JP2018105635A - 信号処理装置および信号処理方法 - Google Patents

Abstract

【課題】振幅が時間とともに徐々に変化する周期信号を高速および高精度で解析することが可能な信号処理装置および信号処理方法を提供する。【解決手段】一実施形態の信号処理装置２１０において、第１の不変量算出手段２１１には、振幅が時間的に増加または減少する周期信号を第１の周波数でサンプリングした瞬時値データが入力される。第１の不変量算出手段２１１は、瞬時値データの中から第１の周波数よりも小さい第２の周波数で時系列に連続する４点の抽出データを抽出し、４点の抽出データの隣接する２点間の差分である３点の差分データに基づいて第１の不変量を算出する。具体的に、３点の差分データを時間的に後からｙ1、ｙ2、ｙ3としたとき、第１の不変量は√（ｙ22−ｙ3・ｙ1）によって表される。減衰率算出手段２１２は、異なる２時点で算出された第１の不変量の比に基づいて周期信号の対数減衰率を算出する。【選択図】図１７

Description

この開示は、信号処理装置および信号処理方法に関し、たとえば、電力系統の電力動揺の検出に用いることができるものである。

振幅が時間とともに徐々に小さくなる減衰振動波形または逆に振幅が時間ともに徐々に大きくなる振動波形の実測値に基づく解析は重要な課題である。このような振動波形の解析手法としていくつかの方法が知られている。

第１の解析手法として、離散フーリエ変換（ＤＦＴ：Discrete Fourier Transform）を用いた方法がある。たとえば、非特許文献１は、雑音が混在した正弦波信号の周波数および減数定数を、ＤＦＴを用いて推定する方法を開示する。

第２の解析手法として、最小二乗法を用いた方法が知られている。たとえば、非特許文献２は、自己回帰モデルの係数を、最小二乗法を用いて推定する方法を開示する。

第３の解析手法として、非特許文献３に開示されているように、観測された時間軸上での動揺波形から各波の動揺振幅を求める方法が知られている。具体的に、非特許文献３の方法では、各波の正方向および負方向の動揺振幅がそれぞれ連続３波以上増加すると、電力系統は脱調傾向にあると判定される。

第４の解析手法として、プローニー解析を用いた方法が知られている。プローニー解析では、観測された信号が複数モードの線形和として推定される。ｎ次のモードの場合には、最小二乗法を用いてｎ次の特性方程式の解を計算することによって動揺モードの周波数および減衰率が求められる。たとえば、非特許文献４は、電力系統での実測データに対してプローニー解析法を用いることにより動揺モードを検出した結果を開示する。

特許文献１，２は、本願発明者によって開発された技術を開示するものであり、その内容については実施の形態において説明する。

特許第５５３８２０３号公報 特開２０１６−２４１６８号公報

Elias Aboutanios, "Estimating the parameters of sinusoids and decaying sinusoids in noise", IEEE Instrumentation & Measurement Magazine, Volume 14, Issue 2, April 2011, p. 8-14 南茂夫監修、河田聡編著、「科学計測のためのデータ処理入門-科学技術分野における計測の基礎技術」、第４版、ＣＱ出版社、２００６年７月、p. 77-78 横山明彦、太田宏次監修、「電力系統安定化システム工学」、初版、一般社団法人電気学会、２０１４年２月、p. 83 天野雅彦、他３名、「プローニー解析法による電力系統実測データの動揺モード検出」、電気学会論文誌Ｂ、一般社団法人電気学会、１２０巻２号、平成１２年、p. 141-147

上記の非特許文献１の解析手法はＤＦＴを用いているために信号処理に多数のデータと計算時間が必要になる。上記の非特許文献２、４の解析手法は最小二乗法を用いているために同様に信号処理に多数のデータと計算時間が必要になる。そのため、いずれの解析手法もオンラインでのリアルタイム処理には向かない。

また、上記の非特許文献３の解析手法では、動揺振幅の計算と同時に動揺周波数の計算ができないために異なる振動モードの区別ができない。また、脱調検出のためには、正方向および負方向の振幅がそれぞれ連続３波以上増加することを検出する必要があるため、脱調検出時間が遅くなるという問題がある。したがって、リアルタイムでの信号解析にはあまり向いていない。

本開示は、上記の問題点を考慮したものであり、その主な目的は、振幅が時間とともに徐々に変化する周期信号を高速および高精度で解析することが可能な信号処理装置および信号処理方法を提供することである。

本開示の一局面による信号処理装置は、第１の不変量算出手段と減衰率算出手段とを備える。第１の不変量算出手段には、振幅が時間的に増加または減少する周期信号を第１の周波数でサンプリングした瞬時値データが入力される。第１の不変量算出手段は、瞬時値データの中から第１の周波数よりも小さい第２の周波数で抽出した時系列に連続する３点の抽出データに基づいて第１の不変量を算出する。具体的に、３点の抽出データを時間的に後からｘ₁、ｘ₂、ｘ₃としたとき、第１の不変量は√（ｘ₂ ²−ｘ₃・ｘ₁）によって表される。減衰率算出手段は、異なる２時点で算出された第１の不変量の比に基づいて周期信号の対数減衰率を算出する。

本開示の他の局面による信号処理装置は、第１の不変量算出手段と減衰率算出手段とを備える。第１の不変量算出手段には、振幅が時間的に増加または減少する周期信号を第１の周波数でサンプリングした瞬時値データが入力される。第１の不変量算出手段は、瞬時値データの中から第１の周波数よりも小さい第２の周波数で時系列に連続する４点の抽出データを抽出し、４点の抽出データの隣接する２点間の差分である３点の差分データに基づいて第１の不変量を算出する。具体的に、３点の差分データを時間的に後からｙ₁、ｙ₂、ｙ₃としたとき、第１の不変量は√（ｙ₂ ²−ｙ₃・ｙ₁）によって表される。減衰率算出手段は、異なる２時点で算出された第１の不変量の比に基づいて周期信号の対数減衰率を算出する。

上記の信号処理装置によれば、入力信号の対称性を利用して不変量を算出し、不変量に基づいて減衰率等のスパイラルベクトルの諸量を算出するので、振幅が時間とともに徐々に変化する周期信号を高速および高精度で解析することができる。

複素平面上のスパイラルベクトルを説明するための図である。 複素平面上のゲージスパイラルベクトル群について説明するための図である。 ゲージＳＶ群の鏡映対称性を説明するための図である。 ゲージＳＶ群のベクトル乗積空間図である。 ゲージＳＶ群のベクトル加算空間図である。 ゲージＳＶ群のベクトル減算空間図である。 複素平面上のゲージ差分ＳＶ群について説明するための図である。 ゲージ差分ＳＶ群の鏡映対称性を説明するための図である。 ゲージ差分ＳＶ群のベクトル乗積空間図である。 ゲージ差分ＳＶ群のベクトル加算空間図である。 ゲージ差分ＳＶ群のベクトル減算空間図である。 複素平面上のゲージＳＶ群およびゲージ差分ＳＶ群を利用して、入力波形に含まれる直流成分を計算する方法を説明するための図である。 定格周波数を有する仮想基準ベクトルに対する相差角の計算方法の概念図である。 相差角と時間との関係を模式的に示す図である。 多重スケール法の概念について説明するための図である。 ゲージＳＶ群を利用した信号処理装置の概略構成を示すブロック図である。 ゲージ差分ＳＶ群を利用した信号処理装置の概略構成を示すブロック図である。 長周期動揺測定装置の構成を示すブロック図である。 送電線の電力潮流の長周期動揺を測定する手順を示すフローチャートである。 本シミュレーションにおいて、入力信号波形と振動成分の振幅の計算結果を示す図である。 本シミュレーションにおいて、複素平面上のスパイラルベクトルを示す図である。 本シミュレーションにおいて、減衰率の測定値と理論値との比較結果を示す図である。 本シミュレーションにおいて、振動周波数の測定値と理論値との比較結果を示す図である。 本シミュレーションにおいて、スパイラルベクトルの位相角の測定値と理論値との比較結果を示す図である。 本シミュレーションにおいて、有効電力のベース潮流の測定値と理論値との比較結果を示す図である。

以下、各実施の形態について図面を参照して詳しく説明する。なお、同一または相当する部分には同一の参照符号を付して、その説明を繰返さない場合がある。

以下では、まず、本願発明者によるこれまでの特許出願と本開示との相違点について説明する。これにより、本開示の課題がより明確になるであろう。次に、本開示で用いる主な用語について説明する。その後、実施の形態１として本開示の信号処理装置および信号処理方法の基本概念について説明する。実施の形態２では、本開示の信号処理装置および信号処理方法を電力系統の電力動揺波形の解析に適用した例について説明する。

＜本願発明者のこれまでの特許出願と本開示との相違点＞
本願発明者は、電力系統の交流電圧の対称性を利用して交流電圧の周波数および振幅などを測定する手法として、ゲージ電圧群およびゲージ差分電圧群を利用する方法を提案してきた。ゲージ電圧群とは、交流電圧を複素平面上での回転ベクトルとして表示した場合において、時間的にＴ_g（ゲージサンプリング周期と称する）だけ相互に隔てた３つの回転ベクトルをいう。ゲージ差分電圧群とは、時間的にＴ_gだけ相互に隔てた４つの回転ベクトルにおいて、隣接する回転ベクトル同士の差分をとることによって得られる３つの差分ベクトルをいう。電力系統の交流電流についても同様にゲージ電流群およびゲージ差分電流群を定義することができる。なお、複素平面上での交流電圧または交流電流の回転ベクトルを同期フェーザとも称し、ゲージ電圧／電流群およびゲージ差分電圧／電流群をゲージ同期フェーザ群およびゲージ差分同期フェーザ群とも称する。

本願発明者は、さらに、未公開の先行出願（特願２０１６−１１５２１７）において、ゲージ同期フェーザ群およびゲージ差分同期フェーザ群を利用して、同期フェーザの振幅および周波数だけでなく、位相を解析的に計算する手法を開示した。ただし、上記の未公開の特許出願では、時間窓の範囲内では振幅が変化しない場合を取り扱っている。

本開示は、上記の未公開の特許出願の技術を拡張したものであり、振幅が変化する場合、すなわち、上記の同期フェーザ（もしくは、回転ベクトル）が減衰率λで時間変化する項ｅｘｐ（λｔ）を含む場合に向けられている（ｅｘｐは指数関数を表す）。このように振幅が時間的に変化する回転ベクトルは、スパイラルベクトル（以後、ＳＶと略記する場合がある）と称される。特に本開示は、ゲージＳＶ群およびゲージ差分ＳＶ群を用いて減衰率および振動周波数を解析的に求める手法を提供する。

本願発明者による特許文献１（特許第５５３８２０３号公報）も、本開示のゲージＳＶ群およびゲージ差分ＳＶ群に相当する対称群を用いて、基本波であるスパイラルベクトルの減衰率および振動周波数の計算手法を開示している。しかし、この特許文献１では、最小二乗法を用いて演算を行っているため、計算される減衰率および振動周波数は近似解である。さらに、最小二乗法による信号処理は暗黙に直流成分は零であることを想定している。このため、電力系統の電力動揺波形のようにベース潮流に小さな減衰振動（または増幅振動）が重畳した波形に対しては、特許文献１に開示された方法を適用することができない。

これに対して本開示の信号処理装置および信号処理方法は、ゲージＳＶ群およびゲージ差分ＳＶ群を用いて、スパイラルベクトルの減衰率、振動周波数、および位相角の解析解を求める手法を提供するものである。さらに、本開示の信号処理装置および信号処理方法は、信号波形に含まれる交流成分の最大振幅よりも直流成分が大きい場合にも適用可能である。

さらに、前述したように、本開示による信号処理装置および信号処理方法よれば、ＤＦＴまたは最小二乗法などを用いる従来の解析手法に比べて高速かつ高精度に減衰率、振動周波数、および直流レベルなどの信号波形の特徴量を抽出することができる。

以下の表１に、対称性の原理に基づく本開示の信号処理方法と従来の信号処理方法との比較を示す。表１に示す本開示の信号処理方法の特徴については、実施の形態１の基本概念の説明において順次明らかにする。

＜用語の定義＞
次に、本開示で用いる主な用語について説明する。

［１］ 複素数：実数ａ，ｂと虚数単位ｊを用いてａ＋ｊｂの形で表される数である。電気工学ではｉが電流符号であるため、虚数単位はｊ＝√（−１）で表す。なお、√（）は（）の中の平方根を表す。本開示では複素数を用いることにより回転ベクトルを表現する。

［２］ 複素平面：複素数を２次元平面上の点とし、実部（Ｒｅ）を横軸に、虚部（Ｉｍ）を縦軸にとった直角座標で複素数を表すための平面である。

［３］ スパイラルベクトル： 図１は、複素平面上のスパイラルベクトルを説明するための図である。この明細書では、スパイラルベクトルをＳＶと略記する場合がある。

図１を参照して、スパイラルベクトルとは、複素平面上で減衰あるいは増幅している回転ベクトルであり、次式（Ａ１）のように定義される。本開示ではスパイラルベクトルを状態変数とする。

ここに、expを指数関数とすると、Ｖ・exp(λt)は現時点スパイラルベクトルの振幅を表す。λは減衰率を表し、ωは回転角速度（単位：ラジアン毎秒［ｒａｄ／ｓ］）を表し、φ₁はスパイラルベクトルの初期位相角を表す。

式（Ａ１）中の回転角速度ωは、実周波数（または振動周波数）ｆを用いて次式（Ａ２）のように表される。ただし、πは円周率である。

式（Ａ１）のスパイラルベクトルｖの実数部ｖ_reおよび虚数部ｖ_imは次式（Ａ３）のように表される。

上式（Ａ１）および（Ａ３）において、減衰率λが零である場合、スパイラルベクトルは円ベクトルとなる。この場合、スパイラスベクトルは、本願発明者による未公開の先行出願（特願２０１６−１１５２１７）における同期フェーザと同じになる。本願発明者がこれまで提案した対称性原理測定法は、本開示においても適用できる。

なお、スパイラルベクトルｖ（ｔ）に関して、次式（Ａ４）に示す波動方程式が成立する。

上式（Ａ４）のスパイラルベクトルの波動方程式を満たす角周波数ωと位相角φとを同時に確定することはできない。したがって、高速かつ高精度の測定のためには、スパイラルベクトの位相角の測定とスパイラルベクトルの角周波数の測定とを別々に同時に行わなければならないことが示唆される。

［４］ 群論（group theory）：対称性（symmetry）を研究する数学理論を包含する。
［５］ 対称群（symmetry group）：複素平面上で回転している対称性を有する複数のベクトルによって構成したグループ（group）をいう。

［６］ 群表：群の積の規則を一覧表にしたものである。本明細書では、ゲージスパイラルベクトル群およびゲージ差分スパイラルベクトル群の群表を提示する。

［７］ 不変量（invariant）：不変量は、対称群が有している、ある変換の下で変化しない系の性質である。本開示における不変量としては、これらには限られないが、ゲージスパイラルベクトル、ゲージ差分スパイラルベクトル、周波数係数などがある。なお、不変量が分かれば、対称群の特性も分かる。

