CN104573274A - 车辆荷载下基于位移时程面积的结构有限元模型修正方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种车辆荷载下基于位移时程面积的结构有限元模型修正方法，基于位移响应时程面积的目标函数和结构的局部刚度一一对应，因此可以选取局部刚度和边界条件作为修正参数，目标函数和修正变量意义明确，有助于提高计算效率并易于收敛，该方法不需要桥梁交通中断，不需要提取结构的动力特性(即不需要进行时频转换)，因此可避免现有方法的不足。

Description

车辆荷载下基于位移时程面积的结构有限元模型修正方法

技术领域

本发明涉及一种有限元模型修正方法，具体是指一种车辆荷载下基于位移时程面积的结构有限元模型修正方法。

背景技术

随着新材料和施工技术的飞速发展，我国在桥梁建设方面取得的成就举世瞩目，有限元软件的快速发展使大跨复杂桥梁结构的精细化模拟、特殊荷载下(地震荷载、冲击荷载、撞击荷载、爆炸荷载等)的结构响应预测成为可能，一个比较精确的有限元模型有如下好处：(1)可以对结构进行定量化评估；(2)对结构精确分析(疲劳分析等)提供依据；(3)预测结构的响应；(4)对结构控制提供依据。

然而，在进行有限元建模时，由于材料、边界条件等参数的不确定性，导致建立的有限元模型和实际结构往往有较大差距。在此背景下，有限元模型修正技术应运而生，最常用的是基于灵敏度分析的有限元模型修正方法，其方法的原理是通过迭代优化算法来使实际测试数据和有限元模型计算的数据组合而成的目标函数最小化，进而进行参数识别(结构刚度和边界条件)，使得修正后的有限元模型和实际结构尽可能一致。

目前，桥梁有限元模型修正方法大体分为两种，第一，基于静态响应(位移、应变等)的有限元模型修正方法；第二，基于振动特性的有限元模型修正方法。基于静态响应的有限元模型修正方法原理是：在桥梁结构上施加静态车辆荷载，利用结构的应变或挠度构建目标函数。基于振动特性的有限元模型修正方法原理是分析振动数据进而提取出桥梁结构的动力特性构建目标函数(基于自振频率的目标函数、基于位移模态的目标函数、基于模态柔度的目标函数、基于模态应变能的目标函数)，这些方法存在的缺点如下：

(1)基于静态响应的有限元模型修正方法需要中断桥梁交通，在实际操作中很难做到这一点。

(2)基于振动特性的有限元模型修正方法需要利用傅里叶变换把时域振动数据转换为频域数据，会产生时频转换误差，进而影响模型修正的精度；

(3)由于桥梁的实际激励大小及形式是未知的，在提取桥梁动力特性的过程中，通常假定环境激励(车辆、风、地脉动)满足白噪声的理想分布，但是由于实际激励的复杂性，往往这个假定不能成立，导致动力特性参数的识别值和真实值存在误差，进而影响模型修正的精度。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术的不足，提供一种车辆荷载下基于位移时程面积的结构有限元模型修正方法。

本发明采用的技术方案为：一种车辆荷载下基于位移时程面积的结构有限元模型修正方法，包括以下步骤：

步骤1：在目标结构的关键区域准分布式布置位移传感器，测试已知移动荷载作用下各个测试点的位移响应时程d_j(t)；

对于桥梁结构,跨度为l，梁高度为H，截面j-1，j，j+1，j+2沿桥梁长度方向的坐标分别为x_j-1，x_j，x_j+1，x_j+2，假设截面j-1，j，j+1，j+2等间隔，间距为L,移动荷载经过桥梁的整个过程中，截面j-1，j，j+1，j+2处的竖向位移响应为分别为d_j-1(x),d_j(x),d_j+1(x),d_j+2(x)(各截面随着移动荷载位移x变化所对应的位移),与之对应的截面j-1，j，j+1，j+2处的位移响应时程为d_j-1(t)，d_j(t)，d_j+1(t)，d_j+2(t)(各截面随着时间t变化所对应的位移)，其中移动荷载的参数如下：共有n个轴，轴重分别为P₁,P₂…P_i,P_n,速度为v；

假设结构符合欧拉梁假定，则j截面和j+1截面之间单元的底部平均应变ε_j,j+1(t)表达为

${\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(t\right)=\frac{H}{4L^2}(d_{j+1}\left(t\right)-d_{j-1}\left(t\right)-d_{j+2}\left(t\right)+d_j\left(t\right))---\left(1\right)$

