CN104392285A - 一种含混合直流输电的电力系统最优潮流获取方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种含混合直流输电的电力系统最优潮流获取方法，本方法将预测校正内点法的校正步进行加权，比较好地解决了其过校正而导致发散的问题。本发明提供的方法明显减少迭代次数，收敛速度明显提高，这样有效的加快了获取直流系统最优潮流的速度。

Description

一种含混合直流输电的电力系统最优潮流获取方法

技术领域

发明属于电力系统运行和控制技术领域，特别涉及一种含混合直流输电的电力系统最优潮流获取方法。

背景技术

随着电网建设的发展，直流输电在电力系统的研究和电网的实际运行中正扮演着越来越重要的角色。传统高压直流输电，以电流源换流器(current source converter，CSC)为基础，具有输送容量大、成本低廉、技术成熟等优点，但存在换相失败、控制方式不灵活等问题。新型高压直流输电，以电压源换流器(voltage source converter，VSC)为基础，具有无换相失败、控制方式灵活等优点，且可直接向孤立的远负荷点输送用电，但存在成本较贵、输送容量较低等缺点。

为了扩展直流输电适用性，充分利用CSC和VSC各自的优点，国内外专家学者对此展开了大量的研究工作，提出了混合连接不同类型直流输电系统的构想并对系统进行仿真分析，提出了控制策略，验证了混合交直流输电的稳定性。世界上绝大多数的直流输电系统是传统直流输电系统，在其基础上串联和并联新型直流输电，这将大大提高直流输电的经济性和技术性。在现有技术中虽然也有一些获取含混合直流输电的电力系统最优潮流的方法，但是很多方法迭代次数多，计算复杂，不能准确、快速的获得混合直流输电系统的最优潮流。

发明内容

发明目的：本发明的目的在于针对现有技术的不足，提供了一种能够快速获得混合直流输电系统最优潮流方法。

技术方案：本发明提供了一种含混合直流输电的电力系统最优潮流获取方法，包括以下步骤：

步骤1：将CSC-HVDC和VSC-HVDC系统接入到电网，根据CSC和VSC稳态模型建立含混合直流输电的电力系统最优潮流模型：

obj.  min.f(x)

s.t.  h(x)＝0

$\underset{\‾}{g}\≤g\left(x\right)\≤\stackrel{\‾}{g}$

式中，f(x)为目标函数，h(x)为等式约束条件，g(x)为不等式约束条件，g为不等式约束条件的下限，为不等式约束条件的上限；

步骤2：通过检测获取电力系统的网络参数；

步骤3：根据步骤1中建立的含混合直流输电的电力系统最优潮流模型，构造拉格朗日函数如下：

$L=f\left(x\right)-y^{T}h\left(x\right)-z^T[g\left(x\right)-l-\underset{\‾}{g}]-w^T[g\left(x\right)+u-\stackrel{\‾}{g}]-\mathrm{\μ}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}\ln \left(l_j\right)-\mathrm{\μ}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}\ln \left(u_j\right)$

其中y＝[y₁,…,y_m]^T为等式约束的拉格朗日乘子，z＝[z₁,…,z_r]^T、w＝[w₁,…,w_r]^T为不等式约束的拉格朗日乘子，l＝[l₁,…,l_r]^T、u＝[u₁,…,u_r]^T为不等式约束的松弛变量，μ为扰动因子；

步骤4：程序初始化，设置状态量设置初值、拉格朗日乘子初值和罚因子初值、节点次序优化、形成节点导纳矩阵、恢复迭代计数器k'＝1、设置精度要求和最大迭代次数K_max；

步骤5：定义对偶间隙C_Gap＝l^Tz-u^Tw，计算出C_Gap的值并判断C_Gap的值是否满足步骤4中设定的精度要求，若满足，则输出计算结果并停止执行后续步骤，若不满足，则继续执行步骤6；

步骤6：根据公式μ＝σC_Gap/2r计算扰动因子μ，其中，中心参数σ的动态估计方法为：

步骤601：设定中心参数σ＝0；

步骤602：求解以下方程，得到仿射方向Δx^aff,Δl^aff,Δu^aff,Δy^aff,Δz^aff,Δw^aff：

$\left[\begin{array}{cc}{H}^{\′}& {\▿}_{x}h\left(x\right)\\ {\▿}_x^{T}h\left(x\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{x}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\Δ}{y}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_x^{\′}\\ -L_y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}Z\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{z}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\Δ}{l}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L^{-1}{L}_l^{\mathrm{\μ}}\\ L_z+{\▿}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\Δx}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& U^{-1}W\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{w}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\Δ}{u}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-U^{-1}{L}_u^{\mathrm{\μ}}\\ {-L}_w-{\▿}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\Δx}\end{array}\right]$

其中：Δx^aff、Δy^aff、Δz^aff、Δl^aff、Δu^aff、Δw^aff分别为x、y、z、l、u、w的仿射方向修正量，是一个数学符号，表示偏导的转置；

$L_x^{\′}=L_x+{\▿}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}(L_l^{\mathrm{\μ}}+Z{L}_z)+U^{-1}(L_u^{\mathrm{\μ}}+W{L}_w)]$

$H^{\′}=H-{\▿}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}Z-U^{-1}W]{\▿}_x^{T}g\left(x\right)$

$H=-[{\▿}_x^{2}f\left(x\right)-{\▿}_x^{2}h\left(x\right)y-{\▿}_x^{2}g\left(x\right)(z+w)]$

