CN104374317A - 一种基于激光跟踪仪多点测量技术的机床误差标定方法 - Google Patents

Abstract

一种基于激光跟踪仪多点测量技术的机床误差标定方法，属于精密测试技术领域。基于该测量方法，首先在机床上布置好待测点并编号。测量时移动标准球靶镜到各待测点，激光跟踪仪在待测点区域外进行测量，依次移动激光跟踪仪获取不同站位待测点的三维坐标值及相邻待测点间的干涉测长值，利用对干涉测长值的误差方程，利用最小二乘原理求解出各个站位的初始坐标值和对应站位下的初始距离值。利用各个站位点的初始值和待测点测量值以及站位到初始待测点的距离值，即可以通过干涉测长值误差方程的线性展开式求解出各个待测点的改正值。从而提高了机床上空间测量点的定位精度。

Description

一种基于激光跟踪仪多点测量技术的机床误差标定方法

技术领域

本发明涉及一种测量方法，特别是基于激光跟踪仪多点测量技术的机床误差标定方法。属于精密测试技术领域。 

背景技术

随着现代工业的不断发展，对机床的精度提出了越来越高的要求。机床的精度和精度稳定性是机床的重要技术指标。因为在工业测量、制造的过程中，由于受到磨损以及变形、安装等不同的因素影响，使得机床存在误差。 

提高机床精度已经受到很多研究者的重视。一般提高机床精度有两种基本方法，一种是误差预防，另一种是误差补偿法，其中误差补偿方法常见的有：实物基准测量法、激光球杆仪、正交光栅测量法、激光干涉测量法等，以激光干涉仪最为常用，激光干涉仪虽具有较高的测量精度，但对不同误差测量时需要搭建不同的测量光路，检测周期较长，不能满足高精度、快速检测要求。 

为此有必要发明一种适合于机床，能快速标定其误差的方法，以提高机床空间测量点的定位精度。 

发明内容

技术的机床误差标定方法，具有高精度、快速实时跟踪测量和操作简单等特点。 

为达到以上目的，本发明是采取如下技术方案予以实现的： 

一种基于激光跟踪仪多点测量技术的机床误差标定方法，包括下 述测量步骤： 

测量时，首先确定机床各轴的移动范围，然后在机床各个轴系移动范围内规划待测点，待测点的选取需要分布在整个机床的测量空间内，并按顺序编号：第1待测点，第2待测点…第n待测点，通常按待测点的排放顺序编号，编号顺序没有强制要求，但是要记住各个待测点对应的编号和总共待测点的个数n。然后用目标靶镜替换下机床的探针，将激光跟踪仪放置到机床测量空间的边缘，设该站位为激光跟踪仪的初始站位，站位摆放要满足不妨碍机床的移动路径，并保证各个站位下激光跟踪仪到靶镜具有直线视距，确保激光跟踪头能够跟随预先设置的待测点路径。 

通常将跟踪仪放置在机床测量台的周边，这样可以最大限度满足待测点的移动范围并确保激光跟踪仪的站位不影响机床的移动。 

控制机床移动到每个待测量点，并测量此时的干涉测长值并记录待测点在机床坐标系下的坐标值，下述所有坐标系的坐标值都是机床坐标系下的坐标值，依次移动激光跟踪仪到其余站位，假设站位个数为m，每个站位的坐标为(X_k,Y_k,Z_k),其中k＝1,2,…,m。在机床上布置了n个待测点，待测点的坐标为(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,…,n。站位个数需要满足等式m×n≥3n+4m。。依次移动激光跟踪仪到各个站位，并按待测点顺序测量完所有待测点直到完成所有站位的测量。 

设激光跟踪仪到机床的初始待测点的距离为，测量过程中激光跟踪仪获取待测点间相对干涉测量增量为l_i，在机床坐标下，选取编号为1的待测点为初始测量点，各个站位下的初始测量点均为此待测 点，当目标反射镜从初始测量点T₀(x,y,z),移动到任意待测点T_i(x,y,z)，激光跟踪仪干涉测长增量为l，则按空间两点直线方程可以建立如下关系式： 

$\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}=d_j+l_i---\left(1\right)$

