CN114580246A - 一种基于非迭代有限元模型修正的桥梁损伤识别方法 - Google Patents

一种基于非迭代有限元模型修正的桥梁损伤识别方法 Download PDF

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CN114580246A CN202210266988.0A CN202210266988A CN114580246A CN 114580246 A CN114580246 A CN 114580246A CN 202210266988 A CN202210266988 A CN 202210266988A CN 114580246 A CN114580246 A CN 114580246A
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Abstract

本发明公开了一种基于非迭代有限元模型修正的桥梁损伤识别方法，是利用桥梁在脉冲激励或环境激励作用下的加速度响应并通过随机子空间算法从加速度响应中识别桥梁的固有频率、阻尼比及振型，利用识别出的模态参数按照首选的方向和顺序重构状态空间矩阵的特征值和特征向量，以此作为非迭代有限元模型修正过程中模态参数赋值的目标，从而唯一地修正初始桥梁有限元模型的状态空间矩阵并通过状态空间矩阵计算出更新后的桥梁刚度和阻尼矩阵，再利用更新后的桥梁刚度矩阵中单元的变化识别桥梁损伤位置及其程度。本发明能够有效的解决现有大多数基于迭代有限元模型修正识别桥梁损伤计算工作量大，从而能提高识别损伤的效率，并降低计算成本。

Description

一种基于非迭代有限元模型修正的桥梁损伤识别方法
技术领域
本发明涉及于桥梁安全监测和检测领域，具体地说是一种基于非迭代有限元模型修正的桥梁损伤识别方法，更新结果可用于桥梁结构的损伤识别和安全评估等。
背景技术
随着有限元法的发展，使用有限元模型可以计算桥梁各种荷载、各种边界条件下的动力响应，分析速度快，结构设计周期短，与结构动力试验比较效率高且费用低，而且还可以广泛应用于桥梁结构健康监测。因此，一个可靠比较准确的有限元模型是进行桥梁结构损伤识别、健康诊断以及桥梁工作状态评估与预估的基础，即损伤识别的前提是修正初始有限元模型。在初始有限元模型基础上更新桥梁刚度和阻尼矩阵方法可以用来进行结构损伤识别和健康状态评估，因为结构的损伤必然会带来结构参数的变化，结构参数的变化必然导致试验数据的变化，根据桥梁更新后的刚度和阻尼矩阵矩阵元素的数据变化识别结构损伤。在此结构健康监测技术中，应该使建立的桥梁有限元模型中的刚度和阻尼矩阵能够全面、正确地反映结构的真实状况。
目前为止，大量研究工作的开展形成了基于不同种类的桥梁有限元模型修正的识别损伤方法。但大多数有限元模型修正方法使用的优化技术是迭代的，计算桥梁更新后的刚度和阻尼矩阵需要耗费大量的时间和成本，且基于频率和振型的迭代模型修正需要事先确定频率和振型权重。
发明内容
本发明是为避免上述现有基于迭代有限元模型修正的桥梁损伤识别方法所存在的不足之处，提供一种基于非迭代有限元模型修正的桥梁损伤识别方法，只需更新一次状态矩阵，就能得到与实际桥梁模态参数匹配的刚度和阻尼矩阵，从而提高识别损伤的效率，并减少计算成本，进而能有效解决迭代的有限元模型修正计算量大和收敛速率较低等问题。
本发明为达到上述发明目的，采用如下技术方案：
本发明一种非迭代有限元模型修正的桥梁损伤识别方法的特点包括以下步骤：
步骤1：获取实际桥梁的基本参数，用于确定初始桥梁有限元模型；利用式(1)计算初始桥梁有限元模型的状态空间矩阵Ac，从而得到所述状态空间矩阵Ac的第i个特征值
Figure BDA0003551883890000011
和第i个特征向量
Figure BDA0003551883890000012
所构成的第i个特征对
Figure BDA0003551883890000013
Figure BDA0003551883890000021
式(1)中，c表示连续时间域上初始桥梁的状态空间模型，n1表示初始桥梁有限元模型的自由度，Z(n1)，I(n1)分别是n1×n1阶零矩阵和单位矩阵，M，C，K分别是初始桥梁有限元模型的n1×n1阶时不变质量矩阵、阻尼和刚度矩阵；
步骤2：识别连续时间域上实际桥梁有限元模型的状态空间矩阵：
步骤2.1：将初始桥梁有限元模型相应的自由度节点作为加速度测点，利用加速度传感器获取实际桥梁加速度响应s(t)，通过随机子空间算法对加速度响应s(t)识别状态空间矩阵并对其进行标准化之后，再进行平均化，从而得到实际桥梁有限元模型离散时间域上不同阶数的状态空间矩阵A′r；
