CN104583785A - 电气量测定装置及电气量测定方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种电气量测定装置及电气量测定方法。频率系数计算部以规定的数据收集采样频率对作为测定对象的交流电压进行采样,从而得到电压瞬时值数据，并以比数据收集采样频率小且在该交流电压的频率以上的计量采样频率，从上述电压瞬时值数据中提取出连续的至少4点电压瞬时值数据，在表示该连续的至少4点电压瞬时值数据中的相邻2点电压瞬时值数据间的前端间距离的3点差分电压瞬时值数据(v₂₁、v₂₂、v₂₃)中，利用中间时刻的差分电压瞬时值(v₂₂)对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和(v₂₁+v₂₃)的平均值((v₂₁+v₂₃)/2)进行归一化，计算出归一化后的值((v₂₁+v₂₃)/(2v₂₂))作为频率系数(f_C)。

Description

电气量测定装置及电气量测定方法

技术领域

本发明涉及电气量测定装置及电气量测定方法。

背景技术

近年来，随着电力系统内的潮流日益复杂，要求高可靠性且高品质的电力供应，特别是提高用于测定电力系统的电气量(交流电气量)的交流电气量测定装置的性能的必要性变得越来越高。

以往，作为这种交流电气量测定装置，具有例如下述专利文献1、2所示的装置。在专利文献1(广域保护控制测量系统)及专利文献2(保护控制测量系统)中，揭示了将相位角的变化分量(微分分量)作为偏离额定频率(50Hz或60Hz)的变化量来求得实际系统的频率的方法。

在这些文献中，揭示了以下公式作为求得实际系统的频率的计算式，下述非专利文献1中也示出了这些计算式。

f(Hz)＝60+Δf

另外，下述专利文献3为本申请发明人的在先专利发明，该发明的内容将在后文中适当进行叙述。

现有技术文献

专利文献

专利文献1：日本专利特开2009－65766号公报

专利文献2：日本专利特开2009－71637号公报

专利文献3：日本专利第4874438号公报

非专利文献

非专利文献1：非专利文献1："IEEE Standard for PowerSynchrophasors for Power Systems"第30页,IEEE Std C37.118-2005

发明内容

发明所要解决的技术问题

如上所述，专利文献1、2及非专利文献1中所示的方法是通过对相位角的变化分量进行微分计算来求得频率的方法。然而，实际系统的频率瞬时值的变化既频繁又复杂，微分计算非常不稳定。因此，存在以下问题，即对于例如频率测定，无法得到足够的计算精度。

此外，由于上述方法将额定频率(50Hz或60Hz)作为初始值来进行计算，因此存在以下问题：即，在计算开始时，对于测定对象在偏离系统额定频率的状态下动作的情况，会产生测定误差，对于偏离系统额定频率的程度较大的情况，测定误差会变得非常大。

另一方面，本申请发明人发现了交流电压/交流电流的对称性，从而提出了将对称性理论的群论导入交流系统的方案，并在日本得到了专利授权(上述专利文献3)。另外，该专利文献3中，揭示了交流电气量的测定方法，但不仅是交流电气量，还希望测定与交流电气量重叠的直流电气量。

本发明是鉴于上述问题而完成的，其目的在于提供一种电气量测定装置及电气量测定方法，即使是测定对象在偏离系统额定频率的状态下进行动作的情况，也可以进行高精度的电气量(交流电气量及直流电气量)的测定。

解决技术问题所采用的技术方案

为了解决上述技术问题，达到目的，本发明包括:旋转相位角计算部，该旋转相位角计算部以规定的第1采样频率对作为测定对象的交流电压进行采样，从而得到电压瞬时值数据，并以比所述第1采样频率小且在所述交流电压的频率以上的第2采样频率，从所述电压瞬时值数据中提取出连续的至少4点电压瞬时值数据，在表示连续的所述至少4点电压瞬时值数据中的相邻2点电压瞬时值数据间的前端间距离的3点差分电压瞬时值数据中，利用中间时刻的差分电压瞬时值对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和的平均值进行归一化，并计算出归一化后的值的反余弦值以作为相邻的电压瞬时值数据间的旋转相位角；以及频率计算部，该频率计算部使用所述第2采样频率和所述旋转相位角来计算所述交流电压的频率。

发明效果

根据本发明，具有如下效果：即，即使测定对象在偏离系统额定频率的状态下进行动作时，也可以进行高精度的电气量测定。

附图说明

图1是用于说明旋转相位角与实时频率之间的对称性的图。

图2是表示使用正数旋转相位角的复平面上的计量电压群的图。

图3是表示使用负数旋转相位角的复平面上的计量电压群的图。

图4是在复平面上表示计量电压群的矢量积元素的图。

图5是对计量采样周期T和数据收集采样周期T₁的关系进行说明的图。

图6是表示复平面上的旋转电压群的图。

图7是在复平面上表示旋转电压群的矢量积元素的图。

图8是表示使用正数旋转相位角的复平面上的计量差分电压群的图。

图9是表示使用负数旋转相位角的复平面上的计量差分电压群的图。

图10是在复平面上表示计量差分电压群的矢量积元素的图。

图11是表示由计量电压和计量差分电压构成的特性三角形的图。

图12是表示复平面上的旋转差分电压群的图。

图13是在复平面上表示旋转差分电压群的矢量积元素的图。

图14是表示具有直流分量时的复平面上的计量电压群的图。

图15是计量采样频率200Hz下的频率系数的频率特性图。

图16是计量采样频率200Hz下的旋转相位角的频率特性图。

图17是计量采样频率200Hz下的电压振幅测定值的频率增益特性图。

图18是计量采样频率200Hz下的频率测定值的频率增益特性图。

图19是表示实施方式1所涉及的实时频率测定装置的功能结构的图。

图20是表示实施方式1的实时频率测定装置中的处理流程的流程图。

图21是表示案例1下的电压瞬时值波形的图。

图22是表示案例1下的频率系数的测定结果的图。

图23是表示案例1下的旋转相位角的测定结果的图。

图24是表示案例1下的实时频率的测定结果的图。

图25是表示案例2下的电压瞬时值波形的图。

图26是表示案例2下的频率系数的测定结果的图。

图27是表示案例2下的旋转相位角的测定结果的图。

图28是表示案例2下的实时频率的测定结果的图。

图29是表示案例3下的第1电压瞬时值波形的图。

图30是表示案例3下的第2电压瞬时值波形的图。

图31是表示案例3下的频率系数的测定结果的图。

图32是表示案例3下的旋转相位角的测定结果的图。

图33是表示案例3下的实时频率的测定结果的图。

图34是表示实施方式2所涉及的电压测定装置的功能结构的图。

图35是表示实施方式2的电压测定装置中的处理流程的流程图。

图36是表示案例4下的电压瞬时值波形及重叠有直流电压的交流电压振幅的测定结果的图。

图37是表示案例4下的交流电压振幅的测定结果的图。

图38是表示案例4下的直流电压的测定结果的图。

图39是表示案例5下的电压瞬时值波形及重叠有直流电压的交流电压振幅的测定结果的图。

图40是表示案例5下的交流电压振幅的测定结果的图。

图41是表示案例5下的直流电压的测定结果的图。

具体实施方式

下面，参照附图，对本发明的实施方式所涉及的电气量测定装置及电气量测定方法进行说明。此外，本发明并不局限于以下示出的实施方式。

(用语的含义)

在对本实施方式所涉及的电气量测定装置及电气量测定方法进行说明之前，先对本申请说明书中所使用的用语进行说明。

·复数：用实数a、b和虚数单位j以a+jb的形式表达的数。由于在电气工学中，i是电流符号，因此，虚数单位用来表示。本申请中，用复数来表达旋转矢量。

·复平面：将复数作为二维平面上的点，以实部(Re)为横轴，以虚部(Im)为纵轴，利用直角坐标来表示复数的平面。

·旋转矢量：在与电力系统的电气量(电压或电流)相关的复平面上逆时针旋转的矢量。旋转矢量的实数部是瞬时值。

·差分旋转矢量：采样频率一个周期前后的2个旋转矢量的差分矢量。差分旋转矢量的实数部是采样频率一个周期前后的2个瞬时值的差分。

·对称群：在复平面上旋转的具有对称性的群。

·不变量：在对称群旋转的前后不发生变化的参数。本申请中的不变量有旋转相位角、频率系数、计量电压、计量差分电压等。另外，了解了不变量，也就了解了对称群的特性。

·矢量群表：以对称群中的规定成员(矢量变量)彼此的积(相乘)来表示的表(table)。是用于确认对称群的不变量的路线映射表。

·实数群表：以对称群中的规定成员(实数变量)彼此的积(相乘)来表示的表(table)。

·实时频率：电力系统的实际频率。即使电力系统很稳定，该实际频率也会在额定频率附近有微小的变动。本申请中，以f来表达实时频率。实时频率f的单位为赫兹(Hz)。电路等的角频率ω以ω＝2πf来表示，其单位为(rad/s)。

·数据收集采样频率：是数据收集时的采样频率(第1采样频率)，以符号f₁来表示。该数据收集采样频率f₁越高，精度越好。另外，与计量采样周期T同样，数据收集采样周期T₁作为数据收集采样频率f₁的倒数，以T₁＝1/f₁来表示。

·计量采样频率：是计量对称群的计算中所使用的采样频率(第2采样频率)，以符号f_S来表示。因此，计量采样周期T作为计量采样频率f_S的倒数，以T＝1/f_S来表示。另外，T、T₁之间具有T＞T₁的关系。

·系统频率：基本上是指电力系统的额定频率，有50Hz、60Hz这两种。

·旋转相位角：是电压旋转矢量(有时简称为“电压矢量”)或电流旋转矢量(有时简称为“电流矢量”)在计量采样频率1周期的期间内在复平面上旋转的相位角，以α表示。另外，旋转相位角α是依赖于频率的量，如后所述，在α是正数的情况下，以α＝2π(f/f_S)进行计算，在α是负数的情况下，以α＝2π{(f/f_S)-1}进行计算。在α是零的情况下，在计量采样频率f_S和实时频率f之间存在f＝f_S/2的关系。

·频率系数：是旋转相位角α的余弦函数值，以f_C来表示。本申请的所有计量对称群都具有各个频率系数的计算式。另外，若将频率系数f_C作为对称性指标来利用，则能判别是否是交流。

·移动平均处理：是利用最靠近的规定个数的数据进行单纯的平均处理。通过进行移动平均处理，能减小测定误差及加性高斯噪声的影响。

·计量电压群：由时间序列上连续的3个电压矢量构成的对称群。对于电压以外的电流、功率(有功功率、无功功率)也可以定义相同的对称群概念。

·计量电压：通过计量电压群计算得到的电压不变量。

·计量差分电压群：由时间序列上连续的3个差分电压矢量构成的对称群。

·计量差分电压：通过计量差分电压群计算得到的差分电压不变量。

·旋转电压群：是由连续的两个电压矢量构成的对称群。实际测量的电压瞬时值相当于电压矢量的实数部。

·旋转差分电压群：是由连续的两个差分电压矢量构成的对称群。

·对称性破坏：输入波形从纯粹的正弦波发生破坏。因振幅骤变、相位骤变、或频率骤变，输入波形的对称性被破坏。用于判定(检测)该对称性破坏的指标是对称性指标。

(本发明的要点)

本发明是涉及作为智能电网的基础技术的电气量测定装置的发明，其要点之一在于，通过旋转相位角同时对频率区域和瞬时值区域进行处理，更具体而言，在于利用对称性的群对交流电压和交流电流、以及这些交流电压和交流电流所包含的直流分量(直流电压和直流电流)的结构进行建模这一点。现有理论中，对频率区域和时间区域分开进行解析，但本发明中，使用上述定义的复平面上的各种对称群(矢量对称群)，同时对频率依存量(旋转相位角、频率系数、实时频率、振幅)和时间依存量(电压电流瞬时值)进行解析。

本发明的最上位的概念是旋转相位角和实时频率的对称性(参照图1)。根据本发明，通过导入取负值的旋转相位角(以下称为“负数旋转相位角”)，能测定与计量采样频率相对应的全区域的频率(现有方法中，仅能确定采样频率(本发明的计量采样频率)1/2以下的频率)。即，根据本发明的对称群测定理论，相比以往，将测定范围扩大了2倍。

本发明的第2要点在于，生成对称群的矢量群表，利用矢量积空间对对称群的结构进行研究，然后，生成相同对称群的实数群表，导出具体的不变量的计算式。矢量群表是调查对称群的不变量的路线映射图。本申请发明人在目前为止的申请中，发现了计量差分电压群的频率系数、计量电压等各种不变量。然而，对于对称群的不变量具有几个、以及各个不变量的计算式采用怎样的结构等，未找到一般的答案。

另一方面，本发明通过提出2种群表，发现了相当于到目前为止的不变量的上位概念的新的不变量(新定义的不变量)。另外，在将本发明应用于具体的应用程序的情况下，在列出的不变量中选择实用的不变量即可。

此外，本发明的第3要点在于，提出了使计量采样频率和数据收集采样频率分离的方法。若使用该方法，能进行高速且高精度的测定。

并且，本发明的第4要点在于，提出了不仅测定交流电气量也测定直流电气量的方法。根据该特征，本发明中，将以往的发明名称“交流电气量测定装置(方法)”变更为“电气量测定装置(方法)”。

接下来，对本实施方式所涉及的电气量测定装置及电气量测定方法进行说明。在进行该说明时，首先对成为本实施方式的要点的电气量测定方法的概念(算法)进行说明，之后，对该方法的适用装置即本实施方式所涉及的电气量测定装置的结构及动作、以及适用该方法的本实施方式所涉及的电气量测定方法进行说明。另外，在以下的说明中，在小写的字母中，带括号的(例如“v(t)”)表示矢量，不带括号的(例如“v₂”)表示瞬时值。此外，大写的字母(例如“V_g”)表示有效值或者振幅值。

