CN103795091B - 基于预测校正内点法的混合直流输电系统最优潮流方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于预测校正内点法的混合直流输电系统最优潮流方法，本发明建立了含CSC‑HVDC和VSC‑HVDC的混合直流系统最优潮流的模型。本发明在CSC‑HVDC和VSC‑HVDC稳态模型的基础上，提出了一种适用于预测校正内点法的混合交直流系统的OPF模型。该模型将CSC‑HVDC和VSC‑HVDC直流网络与交流系统进行结合，对混合交直流系统进行联立求解。本发明提供的方法明显减少迭代次数，收敛速度明显提高，这样有效的加快了获取直流系统最优潮流的速度。

Description

基于预测校正内点法的混合直流输电系统最优潮流方法

技术领域

发明属于电力系统运行和控制技术领域，特别涉及一种基于预测校正内点法的混合直流输电系统最优潮流方法。

背景技术

随着电网建设的发展，直流输电在电力系统的研究和电网的实际运行中正扮演着越来越重要的角色。传统高压直流输电，以电流源换流器(current source converter，CSC)为基础，具有输送容量大、成本低廉、技术成熟等优点，但存在换相失败、控制方式不灵活等问题。新型高压直流输电，以电压源换流器(voltage source converter，VSC)为基础，具有无换相失败、控制方式灵活等优点，且可直接向孤立的远负荷点输送用电，但存在成本较贵、输送容量较低等缺点。

为了扩展直流输电适用性，充分利用CSC和VSC各自的优点，国内外专家学者对此展开了大量的研究工作，提出了混合连接不同类型直流输电系统的构想并对系统进行仿真分析，提出了控制策略，验证了混合交直流输电的稳定性。世界上绝大多数的直流输电系统是传统直流输电系统，在其基础上串联和并联新型直流输电，这将大大提高直流输电的经济性和技术性，但是现在还没有方法可以有效，快速的获得含混合直流输电的电力系统最优潮流。

发明内容

发明目的：本发明的目的在于针对现有技术的不足，提供了一种能够快速获得混合直流输电系统最优潮流方法。

技术方案：本发明提供了一种基于预测校正内点法的混合直流输电系统最优潮流方法，包括以下步骤：

步骤1：将CSC-HVDC和VSC-HVDC系统接入到电网，根据CSC和VSC稳态模型建立含混合直流输电的电力系统最优潮流模型：

obj. min.f(x)

s.t. h(x)＝0

式中，f(x)为目标函数，h(x)为等式约束条件，g(x)为不等式约束条件，g为不等式约束条件的下限，为不等式约束条件的上限；

步骤2：获取电力系统的网络参数；

步骤3：根据步骤1中建立的含混合直流输电的电力系统最优潮流模型，构造拉格朗日函数如下：

其中y＝[y₁,…,y_m]^T为等式约束的拉格朗日乘子，z＝[z₁,…,z_r]^T、w＝[w₁,…,w_r]^T为不等式约束的拉格朗日乘子，l＝[l₁,…,l_r]^T、u＝[u₁,…,u_r]^T为不等式约束的松弛变量，μ是障碍函数的罚因子；

步骤4：程序初始化，设置状态量设置初值、拉格朗日乘子初值和罚因子初值、节点次序优化、形成节点导纳矩阵、恢复迭代计数器k′＝1、设置精度要求和最大迭代次数K_max；

步骤5：定义对偶间隙C_Gap＝l^Tz-u^Tw，计算出C_Gap的值并判断C_Gap的值是否满足步骤4中设定的精度要求ε，若满足，则输出计算结果并停止执行后续步骤，若不满足，则继续执行步骤6；

步骤6：根据公式μ＝σC_Gap/2r计算扰动因子μ，其中，中心参数σ的动态估计方法为：

步骤601：设定中心参数σ＝0；

步骤602：求解以下方程，得到仿射方向Δx^aff,Δl^aff,Δu^aff,Δy^aff,Δz^aff,Δw^aff：

其中：Δx^aff、Δy^aff、Δz^aff、Δl^aff、Δu^aff、Δw^aff分别为x、y、z、l、u、w的仿射方向修正量，是一个数学符号，表示偏导的转置；