［８］ ベクトル乗積表／加算表／減算表：対称群のメンバーであるベクトル変数同士の掛け算／加算／減算の結果を表示したテーブルである。これらのテーブルは、対称群の不変量を調べるためのロードマップになる。

［９］ 実数乗積表／加算表／減算表：対称群のメンバーである実数変数同士の掛け算／加算／減算の結果を表示したテーブルである。これらのテーブルは、対称群の不変量を調べるためのロードマップになる。

［１０］ 周波数：ある１つスケール（以下の［１９］の説明を参照）のゲージ対称群の周波数係数から計算された周波数を意味する。測定対象に高調波成分が含まれている場合、異なるスケールの瞬時周波数の計算結果は互いに異なる。

［１１］ 実周波数：現実の電力系統における周波数を実周波数という。実周波数は定格周波数付近で頻繁に変動している。実周波数を符号ｆで表現する。その単位はヘルツ［Ｈｚ］である。また、実周期を符号Ｔで表現する。その単位は秒［ｓ］である。実周期Ｔは実周波数ｆの逆数、すなわち１／ｆに等しい。また、電気回路における実際の角周波数は、符号ωで表記する。その単位はラジアン毎秒［ｒａｄ／ｓ］である。

［１２］ 振動周波数：電力動揺などの周波数を意味する。上記実周波数と同じように符号ｆで表記する。振動角周波数も上記角周波数と同じ符号ωで表記する。

［１３］ 減衰率：上式（Ａ１）のスパイラルベクトルの表式におけるλを減衰率または対数減衰率（logarithmic decrement）と称する。減衰率の単位は１／秒である。減衰率λが正の場合にスパイラルベクトルの振幅は増加し、減衰率λが負の場合にスパイラスベクトルの振幅は減少する。

後述するように、ある１つスケールにおける減衰率は、ゲージサンプリング周期だけ時間の隔てた２つのゲージＳＶ群において、各々のゲージスパイラルベクトルの比の自然対数をサンプリング周期で除算することによって求めることができる。あるいは、減衰率は、ゲージサンプリング周期だけ時間の隔てた２つのゲージ差分ＳＶ群において、各々のゲージ差分スパイラルベクトルの比の自然対数をゲージサンプリング周期で除算することによって求めることができる。

［１４］ ゲージサンプリング周波数（gauge sampling frequency）：ゲージ対称群の計算に使用されているサンプリング周波数である。符号ｆ_gで表記する。ゲージサンプリング周期はＴ_gで表記するが、式展開などでは簡単のために単にＴと表記する。ゲージサンプリング周期の単位は秒［ｓ］である。ゲージサンプリング周波数ｆ_gは、ゲージサンプリング周期Ｔ_gの逆数、すなわち、１／Ｔ_gに等しい。

［１５］ データ収集サンプリング周波数（data collecting rate）：データ収集のサンプリング速度であり、符号ｆ₁で表記する。データ収集サンプリング周波数は、高いほうが精度がよい。データ収集サンプリング周期はＴ₁で表記し、その単位は秒である。データ収集サンプリング周波数ｆ₁は、データ収集サンプリング周期Ｔ₁の逆数、すなわち、１／Ｔ₁に等しい。

［１６］ ゲージ回転位相角：状態変数であるスパイラルベクトルにおいて、ゲージサンプリング周期に対応した位相角をゲージ回転位相角といい、符号α_gで表記する。ゲージ回転位相角の値域は正の値であり、上限はないものとする。単位はラジアン［ｒａｄ］である。式展開などでは簡単のために、ゲージ回転位相角を単にαと表記する。簡単のために、ゲージ回転位相角を回転位相角と称する場合がある。

［１７］ 測定回転位相角：次式（Ａ５）で示すように、周波数係数ｆ_C（以下の［１８］を参照）の逆余弦関数により計算された回転位相角であり、符号αで表記する。単位はラジアンである。

ゲージ回転位相角が１８０度以下である場合、測定回転位相角とゲージ回転位相角は等しくなる。簡単のために測定回転位相角を回転位相角と称する場合がある。

［１８］ 測定周波数係数：ゲージ回転位相角の余弦関数値である。簡単のために、測定周波数係数を単に周波数係数と称する。本開示における全てのゲージ対称群に対して、周波数係数の計算式が定義される。

［１９］ ゲージサンプリング点数（「スケール」とも称する）：ゲージ回転位相角に対応するデータ収集サンプリングのデータ点数（正の整数）を意味し、符号Ｎ_gで表記する。

［２０］ ゲージＳＶ（スパイラルベクトル）群：ゲージサンプリング周期Ｔ_gの時間間隔をあけて連続する３つのスパイラルベクトルにより構成した対称群をゲージＳＶ群と称する。実波形の瞬時値はスパイラルベクトルの実数部に相当する。減衰率が零である場合、ゲージＳＶ群はゲージ電圧群になる。

［２１］ ゲージ差分ＳＶ（スパイラルベクトル）群：ゲージサンプリング周期Ｔ_gの時間間隔をあけて連続する３つの差分スパイラルベクトルにより構成した対称群をゲージ差分ＳＶ群と称する。ゲージ差分ＳＶ群は、ゲージサンプリング周期Ｔ_gの時間間隔をあけて連続する４つのスパイラルベクトルにおいて、隣接するスパイラルベクトル同士の差分をとることによって得られる。減衰率が零である場合、ゲージ差分ＳＶ群はゲージ差分電圧群となる。

［２２］ ゲージＳＶ（スパイラルベクトル）：ゲージサンプリング周期Ｔ_gずつ時間を隔てた３つのスパイラルベクトルの瞬時値ｖ₁₁，ｖ₁₂，ｖ₁₃を用いて、次式（Ａ６）で示す不変量Ｖ_g（ｔ）が計算できる。この不変量をゲージＳＶと称する。

上式（Ａ６）において、Ｖ₀（ｔ）は中心ベクトルの振幅であり、αはゲージ回転位相角である。なお、この明細書では電圧、電流、および電力についてのゲージＳＶを、それぞれゲージＳＶ電圧、ゲージＳＶ電流、およびゲージＳＶ電力と称する場合がある。

［２３］ ゲージ差分ＳＶ（スパイラルベクトル）：ゲージサンプリング周期Ｔ_gずつ時間を隔てた３つの差分スパイラルベクトルの瞬時値ｖ₂₁，ｖ₂₂，ｖ₂₃を用いて、次式（Ａ７）で示す不変量Ｖ_gd（ｔ）が計算できる。この不変量をゲージ差分ＳＶまたはゲージ差分中心ＳＶと称する。

なお、上式（Ａ７）において、Ｖ₀（ｔ）はゲージ差分ＳＶ群の中心スパイラルベクトルの振幅であり、αはゲージ回転位相角であり、Ｔはゲージサンプリング周期である。この明細書では電圧、電流、および電力についてのゲージ差分ＳＶを、それぞれゲージ差分ＳＶ電圧、ゲージ差分ＳＶ電流、およびゲージ差分ＳＶ電力と称する場合がある。

［２４］ ベクトル乗積：ベクトル演算とも称し、電気量を複素数表示（複素指数関数表示ともいう）した場合の２つの電気量の積をいう。本明細書のベクトル乗積表では、２つの電気量の振幅が乗算され、２つの電気量の位相角が加算される。ベクトル乗積表を利用することによって対称群の不変量を調べることができる。

［２５］ 電力系統の長周期動揺測定装置：電力系統は広域に連系された巨大システムである。このため、長周期の電力動揺、局所的な発電機の動揺、系統間の周波数制御に伴う動揺など長短様々な周期の複雑な系統動揺が発生することが知られている。電力系統の安定化のためには、迅速にこれらの動揺を測定することが重要である。一般に電力動揺波形は大きな直流成分（すなわち、ベース潮流）と動揺波形との合成となるので、動揺波形の減衰率および周波数などを検出するためには、直流成分の影響を受けないゲージ差分ＳＶ群を適用することが望ましい。さらにゲージＳＶ群を組み合わせることによって、直流成分（ベース潮流）も同時に高精度に測定することができる。

［２６］ 多重スケール法（multiscale method）：多重スケール法は、本願発明者による特許文献２（特開２０１６−２４１６８号公報）において詳しく説明されている。簡単に要約すると、多重スケール法は、周波数計算参照表法とも呼ぶべきものであり、複数のゲージサンプリング周波数を用いて、同時に電気量を測定する手法に向けられる。ゲージサンプリング周波数の下限は存在しない。設定したデータ収集サンプリング周波数（例えば、４８００Ｈｚ）と系統定格周波数（例えば、６０Ｈｚ）とから、周波数計算参照表を予め生成する。そして、測定処理においては、複数のゲージサンプリング周波数を選択し、実周波数が系統定格周波数であると仮定し、周波数計算参照表から対応する係数を取得して、実周波数を計算する。また、不特定基本波の測定では、複数の周波数計算参照表を用いて同時計算し、異なるスケールで得られた最も近い基本波測定値を利用する。本明細書では、ある特定のゲージサンプリング点数を「スケール」と称す。

［２７］ 周波数計算参照表：主として、高速フーリエ変換（ＤＦＴ）により生じるエイリアシング現象の影響を避けるため、多重スケール法が採用する係数テーブルを意味する。典型的には、データ収集サンプリング周波数と予め決めた基本波周波数（例えば電力系統定格周波数）とを関連付けて、各係数が予め計算される。周波数計算参照表は、信号処理装置内に格納され、適宜参照される。

［２８］ 相差角：複素平面上のスパイラルベクトルの位相角と仮想基準ベクトルの位相角との差分である。相差角の取り得る値は、−１８０度以上かつ＋１８０度以下である。

実施の形態１．
以下、この開示の信号処理装置および信号処理方法の基本概念について説明する。以下では、電気量として主として電圧を例に挙げて説明するが、以下の基本概念は電流または電力などその他の電気量についても成立する。

［複素平面上のゲージＳＶ群について］
図２は、複素平面上のゲージスパイラルベクトル群について説明するための図である。

図２を参照して、互いにゲージサンプリング周期Ｔだけ時間的に隔てて時系列に連続する複素平面上の３個のスパイラルベクトル電圧を次式（Ｂ１）で表す。

上式（Ｂ１）において、ｖ₁₀（ｔ）は中心ベクトル、λは減衰率、φ₀は中心ベクトルの位相角、Ｖ₀（ｔ）は中心ベクトルの振幅、ωは回転角速度、Ｔはゲージサンプリング周期、αはゲージサンプリング周期Ｔに対応する回転位相角である。

ここで、中心ベクトルｖ₁₀（ｔ）とは、ゲージＳＶ群を構成する３つのスパイラルベクトルｖ₁（ｔ），ｖ₁（ｔ−Ｔ），ｖ₁（ｔ−２Ｔ）のうち中央のスパイラルベクトルｖ₁（ｔ−Ｔ）をいう。中心ベクトルｖ₁₀（ｔ）の振幅Ｖ₀は、後述する式（Ｂ７）に従って、ゲージＳＶ電圧Ｖ_g（ｔ）をｓｉｎαで除算することによって得られる。中心ベクトルｖ₁₀（ｔ）の位相角φ₀は、後述する式（Ｂ３５）に従って計算することができる。本明細書では、中心ベクトルの位相角φ₀をゲージＳＶ群の中心角φ₀とも称する。

ゲージＳＶ群の対称性を明確化するために、上式（Ｂ１）の第１式にｅｘｐ（−λＴ）を乗算し、第３式にｅｘｐ（λＴ）を乗算することによって、上式（Ｂ１）を変形する（ｅｘｐは指数関数を表す）。この結果、次式（Ｂ２）で表される変形されたゲージＳＶ群が得られる。

上記の変形されたゲージＳＶ群はゲージ電圧群と等価なものである。
［ゲージＳＶ群の対称性について］
図３は、ゲージＳＶ群の鏡映対称性を説明するための図である。以下では、図３（Ａ）を参照して鏡映対称性（reflection symmetry）について説明する。図３（Ｂ）に群表を示す。

図３（Ａ）を参照して、上式（Ｂ２）に示す変形されたゲージＳＶ群（すなわち、ゲージ電圧群）のうち第１式をベクトルＯＡで表し、第２式をベクトルＯＢで表し、第３式をベクトルＯＣで表す。ベクトルＯＡ，ＯＢ，ＯＣの全体を構造体ＯＡＢＣと呼ぶことにする。

構造体ＯＡＢＣを鏡映対称軸（ＲＳＡ：reflection symmetry axis）に関して鏡写しに反転する操作を鏡映操作σとし、構造体を何も移動させない操作を恒等操作ｅとする。構造体ＯＡＢＣに対して鏡映操作σを施して得られる新しい構造体ＯＣＢＡは、元の構造体ＯＡＢＣとぴたりと重なる。鏡映操作σと恒等操作ｅとによって次式（Ｂ３）に示すように群が構成される。

上記のように、変形されたゲージＳＶ群（すなわち、ゲージ電圧群）は鏡映対称性を有しており、以下の表２に示すように群表を構築することができる。

以下、ゲージＳＶ群の乗積表、加算表、および減算表に基づいて、ゲージＳＶ群の具体的な不変量について説明する。さらに不変量を用いて、スパイラルベクトルの諸量を求める手順について説明する。たとえば、後述するように、ゲージ不変量の１つであるゲージＳＶ電圧から減衰率λを求めることができる。

［ゲージＳＶ群のベクトル乗積表の構築］
ゲージＳＶ群の不変量を導出するために、前述の式（Ｂ２）に示す変形されたゲージＳＶ群（すなわち、ゲージ電圧群）を構成する３つのベクトルから、以下の表３に示すようにベクトル乗積表を作成する。

上記の表３のベクトル乗積表において、スパイラルベクトルは複素数状態変数である。表３の左上欄の“×”は掛け算を表す。

表３に示すゲージＳＶ群のベクトル乗積表の各乗積結果は、前述の式（Ｂ１）を代入することにより以下の式（Ｂ４）のように計算される。

図４は、ゲージＳＶ群のベクトル乗積空間図である。２つのベクトルの乗積によって生成された空間をベクトル乗積空間と呼ぶ。図４では表３の各ベクトル乗積が複素平面上に図示されている。図４のベクトル乗積空間図を利用することによって、スパイラルベクトルに内在する対称性が明瞭になる。図２に示すゲージＳＶ群を構成する各スパイラルベクトルの回転角周波数をωとすると、図４の各ベクトル乗積は回転角周波数２ωで反時計回りに回転する。