步骤2.2：通过零阶保持器方法将实际桥梁有限元模型离散时间域上不同阶数的状态空间矩阵A′r变换到连续时间域上不同阶数的状态空间矩阵Ar；
步骤3：确定状态空间矩阵的可赋值的目标特征值和特征向量对
Figure BDA0003551883890000022
步骤3.1：对不同阶数的Ar计算其第2i个特征值
Figure BDA0003551883890000023
及其相应的特征向量
Figure BDA0003551883890000024
从而构成第2i个特征对
Figure BDA0003551883890000025
步骤3.2：利用式(2)计算不同阶数的Ar的第2i阶特征值
Figure BDA0003551883890000026
从而根据不同阶数的Ar的第2i阶特征值
Figure BDA0003551883890000027
的虚部，计算出频率
Figure BDA0003551883890000028
和阻尼比
Figure BDA0003551883890000029
所构成的参数对
Figure BDA00035518838900000210
再通过稳定图和相关的实际约束去除所述参数对
Figure BDA00035518838900000211
的非物理根；
Figure BDA00035518838900000212
式(2)和式(3)中，
Figure BDA00035518838900000213
分别是实际桥梁在物理空间上第i阶模态的固有频率和阻尼比，k为复数单位；
步骤3.3：利用式(3)和式(4)计算第i阶目标特征值
Figure BDA00035518838900000214
Figure BDA00035518838900000215
Figure BDA00035518838900000216
式(3)和式(4)中，
Figure BDA0003551883890000031
分别是实际桥梁第i阶模态稳定的频率和阻尼比；
步骤3.4：利用式(5)计算2n1阶数的状态空间矩阵Ar的第2i阶特征值
Figure BDA0003551883890000032
所对应的特征向量
Figure BDA0003551883890000033
从而根据特征向量
Figure BDA0003551883890000034
计算实际桥梁第i阶振型
Figure BDA0003551883890000035
Figure BDA0003551883890000036
步骤3.5：当初始桥梁有限元模型自由度小于等于阈值α时，利用式(6)和式(7)计算与目标特征值
Figure BDA0003551883890000037
对应的目标特征向量
Figure BDA0003551883890000038
当初始桥梁有限元模型自由度大于阈值α时，令目标特征向量
Figure BDA0003551883890000039
为
Figure BDA00035518838900000310
Figure BDA00035518838900000311
Figure BDA00035518838900000312
步骤4：计算增益矩阵Gc：
步骤4.1：当i＝1，2，...，2m1时，初始化第i个特征值
Figure BDA00035518838900000313
初始化第i个特征向量
Figure BDA00035518838900000314
当i＝2m1+1，...，2n1时，初始化第i个特征值
Figure BDA00035518838900000315
初始化第i个特征向量
Figure BDA00035518838900000316
步骤4.2：定义第i个组合矩阵
Figure BDA00035518838900000317
并计算其零空间矩阵
Figure BDA00035518838900000318
其中，B表示满足Rank([λiI(nI)-Ac B])≥n1且矩阵的上半部分元素为“0”的输入矩阵，Rank表示矩阵的秩；
Figure BDA00035518838900000319
和
Figure BDA00035518838900000320
分别表示第i个零空间矩阵
Figure BDA00035518838900000321
的上半部分和下半部分并具有与Ac相同的阶数；
步骤4.3：利用式(8)计算第i个vi的关联向量zi：
Figure BDA00035518838900000322
