式见图7(a)所示，其中P2=p*g*(water_level-z2)，P3=P4=P5=0，各结点到对边的高分别为H1、H2、H3、H4和H5，如图7（c）所示；第二种类型的压强分布形式见图7(b)所示，其中P2=p*g*(water_level-z2)，P4=P5=0，各结点到对边的高分别为H1、H2、H3、H4、H5、H6和H7，如图7（d）所示。

根据(2)的计算原理，在第一种压强分布形式下，在有结点2、3、4组成的三角形中，结点2的等效结点力荷载F2’=P2*A7/6，结点3的等效结点力荷载F3’=P2*A7/12，结点4的等效结点力荷载F4’=P2*A7/12。

各结点到对边的高如图7(c)所示，在第一种压强分布形式下，三角形单元面上三个结点的等效结点力分别为：F1=P2*A7*H4/H1/12、F2=(P2*A7*H2/6+ P2*A7*H5/12)/H2、F3=F3’。

根据(2)的计算原理，在第二种压强分布形式下，在有结点2、4、5组成的三角形中，结点2的等效结点力荷载F2’=P2*A7/6，结点3的等效结点力荷载F5’=P2*A7/12，结点4的等效结点力荷载F4’=P2*A7/12。

各结点到对边的高如图7(d)所示，在第二种压强分布形式下，三角形单元面上三个结点的等效结点力分别为：F1=P2*A7*H4/H1/12、F2=(P2*A7*H2/6+P2*A7*H5/12+P2*A7*H7/12)/H2、F3=P2*A7*H6/H3/12。

第二步：四边形单元面受水压力作用的等效结点力计算

对于四边形单元面受水压力，可以基于混合离散化原理通过连接对角顶点的方法来转化成三角形单元来计算。具体过程如图8所示：连接结点2和结点4，将面域A1分解为A2和A3两部分，以及连接结点1与结点3，将面域A1分解为A4和A5两部分，则A1为A2,A3,A4和A5之和的一半。其中8(b)可分解8(d)和8(e),以及8(c)可分解8(f)和8(g)。从而四边形单元面受水压力可以通过转化成三角形单元进行计算求出各结点的等效结点力

将上述方法应用到一混泥土坝模型，其坝低高程为21.25m，坝高23.37m。坝体两侧山体的材料参数分别为：弹性模量15.3Gpa，泊松比0.367，密度2250kg/m³，黏聚力为1.15Mpa，摩擦角34°；混泥土坝弹性模量12Gpa，泊松比0.27，密度2600kg/m³。水位线高程40m。

具体步骤如下：

(1)用Hypermesh软件将模型划分为47184个网格，52120个结点，如图9所示，导出迎水面的大坝表面的结点坐标及单元和单元对应的结点编号，并保存在txt文件中。

（2）通过C语言编程将各种情况作为子函数，采用主函数调用的方式对步骤（1）中的信息进行处理，从而计算出结点力。具体步骤如下：

（2.1）读取单元编号及其对应的结点编号储存在数组中。

（2.1）编写三角形已知三点坐标求面积和点到直线距离子函数。

（2.3）编写三角形已知三点坐标及水位线求结点力的各种情况下结点力的子函数。

（2.4）编写已知空间三点坐标，确定其平面法向量与X、Y、Z轴方向余弦的子函数。

（2.5）将四边形在水压力作用下分为8种情况，分别是

a.四个结点均位于水位线以上，

b.一个结点在水位以下、其余三结点在水位线以上，

c.两个结点在水位线以上、一个结点在水位线以下和一个结点在水位线上，

d.两结点位于水位线以下、其余两结点在水位线以上，

e.一个结点在位于水位线以上、两结点位于水位以下和一个结点在水位线上，

f一个结点位于水位线以上、一个结点位于水位以下和两个结点在水位线上，

g三结点位于水位线以下和一结点位于水位线以上，

h其余按四个结点均位于水位线以下处理。

（2.6）将（2.5）中8中情况下的四边形拆分成三角形分别调用对应的三角形单元求结点力的子函数，将计算的结点力储存在数组中。

（2.7）将结点力数组以.txt文本格式输出。

（3）将计算出的结点力施加到模型上去，采用有限差分的软件计算得到沿着水压作用面上的大应力云图与小主应力云图如图10(a),10(b)所示。

Claims (5)

1.一种等效结点荷载的通用精确积分计算方法，其特征在于包括以下实施步骤：

(1)将任意结点数量的单元剖分为多组单纯性组合，平面问题对应的单元为三角形或四边形单元，三维问题对应的单元为四面体或六面体单元；

(2)基于单纯性的简单性，计算单纯性在任意分布荷载作用下的结点力；

(3)计算基于多种单纯性组合的最终等效结点力；

(4)将最终等效结点力施加到模型上，进行数值分析。

2.根据权利要求1所述的等效结点荷载的通用精确积分计算方法，其特征在于：所述步骤(1)中将任意结点数量的单元采用单纯性进行多次不同的剖分，将每次的剖分结果进行标记。

3.根据权利要求2所述的等效结点荷载的通用精确积分计算方法，其特征在于：将四边形单元按混合离散化原理拆分为三角形叠加。

4.根据权利要求1所述的等效结点荷载的通用精确积分计算方法，其特征在于：所述步骤(2)计算单纯性在任意分布荷载作用下的结点力具体步骤包括：

(2.1)将单纯性N个结点的荷载作用分布划分为N+1种情况；

(2.2)结合静力等效原理，得到N+1种荷载分布情况下结点力的计算公式；

对于三角形受水压力荷载作用的四种情况：

a单元面的三个结点都位于水位面上时， F1=0,F2=0,F3=0；

b单元面的三个结点都位于水位面下时，

F1=P1*area/6+P2*area/12+P3*area/12,

F2=P1*area/12+P2*area/6+P3*area/12,

F3=P1*area/12+P2*area/12+P3*area/6；

c单元面的第一结点位于水位面上，第二、第三结点位于水位面以下时,

F1=(F4’*H4+F5’*H5)/H1，

F2=(F2’*H2+F4’*H6)/H2，

F3=(F3’*H3+F5’*H7)/H3；

d单元面的第二结点位于水位面以下，

当第一结点位于水位面上，第三结点刚好切于水平面时，

F1=P2*A7*H4/H1/12，

F2=(P2*A7*H2/6+ P2*A7*H5/12)/H2，

F3=F3’；

当第一结点与第三结点都位于水位面上时，

F1=P2*A7*H4/H1/12，

F2=(P2*A7*H2/6+P2*A7*H5/12+P2*A7*H7/12)/H2，

F3=P2*A7*H6/H3/12；

式中，F1、F2、F3、F2’、F3’、F4’、F5’分别为各结点的等效结点力，area、A1、A2、A3为三角形单元的面积，H1、H2、H3、H4、H5、H6、H7分别为各结点到对应边上的高，P1、P2、P3为各结点处的压强。

5.根据权利要求4所述的等效结点荷载的通用精确积分计算方法，其特征在于：所述步骤(3)中所建立的基于多种单纯性组合的最终等效结点力计算方法，是结合积分公式，分别计算每种组合下每个结点对应的结点力，通过对相应组合结果进行叠加，进而得到最终的等效结点力。