CN104568493B - 车辆荷载下基于位移时程面积的结构快速损伤识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种车辆荷载下基于位移时程面积的结构快速损伤识别方法，对于判断结构是否发生损伤，只需要在结构跨中布置一个位移传感器，跨中位移响应时程面积和结构的整体刚度相关。当结构没有发生损伤时，两次测试(状态1和状态2)的位移响应时程面积比值为恒定值1；当结构发生损伤时，两次测试(损伤前和损伤后)的位移响应时程面积比值将大于1。对于判断结构的损伤位置，需要在结构的关键区域准分布式布置位移传感器，可以建立基于各测点位移响应时程面积的损伤识别指标，当结构没有发生局部损伤时，该指标为恒定值0；当结构发生局部损伤时，损伤处的损伤识别指标将大于0，且损伤指标随着损伤程度的增大而增大。

Description

车辆荷载下基于位移时程面积的结构快速损伤识别方法

技术领域

本发明涉及一种桥梁结构损伤的识别方法，具体是指一种车辆荷载下基于位移时程面积的结构快速损伤识别方法。

背景技术

随着新材料和施工技术的飞速发展，我国在桥梁建设方面取得的成就举世瞩目，然而这些国家生命线工程在材料老化、环境侵蚀效应、运营荷载效应、长期荷载疲劳效应、地震、台风等因素的耦合作用下将不可避免引起结构的损伤积累和抗力衰减，从而导致其安全性能和正常使用功能降低，甚至在未有明显征兆的情况下引发灾难性的突发事故。

这些桥梁安全事故的持续发生，不仅造成了巨大的人员伤亡和严重的经济损失，而且给国家生命线工程带来了恶劣的社会影响。因此，为了保障结构的正常使用功能、安全性、耐久性和突发事故的有效预警和灾变应急控制能力，已建成的和即将建设的桥梁工程亟需进行有效的监测并及时地诊断其损伤状况，在必要的情况下进行必要的预警以控制损伤的发展和及时的修复。

目前，桥梁结构损伤识别方法大体分为两种，第一，基于静态响应(位移、应变等)的损伤识别方法；第二，基于振动的损伤识别方法。基于静态响应的损伤识别方法原理是：在桥梁结构上施加静态车辆荷载，通过分析控制荷载下结构的应变或挠度进行损伤识别。基于振动的损伤识别方法原理是通过对目标结构布置振动传感器，通过分析振动数据进而提取出桥梁结构的动力特性(频率、阻尼比、模态)，对比桥梁在损伤前后的动力特性进行损伤识别，在此基础上，发展出一系列基于振动的损伤识别方法(基于自振频率的方法、基于位移模态的方法、基于曲率模态的方法、基于柔度的方法、基于应变能的方法)，这些方法存在的缺点如下：

(1)基于静态响应的损伤识别方法需要中断桥梁交通，在实际操作中很难做到这一点。

(2)由于桥梁的实际激励大小及形式是未知的，在提取桥梁动力特性的过程中，通常假定环境激励(车辆、风、地脉动)满足白噪声的理想分布，但是由于实际激励的复杂性，往往这个假定不能成立，导致动力特性参数的识别值和真实值存在误差，进而影响损伤识别的精度。

(3)在车辆荷载激励下提取出来的动力特性往往是桥梁-车辆耦合作用下的振动特性，并不是桥梁本身的动力特性，因此，对于承受车辆荷载比较大的桥梁(如铁路桥梁)，基于振动的损伤识别方法精度会受到比较大的影响。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术的不足，提供一种车辆荷载下基于位移时程面积的结构快速损伤识别方法。

本发明采用的技术方案为：一种车辆荷载下基于位移时程面积的结构快速损伤识别方法，包括结构损伤有无的判断方法和结构损伤定位方法，步骤分别如下：

一、结构损伤有无的判断方法步骤

步骤1：在目标结构的跨中布设一个位移传感器，测试移动荷载作用下结构跨中位移响应时程d_m(t)，其中荷载总重速度为v；

对于桥梁结构,跨度为l，其中移动荷载的参数如下：共有n个轴，轴重分别为P₁,P₂…P_i,P_n，速度为v；

移动荷载经过桥梁的整个过程中，令跨中截面m的位移响应为d_m(x)(跨中截面m随着移动荷载位置x变化所对应的位移)，与之对应的跨中截面m的位移响应时程为d_m(t)(跨中截面m随着时间t变化所对应的位移)，其中d_m(x)可以表达为