式(7)中，
Figure BDA00035518838900000323
表示Moore-Penrose伪逆；
步骤4.4：利用式(9)计算第i个zi的关联向量wi：
Figure BDA00035518838900000324
步骤4.5：利用式(10)计算增益矩阵Gc：
Figure BDA0003551883890000041
式(10)中，R和I分别表示相应复数元素的实部和虚部，Gc表示具有赋值状态空间矩阵的前2m1阶目标特征值和特征向量功能的增益矩阵；
步骤5：利用增益矩阵Gc计算更新后的状态矩阵
Figure BDA0003551883890000042
步骤5.1：利用式(11)选取输入矩阵B：
Figure BDA0003551883890000043
式(11)中，B1和B2分别表示矩阵B的左下分块和右下分块；
步骤5.2：利用式(12)计算更新后的桥梁的状态矩阵
Figure BDA0003551883890000044
Figure BDA0003551883890000045
式(12)中，g1，g2，g3，g4表示顺时针划分增益矩阵Gc后的四个分块；
步骤6：利用(13)式计算更新后的桥梁的刚度矩阵
Figure BDA0003551883890000046
和阻尼矩阵
Figure BDA0003551883890000047
Figure BDA0003551883890000048
步骤7：识别桥梁损伤单元j及其损伤程度γj，j＝1，2，...，n1：
步骤7.1：计算刚度矩阵
Figure BDA0003551883890000049
在对角线上的第i个元素相对于刚度矩阵K在对角线上的第i个元素的数值变化率δi，i＝1，2，...，n1；当δi大于阈值η时，则表示节点i为损伤节点，然后利用损伤节点的连通性信息确定损伤单元j，j＝1，2，...，n1；
步骤7.2：确定与损伤单元j相关联的所有损伤节点的数值变化率并取平均值，即为损伤单元j的损伤程度γj。
与现有技术相比，本发明的有益效果体现在：
1、本发明大大降低了桥梁更新刚度和阻尼矩阵过程中的计算量和计算成本。它采用随机子空间识别算法(SSI)建立状态空间模型，并利用其连续时间状态矩阵的特征值和特征向量对有限元生成的系统矩阵建立的初始状态空间模型进行更新，避免了将状态空间映射回物理空间。该优化过程只需更新一次的非迭代特性在很大程度上降低了计算量和计算成本，提高了计算效率，更新结果可以更快地实时用于桥梁损伤识别和健康状态评估。
2、本发明避免了以往基于频率和振型的迭代的有限元模型修正识别损伤需要事先确定频率和振型权重的困境，并且不需要模态序列信息，对桥梁低强度损伤也能很好地识别。
附图说明
图1为本发明的说明书摘要流程图；
图2为本发明的数值模拟等截面简支混凝土梁图；
图3为本发明的脉冲激励下等截面简支混凝土梁的加速度响应图；
图4为本发明的脉冲激励下等截面简支混凝土梁的加速度响应的频谱图；
图5为本发明的等截面简支混凝土梁的随机子空间识别(SSI)的稳定图；
图6为本发明的等截面简支混凝土梁的识别损伤与实际损伤的对比图；
图7为本发明的数值模拟等截面简支梁桥图；
图8为本发明的脉冲激励下等截面简支梁桥的加速度响应图；
图9为本发明的脉冲激励下等截面简支梁桥的加速度响应的频谱图；
图10为本发明的等截面简支梁桥的随机子空间识别(SSI)的稳定图；
图11为本发明的等截面简支梁桥的识别损伤与实际损伤的对比图；
具体实施方式
算例1：图2所示的等矩形截面简支混凝土梁，梁跨长为6m，弹性模量为3.2Gpa，密度为2500kg/m3，截面宽0.2m，高0.25m，惯性矩为2.604×10-4m4。将混凝土梁等间距划分为6个平面欧拉梁单元，用MATLAB软件建立未损伤下的初始梁有限元模型。假设单元4处发生损伤，相应的刚度降低40％，阻尼比为1％Rayleigh阻尼矩阵，用MATLAB软件建立损伤下的实际梁有限元模型。在节点5处沿-y方向作用500N的脉冲激励，采用Newmark-β法计算梁的动力响应。采样频率为500Hz且在加速度数据中加入5％的均方根噪声。利用加速度响应数据和未损伤下的初始梁有限元模型更新损伤下的混凝土梁的实际有限元模型，如图1所示，一种非迭代的桥梁刚度和阻尼矩阵更新方法步骤如下：
步骤1：获取实际桥梁的基本参数，梁跨长为6m，弹性模量为3.2Gpa，密度为2500kg/m3，截面宽0.2m，高0.25m，惯性矩为2.604×10-4m4，将混凝土梁等间距划分为6个平面欧拉梁单元，用于确定未损伤下的初始桥梁有限元模型；利用式(1)计算初始桥梁有限元模型的状态空间矩阵Ac，从而得到所述状态空间矩阵Ac的第i个特征值
