CN104298126A - 非齐次Markov跳变控制系统的观测器设计方法 - Google Patents

Abstract

非齐次Markov跳变控制系统的观测器设计方法，及随机多模态系统各模态间随机跳变的时变概率描述、随机系统在无穷时间区域内的可镇定特性以及状态不可测情形下的观测器设计，包括以下步骤：用非齐次Markov链对各模态间的随机跳变进行描述；用高斯概率密度函数来描述非齐次Markov链即跳变概率的随机分布特性；观测器设计以及干扰抑制控制器设计。本发明考虑系统状态不可测情形下，利用高斯概率密度函数的均值和方差信息，结合线性矩阵不等式技术设计观测器以及控制器，使得闭环多模态系统实现稳定并具有指定的干扰抑制能力。

Description

非齐次Markov跳变控制系统的观测器设计方法

技术领域

本发明涉及一种非齐次Markov跳变控制系统的观测器设计方法，特别是针对基于高斯概率密度函数的非齐次Markov跳变控制系统的观测器设计方法，该方法可用于生物培养过程、制造过程、网络系统、通信系统、经济系统等领域。

背景技术

非齐次Markov跳变系统普遍存在于工程实际，从随机分布角度对跳变转移概率的变化进行描述，近年来受到工程人士的关注。但当实际系统的状态不可观测时，设计基于观测器的控制问题至今没有结果。本发明针对通过设计观测器对非齐次Markov跳变系统的未知输入信号进行估计，提出了基于观测器设计方案的控制算法。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：针对实际系统中状态不可观测情形，首先设计观测器对系统的未知输入信号进行估计，然后基于估计出的状态信号再设计控制器，使得闭环误差系统实现随机稳定，并具有一定的抗干扰能力。

本发明的技术解决方案为：首先，对于非齐次Markov跳变系统，用高斯随机分布来描述跳变概率的连续时变特性；其次，利用高斯概率密度函数的均值和方差信息，求取跳变概率的期望值；再次，考虑系统受到外部干扰的影响，设计基于观测器的控制器，使得闭环多模态系统实现稳定并具有指定的干扰抑制能力，具体步骤如下：

(1)非齐次Markov过程描述：

a.对非齐次Markov过程构造跳变系统模型；

b.高斯随机分布来描述跳变转移概率的连续时变特性；

c.建立跳变转移概率密度函数矩阵；

(2)跳变转移概率的期望值：

a.利用高斯概率密度函数的均值和方差信息，求取跳变转移概率的期望值；

b.不失一般性，在高斯分布条件下，依然需要确保跳变转移概率矩阵的任意行满足和为1的充要条件。

在此条件下，基于获得的转移概率矩阵，则可按照传统齐次Markov跳变系统控制器的设计方法进一

步设计控制器；

(3)基于观测器的控制器设计：

a.针对步骤(1)中构造的系统，设计全阶状态观测器；

b.设计基于观测器的控制器，并将其代入步骤(1)中构造的系统，得到闭环误差动态系统；

c.选取李雅普诺夫函数，并定义抗干扰性能指标；

d.基于李雅普诺夫稳定性定理及抗干扰控制方法，结合Markov跳变理论，利用已经获得的期望跳变

转移概率矩阵，获取使闭环系统随机稳定并满足干扰抑制性能的充分条件；

本发明针对实际工程应用中普遍存在的非齐次Markov跳变系统，首次设计基于观测器的H_∞控制器，使得闭环系统稳定的同时还要具有干扰抑制能力，与现有技术相比的优点在于：