移动荷载作用下，截面j和j+1之间单元底部的平均应变表达为

${\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i{f}_{j,j+1}(x-d_i)---\left(2\right)$

式中d_i(i＝1～n)为移动荷载的第i个轴距第1个轴之间的距离，其中d₁＝0，f_j,j+1(x)为截面j和j+1之间单元底部的平均应变影响线，x为第1个轴距左边支座的距离；

把公式(2)左右部分分别沿着结构长度方向积分可以得到

${\∫}_0^{l+d_n}{\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i{\∫}_0^{l+d_n}{f}_{j,j+1}(x-d_i)\mathrm{dx}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i{\∫}_0^l{f}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}---\left(3\right)$

其中为截面j和j+1之间单元底部的平均应变影响线与x轴围成的面积，只和结构的局部刚度相关，是结构的本质属性，和外部荷载等参数无关，且可以表达为

${\∫}_0^l{f}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}=\frac{g(x_i,l,L,\stackrel{\‾}{y})}{{\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}---\left(4\right)$

其中是与位置、距离、中和轴高度相关的函数，其中为截面j和j+1之间的平均刚度；

公式(3)左边进一步表示为

${\∫}_0^{l+d_n}{\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}=v{\∫}_{t_0}^{t_n}{\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(t\right)\mathrm{dt}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i{\∫}_0^l{f}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}---\left(5\right)$

其中v为移动荷载的速度，t₀为第一个轴刚进入结构的时刻，t_n为最后一个轴，即第n个轴，刚离开结构的时刻，为截面j和j+1之间单元底部的平均应变时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为应变；

把公式(1)和公式(4)代入公式(5)，得到

$v{\∫}_{t_0}^{t_n}{\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(t\right)\mathrm{dt}=\frac{\mathrm{vH}}{4L^2}{\∫}_{t_0}^{t_n}(d_{j+1}\left(t\right)-d_{j-1}\left(t\right)-d_{j+2}\left(t\right)+d_j\left(t\right))\mathrm{dt}=\frac{g(x_j,l,L,\stackrel{\‾}{y})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i}{{\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}---\left(6\right)$

步骤2：计算各个测试点的位移响应时程面积，代入公式(10)计算实测的位移响应函数比值向量S_t；

令位移响应函数 $B_j\left(t\right)=(A_{j+1}\left(t\right)-A_{j-1}\left(t\right)-A_{j+2}\left(t\right)+A_j\left(t\right))=\frac{4L^{2}g(x_j,l,L,\stackrel{\‾}{y})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i}{\mathrm{vH}{\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}---\left(7\right)$

其中为截面j的位移时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为位移；

同理，参考点的位移响应函数表示为

$B_r\left(t\right)=(A_{r+1}\left(t\right)-A_{r-1}\left(t\right)-A_{r+2}\left(t\right)+A_r\left(t\right))=\frac{4L^{2}g(x_r,l,L,\stackrel{\‾}{y})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i}{\mathrm{vH}{\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{r,r+1}}---\left(8\right)$

则目标位移响应函数相对参考位移响应函数比值为

$S_j=\frac{B_j\left(t\right)}{B_r\left(t\right)}=\frac{g(x_j,l,L,\stackrel{\‾}{y}){\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}{g(x_r,l,L,\stackrel{\‾}{y}){\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}---\left(9\right)$

从公式(9)看出，位移响应函数比值只和局部刚度以及位置参数相关，位移响应函数比值向量

$S={\{S_1,S_2,...S_j...1,...\}}^T={\{\frac{B_1\left(t\right)}{B_r\left(t\right)},\frac{B_2\left(t\right)}{B_r\left(t\right)},...\frac{B_j\left(t\right)}{B_r\left(t\right)}...1,...\}}^T---\left(10\right)$

步骤3：建立初始有限元模型，利用公式(10)计算移动荷载作用下位移响应函数比值向量S_a，其中荷载大小及位置同实测中使用的移动荷载；

步骤4：代入公式(11)，计算位移响应函数比值的置信准则MAC，若相关性好，则不需要修正；如相关性不好，建立目标函数

定义位移响应函数比值的置信准则

$\mathrm{MAC}(S_a,S_t)=\frac{{\left|{S_a}^T{S}_t\right|}^2}{\left({S_a}^T{S}_a\right)\left({S_t}^T{S}_t\right)}---\left(11\right)$