Figure BDA0003551883890000061
和第i个特征向量
Figure BDA0003551883890000062
所构成的第i个特征对
Figure BDA0003551883890000063
Figure BDA0003551883890000064
式(1)中，c表示连续时间域上初始桥梁的状态空间模型，n1表示初始桥梁有限元模型的自由度，Z(n1)，I(n1)分别是n1×n1阶零矩阵和单位矩阵，M，C，K分别是初始桥梁有限元模型的n1×n1阶时不变质量矩阵、阻尼和刚度矩阵；
步骤2：识别连续时间域上实际桥梁有限元模型的状态空间矩阵：
步骤2.1：在节点5处沿-y方向作用500N的脉冲激励，将初始桥梁有限元模型相应的自由度节点作为加速度测点，利用加速度传感器获取实际桥梁加速度响应s(t)，采样频率为500Hz且在加速度数据中加入5％的均方根噪声；加速度响应图如图3所示，加速度响应的频谱图如图4所示；通过随机子空间算法(SSI)对加速度响应s(t)识别状态空间矩阵并对其进行标准化之后，再进行平均化，减小噪声对信号的影响，从而得到实际桥梁有限元模型离散时间域上5至30不同阶数的状态空间矩阵A′r；
步骤2.2：通过零阶保持器方法(ZOH)将实际桥梁有限元模型离散时间域上5至30不同阶数的状态空间矩阵A′r变换到连续时间域上5至30不同阶数的状态空间矩阵Ar；
步骤3：确定状态空间矩阵的可赋值的目标特征值和特征向量对
Figure BDA0003551883890000065
m1＝6：
步骤3.1：对5至30不同阶数的Ar计算其第2i个特征值
Figure BDA0003551883890000066
及其相应的特征向量
Figure BDA0003551883890000067
从而构成第2i个特征对
Figure BDA0003551883890000068
步骤3.2：利用式(2)计算5至30不同阶数的Ar的第2i阶特征值
Figure BDA0003551883890000069
从而通过5至30不同阶数的Ar的第2i阶特征值
Figure BDA00035518838900000610
的虚部计算出频率
Figure BDA00035518838900000611
和阻尼比
Figure BDA00035518838900000612
所构成的参数对
Figure BDA00035518838900000613
再通过稳定图和相关的实际约束去除所述参数对
Figure BDA00035518838900000614
的非物理根；稳定图如图5所示；
Figure BDA0003551883890000071
式(2)和式(3)中，
Figure BDA0003551883890000072
分别是实际桥梁在物理空间上第i阶模态的固有频率和阻尼比，k为复数单位。
步骤3.3：利用式(3)和式(4)计算目标特征值
Figure BDA0003551883890000073
Figure BDA0003551883890000074
Figure BDA0003551883890000075
式(3)和式(4)中，
Figure BDA0003551883890000076
分别是实际桥梁第i阶模态稳定的频率和阻尼比；
步骤3.4：利用式(5)计算2n1阶数的Ar的第2i阶特征值
Figure BDA0003551883890000077
所对应的特征向量
Figure BDA0003551883890000078
从而根据特征向量
Figure BDA0003551883890000079
计算实际桥梁第i阶振型
Figure BDA00035518838900000710
Figure BDA00035518838900000711
步骤3.5：当初始桥梁有限元模型自由度小于等于阈值α时，α＝20，利用式(6)和式(7)计算与目标特征值
Figure BDA00035518838900000712
对应的目标特征向量
Figure BDA00035518838900000713
当初始桥梁有限元模型自由度大于阈值α时，令目标特征向量
Figure BDA00035518838900000714
为
Figure BDA00035518838900000715
Figure BDA00035518838900000716
Figure BDA00035518838900000717