(旋转相位角和实时频率的对称性)

图1是用于说明旋转相位角与实时频率之间的对称性的图。例如，在上述专利文献3等中，基于以下关系式来展开计算方法。

[数学式1]

$\frac{f}{f_S}=\frac{\mathrm{\α}}{2\mathrm{\π}}...\left(1\right)$

上式中，f是实时频率，f_S是计量采样频率，α是旋转相位角。旋转相位角α是从零到π的正数，测定范围也与采样定理的极限相同，为计量采样频率的1/2以下。之后，本申请发明人发现，若导入从负π到零的负数旋转相位角，则以下关系式为真。

[数学式2]

$\frac{f_S-f}{f_S}=\frac{-\mathrm{\α}}{2\mathrm{\π}}...\left(2\right)$

利用上述2式，如图1所示，能以计量采样频率为镜，在旋转相位角和实时频率之间竖立一对一的对称关系，其结果是，能使采样定理的测量范围倍增。由此，本申请的方法中，经由旋转相位角不仅扩大了频率区域的计算范围，也扩大了瞬时值区域的计算范围。而采样定理可以认为是仅对于基于傅里叶变换的频率区域的算法。

若对上述进行总结，使用实时频率的旋转相位角的表达式为如下所示。

[数学式3]

$\mathrm{\&alpha;}=\left\{\begin{array}{ccc}2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{f_S}& \mathrm{for}& f<\frac{f_S}{2},\\ 2\mathrm{\&pi;}(\frac{f}{f_S}-1)& \mathrm{for}& f>\frac{f_S}{2}.\end{array}\right....\left(3\right)$

通过上式，可知正数的旋转相位角(第1式)和负数的旋转相位角(第2式)对于零具有对称性。根据该式也可知，本申请中的数学式存在对称性。对称性是本申请的指针。

同样，使用旋转相位角的实时频率的表达式为如下所示。

[数学式4]

$f=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2\mathrm{\&pi;}}{f}_S& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}>0,\\ (\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2\mathrm{\&pi;}}+1)f_S& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}<0,\\ \frac{f_S}{2}& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}=0.\end{array}\right....\left(4\right)$

根据上述2式可知，若知道旋转相位角，也就知道了实时频率。并且，若知道实时频率，也能利用对称群的计算对具有频率校正功能的高精度的其它电气量进行测定。

下面，提出如下方法：生成几个对称群，求出旋转相位角和对称群的其它不变量，测定各种电气量。

(复平面上的计量电压群)

图2是表示使用正数旋转相位角的复平面上的计量电压群的图。图2所示的复平面上的3个电压旋转矢量能利用下式来表示。

[数学式5]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1\left(t\right)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})}\\ v_1(t-T)={\mathrm{Ve}}^{\mathrm{j\&omega;t}}\\ v_1(t-2T)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})}\end{array}\right....\left(5\right)$

上式中，V为交流电压振幅，ω为旋转角速度，T为计量采样频率的数小时的步长，α为T的旋转相位角。图2中，两侧的2个电压旋转矢量v₁(t)、v₁(t-2T)对于中间的电压旋转矢量v₁(t-T)具有对称性。并且，在其它的时间，这3个电压旋转矢量都发生旋转，即使在其它的位置，两者之间的相位角差即旋转相位角α也都不发生变化。将该性质称为旋转不变性，将具有这样的旋转不变性的性质的3个电压旋转矢量定义为计量电压群。

(负数旋转相位角)

图3是表示使用负数旋转相位角的复平面上的计量电压群的图。在电压旋转矢量彼此间的旋转相位角大于180度的情况下，使用由下式定义的负数旋转相位角。

[数学式6]

α＝-(360-α_real)    …(6)

上式中，α_real是实际的计量电压群的成员彼此间的相位角，是取180度到360度之间的值的正数。如图3所示，在该情况下，可知具有计量电压群的成员彼此间的对称性(对于中间旋转矢量的对称性)。即，即使计量电压群的旋转相位角成为负的，也具有旋转不变性。

(计量电压群的矢量群表)

为了对计量电压群的不变量进行调查，构筑下述表1所示的计量电压群的矢量群表。

[表1]

表1计量电压群的矢量群表

x	v1(t)	v1(t-T)	v1(t-2T)
				v1(t)	v1 2(t)	v1(t-T)v1(t)	v1(t-2T)v1(t)
v1(t-T)	v1(t)v1(t-T)	v1 2(t-T)	v1(t-2T)v1(t-T)
				v1(t-2T)	v1(t)v1(t-2T)	v1(t-T)v1(t-2T)	v1 2(t-2T)

上述矢量群表所示的电压旋转矢量是复数状态变量。上表的“×”符号表示对表侧的元素和表头的元素进行乘法运算。此时，计量电压群的矢量群表的各积元素能如下式那样来表示。

[数学式7]

$\left\{\begin{array}{c}{v_1}^2\left(t\right)=V^2{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}+2\mathrm{\&alpha;})}\\ v_1\left(t\right)v_1(t-T)=V^2{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})}\\ v_1\left(t\right)v_1(t-2T)=V^2{e}^{j\left(2\mathrm{\&omega;t}\right)}\\ {v_1}^2(t-T)=V^2{e}^{j\left(2\mathrm{\&omega;t}\right)}\\ v_1(t-T)v_1(t-2T)=V^2{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})}\\ {v_1}^2(t-2T)=V^2{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}-2\mathrm{\&alpha;})}\end{array}\right....\left(7\right)$

在复平面上表示基于上式的各元素的图为图4。此处，将通过2个矢量的积运算而生成的空间称为矢量积空间。利用该矢量积空间，会观察到交流正弦波中内在的对称性。矢量积空间中，各矢量积元素以2ω的角速度进行逆时针旋转。下面，选择3个对称性进行说明。

具有对称性的第1组是位于各旋转矢量的中间轴(图4的示例中的实轴(Re轴))的v₁ ²(t-T)和v₁(t)v₁(t-2T)这一组，如下式所示，两者矢量积的结果相等。

[数学式8]

v₁ ²(t-T)＝v₁(t)v₁(t-2T)＝V²e^j(2ωt)       …(8)

通过后述的计算式可知，以前(例如上述专利文献3)所提出的计量电压由上述组构成。

具有对称性的第2组是v₁(t)v₁(t-T)和v₁(t-T)v₁(t-2T)这一组，两者相对于中间轴具有相位差α。通过后述的计算式，能利用该组构成频率系数。

具有对称性的第3组是v₁ ²(t)和v₁ ²(t-2T)这一组，两者相对于中间轴具有相位差2α。通过后述的计算式，能利用该组和中间的旋转矢量v₁(t-T)来构成只有平方式的计量电压。

由此，若利用使用计量电压群的矢量群表制作而成的矢量积空间图，则能直观地调查计量电压群的对称性。

(计量电压群的实数群表)

为了导出计量电压群的不变量的计算式，构筑下述表2所示的计量电压群的实数群表。作为上述实数群表中的各电压瞬时值，使用了电压旋转矢量的实数部，但也可以使用电压旋转矢量的虚数部。

[表2]

表2计量电压群的实数群表

x	v11	v12	v13
				v11	v2 11	v12v11	v13v11
v12	v11v12	v2 12	v13v12
				v13	v11v13	v12v13	v2 13

接着，对计量电压群的实数群表进行说明。首先，能利用下式来表示表2的组的结构元素即各瞬时值元素。

[数学式9]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{11}=\mathrm{Re}\left[v_1\left(t\right)\right]=V\cos (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\\ v_{12}=\mathrm{Re}\left[v_1(t-T)\right]=V\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\\ v_{13}=\mathrm{Re}\left[v_1(t-2T)\right]=V\cos (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\end{array}\right....\left(9\right)$

上式中，“Re”表示复数的实数部。通过上式，表2所示的各积元素能如下式那样来表示。

[数学式10]

$\left\{\begin{array}{c}{v^2}_{11}=V^2{\cos }^2(\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\\ v_{12}{v}_{11}=V^2\cos (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\\ v_{13}{v}_{11}=V^2\cos (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\cos (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\\ {v^2}_{12}=V^2{\cos }^2\left(\mathrm{\&omega;t}\right)\\ v_{13}{v}_{12}=V^2\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\cos (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\\ {v^2}_{13}=V^2{\cos }^2(\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\end{array}\right....\left(10\right)$

接着，利用该计量电压群的实数群表的各积元素，对与计量电压群相关的各种不变量的计算式进行说明。

(基于计量电压群的频率系数的计算式)

以下，对基于计量电压群的频率系数的计算式进行说明。本申请发明人参照图4所示的计量电压群的空间矢量图，为了导出上述专利文献3等中提出的频率系数的计算式和实数群表之间的关系，在进行下式的变形的同时，将表2所示的实数群表的积元素代入该变形式。

[数学式11]

$\begin{array}{c}{f}_C=\frac{v_{11}+v_{13}}{2v_{12}}=\frac{v_{12}{v}_{11}+v_{13}{v}_{12}}{2{v^2}_{12}}\\ =\frac{V^2[\cos (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)+\cos (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)]}{2V^2{\cos }^2\left(2\mathrm{\&omega;t}\right)}\\ =\cos \mathrm{\&alpha;}\end{array}...\left(11\right)$

根据上述式变形可知，能使用实数群表的积元素来计算计量电压群的频率系数f_C。

接着，对也可以将电压旋转矢量的虚数部用作为电压瞬时值的情况进行验证。首先，能以下式来表示v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)的虚数部瞬时值。

[数学式12]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{11}=\mathrm{Im}\left[v_1\left(t\right)\right]=V\sin (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\\ v_{12}=\mathrm{Im}\left[v_1(t-T)\right]=V\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\\ v_{13}=\mathrm{Im}\left[v_1(t-2T)\right]=V\sin (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\end{array}\right....\left(12\right)$

上式中，“Im”表示复数的虚数部。通过上式，表2所示的各积元素能如下式那样来表示。

[数学式13]

$\left\{\begin{array}{c}{v^2}_{11}=V^2{\sin }^2(\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\\ v_{12}{v}_{11}=V^2\sin (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\\ v_{13}{v}_{11}=V^2\sin (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\sin (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\\ {v^2}_{12}=V^2{\sin }^2\left(\mathrm{\&omega;t}\right)\\ v_{13}{v}_{12}=V^2\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\sin (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\\ {v^2}_{13}=V^2{\sin }^2(\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\end{array}\right....\left(13\right)$

因此，若将上述各积元素代入上述式(11)，则能如下式那样进行式变形。

[数学式14]

$\begin{array}{c}{f}_C=\frac{v_{11}+v_{13}}{2v_{12}}=\frac{v_{12}{v}_{11}+v_{13}{v}_{12}}{2{v^2}_{12}}\\ =\frac{V^2[\sin (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)+\sin (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)]}{2V^2{\sin }^2\left(2\mathrm{\&omega;t}\right)}\\ =\cos \mathrm{\&alpha;}\end{array}...\left(14\right)$

根据上述式(11)及式(14)可知，无论使用电压旋转矢量的实数部还是虚数部作为电压瞬时值，均能获得相同的频率系数。计量电压群的其它不变量及本申请发明的其它对称群的不变量也一样，无论使用旋转矢量的实数部还是虚数部，均能导出同样的计算结果。因此，此后，仅对使用实数瞬时值的情况进行说明，省略使用虚数瞬时值的说明。

(计量电压群的对称性指标)

作为计量电压群的对称性指标，提出下式。

[数学式15]

$\left|f_C\right|=\left|\frac{v_{11}+v_{13}}{2v_{12}}\right|>1...\left(15\right)$

此处，在满足上式的情况下，由v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)构筑而成的计量电压群的对称性将被破坏。因此，在计量电压群的对称性被破坏的时刻，将对称性被破坏前的计算值加以锁存。另一方面，在不满足上式的情况下，判定为对称性未被破坏，使用当前的计算值。也可省略这些步骤，使用计量差分电压群来进行计算。但是，使用计量电压群而得到的计算结果比使用计量差分电压群而得到的计算结果要早一步对称群计算步长(在计量采样频率为240Hz的情况下，1步的时间步长为4.167ms)得到。即，在具有对称性的情况下，可知使用计量电压群更具有高速性。

(基于计量电压群的旋转相位角)

根据上述计算式，旋转相位角能使用下式来计算。

[数学式16]

$\mathrm{\&alpha;}=\left\{\begin{array}{ccc}{\cos }^{-1}{f}_C& \mathrm{for}& f\&le;f_S/2\\ -{\cos }^{-1}{f}_C& \mathrm{for}& f_S/2\&le;f<f_S\end{array}\right....\left(16\right)$

(旋转相位角的移动平均)

在计算旋转相位角时，为了降低噪声的影响，例如如下式那样进行移动平均处理是有效的。

[数学式17]

$\mathrm{\&alpha;}=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&alpha;}(t-k{T}_1)...\left(17\right)$

上式中，T₁是数据收集采样周期(后文将详细阐述)，M是为了进行包含当前时刻的移动平均处理的数据个数(数据收集采样点数)。

(基于计量电压群的实时频率)

根据上述计算式，实时频率能使用下式来计算。

[数学式18]

$f=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2\mathrm{\&pi;}}{f}_S& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}\&GreaterEqual;0,\\ (\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2\mathrm{\&pi;}}+1)f_S& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}<0,\\ \frac{f_S}{2}& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}=0.\end{array}\right....\left(18\right)$

上式中，f是实时频率，f_S是计量采样频率(后文将详细阐述)。

(实时频率的移动平均处理)

在计算实时频率时，为了降低噪声的影响，例如如下式那样进行移动平均处理是有效的。

[数学式19]

$f=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}f(t-k{T}_1)...\left(19\right)$

上式中，T₁是数据收集采样周期，M是为了进行包含当前时刻的移动平均处理的数据个数(数据收集采样点数)。

(计量电压的定义和计算式(第1计算式))