［ゲージＳＶ群の実数乗積表の構築］
以下、ゲージＳＶ群の実数乗積表を作成し、作成した実数乗積表を利用して不変量の具体的な計算式を導く。

ゲージＳＶ群を構成するスパイラルベクトルｖ₁（ｔ），ｖ₁（ｔ−Ｔ），ｖ₁（ｔ−２Ｔ）の実数瞬時値をそれぞれｖ₁₁、ｖ₁₂、ｖ₁₃とする。実数瞬時値ｖ₁₁、ｖ₁₂、ｖ₁₃は実測された時系列データである。これらの電圧瞬時値を用いて作成した、表３のベクトル乗積表に対応する実数乗積表を以下の表４に示す。実数乗積表は、ゲージＳＶ群の不変量を求めるために利用される。

上記の表４の実数乗積表の電圧瞬時値はそれぞれスパイラルベクトルの実数部あるいは虚数部である。本明細書では、電圧瞬時値として実数部を利用して計算を行う。

まず、スパイラルベクトルの実数部の瞬時値は以下の式（Ｂ５）のように定義される。

ここに、Ｒｅは複素数の実数部を示す。
上式（Ｂ５）より、表４のゲージＳＶ群の実数乗積表の各乗積結果は以下の式（Ｂ６）のように計算される。

［ゲージＳＶ電圧の計算式］
以下、上記のゲージＳＶ群の実数乗積表の各乗積結果を利用することにより、ゲージＳＶ群の第１の不変量であるゲージＳＶ電圧の計算式を示す。ゲージＳＶ電圧は、本願発明者が前述の図４のゲージＳＶ群のベクトル乗積空間図から知見したものである。

具体的に、ゲージスパイラルベクトル電圧Ｖ_gは、次式（Ｂ７）に示すように、ゲージスパイラルベクトル群を構成する時系列順の３つスパイラルベクトルの電圧瞬時値ｖ₁₁、ｖ₁₂、ｖ₁₃を用いて、第２の電圧瞬時値ｖ₁₂の２乗から第３の電圧瞬時値ｖ₁₃および第１の電圧瞬時値ｖ₁₁の積を減算した減算結果の平方根として定義される。

上式（Ｂ７）の電圧瞬時値に式（Ｂ６）の値を代入して計算を行うと、ゲージＳＶ電圧Ｖ_g（ｔ）の表式として以下の式（Ｂ８）が得られる。

ここで、Ｖ₀（ｔ）はゲージＳＶ群の中心ベクトルの電圧振幅を表し、αは回転位相角を表す。

ゲージＳＶ群を構成するスパイラルベクトルの減衰率λを０とすれば、上式（Ｂ８）は次式（Ｂ９）のように書き直される。

上式（Ｂ９）では、式（Ｂ８）の中心ベクトルの電圧振幅Ｖ₀（ｔ）は時間ともに変化しない電圧振幅Ｖに置換され、式（Ｂ８）のゲージＳＶ電圧Ｖ_g（ｔ）は時間とともに変化しないゲージ電圧Ｖ_gに置換される。したがって、ゲージＳＶ群を構成するスパイラルベクトルの減衰率λが０である場合、ゲージＳＶ群は、本願発明者による未公開の先行出願（特願２０１６−１１５２１７）におけるゲージ電圧群と同じになる。

［減衰率λの表式（ゲージＳＶ群に基づく場合）］
図２および式（Ｂ１）に基づくと、現時点ｔにおけるゲージＳＶ群の中心ベクトルの振幅Ｖ₀（ｔ）は、現時点ｔよりもゲージサンプリング周期Ｔだけ前の時刻ｔ−ＴにおけるゲージＳＶ群の中心ベクトルの振幅Ｖ₀（ｔ−Ｔ）のｅｘｐ（λＴ）倍に等しい。したがって、現時点ｔのゲージＳＶ群のゲージＳＶ電圧Ｖ_g（ｔ）と、現時点ｔよりもゲージサンプリング周期Ｔだけ前の時刻ｔ−ＴにおけるゲージＳＶ群のゲージＳＶ電圧Ｖ_g（ｔ−Ｔ）とは、次式（Ｂ１０）のように表される。

上式（Ｂ１０）から、現時点ｔのゲージＳＶ群のゲージＳＶ電圧Ｖ_g（ｔ）と、現時点ｔよりもゲージサンプリング周期Ｔだけ前の時刻ｔ−ＴにおけるゲージＳＶ群のゲージＳＶ電圧Ｖ_g（ｔ−Ｔ）との比を求めると、次式（Ｂ１１）が得られる。

上式（Ｂ１１）の両辺の自然対数を計算することによって、次式（Ｂ１２）に示すように減衰率λの解析式が得られる。

上式（Ｂ１２）に示すように減衰率λの表式には自然対数が含まれているので、減衰率λを対数減衰率とも称する。

なお、上式（Ｂ１２）のゲージサンプリング周期Ｔを任意の時間τに変更した場合も同様に減衰率λを計算することができる。したがって、一般的には、ある時刻ｔのゲージスパイラルベクトルＶ_g（ｔ）とその時刻ｔよりも時間τだけ前のゲージスパイラルベクトルＶ_g（ｔ−τ）との比Ｖ_g（ｔ）／Ｖ_g（ｔ−τ）の自然対数を時間τで除算することによって、対数減衰率λを計算することができる。

このように、実測時系列データであるスパイラルベクトルの瞬時値を用いて、スパイラルベクトルの減衰率を解析的に表すことができる。上式（Ｂ１２）の対数関数は、テイラー展開を用いることにより高速かつ精度良く計算することができる。以下、テイラー展開を用いた上式（Ｂ１２）の計算手法について説明する。

［テイラー展開による対数関数の計算］
上式（Ｂ１２）の対数減衰率λを求めるとき、対数関数の計算が必要となる。この計算を高速に実現するための手法として、テイラー展開を用いた手法を以下に示す。

まず、対数関数をテイラー展開すると次式（Ｂ１３）が得られる。

現時点ｔのゲージＳＶ電圧Ｖ_g（ｔ）と、現時点ｔよりもゲージサンプリング周期Ｔだけ前の時刻ｔ−ＴにおけるゲージＳＶ電圧Ｖ_g（ｔ−Ｔ）とから得られる下式（Ｂ１４）を、上式（Ｂ１３）のｘに代入する。

さらに、上式（Ｂ１４）を代入後の式（Ｂ１３）の両辺をゲージサンプリング周期Ｔで割ることによって、次式（Ｂ１５）で示すように対数減衰率λの計算式が得られる。

このように、対数関数をテイラー展開で近似することによって、高速かつ精度良く対数減衰率を計算することができる。なお、上式（Ｂ１３）で示した対数関数のテイラー展開式は、本開示の他の対数関数の計算においても用いることができる。

［現時点のスパイラルベクトルの振幅の計算式］
上記のようにして計算された対数減衰率λを用いることによって、現時点のスパイラルベクトルの振幅を求めることができる。なお、中心ベクトルの振幅Ｖ₀（ｔ）は、ゲージＳＶ電圧Ｖ_g（ｔ）をゲージ回転位相角αの正弦（ｓｉｎα）で割ることによって得られる。

図２および式（Ｂ１）に基づくと、現時点のスパイラルベクトルの振幅Ｖ₁（ｔ）は、現時点の中心ベクトルの振幅Ｖ₀（ｔ）にｅｘｐ（λＴ）を乗算することによって下式（Ｂ１６）のように表される。

ここに、αはゲージ回転位相角であり、Ｔはゲージサンプリング周期である。
［テイラー展開による指数関数の計算］
上式（Ｂ１６）の振幅Ｖ₁（ｔ）を求めるとき、指数関数の計算が必要となる。この計算を高速に実現するための手法として、テイラー展開を用いた手法を以下に示す。

まず、指数関数をテイラー展開すると次式（Ｂ１７）が得られる。

対数減衰率λとゲージサンプリング周期Ｔとの積である次式（Ｂ１８）を、上式（Ｂ１７）のｘに代入する。

さらに、上式（Ｂ１８）を代入後の式（Ｂ１７）の両辺にＶg（ｔ）／sinαを乗算することによって、次式（Ｂ１９）に示すように現時点のスパイラルベクトルの振幅Ｖ₁（ｔ）の計算式が得られる。

このように、指数関数をテイラー展開で近似することによって、高速かつ精度良く現時点のスパイラルベクトルの振幅Ｖ₁（ｔ）を計算することができる。なお、上式（Ｂ１７）で示した指数関数のテイラー展開式は、本開示の他の指数関数の計算においても用いることができる。

［ゲージＳＶ群の対称性指標−その１］
本開示において、対称性の破れとは、入力信号の振幅急変、位相急変、または周波数急変などにより、ゲージＳＶ群の対称性が崩れることをいう。対称性が破れているか否かを判別するための判別式を対称性指標という。実系統には種々の擾乱が存在するので、ゲージＳＶ群の対称性が破れることがある。

本開示では、ゲージＳＶ群の対称性指標として下式（Ｂ２０）の判別式を用いる。

上式（Ｂ２０）の判別式Ｖ_gBRK＜０が満たされる場合、前述の式（Ｂ７）に従ってゲージスパイラルベクトルを計算することができない。したがって、現時点ｔにおけるゲージスパイラルベクトルの計算を中止し、現時点ｔよりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前の時点ｔ−Ｔ₁におけるゲージスパイラスベクトルの値を保持して現時点ｔにおけるゲージスパイラルベクトルの値として使用する。上式（Ｂ２０）の判別式が満たされる場合にはさらに、スパイラルベクトルの減衰率λについても、現時点ｔよりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前の時点ｔ−Ｔ₁における減衰率の値を保持して現時点ｔにおける減衰率の値として使用する。

［周波数係数およびスパイラルベクトルの振動周波数の計算式］
スパイラルベクトルの振動周波数ｆの計算式の導出に先立って、ゲージＳＶ群の周波数係数ｆ_Cの計算法について説明する。周波数係数ｆ_Cは、ゲージ回転位相角αの余弦として定義される。

図２に示した複素平面上のゲージＳＶ群および式（Ｂ５）によると、周波数係数ｆ_Cは次式（Ｂ２１）のように求められる。

振動周波数ｆは、ゲージサンプリング周波数ｆ_gを用いて次式（Ｂ２２）のように計算することができる。

［ゲージＳＶ群対称性指標−その２］
数学的に余弦関数値の絶対値は１より小さいことを利用して、次式（Ｂ２３）に示すような周波数係数に基づく判別式を、対称性指標として用いることができる。

上式（Ｂ２３）の判別式ｆ_CBRK＞１が満たされる場合、前述の式（Ｂ２１）を満たすゲージ回転位相角αが存在しない。したがって、現時点ｔにおける周波数係数ｆ_Cの計算を中止し、現時点ｔよりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前の時点ｔ−Ｔ₁における周波数係数ｆ_Cの値を保持して現時点ｔにおける周波数係数ｆ_Cの値として使用する。さらに、スパイラルベクトルの振動周波数ｆについても、現時点ｔよりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前の時点ｔ−Ｔ₁における振動周波数ｆの値を保持して現時点ｔにおける振動周波数ｆの値として使用する。

［ゲージＳＶ群のベクトル加算表の構築］
ゲージＳＶ群の中心ベクトルの位相角φ₀を計算するため、前述の式（Ｂ２）に示す変形されたゲージＳＶ群を構成する３つのベクトルから、以下の表５に示すゲージＳＶ群のベクトル加算表を構築する。ベクトル加算表を構築することによって、対称性を見出すための対称操作が明瞭になる。

上記の表５に示すベクトル加算表において、スパイラルベクトルは複素数状態変数である。表５の左上欄の“＋”は加算を表す。

表５に示すゲージＳＶ群のベクトル加算表における各ベクトル加算結果は次式（Ｂ２４）によって示される。

図５は、ゲージＳＶ群のベクトル加算空間図である。２つのベクトルの加算によって生成された空間をベクトル加算空間と呼ぶ。図５では表５の各ベクトル加算の結果が複素平面上に図示されている。図５に示すベクトル加算空間において各ベクトル加算結果を表すベクトルは回転角周波数ωで反時計回りに回転する。図５のベクトル加算空間図を利用することによって、スパイラルベクトルに内在する対称性が明瞭になる。

［ゲージＳＶ群の実数加算表の構築］
次に、ゲージＳＶ群を構成するスパイラルベクトルｖ₁（ｔ），ｖ₁（ｔ−Ｔ），ｖ₁（ｔ−２Ｔ）の各々の実数瞬時値ｖ₁₁、ｖ₁₂、ｖ₁₃を用いてゲージＳＶ群の実数加算表を生成する。ここで、実数加算表は、前述の式（Ｂ２）に示す変形されたゲージＳＶ群に基づくものである。中心ベクトルの位相角φ₀の計算を目的としている場合には、変形されたゲージＳＶ群を用いることによって計算を簡単化できる。

具体的に、実数加算表を以下の表６に示す。

上記表６のゲージＳＶ群の実数加算表において、電圧瞬時値はスパイラルベクトルの実数部とする。表６の各欄の具体的な加算結果は下式（Ｂ２５）によって示される。

［ゲージＳＶ群の中心角の計算式（ゲージＳＶ群加算表による）］
以下、上記のゲージＳＶ群の実数加算表の各加算結果に基づいて、ゲージＳＶ群の不変量の１つである中心角φ₀の計算式を示す。

まず、前述の式（Ｂ２５）から次式（Ｂ２６）が成立する。

ゲージＳＶ群の中心角φ₀は、上式（Ｂ２６）から次式（Ｂ２７）のように求められる。

ゲージＳＶ群の中心ベクトルｖ₁₀（ｔ）は、実際のゲージＳＶ群と同じように複素平面上で常に反時計まわりで回転している。したがって、上式（Ｂ２７）で示されるゲージＳＶ群の中心角φ₀（すなわち、中心ベクトルｖ₁₀（ｔ）の位相角φ₀）は、−１８０度から＋１８０度まで変化する。

図２を参照すると、現時点のスパイラルベクトルｖ₁（ｔ）の位相角φ₁は、ゲージＳＶ群の中心角φ₀にゲージ回転位相角αを加算した値に等しい。したがって、現時点のスパイラルベクトルｖ₁（ｔ）の位相角φ₁は、次式（Ｂ２８）によって表される。

上式（Ｂ２８）において、ゲージ回転位相角αは、式（Ｂ２１）に従って計算される周波数係数ｆ_Cのアークコサインとして求められる。さらに、式（Ｂ２１）中の減衰率λは式（Ｂ１２）に従って計算できる。

以上により、現時点のスパイラルベクトルｖ₁（ｔ）の位相角φ₁が明らかとなったので、現時点のスパイラルベクトルｖ₁（ｔ）を計算することができる。具体的には、まず現時点のスパイラルベクトルは、実数部ｖ_reと虚数部ｖ_imによって次式（Ｂ２９）のように定義される。

