CN104468448A - 一种ofdm多中继网络中能量效率的优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多中继OFDM网络中在满足系统最小传输速率的前提下最大化系统的能量效率的资源分配方法。在该中继网络中，一个子载波对可以分配给源节点和多个中继节点，以此来为系统提供空间分集。包含子载波配对以及功率分配的以最大化系统能量效率的最优化模型是一个典型的非线性混合整数规划问题，这类问题通常有着极大的计算复杂度。本发明通过定义等效信道增益，将复杂的原最优化问题简化为准凹规划问题，并通过Dinkelbach方法、匈牙利算法以及次梯度算法来求得最优解，大大减小了计算复杂度。

Description

一种OFDM多中继网络中能量效率的优化方法

技术领域

本发明公开了一种OFDM多中继网络中最大化能量效率的资源分配方法，属于无线通信的技术领域。

背景技术

多输入多输出(MIMO)技术能够有效抵抗无线通信中多径衰落带来的影响，但是由于受设备尺寸、造价和硬件性能等条件限制，难以应用在实际的无线通信终端中。协作通信技术通过利用单天线移动终端之间的相互协作，共享彼此的天线，形成一个虚拟MIMO系统，从而获得空间分集。未来的无线通信系统需要提供更多高速率的多媒体业务和数据业务，协作通信的目的就是充分利用网络中的节点资源来帮助有通信需求的节点进行高速、可靠的无线通信。

协作通信技术得以发展主要有两方面的因素：网络中空闲资源的存在和协作通信所能提供的增益。

1.网络中空闲资源的存在

以移动通信系统为例来说明无线网络中空余资源的存在。某一时间段内移动通信系统中可能仅有部分移动终端有通信需求，因而网络中较多的移动终端处于空闲状态。但是传统的移动通信系统将所有移动终端看成是互不通信的个体，从而使这部分空闲硬件资源被浪费掉；另一方面，移动通信系统中的移动终端往往具有差异性，如具有不同的计算处理能力以及不同的通信能力等。若将这些移动终端看成是一个可以相互或部分相互通信的整体，则差异性的存在可使不同的移动终端在网络中承担不同的角色，从而有利于整个通信系统性能的提高。因此，如何利用空闲资源来帮助有通信需求的移动终端进行有效通信便成为一个值得深入研究的课题。

2.协作通信增益 

无线通信中，由于受带宽、传输功率的限制，加上无线信道的多径衰落，很难达到理想的传输速率和通信质量。为了解决无线信道容量的瓶颈问题，人们给出了MIMO技术。该技术通过在发射端和接收端放置多根天线，形成多个独立的发/收信道，从而达到利用空间分集来提高无线信道传输能力的目的，但是由于受设备尺寸、造价和硬件性能等条件限制，无线终端不一定支持多天线安装。而协作通信技术能够 利用无线信道的广播特性，允许单天线终端设备在多用户环境中通过一定规则共享其他用户的天线，形成虚拟天线阵列，使得同一信息能够通过不同的独立无线信道到达接收端。研究表明，协作通信可以提供全部的空间分集增益效果，即n个参与协作通信的节点所提供的空间分集增益等同于信源节点具有n个独立的发射天线所提供的空间分集增益。

3.OFDM多中继网络 

OFDM中继系统中，一个子载波对通常只被分配给一个中继，并且源节点在中继节点转发信息的同时通常保持静默状态。随着终端处理能力的不断提高，一个子载波对分配给多个中继成为可能。源节点和中继一同发送信号并且多个中继可以同时转发同一个子载波对能够为系统带来空间分集，并大大提高系统容量，因而需要一种新的OFDM中继网络资源分配方法来实现上述改进。

4.能量效率

随着3G的普及以及4G的发展，人们对于对于高速率的网络数据传输的需求越来越大，随之带来的是越来越大的能量消耗，受限制于移动设备的尺寸，人们对于节能的要求越来越高。同时，随着二氧化碳排放量的急剧增加，全球温室效应越来越显著，而这也与大量的能量消耗紧密相关。这些无不敦促着人们加紧对节能环保提高能量效率的方法的研究。

发明内容

技术问题：本发明针对传统OFDM多中继网络资源分配方法的计算复杂度高、资源利用不充分的不足，提供一种在满足系统最低通信速率要求的前提下最大化系统能量效率的、复杂度低的OFDM多中继网络资源分配方法。

技术方案：本发明提供一种OFDM多中继网络中功率分配和子载波配对联合方法，该方法包括以下步骤：

1)获取瞬时信道信息：目的节点通过训练序列获得各信道的瞬时信道信息，其中包括源节点S到目的节点D的信道在第i个子载波上的瞬时信道增益S到中继节点R_k的信道在第i个子载波上的瞬时信道增益以及中继节点R_k到目的节点D的信道在第j个子载波上的瞬时信道增益各个中继节点通过训练序列获取各自前向和后向信道的瞬时信道增益以及目的节点获取系统中加性高斯白噪声的 功率N₀；

2)计算子载波对SP(i,j)对应的等效信道增益  ${\mathrm{\γ}}_{(i,j)}=\frac{1}{N_0}[{\mathrm{\τ}}_{(i,j)}^{*}{\left|h_i^{s,d}\right|}^2+(1-{\mathrm{\τ}}_{(i,j)}^{*}){\left|h_j^{s,d}\right|}^2+{\mathrm{\τ}}_{(i,j)}^{*}(1-{\mathrm{\τ}}_{i,j}^{*})\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2}{{\mathrm{\τ}}_{(i,j)}^{*}{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2+(1-{\mathrm{\τ}}_{(i,j)}^{*}){\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2}],$ 其中SP(i,j)表示在第一个时隙通过第i个子载波发送的信息在第二个时隙在第j个子载波上进行转发，K为系统中可用的中继节点个数，是使得等效信道增益γ_(i,j)取得最大值的最优解，其值可以通过对上述γ_(i,j)的表达式在区间(0，1]上使用二分法求解得到；