本申请发明人通过图4所示的“计量电压群的矢量积空间图”，发现了下式作为表示计量电压的平方值(2次方值)，将实数群表的关联积代入该计算式，进行式变形。

[数学式20]

$\begin{array}{c}{V_g}^2={v_{12}}^2-v_{13}{v}_{11}\\ =\frac{1}{2}{V}^2[\cos \left(2\mathrm{\&omega;t}\right)+1-\cos \left(2\mathrm{\&omega;t}\right)-\cos 2\mathrm{\&alpha;}\\ =\frac{1}{2}{V}^2(1-\cos 2\mathrm{\&alpha;})\\ =V^2{\sin }^2\mathrm{\&alpha;}\end{array}...\left(20\right)$

利用上式，能使用下式计算计量电压值。

[数学式21]

$V_g=\left\{\begin{array}{ccc}V\sin \mathrm{\&alpha;}& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}\&GreaterEqual;0,\\ -V\sin \mathrm{\&alpha;}& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}<0.\end{array}\right....\left(21\right)$

(数据收集采样频率和计量采样频率的分离)

上述专利文献3等也是如此，具有如下基本的想法：在提高测量精度的情况下，进一步缩小采样周期(提高采样频率)以增加数据个数，使用增加后的连续数据，计算出以频率系数为首的各种交流电气量。然而，在单纯增加数据个数的方法中，随着数据个数的增加，旋转相位角会减小，在高次谐波噪声较大的情况下，计算结果受到高次谐波噪声的影响而产生偏差，计算精度无法得到提高也是可以预计的。因此，本发明导入计量采样周期T(计量采样频率f_s)和数据收集采样周期T₁(数据收集采样频率f₁)的概念，使得即使在增加计算所需的数据的情况下，也能维持优选的旋转相位角的值而使得旋转相位角的值不会减小，并且能够降低高次谐波噪声的影响。

图5是对计量采样周期T和数据收集采样周期T₁的关系进行说明的图。图5中，计量采样频率f_s(计量采样周期T)和数据收集采样频率f₁(数据收集采样周期T₁)之间具有下式所示的关系。

[数学式22]

$f_S=\frac{1}{T}=\frac{1}{{\mathrm{nT}}_1}=\frac{1}{n}{f}_1...\left(22\right)$

上式中，n是正整数，图5的示例中示出了n＝4的情况。

图5中，当前时刻(时刻t)的计量电压群(计量电压群1)的成员如下所示。

[数学式23]

v₁(t)，v₁(t-T)，v₁(t-2T)    …(23)

当前时刻的T₁时刻前(时刻t-T₁)的计量电压群(计量电压群2)的成员如下所示。

[数学式24]

v₁(t-T₁)，v₁(t-T-T₁)，v₁(t-2T-T₁)    …(24)

可从图5理解到，当计量电压群彼此的间隔(计量电压群1和计量电压群2的间隔)为数据收集采样周期T₁时，构成各计量电压群的成员彼此的间隔为计量采样周期T。即，通过导入计量采样周期T(计量采样频率f_s)和数据收集采样周期T₁(数据收集采样频率f₁)的概念，可维持优选的旋转相位角α，增加计算所需的数据，抑制高次谐波噪声的影响。

若除了该概念还一并使用本申请提出的负数旋转相位角的概念，则能获得与数据收集采样频率f₁进一步增加到2倍时同等的效果。现实中，当然可以根据系统的要求选定适宜且合适的数据收集采样周期和计量采样频率。

另外，若能通过考虑性价比来选定硬件，将数据收集采样频率设定得尽可能高(例如，在国际化且标准化的保护继电器装置中，推荐4kHz)，则能在高速输出计算结果的同时，一并对输出结果进行移动平均处理，从而能大幅降低高次谐波噪声的影响。

由此，通过导入将数据收集采样频率和计量采样频率加以区别的概念，能抑制电力系统始终存在的扰动(较小的扰动)。

(计量电压的移动平均处理)

与旋转相位角、实时频率的情况相同，在计算计量电压时，为了降低噪声的影响，进行例如下式所示的移动平均处理是有效的。

[数学式25]

$V_g\left(t\right)=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{{\left\{\mathrm{Re}\right[v_1(t-T-{\mathrm{kT}}_1)\left]\right\}}^2-\mathrm{Re}\left[v_1(t-{\mathrm{kT}}_1)\right]\&CenterDot;\mathrm{Re}\left[v_1(t-2T-{\mathrm{kT}}_1)\right]}...\left(25\right)$

上式中，T₁是数据收集采样周期，M是包含当前时刻的数据收集采样点数。

(基于计量电压群的交流电压振幅的计算式(第1计算式))

若使用上述式(14)、(21)等，能利用下式来计算交流电压振幅V_A。

[数学式26]

$V_A=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{V_g}{\sin \mathrm{\&alpha;}}=\frac{V_g}{\sqrt{1-{f_C}^2}}& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}\&GreaterEqual;0,\\ \frac{-V_g}{\sin \mathrm{\&alpha;}}=\frac{V_g}{\sqrt{1-{f_C}^2}}& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}<0.\end{array}\right....\left(26\right)$

(交流电压振幅的移动平均)

与其它的电气量相同，在计算交流电压振幅时，为了降低噪声的影响，进行例如下式所示的移动平均处理是有效的。

[数学式27]

$V=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{V}_A(t-{\mathrm{kT}}_1)...\left(27\right)$

(与计量电压有关的其它计算式(第2计算式))

本申请发明人基于图4所示的“计量电压群的矢量积空间图”，发现了与上述式(20)不同的下式来作为与计量电压有关的其它计算式，并代入表2所示的实数群表的关联积进行式变形。

[数学式28]

$\begin{array}{c}{V_g}^2=\frac{{v_{11}}^2+{v_{13}}^2}{2}-{v^2}_{12}\cos 2\mathrm{\&alpha;}\\ =\frac{1}{2}{V}^2[\cos \left(2\mathrm{\&omega;t}\right)\cos 2\mathrm{\&alpha;}+1-\cos \left(2\mathrm{\&omega;t}\right)\cos 2\mathrm{\&alpha;}-\cos 2\mathrm{\&alpha;}]\\ =\frac{1}{2}{V}^2(1-\cos 2\mathrm{\&alpha;})\\ =V^2{\sin }^2\mathrm{\&alpha;}\end{array}...\left(28\right)$

上述式(28)是计量电压的平方值的计算式，也可以利用下式计算计量电压。

[数学式29]

$V_g=\sqrt{\frac{{v_{11}}^2+{v_{13}}^2}{2}-{v^2}_{12}({{2f}_C}^2-1)}...\left(29\right)$

上述计算式仅由输入变量的平方运算来构成，对于计算机数据处理具有有利的一面。根据式(25)，示出移动平均处理的计算式。

[数学式30]

$v_g\left(t\right)=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{\frac{{\left\{\mathrm{Re}\right[v_1(t-{\mathrm{kT}}_1)\left]\right\}}^2+{\left\{\mathrm{Re}\right[v_1(t-2T-{\mathrm{kT}}_1)\left]\right\}}^2}{2}-{\left\{\mathrm{Re}\right[v_1(t-T-{\mathrm{kT}}_1)\left]\right\}}^2({{2f}_C}^2-1)}...\left(30\right)$

(与交流电压振幅有关的其它计算式(第2计算式))

本申请发明人也试着导出与交流电压振幅有关的其它计算式。具体而言，发现了表示计量电压群的成员彼此的加法运算以及减法运算的下式和下下式，将实数群表的关联积分别代入到下式和下下式中来进行式变形。

[数学式31]

$\begin{array}{c}{v}_{11}+v_{13}+{2v}_{12}=V[\cos (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})+\cos (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})+2\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)]\\ =2V(\cos \mathrm{\&alpha;}+1)\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)=4V{\cos }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\end{array}...\left(31\right)$

[数学式32]

v₁₁-v₁₃＝V[cos(ωt+α)-cos(ωt-α)]

                                 …(32)

＝-2Vsinαsin(ωt)

根据这两个式子，能如下式那样获得交流电压振幅的计算式。

[数学式33]

$\begin{array}{c}V=\sqrt{{\left(\frac{v_{11}+v_{13}+{2v}_{12}}{4{\cos }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}}\right)}^2+{\left(\frac{v_{11}-v_{13}}{2\sin \mathrm{\&alpha;}}\right)}^2}\\ =\frac{1}{2\sqrt{1+f_C}}\sqrt{\frac{{(v_{11}+v_{13}+{2v}_{12})}^2}{1+f_C}+\frac{{(v_{11}-v_{13})}^2}{1-f_C}}\end{array}...\left(33\right)$

能利用下式来表示用于移动平均处理的计算式。

[数学式34]

$V\left(t\right)=\frac{1}{2M\sqrt{1+f_C}}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{\frac{{\left\{v_{\mathrm{add}}(t,k)\right\}}^2}{1+f_C}+\frac{{\left\{v_{\mathrm{sub}}(t,k)\right\}}^2}{1-f_C}}...\left(34\right)$

上式的根号符内的v_add(t,k)、v_sub(t,k)的计算式如下所示。

[数学式35]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{add}}(t,k)=\mathrm{Re}\left[v_1(t-{\mathrm{kT}}_1)\right]+\mathrm{Re}\left[v_1(t-2T-{\mathrm{kT}}_1)\right]+2\mathrm{Re}\left[v_1(t-T-{\mathrm{kT}}_1)\right]\\ v_{\mathrm{sub}}(t,k)=\mathrm{Re}\left[v_1(t-{\mathrm{kT}}_1)\right]-\mathrm{Re}\left[v_1(t-2T-{\mathrm{kT}}_1)\right]\end{array}\right....\left(35\right)$

如上所述，通过计量电压群的群表、对于计量电压群的运算操作(加法运算、减法运算等)，能发现各种不变量。

由此处开始，提出能够使计量电压群的构成成员即电压旋转矢量的个数减一从而更高速地计算输出的对称电压群。另外，将此处所说的对称电压群、即由减少了一个电压旋转矢量个数的2个电压旋转矢量构成的对称电压群称作旋转电压群。

(复平面上的旋转电压群)

图6是表示复平面上的旋转电压群的图。图6所示的复平面上的2个电压旋转矢量能利用下式来表示。

[数学式36]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1\left(t\right)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\&omega;t}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})}\\ v_1(t-T)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\&omega;t}-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})}\end{array}\right....\left(36\right)$

上式中，V为交流电压振幅，ω为旋转角速度，T为计量采样频率的数小时的步长，α为T的旋转相位角。图6中，2个电压旋转矢量v₁(t)，v₁(t-T)具有对称性。这两个电压旋转矢量即使在其它的时间、其它的位置，该两个电压旋转矢量之间的旋转相位角α也不发生变化。即，该旋转电压群也是与上述计量电压群同样具有旋转不变性的性质的结构体。

(旋转电压群的矢量群表)

为了对旋转电压群的不变量进行调查，构筑下述表3所示的旋转电压群的矢量群表。

[表3]

表3旋转电压群的矢量群表

x	v1(t)	v1(t-T)
			v1(t)	v1 2(t)	v1(t-T)v1(t)
v1(t-T)	v1(t)v1(t-T)	v1 2(t-T)

上述矢量群表所示的电压旋转矢量是复数状态变量。上表的“×”符号表示对表侧的元素和表头的元素进行乘法运算。此时，旋转电压群的矢量群表的各积元素能如下式那样来表示。

[数学式37]

$\left\{\begin{array}{c}{v_1}^2\left(t\right)=V^2{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})}\\ v_1\left(t\right)v_1(t-T)=V^2{e}^{j\left(2\mathrm{\&omega;t}\right)}\\ {v_1}^2(t-T)=V^2{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})}\end{array}\right....\left(37\right)$

在复平面上表示基于上式的矢量积元素的图为图7。此处，将通过2个矢量的积运算而生成的空间称为矢量积空间。利用该矢量积空间，会观察到交流正弦波中内在的对称性。矢量积空间中，各矢量积元素以2ω的角速度进行逆时针旋转。

另外，如图7所示，v₁ ²(t)和v₁ ²(t-T)这一组相对于中间轴(图4的示例中为实轴(Re轴))具有相位差α。详细情况将在后文阐述，能利用该组计算电压振幅。

(旋转电压群的实数群表)

为了导出旋转电压群的不变量的计算式，构筑下述表4所示的旋转电压群的实数群表。另外，如上所述，可以将电压旋转矢量的实数部用作为实数群表中的电压瞬时值，也可以将电压旋转矢量的虚数部用作为实数群表中的电压瞬时值。

[表4]

表4旋转电压群的实数群表

x	v11	v12
			v11	v2 11	v12v11
v12	v11v12	v2 12

接着，对旋转电压群的实数群表进行说明。首先，能利用下式来表示表4的组的结构元素即各瞬时值元素。

[数学式38]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{11}=\mathrm{Re}\left[v_1\left(t\right)\right]=V\cos (\mathrm{\&omega;t}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})\\ v_{12}=\mathrm{Re}\left[v_1(t-T)\right]=V\cos (\mathrm{\&omega;t}-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})\end{array}\right....\left(38\right)$

通过上式，表4所示的各积元素能如下式那样来表示。

[数学式39]

$\left\{\begin{array}{c}{v^2}_{11}=V^2{\cos }^2(\mathrm{\&omega;t}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})\\ v_{12}{v}_{11}=V^2\cos (\mathrm{\&omega;t}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})\cos (\mathrm{\&omega;t}-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})\\ {v^2}_{12}=V^2{\cos }^2(\mathrm{\&omega;t}-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})\end{array}\right....\left(39\right)$

接着，利用该旋转电压群的实数群表的各积元素，对与旋转电压群相关的各种不变量的计算式进行说明。

(基于旋转电压群的交流电压振幅的计算式(第1计算式))