上式中i和j分别是机床待测点数和激光跟踪仪站位数。假设激光跟踪仪在m个站位下测量待测点，在机床坐标系下，每个站位的坐标为(X_j,Y_j,Z_j)，其中j＝1,2,…,m。机床上有n个待测点，待测点的坐标为(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,…,n。 

实际测量时，l_i的真值可以利用高精度的干涉相对测距代替，则第j个站位下的第i个待测点的误差方程为: 

$v_{\mathrm{ij}}=(\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}-d_i)-l_i---\left(2\right)$

设待测点(x_i,y_i,z_i)集合为T，站位坐标(X_j,Y_j,Z_j)集合为P，激光仪干涉测长l_i集合为L，每个站位下到初始待测点的距离d_j集合为D；利用最小二乘方法处理等式(2)使得误差平方和E(T,P,D)最小： 

$E(T,P,D)=\underset{i=1}{\mathrm{\Σ}}\underset{j=1}{\mathrm{\Σ}}{v}_{\mathrm{ij}}^2(L,P,T,D)(i=\mathrm{1,2,3},...n,j=\mathrm{1,2,3},...m)---\left(3\right)$

由于等式(2)是一个非线性方程组，直接用等式(2)求解异常繁锁，采用下述方式给予解决： 

已假设有n个机床待测点，有m个激光跟踪仪站位数；在机床坐标系下，未知参数为3n个待测点坐标T_i(x_i,y_i,z_i)和3m个激光跟踪 站位坐标P_j(X_j,Y_j,Z_j)以及m个每个站位下到初始待测点的距离d_j。 

所以未知数一共为3n+4m，而每个站位可以提供n个干涉测长值，总共m×n个方程，为使等式有解，需要满足m×n≥3n+4m，对等式(2)进行线性展开可得： 

$\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{ij}}=L_{\mathrm{ij}}^o-d_j^0-l_i+\frac{(x_i^0-X_j^0)}{L_{\mathrm{ij}}^0}({\mathrm{\Δx}}_i-{\mathrm{\ΔX}}_j)+\frac{(y_i^0-Y_j^0)}{L_{\mathrm{ij}}^o}(\mathrm{\Δ}{y}_i-{\mathrm{\ΔY}}_j)\\ +\frac{(z_i^0-Z_j^0)}{L_{\mathrm{ij}}^o}({\mathrm{\Δz}}_i-{\mathrm{\ΔZ}}_j)-\mathrm{\Δ}{d}_j\end{array}---\left(4\right)$

其中： 

等式(4)即为优化解算模型，式中上标为零的变量为解算时需要给定的迭代初值，其中Δx_i，Δy_i，Δz_i，，，分别为参考坐标系待测点的坐标改正值与激光跟踪仪站位坐标质点的改正值，为每个站位质点到初始待测点的距离的改正值。实际测量中初值可以直接读取参考坐标系下需要优化待测点的三维坐标值。而激光跟踪仪各个站位质点的坐标初值，，和每个站位质点到初始待测点的距离初值需要用如下方法来求取： 

设激光跟踪仪站位坐标的近似值作为迭代初值，所以不妨设需要求取改正值的待测点坐标暂时为真值，则等式(1)中待测点坐标T_i(x,y,z)和干涉测长增量为已知变量，利用每个站位下的待测点坐标值和干涉测长增量，分别标定激光跟踪仪质点在各个站位下的坐标值和对应站位下质点到的初始待测点距离值，当j＝1时，则等式(1)变为： 

$\sqrt{{(x_i-X_1)}^2+{(y_i-Y_1)}^2+{(z_i-Z_1)}^2}=d_1+l_i---\left(5\right)$

将等式(5)写成误差方程： 

$v_i=\sqrt{{(x_i-X_1)}^2+{(y_i-Y_1)}^2+{(z_i-Z_1)}^2}-(d_1+l_i)---\left(6\right)$