3)初始化初始能量效率q＝0，迭代常数ε_inner以及ε_outer；

4)选取合适的拉格朗日因子λ以及μ的初始值μ(0)以及λ(0)；

5)定义决策矩阵t＝{t_(i,j)}，t_(i,j)＝1表示第i个子载波和第j个子载波对进行配对，t_(i,j)＝0表示第i个子载波不和第j个子载波对进行配对。计算子载波配对决策因子 其中x⁺＝max(0,x)，表示功率转换效率的倒数。定义矩阵A＝{A_(i,j)}，然后以矩阵A为参数通过匈牙利算法得到决策矩阵t，使得从矩阵A中每一行以及每一列取出且仅取出一个元素时取出的元素之和最大；

6)计算其中P_(i,j)表示子载波对SP(i,j)上两个时隙消耗的总功率，根据更新表达式 $\mathrm{\λ}(n+1)={[\mathrm{\λ}\left(n\right)-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{\λ}}\left(n\right)(P_{\max }-\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{t}_{(i,j)}{P}_{(i,j)})]}^{+}$ 以及 $\mathrm{\μ}(n+1)={[\mathrm{\μ}\left(n\right)-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{\μ}}\left(n\right)\left(\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{t_{(i,j)}}{2}{\log }_2(1+{\mathrm{\γ}}_{(i,j)}{P}_{(i,j)}-R_{\mathrm{req}})\right)]}^{+}$ 更新λ和μ，其中α_λ(n)以及α_μ(n)是正的并逐渐减小的第n次的内循环迭代步长，P_max是系统最大可输出功 率，R_req表示系统要求的最小传输速率，N表示子载波个数；

7)重复步骤5)和步骤6)直到相邻两次的拉格朗日因子的差值的绝对值小于常数ε_inner或内循环迭代次数大于50次，同时相应的决策矩阵t也被确定；

8)计算 $R_{\mathrm{total}}=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{t}_{(i,j)}{\log }_2(1+{\mathrm{\γ}}_{(i,j)}{P}_{(i,j)})$ 以及其中R_total表示系统总的传输速率，P_total表示系统消耗的总功率，P_C是固定为常数的环路电流。然后根据公式来计算此时对应的能量效率q；

9)如果相邻两次计算得到的能量效率的差值的绝对值小于常数ε_outer或外循环迭代次数大于50次，转入步骤10)；否则重复步骤4)至步骤8)；

10)根据公式 $P_i^{s1}={\mathrm{\τ}}_{(i,j)}^{*}{P}_{(i,j)}$ 和公式 $P_{(i,j)}^{p2}=(1-{\mathrm{\τ}}_{(i,j)}^{*})P_{(i,j)}$ 分别计算以及其中 表示在第一个时隙子载波对SP(i,j)上分配给源节点S的功率，表示第二个时隙分配给子载波对SP(i,j)的总功率；

11)根据公式 $l_{(i,j)}=\sqrt{\frac{1}{P_{(i,j)}^{p2}(\frac{{\left|h_j^{s,d}\right|}^2}{P_i^{s1}}+\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\left|h_{(i,k)}^{s,r}{h}_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2{\mathrm{\θ}}_{(i,j)}^k}{{(1+{\mathrm{\θ}}_{(i,j)}^k{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2{P}_{(i,j)}^{p2})}^2})}},$ 公式  $P_{(i,j,k)}^r=\frac{l_{(i,j)}^2{\left({\mathrm{\β}}_{(i,j)}^k\right)}^2}{1/P_{(i,j)}^{p2}+{\mathrm{\θ}}_{(i,j)}^k{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2}$ 以及公式 $p_j^{s2}=l_{(i,j)}^2{\left({\mathrm{\β}}_{(i,j)}^{K+1}\right)}^2{P}_{(i,j)}^{p2}$ 对满足t_(i,j)＝1的所有子载波对SP(i,j)计算l_(i，j)、以及以获得功率分配信息，其中表示在第二个时隙在子载波对SP(i,j)上分配给源节点S的功率，表示在子载波对SP(i,j)上分配给中继节点R_k的功率，并且 ${\mathrm{\β}}_{(i,j)}^k=\left\{\begin{array}{c}\frac{\left|h_{(i,k)}^{s,r}{h}_{(j,k)}^{r,d}\right|\sqrt{{\mathrm{\θ}}_{(i,j)}^k}}{\sqrt{1/P_{(i,j)}^{p2}+{\mathrm{\θ}}_{(i,j)}^k{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2}},k\≤K\\ \sqrt{P_{(i,j)}^{p2}/P_i^{s1}}\left|h_j^{s,d}\right|,k=K+1\end{array}\right.,$ ${\mathrm{\θ}}_{(i,j)}^k=\left\{\begin{array}{c}1/(P_i^{s1}{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2+N_0),k\≤K\\ 0,k=K+1\end{array}\right.;$

12)目的节点将子载波配对信息以及功率分配信息通过广播信道广播给源节点和 各中继节点。

有益效果：本发明与现有技术相比，具有以下优点：

1.与传统的OFDM资源分配方案不同，本发明中允许将同一个子载波对分配给多个中继，通过这种方法，系统能够获得额外的分集增益，提高系统的性能。

2.和传统OFDM多中继网络不同，在第二个时隙，我们允许源节点在第二个时隙通过另外一个载波重新发送它在第一个时隙发送的信息，这样能进一步提高系统的容量性能。

3.包含子载波配对以及功率分配的以最大化系统能量效率的问题是一个典型的非线性混合整数规划问题，这类问题通常有着极大的计算复杂度。本发明中通过定义等效信道增益，将复杂的最优化问题简化为准凹规划问题，并通过Dinkelbach方法、匈牙利算法以及次梯度算法来求得最优解，大大减小了计算复杂度。