与计量电压群的情况相同，利用表示成员彼此的加法运算和减法运算的计算来进行式变形。

[数学式40]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{11}+v_{12}=2V\cos \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\\ v_{11}-v_{12}=-2V\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\end{array}\right....\left(40\right)$

根据这两个式子，能如下式那样获得交流电压振幅的计算式。

[数学式41]

$V=\sqrt{\frac{{(v_{11}+v_{12})}^2}{4{\cos }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}}+\frac{{(v_{11}-v_{12})}^2}{4{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}}}=\sqrt{\frac{{(v_{11}+v_{12})}^2}{2(1+f_C)}+\frac{{(v_{11}-v_{12})}^2}{2(1-f_C)}}...\left(41\right)$

能利用下式来表示用于移动平均处理的计算式。

[数学式42]

$V\left(t\right)=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{\frac{{\left\{v_{\mathrm{add}}(t,k)\right\}}^2}{2(1+f_C)}+\frac{{\left\{v_{\mathrm{sub}}(t,k)\right\}}^2}{2(1-f_C)}}...\left(42\right)$

上式的根号符内的v_add(t,k)、v_sub(t,k)的计算式如下所示。

[数学式43]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{add}}(t,k)=\mathrm{Re}\left[v_1(t-{\mathrm{kT}}_1)\right]+\mathrm{Re}\left[v_1(t-T-{\mathrm{kT}}_1)\right]\\ v_{\mathrm{sub}}(t,k)=\mathrm{Re}\left[v_1(t-{\mathrm{kT}}_1)\right]-\mathrm{Re}\left[v_1(t-T-{\mathrm{kT}}_1)\right]\end{array}\right....\left(43\right)$

(基于旋转电压群的交流电压振幅的计算式(第2计算式))

本申请发明人发现用于计算交流电压振幅的下式，并代入实数群表的关联积，来进行式变形。

[数学式44]

v² ₁₁+v² ₁₂-2v₁₂v₁₁cosα

＝V²[cos(2ωt)cosα+1-cos(2ωt)cosα-cos²α]    …(44)

＝V²sin²α

根据上式，能如下式那样获得交流电压振幅的计算式。

[数学式45]

$V=\sqrt{\frac{{v^2}_{11}+{v^2}_{12}-{2v}_{12}{v}_{11}\cos \mathrm{\&alpha;}}{{\sin }^2\mathrm{\&alpha;}}}=\sqrt{\frac{{v^2}_{11}+{v^2}_{12}-{2v}_{12}{v}_{11}{f}_C}{1-{f_C}^2}}...\left(45\right)$

与上述相同，能利用下式来表示用于移动平均处理的计算式。

[数学式46]

$V\left(t\right)=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{\frac{v_{\mathrm{add}2}(t,k)}{1-{f_C}^2}}...\left(46\right)$

上式的根号符内的v_add2(t,k)的计算式如下所示。

[数学式47]

v_add2(t，k)＝{Re[v₁(t-kT₁)]}²+{Re[v₁(t-T-kT₁)]}²…(47)

-2f_C×{Re[v₁(t-kT₁)]}×{Re[v₁(t-T-kT₁)]}

(旋转电压群的对称性指标)

作为旋转电压群的对称性指标，提出下式。

[数学式48]

$\left|\frac{V_1-V_2}{V_1}\right|>d{V}_{\mathrm{SET}}...\left(48\right)$

上式中，V₁是交流电压振幅的第1计算式的计算结果，V₂是交流电压振幅的第2计算式的计算结果，dV_SET是设定值。此处，在满足上式的情况下，旋转电压群的对称性被破坏。因此，在对称性被破坏的时刻，将对称性被破坏前的计算值加以锁存。另一方面，在不满足上式的情况下，判定为对称性未被破坏，使用当前的对称群的计算值。

(复平面上的计量差分电压群)

图8是表示使用正数旋转相位角的复平面上的计量差分电压群的图。图8所示的复平面上的3个差分电压旋转矢量能利用下式来表示。

[数学式49]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_2\left(t\right)=V{e}^{j(\mathrm{\&omega;t}+\frac{3\mathrm{\&alpha;}}{2})}-V{e}^{j(\mathrm{\&omega;t}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})}\\ v_2(t-T)=V{e}^{j(\mathrm{\&omega;t}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})}-V{e}^{j(\mathrm{\&omega;t}-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})}\\ v_2(t-2T)=V{e}^{j(\mathrm{\&omega;t}-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})}-V{e}^{j(\mathrm{\&omega;t}-\frac{3\mathrm{\&alpha;}}{2})}\end{array}\right....\left(49\right)$

上式中，V为交流电压振幅，ω为旋转角速度，T为计量采样频率的数小时的步长，α为T的旋转相位角。在图8所示的3个差分电压旋转矢量v₂(t)、v₂(t-T)、v₂(t-2T)中，位于两侧的2个差分电压旋转矢量v₂(t)、v₂(t-2T)对于位于中央的差分电压旋转矢量v₂(t-T)具有对称性。并且，在其它的时间，这3个差分电压旋转矢量都发生旋转，即使在其它的位置，两者之间的相位角差即旋转相位角α也不发生变化。因此，与计量电压群同样具有旋转不变性的性质，将这3个差分电压旋转矢量定义为计量差分电压群。

(负数旋转相位角)

图9是表示使用负数旋转相位角的复平面上的计量差分电压群的图。在差分电压旋转矢量彼此间的旋转相位角大于180度的情况下，与计量电压群同样地使用负数旋转相位角。

如图9所示，可知计量差分电压群的成员彼此之间具有对称性，即使计量差分电压群的旋转相位角变成负的，也具有旋转不变性。

(计量差分电压群的矢量群表)

为了对计量差分电压群的不变量进行调查，构筑下述表5所示的计量电压群的矢量群表。

[表5]

表5计量差分电压群的矢量群表

x	v2(t)	v2(t-T)	v2(t-2T)
				v2(t)	v2 2(t)	v2(t-T)v2(t)	v2(t-2T)v2(t)
v2(t-T)	v2(t)v2(t-T)	v2 2(t-T)	v2(t-2T)v2(t-T)
				v2(t-2T)	v2(t)v2(t-2T)	v2(t-T)v2(t-2T)	v2 2(t-2T)

上述矢量群表的差分电压旋转矢量是复数状态变量。上表的“×”符号表示对表侧的元素和表头的元素进行乘法运算。此时，计量差分电压群的矢量群表的各积元素能如下式那样来表示。

[数学式50]

$\left\{\begin{array}{c}{v_2}^2\left(t\right)=V^2[e^{j(2\mathrm{\&omega;t}+3\mathrm{\&alpha;})}+e^{j(2\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})}-2e^{j(2\mathrm{\&omega;t}+2\mathrm{\&alpha;})}]\\ v_2\left(t\right)v_2(t-T)=V^2[e^{j(2\mathrm{\&omega;t}+2\mathrm{\&alpha;})}+e^{j\left(2\mathrm{\&omega;t}\right)}-2e^{j(\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})}]\\ v_2\left(t\right)v_2(t-2T)=V^2[e^{j(2\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})}-2e^{j\left(2\mathrm{\&omega;t}\right)}]\\ {v_2}^2(t-T)=V^2[e^{j(2\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})}-2e^{j\left(2\mathrm{\&omega;t}\right)}]\\ v_2(t-T)v_2(t-2T)=V^2[e^{j\left(2\mathrm{\&omega;t}\right)}+e^{j(2\mathrm{\&omega;t}-2\mathrm{\&alpha;})}-2e^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})}]\\ {v_2}^2(t-2T)=V^2[e^{j(2\mathrm{\&omega;t}-3\mathrm{\&alpha;})}+e^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})}-2e^{j(2\mathrm{\&omega;t}-2\mathrm{\&alpha;})}]\end{array}\right....\left(50\right)$

若进行上式右边的计算，则能简化为下式。

[数学式51]

$\left\{\begin{array}{c}{v_2}^2\left(t\right)=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}+2\mathrm{\&alpha;}-\mathrm{\&pi;})}\\ v_2\left(t\right)v_2(t-T)=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}+2\mathrm{\&alpha;}-\mathrm{\&pi;})}\\ v_2\left(t\right)v_2(t-2T)=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&pi;})}\\ {v_2}^2(t-T)=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&pi;})}\\ v_2(t-T)v_2(t-2T)=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;}-\mathrm{\&pi;})}\\ {v_2}^2(t-2T)=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}-2\mathrm{\&alpha;}-\mathrm{\&pi;})}\end{array}\right....\left(51\right)$

在复平面上表示基于上式的矢量积元素的图为图10。各矢量积元素以2ω的角速度逆时针旋转。下面，选择3个对称性进行说明。

具有对称性的第1组是位于各旋转矢量的中间轴(图10的示例中的实轴(Re轴))上的v₂ ²(t-T)和v₂(t)v₂(t-2T)这一组，如下式所示，两者矢量积的结果相等。

[数学式52]

${v_2}^2(t-T)=v_2\left(t\right)v_2(t-2T)=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&pi;})}...\left(52\right)$

通过后述的计算式可知，以前(例如上述专利文献3)所提出的计量差分电压由上述组构成。

具有对称性的第2组是v₂(t)v₂(t-T)和v₂(t-T)v₂(t-2T)这一组，两者相对于中间轴具有相位差α。通过后述的计算式，能利用该组构成频率系数。

具有对称性的第3组是v₂ ²(t)和v₂ ²(t-2T)这一组，两者相对于中间轴具有相位差2α。通过后述的计算式，能利用该组和中间的旋转矢量v₂(t-T)来构成只有平方式的计量差分电压。

(计量差分电压群的实数群表)

为了导出计量差分电压群的不变量的计算式，构筑下述表6所示的计量差分电压群的实数群表。

[表6]

表6计量差分电压群的实数群表

x	v21	v22	v23
				v21	v2 21	v22v21	v23v21
v22	v21v22	v2 22	v23v22
				v23	v21v23	v22v23	v2 23

接着，对计量差分电压群的实数群表进行说明。首先，能利用下式来表示表6的组的结构元素即各瞬时值元素。

[数学式53]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{21}=\mathrm{Re}\left[v_2\left(t\right)\right]=V[\cos (\mathrm{\&omega;t}+\frac{3\mathrm{\&alpha;}}{2})-\cos (\mathrm{\&omega;t}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})]=-2V\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\\ v_{22}=\mathrm{Re}\left[v_2(t-T)\right]=V[\cos (\mathrm{\&omega;t}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})-\cos (\mathrm{\&omega;t}-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})]=-2V\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\\ v_{23}=\mathrm{Re}\left[v_2(t-2T)\right]=V[\cos (\mathrm{\&omega;t}-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})-\cos (\mathrm{\&omega;t}-\frac{3\mathrm{\&alpha;}}{2})]=-2V\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\end{array}\right....\left(53\right)$

上式中，“Re”表示复数的实数部。通过上式，表6所示的各积元素能如下式那样来表示。

[数学式54]

$\left\{\begin{array}{c}{v^2}_{21}=4v^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{\sin }^2(\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\\ v_{22}{v}_{21}=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\\ v_{23}{v}_{21}=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\sin (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\\ {v^2}_{22}=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{\sin }^2\left(\mathrm{\&omega;t}\right)\\ v_{23}{v}_{22}=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\\ {v^2}_{23}=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{\sin }^2(\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\end{array}\right....\left(54\right)$

接着，利用该计量差分电压群的实数群表的各积元素，对与计量差分电压群相关的各种不变量的计算式进行说明。

(基于计量差分电压群的频率系数的计算式)

以下，对基于计量差分电压群的频率系数的计算式进行说明。本申请发明人参照图10所示的计量差分电压群的空间矢量图，为了导出频率系数的计算式和实数群表之间的关系，在进行下式变形的同时，将表6所示的实数群表的积元素代入该变形式。

[数学式55]

$\begin{array}{c}{f}_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{2v_{22}}=\frac{v_{22}{v}_{21}+v_{23}{v}_{22}}{2{v^2}_{22}}\\ =\frac{4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}[\sin (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)+\sin (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)]}{4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{\sin }^2\left(\mathrm{\&omega;t}\right)}\\ =\cos \mathrm{\&alpha;}\end{array}...\left(55\right)$

根据上述式变形可知，能使用实数群表的积元素来计算计量差分电压群的频率系数f_C。

(计量差分电压群的对称性指标)

作为计量差分电压群的对称性指标，提出下式。

[数学式56]

$\left|f_C\right|=\left|\frac{v_{21}+v_{23}}{2v_{22}}\right|>1...\left(56\right)$

此处，在满足上式的情况下，由v₂(t)、v₂(t-T)、v₂(t-2T)构筑而成的计量差分电压群的对称性被破坏。因此，在计量差分电压群的对称性被破坏的时刻，将对称性被破坏前的计算值加以锁存。另一方面，在不满足上式的情况下，判定为对称性未被破坏，使用当前的计算值。

(基于计量差分电压群的旋转相位角及实时频率)

基于计量差分电压群的旋转相位角及实时频率的计算式与基于计量电压群的旋转相位角及实时频率的计算式相同，因此省略此处的说明。

(计量差分电压的定义和计算式(第1计算式))

本申请发明人通过图10所示的“计量差分电压群的矢量积空间图”，发现了下式作为表示计量差分电压的平方值(2次方值)，并将实数群表的关联积代入该计算式，进行式变形。

[数学式57]

$\begin{array}{c}{V_{\mathrm{gd}}}^2={v^2}_{22}-v_{21}{v}_{23}\\ =4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}[{\sin }^2\left(\mathrm{\&omega;t}\right)-\sin (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})\sin (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})]\\ =4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}[{\sin }^2\left(\mathrm{\&omega;t}\right)+\frac{1}{2}\cos \left(2\mathrm{\&omega;t}\right)-\frac{1}{2}\cos 2\mathrm{\&alpha;}]\\ =4V^2{\sin }^2\mathrm{\&alpha;}{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\end{array}...\left(57\right)$