步骤603：确定仿射方向的迭代步长：

步骤604：根据下列方程计算仿射方向的互补间隙

步骤605：动态估计中心参数：

步骤7：校正步骤：对互补松弛条件进行修正：

相应地，将L_x′修正为：

L_x″＝L_x′+▽_xg(x)(L^-1ΔZ^affΔl^aff-U^-1ΔW^affΔu^aff)

步骤8：根据以下方程求解Δx,Δy,Δl,Δu,Δz,Δw：

其中：Δx、Δy、Δz、Δl、Δu、Δw分别为x、y、z、l、u、w的修正量。

步骤9：确定原始变量和对偶变量的迭代步长：

步骤10：更新原始变量及拉格朗日乘子；

步骤11：判断迭代次数是否大于K_max，若大于，则退出程序并输出计算不收敛的结果，若不大于，则置迭代次数k′值加1，返回步骤5。

有益效果：与现有技术相比，本发明建立了含CSC-HVDC和VSC-HVDC的混合直流系统最优潮流(optimal power flow，后简称为OPF)的模型。本发明在CSC-HVDC和VSC-HVDC稳态模型的基础上，提出了一种适用于预测校正法的混合交直流系统的OPF模型。该模型将CSC-HVDC和VSC-HVDC直流网络与交流系统结合起来，对混合交直流系统进行联立求解。本发明能够有效，快速的获得含混合直流输电的电力系统最优潮流，而且对整个电力系统的优化效果显著。同时，本发明对中心参数σ进行动态估计，从而在每次迭代中只增加一次前代回代运算，但可以明显减少迭代次数，收敛速度明显提高，这样有效的加快了获取直流系统最优潮流的速度。

附图说明

图1为本发明方法流程图；

图2为采用电流源换流器的高压直流输电系统结构示意图；

图3为采用电压源换流器的高压直流输电系统结构示意图。

具体实施方式

下面对本发明技术方案进行详细说明，但是本发明的保护范围不局限于所述实施例。

实施例：

如图1所示，一种含混合直流输电的电力系统最优潮流计算方法，包括以下步骤：

步骤1：将CSC-HVDC和VSC-HVDC系统接入到电网，根据CSC和VSC稳态模型建立含混合直流输电的电力系统最优潮流模型：

obj. min.f(x)

s.t. h(x)＝0

式中：P_g、Q_R分别为发电机所发有功功率和无功功率，θ、V分别为节点电压相角和幅值，分别为CSC类型换流器的直流电压和电流，分别为VSC类型换流器的直流电压和电流，K_T、θ_d、分别为CSC类型换流器的换流变压器变比、控制角、功率因数角，δ、M为脉冲宽度调制（简称为PWM）的调制角和调制度，P_s、Q_s分别为从交流系统流入VSC类型换流器的换流变压器的有功功率和无功功率。f(x)为目标函数，通常为发电机费用，P_gi是第i个发电机发出的有功功率，a_2i、a_1i、a_0i为耗量特性曲线参数；h(x)为等式约束条件，包含交流系统的功率平衡方程，CSC-HVDC和VSC-HVDC的功率和电流平衡方程等，假设等式约束个数为m；g(x)为不等式约束条件，包含交流系统的电压幅值、相角，线路传输功率约束，CSC直流系统的电压、变比、控制角，VSC直流系统的电压、PWM的调制度等，假设不等式约束个数为r。

如图2所示，分别为交流系统注入第k个CSC类型换流器的换流变压器的有功功率和无功功率，P_dk,jQ_dk分别为带有k个CSC类型换流器直流系统从交流系统抽出的有功功率和无功功率，I_k为流过第k个CSC类型换流器的换流变压器的电流，K_Tk为第k个CSC类型换流器的换流变压器的变比，分别为第k个CSC类型换流器的直流电压、直流电流，U_csck为第k个CSC类型换流器的交流电压。设第k个CSC类型换流器的电抗为X_ck，第k个CSC类型换流器的的功率因数角为第k个CSC类型换流器的控制角为θ_dk。