附图说明

图1为本发明方法的OFDM多中继网络结构示意图。

图2为本发明方法的整体流程逻辑框图。

具体实施方式

下面结合实施例和说明书附图来对本发明作进一步的说明：

一、多中继OFDM网络系统模型 

本发明中考虑一种两跳基于OFDM的多中继网络，该中继网络由一个源节点S，一个目的节点D以及由K个中继组成的中继节点集合{R₁,R₂,……,R_K}构成。我们假定分配给源节点S的传输带宽被均分成N个子载波，并且每一个信道都占用相同的带宽并经历相互独立的频率选择性瑞利衰落。我们假定每一个中继节点知道自己前向和后向的瞬时信道信息，并且所有的信道瞬时信息在源节点S和目的节点D处都是可知的。通信模式采用半双工模式，整个通信过程被分为两个时隙。在第一个时隙，源节点S将自己想要发送的信息广播目的节点和所有中继节点。在第二个时隙，所有的中继将第一个时隙收到的信号放大并转发给目的节点。和传统基于中继的OFDM网络不同，在第二个时隙，我们允许源节点在第二个时隙通过另外一个载波重新发送它在第一个时隙发送的信息，这样能进一步提高系统的容量性能。如果在一个时隙S通过第i个子载波发送的信息在第二个时隙在第j个子载波上进行转发，我们将其记作SP(i,j)。那么我们可以得到在第一个时隙和第二个时隙在SP(i,j)上获得的信噪比分别为

${\mathrm{SNR}}_i^{p1}=\frac{{\left|h_i^{s,d}\right|}^2{P}_i^{s1}}{{\mathrm{\σ}}_{d\left(i\right)}^2},---\left(1\right)$

${\mathrm{SNR}}_{(i,j)}^{p2}=\frac{{(\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\left|h_{(i,k)}^{s,r}{h}_{(j,k)}^{r,d}\right|\sqrt{P_i^{s1}{P}_{(i,j,k)}^r}}{\sqrt{P_i^{s1}{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2{\mathrm{\σ}}_{k\left(i\right)}^2}}+|h_j^{s,d}\left|\sqrt{P_j^{s2}}\right)}^2}{{\mathrm{\σ}}_{d\left(j\right)}^2+\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|\sqrt{P_{(i,j,k)}^r}}{\sqrt{P_i^{s1}{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2+{\mathrm{\σ}}_{k\left(i\right)}^2}}\right)}^2{\mathrm{\σ}}_{k\left(i\right)}^2},---\left(2\right)$

其中和分别表示在第一个时隙和第二个时隙在子载波对SP(i,j)上分配给源节点S的功率。表示在子载波对SP(i,j)上分配给中继节点R_k的功率。和分别为S到D的信道和S到R_k的信道在第i个子载波上的瞬时信道信息。为中继节点R_k到目的节点D的信道在第j个子载波对上的瞬时信道信息。和分别表示中继节点R_k和目的节点D处在第第i个子载波上的零均值加性高斯白噪声的方差。在目的节点D处，我们采用最大比合并方式对两个时隙的信号进行合并。于是我们可以得到在子载波对SP(i,j)上的容量为

$R_{(i,j)}=\frac{1}{2}{\log }_2(1+{\mathrm{SNR}}_{(i,j)})=\frac{1}{2}{\log }_2(1+{\mathrm{SNR}}_i^{p1}+{\mathrm{SNR}}_{(i,j)}^{p2}).---\left(3\right)$

定义一个N×N维的决策矩阵t＝{t_(i,j)}，其中t_(i,j)＝1表示第i个子载波和第j个子载波对进行配对，t_(i,j)＝0表示第i个子载波不和第j个子载波对进行配对。由于每一个子载波能与且仅能与一个子载波配对，那么决策矩阵t一定满足

$C1:t_{(i,j)}\∈\left\{\mathrm{0,1}\right\},\∀i,j---\left(10\right)$

$C2:\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{t}_{(i,j)}=1\∀j;C3:\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{t}_{(i,j)}=1,\∀i---\left(11\right)$

定义

$P_{s1}=\left\{P_i^{s1}\right\},P_{s2}=\left\{P_j^{s2}\right\},P_r=\left\{P_{(i,j,k)}^r\right\},P=\{P_{s1},P_{s2},P_r\}---\left(12\right){}_{}$

那么总的系统端到端的频谱效率SE和S与中继节点消耗掉的总功率可以表达为

$R_{\mathrm{total}}(t,P)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{t}_{(i,j)}{R}_{(i,j)}(t,P)---\left(13\right)$

$P_{\mathrm{use}}(t,P)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i^{s1}+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{P}_j^{s2}+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{t}_{(i,j)}{P}_{(i,j,k)}^r---\left(14\right)$

则系统由于传输所消耗的总的功率可以表达为

这里P_C是固定为常数的环路电流，它包含了功率放大器、混合器、频率合成器以及数模转换器等造成的功率损耗，它们可以看做是相互独立的，并可以用固定的常数来表达。 表示功率转换效率的倒数。比如说，对于一个拥有功率放大效率为50％的放大器来说，它的

综上，最大化系统平均能量效率的最优化模型可以表达为

$\underset{\left\{t_{(i,j)}\right\},\left\{P_i^{s1}\right\},\left\{P_j^{s2}\right\},\left\{P_{(i,j,k)}^r\right\}}{\max }{\mathrm{\η}}_E(t,P)=\frac{R_{\mathrm{total}}(t,P)}{P_{\mathrm{total}}(t,P)}$

s.t.C1,C2,C3and                                (16) 

C4:P_use(t,P)≤P_max

C5:R_total(t,P)≥R_req

这里C1、C2和C3表示决策矩阵t的混合约束，它决定着最终的子载波配对结果。约束C4中的P_max表示系统可用的最大输出功率。约束C5中的R_req表示系统的最小SE要求。这里我们假定最小SE目标R_req在约束C1-C4下是可以达到的。否则的话，该最优化问题无解。

二、提出的以最大化能量效率为目标的资源分配方法

式(16)中提出的最优化模型是一个非线性混合整数规划问题(MINLP)，这类问题通常有着极大的求解复杂度，并可以通过分支定界法求解。然而，在本章节中，本发明将提供一种能在多项式时间内找出最优解的低复杂度的最优化方法

