CN104238364A - 二重随机跳变系统的有限短时间控制方法 - Google Patents

Abstract

二重随机跳变系统的有限时间控制方法，涉及多重随机跳变系统的多重概率描述以及随机系统在有限短时间内的暂态性能控制。首先，用高斯概率密度函数来描述二重随机跳变系统的概率随机分布特性；其次，通过放宽对系统李雅普诺夫能量函数在采样时刻严格递减的条件，定义新的二重随机跳变过程在各模态下有限短时间稳定性定义；再次，针对系统的能量有界干扰设计控制器，使得闭环系统的过程轨迹在平衡点的一定范围内受限运动，从而放弃对渐进稳定的要求。本发明针对生产实际要求的短时间工作系统，考虑二重随机跳变现象，通过放宽对系统能量函数的要求，从时间角度为降低一般渐进稳定的工程保守性提供了思路。

Description

二重随机跳变系统的有限短时间控制方法

技术领域

本发明涉及一种随机跳变系统的有限时间控制方法，特别是针对二重随机跳变过程的有限短时间控制方法，该方法可用于生化系统、网络系统、机器人系统、通信系统、经济系统、航空航天等领域。

背景技术

长期以来控制理论关注的是系统在无限时域的稳定特性，但在工程系统中，暂态特性可能更显重要。一方面，一个渐进稳定的系统并不意味着良好的过度特性，有时甚至出现剧烈震荡，无法满足工业生产要求；另一方面，很多实际系统，例如生化系统、经济系统、机器人系统等短时间工作系统，人们除了关注其在无限时域的渐进稳定，更感兴趣的常常是其能否在有限短时间内满足暂态要求。为此，Dorato于1961年提出了有限短时间稳定的概念，进而分析了系统的有限时间控制问题，该思想的出发点是在生产实际要求的短时间内，设法使系统状态轨迹在平衡点的一定范围内受限运动，从而放弃对渐进稳定的要求。本质上，这是从时间的角度，为降低一般渐进稳定的工程保守性提供了思路，不难看出，工程背景下的有限时间稳定问题具有普遍研究价值。

最初，有限时间稳定问题针对线性系统提出，随后有限时间稳定被推广到存在扰动的非线性系统中，提出了有限时间BIBO稳定概念，1966年Kushner研究了随机系统的有限时间稳定。其后，有限时间控制得到了广泛研究。1974年Filippo等人提出有限时间条件下最优线性二次型鲁棒控制器设计；1997年Drato等人将线性矩阵不等式引入到有限时间分析与设计中，给出了线性系统状态反馈有限时间控制律。随着研究工作的深入，Amato等分别给出了基于有限时间稳定的极点配置、动态和静态输出反馈等设计方法。后来，线性系统研究成果借助于反馈线性化应用到非线性系统，奇异系统、Markov跳变系统也同样得到了学者的广泛关注。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：针对实际工程过程中存在的短时间工作系统以及二重随机跳变过程，用高斯过程来描述跳变系统的二重随机跳变特性，考虑外部干扰能量有界，提供一种基于高斯概率密度函数的有限短时间控制方法，使得系统状态轨迹在平衡点的一定范围内受限运动，从时间角度为降低一般渐进稳定的工程保守性提供了方法。

本发明的技术解决方案为：首先，针对二重随机跳变系统，用高斯随机分布来描述跳变系统的二重随机跳变特性；其次，从能量角度，通过允许系统的李雅普诺夫能量函数在采样时刻递增，定义跳变系统各模态下新的有限短时间稳定性定义；再次，假设外部干扰能量有界，设计控制器使得二重跳变下的各模态状态轨迹在平衡点的一定范围内受限运动并具有干扰抑制能力，具体步骤如下：