1.考虑实际工程应用中系统状态不可测情形，设计基于观测器的控制方法，因此具有实用性。

2.控制器以及观测器的个数可以与跳变模态一一对应，也可以使用单一的不依赖于模态的控制器及观测器。

3.本发明设计的基于观测器的控制器还可以应用到不确定系统、时滞系统等复杂工业过程，具有普适性。

附图说明

图1不同方差信息下的概率密度函数图

图2系统跳变模态图

图3系统状态响应曲线图

图4系统观测误差图

具体实施方式

下面结合附图所示实施例，对本发明作进一步详细描述。

需要强调的是，本发明涉及的技术并不仅适用于下面提及的例子，这些技术可以被用于任何适用的随机跳变控制系统。

本发明基于高斯概率密度函数的非齐次Markov跳变控制系统的观测器设计方法，包括以下步骤：

(1)非齐次Markov过程描述

(2)跳变转移概率的期望值

(3)基于观测器的控制器设计

(4)仿真实验验证

下面介绍具体步骤：

(1)非齐次Markov过程描述

考虑如下一类离散非齐次Markov跳变系统：

x(k+1)＝A(r_k)x(k)+B(r_k)u(k)+B_w(r_k)w(k)

z(k)＝C(r_k)x(k)+D(r_k)u(k)+D_w(r_k)w(k)

y(k)＝E(r_k)x(k)

其中，x(k)∈Rⁿ是系统的状态向量；u(k)∈R^m是系统的控制向量；是外部扰动信号；z(k)∈R^l是系统的被控输出；y(k)∈R^p是系统的测量输出；A(r_k)，B(r_k)，B_w(r_k)，C(r_k)，D(r_k)，D_w(r_k)和E(r_k)分别为已知的与模态r_k相关的适当维数的系数矩阵，其中r_k表示系统的模态，为在有限集合Μ＝{1,2,…,s}中随时间k取值的非齐次Markov随机过程，其跳变转移概率定义如下：

${\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}=P_r(r_k=j|r_{k-1}=i,k)$

式中表示从模态i跳变到模态j的转移概率。为了方便起见，当r_k＝i时，分别用A_i，B_i，B_wi，C_i，D_i，D_wi及E_i表征A(r_k)，B(r_k)，B_w(r_k)，C(r_k)，D(r_k)，D_w(r_k)和E(r_k)。

不失一般性，本文用高斯随机分布{ξ_k,k∈K}来描述转移概率的连续时变特性，其受限高斯概率密度函数表征为：

$p\left({\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)=\frac{\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}}f\left(\frac{{\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}-{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}}\right)}{F\left(\frac{1-{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}\right)-F\left(\frac{0-{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}}\right)}$

式中f(·)为高斯概率密度函数的标准分布；F(·)为f(·)的累积分布函数，μ_ij和σ_ij为转移概率矩阵中各元素的高斯概率密度函数的均值和方差信息。基于上述描述，转移概率密度函数矩阵可表达为下式：

其中 $n({\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}},{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}})=p\left({\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)$ 为的受限高斯概率密度函数。

为了清楚的描述受限高斯概率密度函数的方差信息如何量化随机时变转移概率在某个常值出现的频次，图1给出了同一均值不同方差信息下的密度函数图。从图1中可以看出，转移概率的分布规律为与均值邻近的值的概率大，相反与均值越远的值的概率小，且方差越小分布越集中，而方差越大分布越分散。根据高斯概率密度函数的分布特性，可用其方差信息来量化转移概率随机不确定性的大小，即如果转移概率出现在某个常值附近的相对频次较高，则可将方差相对取小。相反如转移概率出现在某个常值附近的相对频次较低，则可用相对较大的方差来量化转移概率的不确定性。特别地，对于i,j∈M，如果σ趋向于零，则意味着转移概率矩阵中的此元素可精确得到，不存在不确定变化特性，此时转移概率精确已知的Markov跳变系统即可视为高斯转移概率σ取为零的特殊情形；同样，如果σ趋向于无穷，则表明对于转移概率矩阵中的某元素，不确定性统计特性未知或无任何先验信息，此时转移概率部分未知的Markov跳变系统也可视为高斯转移概率σ趋向于无穷的特例。因此，本发明提出的基于高斯转移概率的Markov跳变系统具有通用性，可以覆盖已有结论中对转移概率精确已知或部分未知的研究。