其中，,,为激光跟踪仪在机床坐标系下第一个站位的坐标值，(x_i,y_i,z_i)为对应站位下测量的待测点坐标值，为第1站位下各个待测点对应的误差值。 

设对上式进行最小二乘求解可得： 

$\begin{array}{c}\frac{{\∂v}_i^2}{\∂X_1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2)-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2{X}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{x}_i{Y}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{x}_i{Z}_1\\ -2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{x}_i{d}_1+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i}k=0\end{array}---\left(7\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\∂v}_i^2}{\∂Y_1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2)-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i{X}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i^2{Y}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{y}_i{Z}_1\\ -2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{y}_i{d}_1+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_{i}k=0\end{array}---\left(8\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\∂v}_i^2}{\∂Z_1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2)-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{z}_i{X}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y_i{z}_{i}Y}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z_i^{2}Z}_1\\ -2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{z}_i{d}_1+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_{i}k=0\end{array}---\left(9\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\∂v}_i^2}{\∂d_1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2)-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{l}_i{X}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{l_{i}Y}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{l}_i{Z}_1\\ -2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l_i^{2}d}_1+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_{i}k=0\end{array}---\left(10\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\∂v}_i^2}{{\∂k}_1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2)-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{X}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{Y}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{Z}_1\\ -2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{d}_1+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}k=0\end{array}---\left(11\right)$

联立等式(7)和(11)可求得机床坐标系下第1站位的坐标值和对应站位下的初始距离值d，同理当。时，可以求得其余站位在机床坐 标系的坐标值和对应站位下的初始距离值d。利用各个站位点的初始值和待测点测量值以及对应站位到初始待测点的距离值，即可以通过等式(4)求解出各个待测点的改正值。 

将改正值加上原测量点的三维值即为最终优化后的高精度三维坐标值。 

综上，本发明方法基于激光跟踪仪多点定位测量技术，利用激光跟踪仪高精度测长值作为约束，能有效提高机床空间测量点三维坐标值的精度。 

附图说明

图1为激光跟踪多点测量模型示意图。 

图2是基于激光跟踪仪多点测量技术的机床误差标定方法的示意图。 

图3为利用激光多点测量优化模型求取的各个坐标改正值曲线图 

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明： 

1)如图2所示，通过机床布置若干待测点，规划好待测点的移动路径并编号。然后把主轴上的探针换成激光跟踪仪的标准球靶镜，按待测点编号移动目标靶镜测量待测点。依次移动激光跟踪仪到不同的站位下，再次按相同编号顺序重复测量待测点。 

2)假设有96个待测点，即n＝96。测量时一共移动了5次站位， 即m＝5。在机床坐标系下，待测点的坐标值为Ti(x_i,y_i,z_i)，测出相邻待测点间的干涉测长值l_i，然后利用每个站位下的待测点坐标值T _i(x_i,y_i,z_i)和干涉测长值l_i，通过等式(7)(11)的联立求解可求得激光跟踪仪站位坐标近似值和和对应站位下激光跟踪仪到初始待测点距离的近似值，同理可求得激光跟踪仪在其余站位下的站位坐标近似值值，进而作为等式(4)迭代求解的变量初值。将激光跟踪仪各个站位近似值和待测点测量值以及站位到初始待测点距离的近似值代入等式(4)，即可求解出各个待测点的改正值。利用求取的待测点改正值加上参考坐标系下直接测量得到的待测点初值，即为修正后的高精度待测点坐标值。 

3)用2)中的方法依次求出5个站位的初始值和以及对应站位到初始待测点的距离值，加上待测点的坐标测量值，即可通过等式(4)求解出各个待测点的改正值。将改正值加上待测量点的三维值即为最终优化后的高精度三维坐标值。 

实施例2： 

为了验证激光跟踪多点测量优化解算模型的有效性和正确性，进行如下实验，激光跟踪仪在5个站位下测量由三坐标测量机提供的36个空间待测点，其坐标值如表1所示。 

表1 三坐标测量机提供的36测量点(单位：mm) 

总共测量机床三个平面，每个平面测量12个待测点，三平面的Z轴坐标分别为-550.738mm、-400.738mm、-250.738mm，以Z＝-550.738mm的平面为起始测量平面，顺时针在该平面移动余下12测量点并编号，编号1的首层起始点空间坐标值为(600.498mm，550.831mm，-550.738mm)，编号13的第二层起始点坐标值为(600.498mm，550.831mm，-400.738mm)，编号25的第三层起始点坐标值为(600.498mm，550.831mm，-250.738mm)。对激光多点测量优化模型求取的各个坐标改正值绘制如图3所示的曲线图。从图中可以看出，机床的三轴测量误差在0.01mm到-0.008mm之间。 