上式（Ｂ２９）の実数部ｖ_reおよび虚数部ｖ_imは次式（Ｂ３０）のように表される。

上式（Ｂ３０）において、中心ベクトルの振幅Ｖ₀は、式（Ｂ８）を用いてＶ_g（ｔ）／ｓｉｎαとして計算できる。ここで、ゲージスパイラルベクトルＶ_g（ｔ）は式（Ｂ７）に従って計算することができる。ｓｉｎαは、周波数係数ｆ_Cを用いて１−ｆ_C ²の平方根によって計算できる。上式（Ｂ３０）の減衰率λは式（Ｂ１２）に従って計算できる。また、上式（Ｂ３０）のＴはゲージサンプリング周期である。

［ゲージＳＶ群のベクトル減算表の構築］
これまでゲージＳＶ群の加算表に基づくゲージＳＶ群の中心角φ₀の計算式を示したが、ゲージＳＶ群の減算表を利用してもゲージＳＶ群の中心角φ₀を計算することができる。以下、具体的に説明する。

まず、前述の式（Ｂ２）に示す変形されたゲージＳＶ群を構成する３つのベクトルから、以下の表７に示すゲージＳＶ群のベクトル減算表を構築する。ベクトル減算表を構築することによって、対称性を見出すための対称操作が明瞭になる。

上記の表７に示すベクトル減算表において、スパイラルベクトルは複素数状態変数である。表７の左上欄の“−”は減算を表す。

表７に示すゲージＳＶ群のベクトル減算表における各ベクトル減算の結果は以下の式（Ｂ３１）によって示される。

図６は、ゲージＳＶ群のベクトル減算空間図である。２つのベクトルの減算によって生成された空間をベクトル減算空間と呼ぶ。図６では表７の各ベクトル減算の結果が複素平面上に図示されている。図６に示すベクトル減算空間において各ベクトル減算結果を表すベクトルは回転角周波数ωで反時計回りに回転する。図６のベクトル減算空間図を利用することによって、スパイラルベクトルに内在する対称性が明瞭になる。

［ゲージＳＶ群の実数減算表の構築］
次に、ゲージＳＶ群を構成するスパイラルベクトルｖ₁（ｔ），ｖ₁（ｔ−Ｔ），ｖ₁（ｔ−２Ｔ）の各々の実数瞬時値ｖ₁₁、ｖ₁₂、ｖ₁₃を用いてゲージＳＶ群の実数減算表を生成する。ここで、実数減算表は、前述の式（Ｂ２）に示す変形されたゲージＳＶ群に基づくものである。中心ベクトルの位相角φ₀の計算を目的としている場合には、変形されたゲージＳＶ群を用いることによって計算を簡単化できる。

具体的に、実数減算表を以下の表８に示す。

上記の表８のゲージＳＶ群の実数減算表において、電圧瞬時値はスパイラルベクトルの実数部とする。表８の各欄の具体的な減算結果は下式（Ｂ３２）に示される。

［ゲージＳＶ群の中心角の計算式（ゲージＳＶ群減算表による）］
以下、上記のゲージＳＶ群の実数減算表の各減算結果に基づいて、ゲージＳＶ群の不変量の１つである中心角φ₀の計算方法を示す。

まず、前述の式（Ｂ３２）から下式（Ｂ３３）が成立する。

ゲージＳＶ群の中心角φ₀は、上式（Ｂ３３）から次式（Ｂ３４）のように求められる。

ゲージＳＶ群の中心ベクトルｖ₁₀（ｔ）は、実際のゲージＳＶ群と同じように複素平面上で常に反時計まわりで回転している。したがって、上式（Ｂ３４）で示されるゲージＳＶ群の中心角φ₀（すなわち、中心ベクトルｖ₁₀（ｔ）の位相角φ₀）は、−１８０度から＋１８０度まで変化する。

［ゲージＳＶ群の中心角の計算式（平均化計算法による）］
上述のゲージＳＶ群の中心角φ₀の計算式（Ｂ２７）および（Ｂ３４）の両方を用いて両者の平均を計算することによって、次式（Ｂ３５）で表されるゲージＳＶ群の中心角φ₀の計算式が得られる。

上式（Ｂ３５）では、ｔａｎ関数とｃｏｔ関数に対称性がある。このため、ゲージ回転位相角αとしてリアルタイム周波数に対応するものでなく、定格周波数に対応するものを用いることができる。なぜなら、定格周波数に対応するゲージ回転位相角αを用いると誤差が生じるが、この誤差の多くはｔａｎ関数とｃｏｔ関数の対称性によって打ち消されるからである。たとえば、定格周波数に対応するゲージ回転位相角αとしてα＝９０°を採用すれば、ｔａｎ（α／２）およびｃｏｔ（α／２）はそれぞれ１になるので計算過程を大幅に簡略化することができる。

さらに、現時点のスパイラルベクトルの位相角φ₁は、上式（Ｂ３５）のゲージＳＶ群の中心角φ₀を用いて、前述の式（Ｂ２８）に従って計算できる。さらに、前述の式（Ｂ３０）に従って現時点のスパイラルベクトルの実数部ｖ_reおよび虚数部ｖ_imを計算する際にも、上式（Ｂ３５）で表される中心角φ₀を用いることができる。

［複素平面上のゲージ差分ＳＶ群について］
次に、ゲージ差分ＳＶ群を用いた計算手法について説明する。ゲージＳＶ群の場合と同様に、不変量である差分スパイラルベクトルおよび周波数係数を計算し、これらの不変量に基づいて、スパイラルベクトルの減衰率、振動周波数、および位相角を計算する。ゲージ差分ＳＶ群を用いることによって、直流成分の影響を受けないというメリットがある。以下、具体的に説明する。

図７は、複素平面上のゲージ差分ＳＶ群について説明するための図である。ただし、図７に示されている差分スパイラルベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）は、後述する仮想差分ＳＶ群を構成する仮想差分スパイラルベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）であることに注意されたい。なお、仮想差分スパイラルベクトルとの区別を明確化するために、本来のゲージ差分ＳＶ群を構成する差分スパイラルベクトルを実差分スパイラルベクトルと称する場合がある。

図７を参照して、ゲージ差分ＳＶ群は、互いにゲージサンプリング周期Ｔでけ隔てて時系列的に連続する３つの差分スパイラルベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）によって構成される。この３つの差分スパイラルベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）は、ゲージサンプリング周波数ｆ_gで抽出された、時系列的に連続した４つのスパイラルベクトルｖ₁（ｔ），ｖ₁（ｔ−Ｔ），ｖ₁（ｔ−２Ｔ），ｖ₁（ｔ−３Ｔ）の隣接する２点間の差分を算出することによって得られる。

具体的に、互いにゲージサンプリング周期Ｔだけ隔てて時系列的に連続する３つの差分スパイラルベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）は、次式（Ｃ１）で表すことができる。

上式（Ｃ１）において、ｖ₂₀（ｔ）は中心ベクトル、λは減衰率、φ₀は中心ベクトルの位相角、Ｖ₀（ｔ）は中心ベクトルの振幅、ωは回転角速度、Ｔはゲージサンプリング周期、αはゲージサンプリング周期Ｔに対応する回転位相角である。

ここで、ゲージＳＶ群の中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）の振幅は、後述する式（Ｃ１２）に従って、ゲージ差分ＳＶ電圧Ｖ_gd（ｔ）をsinα・√（exp(-λT）＋exp(λT)−2cosα）で除算することによって得られる。中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）の位相角φ₀は、後述する式（Ｃ３８）に従って計算することができる。本明細書では、中心ベクトルの位相角φ₀をゲージ差分ＳＶ群の中心角φ₀とも称する。

ゲージ差分ＳＶ群の中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）は、次式（Ｃ２）で表される。

上式（Ｃ１）に対応するゲージ差分ＳＶ群の実数表現式は次式（Ｃ３）で表される。

上式（Ｃ３）において、ゲージ差分ＳＶ群を構成する３つの差分スパイラルベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）の電圧瞬時値をそれぞれｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃とする。ゲージ差分ＳＶ群の基となる４つのスパイラルベクトルｖ₁（ｔ），ｖ₁（ｔ−Ｔ），ｖ₁（ｔ−２Ｔ），ｖ₁（ｔ−３Ｔ）の電圧瞬時値（実測値に相当する）をそれぞれｖ₁₁、ｖ₁₂、ｖ_13、ｖ₁₄とする。

［仮想差分ＳＶ群について］
ゲージ差分ＳＶ群の対称性を明確にするため、次式（Ｃ４）で示される仮想差分ＳＶ群を定義する。

なお、簡単のために仮想差分ＳＶ群を構成する仮想差分スパイラルベクトルの参照符号を、ゲージ差分ＳＶ群を構成する実差分スパイラルベクトルの参照符号ｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）と同じにしている。

上式（Ｃ４）に示すように、ゲージ差分ＳＶ群の基となる４つのスパイラルベクトルｖ₁（ｔ），ｖ₁（ｔ−Ｔ），ｖ₁（ｔ−２Ｔ），ｖ₁（ｔ−３Ｔ）にそれぞれｅｘｐ（−３λＴ／２）、ｅｘｐ（−λＴ／２）、ｅｘｐ（λＴ／２）、ｅｘｐ（３λＴ／２）を乗算することによって、これら４つのスパイラルベクトルを変形する。この変形された４つのスパイラルベクトルの隣接する２点間の差分を算出することによって仮想差分ＳＶ群が得られる。図７に示すように、上記の変形された４つのスパイラルベクトルの振幅は、ゲージ差分ＳＶ群の中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）の振幅Ｖ₀に等しい。上記の変形された４つのスパイラルベクトルの鏡映対称軸上に中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）は存在する。

上式（Ｃ４）に対応する仮想差分ＳＶ群の実数表現式は次式（Ｃ５）で表される。

上式（Ｃ５）において、仮想差分ＳＶ群を構成する３つの仮想差分スパイラルベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）の電圧瞬時値をそれぞれｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃とする。ゲージ差分ＳＶ群の基となる４つのスパイラルベクトルｖ₁（ｔ），ｖ₁（ｔ−Ｔ），ｖ₁（ｔ−２Ｔ），ｖ₁（ｔ−３Ｔ）の電圧瞬時値（実測値に相当する）をそれぞれｖ₁₁、ｖ₁₂、ｖ_13、ｖ₁₄とする。

［ゲージ差分ＳＶ群の対称性について］
図８は、ゲージ差分ＳＶ群の鏡映対称性を説明するための図である。以下では、図８（Ａ）を参照して鏡映対称性（reflection symmetry）について説明する。図８（Ｂ）に群表を示す。

図８（Ａ）を参照して、上式（Ｃ４）に示す仮想差分ＳＶ群の基となる変形された４つのスパイラルベクトルをそれぞれベクトルＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤで表すものとする。ベクトルＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤの全体を構造体ＯＡＢＣＤと呼ぶことにする。

構造体ＯＡＢＣＤを鏡映対称軸ＲＳＡに関して鏡写しに反転する操作を鏡映操作σとし、構造体を何も移動させない操作を恒等操作ｅとする。構造体ＯＡＢＣＤに対して鏡映操作σを施して得られる新しい構造体ＯＤＣＢＡは、元の構造体ＯＡＢＣＤとぴたりと重なる。鏡映操作σと恒等操作ｅとによって次式（Ｃ６）に示すように群が構成される。

上記のように、仮想差分ＳＶ群は鏡映対称性を有しており、以下の表９に示すように群表を構築することができる。

表９の群表は、表２に示した変形されたゲージＳＶ群に対する群表と同じものである。
以下、ゲージ差分ＳＶ群の乗積表と仮想差分ＳＶ群の加算表および減算表とに基づいて、ゲージ差分ＳＶ群の具体的な不変量について説明する。さらに不変量を用いて、スパイラルベクトルの諸量を求める手順について説明する。

［ゲージ差分ＳＶ群のベクトル乗積表の構築］
ゲージＳＶ群の不変量を導出するために、前述の式（Ｃ１）に示されたゲージ差分ＳＶ群を構成する３つの差分スパイラルベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）から、以下の表１０に示すようにベクトル乗積表を作成する。

上記の表１０のベクトル乗積表においてスパイラルベクトルは複素数状態変数である。
表１０に示す差分スパイラルベクトルは実差分スパイラルベクトルであるとして前述の式（Ｃ１）を代入することにより、表１０のゲージＳＶ群のベクトル乗積表の各乗積結果が以下の式（Ｃ７）のように得られる。

図９は、ゲージ差分ＳＶ群のベクトル乗積空間図である。図９では、表１０の各差分スパイラルベクトルが仮想差分スパイラルベクトルであるとした場合において、各ベクトル乗積が複素平面上に図示されている。図９のベクトル乗積空間図を利用することによって、仮想差分スパイラルベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）に内在する対称性が明瞭になる。図７に示す仮想差分ＳＶ群を構成する各仮想差分スパイラルベクトルの回転角周波数をωとすると、図９の各ベクトル乗積は回転角周波数２ωで反時計回りに回転する。

［ゲージ差分ＳＶ群の実数乗積表の構築］
以下、ゲージ差分ＳＶ群の実数乗積表を作成し、作成した実数乗積表を利用して不変量の具体的な計算式を導く。以下の計算では、差分スパイラルベクトルとして実差分スパイラルベクトルを利用する。

ゲージ差分ＳＶ群を構成するスパイラルベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）の実数瞬時値をそれぞれｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃とする。これらの電圧瞬時値を用いて作成した、表１０のベクトル乗積表に対応する実数乗積表を以下の表１１に示す。実数乗積表は、ゲージ差分ＳＶ群の不変量を求めるために利用される。

まず、実差分スパイラルベクトルの実数部の瞬時値は以下の式（Ｃ８）のように表される。

ここに、Ｒｅは複素数の実数部を示す。
［ゲージ差分ＳＶ電圧の計算式］
以下、上記のゲージ差分ＳＶ群の実数乗積表の各乗積結果を利用することにより、ゲージ差分ＳＶ群の第１の不変量であるゲージ差分ＳＶ電圧の計算式を示す。ゲージ差分ＳＶ電圧は、本願発明者が前述の図９のゲージ差分ＳＶ群のベクトル乗積空間図から知見したものである。

ゲージ差分スパイラルベクトル電圧Ｖ_gdは、後述する式（Ｃ１３）に示すように、ゲージ差分スパイラルベクトル群を構成する時系列順の３つ差分スパイラルベクトルの電圧瞬時値ｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃を用いて、第２の電圧瞬時値ｖ₂₂の２乗から第１電圧瞬時値ｖ₂₃および第３の電圧瞬時値ｖ₂₁の積を減算した減算結果の平方根として定義される。以下、このゲージ差分ＳＶ電圧とスパイラルベクトルの諸量との間の関係を表す式を導出する。