步骤603：确定仿射方向的迭代步长：

${\mathrm{\&alpha;}}_p^{\mathrm{aff}}=0.9995\min \{\underset{r^{\&prime;}}{\min }(\frac{-l_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{l}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}},\mathrm{\&Delta;}{l}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}<0;\frac{-u_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{u}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}},\mathrm{\&Delta;}{u}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}<0),1\}$

${\mathrm{\&alpha;}}_p^{\mathrm{aff}}=0.9995\min \{\underset{r^{\&prime;}}{\min }(\frac{-l_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{l}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}},\mathrm{\&Delta;}{l}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}<0;\frac{-u_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{u}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}},\mathrm{\&Delta;}{u}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}<0),1\}$

步骤604：根据下列方程计算仿射方向的互补间隙

$C_{\mathrm{Gap}}^{\mathrm{aff}}=(l+{\mathrm{\&alpha;}}_p^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{aff}})(z+{\mathrm{\&alpha;}}_d^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{z}^{\mathrm{aff}})-(u+{\mathrm{\&alpha;}}_p^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{ff}})(w+{\mathrm{\&alpha;}}_d^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{w}^{\mathrm{aff}})$

步骤605：动态估计中心参数：

$\mathrm{\&sigma;}={(C_{\mathrm{Gap}}^{\mathrm{aff}}/C_{\mathrm{Gap}})}^3$

步骤7：校正步骤：对互补松弛条件进行修正：

$\mathrm{Z\&Delta;l}+\mathrm{L\&Delta;z}=-L_l^{\mathrm{\&mu;}}-\mathrm{\&Delta;}{Z}^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{aff}}$

$\mathrm{W\&Delta;u}+\mathrm{U\&Delta;w}=-L_u^{\mathrm{\&mu;}}-\mathrm{\&Delta;}{W}^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{aff}}$

相应地，L'_x修正为：

L″_x＝▽_xg(x)(L^-1ΔZ^affΔl^aff-U^-1ΔW^affΔu^aff)

步骤8：根据以下方程求解Δx^coo,Δy^coo,Δl^coo,Δu^coo,Δz^coo,Δw^coo：

$\left[\begin{array}{cc}{H}^{\&prime;}& {\&dtri;}_{x}h\left(x\right)\\ {\&dtri;}_x^{T}h\left(x\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{y}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_x^{\&prime;\&prime;}\\ 0\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}Z\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{z}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L^{-1}{L}_l^{\mathrm{\&mu;}}\\ {\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;}{x}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& U^{-1}W\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{w}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-U^{-1}{L}_u^{\mathrm{\&mu;}}\\ -{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;}{x}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]$

其中：Δx^coo、Δy^coo、Δz^coo、Δl^coo、Δu^coo、Δw^coo分别为x、y、z、l、u、w的校正方向修正量。

步骤9：定义原始变量和对偶变量的迭代步长分别为：

${\mathrm{\&alpha;}}_p=0.9995\min \{\min (\frac{-l_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{l}_{r^{\&prime;}}},\mathrm{\&Delta;}{l}_{r^{\&prime;}}<0;\frac{-u_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{u}_{r^{\&prime;}}},\mathrm{\&Delta;}{u}_{r^{\&prime;}}<0),1\}$

${\mathrm{\&alpha;}}_d=0.9995\min \{\min (\frac{-z_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{z}_{r^{\&prime;}}},\mathrm{\&Delta;}{z}_{r^{\&prime;}}<0;\frac{-w_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{w}_{r^{\&prime;}}},\mathrm{\&Delta;}{w}_{r^{\&prime;}}<0),1\}$

步骤10：令 $\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;l}\\ \mathrm{\&Delta;u}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]+w_{\mathrm{wp}}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right];\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;z}\\ \mathrm{\&Delta;w}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]+w_{\mathrm{wd}}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right];$ 原始变量和对偶变量的加权因子w_wp、w_wd的初始值范围是[α_pα_d,1]，线性搜索w_wp、w_wd，使α_p、α_d的步长最大；

步骤11：根据步骤10得到的w_wp、w_wd、α_p、α_d更新原始变量及拉格朗日乘子；

步骤12：判断迭代次数是否大于K_max，若大于，则退出程序并输出计算不收敛的结果，若不大于，则置迭代次数k'值加1，返回步骤5。

有益效果：与现有技术相比，本发明提供的方法能够有效，快速的获得含混合直流输电的电力系统最优潮流，而且对整个电力系统的优化效果显著。同时，本发明对中心参数σ和加权因子进行动态估计，由于动态地选择了校正方向在总的牛顿方向所占的比例，所以明显减少迭代次数，收敛速度明显提高，这样有效的加快了获取直流系统最优潮流的速度。