第k个CSC类型换流器的在标幺制系统下的基本方程如下：

如图3所示，U_ct∠θ_ct是第t个VSC类型换流器的输出基波电压的相量，θ_ct为第t个VSC类型换流器的输出基波电压的相角；U_st∠θ_st为与第t个VSC类型换流器连接的交流系统中交流母线的电压相量，θ_st为与第t个VSC类型换流器连接的交流系统中交流母线的电压相角；是流过第t个VSC类型换流器的换流变压器的电流，X_Lt是第t个VSC类型换流器的换流变压器的电抗，R_t为带有第t个VSC类型换流器的换流桥损耗的等效电阻，交流系统注入第t个VSC类型换流器的换流变压器的有功功率和无功功率分别是P_st和Q_st，注入第t个VSC类型换流器的换流桥的有功、无功功率分别是P_ct和Q_ct，假设电流方向如图3所示，则

交流母线注入的复功率满足下式：

式中，为的共轭。

设δ_t＝θ_st-θ_ct， 因此得到下式：

同理可推出：

由于VSC的换流桥的损耗已经由R_t等效，因而第t个VSC类型换流器的直流功率应该与注入带有第t个VSC类型换流器的换流桥的有功功率P_ct相等，因此得到

式中，是电网中第t个VSC类型换流器的的直流电压；是电网中第t个VSC类型换流器的VSC的直流电流。

此外，另有电压方程是

式中，M_t是第t个VSC类型换流器的的调制度，0＜M_t＜1。

CSC最常用的正常运行控制方式如下：a1）定直流电流、定换流变压器变比控制方式；a2）定电流、定控制角控制方式；a3）定有功功率、定控制角控制方式；a4）定直流电压、定控制角控制方式。

VSC最常用的正常运行控制方式如下：b1）定直流电压、定无功功率控制；b2）定直流电压、定交流电压控制；b3）定有功功率、定无功功率控制；b4）定有功功率、定交流电压控制。

用四种组合方式采用本发明提供的方法进行实验，组合1是，CSC、VSC类型换流器分别是a2)、b1)控制方式；组合2是，CSC、VSC类型换流器分别是a2)、b3)控制方式；组合3是，CSC、VSC类型换流器分别是a1)、b3)控制方式；组合4是，CSC、VSC类型换流器分别是a1)、b4)控制方式；

本发明按照交流系统的节点上是否接有换流变压器，将节点分为直流节点和纯交流节点。由于在交流节点上连接了换流器，其对应的控制和状态变量在原交流节点的电压幅值U_i和相角θ_i基础上增加了直流变量K_Tk、cosθ_dt、δ_t、M_t、P_st、Q_st，其中，δ_t,M_t为第t个VSC类型换流器的相位角和调制度。所有换流器一次侧所连接的节点即为直流节点，没有设置换流器与其相连的节点即为纯交流节点。