まず、表１１に示す実差分スパイラルベクトルの実数部の各乗積のうちｖ₂₁ｖ₂₃の計算結果を示すと以下の式（Ｃ９）のようになる。

また、ｖ₂₂ ²の計算結果を示すと以下の式（Ｃ１０）のようになる。

上式（Ｃ１０）から上式（Ｃ９）を減算することによって、ｖ₂₂ ²−ｖ₂₁ｖ₂₃を計算すると以下の式（Ｃ１１）のように表される。

したがって、ゲージ差分ＳＶ電圧Ｖ_gdは次の式（Ｃ１２）のように表される。

ゲージ差分ＳＶ群の基となるスパイラルベクトルの減衰率λを０とすれば、上式（Ｃ１２）は次式（Ｃ１３）のように書き直される。

上式（Ｃ１３）において、式（Ｃ１２）の中心ベクトルの電圧振幅Ｖ₀（ｔ）は時間ともに変化しない電圧振幅Ｖに置換され、式（Ｃ１２）のゲージ差分ＳＶ電圧Ｖ_gd（ｔ）は時間とともに変化しないゲージ差分電圧Ｖ_gdに置換される。したがって、ゲージ差分ＳＶ群の基となるスパイラルベクトルの減衰率λが０である場合、ゲージ差分ＳＶ群は、本願発明者による未公開の先行出願（特願２０１６−１１５２１７）におけるゲージ差分電圧群と同じになる。

［減衰率λの表式（ゲージ差分ＳＶ群に基づく場合）］
図７および式（Ｃ１）に基づくと、現時点ｔにおけるゲージ差分ＳＶ群の中心ベクトルの振幅Ｖ₀（ｔ）は、現時点ｔよりもゲージサンプリング周期Ｔだけ前の時刻ｔ−Ｔにおけるゲージ差分ＳＶ群の中心ベクトルの振幅Ｖ₀（ｔ−Ｔ）のｅｘｐ（λＴ）倍に等しい。したがって、現時点ｔのゲージ差分ＳＶ群のゲージ差分ＳＶ電圧Ｖ_gd（ｔ）と、現時点ｔよりもゲージサンプリング周期Ｔだけ前の時刻ｔ−Ｔにおけるゲージ差分ＳＶ群のゲージ差分ＳＶ電圧Ｖ_gd（ｔ−Ｔ）は、次式（Ｃ１４）に示す関係を有する。

上式（Ｃ１４）の両辺の自然対数を計算することによって、次式（Ｃ１５）に示すように減衰率λの解析式が得られる。

上式（Ｃ１５）に示すように減衰率λの表式には自然対数が含まれているため、減衰率λを対数減衰率とも称する。

なお、上式（Ｃ１５）のゲージサンプリング周期Ｔに代えて任意の時間τとしても減衰率λを計算することができる。したがって、一般的には、ある時刻ｔのゲージ差分スパイラルベクトルＶ_gd（ｔ）とその時刻ｔよりも時間τだけ前のゲージ差分スパイラルベクトルＶ_gd（ｔ−τ）との比Ｖ_gd（ｔ）／Ｖ_gd（ｔ−τ）の自然対数を時間τで除算することによって、対数減衰率λを計算することができる。

このように、実測時系列データであるスパイラルベクトルの瞬時値に基づいた差分スパイラルベクトルの瞬時値を用いることにより、減衰率を解析的に表すことができる。ここで、式（Ｃ１５）に示すゲージ差分ＳＶ群に基づく減衰率λの表式は、式（Ｂ１２）に示したゲージＳＶ群に基づく減衰率λの表式と形式的には同じであり、対称性原理（symmetry principles）の１つの現れを示している。式（Ｃ１５）に含まれる自然対数は、式（Ｂ１２）の場合と同様にテイラー展開を用いて高速かつ精度良く計算することができる。

［ゲージ差分ＳＶ群の中心ベクトルの振幅の計算式］
前述の式（Ｃ１２）から、ゲージ差分ＳＶ群の中心ベクトルの振幅Ｖ₀（ｔ）は、次の式（Ｃ１６）ように計算することができる。

［ゲージ差分ＳＶ群の対称性指標−その１］
ゲージＳＶ群の場合と同様に、ゲージ差分ＳＶ群の場合も対称性が破れているか否かを判別するための対称性指標として次の式（Ｃ１７）の判別式を用いる。

上式（Ｃ１７）の判別式Ｖ_gdBRK＜０が満たされている場合、前述の式（Ｃ１２）に従ってゲージ差分スパイラルベクトルを計算することができない。したがって、現時点ｔにおけるゲージ差分スパイラルベクトルの計算を中止し、現時点ｔよりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前の時点ｔ−Ｔ₁におけるゲージ差分スパイラスベクトルの値を保持して現時点ｔにおけるゲージ差分スパイラルベクトルの値として使用する。上式（Ｃ１７）の判別式が満たされる場合にはさらに、スパイラルベクトルの減衰率λについても、現時点ｔよりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前の時点ｔ−Ｔ₁における減衰率の値を保持して現時点ｔにおける減衰率の値として使用する。

［周波数係数およびスパイラルベクトルの振動周波数の計算式］
スパイラルベクトルの振動周波数ｆの計算式の導出に先立って、ゲージ差分ＳＶ群の周波数係数ｆ_Cの計算法について説明する。周波数係数ｆ_Cは、ゲージ回転位相角αの余弦として与えられる。なお、ゲージ差分ＳＶ群によるゲージ回転位相角とリアルタイム周波数との関係は、ゲージＳＶ群の場合と同じである。

まず、前述の式（Ｃ８）の第１式および第３式によると以下の式（Ｃ１８）が成立する。

上式（Ｃ１８）に前述の式（Ｃ８）の第２式を代入することによって、周波数係数ｆ_Cの計算式は、次式（Ｃ１９）のように得られる。

ここで、式（Ｃ１９）に示すゲージ差分ＳＶ群に基づく周波数係数ｆ_Cの表式は、式（Ｂ２１）に示したゲージＳＶ群に基づく減衰率λの表式と形式的には同じである。同様に、前述したゲージ差分ＳＶ電圧Ｖ_gdとゲージＳＶ電圧Ｖ_gも同じ形式を有しており、後述する中心ベクトルの位相角についてもゲージ差分ＳＶ群とゲージＳＶ群とで同じ形式を有している。したがって、ゲージ差分ＳＶ群とゲージＳＶ群とは類似の対称性を有していることがわかる。

振動周波数ｆは、ゲージサンプリング周波数ｆ_gを用いて次式（Ｃ２０）のように計算することができる。

［ゲージＳＶ群対称性指標−その２］
数学的に余弦関数値の絶対値は１より小さいことを利用して、次式（Ｃ２１）に示すような周波数係数に基づく判別式を、対称性指標として用いることができる。

上式（Ｃ２１）の判別式ｆ_CBRK＞１が満たされる場合、前述の式（Ｃ１９）を満たすゲージ回転位相角αが存在しない。したがって、現時点ｔにおける周波数係数ｆ_Cの計算を中止し、現時点ｔよりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前の時点ｔ−Ｔ₁における周波数係数ｆ_Cの値を保持して現時点ｔにおける周波数係数ｆ_Cの値として使用する。さらに、スパイラルベクトルの振動周波数ｆについても、現時点ｔよりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前の時点ｔ−Ｔ₁における振動周波数ｆの値を保持して現時点ｔにおける振動周波数ｆの値として使用する。

［現時点のスパイラルベクトルの振幅の計算式］
図７および式（Ｃ１）に基づくと、現時点のスパイラルベクトルの振幅Ｖ₁（ｔ）は、現時点の中心ベクトルの振幅Ｖ₀（ｔ）にｅｘｐ（３λＴ／２）を乗算することによって下式（Ｃ２２）のように求めることができる。

上式（Ｃ２２）において、λ、α、Ｖ_gd（ｔ）はそれぞれスパイラルベクトルの減衰率、ゲージ回転位相角、ゲージ差分スパイラルベクトル電圧である。これらの導出方法は、式（Ｃ１５）、式（Ｃ１９）、式（Ｃ１３）で既に説明した。なお、上式（Ｃ２２）に含まれる指数関数は、ゲージＳＶ群で説明したようにテイラー展開を用いることによって高速かつ高精度に計算することができる。

［ゲージ差分ＳＶ群のベクトル加算表の構築］
ゲージ差分ＳＶ群の中心ベクトルの位相角φ₀を計算するため、前述の式（Ｃ４）に示す仮想差分ＳＶ群を構成する３つの仮想差分スパイラルベクトルから、以下の表１２に示すゲージ差分ＳＶ群のベクトル加算表を構築する。ベクトル加算表を構築することによって、対称性を見出すための対称操作が明瞭になる。

上記の表１２に示すベクトル加算表において、差分スパイラルベクトルは仮想差分スパイラルベクトルであり、複素数状態変数である。

上記の表１２の各ベクトル加算を計算するにあたり、簡単のために次式（Ｃ２３）に示すように中心ベクトルの振幅を単にＶと記載する。

表１２に示すゲージ差分ＳＶ群のベクトル加算表における各ベクトル加算結果は次式（Ｃ２４）によって示される。

上式（Ｃ２４）は、さらに下式（Ｃ２５）のように簡単化できる。

図１０は、ゲージ差分ＳＶ群のベクトル加算空間図である。図１０では表１２の各ベクトル加算の結果が複素平面上に図示されている。図１０に示すベクトル加算空間において各ベクトル加算結果を表すベクトルは回転角周波数ωで反時計回りに回転する。図１０のベクトル加算空間図を利用することによって、仮想差分スパイラルベクトルに内在する対称性が明瞭になる。

［ゲージ差分ＳＶ群の実数加算表の構築］
次に、ゲージ差分ＳＶ群を構成するスパイラルベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）の各々の実数瞬時値ｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃を用いてゲージ差分ＳＶ群の実数加算表を生成する。ここで、実数加算表は、前述の式（Ｃ４）および（Ｃ５）に示す仮想差分ＳＶ群に基づくものである。中心ベクトルの位相角φ₀の計算を目的としている場合には、仮想差分ＳＶ群を用いることによって計算を簡単化できる。

具体的に、実数加算表を以下の表１３に示す。

上記の表１３の各欄の加算を行うために、まず、前述の式（Ｃ８）で示した実差分スパイラルベクトルの実数部瞬時値に対応する、仮想差分スパイラルベクトルの実数部瞬時値を計算すると、次式（Ｃ２６）のように求められる。

ここに、Ｒｅは複素数の実数部を示す。
上式（Ｃ２６）に基づいて、表１３の各欄の加算を実際に行うと、下式（Ｃ２７）が得られる。

［ゲージ差分ＳＶ群の中心角の計算式（ゲージ差分ＳＶ群加算表による）］
以下、上記のゲージ差分ＳＶ群の実数加算表の各加算結果に基づいて、ゲージ差分ＳＶ群の不変量の１つである中心角φ₀の計算式を示す。

まず、前述の式（Ｃ２７）から次式（Ｃ２８）が成立する。

ゲージ差分ＳＶ群の中心角φ₀は、上式（Ｃ２８）から次式（Ｃ２９）のように求められる。

ゲージ差分ＳＶ群の中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）は、実際のゲージ差分ＳＶ群と同じように複素平面上で常に反時計まわりで回転している。したがって、上式（Ｃ２９）で示されるゲージ差分ＳＶ群の中心角φ₀（すなわち、中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）の位相角φ₀）は、−１８０度から＋１８０度まで変化する。

図７を参照すると、現時点のスパイラルベクトルｖ₁（ｔ）の位相角φ₁は、ゲージ差分ＳＶ群の中心角φ₀にゲージ回転位相角αの３／２倍を加算した値に等しい。したがって、現時点のスパイラルベクトルｖ₁（ｔ）の位相角φ₁は、次式（Ｃ３０）によって表される。

上式（Ｃ３０）において、φ₀はゲージ差分ＳＶ群の中心角であり、式（Ｃ２９）によって与えられる。また、ゲージ回転位相角αは、式（Ｃ１９）に従って計算される周波数係数ｆ_Cのアークコサインとして求められる。式（Ｃ１９）中の減衰率λは式（Ｃ１５）に従って計算できる。

以上により、現時点のスパイラルベクトルｖ₁（ｔ）の位相角φ₁が明らかとなったので、現時点のスパイラルベクトルｖ₁（ｔ）を計算することができる。具体的には、まず現時点のスパイラルベクトルは、実数部ｖ_reと虚数部ｖ_imによって次式（Ｃ３１）のように定義される。

上式（Ｃ３１）の実数部ｖ_reと虚数部ｖ_imは次式（Ｃ３２）のように表される。

上式（Ｃ３２）において、中心ベクトルの振幅Ｖ₀は、前述の式（Ｃ１６）に従って計算できる。式（Ｃ１６）中のゲージ差分スパイラルベクトルＶ_gd（ｔ）は式（Ｃ１２）に従って電圧瞬時値から計算することができる。また、上式（Ｃ３２）の減衰率λは式（Ｃ１５）に従って計算できる。上式（Ｃ３２）のＴはゲージサンプリング周期である。

［ゲージ差分ＳＶ群のベクトル減算表の構築］
これまでゲージ差分ＳＶ群の加算表に基づくゲージ差分ＳＶ群の中心角φ₀の計算式を示したが、ゲージ差分ＳＶ群の減算表を利用してもゲージ差分ＳＶ群の中心角φ₀を計算することができる。以下、具体的に説明する。

前述の式（Ｃ４）に示す仮想差分ＳＶ群を構成する３つの仮想差分スパイラルベクトルから、以下の表１４に示すゲージ差分ＳＶ群のベクトル減算表を構築する。ベクトル減算表を構築することによって、対称性を見出すための対称操作が明瞭になる。

上記の表１４に示すベクトル減算表において、差分スパイラルベクトルは仮想差分スパイラルベクトルであり、複素数状態変数である。

表１４に示すゲージ差分ＳＶ群のベクトル減算表における各ベクトル減算の結果は次式（Ｃ３３）によって示される。

上式（Ｃ３３）では、中心ベクトルの振幅をＶと簡単化して記載している。
上式（Ｃ３３）は、さらに下式（Ｃ３４）のように簡単化できる。

図１１は、ゲージ差分ＳＶ群のベクトル減算空間図である。図１１では表１４の各ベクトル減算の結果が複素平面上に図示されている。図１１に示すベクトル減算空間において、各ベクトル減算結果を表すベクトルは回転角周波数ωで反時計回りに回転する。図１０のベクトル減算空間図を利用することによって、仮想差分スパイラルベクトルに内在する対称性が明瞭になる。

［ゲージ差分ＳＶ群の実数減算表の構築］
次に、ゲージ差分ＳＶ群を構成するスパイラルベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）の各々の実数瞬時値ｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃を用いてゲージ差分ＳＶ群の実数減算表を生成する。ここで、実数減算表は、前述の式（Ｃ４）および（Ｃ５）に示す仮想差分ＳＶ群に基づくものである。中心ベクトルの位相角φ₀の計算を目的としている場合には、仮想差分ＳＶ群を用いることによって計算を簡単化できる。

具体的に、実数減算表を以下の表１５に示す。

前述の式（Ｃ２６）で示した実数部瞬時値ｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃を用いて、表１５の各欄の減算を実際に行うと、次式（Ｃ３５）が得られる。