附图说明

图1为本发明方法流程图；

图2为采用电流源换流器的高压直流输电系统结构示意图；

图3为采用电压源换流器的高压直流输电系统结构示意图；

图4为基于预测校正内点法和加权预测校正内点法中原步长的迭代次数比较图；

图5基于预测校正内点法和加权预测校正内点法中对偶步长的迭代次数比较图。

具体实施方式

下面对本发明技术方案进行详细说明，但是本发明的保护范围不局限于所述实施例。

实施例：

如图1所示，一种含混合直流输电的电力系统最优潮流获取方法，包括以下步骤：

步骤1：将CSC-HVDC和VSC-HVDC系统接入到电网，根据CSC和VSC稳态模型建立含混合直流输电的电力系统最优潮流模型：

obj.  min.f(x)

s.t.  h(x)＝0

$\underset{\&OverBar;}{g}\&le;g\left(x\right)\&le;\stackrel{\&OverBar;}{g}$

式中：P_g、Q_R分别为发电机所发有功功率和无功功率，θ、V分别为节点电压相角和幅值，分别为CSC类型换流器的直流电压和电流，分别为VSC类型换流器的直流电压和电流，K_T、θ_d、分别为CSC类型换流器的换流变压器变比、控制角、功率因数角，δ、M为脉冲宽度调制(简称为PWM)的调制角和调制度，P_s、Q_s分别为从交流系统流入VSC类型换流器的换流变压器的有功功率和无功功率。f(x)为目标函数，通常为发电机费用，P_gi是第i个发电机发出的有功功率，a_2i、a_1i、a_0i为耗量特性曲线参数；h(x)为等式约束条件，包含交流系统的功率平衡方程，CSC-HVDC和VSC-HVDC的功率和电流平衡方程等，假设等式约束个数为m；g(x)为不等式约束条件，包含交流系统的电压幅值、相角，线路传输功率约束，CSC直流系统的电压、变比、控制角，VSC直流系统的电压、PWM的调制度等，假设不等式约束个数为r。

如图2所示，分别为交流系统注入第k个CSC类型换流器的换流变压器的有功功率和无功功率，P_dk,jQ_dk分别为带有k个CSC类型换流器直流系统从交流系统抽出的有功功率和无功功率，I_k为流过第k个CSC类型换流器的换流变压器的电流，K_Tk为第k个CSC类型换流器的换流变压器的变比，分别为第k个CSC类型换流器的直流电压、直流电流，U_csck为第k个CSC类型换流器的交流电压。设第k个CSC类型换流器的电抗为X_ck，第k个CSC类型换流器的的功率因数角为第k个CSC类型换流器的控制角为θ_dk。

第k个CSC类型换流器的在标幺制系统下的基本方程如下：

$P_{\mathrm{dk}}=U_{\mathrm{dk}}^{\csc }{I}_{\mathrm{dk}}^{\csc }$

$U_{\mathrm{dk}}^{\csc }=K_{\mathrm{Tk}}{U}_{\csc k}\cos {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{dk}}+X_{\mathrm{ck}}{I}_{\mathrm{dk}}^{\csc }$

如图3所示，U_ct∠θ_ct是第t个VSC类型换流器的输出基波电压的相量，θ_ct为第t个VSC类型换流器的输出基波电压的相角；U_st∠θ_st为与第t个VSC类型换流器连接的交流系统中交流母线的电压相量，θ_st为与第t个VSC类型换流器连接的交流系统中交流母线的电压相角；是流过第t个VSC类型换流器的换流变压器的电流，X_Lt是第t个VSC类型换流器的换流变压器的电抗，R_t为带有第t个VSC类型换流器的换流桥损耗的等效电阻，交流系统注入第t个VSC类型换流器的换流变压器的有功功率和无功功率分别是P_st和Q_st，注入第t个VSC类型换流器的换流桥的有功、无功功率分别是P_ct和Q_ct，假设电流方向如图3所示，则

${\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_t=\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{U}}_{\mathrm{st}}-{\stackrel{\&CenterDot;}{U}}_{\mathrm{ct}}}{R_t+j{X}_{\mathrm{Lt}}}$

交流母线注入的复功率满足下式：

${\tilde{S}}_{\mathrm{st}}=P_{\mathrm{st}}+j{Q}_{\mathrm{st}}={\stackrel{\&CenterDot;}{U}}_{\mathrm{st}}{\left({\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_t\right)}^{*}$

式中，为的共轭。

设δ_t＝θ_st-θ_ct， $\left|Y_i\right|=\frac{1}{\sqrt{R_t^2+X_{\mathrm{Lt}}^2}},{\mathrm{\&alpha;}}_i=\arctan \left(\frac{R_t}{X_{\mathrm{Lt}}}\right),$ 因此得到下式：

$P_{\mathrm{st}}=\left|Y_i\right|U_{\mathrm{st}}{U}_{\mathrm{ct}}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_t-{\mathrm{\&alpha;}}_i)+\left|Y_i\right|U_{\mathrm{st}}^2\sin {\mathrm{\&alpha;}}_i$

$Q_{\mathrm{st}}=-\left|Y_i\right|U_{\mathrm{st}}{U}_{\mathrm{ct}}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_t-{\mathrm{\&alpha;}}_i)+\left|Y_i\right|U_{\mathrm{st}}^2\cos {\mathrm{\&alpha;}}_i$

同理可推出：

$P_{\mathrm{ct}}=\left|Y_i\right|U_{\mathrm{st}}{U}_{\mathrm{ct}}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_t+{\mathrm{\&alpha;}}_i)-\left|Y_i\right|U_{\mathrm{ct}}^2\sin {\mathrm{\&alpha;}}_i$

$Q_{\mathrm{ct}}=-\left|Y_i\right|U_{\mathrm{st}}{U}_{\mathrm{ct}}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_t+{\mathrm{\&alpha;}}_i)-\left|Y_i\right|U_{\mathrm{ct}}^2\cos {\mathrm{\&alpha;}}_i$