(1)二重随机跳变过程描述：

a.对二重随机跳变过程构造跳变系统模型；

b.用高斯随机分布来描述随机跳变过程的二重跳变特性；

c.建立二重随机跳变过程转移概率密度函数矩阵；

(2)二重随机特性下各子系统有限短时间稳定性定义：

a.给出各模态下的初始状态的受限空间；

b.根据初始空间，结合轨迹要求，通过新的李雅普诺夫能量函数条件，定义二重随机跳变过程在各模态下有限短时间稳定性定义；

(3)基于二重随机跳变概率的有限短时间控制器设计：

a.利用系统的状态信息，构造状态反馈控制器，并代入(1)中构造的模型得到闭环控制系统；

b.充分利用闭环控制系统的状态信息，选取李雅普诺夫泛函；

c.基于新的李雅普诺夫能量函数条件设计控制器，利用二重随机过程的跳变转移概率矩阵信息，获取闭环跳变系统在有限短时间内各模态的状态轨迹受限运动的充分条件；

d.根据上述方法，结合线性矩阵不等式技术，求取控制器的增益；

本发明针对实际工程应用中普遍存在的二重随机跳变系统以及短时间工作系统，首次设计控制器使得闭环跳变系统有限短时间稳定的同时还要具有干扰抑制能力，与现有技术相比的优点在于：

1.本发明用高斯概率密度函数对二重随机跳变过程进行描述，具有实际意义。

2.本发明通过允许李雅普诺夫能量函数在采样时刻递增，定义了新的二重随机跳变过程确保各子系统有限短时间稳定的定义。

3.本发明利用线性矩阵不等式技术设计控制器，一方面不仅计算简单，便捷可行，另一方面，不仅能够使系统的状态轨迹在平衡点的一定范围内受限运动，而且能针对所有频段的外部干扰信号具有干扰抑制能力。

4.本发明设计的控制器还可以应用到不确定系统、时滞系统等复杂工业过程，具有普适性。

附图说明

图1二重随机跳变过程模态图

图2系统状态轨迹响应曲线图

具体实施方式

下面结合附图所示实施例，对本发明作进一步详细描述。

需要强调的是，本发明涉及的技术并不仅适用于下面提及的例子，这些技术可以被用于任何适用的随机跳变控制系统。

本发明基于二重随机跳变过程的有限短时间控制，包括以下步骤：

(1)二重随机跳变过程描述

(2)二重随机特性下各子系统有限短时间稳定性定义

(3)基于二重随机跳变概率的有限短时间控制器设计

(4)仿真实验验证

下面介绍具体步骤：

(1)二重随机跳变过程描述

考虑如下一类离散跳变系统：

x(k+1)＝A(r_k)x(k)+B(r_k)u(k)+B_w(r_k)w(k)

z(k)＝C(r_k)x(k)+D(r_k)u(k)+D_w(r_k)w(k)

x(k)＝x₀,r_k＝r₀,k＝0

其中，x(k)∈Rⁿ是系统的状态向量；u(k)∈R^m是系统的控制向量；是外部扰动信号；z(k)∈R^l是系统的被控输出；A(r_k)，B(r_k)，B_w(r_k)，C(r_k)，D(r_k)，D_w(r_k)分别为已知的与模态r_k相关的适当维数的系数矩阵，其中r_k表示系统的模态，为在有限集合Μ＝{1,2,...,s}中随时间k取值的二重随机跳变过程，其跳变转移概率定义如下：

${\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}=P_r(r_k=j|r_{k-1}=i,k)$

式中表示从模态i跳变到模态j的转移概率。为了方便起见，当r_k＝i时，分别用A_i，B_i，B_wi，C_i，D_i，D_wi表征A(r_k)，B(r_k)，B_w(r_k)，C(r_k)，D(r_k)，D_w(r_k)。

不失一般性，用高斯随机分布{ξ_k,k∈K}来描述二重随机跳变过程的连续时变特性，其受限高斯概率密度函数表征为：

$p\left({\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)=\frac{\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}}f\left(\frac{{\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}-{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}}\right)}{F\left(\frac{1-{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}}\right)-F\left(\frac{0-{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}}\right)}$

式中f(·)为高斯概率密度函数的标准分布；F(·)为f(·)的累积分布函数，μ_ij和σ_ij为转移概率矩阵中各元素的高斯概率密度函数的均值和方差信息。基于上述描述，转移概率密度函数矩阵可表达为下式：

其中 $n({\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}},{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}})=p\left({\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)$ 为的受限高斯概率密度函数。