根据上式，计量差分电压值能使用上述专利文献3也有所示的下式来进行计算。

[数学式58]

$V_{\mathrm{gd}}=2V\sin \mathrm{\&alpha;}\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}...\left(58\right)$

(计量差分电压的移动平均处理)

与旋转相位角、实时频率、计量电压的情况相同，在计算计量差分电压时，为了降低噪声的影响，进行例如下式所示的移动平均处理是有效的。

[数学式59]

$V_{\mathrm{gd}}\left(t\right)=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{{\left\{\mathrm{Re}\right[v_2(t-T-k{T}_1)\left]\right\}}^2-\mathrm{Re}\left[v_2(t-k{T}_1)\right]\&CenterDot;\mathrm{Re}\left[v_2(t-2T-k{T}_1)\right]}...\left(59\right)$

上式中，T₁是数据收集采样周期，M是包含当前时刻的数据收集采样点数。

(基于计量差分电压群的交流电压振幅的计算式(第1计算式))

若使用上述式(58)，能利用下式计算基于计量差分电压群的交流电压振幅V_D。

[数学式60]

$V_D=\frac{V_{\mathrm{gd}}}{2\sin \mathrm{\&alpha;}\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}}=\frac{V_{\mathrm{gd}}}{2\sqrt{1-{f_C}^2}\sqrt{\frac{1-f_C}{2}}}=\frac{\sqrt{2}{V}_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}...\left(60\right)$

计量差分电压利用电压瞬时值的差分来进行计算，因此电压波形中的直流分量影响被抵消，从而能进行高速、高精度的测定。

(交流电压振幅的移动平均)

与其它的电气量相同，在计算交流电压振幅时，为了降低噪声的影响，进行例如下式所示的移动平均处理是有效的。

[数学式61]

$V=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{V}_D(t-k{T}_1)...\left(61\right)$

(基于计量差分电压群的交流电压有效值的计算式)

在电力系统中常利用交流电压有效值。根据上述结果，能利用下式求出交流电压有效值V_rms。

[数学式62]

$V_{\mathrm{rms}}=\frac{V}{\sqrt{2}}=\frac{V_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}...\left(62\right)$

(计量差分电压的其它计算式(第2计算式))

本申请发明人基于图10所示的“计量差分电压群的矢量积空间图”，发现了与上述式(57)不同的下式来作为与计量差分电压有关的其它计算式，并代入表6所示的实数群表的关联积进行式变形。

[数学式63]

$\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{gd}}=\sqrt{\frac{{v_{21}}^2+{v_{23}}^2}{2}-{v^2}_{22}\cos 2\mathrm{\&alpha;}}\\ =\sqrt{2V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}[{\sin }^2(\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})+{\sin }^2(\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})-2{\sin }^2\left(\mathrm{\&omega;t}\right)\cos 2\mathrm{\&alpha;}]}\\ =\sqrt{2V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}[1-\cos \left(2\mathrm{\&omega;t}\right)\cos 2\mathrm{\&alpha;}-2{\sin }^2\left(\mathrm{\&omega;t}\right)\cos 2\mathrm{\&alpha;}]}\\ =\sqrt{2V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}(1-\cos 2\mathrm{\&alpha;})}\\ =2V\sin \mathrm{\&alpha;}\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\end{array}...\left(63\right)$

上述式(63)是计量电压的平方值的计算式，也可以利用下式计算计量电压。

[数学式64]

$V_{\mathrm{gd}}=\sqrt{\frac{{v_{21}}^2+{v_{23}}^2}{2}-{v^2}_{22}(2{f_C}^2-1)}...\left(64\right)$

上述计算式仅由输入变量的平方运算来构成，对于计算机数据处理具有有利的一面。根据式(59)，示出移动平均处理的计算式。

[数学式65]

$V_{\mathrm{gd}}\left(t\right)=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{\frac{{\left\{\mathrm{Re}\right[v_2(t-K{T}_1)\left]\right\}}^2+{\left\{\mathrm{Re}\right[v_2(t-2T-k{T}_1)\left]\right\}}^2}{2}-{\left\{\mathrm{Re}\right[v_2(t-T-k{T}_1)\left]\right\}}^2(2{f_C}^2-1)}...\left(65\right)$

(与交流电压振幅有关的其它计算式(第2计算式))

本申请发明人也试着导出与交流电压振幅有关的其它计算式。具体而言，发现了表示计量差分电压群的成员彼此的加法运算以及减法运算的下式和下下式，将实数群表的关联积分别代入到下式和下下式中来进行式变形。

[数学式66]

$\begin{array}{c}{v}_{21}+v_{23}+{2v}_{22}=-2V\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}[\sin (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})+\sin (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})2\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)]\\ =-4V\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}(\cos \mathrm{\&alpha;}+1)\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)=-8V\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{\cos }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\end{array}...\left(66\right)$

[数学式67]

$\begin{array}{c}{v}_{21}-v_{23}=-2V\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}[\sin (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})-\sin (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})]\\ =-4V\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin \mathrm{\&alpha;}\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\end{array}...\left(67\right)$

根据这两个式子，能如下式那样获得交流电压振幅的计算式。

[数学式68]

$\begin{array}{c}v=\sqrt{{\left(\frac{v_{21}+v_{23}+2v_{22}}{8\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{\cos }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}}\right)}^2+{\left(\frac{v_{21}-v_{23}}{4\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin \mathrm{\&alpha;}}\right)}^2}\\ =\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{1-{f_C}^2}}\sqrt{\frac{{(v_{21}+v_{23}+2v_{22})}^2}{1+f_C}+\frac{{(v_{21}-v_{23})}^2}{1-f_C}}\end{array}...\left(68\right)$

能利用下式来表示用于移动平均处理的计算式。

[数学式69]

$V\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}}{4M\sqrt{1-{f_C}^2}}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{\frac{{\left\{v_{2\mathrm{add}}(t,k)\right\}}^2}{1+f_C}+\frac{{\left\{v_{2\mathrm{sub}}(t,k)\right\}}^2}{1-f_C}}...\left(69\right)$

上式的根号符内的v_2add(t，k)、v_2sub(t，k)的计算式如下所示。

[数学式70]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{2\mathrm{add}}(t,k)=\mathrm{Re}\left[v_2(t-k{T}_1)\right]+\mathrm{Re}\left[v_2(t-2T-k{T}_1)\right]+2\mathrm{Re}\left[v_2(t-T-k{T}_1)\right]\\ v_{2\mathrm{sub}}(t,k)=\mathrm{Re}\left[v_2(t-k{T}_1)\right]-\mathrm{Re}\left[v_2(t-2T-k{T}_1)\right]\end{array}\right....\left(70\right)$

能利用下式计算交流电压的有效值。

[数学式71]

$V_{\mathrm{rms}}=\frac{V}{\sqrt{2}}=\frac{1}{4\sqrt{1-{f_C}^2}}\sqrt{\frac{{(v_{21}+v_{23}+2v_{22})}^2}{1+f_C}+\frac{{(v_{21}-v_{23})}^2}{1-f_C}}...\left(71\right)$

如上所述，通过计量差分电压群的群表、对于计量差分电压群的运算操作(加法运算、减法运算等)，能发现各种不变量。

(由计量电压和计量差分电压构成的特性三角形)

图11是表示由计量电压和计量差分电压构成的特性三角形的图，以交流电压振幅V及旋转相位角α之间的关系图示出计量电压V_g和计量差分电压V_gd。计量电压V_g是旋转相位角α的正弦值和交流电压振幅V的积，计量差分电压V_gd是旋转相位角α的1/2正弦值与计量电压V_g之积的2倍值，以图示那样的关系来表示。根据这样的图可知，计量电压V_g和计量差分电压V_gd是利用旋转相位角α生成的不变量。

由此开始，提出能够将计量差分电压群的构成成员即旋转差分矢量的个数减一从而更高速地计算输出的对称差分电压群。另外，将此处所说的对称差分电压群、即由减少了一个旋转差分矢量个数的2个旋转差分矢量构成的对称差分电压群称作旋转差分电压群。

(复平面上的旋转差分电压群)

图12是表示复平面上的旋转差分电压群的图。图12所示的复平面上的2个差分电压旋转矢量能利用下式来表示。

[数学式72]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_2\left(t\right)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})}-{\mathrm{Ve}}^{j\left(\mathrm{\&piv;t}\right)}\\ v_2(t-T)={\mathrm{Ve}}^{j\left(\mathrm{\&omega;t}\right)}-{\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})}\end{array}\right....\left(72\right)$

上式中，V为交流电压振幅，ω为旋转角速度，T为计量采样频率的数小时的步长，α为T的旋转相位角。图12中，2个差分电压旋转矢量v₂(t)，v₂(t-T)具有对称性。这两个差分电压旋转矢量即使在其它的时间、其它的位置，该两个差分电压旋转矢量之间的旋转相位角α也不发生变化。即，该旋转差分电压群也是与上述计量差分电压群同样具有旋转不变性的性质的结构体。

(旋转差分电压群的矢量群表)

为了对旋转差分电压群的不变量进行调查，构筑下述表7所示的旋转差分电压群的矢量群表。

[表7]

表7旋转差分电压群的矢量群表

×	v2(t)	v2(t-T)
			v2(t)	v2 2(t)	v2(t-T)v1(t)
v2(t-T)	v2(t)v2(t-T)	v2 2(t-T)

上述矢量群表所示的差分电压旋转矢量是复数状态变量。上表的“×”符号表示对表侧的元素和表头的元素进行乘法运算。此时，旋转差分电压群的矢量群表的各积元素能如下式那样来表示。

[数学式73]

$\left\{\begin{array}{c}{v_2}^2\left(t\right)=V^2[e^{j(2\mathrm{\&omega;t}+2\mathrm{\&alpha;})}+e^{j\left(2\mathrm{\&omega;t}\right)}-2e^{j(2\mathrm{\&omega;r}+\mathrm{\&alpha;})}]\\ v_2\left(t\right)v_2(t-T)=V^2[e^{j(2\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})}-2e^{j\left(2\mathrm{\&omega;t}\right)}]\\ {v_2}^2(t-T)=V^2[e^{j\left(2\mathrm{\&omega;t}\right)}+e^{j(2\mathrm{\&omega;t}-2\mathrm{\&alpha;})}-2e^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})}]\end{array}\right....\left(73\right)$

若进行上式右边的计算，则能简化为下式。

[数学式74]

$\left\{\begin{array}{c}{v_2}^2\left(t\right)4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;}-\mathrm{\&pi;})}\\ v_2\left(t\right)v_2(t-T)=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&pi;})}\\ {v_2}^2(t-T)=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{e}^{j(2\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;}-\mathrm{\&pi;})}\end{array}\right....\left(74\right)$

在复平面上表示基于上式的矢量积元素的图为图13。此处，将通过2个矢量的积运算而生成的空间称为矢量积空间。利用该矢量积空间，会观察到交流正弦波中内在的对称性。矢量积空间中，各矢量积元素以2ω的角速度进行逆时针旋转。

另外，如图13所示，v₂ ²(t)和v₂ ²(t-T)这一组相对于中间轴(图13的示例中为实轴(Re轴))具有相位差α。详细情况将在后文阐述，能利用该组计算电压振幅。

(旋转差分电压群的实数群表)

为了导出旋转差分电压群的不变量的计算式，构筑下述表8所示的旋转差分电压群的实数群表。另外，如上所述，可以将差分电压旋转矢量的实数部用作为实数群表中的电压瞬时值，也可以将差分电压旋转矢量的虚数部用作为实数群表中的电压瞬时值。

[表8]

表8旋转差分电压群的实数群表

x	v21	v22
			v21	v2 21	v22v21
v22	v21v22	v2 22

接着，对旋转差分电压群的实数群表进行说明。首先，能利用下式来表示表8的组的结构元素即各瞬时值元素。

[数学式75]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{21}=\mathrm{Re}\left[v_2\left(t\right)\right]=V[\cos (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})-\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)]=-2V\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin (\mathrm{\&omega;t}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})\\ v_{22}=\mathrm{Re}\left[v_2(t-T)\right]=V[\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)-\cos (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})]==-2V\sin \frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin (\mathrm{\&omega;t}-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})\end{array}\right....\left(75\right)$

通过上式，表8所示的各积元素能如下式那样来表示。

[数学式76]

$\left\{\begin{array}{c}{v^2}_{21}=4v^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{\sin }^2(\mathrm{\&omega;t}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})\\ v_{22}{v}_{21}=4v^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\sin (\mathrm{\&omega;t}+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})\sin (\mathrm{\&omega;t}-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})\\ {v^2}_{22}=4V^2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}{\sin }^2(\mathrm{\&omega;t}-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})\end{array}\right....\left(76\right)$

接着，利用该旋转差分电压群的实数群表的各积元素，对与旋转差分电压群相关的各种不变量的计算式进行说明。

(基于旋转差分电压群的交流电压振幅的计算式(第1计算式))

与计量差分电压群的情况相同，利用表示成员彼此的加法运算和减法运算的计算来进行式变形。

[数学式77]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{21}=v_{22}=-2V\sin \mathrm{\&alpha;}\sin \left(\mathrm{\&omega;y}\right)\\ v_{21}-v_{22}=-4V{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)\end{array}\right....\left(77\right)$

根据这两个式子，能如下式那样获得交流电压振幅的计算式。

[数学式78]

$V=\sqrt{\frac{{(v_{21}+v_{22})}^2}{4{\sin }^2\mathrm{\&alpha;}}+\frac{{(v_{21}-v_{22})}^2}{16{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{1-f_C}}\sqrt{\frac{{(v_{21}+v_{22})}^2}{1+f_C}+\frac{{(v_{21}-v_{22})}^2}{1-f_C}}...\left(78\right)$