由于VSC的换流桥的损耗已经由R_t等效，因而第t个VSC类型换流器的直流功率应该与注入带有第t个VSC类型换流器的换流桥的有功功率P_ct相等，因此得到

$P_{\mathrm{dt}}^{\mathrm{vsc}}=U_{\mathrm{dt}}^{\mathrm{vsc}}{I}_{\mathrm{dt}}^{\mathrm{vsc}}=\left|Y_i\right|U_{\mathrm{st}}{U}_{\mathrm{ct}}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_t+{\mathrm{\&alpha;}}_i)-\left|Y_i\right|U_{\mathrm{ct}}^2\sin {\mathrm{\&alpha;}}_i$

式中，是电网中第t个VSC类型换流器的的直流电压；是电网中第t个VSC类型换流器的VSC的直流电流。

此外，另有电压方程是

$U_{\mathrm{ct}}=\frac{\sqrt{6}}{2}{M}_t{U}_{\mathrm{dt}}^{\mathrm{vsc}}$

式中，M_t是第t个VSC类型换流器的的调制度，0＜M_t＜1。

CSC最常用的正常运行控制方式如下：a1)定直流电流、定换流变压器变比控制方式；a2)定电流、定控制角控制方式；a3)定有功功率、定控制角控制方式；a4)定直流电压、定控制角控制方式。

VSC最常用的正常运行控制方式如下：b1)定直流电压、定无功功率控制；b2)定直流电压、定交流电压控制；b3)定有功功率、定无功功率控制；b4)定有功功率、定交流电压控制。

用四种组合方式采用本发明提供的方法进行实验，组合1是，CSC、VSC类型换流器分别是a2)、b1)控制方式；组合2是，CSC、VSC类型换流器分别是a2)、b3)控制方式；组合3是，CSC、VSC类型换流器分别是a1)、b3)控制方式；组合4是，CSC、VSC类型换流器分别是a1)、b4)控制方式；

本发明按照交流系统的节点上是否接有换流变压器，将节点分为直流节点和纯交流节点。由于在交流节点上连接了换流器，其对应的控制和状态变量在原交流节点的电压幅值U_i和相角θ_i基础上增加了直流变量K_Tk、cosθ_dt、δ_t、M_t、P_st、Q_st，其中，δ_t,M_t为第t个VSC类型换流器的相位角和调制度。所有换流器一次侧所连接的节点即为直流节点，没有设置换流器与其相连的节点即为纯交流节点。

对于直流节点，其功率平衡方程式如下：

式中：ΔP_csck、ΔQ_csck分别为设有k个CSC类型换流器的直流节点的有功功率和无功功率的不平衡量；ΔP_vsct、ΔQ_vsct分别为设有第t个VSC类型换流器的直流节点的有功功率和无功功率的不平衡量；分别为设有k个CSC类型换流器的直流节点注入的有功功率和无功功率；分别为设有第t个VSC类型换流器的直流节点注入的有功功率和无功功率；P_di、Q_di分别为CSC类型直流系统从交流系统抽出的有功、无功功率；U_csck设置有第k个CSC类型换流器的交流节点电压幅值；U_vsct为设置有第t个VSC类型换流器的交流节点电压幅值；J表示与设置有第k个CSC类型换流器的交流节点连接的所有节点，j表示与设置有第k个CSC类型换流器的交流节点连接的第j个交流节点；U_j为与设置有第k个CSC类型换流器的交流节点连接的第j个交流节点的电压幅值；θ_kj是设置有第k个CSC类型换流器的交流节点和与之相连的第j个交流节点之间的电压相角差；G_kj、B_kj分别是设置有第k个CSC类型换流器的交流节点和与之相连的第j个交流节点之间的电导和电纳；J'表示与设置有第t个VSC类型换流器的交流节点连接的所有节点，j'表示与设置有第t个VSC类型换流器的交流节点连接的第j'个交流节点；U_j'为与设置有第t个VSC类型换流器的交流节点连接的第j'个交流节点的电压幅值；θ_tj'是设置有第t个VSC类型换流器的交流节点和与之相连的第j'个交流节点之间的电压相角差；Gt_j'、B_tj'分别是设置有第t个VSC类型换流器的交流节点和与之相连的第j'个交流节点之间的电导和电。

根据CSC-HVDC和VSC-HVDC的稳态模型，可得到直流系统的潮流计算方程为：

$\mathrm{\&Delta;}{d}_{i1}=U_{\mathrm{dk}}^{\csc }-K_{\mathrm{Tk}}{U}_{\csc k}\cos {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{dk}}+X_{\mathrm{ck}}{I}_{\mathrm{dk}}^{\csc }$

${\mathrm{\&Delta;}{d}_{i4}=P}_{\mathrm{st}}-\frac{\sqrt{6}}{2}{M}_t{U}_{\mathrm{vsct}}{U}_{\mathrm{dt}}^{\mathrm{vsc}}\left|Y_i\right|\sin ({\mathrm{\&delta;}}_t-{\mathrm{\&alpha;}}_i)-U_{\mathrm{st}}^2\left|Y_i\right|\sin {\mathrm{\&alpha;}}_i$

${\mathrm{\&Delta;}{d}_{i5}=Q}_{\mathrm{st}}+\frac{\sqrt{6}}{2}{M}_t{U}_{\mathrm{vsct}}{U}_{\mathrm{dt}}^{\mathrm{vsc}}\left|Y_i\right|\cos ({\mathrm{\&delta;}}_t-{\mathrm{\&alpha;}}_i)-U_{\mathrm{st}}^2\left|Y_i\right|\cos {\mathrm{\&alpha;}}_i$