步骤4：计算增益矩阵Gc：
步骤4.1：当i＝1，2，...，2m1时，初始化第i个特征值
Figure BDA00035518838900000718
初始化第i个特征向量
Figure BDA00035518838900000719
当i＝2m1+1，...，2n1时，初始化第i个特征值
Figure BDA00035518838900000720
初始化第i个特征向量
Figure BDA00035518838900000721
步骤4.2：定义第i个组合矩阵
Figure BDA00035518838900000722
并计算其零空间矩阵
Figure BDA00035518838900000723
其中，B表示满足Rank([λiI(nI)-Ac B])≥n1且矩阵的上半部分元素为“0”的输入矩阵，Rank表示矩阵的秩；
Figure BDA00035518838900000724
和
Figure BDA00035518838900000725
分别表示第i个零空间矩阵
Figure BDA00035518838900000726
的上半部分和下半部分并具有与Ac相同的阶数；
步骤4.3：利用式(8)计算第i个vi的关联向量zi：
Figure BDA0003551883890000081
式(7)中，
Figure BDA0003551883890000082
表示Moore-Penrose伪逆。
步骤4.4：利用式(9)计算第i个zi的关联向量wi：
Figure BDA0003551883890000083
步骤4.5：利用式(10)计算增益矩阵Gc：
Figure BDA0003551883890000084
式(10)中，R和I分别表示相应复数元素的实部和虚部；Gc表示具有赋值状态空间矩阵的前2m1阶目标特征值和特征向量功能的增益矩阵；
步骤5：利用增益矩阵Gc计算更新后的状态矩阵
Figure BDA0003551883890000085
步骤5.1：利用式(11)选取输入矩阵B：
Figure BDA0003551883890000086
式(11)中，B1和B2分别表示矩阵B的左下分块和右下分块；B1＝I(n1)，B2＝I(n1)；
步骤5.2：利用式(12)计算更新后的桥梁的状态矩阵
Figure BDA0003551883890000087
Figure BDA0003551883890000088
式(12)中，g1，g2，g3，g4表示顺时针划分增益矩阵Gc后的四个分块；
步骤6：利用(13)式计算更新后的桥梁的质量矩阵
Figure BDA0003551883890000089
和阻尼矩阵
Figure BDA00035518838900000810
Figure BDA00035518838900000811
步骤7：识别桥梁损伤单元j及其损伤程度γj，j＝1，2，...，n1：
步骤7.1：计算刚度矩阵
Figure BDA00035518838900000812
在对角线上的第i个元素相对于刚度矩阵K在对角线上的第i个元素的数值变化率δi，i＝1，2，...，n1；当δi大于阈值η时，则表示节点i为损伤节点，然后利用损伤节点的连通性信息确定损伤单元j，j＝1，2，...，n1；
步骤7.2：确定与损伤单元j相关联的所有损伤节点的数值变化率并取平均值，即为损伤单元j的损伤程度γj。
利用修正模型更新后的桥梁的质量矩阵
Figure BDA0003551883890000091
和阻尼矩阵
Figure BDA0003551883890000092
计算前三阶频率、阻尼比修正结果与实际模型和初始模型的对比，修正模型和初始模型与实际模型的前三阶振型之间的MAC如表1所示。
表1
Figure BDA0003551883890000093
表1数据说明修正后的桥梁有限元模型能够较为准确地代表实际桥梁有限元模型，由此，可用更新后的桥梁质量矩阵
Figure BDA0003551883890000094
识别桥梁损伤位置及其程度，如图6所示。
算例2：图7所示的两跨等截面简支梁桥，桥梁跨长为30m，弹性模量27.5Gpa，密度为2400kg/m3，截面宽2.4m，高1m，惯性矩为0.2m4。将桥梁等间距划分为30个平面欧拉梁单元，用MATLAB软件建立未损伤下的初始梁有限元模型。假设单元4和单元26处发生损伤，相应的刚度降低40％，阻尼比为1％Rayleigh阻尼矩阵，节点7处沿-y方向作用5000kN的脉冲激励，采用Newmar·k-β法计算梁动力响应。采样频率为500Hz且在加速度数据中加入10％的均方根噪声。计算步骤与算例1一致，加速度响应如图8所示，加速度响应的频谱如图9所示，稳定图如图10所示。利用修正模型更新后的桥梁的质量矩阵