［ゲージ差分ＳＶ群の中心角の計算式（ゲージ差分ＳＶ群減算表による）］
以下、上記のゲージ差分ＳＶ群の実数減算表の各減算結果に基づいて、ゲージ差分ＳＶ群の不変量の１つである中心角φ₀の計算式を示す。

まず、前述の式（Ｃ３５）から次式（Ｃ３６）が成立する。

ゲージ差分ＳＶ群の中心角φ₀は、上式（Ｃ３６）から次式（Ｃ３７）のように求められる。

ゲージ差分ＳＶ群の中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）は、実際のゲージ差分ＳＶ群と同じように複素平面上で常に反時計まわりで回転している。したがって、上式（Ｃ３７）で示されるゲージ差分ＳＶ群の中心角φ₀（すなわち、中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）の位相角φ₀）は、−１８０度から＋１８０度まで変化する。なお、逆正接関数によって得られる位相は、複素平面上で順時計回りに変化することに注意すべきである。

［ゲージ差分ＳＶ群の中心角の計算式（平均化計算法による）］
上記したゲージ差分ＳＶ群の中心角φ₀の計算式（Ｃ２９）および（Ｃ３７）の両方を用いて両者の平均を計算することによって、次式（Ｃ３８）で表されるゲージ差分ＳＶ群の中心角φ₀の計算式が得られる。

上式（Ｃ３８）では、ｔａｎ関数とｃｏｔ関数に対称性がある。このため、ゲージ回転位相角αとしてリアルタイム周波数に対応するものでなく、定格周波数に対応するものを用いることができる。なぜなら、定格周波数に対応するゲージ回転位相角αを用いると誤差が生じるが、この誤差の多くはｔａｎ関数とｃｏｔ関数の対称性によって打ち消されるからである。たとえば、定格周波数に対応するゲージ回転位相角αとしてα＝９０°を採用すれば、ｔａｎ（α／２）およびｃｏｔ（α／２）はそれぞれ１になるので計算過程を大幅に簡略化することができる。

さらに、現時点のスパイラルベクトルの位相角φ₁は、上式（Ｃ３８）のゲージ差分ＳＶ群の中心角φ₀を用いて、前述の式（Ｃ３０）に従って計算できる。さらに、前述の式（Ｃ３２）に従って現時点のスパイラルベクトルの実数部ｖ_reおよび虚数部ｖ_imを計算する際にも、上式（Ｃ３８）で表される中心角φ₀を用いることができる。

［ゲージＳＶ群による直流成分の計算式］
図１２は、複素平面上のゲージＳＶ群およびゲージ差分ＳＶ群を利用して、入力波形に含まれる直流成分を計算する方法を説明するための図である。図１２では、入力信号に直流電圧成分ｖ_DCが含まれている場合のゲージＳＶ群ｖ₁（ｔ），ｖ₁（ｔ−Ｔ），ｖ₁（ｔ−２Ｔ）が示されている。

計算の手順としては、まず直流成分の影響を受けないゲージ差分ＳＶ群を利用して、減衰率λおよび周波数係数ｆ_Cを計算する。周波数係数ｆ_Cは、回転位相角αの余弦に等しい。次に、ゲージＳＶ群を利用して直流電圧成分ｖ_DCを計算する。

図１２を参照して、ゲージＳＶ群を構成する３つのスパイラルベクトルｖ₁（ｔ），ｖ₁（ｔ−Ｔ），ｖ₁（ｔ−２Ｔ）の電圧瞬時値ｖ₁₁、ｖ₁₂、ｖ₁₃は、次式（Ｄ１）で与えられる。

上式（Ｄ１）を、ゲージＳＶ群の周波数係数の関係式である式（Ｂ２１）に代入することにより、次式（Ｄ２）が得られる。

上式（Ｄ２）から直流電圧成分ｖ_DCを以下の式（Ｄ３）のように求めることができる。

上式（Ｄ３）において、減衰率λおよび周波数係数ｆ_Cはゲージ差分ＳＶ群を利用して計算したものである。Ｔはゲージサンプリング周期である。

［相差角の定義と計算式］
複素平面上のスパイラルベクトルの位相角と仮想基準ベクトルの位相角との差分を相差角と称する。仮想基準ベクトルは、振幅として１を有し、複素平面上で一定の基準周波数（たとえば、定格周波数）で回転する回転ベクトルである。相差角の取り得る値は、−１８０度から＋１８０度までである。

図１３は、定格周波数を有する仮想基準ベクトルに対する相差角の計算方法の概念図である。

図１３（Ａ）を参照して、複素平面上を一定の速度（定格周波数ｆ₀、定格角周波数ω₀）で回転している仮想基準ベクトルｖ₀（ｔ）を想定する。仮想基準ベクトルｖ₀（ｔ）の振幅は１であり、初期位相角はφ₀であるとする。したがって、仮想基準ベクトルｖ₀（ｔ）の実数部はｃｏｓ（ω₀ｔ＋φ₀）であり、虚数部はｓｉｎ（ω₀ｔ＋φ₀）である。

現時点におけるスパイラルベクトルｖ₁（ｔ）の振幅をＶ₁とし、位相角をφ₁（ｔ）とし、実数部をｖ_1reとし、虚数部をｖ_1imとする。

スパイラルベクトルｖ₁（ｔ）の相差角φ_dは、現時点におけるスパイラルベクトルｖ₁（ｔ）の位相角φ₁（ｔ）と仮想基準ベクトルｖ₀（ｔ）の位相角（ω₀ｔ＋φ₀）との位相差を意味している。実際の相差角φ_dは、図２３（Ａ）に示すスパイラルベクトルｖ₁（ｔ）と仮想基準ベクトルｖ₀（ｔ）とによって構成される三角形についての余弦定理を用いて規定される。

具体的に、スパイラルベクトルｖ₁（ｔ）と仮想基準ベクトルｖ₀（ｔ）との差分ベクトルの長さをＶ₁₀とすると、相差角φ_dは次式（Ｄ４）で与えられる。

上式（Ｄ４）において、差分ベクトルの長さＶ₁₀の２乗は、三平方の定理を用いて次式（Ｄ５）のように計算することができる。

次に、図１３（Ｂ）を参照して、仮想基準ベクトルｖ₀（ｔ）の初期位相角φ₀の決定方法について説明する。初期位相角φ₀は、現時点ｔよりも時間Ｔ_d（指定時間と称する）だけ前において、スパイラルベクトルｖ₁（ｔ−Ｔ_d）の位相角φ₁（ｔ−Ｔ_d）と一致するように定められる。

具体的に式で表すと、仮想基準ベクトルｖ₀（ｔ）の初期位相角φ₀は、次式（Ｄ６）によって規定される。

式（Ｄ６）においてａｒｇは位相角を表す。
高調波の影響などによって、相差角φ_dの計算結果は振動している場合が多い。そこで、高調波の影響を除去するために移動平均処理が一般に用いられる。制御保護装置での必要性に応じて、複数の指定時間Ｔ_dを指定して相差角φ_dの計算を行うこともできる。たとえば、入力信号の周波数が高速に変化している場合には比較的小さな値の指定時間Ｔ_dを用いて相差角φ_dの計算が行われ、入力信号の周波数がほとんど変化していない場合には比較的大きな値の指定時間Ｔ_dを用いて相差角φ_dの計算が行われる。

［周波数変化量および周波数の計算法］
相差角−時間曲線を用いることによって基準周波数ｆ₀に対する基本波周波数の変化量Δｆを計算することができる。以下、図面を参照して具体的に説明する。

図１４は、相差角と時間との関係を模式的に示す図である。図１４に示すように、初期状態において相差角が０であり、指定時間Ｔ_dが経過したときの相差角がφ_dであったとする。

時間軸と相差角曲線とで囲まれた面積をＳとすると、面積Ｓは次式（Ｄ７）で表される。

上式（Ｄ７）において、Δｆは基本波周波数の変化量である。上式（Ｄ７）から基本波周波数の変化量Δｆの絶対値は、次式（Ｄ８）によって表される。

現時点の基本波周波数ｆは、基準周波数ｆ₀に変化量Δｆを加算または減算することによって次式（Ｄ９）のように求められる。

上記の周波数計算方法のメリットは次のとおりである。一般に、入力信号の瞬時値波形は基本波と複数の高調波成分（ノイズ）とによって構成される。高調波成分を完全にカットしてから基本波を計算することは現在主流の方法であり、たとえば、ＤＦＴまたはプローニー法を例示することができる。しかし、これらの方法では、計算時間が長くなり、計算量が多くなり、計算時間窓を大きくする必要があるので、オンラインでの計算には向いていない。

これに対して、本開示による上記計算方法は、フィルターを用いずに高調波成分を含めてスパイラルベクトルの瞬時位相角φ₁を計算し、この瞬時位相角φ₁と仮想基準ベクトルの位相角との差分を時系列データとして計算する。そして、時系列データとして得られた位相角の差分を積分（面積計算）することによって周波数変化量Δｆを計算するので、高調波成分の影響を大幅に低減することができる。

［多重スケール法について］
図１５は、多重スケール法の概念について説明するための図である。

図１５を参照して、ゲージサンプリング点数Ｎ_gが２の場合のゲージＳＶ群を構成する３個のスパイラルベクトルは、以下の（Ｄ１０）のとおりである。

また、ゲージサンプリング点数Ｎ_gが４の場合のゲージＳＶ群を構成する３個のスパイラルベクトルは、以下の（Ｄ１１）のとおりである。

ただし、上記では、前述の式（Ｂ２）で説明した変形されたゲージＳＶ群（すなわち、ゲージ電圧群と等価なもの）としてゲージＳＶ群を表現している。ゲージサンプリング点数（すなわち、スケール）が大きくなるにつれて、測定点が増えるのでノイズの影響を低減することができるが、スパイラルベクトルの諸量の検出に要する時間が長くなるというディメリットがある。

［実施の形態１のまとめ］
以下、これまで説明を総括するために、上記の信号処理方法を組み込んだ信号処理装置の概略構成について説明する。信号処理装置には、振幅が時間的に増加または減少する周期信号が入力される。周期信号として、たとえば、電力系統の電流または電圧を例示することができ、さらには、電力系統の周期的な電力動揺を例示することができる。もっとも、本開示による信号処理装置は、電力系統に限らず、より一般的な信号処理にも適用することができる。

図１６は、ゲージＳＶ群を利用した信号処理装置の概略構成を示すブロック図である。図１６を参照して、信号処理装置２００は、第１の不変量算出手段２０１と、減衰率算出手段２０２と、第２の不変量算出手段２０３と、振動周波数算出手段２０４と、振幅算出手段２０５と、位相角算出手段２０６とを備える。

第１の不変量算出手段２０１には、振幅が時間的に増加または減少する周期信号を第１の周波数（すなわち、データ収集サンプリング周波数ｆ₁）でサンプリングした瞬時値データが入力される。第１の不変量算出手段２０１は、この瞬時値の時系列データからゲージＳＶ群を利用して第１の不変量であるゲージスパイラルベクトルＶ_gを算出する。

より詳細には、第１の不変量算出手段２０１は、第１の周波数よりも小さい第２の周波数（すなわち、ゲージサンプリング周波数ｆ_g）で瞬時値データの中から抽出した時系列に連続する３点の抽出データに基づいてゲージスパイラルベクトルＶ_gを算出する。具体的に、この３点の抽出データを時間的に後のほうからｘ₁、ｘ₂、ｘ₃としたとき、第１の不変量算出手段２０１は、ｘ₂の２乗からｘ₁とｘ₃の積を減算した減算結果の平方根、すなわち、√（ｘ₂ ²−ｘ₃・ｘ₁）によってゲージスパイラルベクトルＶ_gを算出する（式（Ｂ７）を参照）。

なお、式（Ｂ５）に示したように、上記の３点の抽出データは、ゲージＳＶ群を構成する３つのスパイラルベクトルの実数部に対応するものである。

減衰率算出手段２０２は、異なる２時点で算出されたゲージスパイラルベクトルＶ_g（ｔ）およびＶ_g（ｔ−Ｔ）の比に基づいて、前述の式（Ｂ１２）に従って周期信号の対数減衰率λを計算する。上記のＴは第２の周波数ｆ_gの逆数であるゲージサンプリング周期である。

第２の不変量算出手段２０３は、対数減衰率λ、ゲージサンプリング周期Ｔ、および上記の３点の抽出データｘ₁、ｘ₂、ｘ₃を用いて、ｘ₁・ｅｘｐ（−λＴ）＋ｘ₃・ｅｘｐ（λＴ）を２・ｘ₂で除算することによって第２の不変量である周波数係数ｆ_Cを算出する（式（Ｂ２１）参照）。

振動周波数算出手段２０４は、周波数係数ｆ_Cおよびゲージサンプリング周波数ｆ_gを用いて、前述の式（Ｂ２２）に従って周期信号の周波数である振動周波数ｆを算出する。

振幅算出手段２０５は、周期信号の瞬時値データを複素平面上でのスパイラルベクトルの実数部として表した場合に、上記のゲージスパイラルベクトルＶ_gと、周波数係数ｆ_Cのアークコサインである回転位相角αと、対数減衰率λとに基づいて、前述の式（Ｂ１６）に従ってスパイラルベクトルの振幅Ｖ₁（ｔ）を算出する。

位相角算出手段２０６は、３点の抽出データｘ₁、ｘ₂、ｘ₃と、周波数係数ｆ_Cのアークコサインである回転位相角αと、対数減衰率λとに基づいて、前述の式（Ｂ２８）および（Ｂ３５）に従ってスパイラルベクトルの位相角φ₁（ｔ）を算出する。

図１７は、ゲージ差分ＳＶ群を利用した信号処理装置の概略構成を示すブロック図である。図１７を参照して、信号処理装置２１０は、第１の不変量算出手段２１１と、減衰率算出手段２１２と、第２の不変量算出手段２１３と、振動周波数算出手段２１４と、振幅算出手段２１５と、位相角算出手段２１６と、周波数変化量算出手段２１７と、直流成分算出手段２１８とを備える。

第１の不変量算出手段２１１には、振幅が時間的に増加または減少する周期信号を第１の周波数（すなわち、データ収集サンプリング周波数ｆ₁）でサンプリングした瞬時値データが入力される。第１の不変量算出手段２１１は、この瞬時値の時系列データからゲージ差分ＳＶ群を利用して第１の不変量であるゲージ差分スパイラルベクトルＶ_gdを算出する。

より詳細には、第１の不変量算出手段２１１は、第１の周波数よりも小さい第２の周波数（すなわち、ゲージサンプリング周波数ｆ_g）で瞬時値データの中から時系列に連続する４点の抽出データを抽出し、４点の抽出データの隣接する２点間の差分である３点の差分データに基づいてゲージ差分スパイラルベクトルＶ_gdを算出する。具体的に、この３点の差分データを時間的に後のほうからｙ₁、ｙ₂、ｙ₃としたとき、第１の不変量算出手段２１１は、ｙ₂の２乗からｙ₁とｙ₃の積を減算した減算結果の平方根、すなわち、√（ｙ₂ ²−ｙ₃・ｙ₁）によってゲージ差分スパイラルベクトルＶ_gdを算出する（式（Ｃ１２）を参照）。