$\mathrm{\&Delta;}{d}_{i6}=U_{\mathrm{dt}}^{\mathrm{vsc}}{I}_{\mathrm{dt}}^{\mathrm{vsc}}-\frac{\sqrt{6}}{2}{M}_t{U}_{\mathrm{vsct}}{U}_{\mathrm{dt}}^{\mathrm{vsc}}\left|Y_i\right|\sin ({\mathrm{\&delta;}}_t+{\mathrm{\&alpha;}}_i)+\frac{3}{2}{\left(M_t{U}_{\mathrm{dt}}^{\mathrm{vsc}}\right)}^2\left|Y_i\right|\sin {\mathrm{\&alpha;}}_i$

直流网络方程为：

$\mathrm{\&Delta;}{d}_{i3}=I_{\mathrm{dkt}}-\underset{n^{\&prime;}=1}{\overset{n_{\csc }+n_{\mathrm{vsc}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{g}_{{\mathrm{dn}}^{\&prime;}{n}^{\&prime;\&prime;}}{U}_{\mathrm{dkt}}$

其中， $I_{\mathrm{dkt}}={[I_{\mathrm{dk}}^{\csc },I_{\mathrm{dt}}^{\mathrm{vsc}}]}^T,U_{\mathrm{dkt}}={[U_{\mathrm{dk}}^{\csc },U_{\mathrm{dt}}^{\mathrm{vsc}}]}^T,$ n_csc+n_vsc表示所有直流节点的个数，n',n″表所有直流节点中的任意两个节点，g_dn'n″表示直流节点n'和直流节点n″之间的导纳。

步骤2：获取电力系统的网络参数；包括：母线编号、名称、负有功、负荷无功、补偿电容，输电线路的支路号、首端节点和末端节点编号、串联电阻、串联电抗、并联电导、并联电纳、变压器变比和阻抗，发电机有功出力、无功上下限，经济参数；

步骤3：根据步骤1中建立的含混合直流输电的电力系统最优潮流模型，构造拉格朗日函数如下：

$L=f\left(x\right)-y^{T}h\left(x\right)-z^T[g\left(x\right)-l-\underset{\&OverBar;}{g}]{-w}^T[g\left(x\right)+u-\stackrel{\&OverBar;}{g}]-\mathrm{\&mu;}\underset{r^{\&prime;}=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\ln \left(l_{r^{\&prime;}}\right)-\mathrm{\&mu;}\underset{r^{\&prime;}=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\ln \left(u_{r^{\&prime;}}\right)$

其中，y＝[y₁,…,y_m]^T为等式约束的拉格朗日乘子，z＝[z₁,…,z_r]^T、w＝[w₁,…,w_r]^T分别为不等式约束的上、下限拉格朗日乘子，l＝[l₁,…,l_r]^T、u＝[u₁,…,u_r]^T分别为不等式约束的上、下限松弛变量，μ是扰动因子，其中，r'∈r，r'表示第r'个不等式约束。

步骤4：程序初始化，设置状态量初值、拉格朗日乘子初值和罚因子初值、恢复迭代计数器k＝1、设置精度要求10^-10；

步骤5：定义对偶间隙C_Gap＝l^Tz-u^Tw，计算出C_Gap的值并判断C_Gap的值是否满足步骤4中设定的精度要求，若满足，则输出计算结果并停止执行后续步骤，若不满足，则继续执行步骤6；

步骤6：计算扰动因子μ；

该问题的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件为：

$\left\{\begin{array}{c}{L}_x={\&dtri;}_{x}f\left(x\right)-{\&dtri;}_{x}h\left(x\right)y-{\&dtri;}_{x}g\left(x\right)(z+w)=0\\ L_y=h\left(x\right)=0\\ L_z=g\left(x\right)-l-\underset{\&OverBar;}{g}=0\\ L_w=g\left(x\right)+u-\stackrel{\&OverBar;}{g}=0\\ L_l=z-\mathrm{\&mu;}{L}^{-1}e=0\\ L_u=-w-\mathrm{\&mu;}{U}^{-1}e=0\end{array}\right.$

式中：▽_xf(x)为f(x)对x的1阶导数，▽_xh(x)、▽_xg(x)分别为h(x)、g(x)的Jacobian矩阵。

L＝diag(l₁,…,l_r)U＝diag(u₁,…,u_r)Z＝diag(z₁,…,z_r)W＝diag(w₁,…,w_r)

L^-1＝diag(1/l₁,…,1/l_r)，U-¹＝diag(1/u₁,…,1/u_r)，e＝[1,…,1]^T。

由式KKT条件中的最后两个方程可以求得

μ＝(l^Tz-u^Tw)/2r，定义C_Gap＝l^Tz-u^Tw。

但实践证明，当目标函数中的参数按照上式取值时收敛性比较差，一般采用

μ＝σC_Gap/2r，

其中，中心参数σ是影响算法性能的重要参数，本发明提供的方法是对中心参数σ的动态估计。本发明提供的方法在每次迭代中，通过预测步求出仿射方向，然后利用其估计互补方程泰勒展开式的二阶项，求出校正步。