式中d_i，i＝1～n，为移动荷载的第i个轴距第1个轴之间的距离，其中d₁＝0，f_m(x)为单位力作用下截面m处的位移影响线，且和结构的整体刚度EI相关，x为第1个轴距左边支座的距离；

步骤2：计算跨中位移响应时程面积

把公式(1)左右部分分别沿着结构长度方向积分得到

令其为截面m的位移影响线与x轴围成的面积，只和结构的整体刚度EI相关，是结构的本质属性，和外部荷载无关；

公式(2)进一步表示为

其中v为移动荷载的速度，t₀为第一个轴刚进入结构的时刻，t_n为最后一个轴，即第n个轴，刚离开结构的时刻，其中其为截面m的位移时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为位移；

步骤3：把荷载总重速度v及位移响应时程面积代入下面公式(4)或公式(5)计算损伤有无判断指标δ₂₁，若损伤指标δ₂₁恒等于1，则结构没有发生损伤；若损伤指标δ₂₁大于1，则结构发生损伤；

假设在结构的跨中布置一个位移传感器，由公式(3)可知，通过对比结构无损伤时和结构有损伤时的测试结果，即可判断结构是否发生损伤。若结构没有发生损伤，则公式(4)的比值恒等于1；当结构发生损伤，则公式(4)的比值将大于1，这是由于当发生损伤时，结构的整体刚度将下降，进而跨中截面的位移影响线与x轴围成的面积将增大，利用这一特征即可初步定性判断结构是否发生损伤；

其中v₁和v₂分别为结构无损伤和有损伤测试时采用的移动荷载的速度，W₁和W₂分别为结构无损伤和有损伤测试时采用的移动荷载总重，A₁(t)和A₂(t)分别为结构无损伤和有损伤时跨中位移时程的面积，A₁(x)和A₂(x)分别为结构无损伤和有损伤时跨中位移影响线的面积；

若结构无损伤和有损伤测试时采用的车重和车速一样，则公式(4)进一步简化为

二、结构损伤定位方法步骤

步骤1：在目标结构的关键区域准分布式布置位移传感器，测试移动荷载作用下各个测试点的位移响应时程d_j(t)；

对于桥梁结构,跨度为l，梁高度为H，截面j-1，j，j+1，j+2沿桥梁长度方向的坐标分别为x_j-1，x_j，x_j+1，x_j+2，假设截面j-1，j，j+1，j+2等间隔，间距为L,移动荷载经过桥梁的整个过程中，截面j-1，j，j+1，j+2处的竖向位移响应为分别为d_j-1(x),d_j(x),d_j+1(x),d_j+2(x)(各截面随着移动荷载位移x变化所对应的位移),与之对应的截面j-1，j，j+1，j+2处的位移响应时程为d_j-1(t)，d_j(t)，d_j+1(t)，d_j+2(t)(各截面随着时间t变化所对应的位移)，其中移动荷载的参数如下：共有n个轴，轴重分别为P₁,P₂…P_i,P_n,速度为v；

上面的推导解决了判断结构是否发生损伤的问题，下面进行推导结构发生损伤的位置，根据泰勒展开公式

公式(7)减去公式(6)得到j截面的转角θ_j(t)

同理可以得到j+1截面的转角θ_j+1(t)

假设结构符合欧拉梁假定，则j截面和j+1截面之间单元的底部平均应变ε_j,j+1(t)表达为

把公式(8)和公式(9)代入公式(10)得到

如图2所示，截面j和j+1之间单元的平均弯矩影响线表示成

根据物理方程

其中分别为单元平均弯矩，单元平均刚度，单元平均应变，单元平均中和轴高度；

把公式(12)代入公式(13)，则得到截面j和j+1之间单元底部的平均应变影响线

其中为截面j和j+1之间的平均刚度；

移动荷载作用下，截面j和j+1之间单元底部的平均应变表达为

把公式(15)左右部分分别沿着结构长度方向积分得到

其中为截面j和j+1之间单元底部的平均应变影响线与x轴围成的面积，只和结构的局部刚度相关，是结构的本质属性，和外部荷载等参数无关；

公式(16)左边进一步表示为

其中v为移动荷载的速度，t₀为第一个轴刚进入结构的时刻，t_n为最后一个轴，即第n个轴，刚离开结构的时刻，为截面j和j+1之间单元底部的平均应变时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为应变；