其中S_a和S_t分别为结构在已知的移动荷载作用下位移响应函数比值向量的有限元模型计算值和实测值，如果实测位移响应函数比值向量和分析位移响应函数比值向量两者完全相关，则MAC＝1.0；如果实测位移响应函数比值向量和分析位移响应函数比值向量两者完全不相关，则MAC＝0；

建立目标函数

$f\left(x\right)=\frac{\left|\right|S_a-S_t\left|\right|}{\left|\right|S_t\left|\right|}---\left(12\right)$

步骤5：选择单元局部刚度和边界条件作为修正变量，利用一阶优化算法(或其他优化算法)，进行公式(13)求解，当迭代误差小于设定值，则终止计算；

至此，有限元模型修正过程就转化为有约束条件下的优化求解过程，即利用优化算法，通过不断迭代结构的设计参数，使目标函数最小化。

$\left\{\begin{array}{cc}\min & f\left(x\right)=\min \frac{\left|\right|S_a-S_t\left|\right|}{\left|\right|S_t\left|\right|}\\ s.t.& g_1\≤g_i\≤g_2\\ & h_1\≤h_i\≤h_2\\ & \end{array}\right.---\left(13\right)$

其中g和k是设计参数，分别表示单元平均刚度和边界条件(转动弹簧刚度或竖向弹簧刚度)，在迭代过程中设计参数都根据实际情况选取上下限，让迭代过程更快收敛，优化算法一般选择一阶优化算法；

步骤6：把目标函数最优值所对应的结构局部刚度值及边界条件(转动弹簧刚度或竖向弹簧刚度)代入初始有限元模型，则可以得到修正后的有限元模型。

本发明提出利用车辆荷载下的位移响应时程面积构建目标函数进行结构有限元模型修正，理论推导表明，基于位移响应时程面积的目标函数和结构的局部刚度一一对应，因此可以选取局部刚度和边界条件作为修正参数，目标函数和修正变量意义明确，有助于提高计算效率并易于收敛，该方法不需要桥梁交通中断，不需要提取结构的动力特性(即不需要进行时频转换)，因此可避免现有方法的不足。

本发明的有益效果：

(1)该方法利用位移传感器响应构建目标函数进行有限元模型修正，位移传感器是目前最常用的传感器之一，和其他传感器相比，位移传感器的精度和可靠性可以得到保证；

(2)相比于其他基于振动特性的有限元模型修正方法，该方法不需要经过傅立叶变换把时域数据转换成频域数据，因此可以避免时频转换误差；

(3)相比于传统的静态有限元模型修正方法，该方法利用移动荷载下的响应进行有限元模型修正，不需要中断交通；

(4)该方法构建的目标函数和结构的局部刚度具有一一对应的关系，目标函数和修正变量意义明确，有助于提高计算效率并易于收敛。

附图说明

图1为桥梁在移动荷载作用下示意图；

图2为移动荷载下结构有限元模型修正流程。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步说明。

如图2所示，一种车辆荷载下基于位移时程面积的结构有限元模型修正方法，包括以下步骤：

步骤1：在目标结构的关键区域准分布式布置位移传感器，测试已知移动荷载作用下各个测试点的位移响应时程d_j(t)；

对于桥梁结构,跨度为l，梁高度为H，截面j-1，j，j+1，j+2沿桥梁长度方向的坐标分别为x_j-1，x_j，x_j+1，x_j+2，假设截面j-1，j，j+1，j+2等间隔，间距为L,移动荷载经过桥梁的整个过程中，截面j-1，j，j+1，j+2处的竖向位移响应为分别为d_j-1(x),d_j(x),d_j+1(x),d_j+2(x)(各截面随着移动荷载位移x变化所对应的位移),与之对应的截面j-1，j，j+1，j+2处的位移响应时程为d_j-1(t)，d_j(t)，d_j+1(t)，d_j+2(t)(各截面随着时间t变化所对应的位移)，其中移动荷载的参数如下：共有n个轴，轴重分别为P₁,P₂…P_i,P_n,速度为v；

假设结构符合欧拉梁假定，则j截面和j+1截面之间单元的底部平均应变ε_j,j+1(t)表达为

${\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(t\right)=\frac{H}{4L^2}(d_{j+1}\left(t\right)-d_{j-1}\left(t\right)-d_{j+2}\left(t\right)+d_j\left(t\right))---\left(1\right)$

移动荷载作用下，截面j和j+1之间单元底部的平均应变表达为

${\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i{f}_{j,j+1}(x-d_i)---\left(2\right)$