对于直流节点，其功率平衡方程式如下：

式中：ΔP_csck、ΔQ_csck分别为设有k个CSC类型换流器的直流节点的有功功率和无功功率的不平衡量；ΔP_vsct、ΔQ_vsct分别为设有第t个VSC类型换流器的直流节点的有功功率和无功功率的不平衡量；分别为设有k个CSC类型换流器的直流节点注入的有功功率和无功功率；分别为设有第t个VSC类型换流器的直流节点注入的有功功率和无功功率；P_di、Q_di分别为CSC类型直流系统从交流系统抽出的有功、无功功率；U_csck设置有第k个CSC类型换流器的交流节点电压幅值；U_vsct为设置有第t个VSC类型换流器的交流节点电压幅值；J表示与设置有第k个CSC类型换流器的交流节点连接的所有节点，j表示与设置有第k个CSC类型换流器的交流节点连接的第j个交流节点；U_j为与设置有第k个CSC类型换流器的交流节点连接的第j个交流节点的电压幅值；θ_kj是设置有第k个CSC类型换流器的交流节点和与之相连的第j个交流节点之间的电压相角差；G_kj、B_kj分别是设置有第k个CSC类型换流器的交流节点和与之相连的第j个交流节点之间的电导和电纳；J′表示与设置有第t个VSC类型换流器的交流节点连接的所有节点，j′表示与设置有第t个VSC类型换流器的交流节点连接的第j′个交流节点；U_j′为与设置有第t个VSC类型换流器的交流节点连接的第j′个交流节点的电压幅值；θ_tj′是设置有第t个VSC类型换流器的交流节点和与之相连的第j′个交流节点之间的电压相角差；G_tj′、B_tj′分别是设置有第t个VSC类型换流器的交流节点和与之相连的第j′个交流节点之间的电导和电。

根据CSC-HVDC和VSC-HVDC的稳态模型，可得到直流系统的潮流计算方程为：

直流网络方程为：

其中， n_csc+n_vsc表示所有直流节点的个数，n′,n″表所有直流节点中的任意两个节点，g_dn′n″表示直流节点n′和直流节点n″之间的导纳。

步骤2：获取电力系统的网络参数；包括：母线编号、名称、负有功、负荷无功、补偿电容，输电线路的支路号、首端节点和末端节点编号、串联电阻、串联电抗、并联电导、并联电纳、变压器变比和阻抗，发电机有功出力、无功上下限，经济参数；

步骤3：根据步骤1中建立的含混合直流输电的电力系统最优潮流模型，构造拉格朗日函数如下：

其中，y＝[y₁,…,y_m]^T为等式约束的拉格朗日乘子，z＝[z₁,…,z_r]^T、w＝[w₁,…,w_r]^T分别为不等式约束的上、下限拉格朗日乘子，l＝[l₁,…,l_r]^T、u＝[u₁,…,u_r]^T分别为不等式约束的上、下限松弛变量，μ是扰动因子，其中，r′∈r，r′表示第r′个不等式约束。

步骤4：程序初始化，设置状态量初值、拉格朗日乘子初值和罚因子初值、恢复迭代计数器k＝1、设置精度要求ε为10^-10；

步骤5：定义对偶间隙C_Gap＝l^Tz-u^Tw，计算出C_Gap的值并判断C_Gap的值是否满足步骤4中设定的精度要求ε，若满足，则输出计算结果并停止执行后续步骤，若不满足，则继续执行步骤6；

步骤6：计算扰动因子μ；

该问题的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件为：

式中：▽_xf(x)为f(x)对x的1阶导数，▽_xh(x)、▽_xg(x)分别为h(x)、g(x)的Jacobian矩阵。

L＝diag(l₁,…,l_r)U＝diag(u₁,…,u_r)Z＝diag(z₁,…,z_r)W＝diag(w₁,…,w_r)

L^-1＝diag(1/l₁,…,1/l_r)，U^-1＝diag(1/u₁,…,1/u_r)，e＝[1,…,1]^T。

由式KKT条件中的最后两个方程可以求得

μ＝(l^Tz-u^Tw)/2r，定义C_Gap＝l^Tz-u^Tw。

但实践证明，当目标函数中的参数按照上式取值时收敛性比较差，一般采用

μ＝σC_Gap/2r，

其中，中心参数σ是影响算法性能的重要参数，本发明提供的方法是对中心参数σ的动态估计。与原对偶内点法相比，该算法在每次迭代中增加一次前代回代运算，但可以明显减少迭代次数，收敛速度明显提高。