(2)二重随机特性下各子系统有限短时间稳定性定义：

定义：设u(k)＝0以及w(k)＝0，被控二重随机跳变系统的各子系统是关于(c₁ c₂ N R_i)有限时间稳定的，其中c₁是初始空间，c₂是受限空间，且满足c₁＜c₂，R_i＞0，N为要求的时间常数，如果下列条件成立：

$X_0^T{R}_i{x}_0\&le;c_1\&DoubleRightArrow;x_k^T{R}_i{x}_k<c_2,\&ForAll;k\&Element;\{\mathrm{1,2},...,N\}$

对于上述定义，如果考虑系统受到外部干扰的影响，并假设干扰信号能量有界，则对于u(k)＝0，被控系统的各子系统是关于(c₁ c₂N R_i d)有限时间有界的，其中d为未知输入信号的上界，如果对于满足能量有界的干扰信号，均有上述条件成立。

同样，如果对于上述定义，使用状态反馈控制，则被控系统的各子系统是关于(c₁ c₂ N R_i d)有限时间可镇定的，如果对于满足能量有界的干扰信号，均有上述条件成立。

上述有限时间稳定的定义与Lyapunov意义下的渐进稳定是两个不同的概念，两者并无直接的关联，系统Lyapunov意义下的稳定并不能确保有限时间稳定；同样，有限时间稳定也不能保证Lyapunov渐进稳定。

(3)基于二重随机跳变概率的有限短时间控制器设计：

a.针对第(1)步中构造的二重随机跳变系统，设计如下的状态反馈控制器

u(k)＝-K(r_k,ξ_k)x(k)

其中为待求控制器增益。将上式带入原系统，可以得到如下的闭环控制系统：

$x_{k+1}={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k}{x}_k+B_{\mathrm{wi}}{w}_k$

$z_k={\stackrel{\&OverBar;}{C}}_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k}{x}_k+D_{\mathrm{wi}}{w}_k$

其中 ${\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k}=A_i-B_i{K}_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k},{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k}=C_i-D_i{K}_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k}.$

b.选取李雅普诺夫泛函V(x_k,r_k,ξ_k)＝x^TP(r_k,ξ_k)x，其中为依赖于模态和高斯分布的对称正定矩阵。

c.通过放宽对系统李雅普诺夫能量函数的要求：

$V\left(x_{k+1}\right)<(1+\mathrm{\&alpha;})V\left(x_k\right)+{\mathrm{\&gamma;}}^2{w}_k^T{w}_k$

并基于有限稳定性定义，通过从k时刻到初始时刻的递推，使系统状态轨迹限定在给定范围。

d.结合随机跳变理论，获取控制器存在的充分条件；

结论：如果对于给定标量α≥0及γ＞0，闭环控制系统有限时间有界，且对所有满足能量有界条件的外部干扰满足性能指标如果存在对称正定矩阵以及矩阵使得如下的矩阵不等式成立

$\left[\begin{array}{cccc}-(1+\mathrm{\&alpha;})X_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k}& 0& {(C_i{X}_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k}-D_i{Y}_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k})}^T& \sqrt{(1+\mathrm{\&alpha;})}{U}_{1i}^T\\ *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I& D_{\mathrm{wi}}^T& \sqrt{(1+\mathrm{\&alpha;})}{U}_{2i}^T\\ *& *& -I& 0\\ *& *& *& -Z\end{array}\right]<0$

${\mathrm{\&lambda;R}}_i^{-1}<X_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k}<R_i^{-1}$

$\left[\begin{array}{cc}-c_2& \sqrt{{(1+\mathrm{\&alpha;})}^N{c}_1}\\ \sqrt{{(1+\mathrm{\&alpha;})}^N{c}_1}& -\mathrm{\&lambda;}\end{array}\right]<0$

其中

$U_{2i}^T=[\sqrt{E\left({\mathrm{\&pi;}}_{i1}^{\left({\mathrm{\&xi;}}_k\right)}\right)}{B}_{\mathrm{wi}}^T,...,\sqrt{E\left({\mathrm{\&pi;}}_{\mathrm{is}}^{\left({\mathrm{\&xi;}}_k\right)}\right)}{B}_{\mathrm{wi}}^T]$