(2)跳变转移概率的期望值：

如上文所假设，转移概率的随机变化是连续的，因此的期望值可以用下式表达：

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\π}}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}=E\left({\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)={\∫}_0^1{\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}p\left({\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)d{\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\\ ={\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}+\frac{\mathrm{\φ}\left(\frac{0-{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}}\right)-\mathrm{\φ}\left(\frac{1-{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}}\right)}{\mathrm{\Φ}\left(\frac{0-{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}}\right)-\mathrm{\Φ}\left(\frac{1-{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}}\right)}\sqrt{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}}\end{array}$

根据高斯概率密度函数中的均值和方差信息，期望的转移概率矩阵可描述如下：

其中

$\underset{j}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}E\left({\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)=1,E\left({\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)\≥\mathrm{0,1}\≤i,j\≤s$

(3)基于观测器的控制器设计：

a.针对第(1)步中构造的非齐次Markov跳变系统，设计如下的全阶观测器

$\stackrel{\‾}{x}(k+1)=A_i\stackrel{\‾}{x}\left(k\right)+B_{i}u\left(k\right)+H_{i,{\mathrm{\ξ}}_k}(y\left(k\right)-\stackrel{\‾}{y}\left(k\right))$

$\stackrel{\‾}{y}\left(k\right)=E_i\stackrel{\‾}{x}\left(k\right)$

$u\left(k\right)=K_{i,{\mathrm{\ξ}}_k}\stackrel{\‾}{x}\left(k\right)$

其中x(k)∈Rⁿ为观测器状态，为观测器估计输出，为待求的控制器和观测器参数。

b.定义观测误差为：

$e_k=x_k-{\stackrel{\‾}{x}}_k,{\tilde{x}}_k={\left[\begin{array}{cc}{x}_k^T& e_k^T\end{array}\right]}^T$

则可得如下闭环误差动态系统：

$\left\{\begin{array}{c}\tilde{x}(k+1)={\tilde{A}}_i\tilde{x}\left(k\right)+{\tilde{B}}_{\mathrm{wi}}w\left(k\right)\\ z\left(k\right)={\tilde{C}}_i\tilde{x}\left(k\right)+D_{\mathrm{wi}}w\left(k\right)\end{array}\right.$

其中 ${\tilde{A}}_i=\left[\begin{array}{cc}{A}_i+B_i{K}_{i,{\mathrm{\ξ}}_k}& -B_i{K}_{i,{\mathrm{\ξ}}_k}\\ 0& A_i-E_i{H}_{i,{\mathrm{\ξ}}_k}\end{array}\right],{\tilde{B}}_{\mathrm{wi}}=\left[\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{wi}}\\ B_{\mathrm{wi}}\end{array}\right],{\tilde{C}}_i=\left[\begin{array}{cc}{C}_i+D_i{K}_{i,{\mathrm{\ξ}}_k}& -D_i{K}_{i,{\mathrm{\ξ}}_k}\end{array}\right].$

c.选取李雅普诺夫泛函以及抗干扰性能指标

d.基于李雅普诺夫稳定性定理及H_∞控制方法，结合Markov跳变理论，利用已经获得的期望跳变转移概率矩阵，获取使闭环系统随机稳定并满足H_∞性能的充分条件；

结论1：如果对于给定的常数γ＞0，存在依赖于模态和高斯分布的正定矩阵依赖于模态和高斯分布的矩阵使得下述线性矩阵不等式成立

且则所求控制器参数为所求观测器参数为

其中

$M^T=\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{E\left({\mathrm{\π}}_{i1}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)}{\tilde{A}}_i^T& \sqrt{E\left({\mathrm{\π}}_{i2}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)}{\tilde{A}}_i^T& ...& \sqrt{E\left({\mathrm{\π}}_{\mathrm{is}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)}{\tilde{A}}_i^T\end{array}\right)$