根据公式(14)得到

其中是与位置、距离、中和轴高度相关的函数；

把公式(11)和公式(18)代入公式(17)，得到

步骤2：计算各个测试点的位移响应时程面积A_j(t)，代入公式(20)计算位移响应函数B_j(t)；

令位移响应函数

其中为截面j的位移时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为位移；

同理，参考点的位移响应函数表示为

步骤3：根据公式(22)，计算目标位移响应函数相对参考位移函数的比值S_j；

目标位移响应函数相对参考位移响应函数比值为

当截面j和j+1之间单元发生损伤，则目标值相对参考值的比值变为

其中为结构完好时截面j和j+1之间的平均刚度，为结构损伤时截面j和j+1之间的平均刚度；

步骤4：根据公式(24)，计算损伤定位指标α_j，若α_j等于零，则截面j和j+1之间的部分没有发生损伤；若α_j大于零，则截面j和j+1之间的部分发生损伤，且α_j越大损伤越严重；

结合公式(22)和公式(23)，建立损伤定位指标

当结构完好时，损伤定位指标恒定为零，当结构发生损伤时，即局部刚度降低，则损伤定位指标将大于零，根据这一原理，即可进行结构损伤定位。

本发明提出直接利用车辆荷载下的位移响应时程面积进行结构快速损伤识别，理论推导表明：对于判断结构是否发生损伤，只需要在结构跨中布置一个位移传感器，跨中位移响应时程面积和结构的整体刚度相关。当结构没有发生损伤时，两次测试(状态1和状态2)的位移响应时程面积比值为恒定值1；当结构发生损伤时，两次测试(损伤前和损伤后)的位移响应时程面积比值将大于1。对于判断结构的损伤位置，需要在结构的关键区域准分布式布置位移传感器，可以建立基于各测点位移响应时程面积的损伤识别指标，该损伤指标和结构局部刚度一一对应，且和外部荷载、车辆重量、车辆轴数、车辆速度无关，当结构没有发生局部损伤时，该指标为恒定值0；当结构发生局部损伤时，损伤处的损伤识别指标将大于0，且损伤指标随着损伤程度的增大而增大。该方法不需要桥梁交通中断，不需要提取结构的动力特性，因此可避免现有方法的不足。

本发明的有益效果：

(1)该方法利用位移传感器的响应构建损伤识别指标，位移传感器是目前最常用的传感器之一，和其他传感器相比，位移传感器的精度和可靠性可以得到保证；

(2)相比于其他基于振动的损伤识别方法，该方法不需要经过傅立叶变换把时域数据转换成频域数据，因此可以避免时频转换误差；

(3)利用该方法进行损伤定位时，不需要知道移动荷载参数(荷载轴数、轴重、速度)，因此其适用范围比较广(如铁路桥梁、中小跨公路桥梁的损伤识别)；

(4)该方法直接利用位移响应的面积构建损伤识别指标，不需要复杂的车桥耦合振动分析，因此操作简单，大大节省人力成本；

(5)该方法利用移动荷载下的响应进行损伤识别，且损伤定位指标跟速度无关，因此操作快速，且不中断交通(相比于传统的荷载试验方法)。

附图说明

图1为桥梁在移动荷载作用下示意图(布设一个位移传感器)；

图2为桥梁在移动荷载作用下示意图(布设多个位移传感器)；

图3为移动荷载下结构损伤识别流程；

图4为本发明损伤有无判断结果；

图5为本发明单损伤定位结果；

图6为本发明多损伤定位结果。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步说明。

如图3所示，一种车辆荷载下基于位移时程面积的结构快速损伤识别方法，包括结构损伤有无的判断方法和结构损伤定位方法，步骤分别如下：

一、结构损伤有无的判断方法步骤

步骤1：在目标结构的跨中布设一个位移传感器，测试移动荷载作用下结构跨中位移响应时程d_m(t)，其中荷载总重速度为v；

对于桥梁结构,跨度为l，其中移动荷载的参数如下：共有n个轴，轴重分别为P₁,P₂…P_i,P_n，速度为v；

移动荷载经过桥梁的整个过程中，令跨中截面m的位移响应为d_m(x)(跨中截面m随着移动荷载位置x变化所对应的位移)，与之对应的跨中截面m的位移响应时程为d_m(t)(跨中截面m随着时间t变化所对应的位移)，其中d_m(x)可以表达为