$Z=[X_{1,{\mathrm{\&xi;}}_k},...,X_{s,{\mathrm{\&xi;}}_k}]$

那么，闭环跳变系统有限时间稳定稳定且满足H_∞性能指标。进而，可以得到具有γ干扰抑制水平的H_∞控制器增益 $K_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k}=Y_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k}{X}_{i,{\mathrm{\&xi;}}_k}^{-1}.$

注意到系统能量不等式条件与现有的渐进稳定条件即系统能量在每一采样时刻严格递减相比，此处不要求系统能量在每一采样时刻严格递减，允许系统能量有所递增。因此有限时间稳定问题的本质，可以看作是通过放宽对能量严格递减的要求，达到减小所得结果保守性条件的目的。

由于在一定的时间区域，系统最终的状态轨迹不能超过给定的界限c₂，即因此虽然可以允许系统的能量有所增加，但不能超过一定的界限，此界限可由结论中的线性矩阵不等式确保。

另外值得注意的是基于有限短时间稳定的H_∞控制器设计的本质在于不要求系统状态轨迹回归到平衡点，只要在一定的时间区域内按照要求受限运动，即满足条件因此，从上述条件可以看到，有限时间稳定实际是从时间角度，将系统状态回到平衡点的要求放松到在一定范围内受限运动，来降低一般渐进稳定的工程保守性。

(4)仿真实验验证

为了验证所提方法的有效性，考虑如下两模态参数的离散Markov跳变系统描述：

$A_1=\left[\begin{array}{cc}0& -0.45\\ 0.9& 0.9\end{array}\right],A_2\left[\begin{array}{cc}0& -0.29\\ 0.9& 1.26\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\end{array}\right],B_2\left[\begin{array}{c}0\\ 0.4\end{array}\right]$

$B_{w1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.2\end{array}\right],B_{w2}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.3\end{array}\right],C_1=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.4\end{array}\right],C_2=\left[\begin{array}{cc}0.3& 0.1\end{array}\right]$

D₁＝0.9,D₂＝-0.6,D_w1＝0.5,D_w2＝-0.5

同时，反映两个模态之间跳变关系的转移概率矩阵的高斯分布给定如下：

$N=\left[\begin{array}{cc}n\left(\mathrm{0.8,0.7}\right)& 1-n\left(\mathrm{0.8,0.7}\right)\\ 1-n\left(\mathrm{0.9,0.1}\right)& n(0.9,0.1)\end{array}\right]$

令γ＝0.8，根据结论中的主要结果，利用MATLAB LMI Toolbox求解结论中的三个线性矩阵不等式，得到各模态下的有限时间H_∞控制器增益为：

$K_{1,{\mathrm{\&pi;}}_{\mathrm{ij}}^k}=\left[\begin{array}{cc}0.1982& 0.2414\end{array}\right],K_{2,{\mathrm{\&pi;}}_{\mathrm{ij}}^k}=\left[\begin{array}{cc}0.1962& -0.2559\end{array}\right]$

假设系统的初始状态x₀＝[-0.1 -0.3]^T，外界干扰输入为w(k)＝0.5exp(-0.1k)sin(0.01πk)，将设计的有限时间H_∞控制器应用于系统被控系统进行仿真实验，得到系统模态及状态轨迹响应曲线如图1和图2所示。从图1和图2中可以看出，闭环控制系统轨迹在一定范围内受限运动稳定，且对于系统外部干扰具有指定的干扰抑制水平。

Claims (5)

1.二重随机跳变系统的有限短时间控制方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤： 

(1)二重随机跳变过程描述 

考虑如下一类离散跳变系统 

x(k+1)＝A(r_k)x(k)+B(r_k)u(k)+B_w(r_k)w(k) 

z(k)＝C(r_k)x(k)+D(r_k)u(k)+D_w(r_k)w(k) 

x(k)＝x₀,r_k＝r₀,k＝0 

其中，x(k)∈Rⁿ是系统的状态向量；u(k)∈R^m是系统的控制向量；是外部扰动信号；z(k)∈R^l是系统的被控输出；A(r_k)，B(r_k)，B_w(r_k)，C(r_k)，D(r_k)，D_w(r_k)分别为已知的与模态r_k相关的适当维数的系数矩阵，其中r_k表示系统的模态，为在有限集合Μ＝{1,2,...,s}中随时间k取值的二重随机跳变过程，其跳变转移概率定义如下： 