Figure BDA0003551883890000095
和阻尼矩阵
Figure BDA0003551883890000096
计算的前五阶频率、阻尼比修正结果与实际模型和初始模型的对比，修正模型和初始模型与实际模型的前五阶振型之间的MAC如表2所示。
表2
Figure BDA0003551883890000101
表2数据说明修正后的桥梁有限元模型能够较为准确地代表实际桥梁有限元模型，由此，可用更新后的桥梁质量矩阵
Figure BDA0003551883890000102
识别桥梁损伤位置及其程度，如图11所示。
算例1和算例2充分说明了本发明的方法能够准确的更新实际桥梁的质量矩阵
Figure BDA0003551883890000103
和阻尼矩阵
Figure BDA0003551883890000104
用该方法能够大大降低更新过程中的计算量和计算成本，解决了迭代的更新过程计算量大和收敛速率较低等问题，更新结果的矩阵元素的数值变化可以更快地用于结构损伤识别和健康状态评估。

Claims (1)

1.一种非迭代有限元模型修正的桥梁损伤识别方法，其特征包括以下步骤：
步骤1：获取实际桥梁的基本参数，用于确定初始桥梁有限元模型；利用式(1)计算初始桥梁有限元模型的状态空间矩阵Ac，从而得到所述状态空间矩阵Ac的第i个特征值
Figure FDA0003551883880000011
和第i个特征向量
Figure FDA00035518838800000115
所构成的第i个特征对
Figure FDA0003551883880000012
Figure FDA0003551883880000013
式(1)中，c表示连续时间域上初始桥梁的状态空间模型，n1表示初始桥梁有限元模型的自由度，Z(n1)，I(n1)分别是n1×n1阶零矩阵和单位矩阵，M，C，K分别是初始桥梁有限元模型的n1×n1阶时不变质量矩阵、阻尼和刚度矩阵；
步骤2：识别连续时间域上实际桥梁有限元模型的状态空间矩阵：
步骤2.1：将初始桥梁有限元模型相应的自由度节点作为加速度测点，利用加速度传感器获取实际桥梁加速度响应s(t)，通过随机子空间算法对加速度响应s(t)识别状态空间矩阵并对其进行标准化之后，再进行平均化，从而得到实际桥梁有限元模型离散时间域上不同阶数的状态空间矩阵A′r；
步骤2.2：通过零阶保持器方法将实际桥梁有限元模型离散时间域上不同阶数的状态空间矩阵A′r变换到连续时间域上不同阶数的状态空间矩阵Ar；
步骤3：确定状态空间矩阵的可赋值的目标特征值和特征向量对
Figure FDA0003551883880000014
步骤3.1：对不同阶数的Ar计算其第2i个特征值
Figure FDA0003551883880000015
及其相应的特征向量
Figure FDA0003551883880000016
从而构成第2i个特征对
Figure FDA0003551883880000017
步骤3.2：利用式(2)计算不同阶数的Ar的第2i阶特征值
Figure FDA00035518838800000116
从而根据不同阶数的Ar的第2i阶特征值
Figure FDA0003551883880000018
的虚部，计算出频率
Figure FDA0003551883880000019
和阻尼比
Figure FDA00035518838800000110
所构成的参数对
Figure FDA00035518838800000111
再通过稳定图和相关的实际约束去除所述参数对
Figure FDA00035518838800000112
的非物理根；
Figure FDA00035518838800000113
式(2)和式(3)中，
Figure FDA00035518838800000114
分别是实际桥梁在物理空间上第i阶模态的固有频率和阻尼比，k为复数单位；
步骤3.3：利用式(3)和式(4)计算第i阶目标特征值
Figure FDA0003551883880000021
i＝L2，…，2m1：
Figure FDA0003551883880000022
Figure FDA0003551883880000023
式(3)和式(4)中，
Figure FDA0003551883880000024
分别是实际桥梁第i阶模态稳定的频率和阻尼比；