式中d_i，i＝1～n，为移动荷载的第i个轴距第1个轴之间的距离，其中d₁＝0，f_m(x)为单位力作用下截面m处的位移影响线，且和结构的整体刚度EI相关，x为第1个轴距左边支座的距离；

步骤2：计算跨中位移响应时程面积

把公式(1)左右部分分别沿着结构长度方向积分得到

令其为截面m的位移影响线与x轴围成的面积，只和结构的整体刚度EI相关，是结构的本质属性，和外部荷载无关；

公式(2)进一步表示为

其中v为移动荷载的速度，t₀为第一个轴刚进入结构的时刻，t_n为最后一个轴，即第n个轴，刚离开结构的时刻，其中其为截面m的位移时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为位移；

步骤3：把荷载总重速度v及位移响应时程面积代入下面公式(4)或公式(5)计算损伤有无判断指标δ₂₁，若损伤指标δ₂₁恒等于1，则结构没有发生损伤；若损伤指标δ₂₁大于1，则结构发生损伤；

假设在结构的跨中布置一个位移传感器，由公式(3)可知，通过对比结构无损伤时和结构有损伤时的测试结果，即可判断结构是否发生损伤。若结构没有发生损伤，则公式(4)的比值恒等于1；当结构发生损伤，则公式(4)的比值将大于1，这是由于当发生损伤时，结构的整体刚度将下降，进而跨中截面的位移影响线与x轴围成的面积将增大，利用这一特征即可初步定性判断结构是否发生损伤；

其中v₁和v₂分别为结构无损伤和有损伤测试时采用的移动荷载的速度，W₁和W₂分别为结构无损伤和有损伤测试时采用的移动荷载总重，A₁(t)和A₂(t)分别为结构无损伤和有损伤时跨中位移时程的面积，A₁(x)和A₂(x)分别为结构无损伤和有损伤时跨中位移影响线的面积；

若结构无损伤和有损伤测试时采用的车重和车速一样，则公式(4)进一步简化为

二、结构损伤定位方法步骤

步骤1：在目标结构的关键区域准分布式布置位移传感器，测试移动荷载作用下各个测试点的位移响应时程d_j(t)；

对于桥梁结构,跨度为l，梁高度为H，截面j-1，j，j+1，j+2沿桥梁长度方向的坐标分别为x_j-1，x_j，x_j+1，x_j+2，假设截面j-1，j，j+1，j+2等间隔，间距为L,移动荷载经过桥梁的整个过程中，截面j-1，j，j+1，j+2处的竖向位移响应为分别为d_j-1(x),d_j(x),d_j+1(x),d_j+2(x)(各截面随着移动荷载位移x变化所对应的位移),与之对应的截面j-1，j，j+1，j+2处的位移响应时程为d_j-1(t)，d_j(t)，d_j+1(t)，d_j+2(t)(各截面随着时间t变化所对应的位移)，其中移动荷载的参数如下：共有n个轴，轴重分别为P₁,P₂…P_i,P_n,速度为v；

上面的推导解决了判断结构是否发生损伤的问题，下面进行推导结构发生损伤的位置，根据泰勒展开公式

公式(7)减去公式(6)得到j截面的转角θ_j(t)

同理可以得到j+1截面的转角θ_j+1(t)

假设结构符合欧拉梁假定，则j截面和j+1截面之间单元的底部平均应变ε_j,j+1(t)表达为

把公式(8)和公式(9)代入公式(10)得到

如图2所示，截面j和j+1之间单元的平均弯矩影响线表示成

根据物理方程

其中分别为单元平均弯矩，单元平均刚度，单元平均应变，单元平均中和轴高度；

把公式(12)代入公式(13)，则得到截面j和j+1之间单元底部的平均应变影响线

其中为截面j和j+1之间的平均刚度；

移动荷载作用下，截面j和j+1之间单元底部的平均应变表达为

把公式(15)左右部分分别沿着结构长度方向积分得到

其中为截面j和j+1之间单元底部的平均应变影响线与x轴围成的面积，只和结构的局部刚度相关，是结构的本质属性，和外部荷载等参数无关；

公式(16)左边进一步表示为

其中v为移动荷载的速度，t₀为第一个轴刚进入结构的时刻，t_n为最后一个轴，即第n个轴，刚离开结构的时刻，为截面j和j+1之间单元底部的平均应变时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为应变；