$N^T=\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{E\left({\mathrm{\π}}_{i1}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)}{\tilde{B}}_{\mathrm{\ωi}}^T& \sqrt{E\left({\mathrm{\π}}_{i2}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)}{\tilde{B}}_{\mathrm{\ωi}}^T& ...& \sqrt{E\left({\mathrm{\π}}_{\mathrm{is}}^{\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)}\right)}{\tilde{B}}_{\mathrm{\ωi}}^T\end{array}\right)$

${\tilde{C}}_i=\left[\begin{array}{cc}{C}_i+D_i{K}_{i,{\mathrm{\ξ}}_k}& -D_i{K}_{i,{\mathrm{\ξ}}_k}\end{array}\right]$

${\tilde{A}}_i={\mathrm{\Θ}}_1+{\mathrm{\Θ}}_2{K}_{i,{\mathrm{\ξ}}_k}{\mathrm{\Θ}}_3+{\mathrm{\Θ}}_4{H}_{i,{\mathrm{\ξ}}_k}{\mathrm{\Θ}}_5$

${\tilde{B}}_{\mathrm{\ωi}}={\mathrm{\Θ}}_6{B}_{\mathrm{\ωi}}$

${\mathrm{\Θ}}_1=\left[\begin{array}{cc}{A}_i& 0_{n\×n}\\ 0_{n\×n}& A_i\end{array}\right],{\mathrm{\Θ}}_2=\left[\begin{array}{c}{B}_i\\ 0_{n\×m}\end{array}\right],{\mathrm{\Θ}}_3=\left[\begin{array}{cc}{I}_{n\×n}& -I_{n\×n}\end{array}\right],$

${\mathrm{\Θ}}_4=\left[\begin{array}{c}{0}_{n\×n}\\ -I_{n\×n}\end{array}\right],{\mathrm{\Θ}}_5=\left[\begin{array}{cc}{0}_{p\×n}& E_i\end{array}\right],{\mathrm{\Θ}}_6=\left[\begin{array}{c}{I}_{n\×n}\\ I_{n\×n}\end{array}\right]$

(4)仿真实验验证

为了验证系统状态不可测情形下所提基于观测器的制算法的有效性，考虑如下三模态参数的跳变系统描述：

$A_1=\left[\begin{array}{cc}0.88& -0.05\\ 0.4& -0.72\end{array}\right],A_2=\left[\begin{array}{cc}1& -0.03\\ 0.5& -1.1\end{array}\right],A_3=\left[\begin{array}{cc}-0.8& 0.16\\ 0.8& -0.64\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right],B_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

$B_{w1}=\left[\begin{array}{c}0.4\\ 0.5\end{array}\right],B_{w2}=\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.6\end{array}\right],B_{w3}=\left[\begin{array}{c}0.1\\ 0.3\end{array}\right],C_1=\left[\begin{array}{cc}-0.5& 0.4\end{array}\right],C_2=\left[\begin{array}{cc}-0.3& 0.1\end{array}\right],C_3=\left[\begin{array}{cc}-0.2& 0.4\end{array}\right]$

D₁＝0.9,D₂＝-0.6,D₂＝0.4,D_w1＝0.5,D_w2＝-0.5,D_w3＝0.2

同时，反映三个模态之间跳变关系的转移概率矩阵的高斯概率密度函数分布给定如下：

$N=\left[\begin{array}{ccc}n\left(\mathrm{0.2,0.05}\right)& n\left(\mathrm{0.3,0.05}\right)& n\left(\mathrm{0.5,0.05}\right)\\ n\left(\mathrm{0.2,0.05}\right)& n\left(\mathrm{0.4,0.05}\right)& n\left(\mathrm{0.4,0.05}\right)\\ n\left(\mathrm{0.2,0.05}\right)& n\left(\mathrm{0.6,0.05}\right)& n\left(\mathrm{0.2,0.05}\right)\end{array}\right]$