式中d_i(i＝1～n)为移动荷载的第i个轴距第1个轴之间的距离，其中d₁＝0，f_j,j+1(x)为截面j和j+1之间单元底部的平均应变影响线，x为第1个轴距左边支座的距离；

把公式(2)左右部分分别沿着结构长度方向积分可以得到

${\∫}_0^{l+d_n}{\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i{\∫}_0^{l+d_n}{f}_{j,j+1}(x-d_i)\mathrm{dx}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i{\∫}_0^l{f}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}---\left(3\right)$

其中为截面j和j+1之间单元底部的平均应变影响线与x轴围成的面积，只和结构的局部刚度相关，是结构的本质属性，和外部荷载等参数无关，且可以表达为

${\∫}_0^l{f}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}=\frac{g(x_i,l,L,\stackrel{\‾}{y})}{{\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}---\left(4\right)$

其中是与位置、距离、中和轴高度相关的函数，其中为截面j和j+1之间的平均刚度；

公式(3)左边进一步表示为

${\∫}_0^{l+d_n}{\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}=v{\∫}_{t_0}^{t_n}{\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(t\right)\mathrm{dt}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i{\∫}_0^l{f}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}---\left(5\right)$

其中v为移动荷载的速度，t₀为第一个轴刚进入结构的时刻，t_n为最后一个轴，即第n个轴，刚离开结构的时刻，为截面j和j+1之间单元底部的平均应变时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为应变；

把公式(1)和公式(4)代入公式(5)，得到

$v{\∫}_{t_0}^{t_n}{\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(t\right)\mathrm{dt}=\frac{\mathrm{vH}}{4L^2}{\∫}_{t_0}^{t_n}(d_{j+1}\left(t\right)-d_{j-1}\left(t\right)-d_{j+2}\left(t\right)+d_j\left(t\right))\mathrm{dt}=\frac{g(x_j,l,L,\stackrel{\‾}{y})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i}{{\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}---\left(6\right)$

步骤2：计算各个测试点的位移响应时程面积，代入公式(10)计算实测的位移响应函数比值向量S_t；

令位移响应函数 $B_j\left(t\right)=(A_{j+1}\left(t\right)-A_{j-1}\left(t\right)-A_{j+2}\left(t\right)+A_j\left(t\right))=\frac{4L^{2}g(x_j,l,L,\stackrel{\‾}{y})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i}{\mathrm{vH}{\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}---\left(7\right)$

其中为截面j的位移时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为位移；

同理，参考点的位移响应函数表示为

$B_r\left(t\right)=(A_{r+1}\left(t\right)-A_{r-1}\left(t\right)-A_{r+2}\left(t\right)+A_r\left(t\right))=\frac{4L^{2}g(x_r,l,L,\stackrel{\‾}{y})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i}{\mathrm{vH}{\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{r,r+1}}---\left(8\right)$

则目标位移响应函数相对参考位移响应函数比值为

$S_j=\frac{B_j\left(t\right)}{B_r\left(t\right)}=\frac{g(x_j,l,L,\stackrel{\‾}{y}){\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}{g(x_r,l,L,\stackrel{\‾}{y}){\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}---\left(9\right)$

从公式(9)看出，位移响应函数比值只和局部刚度以及位置参数相关，位移响应函数比值向量

$S={\{S_1,S_2,...S_j...1,...\}}^T={\{\frac{B_1\left(t\right)}{B_r\left(t\right)},\frac{B_2\left(t\right)}{B_r\left(t\right)},...\frac{B_j\left(t\right)}{B_r\left(t\right)}...1,...\}}^T---\left(10\right)$

步骤3：建立初始有限元模型，利用公式(10)计算移动荷载作用下位移响应函数比值向量S_a，其中荷载大小及位置同实测中使用的移动荷载；

步骤4：代入公式(11)，计算位移响应函数比值的置信准则MAC，若相关性好，则不需要修正；如相关性不好，建立目标函数

定义位移响应函数比值的置信准则

$\mathrm{MAC}(S_a,S_t)=\frac{{\left|{S_a}^T{S}_t\right|}^2}{\left({S_a}^T{S}_a\right)\left({S_t}^T{S}_t\right)}---\left(11\right)$

其中S_a和S_t分别为结构在已知的移动荷载作用下位移响应函数比值向量的有限元模型计算值和实测值，如果实测位移响应函数比值向量和分析位移响应函数比值向量两者完全相关，则MAC＝1.0；如果实测位移响应函数比值向量和分析位移响应函数比值向量两者完全不相关，则MAC＝0；