根据公式(14)得到

其中是与位置、距离、中和轴高度相关的函数；

把公式(11)和公式(18)代入公式(17)，得到

步骤2：计算各个测试点的位移响应时程面积A_j(t)，代入公式(20)计算位移响应函数B_j(t)；

令位移响应函数

其中为截面j的位移时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为位移；

同理，参考点的位移响应函数表示为

步骤3：根据公式(22)，计算目标位移响应函数相对参考位移函数的比值S_j；

目标位移响应函数相对参考位移响应函数比值为

当截面j和j+1之间单元发生损伤，则目标值相对参考值的比值变为

其中为结构完好时截面j和j+1之间的平均刚度，为结构损伤时截面j和j+1之间的平均刚度；

步骤4：根据公式(24)，计算损伤定位指标α_j，若α_j等于零，则截面j和j+1之间的部分没有发生损伤；若α_j大于零，则截面j和j+1之间的部分发生损伤，且α_j越大损伤越严重；

结合公式(22)和公式(23)，建立损伤定位指标

当结构完好时，损伤定位指标恒定为零，当结构发生损伤时，即局部刚度降低，则损伤定位指标将大于零，根据这一原理，即可进行结构损伤定位。

下面利用上述方法对一箱梁结构进行损伤有无判断及损伤定位，共设置5种损伤类型，即单损伤类型(工况D1，D2，D3和D4)多损伤类型(工况D5)，D1-D4分别为结构跨中单元刚度分别折减10％，20％，30％和50％，D5为结构三处部位发生损伤，且单元刚度自左向右分别折减20％，40％，30％。图4，图5和图6分别为损伤有无判断结果、单损伤定位结果、多损伤定位结果，从图4可以看出，结构发生损伤时，损伤有无判断指标均大于阀值1，但是不能判断损伤的发生位置；从图5和图6可以看出，结构发生损伤时，发生损伤的部位，其损伤定位指标大于零，且损伤定位指标大小随着损伤程度增大而增大，不仅能进行单损伤定位，也能进行多损伤定位，未发生损伤的部位，其损伤定位指标等于零。

应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。本实施例中未明确的各组成部分均可用现有技术加以实现。

Claims (1)

1.一种车辆荷载下基于位移时程面积的结构快速损伤识别方法，其特征在于：包括结构损伤有无的判断方法和结构损伤定位方法，步骤分别如下：

一、结构损伤有无的判断方法步骤

步骤1：在目标结构的跨中布设一个位移传感器，测试移动荷载作用下结构跨中位移响应时程d_m(t)；

对于桥梁结构,跨度为l，其中移动荷载的参数如下：共有n个轴，轴重分别为P₁,P₂…P_n，速度为v；

移动荷载经过桥梁的整个过程中，令跨中截面m的位移响应为d_m(x)，其为跨中截面m随着移动荷载位置x变化所对应的位移，与之对应的跨中截面m的位移响应时程为d_m(t)，其为跨中截面m随着时间t变化所对应的位移，其中d_m(x)表达为

式中d_i，i＝1～n，为移动荷载的第i个轴距第1个轴之间的距离，其中d₁＝0，f_m(x)为单位力作用下截面m处的位移影响线，且和结构的整体刚度EI相关；

步骤2：计算跨中位移响应时程面积

把公式(1)左右部分分别沿着结构长度方向积分得到

令其为截面m的位移影响线与x轴围成的面积，只和结构的整体刚度EI相关，是结构的本质属性，和外部荷载无关；

公式(2)进一步表示为

其中v为移动荷载的速度，t₀为第一个轴刚进入结构的时刻，t_n为最后一个轴，即第n个轴，刚离开结构的时刻，其中其为截面m的位移响应时程面积，其中横坐标为时间，纵坐标为位移；

步骤3：把荷载总重速度v及位移响应时程面积代入下面公式(4)或公式(5)计算损伤有无判断指标δ₂₁，若δ₂₁恒等于1，则结构没有发生损伤；若δ₂₁大于1，则结构发生损伤；