2.1子载波对SP(i,j)上的功率分派方法以及等效信道增益的定义

这里首先讨论子载波对SP(i,j)上的功率分配方案。为了简化分析，假定 并将子载波对SP(i,j)在第二个时隙消耗的总功率和在两个时隙消耗的总功率分别表示为和P_(i,j)，则可以得到

$P_{(i,j)}^2=P_j^{s2}+\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{(i,j,k)}^r,P_{(i,j,k)}^r\≥0,P_j^{s2}\≥0---\left(17\right)$

$P_{(i,j)}=P_i^{s1}+P_{(i,j)}^2---\left(18\right)$

定义变量τ_(i,j)来表示与P_(i,j)的比例，那么和可以表达为

$P_i^{s1}={\mathrm{\τ}}_{(i,j)}{P}_{(i,j)},{\mathrm{\τ}}_{(i,j)}\∈\left(\mathrm{0,1}\right]---\left(19\right)$

$P_{(i,j)}^2=(1-{\mathrm{\τ}}_{(i,j)})P_{(i,j)}---\left(20\right)$

对于给定的τ_(i,j)，根据(19)和(20)，和可以被确定。根据(7)，被确定了，那么最大化R_(i,j)的最优化问题可以简化为

$\begin{array}{cc}\underset{\{P_{(i,j,k)}^r,P_j^{s2}\}}{\max }{\mathrm{SNR}}_{(i,j)}^2& s.t.\left(17\right)---\left(21\right)\end{array}$

根据已有文献提供的方法，子载波对SP(i,j)上最优的功率分配结果可以表示为

$P_{(i,j,k)}^r=\frac{l_{(i,j)}^2{\left({\mathrm{\β}}_{(i,j)}^k\right)}^2}{1/P_{(i,j)}^{p2}+{\mathrm{\θ}}_{(i,j)}^k{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2}---\left(22\right)$

$p_j^{s2}=l_{(i,j)}^2{\left({\mathrm{\β}}_{(i,j)}^{K+1}\right)}^2{P}_{(i,j)}^2---\left(23\right)$

其中

${\mathrm{\θ}}_{(i,j)}^k=1/(P_i^{s1}{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2+N_0),k=\mathrm{1,2},......K---\left(24\right)$

${\mathrm{\β}}_{(i,j)}^k=\left\{\begin{array}{c}\frac{\left|h_{(i,k)}^{s,r}{h}_{(j,k)}^{r,d}\right|\sqrt{{\mathrm{\θ}}_{(i,j)}^k}}{\sqrt{1/P_{(i,j)}^2+{\mathrm{\θ}}_{(i,j)}^k{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2}},k=\mathrm{1,2},......K\\ \sqrt{P_{(i,j)}^2/P_i^{s1}}\left|h_j^{s,d}\right|,k=K+1\end{array}\right.---\left(25\right)$

$l_{(i,j)}=\sqrt{\frac{1}{P_{(i,j)}^2(\frac{{\left|h_j^{s,d}\right|}^2}{P_i^{s1}}+\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\left|h_{(i,k)}^{s,r}{h}_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2{\mathrm{\θ}}_{(i,j)}^k}{{(1+{\mathrm{\θ}}_{(i,j)}^k{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2{P}_{(i,j)}^2)}^2})}}---\left(26\right)$

然后讨论τ_(i,j)的最优值的选取。把(22)和(23)带入到的表达式，则SNR_(i,j)可以被重新改写为

$\begin{array}{c}{\mathrm{SNR}}_{(i,j)}={\mathrm{SNR}}_i^1+{\mathrm{SNR}}_{(i,j)}^2\\ ={\left|h_i^{s,d}\right|}^2{P}_i^{s1}/N_0+{\left|h_j^{s,d}\right|}^2{P}_{(i,j)}^r/N_0+\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{p_i^{s1}{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2/N_0\·P_{(i,j)}^r{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2/N_0}{P_i^{s1}{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2/N_0+P_{(i,j)}^r{\left|h_{(i,j)}^{r,d}\right|}^2/N_0+1}.\end{array}---\left(27\right)$

在大信噪比的条件下，我们忽略分子中的常数1，那么式(27)可以被改写为

SNR_(i,j)≈γ_(i,j)P_(i,j)                        (28) 这里γ_(i,j)可以看做是子载波对SP(i,j)的整体的等效信道增益，它可以被用来简化最优化模型。γ_(i,j)可以被表示为

${\mathrm{\γ}}_{(i,j)}=\frac{1}{N_0}[{\mathrm{\τ}}_{(i,j)}{\left|h_i^{s,d}\right|}^2+(1-{\mathrm{\τ}}_{(i,j)}){\left|h_j^{s,d}\right|}^2+{\mathrm{\τ}}_{(i,j)}(1-{\mathrm{\τ}}_{i,j})\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2}{{\mathrm{\τ}}_{(i,j)}{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2+(1-{\mathrm{\τ}}_{(i,j)}){\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2}].---\left(29\right)$

根据式(28)和式(29)，SNR_(i,j)是τ_(i,j)的一元函数。最优的因而可以通过二分法在区间内求解得到。 

根据以上的讨论，式(16)中提出的以最大化系统能量效率的最优化模型可以被表示为

s.t.    C1,C2,C3and                          (30) 

${C4}^{\′}:\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{(i,j)}\≤P_{\max }$

${C5}^{\′}:\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{t}_{(i,j)}{\log }_2(1+{\mathrm{\γ}}_{(i,j)}{P}_{(i,j)})\≥R_{\mathrm{req}}$

2.2Dinkelbach方法以及其外循环

本发明提出的最有联合资源分配方案建立在式(30)的准凹函数变形式基础之上。为了将式(30)中提出的最优化问题转换为准凹函数形式，我们将表征子载波配对结果的二元整数因子t_(i,j)的定义域扩大到区间[0，1]内的连续区间，并将该连续变量记作定义