能利用下式来表示用于移动平均处理的计算式。

[数学式79]

$V\left(t\right)=\frac{1}{2M\sqrt{1-f_C}}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{\frac{{\left\{v_{2\mathrm{add}}(t,k)\right\}}^2}{1+f_C}+\frac{{\left\{v_{2\mathrm{sub}}(t,k)\right\}}^2}{1-f_C}}...\left(79\right)$

上式的根号符内的v_2add(t，k)、v_2sub(t，k)的计算式如下所示。

[数学式80]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{2\mathrm{add}}(t,k)=\mathrm{Re}\left[v_2(t-k{T}_1)\right]+\mathrm{Re}\left[v_2(t-T-k{T}_1)\right]\\ v_{2\mathrm{sub}}(t,k)=\mathrm{Re}\left[v_2(t-k{T}_1)\right]-\mathrm{Re}\left[v_2(t-T-k{T}_1)\right]\end{array}\right....\left(80\right)$

(基于旋转差分电压群的交流电压振幅的计算式(第2计算式))

本申请发明人发现用于计算交流电压振幅的下式，代入实数群表的关联积，来进行式变形。

[数学式81]

$\begin{array}{c}{v^2}_{21}+{v^2}_{22}-2v_{22}{v}_{21}\cos \mathrm{\&alpha;}\\ =4V^2{\sin }^2\mathrm{\&alpha;}{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\end{array}...\left(81\right)$

根据上式，能如下式那样获得交流电压振幅的计算式。

[数学式82]

$V=\sqrt{\frac{{v^2}_{21}+{v^2}_{22}-2v_{22}{v}_{21}\cos \mathrm{\&alpha;}}{2{\sin }^2\mathrm{\&alpha;}{\sin }^2\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}}}=\sqrt{\frac{{v^2}_{21}+{v^2}_{22}-2v_{22}{v}_{21}{f}_C}{2(1+f_C){(1-f_C)}^2}}...\left(82\right)$

与上述相同，能利用下式来表示用于移动平均处理的计算式。

[数学式83]

$V\left(t\right)=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\sqrt{\frac{v_{2\mathrm{add}2}(t,k)}{2(1+f_C){(1-f_C)}^2}}...\left(83\right)$

上式的根号符内的v_add2(t，k)的计算式如下所示。

[数学式84]v_2add2(t，k)＝{Re[v₂(t-kT₁]}²+{Re[v₂(t-T-kT₁)]}²…(84)

-2f_C×{Re[v₂(t-kT₁)]}×(Re[v₂(t-T-kT₁)]}

(旋转差分电压群的对称性指标)

作为旋转电压群的对称性指标，提出下式。

[数学式85]

$\left|\frac{V_1-V_2}{V_1}\right|>d{V}_{\mathrm{SET}}...\left(85\right)$

上式中，V₁是交流电压振幅的第1计算式的计算结果，V₂是交流电压振幅的第2计算式的计算结果，dV_SET是设定值。此处，在满足上式的情况下，旋转差分电压群的对称性被破坏。因此，在对称性被破坏的时刻，将对称性被破坏前的计算值加以锁存。另一方面，在不满足上式的情况下，判定为对称性未被破坏，使用当前的对称群的计算值。

(直流电气量的计算)

在本申请发明的在先发明(例如，上述专利文献3)中，导出了直流偏移电压的计算式。另一方面，本申请发明的测定方法也能应用于以直流偏移电压为首的各种直流电气量的测定。世上并不存在纯粹的直流分量，可以认为各种频率分量合成后而成为直流。因此，本申请发明中，首先测定基波频率分量(在本申请的实施例中，设为电力系统的额定频率，但不同的电路会存在不同的基波)，之后利用计量电压群(计量电流群)将基波分量截掉而求取直流分量。然后，进行用于降低噪声的移动平均处理。

(基于计量电压群的直流电压的计算式(第1计算式))

图14是表示具有直流分量时的复平面上的计量电压群的图。能分别以下式来表示图14所示的计量电压群v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)的各实数部瞬时值。

[数学式86]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{11}=V\cos (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})+v_{\mathrm{DC}}\\ v_{12}=V\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)+v_{\mathrm{DC}}\\ v_{13}=V\cos (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})+v_{\mathrm{DC}}\end{array}\right....\left(86\right)$

从计量电压群的各实数瞬时值减去直流分量v_DC后得到的各分量满足导出计量电压群的频率系数的上述式(11)，因此下式成立。

[数学式87]

$f_C=\frac{v_{11}+v_{13}-2v_{\mathrm{DC}}}{2(v_{12}-v_{\mathrm{DC}})}=\frac{V\cos (\mathrm{\&omega;t}+\mathrm{\&alpha;})+V\cos (\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{\&alpha;})}{2V\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)}=\cos \mathrm{\&alpha;}...\left(87\right)$

利用上式，能使用下式计算直流电压。

[数学式88]

$v_{\mathrm{DC}}=\frac{v_{11}+v_{13}-2v_{12}{f}_C}{2(1-f_C)}...\left(88\right)$

(直流电压的移动平均)

在计算直流电压时，为了降低噪声的影响，与其它电气量同样地进行下式所示的移动平均处理是有效的。

[数学式89]

$v_{\mathrm{DC}}=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\mathrm{Re}\left[v_1(t-k{T}_1)\right]+\mathrm{Re}\left[v_1(t-2T-k{T}_1)\right]-2\mathrm{Re}\left[v_1(t-T-k{T}_1)\right]f_C}{2(1-f_C)}...\left(89\right)$

(基于计量电压群的直流电压的其它计算式(第2计算式))

从计量电压群的各实数瞬时值减去直流分量v_DC后得到的分量具有对称性，因此满足下式。

[数学式90]

v_g ²＝(v₁₂-v_DC)²-(v₁₁-v_DC)(v₁₃-v_DC)…(90)

利用该式和上述式(20)，能得到下式。

[数学式91]

v_g ²＝(v₁₂-v_DC)²-(v₁₁-v_DC)(v₁₃-v_DC)＝V²sin²α…(91)

若展开上式，能利用下式对直流电压v_DC进行计算。

[数学式92]

$v_{\mathrm{DC}}=\frac{V^2{\sin }^2\mathrm{\&alpha;}-{v_{12}}^2+v_{11}{v}_{13}}{v_{11}+v_{13}-2v_{12}}...\left(92\right)$

此外，利用基于计量差分电压的交流电压振幅的计算式(例如上述式(60))，下式成立。

[数学式93]

$v^2{\sin }^2\mathrm{\&alpha;}={\left(\frac{\sqrt{2}{V}_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}\right)}^2(1-{f_C}^2)=\frac{{V_{\mathrm{gd}}}^2}{2(1-f_C)}...\left(93\right)$

根据上述式(93)，上述式(92)能如下式那样进行变形。

[数学式94]

$v_{\mathrm{DC}}=\frac{\frac{{V_{\mathrm{gd}}}^2}{2(1-f_C)}-{v_{12}}^2+v_{11}{v}_{13}}{v_{11}+v_{13}-2v_{12}}...\left(94\right)$

在基于上述式(94)计算直流电压时，为了降低噪声的影响，与其它电气量同样地进行下式所示的移动平均处理是有效的。

[数学式95]

$v_{\mathrm{DC}}=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\frac{{V_{\mathrm{gd}}}^2}{2(1-f_C)}-{\left\{\mathrm{Re}\right[v(t-T-k{T}_1)\left]\right\}}^2+\mathrm{Re}\left[v(t-{\mathrm{kT}}_1)\right]\mathrm{Re}\left[v(t-2T-k{T}_1)\right]}{\mathrm{Re}\left[v(t-{\mathrm{kT}}_1)\right]+\mathrm{Re}\left[v(t-2T-k{T}_1)\right]-\mathrm{Re}\left[v(t-T-k{T}_1)\right]}...\left(95\right)$

(直流功率的计算式)

接着，提出直流和交流可能一起流动的电路网的直流功率的计算式。

首先，能利用下式计算直流功率。

[数学式96-1]

P_DC＝V_DCi_DC…(96-1)

另外，上式的直流电压vDC能利用上述计量电压群或旋转电压群来求出。上式的直流电流iDC能利用与计量电压群为相同结构(对称群)的计量电流群(省略说明)来求出。

提出以下的直流电力量的测量式。

[数学式96-2]

W_DC＝P_DC×t…(96-2)

上式中，t为测量时间，W_DC为直流电力量。

接着，基于图15～图18所示的模拟结果，对于本申请的测定方法所涉及的频率特性、频率增益特性进行考察。另外，模拟的条件如下所示。

·计量采样频率：200Hz

·输入波形：正弦波

·输入波形的频率：0～200Hz的范围内可变

·交流电压振幅：1V

·交流电压初始相位角：30度

图15是计量采样频率200Hz下的频率系数的频率特性图。如图15所示，频率系数是余弦函数，一个频率系数与两个输入频率相对应。频率系数的一侧(低频侧)在计量采样频率的1/2以下，频率系数的另一侧(高频侧)在计量采样频率的1/2以上。可知这两个频率系数以计量采样频率的1/2为轴而具有对称性。

图16是计量采样频率200Hz下的旋转相位角的频率特性图。图16中，在输入频率为计量采样频率的1/2以下的情况下，与在先发明(上述专利文献3)相同，旋转相位角在零到180度的范围内。另一方面，在输入频率为计量采样频率的1/2以上的情况下，与在先发明不同，旋转相位角在负180度到零的范围内。即，由于定义了取负值的旋转相位角，因此本发明中，输入频率和旋转相位角成为一元函数的关系，除去计量采样频率的1/2以外，若知道旋转相位角，则也能唯一地决定输入频率。

图17是计量采样频率200Hz下的电压振幅测定值的频率增益特性图。在先发明中，频率增益为“1”的区域是计量采样频率的1/2(图17的示例中为100Hz)，本申请发明中，可知频率增益＝1的区域能扩大至计量采样频率200Hz。

图18是计量采样频率200Hz下的频率测定值的频率增益特性图。如图18所示，可知频率测定值在整个计量采样频率范围内，频率增益均为“1”，从而频率增益＝1的区域能扩大至计量采样频率200Hz。

以上所示的各种计算式可以适用于各种电气量测定装置。以下，将示出2个实施方式来作为电气量测定装置的应用例。一个是实时频率测定装置，另一个是电压测定装置。本发明当然并不限于这些实施方式。

(实施方式1)

图19是表示实施方式1所涉及的实时频率测定装置的功能结构的图，图20是表示该实时频率测定装置中的处理流程的流程图。

如图19所示，实施方式1所涉及的实时频率测定装置A101包括：电压瞬时值数据输入部A102、频率系数计算部A103、对称性破坏判别部A104、频率系数锁存部A105、第1移动平均处理部A106、旋转相位角计算部A107、第2移动平均处理部A108、频率计算部A109、第3移动平均处理部A110、通信部A111、接口A122、以及存储部A113。此处，通信部A111在与其它装置进行通信时进行通信处理，接口A112进行将运算结果等输出至显示装置、外部装置的处理，存储部A113进行对测量数据、运算结果等进行存储的处理。

(步骤SA101)

在上述结构中，电压瞬时值数据输入部A102进行从电力系统所设置的仪表用变压器(PT)读取电压瞬时值的处理。读取出的电压瞬时值的数据被存放到存储部A113中。

(步骤SA102)

频率系数计算部A103基于例如使用计量差分电压群的上述计算处理，并利用再一次示出的下式来计算频率系数。

[数学式97]

$f_C=\frac{v_{21}-v_{23}}{2v_{22}}...\left(97\right)$

对于该频率系数的计算处理，若根据上述计算处理的概念统一进行说明，则可以按如下来说明。即、频率系数计算部A103进行如下处理：以规定的数据收集采样频率对作为测定对象的交流电压进行采样,从而得到电压瞬时值数据，并以比数据收集采样频率小且在该交流电压的频率以上的计量采样频率，从上述电压瞬时值数据中提取出连续的至少4点电压瞬时值数据，在表示上述连续的至少4点电压瞬时值数据中的相邻2点电压瞬时值数据间的前端间距离的3点差分电压瞬时值数据(v₂₁、v₂₂、v₂₃)中，利用中间时刻的差分电压瞬时值(v₂₂)对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和(v₂₁+v₂₃)的平均值((v₂₁+v₂₃)/2)进行归一化，将归一化后得到的值((v₂₁+v₂₃)/(2v₂₂))作为频率系数(f_C)来计算。

(步骤SA103)

对称性破坏判别部A104使用上述的计量差分电压群的对称性指标的判定式(再次示出的下式)来判定对称性的破坏。

[数学式98]

$f_C\frac{v_{21}+v_{23}}{2v_{22}}>1...\left(98\right)$

(步骤SA104)

在上式成立的情况下(步骤SA103为否)，判定为对称性被破坏，使用例如下式对前一次的频率系数值进行锁存加以利用。

[数学式99]

f_C(t)＝f_C(t-T₁)…(99)

另一方面，在上述式(98)不成立的情况下(步骤SA103：是)，判定为对称性没有被破坏，不对频率系数值进行锁存，转移到步骤SA105。

(步骤SA105)

第1移动平均处理部A106使用再次示出的下式，进行频率系数的移动平均处理。

[数学式100]

$f_C\left(t\right)=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_C(t-k{T}_1)...\left(100\right)$

(步骤SA106)

旋转相位角计算部A107使用再次示出的下式，计算旋转相位角。

[数学式101]

$\mathrm{\&alpha;}=\left\{\begin{array}{ccc}{\cos }^{-1}{f}_C& \mathrm{for}& f\&le;f_S/2,\\ -{\cos }^{-1}{f}_C& \mathrm{for}& f_S/2<f<f_S.\end{array}\right....\left(101\right)$

(步骤SA107)

第2移动平均处理部A108使用例如下式，进行与旋转相位角相关的移动平均处理。

[数学式102]