なお、式（Ｃ３）に示したように、上記の３点の差分データは、ゲージ差分ＳＶ群を構成する３つのスパイラルベクトルの実数部に対応するものである。

減衰率算出手段２１２は、異なる２時点で算出されたゲージ差分スパイラルベクトルＶ_gd（ｔ）およびＶ_gd（ｔ−Ｔ）の比に基づいて、前述の式（Ｃ１５）に従って周期信号の対数減衰率λを計算する。上記のＴは第２の周波数ｆ_gの逆数であるゲージサンプリング周期である。

第２の不変量算出手段２１３は、対数減衰率λ、ゲージサンプリング周期Ｔ、および上記の３点の差分データｙ₁、ｙ₂、ｙ₃を用いて、ｙ₁・ｅｘｐ（−λＴ）＋ｙ₃・ｅｘｐ（λＴ）を２・ｙ₂で除算することによって第２の不変量である周波数係数ｆ_Cを算出する（式（Ｃ１９）参照）。

振動周波数算出手段２１４は、周波数係数ｆ_Cおよびゲージサンプリング周波数ｆ_gを用いて、前述の式（Ｃ２０）に従って周期信号の周波数である振動周波数ｆを算出する。

振幅算出手段２１５は、周期信号の瞬時値データを複素平面上でのスパイラルベクトルの実数部として表した場合に、上記のゲージ差分スパイラルベクトルＶ_gdと、周波数係数ｆ_Cのアークコサインである回転位相角αと、対数減衰率λとに基づいて、前述の式（Ｃ２２）に従ってスパイラルベクトルの振幅Ｖ₁（ｔ）を算出する。

位相角算出手段２１６は、３点の差分データｙ₁、ｙ₂、ｙ₃と、周波数係数ｆ_Cのアークコサインである回転位相角αと、対数減衰率λとに基づいて、前述の式（Ｃ３０）および（Ｃ３８）に従ってスパイラルベクトルの位相角φ₁（ｔ）を算出する。

周波数変化量算出手段２１７は、前述の式（Ｄ４）に従って、スパイラルベクトルの現時点の位相角と複素平面上を基準周波数ｆ₀で回転する振幅一定の基準ベクトルの位相角との差分を相差角φ_dとして算出し、相差角φ_dの時間変化曲線の面積Ｓを算出する。さらに、周波数変化量算出手段２１７は、前述の式（Ｄ８）に従って、上記の面積Ｓに基づいて基準周波数ｆ₀に対する周期信号の周波数ｆの変化量Δｆを算出する。

直流成分算出手段２１８は、上記の４点の抽出データのうち時間的に後の３点の抽出データｘ₁、ｘ₂、ｘ₃と周波数係数ｆ_Cと対数減衰率λとに基づいて、前述の式（Ｄ３）に従って周期信号に含まれる直流成分ｖ_DCの大きさを算出する。

上記の信号処理装置２００，２１０は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）およびメモリ等を含むマイクロコンピュータに基づいて構成することができる。もしくは、信号処理装置は、ＣＰＵに代えてＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）またはＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）などの回路によって同様の演算処理を行うように構成されていてもよい。

［実施の形態１の効果］
上記の信号処理装置２００，２１０によれば、振幅が時間的に増加または減少する周期信号を複素平面上で回転するスパイラルベクトルとして表した場合に、スパイラルベクトルの減衰率、振動周波数、振幅の瞬時値、および位相角の瞬時値について解析解を得ることができる。さらに、ゲージ差分ＳＶ群を利用した信号処理装置２１０によれば、交流最大振幅よりも大きな直流成分が周期信号に含まれている場合でも、スパイラルベクトルの減衰率、振動周波数、振幅の瞬時値、および位相角の瞬時値について解析解を得ることができる。また、直流成分の大きさを解析的に求めることもできるきる。このようにスパイラルベクトルの基本波成分の解析解を得ることができるので、上記の信号処理装置２００，２１０は高精度のリアルタイムの信号処理に好適に用いることができる。

実施の形態２．
実施の形態２では、実施の形態１で説明したゲージＳＶ群およびゲージ差分ＳＶ群を用いて送電線電力潮流の長周期動揺をリアルタイムで検出する測定装置および方法について説明する。

［長周期動揺測定装置の構成］
図１８は、長周期動揺測定装置の構成を示すブロック図である。図１８を参照して、長周期動揺測定装置１０１は、瞬時値データ入力手段１０２と、演算処理手段１２０と、通信手段１１４と、記憶手段１１５と、インターフェース１１６とを備える。

瞬時値データ入力手段１０２は、電圧変成器ＰＴおよび電流変成器ＣＴと接続され、電力系統１３０の母線１３２の電圧を表す電圧信号および送電線１３１を流れる電流を表す電流信号を連続的に受信する。受信した電圧信号および電流信号は、内蔵のＡ／Ｄ変換器によってデジタル変換される。この結果、データ収集サンプリング周期Ｔ₁ごとにサンプリングされた時系列の電圧データおよび電流データが得られる。

演算処理手段１２０は、たとえば、ＣＰＵなどによって構成され、記憶手段１１５に格納されたプログラムに従って動作することによって、種々の演算処理を行う。演算処理手段１２０は、ＣＰＵに代えてＦＰＧＡまたはＡＳＩＣなどの回路によって同様の演算処理を行うように構成されていてもよい。

機能的に見ると、演算処理手段１２０は、電力潮流算出手段１０３、ゲージ差分ＳＶ電力算出手段１０４、減衰率算出手段１０５、減衰率ラッチ手段１０６、周波数係数算出手段１０７、振動周波数算出手段１０８、振動周波数ラッチ手段１０９、位相角算出手段１１０、位相角推定手段１１１、振幅算出手段１１２、およびベース潮流算出手段１１３を備える。これらの各手段の動作については、次の図１９のフローチャートとともに説明する。

通信手段１１４は、通信回線（不図示）を介して他の装置との間で通信を行う。記憶手段１１５は、取得した電圧瞬時値データおよび電流瞬時値データを格納したり、演算処理手段１２０の計算結果を格納したりする。インターフェース１１６は、ユーザインターフェースまたは外部装置との間の接続のために用いられる。

図１９は、送電線の電力潮流の長周期動揺を測定する手順を示すフローチャートである。以下、図１８および図１９を参照して、長周期動揺測定装置１０１による送電線１３１の電力潮流の振動成分の測定手順について説明する。

まず、ステップＳ１０１において、瞬時値データ入力手段１０２は、電圧変成器ＰＴにから入力された電圧瞬時値データおよび電流変成器ＣＴから入力された電流瞬時値データに基づいて、データ収集サンプリング周期Ｔ₁ごとにサンプリングされた時系列の電圧データおよび時系列の電流データを生成する。

次のステップＳ１０２において、電力潮流算出手段１０３は、３相の各相の電圧および電流の時系列データに基づいて、データ収集サンプリング周期Ｔ₁ごとに各相の有効電力および各相の無効電力を計算する。これによって、データ収集サンプリング周波数ｆ₁を有する有効電力の時系列データおよび無効電力の時系列データが各相ごとに得られる。この計算には、ゲージ電圧群およびゲージ電流群を利用する。ここで、ゲージ電圧群およびゲージ電流群は、ゲージＳＶ群で減衰率λを０としたものに相当する。

一般に、電気系（たとえば、電流および電圧）の減衰率および周波数と、力学系（たとえば、長周期動揺）の減衰率および周波数とは１００倍以上の違いがある。したがって、長周期動揺の減衰率と振動周波数を求めるとき、電流振幅の減衰率および電圧振幅の減衰率を零として計算しても長周期動揺の計算結果にはほとんど影響を与えない。以下、各相の有効電力および無効電力の具体的な計算手順について説明する。

Ａ相の場合について説明すると、まず電力潮流算出手段１０３は、Ａ相のゲージ電圧群を用いて式（Ｂ７）に従ってゲージ電圧Ｖg（ゲージＳＶ電圧に相当する）を算出し、式（Ｂ２１）に従って周波数係数を算出する。ただし、λ＝０とする。この結果、中心ベクトルの大きさＶ₀をＶg／ｓｉｎαによって求めることができる。さらに、電力潮流算出手段１０３は、式（Ｂ３５）に従って中心角φ₀を算出し、算出した中心角φ₀を式（Ｂ２８）に代入することによって現時点の位相角φ₁を求める。ただし、λ＝０とする。

Ａ相のゲージ電流群を用いて同様の計算を行うことによって、最終的に次式（Ｅ１）に示すように、Ａ相の電圧同期フェーザｖ_A（ｔ）およびＡ相の電流同期フェーザｉ_A（ｔ）を計算できる。

上式（Ｅ１）において、Ｖ_AはＡ相の電圧振幅であり、Ｉ_AはＡ相の電流振幅である。ｖ_AreはＡ相電圧の実数部であり、ｖ_AimはＡ相電圧の虚数部である。ｉ_AreはＡ相電流の実数部であり、ｉ_AimはＡ相電流の虚数部である。Ｂ相、Ｃ相についても同様に計算できる。

次に、電力潮流算出手段１０３は、上式（Ｅ１）を用いて、下式（Ｅ２）に示すようにＡ相の有効電力Ｐ_A（ｔ）およびＡ相の無効電力Ｑ_A（ｔ）を算出する。

上式（Ｅ２）において、ｉ_A(t)^*は、ｉ_A(t)の複素共役を表す。なお、上式（Ｅ２）の電力の計算式は、スパイラルベクトル理論の基本定理である。

電力潮流算出手段１０３は、同様に、Ｂ相の有効電力Ｐ_B（ｔ）およびＢ相の無効電力Ｑ_B（ｔ）を算出し、Ｃ相の有効電力Ｐ_C（ｔ）およびＣ相の無効電力Ｑ_C（ｔ）を算出する。

次に、電力潮流算出手段１０３は、次式（Ｅ３）に示すように、時刻ｔおいて得られた各相の有効電力を加算し、各相の無効電力を加算する。

この結果、データ収集サンプリング周波数ｆ₁を有する有効電力Ｐ（ｔ）の時系列データおよび無効電力Ｑ（ｔ）の時系列データが得られる。有効電力Ｐ（ｔ）の時系列データおよび無効電力Ｑ（ｔ）の時系列データ、ゲージ差分ＳＶ電力算出手段１０４に入力される。

ゲージ差分ＳＶ電力算出手段１０４は、データ収集サンプリング周波数ｆ₁を有する有効電力Ｐ（ｔ）の時系列データに基づいてゲージ差分ＳＶ群を生成する。ここで、ゲージ差分ＳＶ群を構成する電力瞬時値を時間的に後からｐ₂₁，ｐ₂₂，ｐ₂₃とする。

ステップＳ１０３において、ゲージ差分ＳＶ電力算出手段１０４は、次式（Ｅ４）で示す判別式Ｐ_gdBRK＜０が成立するか否かを判定する。

上式（Ｅ４）は前述の式（Ｃ１７）に対応する。
上式（Ｅ４）の判別式が成り立たない場合（ステップＳ１０３でＮＯ）、ゲージ差分ＳＶ電力算出手段１０４は、次式（Ｅ５）に従ってゲージ差分ＳＶ電力Ｐ_gd（ｔ）を算出する。

上式（Ｅ５）は、前述の式（Ｃ１２）に対応する。
次のステップＳ１０４において、減衰率算出手段１０５は、上式（Ｅ５）で示されるゲージ差分ＳＶ電力Ｐ_gd（ｔ）を用いることにより、次式（Ｅ６）に従って長周期動揺の減衰率λを算出する。

上式（Ｅ６）は、前述の式（Ｃ１５）に対応するものである。上式（Ｅ６）において、Ｔはゲージサンプリング周期である。

一方、前述の式（Ｅ４）の判別式Ｐ_gdBRK＜０が成立する場合には（ステップＳ１０３でＹＥＳ）、対称性が破れているために前述の式（Ｅ５）に従ってゲージ差分ＳＶ電力Ｐ_gd（ｔ）を計算することができない。したがって、この場合にはステップＳ１０５において、減衰率ラッチ手段１０６は、データ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前における減衰率λを現時刻ｔにおける減衰率として保持する（すなわち、ラッチする）。

次のステップＳ１０６において、周波数係数算出手段１０７は、次式（Ｅ７）で示す判別式ｆ_CBK＞１が成立するか否かを判定する。

上式（Ｅ７）は、前述の式（Ｃ２１）に対応する。
上式（Ｅ７）の判別式が成り立たない場合（ステップＳ１０６でＮＯ）、周波数係数算出手段１０７は、次式（Ｅ８）に従って周波数係数ｆ_Cを算出する。

上式（Ｅ８）は、前述の式（Ｃ１９）に対応する。
次のステップＳ１０７において、振動周波数算出手段１０８は、ゲージサンプリング周波数ｆ_gおよび上式（Ｅ８）の周波数係数ｆ_Cを用いて、次式（Ｅ９）に従って長周期動揺の周波数ｆを算出する。

上式（Ｅ９）は、前述の式（Ｃ２０）に対応する。
次のステップＳ１０８において、位相角算出手段１１０は、式（Ｅ８）の周波数係数に対応するゲージ回転位相角αを用いて、ゲージ差分ＳＶ群の中心角φ₀を次式（Ｅ１０）に従って算出する。さらに、位相角算出手段１１０は、次式（Ｅ１０）の中心角φ₀に基づいて現時点のスパイラルベクトルの位相角φ₁を次式（Ｅ１１）に従って算出する。

上式（Ｅ１０）および（Ｅ１１）は、前述の式（Ｃ３８）および（Ｃ３０）にそれぞれ対応するものである。

一方、前述の式（Ｅ７）の判別式ｆ_CBK＞１が成立する場合（ステップＳ１０６でＹＥＳ）、すなわち、対称性が破れていると判定された場合には、前述の式（Ｅ８）に従って周波数係数ｆ_Cを算出することができない。

したがって、この場合にはステップＳ１０９において、振動周波数ラッチ手段１０９は、現時点よりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前における振動周波数ｆを、現時刻ｔにおける振動周波数として保持する（すなわち、ラッチする）。これにより、次式（Ｅ１２）で示すように、ｆ（ｔ−Ｔ₁）がｆ（ｔ）に代入される。

前述の式（Ｅ７）の判別式ｆ_CBK＞１が成立している場合には、さらに、次のステップＳ１１０において、位相角推定手段１１１は、現在の長周期動揺の位相角φ₁（ｔ）を推定する。具体的には、まず、位相角推定手段１１１は、上式（Ｅ１２）に示す現時点の振動周波数ｆ（ｔ）を用いて、次式（Ｅ１３）に従ってデータ取集サンプリング周期Ｔ₁に対応する位相角α₁を算出する。