${\tilde{P}}_{(i,j)}={\tilde{t}}_{(i,j)}{P}_{(i,j)}---\left(31\right)$

${\tilde{R}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{t}}_{(i,j)}{\log }_2(1+{\mathrm{\γ}}_{(i,j)}\frac{{\tilde{P}}_{(i,j)}}{{\tilde{t}}_{(i,j)}})---\left(32\right)$

这里 $\tilde{P}=\left\{{\tilde{P}}_{(i,j)}\right\}.$ 如果 ${\tilde{t}}_{(i,j)}=1,$ 显然这种情况下 ${\tilde{t}}_{(i,j)}=1$ 与t_(i，j)＝1等效；如果 ${\tilde{t}}_{(i,j)}=0,$ 根据洛必达法则，等于0，这与t_(i,j)＝0的情形下的结果一致。则式(30)中提出的最优化问题可以被重新改写成

$\begin{array}{cc}\underset{\tilde{t},\tilde{P}}{\max }& {\widetilde{\mathrm{\η}}}_E(\tilde{t},\tilde{P})=\frac{{\tilde{R}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})}{{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})}\end{array}$

$s.t.{C1}^{\′}:{\tilde{t}}_{(i,j)}\≥0$

${C2}^{\′}:\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{t}}_{(i,j)}=1,\∀j$

${C3}^{\′}:\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{t}}_{(i,j)}=1,\∀i---\left(34\right)$

${C4}^{\′\′}:\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{P}}_{(i,j)}\≤P_{\max }$

${C5}^{\′\′}:\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{t}}_{(i,j)}{\log }_2(1+{\mathrm{\γ}}_{(i,j)}\frac{{\tilde{P}}_{(i,j)}}{{\tilde{t}}_{(i,j)}})\≥R_{\mathrm{req}}$

在这种情况选，通过将决策矩阵的定义域扩大至连续区间并引入连续变量式(34)的最优解是式(30)的最优解的一个上界。在后面的章节中，我们将会证明式(34)与式(30)有着一样的最优解，即式(34)的最优解对于式(30)来说是可达的。我们将式(34)的最优的能量效率以及可行域的集合分别记作q^*和S吗，那么我们可以得到

$q^{*}=\underset{\tilde{t},\tilde{P}}{\max }\frac{{\tilde{R}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})}{{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})}=\frac{{\tilde{R}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}^{*},{\tilde{P}}^{*})}{{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}^{*},{\tilde{P}}^{*})},\∀\{\tilde{t},\tilde{P}\}\∈S---\left(35\right)$

定义

$F\left(q\right)=\underset{\left\{{\tilde{t}}_{(i,j)}\right\},\left\{{\tilde{P}}_{(i,j)}\right\}}{\max }[{\tilde{R}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})-q{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})]---\left(36\right)$

定理1:式(35)中的最优化问题的最优能量效率q^*取得当且仅当

$F\left(q^{*}\right)=\underset{\tilde{t},\tilde{P}}{\max }[{\tilde{R}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})-q^{*}{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})]={\tilde{R}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}^{*},{\tilde{P}}^{*})-{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}^{*},{\tilde{P}}^{*})=0,\∀\{\tilde{t},\tilde{P}\}\∈S---\left(37\right)$

证明:

对于函数f:Rⁿ→R，它是准凹函数当且仅当它的定义域是准凹的，并且它的水平集也是凹的。水平集是凹的，即集合S_e＝{x∈dom f|f(x)≥e}对于e∈R是凹的。对于一个分式函数g(x)/f(x)，不等式g(x)/f(x)>e在条件下等效为 g(x)-ef(x)≥0。因此，为了证明式(34)中的目标函数是准凹的，我们急需要证明分子是凹的并且分母是放射的并为正值，同时定义域是凹的。显然，的分母是放射的并为正值，因为它是一个正的常数与一系列线性非负变量的线性组合。在 的表达式的分子中，每一个子函数关于是 凹的，因为它是凹函数log₂(1+γ_(i,j)P_(i,j))的投影函数。综上所述，我们证明了式(34)中的目标函数是关于的准凹函数，因而根据Dinkelbach方法，我们证明了定理1。同时根据定理1和Dinkelbach方法，我们提出了一种基于迭代的资源分配方法来求解式(34)中提出的准凹函数最优化问题。下面给出了提出的资源迭代方法

算法1：能量效率最大化外循环算法

步骤1：初始化外循环迭代终止常数ε_outer以及外循环最大允许迭代次数

步骤2：初始化参数q₀＝0，n＝0；

步骤3：更新迭代循环次数n＝n+1，用后文提供的算法2求解最优化问题  $F\left(q_{n-1}\right)=\underset{\left\{{\tilde{t}}_{i,j}\right\},\left\{{\tilde{P}}_{(i,j)}\right\}}{\max }{\tilde{R}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})-q_{n-1}{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P});$

步骤4：计算以及并计算此时相应的能量效率  $q_n={\tilde{R}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}^{*},{\tilde{P}}^{*})/{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}^{*},{\tilde{P}}^{*});$

步骤5：如果q_n-q_n-1＞ε_outer并且重复步骤3和步骤4，否则算法结束；

定理2:算法1产生的序列{q_n}是一个收敛数列，并且其收敛值为q^lmt。

证明:

引理1:对于以及我们有F(q')≥0，并且当且仅当q'＝q^*时F(q')＝0。

$\begin{array}{c}F\left(q^{\′}\right)=\underset{\tilde{t},\tilde{P}}{\max }[{\tilde{R}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})-q^{\′}{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})]\\ \≥{\tilde{R}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}^{\′},{\tilde{P}}^{\′})-q^{\′}{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}^{\′},{\tilde{P}}^{\′})=0\end{array}---\left(38\right)$