步骤3.4：利用式(5)计算2n1阶数的状态空间矩阵Ar的第2i阶特征值
Figure FDA00035518838800000224
所对应的特征向量
Figure FDA0003551883880000025
从而根据特征向量
Figure FDA0003551883880000026
计算实际桥梁第i阶振型
Figure FDA0003551883880000027
Figure FDA0003551883880000028
步骤3.5：当初始桥梁有限元模型自由度小于等于阈值α时，利用式(6)和式(7)计算与目标特征值
Figure FDA0003551883880000029
对应的目标特征向量
Figure FDA00035518838800000210
当初始桥梁有限元模型自由度大于阈值α时，令目标特征向量
Figure FDA00035518838800000211
为
Figure FDA00035518838800000212
Figure FDA00035518838800000213
Figure FDA00035518838800000214
步骤4：计算增益矩阵Gc：
步骤4.1：当i＝1，2，...，2m1时，初始化第i个特征值
Figure FDA00035518838800000215
初始化第i个特征向量
Figure FDA00035518838800000216
当i＝2m1+1，...，2n1时，初始化第i个特征值
Figure FDA00035518838800000217
初始化第i个特征向量
Figure FDA00035518838800000218
步骤4.2：定义第i个组合矩阵
Figure FDA00035518838800000225
并计算其零空间矩阵
Figure FDA00035518838800000219
其中，B表示满足Rank([λiI(n1)-Ac B])≥n1且矩阵的上半部分元素为“0”的输入矩阵，Rank表示矩阵的秩：
Figure FDA00035518838800000220
和
Figure FDA00035518838800000221
分别表示第i个零空间矩阵
Figure FDA00035518838800000222
的上半部分和下半部分并具有与Ac相同的阶数；
步骤4.3：利用式(8)计算第i个vi的关联向量zi：
Figure FDA00035518838800000223
式(7)中，◇表示Moore-Penrose伪逆；
步骤4.4：利用式(9)计算第i个zi的关联向量wi：
Figure FDA0003551883880000031
步骤4.5：利用式(10)计算增益矩阵Gc：
Figure FDA0003551883880000032
式(10)中，R和I分别表示相应复数元素的实部和虚部，Gc表示具有赋值状态空间矩阵的前2m1阶目标特征值和特征向量功能的增益矩阵；
步骤5：利用增益矩阵Gc计算更新后的状态矩阵
Figure FDA0003551883880000033
步骤5.1：利用式(11)选取输入矩阵B：
Figure FDA0003551883880000034
式(11)中，B1和B2分别表示矩阵B的左下分块和右下分块；
步骤5.2：利用式(12)计算更新后的桥梁的状态矩阵
Figure FDA0003551883880000035
Figure FDA0003551883880000036
式(12)中，g1，g2，g3，g4表示顺时针划分增益矩阵Gc后的四个分块；
步骤6：利用(13)式计算更新后的桥梁的刚度矩阵
Figure FDA0003551883880000037
和阻尼矩阵
Figure FDA0003551883880000038
Figure FDA0003551883880000039
步骤7：识别桥梁损伤单元j及其损伤程度γj，j＝1，2，...，n1：
步骤7.1：计算刚度矩阵
Figure FDA00035518838800000310
在对角线上的第i个元素相对于刚度矩阵K在对角线上的第i个元素的数值变化率δi，i＝1，2，...，n1；当δi大于阈值η时，则表示节点i为损伤节点，然后利用损伤节点的连通性信息确定损伤单元j，j＝1，2，...，n1；
步骤7.2：确定与损伤单元j相关联的所有损伤节点的数值变化率并取平均值，即为损伤单元j的损伤程度γj。
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