建立目标函数

$f\left(x\right)=\frac{\left|\right|S_a-S_t\left|\right|}{\left|\right|S_t\left|\right|}---\left(12\right)$

步骤5：选择单元局部刚度和边界条件作为修正变量，利用一阶优化算法(或其他优化算法)，进行公式(13)求解，当迭代误差小于设定值，则终止计算；

至此，有限元模型修正过程就转化为有约束条件下的优化求解过程，即利用优化算法，通过不断迭代结构的设计参数，使目标函数最小化。

$\left\{\begin{array}{cc}\min & f\left(x\right)=\min \frac{\left|\right|S_a-S_t\left|\right|}{\left|\right|S_t\left|\right|}\\ s.t.& g_1\≤g_i\≤g_2\\ & h_1\≤h_i\≤h_2\\ & \end{array}\right.---\left(13\right)$

其中g和k是设计参数，分别表示单元平均刚度和边界条件(转动弹簧刚度或竖向弹簧刚度)，在迭代过程中设计参数都根据实际情况选取上下限，让迭代过程更快收敛，优化算法一般选择一阶优化算法；

步骤6：把目标函数最优值所对应的结构局部刚度值及边界条件(转动弹簧刚度或竖向弹簧刚度)代入初始有限元模型，则可以得到修正后的有限元模型。

应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。本实施例中未明确的各组成部分均可用现有技术加以实现。

Claims (1)

1.一种车辆荷载下基于位移时程面积的结构有限元模型修正方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：在目标结构的关键区域准分布式布置位移传感器，测试已知移动荷载作用下各个测试点的位移响应时程d_j(t)；

对于桥梁结构,跨度为l，梁高度为H，截面j-1，j，j+1，j+2沿桥梁长度方向的坐标分别为x_j-1，x_j，x_j+1，x_j+2，假设截面j-1，j，j+1，j+2等间隔，间距为L,移动荷载经过桥梁的整个过程中，截面j-1，j，j+1，j+2处的竖向位移响应为分别为d_j-1(x),d_j(x),d_j+1(x),d_j+2(x)，其为各截面随着移动荷载位移x变化所对应的位移,与之对应的截面j-1，j，j+1，j+2处的位移响应时程为d_j-1(t)，d_j(t)，d_j+1(t)，d_j+2(t)，其为各截面随着时间t变化所对应的位移，其中移动荷载的参数如下：共有n个轴，轴重分别为P₁,P₂…P_i,P_n,速度为v；

假设结构符合欧拉梁假定，则j截面和j+1截面之间单元的底部平均应变ε_j,j+1(t)表达为

${\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(t\right)=\frac{H}{4L^2}(d_{j+1}\left(t\right)-d_{j-1}\left(t\right)-d_{j+2}\left(t\right)+d_j\left(t\right))---\left(1\right)$

移动荷载作用下，截面j和j+1之间单元底部的平均应变表达为

${\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i{f}_{j,j+1}(x-d_i)---\left(2\right)$

式中d_i(i＝1～n)为移动荷载的第i个轴距第1个轴之间的距离，其中d₁＝0，f_j,j+1(x)为截面j和j+1之间单元底部的平均应变影响线，x为第1个轴距左边支座的距离；

把公式(2)左右部分分别沿着结构长度方向积分可以得到

${\∫}_0^{l+d_n}{\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i{\∫}_0^{l+d_n}{f}_{j,j+1}(x-d_i)\mathrm{dx}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i{\∫}_0^l{f}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}---\left(3\right)$

其中为截面j和j+1之间单元底部的平均应变影响线与x轴围成的面积，只和结构的局部刚度相关，是结构的本质属性，和外部荷载等参数无关，且可以表达为

${\∫}_0^l{f}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}=\frac{g(x_i,l,L,\stackrel{\‾}{y})}{{\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}---\left(4\right)$

其中是与位置、距离、中和轴高度相关的函数，其中为截面j和j+1之间的平均刚度；

公式(3)左边进一步表示为

${\∫}_0^{l+d_n}{\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}=v{\∫}_{t_0}^{t_n}{\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(t\right)\mathrm{dt}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i{\∫}_0^l{f}_{j,j+1}\left(x\right)\mathrm{dx}---\left(5\right)$