然后根据定理1，当且仅当q'＝q^*时，F(q')＝0。

下面我们将证明算法1的收敛性。首先我们证明能量效率q在每一的迭代中都会单调递增。定义作为算法1第n次外循环迭代通过求解F(q_n-1)产生的最优解，其能量效率为q_n。假定q_n,q_n+1≠q^*，于是我们能够得到

$q_{n+1}=\frac{{\tilde{R}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}_n,{\tilde{P}}_n)}{{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}_n,{\tilde{P}}_n)}---\left(39\right)$

根据引理1，F(q_n)＞0。那么有

$\begin{array}{c}F\left(q_n\right)={\tilde{R}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}_n,{\tilde{P}}_n)-q_n{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}_n,{\tilde{P}}_n)\\ =q_{n+1}{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}_n,{\tilde{P}}_n)-q_n{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}_n,{\tilde{P}}_n)\\ ={\tilde{P}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}_n,{\tilde{P}}_n)(q_{n+1}-q_n)\\ >0\end{array}---\left(40\right)$

由于总是正值，于是q_n+1＞q_n。将不考虑能量效率情况下系统端到端能够获得的最大的频谱效率记作R_max，显然

$q<\frac{R_{\max }}{P_C}=q^{\mathrm{ub}}---\left(41\right)$

根据以上的分析，可以得到结论：序列{q_n}是单调递增的正项序列，并有这一个上界q^ub，因而序列{q_n}是一个收敛序列，将其收敛值记作q^lmt

定理3:提出的资源分配迭代算法算法1能够确保最优的能量效率可达，这意味着q^*＝q^lmt。

证明：

根据定理2，算法1产生的序列{q_n}是收敛序列，并且其极限为q^lmt，于是有

$\begin{array}{c}F\left(q^{\mathrm{lmt}}\right)=\underset{n\&RightArrow;\&infin;}{\lim }F\left(q_n\right)\\ =\underset{n\&RightArrow;\&infin;}{\lim }\underset{\tilde{t},\tilde{P}}{\max }[{\tilde{R}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})-q_n{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})\\ =\underset{n\&RightArrow;\&infin;}{\lim }\underset{\tilde{t},\tilde{P}}{\max }[q_{n+1}{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}_n,{\tilde{P}}_n)-q_n{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})\\ =\underset{n\&RightArrow;\&infin;}{\lim }(q_{n+1}-q_n){\tilde{P}}_{\mathrm{total}}({\tilde{t}}_n,{\tilde{P}}_n)\\ =0\end{array}---\left(42\right)$

只要外循环的迭代次数足够多，F(q_n)最终总是能够无限逼近0，并且最优的能量效率q^*满足q^*＝q^lmt。于是对应的最优资源分配方案也能够被确定下来。

2.3求解能量效率最大化内循环最优化问题

这里将给出求解内循环最优化问题F(q_i-1)的方法，该最优化问题可以被表示为OP(q)

$\begin{array}{c}\underset{\tilde{t},\tilde{P}}{\max F}\left(q\right)={\tilde{R}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})-q{\tilde{P}}_{\mathrm{total}}(\tilde{t},\tilde{P})\\ s.t.{C1}^{\&prime;},{C2}^{\&prime;},{C3}^{\&prime;},{C4}^{\&prime;\&prime;}\mathrm{and}{C5}^{\&prime;\&prime;}\end{array}---\left(43\right)$

在章节2.2中我们介绍过，是凹的，并且是放射的，那么最优化问题OP(q) 关于是凹的。我们假定R_req在约束C1',C2',C3'and C4″下是可达的，这意味着次最优化问题存在内点。那么Slater条件被满足了。因而，该最优化问题存在着强烈的对偶性，并且式(43)中提出的最优化问题具有零松弛量。换句话说，解决它的对偶问题与解决原最优化问题等效，并有着相同的全局最优解。在章节2.2中我们提到，通过将决策矩阵的定义域扩大至连续区间并引入连续变量解决该对偶问题得到的解是式(30)的最优解的一个上界。具体来说，对偶问题的最优解不一定满足而满足是式(30)中希望得到的结果。然而我们将证明，对偶最优化问题总存在着满足的全局最优解，这使得该解也是式(30)中最优化问题的可达的最优解。

最优化问题OP(q)的拉格朗日函数可以表示为

其中λ≥0表示有关功率约束条件C4″的拉格朗日因子，μ≥0表示最小SE约束C5″的拉格朗日因子。则对偶最优化问题可以表示成

$\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;}>0}{\min }g(\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;})=\underset{\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;}\&GreaterEqual;0}{\min }\underset{\tilde{t},\tilde{P}}{\max }L(\tilde{t},\widetilde{P,\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;},q})\\ s.t.{C1}^{\&prime;},{C2}^{\&prime;},{C3}^{\&prime;}\end{array}---\left(45\right)$

为了解决式(45)中的对偶规划问题，我们将该问题分成三个层次分层解决。首先，在假定给定λ以及μ的条件下，我们求解最优的功率然后，根据给定的λ以及μ，根据匈牙利算法(the Hungary algorithm)，就能够被确定下来；最后，我们使用次梯度算法(the gradient method)来计算拉格朗日因子λ以及μ。首先，对于给定的λ以及μ，我们能够得到

将式(46)关于求偏导，并令该偏导数为零。根据Karush-Kuhn-Tucker条件(KKT)，对于给定的λ以及μ，最优功率分配结果可以表示成如下的形式

其中x⁺＝max(0,x)。将式(47)得到的带入到式(46)中，那么g(λ，μ)可以被重新改写为

$g(\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;})=\underset{\tilde{t},\tilde{P}}{\max }L(\tilde{t},\tilde{P},\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;},q)=\underset{\tilde{t}}{\max }\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\tilde{t}}_{(i,j)}{A}_{(i,j)}(\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;})+\mathrm{\&lambda;}{P}_{\max }-q{P}_C-\mathrm{\&mu;}{R}_{\mathrm{req}}---\left(48\right)$

其中A_(i,j)的表达式为

于是我们可以得到

$\underset{\tilde{t}}{\max }\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{t}_{(i,j)}{A}_{(i,j)}(\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;})---\left(50\right)$

s.t.C1',C2',C3'