其中，预测方法为：

步骤601：设定中心参数σ＝0；

步骤602：求解以下方程，得到仿射方向Δx^aff,Δl^aff,Δu^aff,Δy^aff,Δz^aff,Δw^aff：

$\left[\begin{array}{cc}{H}^{\&prime;}& {\&dtri;}_{x}h\left(x\right)\\ {\&dtri;}_x^{T}h\left(x\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\&Delta;}{y}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_x^{\&prime;}\\ -L_y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}Z\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{z}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L^{-1}{L}_l^{\mathrm{\&mu;}}\\ L_z+{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;x}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& U^{-1}W\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{w}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-U^{-1}{L}_u^{\mathrm{\&mu;}}\\ {-L}_w-{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;x}\end{array}\right]$

其中：Δx^aff、Δy^aff、Δz^aff、Δl^aff、Δu^aff、Δw^aff分别为x、y、z、l、u、w的仿射方向修正量。

$L_x^{\&prime;}=L_x+{\&dtri;}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}(L_l^{\mathrm{\&mu;}}+Z{L}_z)+U^{-1}(L_u^{\mathrm{\&mu;}}+W{L}_w)]$

$H^{\&prime;}=H-{\&dtri;}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}Z-U^{-1}W]{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)$

$H=-[{\&dtri;}_x^{2}f\left(x\right)-{\&dtri;}_x^{2}h\left(x\right)y-{\&dtri;}_x^{2}g\left(x\right)(z+w)]$

步骤603：确定仿射方向的迭代步长：

${\mathrm{\&alpha;}}_p^{\mathrm{aff}}=0.9995\min \{\underset{r^{\&prime;}}{\min }(\frac{-l_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{l}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}},\mathrm{\&Delta;}{l}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}<0;\frac{-u_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{u}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}},\mathrm{\&Delta;}{u}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}<0),1\}$

${\mathrm{\&alpha;}}_d^{\mathrm{aff}}=0.9995\min \{\underset{r^{\&prime;}}{\min }(\frac{-z_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{z}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}},\mathrm{\&Delta;}{z}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}<0;\frac{-w_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{w}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}},\mathrm{\&Delta;}{w}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}>0),1\}$

步骤604：根据下列方程计算仿射方向的互补间隙

$C_{\mathrm{Gap}}^{\mathrm{aff}}=(l+{\mathrm{\&alpha;}}_p^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{aff}})(z+{\mathrm{\&alpha;}}_d^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{z}^{\mathrm{aff}})-(u+{\mathrm{\&alpha;}}_p^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{ff}})(w+{\mathrm{\&alpha;}}_d^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{w}^{\mathrm{aff}})$

步骤605：动态估计中心参数：

$\mathrm{\&sigma;}={(C_{\mathrm{Gap}}^{\mathrm{aff}}/C_{\mathrm{Gap}})}^3$

步骤7：校正步骤：对互补松弛条件进行修正：

$\mathrm{Z\&Delta;l}+\mathrm{L\&Delta;z}=-L_l^{\mathrm{\&mu;}}-\mathrm{\&Delta;}{Z}^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{aff}}$

$\mathrm{W\&Delta;u}+\mathrm{U\&Delta;w}=-L_u^{\mathrm{\&mu;}}-\mathrm{\&Delta;}{W}^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{aff}}$

相应地，L'_x修正为：

L″_x＝▽_xg(x)(L^-1ΔZ^affΔl^aff-U^-1ΔW^affΔu^aff)

步骤8：根据以下方程求解Δx^coo,Δy^coo,Δl^coo,Δu^coo,Δz^coo,Δw^coo：

$\left[\begin{array}{cc}{H}^{\&prime;}& {\&dtri;}_{x}h\left(x\right)\\ {\&dtri;}_x^{T}h\left(x\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{y}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_x^{\&prime;\&prime;}\\ 0\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}Z\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{z}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L^{-1}{L}_l^{\mathrm{\&mu;}}\\ {\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;}{x}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& U^{-1}W\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{w}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-U^{-1}{L}_u^{\mathrm{\&mu;}}\\ -{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;}{x}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]$

其中：Δx^coo、Δy^coo、Δz^coo、Δl^coo、Δu^coo、Δw^coo分别为x、y、z、l、u、w的校正方向修正量。

步骤9：确定原始变量和对偶变量的迭代步长：

${\mathrm{\&alpha;}}_p=0.9995\min \{\min (\frac{-l_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{l}_{r^{\&prime;}}},\mathrm{\&Delta;}{l}_{r^{\&prime;}}<0;\frac{-u_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{u}_{r^{\&prime;}}},\mathrm{\&Delta;}{u}_{r^{\&prime;}}<0),1\}$

${\mathrm{\&alpha;}}_d=0.9995\min \{\min (\frac{-z_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{z}_{r^{\&prime;}}},\mathrm{\&Delta;}{z}_{r^{\&prime;}}<0;\frac{-w_{r^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;}{w}_{r^{\&prime;}}},\mathrm{\&Delta;}{w}_{r^{\&prime;}}<0),1\}$

步骤10：令 $\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;l}\\ \mathrm{\&Delta;u}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]+w_{\mathrm{wp}}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right];\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;z}\\ \mathrm{\&Delta;w}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]+w_{\mathrm{wd}}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right];$ w_wp、w_wd的初始值范围是[α_pα_d,1]，线性搜索w_wp、w_wd，使α_p、α_d的步长最大；