其中v为移动荷载的速度，t₀为第一个轴刚进入结构的时刻，t_n为最后一个轴，即第n个轴，刚离开结构的时刻，为截面j和j+1之间单元底部的平均应变时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为应变；

把公式(1)和公式(4)代入公式(5)，得到

$v{\∫}_{t_0}^{t_n}{\mathrm{\ϵ}}_{j,j+1}\left(t\right)\mathrm{dt}=\frac{\mathrm{vH}}{{4L}^2}{\∫}_{t_0}^{t_n}(d_{j+1}\left(t\right)-d_{j-1}\left(t\right)-d_{j+2}\left(t\right)+d_j\left(t\right))\mathrm{dt}=\frac{g(x_j,l,L,\stackrel{\‾}{y})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i}{{\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}---\left(6\right)$

步骤2：计算各个测试点的位移响应时程面积，代入公式(10)计算实测的位移响应函数比值向量S_t；

令位移响应函数 $B_j\left(t\right)=(A_{j+1}\left(t\right)-A_{j-1}\left(t\right)-A_{j+2}\left(t\right)+A_j\left(t\right))=\frac{{4L}^{2}g(x_j,l,L,\stackrel{\‾}{y})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i}{\mathrm{vH}{\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}---\left(7\right)$

其中为截面j的位移时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为位移；

同理，参考点的位移响应函数表示为

$B_r\left(t\right)=(A_{r+1}\left(t\right)-A_{r-1}\left(t\right)-A_{r+2}\left(t\right)+A_r\left(t\right))=\frac{{4L}^{2}g(x_r,l,L,\stackrel{\‾}{y})\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i}{\mathrm{vH}{\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{r,r+1}}---\left(8\right)$

则目标位移响应函数相对参考位移响应函数比值为

$S_j=\frac{B_j\left(t\right)}{B_r\left(t\right)}=\frac{g(x_j,l,L,\stackrel{\‾}{y}){\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{r,r+1}}{g(x_r,l,L,\stackrel{\‾}{y}){\stackrel{\‾}{\left(\mathrm{EI}\right)}}_{j,j+1}}---\left(9\right)$

从公式(9)看出，位移响应函数比值只和局部刚度以及位置参数相关，位移响应函数比值向量

$S={\{S_1,S_2,...S_j...1,...\}}^T=\{\frac{B_1\left(t\right)}{B_r\left(t\right)},\frac{B_2\left(t\right)}{B_r\left(t\right)},...\frac{B_j\left(t\right)}{B_r\left(t\right)}...1,...{\}}^T---\left(10\right)$ 2 -->

步骤3：建立初始有限元模型，利用公式(10)计算移动荷载作用下位移响应函数比值向量S_a，其中荷载大小及位置同实测中使用的移动荷载；

步骤4：代入公式(11)，计算位移响应函数比值的置信准则MAC，若相关性好，则不需要修正；如相关性不好，建立目标函数

定义位移响应函数比值的置信准则

$\mathrm{MAC}(S_a,S_t)=\frac{{\left|{S_a}^T{S}_t\right|}^2}{\left({S_a}^T{S}_a\right)\left({S_t}^T{S}_t\right)}---\left(11\right)$

其中S_a和S_t分别为结构在已知的移动荷载作用下位移响应函数比值向量的有限元模型计算值和实测值，如果实测位移响应函数比值向量和分析位移响应函数比值向量两者完全相关，则MAC＝1.0；如果实测位移响应函数比值向量和分析位移响应函数比值向量两者完全不相关，则MAC＝0；

建立目标函数

$f\left(x\right)=\frac{\left|\right|S_a-S_t\left|\right|}{\left|\right|S_t\left|\right|}---\left(12\right)$

步骤5：选择单元局部刚度和边界条件作为修正变量，利用一阶优化算法，进行公式(13)求解，当迭代误差小于设定值，则终止计算；

至此，有限元模型修正过程就转化为有约束条件下的优化求解过程，即利用优化算法，通过不断迭代结构的设计参数，使目标函数最小化；

$\left\{\begin{array}{c}\min f\left(x\right)=\min \frac{\left|\right|S_a-S_t\left|\right|}{\left|\right|S_t\left|\right|}\\ s.t.g_1\≤g_i\≤g_2\\ h_1\≤h_i\≤h_2\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中g和k是设计参数，分别表示单元平均刚度和边界条件；

步骤6：把目标函数最优值所对应的结构局部刚度值及边界条件代入初始有限元模型，则可以得到修正后的有限元模型。3 -->