本发明提供的方法在每次迭代中，通过预测步求出仿射方向，然后利用其估计互补方程泰勒展开式的二阶项，求出校正步。

其中，预测方法为：

步骤601：设定中心参数σ＝0；

步骤602：求解以下方程，得到仿射方向Δx^aff,Δl^aff,Δu^aff,Δy^aff,Δz^aff,Δw^aff：

其中：Δx^aff、Δy^aff、Δz^aff、Δl^aff、Δu^aff、Δw^aff分别为x、y、z、l、u、w的仿射方向修正量。

步骤603：确定仿射方向的迭代步长：

步骤604：根据下列方程计算仿射方向的互补间隙

步骤605：动态估计中心参数：

步骤7：校正步骤：对互补松弛条件进行修正：

相应地，L_x′修正为：

L_x″＝L_x′+▽_xg(x)(L^-1ΔZ^affΔl^aff-U^-1ΔW^affΔu^aff)

步骤8根据以下方程求解Δx,Δy,Δl,Δu,Δz,Δw：

其中：Δx、Δy、Δz、Δl、Δu、Δw分别为x、y、z、l、u、w的修正量。是一个数学符号，表示偏导的转置。

步骤9：确定原始变量和对偶变量的迭代步长分别为：

步骤10：更新原始变量及拉格朗日乘子；

步骤11：判断迭代次数是否大于K_max，若是，则计算不收敛，退出程序，若否，则置迭代次数加1，返回步骤5，一般K_max设置为50。

以下介绍本发明的两个实施算例：

算例一：

本发明采用经修改的IEEE-14节点标准算例，直流支路参数见表1、表2。基准值为100MVA。

表1：CSC各变量初值

表2：VSC各变量初值

采用本发明提供的预测校正内点法对CSC-HVDC和VSC-HVDC交直流混合系统进行最优潮流计算(直流支路两端控制方式为组合4)，仿真结果如下表3所示。

表3：交流系统结果

表4：直流系统结果

由表3可见，系统的总发电有功、无功都有所减少，各发电机发电量按经济指标进行分配，8259.68$/h降为8078.68$/h。表4列出了优化前后各CSC-HVDC和VSC-HVDC控制和状态变量值，由上述可知，测试算例中的CSC为定了K_T、这两个量的控制方式，VSC为定了U_vsc、P_s这两个量的控制方式，从表4、5可以看出，这四个量没有变化，说明了本发明提出的预测校正内点法OPF模型的有效性。

算例二：

电力系统在实际运行中，为了能够实现稳定、经济运行、控制潮流方向等功能，CSC-HVDC和VSC-HVDC常常需要在多种控制模式下运行。表5列出了不同算例在不同控

表5：不同控制方式下各发电费用

各算例在不同控制方式下得到的优化效果略有差别，主要原因是设置了不同的控制方式，实际上相当于增强了VSC-HVDC的运行约束。由各算例的优化效果可见该算法适用性较强，对各种控制方式下的系统都能够成功进行优化，而且优化效果显著，以IEEE-57节点为例，费用减少量达18.70%。

表6对在不同控制方式下，列出了原对偶内点法和预测校正内点法优化各算例时的迭代次数，表中法一表示原对偶内点法，法二表示预测校正内点法。

表6：原对偶内点法与预测校正内点法迭代次数比较

由此可知，在同等条件下，相较于原对偶内点法，预测-校正内点法只需在每次迭代时增加预测步和校正步的少许计算量，迭代次数却可以减少20%甚至更多。

Claims (1)

1.一种基于预测校正内点法的混合直流输电系统最优潮流方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：将CSC-HVDC和VSC-HVDC系统接入到电网，根据CSC和VSC稳态模型建立含混合直流输电的电力系统最优潮流模型：

obj.min.f(x)

s.t.h(x)＝0

$\underset{\‾}{g}\≤g\left(x\right)\≤\stackrel{\‾}{g}$

式中，f(x)为目标函数，h(x)为等式约束条件，g(x)为不等式约束条件；g为不等式约束条件的下限，为不等式约束条件的上限；

其中，CSC-HVDC和VSC-HVDC的稳态模型，可得到直流系统的潮流计算方程为：

${\mathrm{\Δd}}_{i1}=U_{dk}^{\csc }-K_{Tk}{U}_{\csc k}{\mathrm{cos\θ}}_{dk}+X_{ck}{I}_{dk}^{\csc }$