显然，式(50)中的最优化问题总是存在整数二元最优解。因而，这个最优化问题转化成课典型的二维背包问题，并可以通过匈牙利算法求得最优解，其复杂度为O(N³)。二元整数的同时也令求得的最优解对于式(30)来说也是最优且可达的。

前面我们通过给定的拉格朗日因子λ以及μ来研究拉格朗日对偶函数，由于该对偶函数是可微的，这里我们使用次梯度算法来更新迭代拉格朗日因子λ以及μ。具体的更新算法如下

$\mathrm{\&lambda;}(n+1)={[\mathrm{\&lambda;}\left(n\right)-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&lambda;}}\left(n\right)(P_{\max }-\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{t}_{(i,j)}{P}_{(i,j)})]}^{+}---\left(51\right)$

$\mathrm{\&mu;}(n+1)={[\mathrm{\&mu;}\left(n\right)-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&mu;}}\left(n\right)(\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{t_{(i,j)}}{2}{\log }_2(1+{\mathrm{\&gamma;}}_{(i,j)}{P}_{(i,j)})-R_{\mathrm{req}})]}^{+}---\left(52\right)$

其中n表示迭代次数，α_λ(n)以及α_μ(n)是正的并逐渐减小的第n次的内迭代步长。最终，内循环中的求解最优化问题的迭代算法总结如下：

算法2：能量效率最大化内循环算法

步骤1：初始化内循环迭代终止常数ε_inner以及内循环最大允许迭代次数

步骤2：初始化参数m＝0，选取合适的拉格朗日因子λ、μ的初始值μ(0)以及λ(0)；

步骤3：m＝m+1，根据式(47)以及式(49)分别计算以及A_(i，j)；

步骤4：以A_(i,j)为参数用匈牙利算法计算相应的决策矩阵

步骤5：根据式(51)以及式(52)更新拉格朗日因子；

步骤6：如果|λ(n+1)-λ(n)|＞ε_inner、|μ(n+1)-μ(n)|＞ε_inner且重复步骤3至步骤5；否则 ${\tilde{t}}^{*}=\left\{{\tilde{t}}_{(i,j)}\right\},{\tilde{P}}^{*}=\left\{{\tilde{P}}_{(i,j)}\right\},$ 算法结束。

2.4提出的联合资源分配方案

根据算法1，以及q^*都已经得到了。根据章节2.3中的分析，通过匈牙利算法计算得到的是满足二元整数性质的决策矩阵，这意味着因此我们能够进一步得到根据章节2.1中的分析，本发明提出的能量效率最优的多中继OFDM网络中功率分配与子载波配对联合方法总结为算法3如下：

算法3：OFDM多中继网络中最大化能量效率的资源分配算法

步骤1：获取瞬时信道信息：目的节点通过训练序列获得各信道的瞬时信道信息；

步骤2：根据式(29)计算子载波对SP(i,j)的等效信道增益，并使用二分法在区间(0，1]求得是使得等效信道增益γ_(i,j)取得最大值；

步骤3：初始化初始能量效率q₀＝0；

步骤4：选取合适的拉格朗日因子λ以及μ的初始值μ(0)以及λ(0)；

步骤5：定义决策矩阵t＝{t_(i,j)}，t_(i,j)＝1表示第i个子载波和第j个子载波对进行配对，t_(i,j)＝0表示第i个子载波不和第j个子载波对进行配对。根据式(49)计算子载波配对决策因子A_(i,j)，然后通过匈牙利算法得到决策矩阵t；

步骤6：根据式(51)以及式(52)更新拉格朗日因子；

步骤7：重复步骤5)和步骤6)直到相邻两次的拉格朗日因子的差值的绝对值小于ε_inner或内循环迭代次数大于同时相应的决策矩阵t也被确定；

步骤8：计算 $R_{\mathrm{total}}=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{t}_{(i,j)}{\log }_2(1+{\mathrm{\&gamma;}}_{(i,j)}{P}_{(i,j)})$  以及然后根据公式 $q=\frac{R_{\mathrm{total}}}{P_{\mathrm{total}}}$ 来计算此时对应的能量效率；

步骤9：如果相邻两次计算得到的能量效率的差值的绝对值小于ε_out或外循环迭代次数大于转入步骤10)；否则重复步骤4)至步骤8)；

步骤10：根据公式 $P_i^{s1}={\mathrm{\&tau;}}_{(i,j)}^{*}{P}_{(i,j)}$ 和公式 $P_{(i,j)}^{p2}=(1-{\mathrm{\&tau;}}_{(i,j)}^{*})P_{(i,j)}$ 分别计算以及其中表示在第一个时隙子载波对SP(i,j)上分配给源节点S的功率，表示第二个时隙分配给子载波对SP(i,j)的总功率；

步骤11：根据式(26)、式(22)以及式(23)对满足t_(i,j)＝1的所有子载波对SP(i,j)计算l_(i,j)、以及以获得功率分配信息，；

步骤12：目的节点将子载波配对信息以及功率分配信息通过广播信道广播给源节点和各中继节点。

Claims (1)

1.一种OFDM多中继网络中能量效率的优化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)获取瞬时信道信息：目的节点通过训练序列获得各信道的瞬时信道信息，其中包括源节点S到目的节点D的信道在第i个子载波上的瞬时信道增益S到中继节点R_k的信道在第i个子载波上的瞬时信道增益以及中继节点R_k到目的节点D的信道在第j个子载波上的瞬时信道增益各个中继节点通过训练序列获取各自前向和后向信道的瞬时信道增益以及目的节点获取系统中加性高斯白噪声的功率N₀；