次に、位相角推定手段１１１は、次式（Ｅ１４）に従って、現時点よりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前の長周期動揺の位相角φ₁（ｔ−Ｔ₁）に、上式（Ｅ１３）で計算された位相角α₁を加算することによって、現在の長周期動揺の位相角φ₁（ｔ）を推定する。

次のステップＳ１１１において、振幅算出手段１１２は、次式（Ｅ１５）に従って現時点における長周期動揺の振幅を算出する。

上式（Ｅ１５）は前述の式（Ｃ２２）に対応するものである。上式（Ｅ１５）において、λは長周期動揺の減衰率を表し、αはゲージ回転位相角を表し、Ｐ_gd（ｔ）はゲージ差分ＳＶ電力を表す。

次のステップＳ１１２において、ベース潮流算出手段１１３は、次式（Ｅ１６）に従って電力潮流から長周期動揺（すなわち、振動成分）を除いた直流成分（この明細書では、ベース潮流Ｐ_baseと称する）を算出する。

上式（Ｅ１６）は前述の式（Ｄ３）に対応するものである。
次のステップＳ１１３において、演算処理手段１２０は、上記の計測および演算結果を記憶手段１１５に出力する。もしくは、演算処理手段１２０は、通信手段１１４を介して計測結果を他の装置に伝送してもよいし、インターフェース１１６を介してディスプレイなどに表示したり、プリンタに出力したりしてもよい。

処理を終了しない場合には（ステップＳ１１４でＮＯ）、次のサンプリング時刻、すなわち、現時点ｔよりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ時間を進めて、上記の各ステップが繰り返される。

［シミュレーション実施例］
以下、上記で説明した電力潮流の長周期動揺測定装置１０１を用いたシミュレーションの実施結果について説明する。

表１６は、シミュレーションの実施例のパラメータを示す。

表１６のパラメータを満たす入力波形は、次式（Ｆ１）で表される。

以下、シミュレーション結果を示す。
図２０は、本シミュレーションにおいて、入力信号波形と振動成分の振幅の計算結果を示す図である。図２０では有効電力が入力された場合が示されており、入力信号波形を細い実線で示し、振動成分をスパイラルベクトルで表した場合の振幅の計算結果が太い実線で示されている。

入力波形は、０秒から５秒までが直流成分のみを有する。５秒以降には振幅が次第に増大する正弦波の波形が直流成分に重畳されることによって入力波形が構成されている。ゲージサンプリング周波数ｆ_gを２［Ｈｚ］（すなわち、ゲージサンプリング周期Ｔ_gを０．５秒）としたので、ゲージ差分ＳＶ群を利用した振幅の計算は７秒以降で行われている。このように、スパイラルベクトルの振動周波数の１サイクルの時間で、スパイラルベクトルの振幅の解析解を得ることができた（基本波のみの計算であるため、解析解となる点に注意）。

上記の結果を、非特許文献３の８３頁に記載されている脱調予測分離の方法と比較する。従来の方法は測定精度上の問題から、振動振幅の増加が３サイクル以上継続した場合に脱調と判定していた。これに対して、本実施の形態の測定方法を脱調予測分離装置に適用すれば、より早く正確に脱調を予測することができる。

なお、本実施形態による振動波形の検出方法によれば、減衰率だけでなく、振動波形の振幅の時間変化も検出できることに注目すべきである。この振幅変化を観察することによって、電力の動揺が増大していることを直感的に確認することができる。

図２１は、本シミュレーションにおいて、複素平面上のスパイラルベクトルを示す図である。本シミュレーションのパラメータとして減衰率の設定値は０．２であり、０より大きい。このため、図２１に示すように、スパイラルベクトルは複素平面上において反時計回りに回転しながら、その振幅が増大していく。このように複素平面上のスパイラルベクトルによって観測している電力を表示することによって、従来理論と異なり、電力の動揺を直感的に認識することができる。

図２２は、本シミュレーションにおいて、減衰率の測定値と理論値との比較結果を示す図である。減衰率の理論値（シミュレーションパラメータの設定値）を細い実線で示し、ゲージ差分ＳＶ群を用いた減衰率の測定結果を太い実線で示す。

図２２の理論値のグラフを参照して、５秒までは入力信号は直流成分のみを有し、減衰率は０［１／ｓ］に設定されている。５秒以降の減衰率は０．２［１／ｓ］に設定されている。

図２２の測定値のグラフを参照して、ゲージサンプリング周波数ｆ_gを２［Ｈｚ］（すなわち、ゲージサンプリング周期Ｔ_gを０．５秒）としたので、ゲージ差分ＳＶ群を利用した減衰率の計算は７秒以降で行われている。減衰率が０．２と計測された７秒の時点で電力の振動成分が増大していることが分かるので、直ちに電力系統が脱調傾向にあると判定して異常区間を電力系統から分離することができる。

図２３は、本シミュレーションにおいて、振動周波数の測定値と理論値との比較結果を示す図である。振動周波数の理論値（シミュレーションパラメータの設定値）を細い実線で示し、ゲージ差分ＳＶ群を用いた振動周波数の測定結果を太い実線で示す。

図２３の理論値のグラフを参照して、５秒までは入力信号は直流成分のみを有し、振動周波数は０に設定されておいる。５秒以降の振動周波数は０．５［Ｈｚ］に設定されている。

図２３の測定値のグラフを参照して、ゲージサンプリング周波数ｆ_gを２［Ｈｚ］（すなわち、ゲージサンプリング周期Ｔ_gを０．５秒）としたので、ゲージ差分ＳＶ群を利用した振動周波数の計算は７秒以降で行われている。図２３に示すように理論値である０．５Ｈｚに等しい振動周波数の解析解が得られている。

電力系統では多数の動揺モードが存在し得る。本実施の形態によれば、予め知見した各動揺モードの周波数に検出した周波数を照合することによって電力系統をより的確に制御することができる。さらに、複数の動揺モード間の協調制御を行うことができる。

図２４は、本シミュレーションにおいて、スパイラルベクトルの位相角の測定値と理論値との比較結果を示す図である。位相角の理論値（シミュレーションパラメータの設定値）を細い実線で示し、ゲージ差分ＳＶ群を用いた位相角の測定結果を太い実線で示す。

図２４の理論値のグラフを参照して、５秒の時点での初期位相の設定値が−８９°であり、その後、２秒周期で位相角は−１８０°から＋１８０°まで変化している。

図２４の測定値のグラフを参照して、ゲージサンプリング周波数ｆ_gを２［Ｈｚ］（すなわち、ゲージサンプリング周期Ｔ_gを０．５秒）としたので、ゲージ差分ＳＶ群を利用した位相角の計算は７秒以降で行われている。図２４に示すように理論値に等しい位相角の解析解が得られている。

図２５は、本シミュレーションにおいて、有効電力のベース潮流の測定値と理論値との比較結果を示す図である。有効電力のベース潮流の理論値（シミュレーションパラメータの設定値）を細い実線で示し、ゲージ差分ＳＶ群を用いたベース潮流の測定結果を太い実線で示す。ここで、ベース潮流とは、有効電力のうち動揺成分を除いた直流成分をいう。

図２５の理論値のグラフを参照して、各時点での直流成分の設定値は４［ＰＵ］である。図２５の測定値のグラフを参照して、ゲージサンプリング周波数ｆ_gを２［Ｈｚ］（すなわち、ゲージサンプリング周期Ｔ_gを０．５秒）としたので、ゲージ差分ＳＶ群を利用した直流成分の計算は７秒以降で行われている。図２５に示すように理論値に等しい直流成分の解析解が得られている。

一般に、電力系統の送電線におけるベース潮流（すなわち、本開示の場合の直流成分）は振動成分の振幅より大きい値を有する。本実施の形態によれば、このように直流成分の大きさが振動成分よりも大きい場合においても、直流成分（すなわち、ベース潮流）の大きさと共に振動成分の減衰率等の値を正確に測定できることがわかる。

前述の非特許文献２の７７〜７８頁には、直流成分が零であり、振動周波数が２［Ｈｚ］であり、減衰率が１［１／ｓ］である場合の減衰振動のシミュレーション結果が示されている。非特許文献２では最小二乗法を用いた計算であるために減衰率の値は近似解として１．０１［１／ｓ］が得られている。これに対して、本開示によれば減衰率の解析解として厳密に１［１／ｓ］を得ることができる。

今回開示された実施の形態はすべての点で例示であって制限的なものでないと考えられるべきである。この発明の範囲は上記した説明ではなくて請求の範囲によって示され、請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更が含まれることが意図される。

１０１ 長周期動揺測定装置、１０２ 瞬時値データ入力手段、１０３ 電力潮流算出手段、１０４ 電力算出手段、１０５ 減衰率算出手段、１０６ 減衰率ラッチ手段、１０７ 周波数係数算出手段、１０８ 振動周波数算出手段、１０９ 振動周波数ラッチ手段、１１０ 位相角算出手段、１１１ 位相角推定手段、１１２ 振幅算出手段、１１３ ベース潮流算出手段、１１４ 通信手段、１１５ 記憶手段、１１６ インターフェース、１２０ 演算処理手段、１３０ 電力系統、１３１ 送電線、１３２ 母線、２００，２１０ 信号処理装置、２０１，２１１ 第１の不変量算出手段、２０２，２１２ 減衰率算出手段、２０３，２１３ 第２の不変量算出手段、２０４，２１４ 振動周波数算出手段、２０５，２１５ 振幅算出手段、２０６，２１６ 位相角算出手段、２１７ 周波数変化量算出手段、２１８ 直流成分算出手段、Ｔ，Ｔ_g ゲージサンプリング周期、Ｔ₁ データ収集サンプリング周期、Ｔ_d 指定時間、Ｖ_g ゲージスパイラルベクトル（第１の不変量）、Ｖ_gd ゲージ差分スパイラルベクトル（第１の不変量）、ｆ 振動周波数、ｆ₀ 基準周波数（定格周波数）、ｆ₁ データ収集サンプリング周波数（第１の周波数）、ｆ_C 周波数係数（第２の不変量）、ｆ_g ゲージサンプリング周波数（第２の周波数）、ｖ₀ 仮想基準ベクトル、ｖ₁₀，ｖ₂₀ 中心ベクトル。

Claims (10)

1. 振幅が時間的に増加または減少する周期信号を第１の周波数でサンプリングした瞬時値データが入力され、前記瞬時値データの中から前記第１の周波数よりも小さい第２の周波数で抽出した時系列に連続する３点の抽出データに基づいて第１の不変量を算出する第１の不変量算出手段を備え、
   前記３点の抽出データを時間的に後からｘ₁、ｘ₂、ｘ₃としたとき、前記第１の不変量は次式（Ｇ１）によって表され、
   さらに、異なる２時点で算出された前記第１の不変量の比に基づいて前記周期信号の対数減衰率を算出する減衰率算出手段を備える、信号処理装置。
2. 前記対数減衰率をλとし、前記第２の周波数の逆数をＴとしたとき、前記３点の抽出データと前記対数減衰率とを用いて次式（Ｇ２）に従って第２の不変量を算出する第２の不変量算出手段と、
   前記第２の不変量に基づいて前記周期信号の周波数を算出する振動周波数算出手段とを備える、請求項１に記載の信号処理装置。
3. 前記周期信号の前記瞬時値データを複素平面上でのスパイラルベクトルの実数部として表した場合に、前記第１の不変量と前記第２の不変量と前記対数減衰率とに基づいて前記スパイラルベクトルの振幅を算出する振幅算出手段と、
   前記３点の抽出データと前記第２の不変量とに基づいて前記スパイラルベクトルの位相角を算出する位相角算出手段とを備える、請求項２に記載の信号処理装置。
4. 振幅が時間的に増加または減少する周期信号を第１の周波数でサンプリングした瞬時値データが入力され、前記瞬時値データの中から前記第１の周波数よりも小さい第２の周波数で時系列に連続する４点の抽出データを抽出し、前記４点の抽出データの隣接する２点間の差分である３点の差分データに基づいて第１の不変量を算出する第１の不変量算出手段を備え、
   前記３点の差分データを時間的に後からｙ₁、ｙ₂、ｙ₃としたとき、前記第１の不変量は次式（Ｇ３）によって表され、
   さらに、異なる２時点で算出された前記第１の不変量の比に基づいて前記周期信号の対数減衰率を算出する減衰率算出手段を備える、信号処理装置。
5. 前記対数減衰率をλとし、前記第２の周波数の逆数をＴとしたとき、前記３点の差分データと前記対数減衰率とを用いて次式（Ｇ４）に従って第２の不変量を算出する第２の不変量算出手段と、
   前記第２の不変量に基づいて前記周期信号の周波数を算出する振動周波数算出手段とを備える、請求項４に記載の信号処理装置。
6. 前記周期信号の前記瞬時値データを複素平面上でのスパイラルベクトルの実数部として表した場合に、前記第１の不変量と前記第２の不変量と前記対数減衰率とに基づいて前記スパイラルベクトルの振幅を算出する振幅算出手段と、
   前記３点の差分データと前記第２の不変量とに基づいて前記スパイラルベクトルの位相角を算出する位相角算出手段とを備える、請求項５に記載の信号処理装置。
7. 前記スパイラルベクトルの現時点の位相角と前記複素平面上を基準周波数で回転する振幅一定の基準ベクトルの位相角との差分を相差角として算出し、前記相差角の時間変化曲線の面積を算出することによって前記基準周波数に対する前記周期信号の周波数の変化量を算出する周波数変化量算出手段をさらに備える、請求項６に記載の信号処理装置。
8. 前記４点の抽出データのうち時間的に後の３点の抽出データと前記第２の不変量と前記対数減衰率とに基づいて、前記周期信号に含まれる直流成分の大きさを算出する直流成分算出手段をさらに備える、請求項５〜７のいずれか１項に記載の信号処理装置。
9. 振幅が時間的に増加または減少する周期信号を第１の周波数でサンプリングした瞬時値データを受け、前記瞬時値データの中から前記第１の周波数よりも小さい第２の周波数で抽出した時系列に連続する３点の抽出データに基づいて第１の不変量を算出するステップを備え、
   前記３点の抽出データを時間的に後からｘ₁、ｘ₂、ｘ₃としたとき、前記第１の不変量は次式（Ｇ５）によって表され、
   さらに、異なる２時点で算出された前記第１の不変量の比に基づいて前記周期信号の対数減衰率を算出するステップを備える、信号処理方法。
10. 振幅が時間的に増加または減少する周期信号を第１の周波数でサンプリングした瞬時値データを受け、前記瞬時値データの中から前記第１の周波数よりも小さい第２の周波数で時系列に連続する４点の抽出データを抽出し、前記４点の抽出データの隣接する２点間の差分である３点の差分データに基づいて第１の不変量を算出するステップを備え、
    前記３点の差分データを時間的に後からｙ₁、ｙ₂、ｙ₃としたとき、前記第１の不変量は次式（Ｇ６）によって表され、
    さらに、異なる２時点で算出された前記第１の不変量の比に基づいて前記周期信号の対数減衰率を算出するステップを備える、信号処理方法。