${\mathrm{\Δd}}_{i4}=P_{st}-\frac{\sqrt{6}}{2}{M}_t{U}_{vsct}{U}_{dt}^{vsc}\left|Y_i\right|sin({\mathrm{\δ}}_t-{\mathrm{\α}}_i)-U_{st}^2\left|Y_i\right|{\mathrm{sin\α}}_i$

${\mathrm{\Δd}}_{i5}=Q_{st}+\frac{\sqrt{6}}{2}{M}_t{U}_{vsct}{U}_{dt}^{vsc}\left|Y_i\right|cos({\mathrm{\δ}}_t-{\mathrm{\α}}_i)-U_{st}^2\left|Y_i\right|{\mathrm{cos\α}}_i$

${\mathrm{\Δd}}_{i6}=U_{dt}^{vsc}{I}_{dt}^{vsc}-\frac{\sqrt{6}}{2}{M}_t{U}_{vsct}{U}_{dt}^{vsc}\left|Y_i\right|\sin \left({\mathrm{\δ}}_t+{\mathrm{\α}}_i\right)+\frac{3}{2}{\left(M_t{U}_{dt}^{vsc}\right)}^2\left|Y_i\right|{\mathrm{sin\α}}_i;$

其中，分别为第k个CSC类型换流器的直流电压、直流电流；K_Tk为第k个CSC类型换流器的换流变压器的变比；U_csck为第k个CSC类型换流器的交流电压；θ_dk为第k个CSC类型换流器的控制角；X_ck为第k个CSC类型换流器的电抗；为第k个CSC类型换流器的的功率因数角；P_st和Q_st分别是交流系统注入第t个VSC类型换流器的换流变压器的有功功率和无功功率；M_t是第t个VSC类型换流器的的调制度，0＜M_t＜1；U_vsct为设置有第t个VSC类型换流器的交流节点电压幅值；是电网中第t个VSC类型换流器的的直流电压；是电网中第t个VSC类型换流器的VSC的直流电流；δ_t＝θ_st-θ_ct，θ_ct为第t个VSC类型换流器的输出基波电压的相角；U_st∠θ_st为与第t个VSC类型换流器连接的交流系统中交流母线的电压相量，θ_st为与第t个VSC类型换流器连接的交流系统中交流母线的电压相角；X_Lt是第t个VSC类型换流器的换流变压器的电抗，R_t为带有第t个VSC类型换流器的换流桥损耗的等效电阻；

步骤2：获取电力系统的网络参数；

步骤3：根据步骤1中建立的含混合直流输电的电力系统最优潮流模型，构造拉格朗日函数如下：

$L=f\left(x\right)-y^{T}h\left(x\right)-z^T\[g\left(x\right)-l-\underset{\‾}{g}\]-w^T\[g\left(x\right)+u-\stackrel{\‾}{g}\]-\mathrm{\μ}\underset{r^{\′}=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}ln\left(l_{r^{\′}}\right)-\mathrm{\μ}\underset{r^{\′}=1}{\overset{r}{\Σ}}ln\left(u_{r^{\′}}\right)$

其中，y＝[y₁,…,y_m]^T为等式约束的拉格朗日乘子，z＝[z₁,…,z_r]^T、w＝[w₁,…,w_r]^T分别为不等式约束的上、下限拉格朗日乘子，l＝[l₁,…,l_r]^T、u＝[u₁,…,u_r]^T分别为不等式约束的上、下限松弛变量，μ是扰动因子，其中，r'∈r，r'表示第r'个不等式约束，r表示不等式约束的总数；

步骤4：程序初始化，设置状态量设置初值、拉格朗日乘子初值和罚因子初值、节点次序优化、形成节点导纳矩阵、恢复迭代计数器k'＝1、设置精度要求和最大迭代次数K_max；