2)计算子载波对SP(i，j)对应的等效信道增益 ${\mathrm{\&gamma;}}_{(i,j)}=\frac{1}{N_0}[{\mathrm{\&tau;}}_{(i,j)}^{*}{\left|h_i^{s,d}\right|}^2+(1-{\mathrm{\&tau;}}_{(i,j)}^{*}){\left|h_j^{s,d}\right|}^2+{\mathrm{\&tau;}}_{(i,j)}^{*}(1-{\mathrm{\&tau;}}_{(i,j)}^{*})\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2}{{\mathrm{\&tau;}}_{(i,j)}^{*}{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2+(1-{\mathrm{\&tau;}}_{(i,j)}^{*}){\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2}],$ 其中SP(i，j)表示在第一个时隙通过第i个子载波发送的信息在第二个时隙在第j个子载波上进行转发，K为系统中可用的中继节点个数，是使得等效信道增益γ_(i，j)取得最大值的最优解，其值可以通过对上述γ_(i，j)的表达式在区间(0，1]上使用二分法求解得到；

3)初始化初始能量效率q＝0，迭代常数ε_inner以及ε_outer；

4)选取合适的拉格朗日因子λ以及μ的初始值μ(0)以及λ(0)；

5)定义决策矩阵t＝{t_(i，j)}，t_(i，j)＝1表示第i个子载波和第j个子载波对进行配对，t_(i，j)＝0表示第i个子载波不和第j个子载波对进行配对。计算子载波配对决策因子其中x⁺＝max(0，x)，表示功率转换效率的倒数。定义矩阵A＝{A_(i，j)}，然后以矩阵A为参数通过匈牙利算法得到决策矩阵t，使得从矩阵A中每一行以及每一列取出且仅取出一个元素时取出的元素之和最大；

6)计算其中P_(i，j)表示子载波对SP(i，j)上两个时隙消耗的总功率，根据更新表达式 $\mathrm{\&lambda;}(n+1)={[\mathrm{\&lambda;}\left(n\right)-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&lambda;}}\left(n\right)(P_{\max }-\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{t}_{(i,j)}{P}_{(i,j)})]}^{+}$ 以及 $\mathrm{\&mu;}(n+1)={[\mathrm{\&mu;}\left(n\right)-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{\&mu;}}\left(n\right)(\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{t_{(i,j)}}{2}{\log }_2(1+{\mathrm{\&gamma;}}_{(i,j)}{P}_{(i,j)})-R_{\mathrm{req}})]}^{+}$ 更新λ和μ，其中α_λ(n)以及α_μ(n)是正的并逐渐减小的第n次的内循环迭代步长，P_max是系统最大可输出功率，R_req表示系统要求的最小传输速率，N表示子载波个数；

7)重复步骤5)和步骤6)直到相邻两次的拉格朗日因子的差值的绝对值小于常数ε_inner或内循环迭代次数大于50次，同时相应的决策矩阵t也被确定；

8)计算 $R_{\mathrm{total}}=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{t}_{(i,j)}{\log }_2(1+{\mathrm{\&gamma;}}_{(i,j)}{P}_{(i,j)})$ 以及其中R_total表示系统总的传输速率，P_total表示系统消耗的总功率，P_C是固定为常数的环路电流。然后根据公式来计算此时对应的能量效率q；

9)如果相邻两次计算得到的能量效率的差值的绝对值小于常数ε_outer或外循环迭代次数大于50次，转入步骤10)；否则重复步骤4)至步骤8)；

10)根据公式 $P_i^{\mathrm{sl}}={\mathrm{\&tau;}}_{(i,j)}^{*}{P}_{(i,j)}$ 和公式 $P_{(i,j)}^{p2}=(1-{\mathrm{\&tau;}}_{(i,j)}^{*})P_{(i,j)}$ 分别计算以及其中表示在第一个时隙子载波对SP(i，j)上分配给源节点S的功率，表示第二个时隙分配给子载波对SP(i，j)的总功率；

11)根据公式 $l_{(i,j)}=\sqrt{\frac{1}{P_{(i,j)}^{p2}(\frac{{\left|h_j^{s,d}\right|}^2}{P_i^{\mathrm{sl}}}+\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\left|h_{(i,k)}^{s,r}{h}_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2{\mathrm{\&theta;}}_{(i,j)}^k}{{(1+{\mathrm{\&theta;}}_{(i,j)}^k{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2{P}_{(i,j)}^{p2})}^2})}},$ 公式 $P_{(i,j,k)}^r=\frac{l_{(i,j)}^2{\left({\mathrm{\&beta;}}_{(i,j)}^k\right)}^2}{1/P_{(i,j)}^{p2}+{\mathrm{\&theta;}}_{(i,j)}^k{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2}$ 以及公式 $P_j^{s2}=l_{(i,j)}^2{\left({\mathrm{\&beta;}}_{(i,j)}^{K+1}\right)}^2{P}_{(i,j)}^{p2}$ 对满足t_(i，j)＝1的所有子载波对SP(i，j)计算l_(i，j)、以及以获得功率分配信息，其中表示在第二个时隙在子载波对SP(i，j)上分配给源节点S的功率，表示在子载波对SP(i，j)上分配给中继节点R_k的功率，并且 ${\mathrm{\&beta;}}_{(i,j)}^k=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\left|h_{(i,k)}^{s,r}{h}_{(j,k)}^{r,d}\right|\sqrt{{\mathrm{\&theta;}}_{(i,j)}^k}}{\sqrt{1/P_{(i,j)}^{p2}+{\mathrm{\&theta;}}_{(i,j)}^k{\left|h_{(j,k)}^{r,d}\right|}^2}},& k\&le;K\\ \sqrt{P_{(i,j)}^{p2}/P_i^{s1}}\left|h_j^{s,d}\right|,& k=K+1\end{array}\right.,$ ${\mathrm{\&theta;}}_{(i,j)}^k=\left\{\begin{array}{cc}1/(P_i^{\mathrm{sl}}{\left|h_{(i,k)}^{s,r}\right|}^2+N_0),& k\&le;K\\ 0,& k=K+1\end{array}\right.;$

12)目的节点将子载波配对信息以及功率分配信息通过广播信道广播给源节点和各中继节点。