在结构的跨中布置一个位移传感器，由公式(3)可知，通过对比结构无损伤时和结构有损伤时的测试结果，即可判断结构是否发生损伤；若结构没有发生损伤，则公式(4)的比值恒等于1；当结构发生损伤，则公式(4)的比值将大于1，这是由于当发生损伤时，结构的整体刚度将下降，进而跨中截面的位移影响线与x轴围成的面积将增大，利用这一特征即可初步定性判断结构是否发生损伤；

其中v₁和v₂分别为结构无损伤和有损伤测试时采用的移动荷载的速度，W₁和W₂分别为结构无损伤和有损伤测试时采用的移动荷载总重，A₁(t)和A₂(t)分别为结构无损伤和有损伤时跨中位移时程的面积，A₁(x)和A₂(x)分别为结构无损伤和有损伤时跨中位移影响线的面积；

若结构无损伤和有损伤测试时采用的车重和车速一样，则公式(4)进一步简化为

二、结构损伤定位方法步骤

步骤1：在目标结构的关键区域准分布式布置位移传感器，测试移动荷载作用下各个测试点的位移响应时程d_j(t)；

对于桥梁结构,跨度为l，梁高度为H，截面j-1，j，j+1，j+2沿桥梁长度方向的坐标分别为x_j-1，x_j，x_j+1，x_j+2，假设截面j-1，j，j+1，j+2等间隔，间距为L,移动荷载经过桥梁的整个过程中，截面j-1，j，j+1，j+2处的竖向位移响应分别为d_j-1(x),d_j(x),d_j+1(x),d_j+2(x)，其为各截面随着移动荷载位置x变化所对应的位移,与之对应的截面j-1，j，j+1，j+2处的位移响应时程为d_j-1(t)，d_j(t)，d_j+1(t)，d_j+2(t)，其为各截面随着时间t变化所对应的位移，其中移动荷载的参数如下：共有n个轴，轴重分别为P₁,P₂…P_n,速度为v；

下面进行推导结构发生损伤的位置，根据泰勒展开公式

公式(7)减去公式(6)得到j截面的转角θ_j(t)

同理得到j+1截面的转角θ_j+1(t)

假设结构符合欧拉梁假定，则j截面和j+1截面之间单元的底部平均应变ε_j,j+1(t)表达为

把公式(8)和公式(9)代入公式(10)得到

截面j和j+1之间单元的平均弯矩影响线表示成

根据物理方程

其中分别为单元平均弯矩，单元平均刚度，单元平均应变，单元平均中和轴高度；

把公式(12)代入公式(13)，则得到截面j和j+1之间单元底部的平均应变影响线

其中为截面j和j+1之间的平均刚度；

移动荷载作用下，截面j和j+1之间单元底部的平均应变表达为

把公式(15)左右部分分别沿着结构长度方向积分得到

其中为截面j和j+1之间单元底部的平均应变影响线与x轴围成的面积，只和结构的平均刚度相关，是结构的本质属性，和外部荷载参数无关；

公式(16)左边进一步表示为

其中v为移动荷载的速度，t₀为第一个轴刚进入结构的时刻，t_n为最后一个轴，即第n个轴，刚离开结构的时刻，为截面j和j+1之间单元底部的平均应变时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为应变；

根据公式(14)得到

其中是与位置、距离、中和轴高度相关的函数；

把公式(11)和公式(18)代入公式(17)，得到

步骤2：计算各个测试点的位移时程的面积A_j(t)，代入公式(20)计算位移响应函数B_j(t)；

令位移响应函数

其中为截面j的位移时程的面积，其中横坐标为时间，纵坐标为位移；

同理，参考点的位移响应函数表示为

步骤3：根据公式(22)，计算目标位移响应函数相对参考位移响应函数的比值S_j；

目标位移响应函数相对参考位移响应函数比值为

当截面j和j+1之间单元发生损伤，则目标值相对参考值的比值变为

其中为结构完好时截面j和j+1之间的平均刚度，为结构损伤时截面j和j+1之间的平均刚度；

步骤4：根据公式(24)，计算损伤定位指标β_j，若β_j等于零，则截面j和j+1之间的部分没有发生损伤；若β_j大于零，则截面j和j+1之间的部分发生损伤，且β_j越大损伤越严重；

结合公式(22)和公式(23)，建立损伤定位指标

当结构完好时，损伤定位指标恒定为零，当结构发生损伤时，即局部刚度降低，则损伤定位指标将大于零，根据这一原理，即可进行结构损伤定位。