步骤5：定义对偶间隙C_Gap＝l^Tz-u^Tw，计算出C_Gap的值并判断C_Gap的值是否满足步骤4中设定的精度要求，若满足，则输出计算结果并停止执行后续步骤，若不满足，则继续执行步骤6；

步骤6：根据公式μ＝σC_Gap/2r计算扰动因子μ，其中，中心参数σ的动态估计方法为：

步骤601：设定中心参数σ＝0；

步骤602：求解以下方程，得到仿射方向Δx^aff,Δl^aff,Δu^aff,Δy^aff,Δz^aff,Δw^aff：

$\left[\begin{array}{cc}{H}^{\′}& {\▿}_{x}h\left(x\right)\\ {\▿}_x^{T}h\left(x\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}^{\mathrm{aff}}\\ {\mathrm{\Δy}}^{\mathrm{aff}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_x^{\′}\\ -L_y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}Z\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δz}}^{aff}\\ {\mathrm{\Δl}}^{aff}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L^{-1}{L}_l^{\mathrm{\μ}}\\ L_z+{\▿}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\Δ}x\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& U^{-1}W\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δw}}^{aff}\\ {\mathrm{\Δu}}^{aff}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-U^{-1}{L}_u^{\mathrm{\μ}}\\ -L_w-{\▿}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\Δ}x\end{array}\right]$

其中：Δx^aff、Δy^aff、Δz^aff、Δl^aff、Δu^aff、Δw^aff分别为x、y、z、l、u、w的仿射方向修正量，是一个数学符号，表示偏导的转置；

$L_x^{\′}=L_x+{\▿}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}({\mathrm{\μ}}_l^{\mathrm{\μ}}+{\mathrm{ZL}}_z)+U^{-1}(L_u^{\mathrm{\μ}}+{\mathrm{WL}}_w)];$

$H^{\′}=H-{\▿}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}Z-U^{-1}W]{\▿}_x^{T}g\left(x\right);$

$H=-[{\▿}_x^{2}f\left(x\right)-{\▿}_x^{2}h\left(x\right)y-{\▿}_x^{2}g\left(x\right)(z+w)];$

$\left\{\begin{array}{c}{L}_x={\▿}_{x}f\left(x\right)-{\▿}_{x}h\left(x\right)y-{\▿}_{x}g\left(x\right)\left(z+w\right)=0\\ L_y=h\left(x\right)=0\\ L_z=g\left(x\right)-l-\underset{\‾}{g}=0\\ L_w=g\left(x\right)+u-\stackrel{\‾}{g}=0\\ L_l=z-{\mathrm{\μL}}^{-1}e=0\\ L_u=-w-{\mathrm{\μU}}^{-1}e=0\end{array}\right.;$

式中：为f(x)对x的1阶导数，分别为h(x)、g(x)的Jacobian矩阵；

L＝diag(l₁,…,l_r)；U＝diag(u₁,…,u_r)；Z＝diag(z₁,…,z_r)；W＝diag(w₁,…,w_r)；L^-1＝diag(1/l₁,…,1/l_r)，U^-1＝diag(1/u₁,…,1/u_r)，e＝[1,…,1]^T；

步骤603：确定仿射方向的迭代步长：

${\mathrm{\&alpha;}}_p^{aff}=0.9995\min \left\{\underset{r^{\&prime;}}{\min }\left(\frac{-l_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;l}}_{r^{\&prime;}}^{aff}},{\mathrm{\&Delta;l}}_{r^{\&prime;}}^{aff}<0;\frac{-u_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;u}}_{r^{\&prime;}}^{aff}},{\mathrm{\&Delta;u}}_{r^{\&prime;}}^{aff}<0\right),1\right\}$

${\mathrm{\&alpha;}}_d^{aff}=0.9995\min \left\{\underset{r^{\&prime;}}{\min }\left(\frac{-z_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;z}}_{r^{\&prime;}}^{aff}},{\mathrm{\&Delta;z}}_{r^{\&prime;}}^{aff}<0;\frac{-w_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;w}}_{r^{\&prime;}}^{aff}},{\mathrm{\&Delta;w}}_{r^{\&prime;}}^{aff}>0\right),1\right\}$