Claims (1)

1.一种基于激光跟踪仪多点测量技术的机床误差标定方法，包括下述测量步骤：

测量时，首先确定机床各轴的移动范围，然后在机床各个轴系移动范围内规划待测点，待测点的选取需要分布在整个机床的测量空间内，并按顺序编号：第1待测点，第2待测点…第n待测点，通常按待测点的排放顺序编号，编号顺序没有强制要求，但是要记住各个待测点对应的编号和总共待测点的个数n；然后用目标靶镜替换下机床的探针，将激光跟踪仪放置到机床测量空间的边缘，设该站位为激光跟踪仪的初始站位，站位摆放要满足不妨碍机床的移动路径，并保证各个站位下激光跟踪仪到靶镜具有直线视距，确保激光跟踪头能够跟随预先设置的待测点路径；

通常将跟踪仪放置在机床测量台的周边，这样可以最大限度满足待测点的移动范围并确保激光跟踪仪的站位不影响机床的移动；

控制机床移动到每个待测量点，并测量此时的干涉测长值并记录待测点在机床坐标系下的坐标值，下述所有坐标系的坐标值都是机床坐标系下的坐标值，依次移动激光跟踪仪到其余站位，假设站位个数为m，每个站位的坐标为(X_k,Y_k,Z_k),其中k＝1,2,…,m；在机床上布置了n个待测点，待测点的坐标为(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,…,n；站位个数需要满足等式m×n≥3n+4m；；依次移动激光跟踪仪到各个站位，并按待测点顺序测量完所有待测点直到完成所有站位的测量；

设激光跟踪仪到机床的初始待测点的距离为d_j，测量过程中激光跟踪仪获取待测点间相对干涉测量增量为l_i，在机床坐标下，选取编号为1的待测点为初始测量点，各个站位下的初始测量点均为此待测点，当目标反射镜从初始测量点T₀(x,y,z),移动到任意待测点T_i(x,y,z)，激光跟踪仪干涉测长增量为l，则按空间两点直线方程可以建立如下关系式：

$\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}=d_j+l_i---\left(1\right)$

上式中i和j分别是机床待测点数和激光跟踪仪站位数；假设激光跟踪仪在m个站位下测量待测点，在机床坐标系下，每个站位的坐标为(X_j,Y_j,Z_j)，其中j＝1,2,…,m；机床上有n个待测点，待测点的坐标为(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,…,n；

实际测量时，l_i的真值可以利用高精度的干涉相对测距代替，则第j个站位下的第i个待测点的误差方程为:

$v_{\mathrm{ij}}=(\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}-d_i)-l_i---\left(2\right)$

设待测点(x_i,y_i,z_i)集合为T，站位坐标(X_j,Y_j,Z_j)集合为P，激光仪干涉测长l_i集合为L，每个站位下到初始待测点的距离d_j集合为D；利用最小二乘方法处理等式(2)使得误差平方和E(T,P,D)最小：

$E(T,P,D)=\underset{i=1}{\mathrm{\Σ}}\underset{j=1}{\mathrm{\Σ}}{v}_{\mathrm{ij}}^2(L,P,T,D)(i=\mathrm{1,2,3},...n,j=\mathrm{1,2,3},...m)---\left(3\right)$

由于等式(2)是一个非线性方程组，直接用等式(2)求解异常繁锁，采用下述方式给予解决：

已假设有n个机床待测点，有m个激光跟踪仪站位数；在机床坐标系下，未知参数为3n个待测点坐标Ti(x_i,y_i,z_i)和3m个激光跟踪站位坐标P_j(X_j,Y_j,Z_j)以及m个每个站位下到初始待测点的距离d_j；所以未知数一共为3n+4m，而每个站位可以提供n个干涉测长值，总共m×n个方程，为使等式有解，需要满足m×n≥3n+4m，对等式(2)进行线性展开可得：