步骤11：根据步骤10得到的w_wp、w_wd、α_p、α_d更新原始变量及拉格朗日乘子；

$\left\{\begin{array}{c}{x}^{(k^{\&prime;}+1)}=x^{\left(k^{\&prime;}\right)}+{\mathrm{\&alpha;}}_p\mathrm{\&Delta;x}\\ l^{(k^{\&prime;}+1)}=l^{\left(k^{\&prime;}\right)}+{\mathrm{\&alpha;}}_p\mathrm{\&Delta;l}\\ u^{(k^{\&prime;}+1)}=u^{\left(k^{\&prime;}\right)}+{\mathrm{\&alpha;}}_p\mathrm{\&Delta;u}\end{array}\right.,\left\{\begin{array}{c}{y}^{(k^{\&prime;}+1)}=y^{\left(k^{\&prime;}\right)}+{\mathrm{\&alpha;}}_d\mathrm{\&Delta;y}\\ z^{(k^{\&prime;}+1)}=z^{\left(k^{\&prime;}\right)}+{\mathrm{\&alpha;}}_d\mathrm{\&Delta;z}\\ w^{(k^{\&prime;}+1)}=w^{\left(k^{\&prime;}\right)}+{\mathrm{\&alpha;}}_d\mathrm{\&Delta;w}\end{array}\right.$

步骤12：判断迭代次数是否大于K_max，若是，则计算不收敛，退出程序，若否，则置迭代次数加1，返回步骤5，一般K_max设置为50。

如表1所示，对在不同控制方式下，列出了预测校正内点法和加权预测校正内点法优化各算例时的迭代次数，表中方法0表示预测校正内点法，方法1表示本发明提供的加权预测校正内点法。

表1

方法1所需要的迭代次数均小于方法0，尤其是IEEE-118节点，迭代次数减少达11次，由此说明了方法1的收敛性优于方法0。IEEE-118节点组合3下，方法0已经不收敛，这是由于校正方向在总的牛顿方向下所占的比例过大，导致了过校正而发散，方法1由于动态地选择了校正方向在总的牛顿方向所占的比例，只需15次即可收敛，说明方法1的收敛性、鲁棒性优于方法0。

如图4～5所示，IEEE-118节点，在组合3下方法0和方法1的原步长、对偶步长的大小。结合图4和表6，可以看出在迭代过程中，方法1的有效原步长、对偶步长大体大于方法0。方法0大约经过10次迭代后，其有效迭代步长越来越小，趋近于0，从而导致发散，而方法1的有效迭代步长则是越来越大，趋近于1，从而能很快收敛，说明方法1的鲁棒性优于方法0。

Claims (1)

1.一种含混合直流输电的电力系统最优潮流获取方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：将CSC-HVDC和VSC-HVDC系统同时接入到电网，根据CSC和VSC稳态模型建立含混合直流输电的电力系统最优潮流模型：

obj.    min.f(x)

s.t.    h(x)＝0

$\underset{\&OverBar;}{g}\&le;g\left(x\right)\&le;\stackrel{\&OverBar;}{g}$

式中，f(x)为目标函数，h(x)为等式约束条件，g(x)为不等式约束条件；

步骤2：通过检测获取电力系统的网络参数；

步骤3：根据步骤1中建立的含混合直流输电的电力系统最优潮流模型，构造拉格朗日函数如下：

$L=f\left(x\right)-y^{T}h\left(x\right)-z^T[g\left(x\right)-l-\underset{\&OverBar;}{g}]-w^T[g\left(x\right)+u-\stackrel{\&OverBar;}{g}]-\mathrm{\&mu;}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\ln \left(l_j\right)-\mathrm{\&mu;}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\ln \left(u_j\right)$

其中y＝[y₁,…,y_m]^T为等式约束的拉格朗日乘子，m为等式约束的个数，z＝[z₁,…,z_r]^T、w＝[w₁,…,w_r]^T为不等式约束的拉格朗日乘子，l＝[l₁,…,l_r]^T、u＝[u₁,…,u_r]^T为不等式约束的松弛变量，r为不等式约束的个数，μ为扰动因子；

步骤4：程序初始化，设置状态量设置初值、拉格朗日乘子初值和扰动因子初值、节点次序优化、形成节点导纳矩阵、恢复迭代计数器k'＝1、设置精度要求和最大迭代次数K_max；

步骤5：定义对偶间隙C_Gap＝l^Tz-u^Tw，计算出C_Gap的值并判断C_Gap的值是否满足步骤4中设定的精度要求，若满足，则输出计算结果并停止执行后续步骤，若不满足，则继续执行步骤6；

步骤6：根据公式μ＝σC_Gap/2r计算扰动因子μ，其中，中心参数σ的动态估计方法为：

步骤601：设定中心参数σ＝0；

步骤602：求解以下方程，得到仿射方向Δx^aff,Δl^aff,Δu^aff,Δy^aff,Δz^aff,Δw^aff：

$\left[\begin{array}{cc}{H}^{\&prime;}& {\&dtri;}_{x}h\left(x\right)\\ {\&dtri;}_x^{h}h\left(x\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\&Delta;}{y}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_x^{\&prime;}\\ -L_y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}Z\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{z}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L^{-1}{L}_l^{\mathrm{\&mu;}}\\ L_z+{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;x}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& U^{-1}W\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{w}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-U^{-1}{L}_u^{\mathrm{\&mu;}}\\ {-L}_w-{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;x}\end{array}\right]$

其中：Δx^aff、Δy^aff、Δz^aff、Δl^aff、Δu^aff、Δw^aff分别为x、y、z、l、u、w的仿射方向修正量，是一个数学符号，表示偏导的转置；