步骤604：根据下列方程计算仿射方向的互补间隙

$C_{Gap}^{aff}=(l+{\mathrm{\&alpha;}}_p^{aff}{\mathrm{\&Delta;l}}^{aff})(z+{\mathrm{\&alpha;}}_d^{aff}{\mathrm{\&Delta;z}}^{aff})-(u+{\mathrm{\&alpha;}}_p^{aff}{\mathrm{\&Delta;u}}^{aff})(w+{\mathrm{\&alpha;}}_d^{aff}{\mathrm{\&Delta;w}}^{aff})$

步骤605：动态估计中心参数：

$\mathrm{\&sigma;}={(C_{Gap}^{aff}/C_{Gap})}^3$

步骤7：校正步骤：对互补松弛条件进行修正：

$Z\mathrm{\&Delta;}l+L\mathrm{\&Delta;}z=-L_l^{\mathrm{\&mu;}}-{\mathrm{\&Delta;Z}}^{aff}{\mathrm{\&Delta;l}}^{aff}$

$W\mathrm{\&Delta;}u+U\mathrm{\&Delta;}w=-L_u^{\mathrm{\&mu;}}-{\mathrm{\&Delta;W}}^{aff}{\mathrm{\&Delta;u}}^{aff}$

相应地，L'_x修正为：

$L_x^{\&prime;\&prime;}=L_x^{\&prime;}+{\&dtri;}_{x}g\left(x\right)(L^{-1}{\mathrm{\&Delta;Z}}^{\mathrm{aff}}\mathrm{\&Delta;}{l}^{\mathrm{aff}}-U^{-1}{\mathrm{\&Delta;W}}^{\mathrm{aff}}{\mathrm{\&Delta;u}}^{\mathrm{aff}})$

步骤8根据以下方程求解Δx,Δy,Δl,Δu,Δz,Δw：

$\left[\begin{array}{cc}{H}^{\&prime;}& {\&dtri;}_{x}h\left(x\right)\\ {\&dtri;}_x^{T}h\left(x\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;x}\\ \mathrm{\&Delta;y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_x^{\&prime;\&prime;}\\ -L_y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}Z\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;z}\\ \mathrm{\&Delta;l}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-L^{-1}{L}_l^{\mathrm{\&mu;}}& \\ L_z+{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;x}& \end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& U^{-1}W\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;w}\\ \mathrm{\&Delta;u}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-U^{-1}{L}_u^{\mathrm{\&mu;}}\\ -L_w-{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;x}\end{array}\right]$

其中：Δx、Δy、Δz、Δl、Δu、Δw分别为x、y、z、l、u、w的修正量；

步骤9：确定原始变量和对偶变量的迭代步长：

${\mathrm{\&alpha;}}_p=0.9995\min \left\{\min \left(\frac{-l_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;l}}_{r^{\&prime;}}},{\mathrm{\&Delta;l}}_{r^{\&prime;}}<0;\frac{-u_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;u}}_{r^{\&prime;}}},{\mathrm{\&Delta;u}}_{r^{\&prime;}}<0\right),1\right\}$

${\mathrm{\&alpha;}}_d=0.9995\min \left\{\min \left(\frac{-z_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;z}}_{r^{\&prime;}}},{\mathrm{\&Delta;z}}_{r^{\&prime;}}<0;\frac{-w_{r^{\&prime;}}}{{\mathrm{\&Delta;w}}_{r^{\&prime;}}},{\mathrm{\&Delta;w}}_{r^{\&prime;}}<0\right),1\right\}$

步骤10：更新原始变量及拉格朗日乘子；

步骤11：判断迭代次数是否大于K_max，若大于，则退出程序并输出计算不收敛的结果，若不大于，则置迭代次数k'值加1，返回步骤5。