$\mathrm{\&alpha;}\left(t\right)=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M--1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&alpha;}(t-k{T}_1)...\left(102\right)$

(步骤SA108)

频率计算部A109使用下式计算实时频率。此处，f为实时频率，f_S为计量采样频率。

[数学式103]

$f=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2\mathrm{\&pi;}}{f}_s& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}>0,\\ (\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2\mathrm{\&pi;}}+1)f_s& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}<0,\\ \frac{f_s}{2}& \mathrm{for}& \mathrm{\&alpha;}=0.\end{array}\right....\left(103\right)$

(步骤SA109)

第3移动平均处理部A110使用例如下式，进行与频率(实时频率)相关的移动平均处理。

[数学式104]

$f\left(t\right)=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M--1}{\mathrm{\&Sigma;}}}f(t-k{T}_1)...\left(104\right)$

(步骤SA110)

实时频率测定装置A101输出测量结果。另外，将该测量结果作为频率继电器、电力系统状态监视点的实时频率来加以利用。

(步骤SA111)

实时频率测定装置A101判定处理是否已结束，若处理没有结束(步骤SA111为否)，则返回到步骤SA101。另一方面，若处理结束(步骤SA111为是)，则离开流程。

接着，基于使用案例1～3的数值例的模拟结果，对实施方式1所涉及的实时频率测定装置的实用性和效果进行说明。

首先，案例1的参数如下表9所示。案例1中，频率从设定的时刻开始以一定的变化率进行变化。

[表9]

表9 案例1的参数

项目名	设定值
		电力系统额定频率	60Hz
数据收集采样频率f1	4000Hz
		计量采样频率fs	200Hz
实时频率f	59Hz
		交流电压振幅V	1V
交流电压初始相位角	0Deg
		频率变动发生时间t1	从0.05S的时刻开始以2.5Hz/S速度增加
移动平均长度Tavg	16.67ms
		模拟结束时间Tend	0.4S

基于表9，电压瞬时值波形如下式所示。

[数学式105]

$v=\left\{\begin{array}{ccc}\cos \left(2\mathrm{\&pi;ft}\right)=\cos \left(370.71t\right)3& \mathrm{for}& t<0.05,\\ \cos [2(f+\mathrm{df}\&times;t)t+{\mathrm{\&phi;}}_C]=\cos [6.283(59+0.000625t)t+{\mathrm{\&phi;}}_C]& \mathrm{for}& t\&GreaterEqual;0.05.\end{array}\right....\left(105\right)$

上式中，是变化时刻(t＝0.05s)的电压相位角。根据上表，本模拟中的数据收集采样频率与计量采样频率之比(n)如下式所示。

[数学式106]

$n=\frac{4000}{200}=20...\left(106\right)$

此外，本模拟中，移动平均处理的数据点数如下式所示。

[数学式107]

$M=\mathrm{int}\left(\frac{T_{\mathrm{avg}}}{T_1}\right)=\mathrm{int}\left(\frac{0.01667}{1/4000}\right)=66...\left(107\right)$

该数值是系统额定频率的1周期左右。

图21是表示案例1下的电压瞬时值波形的图。案例1中，将数据采样频率设为4000Hz，可知采集了大量数据。

图22是表示案例1下的频率系数的测定结果的图。图22中，可知频率系数在0.05秒以后逐渐减少。频率变化前的频率系数能通过下式来计算。

[数学式108]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{2v_{22}}=-0.2790\left(\mathrm{PU}\right)...\left(108\right)$

图23是表示案例1下的旋转相位角的测定结果的图。图23中，可知旋转相位角根据频率系数的变化(减少)而逐渐增加。频率变化前的旋转相位角能通过下式来计算。

[数学式109]

α＝cos^-1f_C＝cos^-1(-0.2790)＝106.2(Deg)…(109)

图24是表示案例1下的实时频率的测定结果的图。图24中，可知实时频率根据旋转相位角的变化(增加)而逐渐增加。频率变化前的实时频率能通过下式来计算。

[数学式110]

$f=\frac{106.2}{360}\&times;200=59\left(\mathrm{Hz}\right)...\left(110\right)$

图24中，实时频率在0.05秒以后具有1周期(1/60＝16.67ms)左右的延迟，并追随理论频率而变化，可以认为获得了在实用上不存在问题的足够的精度。

接下来，对案例2进行说明。案例2的参数如下表10所示。

[表10]

表10 案例2的参数

项目名	设定值
		电力系统额定频率	60Hz
数据收集采样频率f1	4000Hz
		计量采样频率fs	80Hz
实时频率f	59.25Hz
		交流电压振幅V	1V
交流电压初始相位角	0Deg
		频率变动发生时间t1	0.05S时刻后骤增5Hz
移动平均长度Tavg	8.33ms
		模拟结束时间Tend	0.4S

另外，案例2相当于IEEEC27.118-2005、IEEE标准同步电力系统(IEEEStandard for Synchrophasor for Power Systems)的P49-50的G.4频率步测试(Frequency step test)(+5Hz)。该标准是使频率从额定频率(60Hz)变化+5Hz的设定，而案例2是使频率从异常频率(59.25Hz)变化+5Hz的设定。即，本申请的设定(案例2)为比该标准更严格的设定。

返回到模拟的说明。首先，基于表10，电压瞬时值波形如下式所示。

[数学式111]

$v=\left\{\begin{array}{c}\cos \left(2\mathrm{\&pi;ft}\right)=\cos \left(370.71\mathrm{lt}\right),\mathrm{for\; t}<0.05,\\ \cos \&lsqb;2\mathrm{\&pi;}(f+\mathrm{df})t+{\mathrm{\&phi;}}_C\&rsqb;=\cos (402.12t+{\mathrm{\&phi;}}_C),\mathrm{for\; t}\&GreaterEqual;0.05.\end{array}\right....\left(111\right)$

上式中，是变化时刻(t＝0.05s)的电压相位角。根据上表，本模拟中的数据收集采样频率与计量采样频率之比(n)如下式所示。

[数学式112]

$n=\frac{4000}{80}=50\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(112\right)$

此外，本模拟中，移动平均处理的数据点数如下式所示。

[数学式113]

$M=\mathrm{int}\left(\frac{T_{\mathrm{avg}}}{T_1}\right)=\mathrm{int}\left(\frac{0.00833}{1/4000}\right)=33\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(113\right)$

该数值是系统额定频率的1/2周期左右。计量采样频率80Hz比电力系统额定频率的2倍要小，因此旋转相位角是负数。

图25是表示案例2下的电压瞬时值波形的图。案例2中，将数据采样频率设为4000Hz，可知采集了大量数据。

图26是表示案例2下的频率系数的测定结果的图，频率变化前的频率系数能通过下式来计算。

[数学式114]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{{2v}_{22}}=-0.07846\left(\mathrm{PU}\right)\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(114\right)$

案例1和案例2中，即使实时频率大致相同(案例1：59Hz；案例2：59.25Hz)，由于计量采样频率不同(案例1：200Hz、案例2：80Hz)，因此频率系数的值不同。

频率变化后的频率系数能通过下式来计算。

[数学式115]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{{2v}_{22}}=0.3090\left(\mathrm{PU}\right)\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(115\right)$

根据式(114)和式(115)可知，频率系数从负值变化到正值。

图27是表示案例2下的旋转相位角的测定结果的图。频率变化前的旋转相位角能通过下式来计算。

[数学式116]

α＝cos^-1f_C＝cos^-1(-0.07846)＝-94.5(Deg)…(116)

频率变化后的旋转相位角能通过下式来计算。

[数学式117]

α＝cos^-1f_C＝cos^-1(0.3090)＝-72(Deg)…(117)

另外，在案例2的情况下，由于实时频率在计量采样频率的1/2(40Hz)以上，因此变化前后的旋转相位角均为负值(参照式(116)、式(117))。

图28是表示案例2下的实时频率的测定结果的图。频率变化前的实时频率能通过下式来计算。

[数学式118]

$f=(1-\frac{94.5}{360})\&times;80=59\left(\mathrm{Hz}\right)\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(118\right)$

根据图28，实时频率在0.05秒以后，在延迟了2～3周期左右的情况下追随理论频率的骤增，可以认为能获得在实用上不存在问题的足够精度。

频率变化后的实时频率能通过下式来计算。

[数学式119]

$f=(1-\frac{72}{360})\&times;80=64\left(\mathrm{Hz}\right)\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(119\right)$

案例3的参数如下表11所示。另外，设案例3的实时频率、交流电压振幅及交流电压初始相位角是未知的。

[表11]

表11案例3的参数

项目名	设定值
		电力系统额定频率	60Hz
数据收集采样频率f1	4000Hz
		计量采样频率fs	80Hz
实时频率f	未知
		交流电压振幅V	未知
交流电压初始相位角	未知
		移动平均长度Tavg	33.33ms
摸拟记录时间Tend	1.2S

根据上表，本模拟中的数据收集采样频率与计量采样频率之比(n)如下式所示。

[数学式120]

$n=\frac{4000}{200}=20\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(120\right)$

此外，本模拟中，移动平均处理的数据点数如下式所示。

[数学式121]

$M=\mathrm{int}\left(\frac{T_{\mathrm{avg}}}{T_1}\right)=\mathrm{int}\left(\frac{0.03333}{1/4000}\right)=133\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(121\right)$

该数值是系统额定频率的2周期左右。

图29是表示案例3下的第1电压瞬时值波形的图。案例3中，将数据采样频率设为4000Hz，可知采集了大量数据。此处，图29示出了到1.2秒为止的电压瞬时值数据。本案例的情况下，电压瞬时值的单位为PU，它们是变电站CT的二次侧的值。在需要的情况下，能利用CT比求出实际的电压值。

图30是表示案例3的第2电压瞬时值波形的图，扩大了范围表示0.4～0.6秒之间的数据。案例1、2中，在整个时间区域中，电压瞬时值波形的峰值高度都是一致的，而案例3的电压瞬时值波形的峰值高度有微妙变化。认为这是因电力系统负载的通断而产生的影响。

图31是表示案例3下的频率系数的测定结果的图。案例3中，模拟的设定数据中包含较多的电压颤动(相位振动)，因此可知频率系数激烈地变动。

图32是表示案例3下的旋转相位角的测定结果的图。案例3中，模拟的设定数据中包含较多的电压颤动(相位振动)，因此可知旋转相位角也激烈地变动。

图33是表示案例3下的实时频率的测定结果的图。案例3中，模拟的设定数据中包含较多的电压颤动(相位振动)，因此实时频率也振动，但实时频率的测定结果的变动范围为59.9～60.1Hz，比较小。因而，若将实施方式1所涉及的测定装置应用于频率继电器或频率变化率继电器，则能用作为兼具高速性和高精度性的实时频率测定装置。

实施方式1中，作为一个示例示出了将本申请的方法应用于频率测定装置的情况，但并不限于此。也能将本申请的方法应用于对交流电流振幅及直流电流进行测定的装置。

(实施方式2)

图34是表示实施方式2所涉及的电压测定装置的功能结构的图，图35是表示该电压测定装置中的处理流程的流程图。

如图34所示，实施方式2所涉及的电压测定装置A201包括：电压瞬时值数据输入部A202、频率系数计算部A203、对称性破坏判别部A204、交流电压振幅计算部A205、第1移动平均处理部A206、直流电压计算部A207、第2移动平均处理部A208、交流电压振幅锁存部A209、直流电压锁存部A210、接口A211、以及存储部A212。这里，接口A211进行将运算结果等输出到显示装置或外部装置的处理，存储部A212则进行存储测量数据、运算结果等的处理。

(步骤SA201)

在上述结构中，电压瞬时值数据输入部A202进行从电力系统所设置的仪表用变压器(PT)读取电压瞬时值的处理。读取出的电压瞬时值的数据被存放到存储部A212中。

(步骤SA202)

频率系数计算部A203与实施方式1相同，使用再次示出的下式来计算频率系数。

[数学式122]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{{2v}_{22}}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(122\right)$

(步骤SA203)

对称性破坏判别部A204与实施方式1相同，使用再次示出的下式来判定对称性的破坏。

[数学式123]

$\left|f_C\right|=\left|\frac{v_{21}+v_{23}}{{2v}_{22}}\right|>1\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(123\right)$

在上述式(123)不成立的情况下，判定为对称性没有被破坏(即纯粹的交流波形)(步骤SA203为是)，转移至步骤SA204。

(步骤SA204)

在交流电压振幅的计算中，利用计量差分电压群。交流电压振幅计算部A205使用下式及下下式来计算交流电压振幅。

[数学式124]

$V_{\mathrm{gd}}=\sqrt{{v_{22}}^2-v_{21}{v}_{23}}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(124\right)$

[数学式125]

$V=\frac{V_{\mathrm{gd}}}{\sqrt{2(1+f_C)}(1-f_C)}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(125\right)$

在上述式(124)、(125)中，v₂₁、v₂₂、v₂₃是差分电压瞬时值，V_gd是计量差分电压，f_c是频率系数，V是交流电压振幅。

(步骤SA205)

第1移动平均处理部A206使用下式，进行交流电压振幅的移动平均处理。

[数学式126]

$V=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}V(t-{\mathrm{kT}}_1)\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(126\right)$

(步骤SA206)

直流电压计算部A207使用下式计算直流电压。

[数学式127]

$v_{\mathrm{DC}}=\frac{v_{11}+v_{13}-{2v}_{12}{f}_C}{2(1-f_C)}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(127\right)$

(步骤SA207)

第2移动平均处理部A208使用下式进行直流电压的移动平均处理，然后转移至步骤SA210。

[数学式128]

$v_{\mathrm{DC}}=\frac{1}{M}\underset{k=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{v}_{\mathrm{DC}}(t-{\mathrm{kT}}_1)\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\left(128\right)$

(步骤SA208)