$\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{ij}}=L_{\mathrm{ij}}^o-d_j^0-l_i+\frac{(x_i^0-X_j^0)}{L_{\mathrm{ij}}^0}({\mathrm{\Δx}}_i-{\mathrm{\ΔX}}_j)+\frac{(y_i^0-Y_j^0)}{L_{\mathrm{ij}}^o}({\mathrm{\Δy}}_i-{\mathrm{\ΔY}}_j)\\ +\frac{(z_i^0-Z_j^0)}{L_{\mathrm{ij}}^o}({\mathrm{\Δz}}_i-{\mathrm{\ΔZ}}_j)-{\mathrm{\Δd}}_j\end{array}---\left(4\right)$

其中： $L_{\mathrm{ij}}^0={({(x_i^0-X_j^0)}^2+{(y_i^0-Y_j^0)}^2+{(z_i^0-Z_j^0)}^2)}^{1/2}$

等式(4)即为优化解算模型，式中上标为零的变量为解算时需要给定的迭代初值，其中Δx_i，Δy_i，Δz_i，ΔX_j，ΔY_j，ΔZ_j分别为参考坐标系待测点的坐标改正值与激光跟踪仪站位坐标质点的改正值，Δd_j为每个站位质点到初始待测点的距离的改正值；实际测量中初值可以直接读取参考坐标系下需要优化待测点的三维坐标值；而激光跟踪仪各个站位质点的坐标初值和每个站位质点到初始待测点的距离初值需要用如下方法来求取：

设激光跟踪仪站位坐标的近似值作为迭代初值，所以不妨设需要求取改正值的待测点坐标暂时为真值，则等式(1)中待测点坐标T_i(x,y,z)和干涉测长增量l_i为已知变量，利用每个站位下的待测点坐标值和干涉测长增量，分别标定激光跟踪仪质点在各个站位下的坐标值P_j(x,y,z)和对应站位下质点到的初始待测点距离值d_j，当j＝1时，则等式(1)变为：

$\sqrt{{(x_i-X_1)}^2+{(y_i-Y_1)}^2+{(z_i-Z_1)}^2}=d_1+l_i---\left(5\right)$

将等式(5)写成误差方程：

$v_i=\sqrt{{(x_i-X_1)}^2+{(y_i-Y_1)}^2+{(z_i-Z_1)}^2}-(d_1+l_i)---\left(6\right)$

其中，X₁,Y₁,Z₁为激光跟踪仪在机床坐标系下第一个站位的坐标值，(x_i,y_i,z_i)为对应站位下测量的待测点坐标值i＝1,2,…,n，v_i为第1站位下各个待测点对应的误差值；

设 $k=X_1^2+{Y_1}^2+Z_1^2-d_1^2,$ 对上式进行最小二乘求解可得：

$\begin{array}{c}\frac{{\∂v}_i^2}{{\∂X}_1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2)-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2{X}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{x}_i{Y}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{x}_i{Z}_1\\ -2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{x}_i{d}_1+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i}k=0\end{array}---\left(7\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\∂v}_i^2}{{\∂Y}_1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2)-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i{X}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i^2{Y}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{y}_i{Z}_1\\ -2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{y}_i{d}_1+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_{i}k=0\end{array}---\left(8\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\∂v}_i^2}{{\∂Z}_1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2)-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{z}_i{X}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{z}_i{Y}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i^2{Z}_1\\ -2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{z}_i{d}_1+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_{i}k=0\end{array}---\left(9\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\∂v}_i^2}{{\∂d}_1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2)-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{l}_i{X}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{l}_i{Y}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{l}_i{Z}_1\\ -2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i^2{d}_1+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_{i}k=0\end{array}---\left(10\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\∂v}_i^2}{{\∂k}_1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2)-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{X}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{Y}_1-2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{Z}_1\\ -2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{d}_1+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}k=0\end{array}---\left(11\right)$

联立等式(7)和(11)可求得机床坐标系下第1站位的坐标值和对应站位下的初始距离值d，同理当j＝2,3,…,m时，可以求得其余站位在机床坐标系的坐标值和对应站位下的初始距离值d；利用各个站位点的初始值和待测点测量值以及对应站位到初始待测点的距离值，即可以通过等式(4)求解出各个待测点的改正值；

将改正值加上原测量点的三维值即为最终优化后的高精度三维坐标值。