式中表示从模态i跳变到模态j的转移概率。为了方便起见，当r_k＝i时，分别用A_i，B_i，B_wi，C_i，D_i，D_wi表征A(r_k)，B(r_k)，B_w(r_k)，C(r_k)，D(r_k)，D_w(r_k)。 

不失一般性，用高斯随机分布{ξ_k,k∈K}来描述二重随机跳变过程的连续时变特性，其受限高斯概率密度函数表征为： 

式中f(·)为高斯概率密度函数的标准分布；F(·)为f(·)的累积分布函数，μ_ij和σ_ij为转移概率矩阵中各元素的高斯概率密度函数的均值和方差信息。基于上述描述，转移概率密度函数矩阵可表达为下式： 

其中为的受限高斯概率密度函数。 

(2)二重随机特性下各子系统有限短时间稳定性定义： 

定义：设u(k)＝0以及w(k)＝0，被控二重随机跳变系统的各子系统是关于(c₁ c₂ N R_i)有限时间稳定的，其中c₁是初始空间，c₂是受限空间，且满足c₁＜c₂，R_i＞0，N为要求的时间常数，如果下列条件成立： 

对于上述定义，如果考虑系统受到外部干扰的影响，并假设干扰信号能量有界，则对于u(k)＝0，被控系统的各子系统是关于(c₁ c₂N R_i d)有限时间有界的，其中d为未知输入信号的上界，如果对于满足能量有界的干扰信号，均有上述条件成立。 

同样，如果对于上述定义，使用状态反馈控制，则被控系统的各子系统是关于(c₁ c₂ N R_i d)有限时间可镇定的，如果对于满足能量有界的干扰信号，均有上述条件成立。 

上述有限时间稳定的定义与Lyapunov意义下的渐进稳定是两个不同的概念，两者并无直接的关联，系统Lyapunov意义下的稳定并不能确保有限时间稳定；同样，有限时间稳定也不能保证Lyapunov渐进稳定。 

(3)基于二重随机跳变概率的有限短时间控制器设计： 

a.针对第(1)步中构造的二重随机跳变系统，设计如下的状态反馈控制器 

u(k)＝-K(r_k,ξ_k)x(k) 

其中为待求控制器增益。将上式带入原系统，可以得到如下的闭环控制系统： 

其中

b.选取李雅普诺夫泛函V(x_k,r_k,ξ_k)＝x^TP(r_k,ξ_k)x，其中为依赖于模态和高斯分布的对称正定矩阵。 

c.通过放宽对系统李雅普诺夫能量函数的要求： 

并基于有限稳定性定义，通过从k时刻到初始时刻的递推，使系统状态轨迹限定在给定范围。 

d.结合随机跳变理论，获取控制器存在的充分条件。 

2.根据权利要求1所述的二重随机跳变系统的有限短时间控制方法，其特征在于，所述方法通过放宽对李雅普诺夫能量函数的要求，即不要求李雅普诺夫能量函数在采样时刻严格递减，允许其有所递增，达到减小所得结果保守性的目的。 

3.根据权利要求1所述的二重随机跳变系统的有限短时间控制方法，其特征在于，所述方法用高斯分布过程描述跳变系统的二重随机跳变特性，直接利用高斯概率密度函数的均值和方差信息设计控制器，进一步降低了所得结果的保守性。 

4.根据权利要求1所述的二重随机跳变系统的有限短时间控制方法，其特征在于，所述方法根据初始空间，结合轨迹要求，通过新的李雅普诺夫能量函数条件，定义了二重随机跳变系统过程在各模态下有限短时间稳定的定义。 

5.根据权利要求1所述的二重随机跳变系统的有限短时间控制方法，其特征在于，所设计的有限时间控制器能使二重随机跳变系统各模态状态轨迹在有限短时间内受限运动，并对所有频段的外部干扰信号具有一定的干扰抑制能力。