$L_x^{\&prime;}=L_x+{\&dtri;}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}(L_l^{\mathrm{\&mu;}}+{\mathrm{ZL}}_z)+U^{-1}(L_u^{\mathrm{\&mu;}}+{\mathrm{WL}}_w)]$

$H^{\&prime;}=H-{\&dtri;}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}Z-U^{-1}W]{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)$

$H=-[{\&dtri;}_x^{2}f\left(x\right)-{\&dtri;}_x^{2}h\left(x\right)y-{\&dtri;}_x^{2}g\left(x\right)(z+w)]$

步骤603：确定仿射方向的迭代步长：

${\mathrm{\&alpha;}}_p^{\mathrm{aff}}=0.9995\min \{\underset{r^{\&prime;}}{\min }(\frac{-l_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;l}}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}},{\mathrm{\&Delta;l}}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}<0;\frac{-u_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;u}}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}},{\mathrm{\&Delta;u}}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}<0),1\}$

${\mathrm{\&alpha;}}_d^{\mathrm{aff}}=0.9995\min \{\underset{r^{\&prime;}}{\min }(\frac{-z_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;z}}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}},{\mathrm{\&Delta;z}}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}<0;\frac{-w_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;w}}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}},{\mathrm{\&Delta;w}}_{r^{\&prime;}}^{\mathrm{aff}}>0),1\}$

步骤604：根据下列方程计算仿射方向的互补间隙

$C_{\mathrm{Gap}}^{\mathrm{aff}}=(l+{\mathrm{\&alpha;}}_p^{\mathrm{aff}}{\mathrm{\&Delta;l}}^{\mathrm{aff}})(z+{\mathrm{\&alpha;}}_d^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{z}^{\mathrm{aff}})-(u+{\mathrm{\&alpha;}}_p^{\mathrm{aff}}{\mathrm{\&Delta;u}}^{\mathrm{aff}})(w+{\mathrm{\&alpha;}}_d^{\mathrm{aff}}{\mathrm{\&Delta;w}}^{\mathrm{aff}})$

步骤605：动态估计中心参数：

$\mathrm{\&sigma;}={(C_{\mathrm{Gap}}^{\mathrm{aff}}/C_{\mathrm{Gap}})}^3$

步骤7：校正步骤：对互补松弛条件进行修正：

$\mathrm{Z\&Delta;l}+\mathrm{L\&Delta;z}=-L_l^{\mathrm{\&mu;}}-{\mathrm{\&Delta;Z}}^{\mathrm{aff}}{\mathrm{\&Delta;l}}^{\mathrm{aff}}$

$\mathrm{W\&Delta;u}+\mathrm{U\&Delta;w}=-L_u^{\mathrm{\&mu;}}-{\mathrm{\&Delta;W}}^{\mathrm{aff}}{\mathrm{\&Delta;u}}^{\mathrm{aff}}$

相应地，L'_x修正为：

L″_x＝▽_xg(x)(L^-1ΔZ^affΔl^aff-U^-1ΔW^affΔu^aff)

步骤8：根据以下方程求解Δx^coo,Δy^coo,Δl^coo,Δu^coo,Δz^coo,Δw^coo：

$\left[\begin{array}{cc}{H}^{\&prime;}& {\&dtri;}_{x}h\left(x\right)\\ {\&dtri;}_x^{h}h\left(x\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{y}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_x^{\&prime;\&prime;}\\ 0\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}Z\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{z}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L^{-1}{L}_l^{\mathrm{\&mu;}}\\ {\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;}{x}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& U^{-1}W\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{w}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-U^{-1}{L}_u^{\mathrm{\&mu;}}\\ {-\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;}{x}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right]$

其中：Δx^coo、Δy^coo、Δz^coo、Δl^coo、Δu^coo、Δw^coo分别为x、y、z、l、u、w的校正方向修正量；

步骤9：确定原始变量和对偶变量的迭代步长：

${\mathrm{\&alpha;}}_p=0.9995\min \{\min (\frac{-l_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;l}}_{r^{\&prime;}}},\mathrm{\&Delta;}{l}_{r^{\&prime;}}<0;\frac{-u_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;u}}_{r^{\&prime;}}},{\mathrm{\&Delta;u}}_{r^{\&prime;}}<0),1\}$

${\mathrm{\&alpha;}}_d=0.9995\min \{\min (\frac{-z_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;z}}_{r^{\&prime;}}},{\mathrm{\&Delta;z}}_{r^{\&prime;}}<0;\frac{-w_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;w}}_{r^{\&prime;}}},{\mathrm{\&Delta;w}}_{r^{\&prime;}}>0),1\}$

步骤10：令 $\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;l}\\ \mathrm{\&Delta;u}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{aff}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]+w_{\mathrm{wp}}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;l}}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right];\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;z}\\ \mathrm{\&Delta;w}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;l}}^{\mathrm{aff}}\\ {\mathrm{\&Delta;u}}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]+w_{\mathrm{wd}}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;l}}^{\mathrm{coo}}\\ \mathrm{\&Delta;}{u}^{\mathrm{coo}}\end{array}\right];$ w_wp、w_wd的初始值范围是[α_pα_d,1]，线性搜索原始变量和对偶变量的加权因子w_wp、w_wd，使α_p、α_d的步长最大；

步骤11：根据步骤10得到的w_wp、w_wd、α_p、α_d更新原始变量及拉格朗日乘子；

步骤12：判断迭代次数是否大于K_max，若大于，则退出程序并输出计算不收敛的结果，若不大于，则置迭代次数k'值加1，返回步骤5。