另一方面，在上述式(123)成立的情况下，判定为对称性被破坏(即不是纯粹的交流波形)(步骤SA203为否)，交流电压振幅锁存部A209使用下式对交流电压振幅所涉及的前一次的测量值进行锁存(步骤SA208)。

[数学式129]

V(t)＝V（t-T₁)…(129)

上式中，V(t-T₁)是交流电压振幅所涉及的前一次的测量值。

(步骤SA209)

接着步骤SA208，直流电压锁存部A210使用下式对直流电压所涉及的前一次的测量值进行锁存(步骤SA209)。

[数学式130]

v_DC(t)＝v_DC(t-T₁)…(130)

上式中，V_DC(t-T₁)是交流电压振幅所涉及的前一次的测量值。

(步骤SA210)

电压测定装置A201输出测量结果。另外，将该测量结果作为频率继电器、电力系统状态监视点的电压振幅信息来加以利用。

(步骤SA211)

电压测定装置A201判定处理是否已结束，若处理结束(步骤SA211为否)，则返回到步骤SA201。另一方面，若处理结束(步骤SA211为是)，则离开流程。

接着，基于使用案例4、5的数值例的模拟结果，对实施方式2所涉及的电压测定装置的实用性和效果进行说明。

案例4的参数如下表12所示。

[表12]

表12案例4的参数

项目名	设定值
		电力系统额定频率	60Hz
数据收集采样频率f1	4000Hz
		计量采样频率fs	200Hz
实时频率f	59Hz
		交流电压振幅V	1V
交流电压初始相位角	30Deg
		直流电压VDC	2V
交流电压振幅急剧变化发生时间t1	在0.05S的时刻下降40%
		移动平均长度Tavg	16.67ms
模拟结束时间Tend0.4	S

另外，案例4相当于IEEEC27.118-2005、IEEE标准同步电力系统(IEEEStandard for Synchrophasor for Power Systems)的P47-48的G.2台阶测试(Magnitude step test)(10％)。另外，该标准将额定频率设定为60Hz、直流分量设定为0、交流电压的变化幅度设定为10％，但案例4的直流分量比交流电压振幅大，交流电压的变化幅度为40％，交流电压振幅发生变化的频率的初始值不是额定频率，而是从59Hz开始，在这一点上，案例4是比该标准更严格的设定。

返回到模拟的说明。首先，基于表12，电压瞬时值波形如下式所示。

[数学式131]

$v=\left\{\begin{array}{ccc}{v}_{\mathrm{DC}}+\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+{\mathrm{\&phi;}}_0)=2+\cos (370.71t+0.5236)& \mathrm{for}& t<0.05,\\ v_{\mathrm{DC}}+0.6\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+{\mathrm{\&phi;}}_C)=2+0.6\cos (370.71t+{\mathrm{\&phi;}}_C)& \mathrm{for}& t\&GreaterEqual;0.05.\end{array}\right....\left(131\right)$

上式中，是初始相位角，是变化时刻(t＝0.05s)的电压相位角。

图36是表示案例4下的电压瞬时值波形及重叠有直流电压的交流电压振幅的测定结果的图。案例4中，将数据采样频率设为4000Hz，可知采集了大量数据。可知重叠有直流电压的交流电压振幅的测定结果高速地追随实际波形而变化。

图37是表示案例4下的交流电压振幅的测定结果的图。变动产生前的交流电压振幅能通过下式来计算。

[数学式132]

$V=\frac{1}{1-f_C}\sqrt{\frac{{v_{22}}^2-v_{21}{v}_{23}}{2(1+f_C)}}=1.0\left(V\right)...\left(132\right)$

变动产生后的交流电压振幅能通过下式来计算。

[数学式133]

$V=\frac{1}{1-f_C}\sqrt{\frac{{v_{22}}^2-v_{21}{v}_{23}}{2(1+f_C)}}=0.6\left(V\right)...\left(133\right)$

图38是表示案例4下的直流电压的测定结果的图。能通过下式计算直流电压。

[数学式134]

$v_{\mathrm{DC}}=\frac{v_{11}+v_{13}-2v_{12}{f}_C}{2(1-f_C)}=2.0\left(V\right)...\left(134\right)$

案例5的参数如下表13所示。另外，设案例5的实时频率、交流电压振幅、交流电压初始相位角和直流电压是未知的。

[表13]

表13 案例5的参数

项目名	设定值
		电力系统额定频率	60Hz
数据收集采样频率f1	4000Hz
		计量采样频率fs	80Hz
实时频率f	未知
		交流电压振幅V	未知
交流电压初始相位角	未知
		直流电压VDC	未知
移动平均长度Tavg	33.33ms
		模拟记录时间Tend	1.2S

图39是表示案例5下的电压瞬时值波形及重叠有直流电压的交流电压振幅的测定结果的图。如图39的粗线所示那样，可知重叠有直流电压的交流电压振幅的测定结果高速地追随实际波形进行变化。

图40是表示案例5下的交流电压振幅的测定结果的图。案例5中，模拟的设定数据中也包含较多的电压颤动(相位振动)，因此交流电压振幅的测定结果也产生细微的变动分量，变动范围为1.035～1.045(PU)，可知抑制在交流电压振幅的1％以内。

图41是表示案例5下的直流电压的测定结果的图。在图41所示的测定结果中，也产生细微的变动分量，可知直流偏移分量变为约-0.004(PU)左右。能将该测定结果用于数据保护控制装置的AI校正(模拟输入量校正)的设定。

实施方式2中，作为一个示例示出了将本申请的方法应用于对交流电压振幅及直流电压进行测定的装置中的情况，但并不限于此。也能将本申请的方法应用于对交流电流振幅及直流电流进行测定的装置。

此外，以上的实施方式1、2所示的结构是本发明结构的一个示例，也可以与其它公知技术进行组合，在不脱离本发明要点的范围内，当然也可以进行省略一部分等的变更来构成。

工业上的实用性

如上所述，本发明的电气量测定装置即使在测定对象偏离系统额定频率的状态下进行动作时，也能进行高精度的电气量测定，因此是有用的。

标号说明

A101实时频率测定装置、A102、A202电压瞬时值数据输入部、A103、A203频率系数计算部、A104、A204对称性破坏判别部、A105频率系数锁存部、A106第1移动平均处理部(频率系数)、A107旋转相位角计算部、A108第2移动平均处理部(旋转相位角)、A109频率计算部、A110第3移动平均处理部(实时频率)、A111通信部、A112、A211接口、A113、A212存储部、A201电压测定装置、A205交流电压振幅计算部、A206第1移动平均处理部(交流电压振幅)、A207直流电压计算部、A208第2移动平均处理部(直流电压)、A209交流电压振幅锁存部、A210直流电压锁存部。

Claims (16)

1.一种电气量测定装置，其特征在于，包括：

旋转相位角计算部，该旋转相位角计算部以规定的第1采样频率对作为测定对象的交流电压进行采样，从而得到电压瞬时值数据，并以比所述第1采样频率小且在所述交流电压的频率以上的第2采样频率，从所述电压瞬时值数据中提取出连续的至少4点电压瞬时值数据，在表示该连续的至少4点电压瞬时值数据中的相邻2点电压瞬时值数据间的前端间距离的3点差分电压瞬时值数据中，利用中间时刻的差分电压瞬时值对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和的平均值进行归一化，计算出归一化后的值的反余弦值以作为相邻的电压瞬时值数据间的旋转相位角；以及

频率计算部，该频率计算部使用所述第2采样频率和所述旋转相位角来计算所述交流电压的频率。

2.如权利要求1所述的电气量测定装置，其特征在于，

在所述交流电压的频率小于所述第2采样频率的1/2的情况下，所述旋转相位角取正值，

在所述交流电压的频率大于所述第2采样频率的1/2且小于所述第2采样频率的情况下，所述旋转相位角取负值。

3.如权利要求2所述的电气量测定装置，其特征在于，

在所述旋转相位角取零值时，计算出所述交流电压的频率为所述第2采样频率的1/2。

4.如权利要求1所述的电气量测定装置，其特征在于，

还包括交流电压振幅计算部，该交流电压振幅计算部在表示连续的至少4点电压瞬时值数据中的相邻2点电压瞬时值数据间的前端间距离的3点差分电压瞬时值数据中，对中间时刻的差分电压瞬时值的二次方值和中间时刻以外的差分电压瞬时值积之间的差进行平均化，计算出平均化后的值作为计量差分电压，并且使用所述旋转相位角和所述计量差分电压，计算所述交流电压的振幅，所述连续的至少4点电压瞬时值数据包含计算所述旋转相位角时所使用的3点差分电压瞬时值数据。

5.如权利要求4所述的电气量测定装置，其特征在于，

还包括直流电压计算部，该直流电压计算部基于所述旋转相位角、和计算该旋转相位角时所使用的4点电压瞬时值数据中的连续3点电压瞬时值数据，计算出重叠于所述交流电压的直流电压。

6.如权利要求1所述的电气量测定装置，其特征在于，

还包括交流电压振幅计算部，该交流电压振幅计算部基于所述旋转相位角、和计算该旋转相位角时所使用的4点电压瞬时值数据中的连续2点电压瞬时值数据，计算出所述交流电压的振幅。

7.如权利要求1所述的电气量测定装置，其特征在于，

还包括交流电压振幅计算部，该交流电压振幅计算部基于所述旋转相位角、和计算该旋转相位角时所使用的4点电压瞬时值数据中的连续3点差分电压瞬时值数据，计算出所述交流电压的振幅。

8.如权利要求4至7的任一项所述的电气量测定装置，其特征在于，

还包括对称性破坏判别部，该对称性破坏判别部使用基于第1电压振幅和第2电压振幅之间的偏差的判定指标，来判定所述交流电压的波形对称性的破坏，该第1电压振幅利用能计算出所述交流电压的振幅的第1计算式来计算，该第2电压振幅利用与所述第1计算式不同的第2计算式来计算。

9.一种电气量测定装置，其特征在于，包括：

频率系数计算部，该频率系数计算部以规定的第1采样频率对作为测定对象的交流电压进行采样，从而得到电压瞬时值数据，并以比所述第1采样频率小且在所述交流电压的频率以上的第2采样频率，从所述电压瞬时值数据中提取出连续的至少4点电压瞬时值数据，在表示该连续的至少4点电压瞬时值数据中的相邻2点电压瞬时值数据间的前端间距离的3点差分电压瞬时值数据中，利用中间时刻的差分电压瞬时值对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和的平均值进行归一化，计算出归一化后的值作为频率系数；以及

频率计算部，该频率计算部使用所述第2采样频率和所述频率系数来计算所述交流电压的频率。

10.如权利要求9所述的电气量测定装置，其特征在于，

还包括交流电压振幅计算部，该交流电压振幅计算部在表示连续的至少4点电压瞬时值数据中的相邻2点电压瞬时值数据间的前端间距离的3点差分电压瞬时值数据中，对中间时刻的差分电压瞬时值的二次方值和中间时刻以外的差分电压瞬时值积之间的差进行平均化，计算出平均化后的值作为计量差分电压，并且使用所述频率系数和所述计量差分电压，计算所述交流电压的振幅，所述连续的至少4点电压瞬时值数据包含计算所述频率系数时所使用的3点差分电压瞬时数据。

11.如权利要求11所述的电气量测定装置，其特征在于，

还包括直流电压计算部，该直流电压计算部基于所述频率系数、和计算该频率系数时所使用的4点电压瞬时值数据中的连续3点电压瞬时值数据，计算出重叠于所述交流电压的直流电压。

12.如权利要求9所述的电气量测定装置，其特征在于，

还包括交流电压振幅计算部，该交流电压振幅计算部基于所述频率系数、和计算该频率系数时所使用的4点电压瞬时值数据中的连续2点电压瞬时值数据，计算出所述交流电压的振幅。

13.如权利要求9所述的电气量测定装置，其特征在于，

还包括交流电压振幅计算部，该交流电压振幅计算部基于所述频率系数、和计算该频率系数时所使用的4点电压瞬时值数据中的连续3点差分电压瞬时值数据，计算出所述交流电压的振幅。

14.如权利要求10至13的任一项所述的电气量测定装置，其特征在于，

还包括对称性破坏判别部，该对称性破坏判别部使用基于第1电压振幅和第2电压振幅之间的偏差的判定指标，来判定所述交流电压的波形对称性的破坏，该第1电压振幅利用能计算出所述交流电压的振幅的第1计算式来计算，该第2电压振幅利用与所述第1计算式不同的第2计算式来计算。

15.一种电气量测定方法，其特征在于，包括如下步骤：

以规定的第1采样频率对作为测定对象的交流电压进行采样，从而得到电压瞬时值数据，并以比所述第1采样频率小且在所述交流电压的频率以上的第2采样频率，从所述电压瞬时值数据中提取出连续的至少4点电压瞬时值数据，在表示该连续的至少4点电压瞬时值数据中的相邻2点电压瞬时值数据间的前端间距离的3点差分电压瞬时值数据中，利用中间时刻的差分电压瞬时值对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和的平均值进行归一化，计算出归一化后的值的反余弦值以作为相邻的电压瞬时值数据间的旋转相位角的步骤；以及

使用所述第2采样频率和所述旋转相位角来计算所述交流电压的频率的步骤。

16.一种电气量测定方法，其特征在于，包括如下步骤：

以规定的第1采样频率对作为测定对象的交流电压进行采样，从而得到电压瞬时值数据，并以比所述第1采样频率小且在所述交流电压的频率以上的第2采样频率，从所述电压瞬时值数据中提取出连续的至少4点电压瞬时值数据，在表示该连续的至少4点电压瞬时值数据中的相邻2点电压瞬时值数据间的前端间距离的3点差分电压瞬时值数据中，利用中间时刻的差分电压瞬时值对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和的平均值进行归一化，计算出归一化后的值作为频率系数的步骤；以及

使用所述第2采样频率和所述频率系数来计算所述交流电压的频率的步骤。