先计算转移概率的期望矩阵

$\mathrm{\Π}=\left(\begin{array}{ccc}0.2456& 0.3049& 0.4495\\ 0.2471& 0.3764& 0.3764\\ 0.2418& 0.5165& 0.2418\end{array}\right)$

令γ＝1.8，根据结论的中不等式，利用MATLAB LMI Toolbox进行求解，得到各模态下的H_∞控制器增益和观测器参数为：

$K_{1,{\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^k}=\left[\begin{array}{cc}-0.1255& 0.0003\end{array}\right],K_{2,{\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^k}=\left[\begin{array}{cc}-0.1554& -0.1566\end{array}\right],K_{{\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^k}=\left[\begin{array}{cc}0.3823& -0.1353\end{array}\right]$

$H_{1,{\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^k}=\left[\begin{array}{cc}1.2300& -0.1431\end{array}\right],H_{2,{\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^k}=\left[\begin{array}{cc}-0.0791& 0.5104\end{array}\right],H_{3,{\mathrm{\π}}_{\mathrm{ij}}^k}=\left[\begin{array}{cc}-0.3458& -0.0246\end{array}\right]$

假设系统的初始状态x₀＝[-0.2 0.5]^T，外界干扰输入为w(k)＝0.5exp(-0.1k)sin(0.01πk)，将设计的H_∞控制器和观测器应用于步骤(1)中的系统进行仿真实验，得到系统模态跳变图，状态轨迹图和观测误差图分别如图2，图3以及图4所示。从图中可以看出，闭环误差动态系统随机渐进稳定，且具有指定的干扰抑制水平。

Claims (2)

1.非齐次Markov跳变控制系统的观测器设计方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤： 

(1)非齐次Markov过程描述 

考虑如下一类离散非齐次Markov跳变系统： 

x(k+1)＝A(r_k)x(k)+B(r_k)u(k)+B_w(r_k)w(k) 

z(k)＝C(r_k)x(k)+D(r_k)u(k)+D_w(r_k)w(k) 

y(k)＝E(r_k)x(k) 

其中，x(k)∈Rⁿ是系统的状态向量；u(k)∈R^m是系统的控制向量；是外部扰动信号；z(k)∈R^l是系统的被控输出；y(k)∈R^p是系统的测量输出；A(r_k)，B(r_k)，B_w(r_k)，C(r_k)，D(r_k)，D_w(r_k)和E(r_k)分别为已知的与模态r_k相关的适当维数的系数矩阵，其中r_k表示系统的模态，为在有限集合Μ＝{1,2,…,s}中随时间k取值的非齐次Markov随机过程，其跳变转移概率定义如下： 

式中表示从模态i跳变到模态j的转移概率。为了方便起见，当r_k＝i时，分别用A_i，B_i，B_wi，C_i，D_i，D_wi及E_i表征A(r_k)，B(r_k)，B_w(r_k)，C(r_k)，D(r_k)，D_w(r_k)和E(r_k)。 

不失一般性，本文用高斯随机分布{ξ_k,k∈K}来描述转移概率的连续时变特性，其受限高斯概率密度函数表征为： 

式中f(·)为高斯概率密度函数的标准分布；F(·)为f(·)的累积分布函数，μ_ij和σ_ij为转移概率矩阵中各元素的高斯概率密度函数的均值和方差信息。基于上述描述，转移概率密度函数矩阵可表达为下式： 

其中为的受限高斯概率密度函数。 

(2)跳变转移概率的期望值求取： 

如上文所假设，转移概率的随机变化是连续的，因此的期望值可以用下式表达： 

根据高斯概率密度函数中的均值和方差信息，期望的转移概率矩阵可描述如下： 

其中 

(3)基于观测器的控制器设计： 

a.针对第(1)步中构造的非齐次Markov跳变系统，设计如下的全阶观测器 

其中为观测器状态，为观测器估计输出，为待求的控制器和观测器参数。 

b.定义观测误差为： 

则可得如下闭环误差动态系统： 

其中

c.选取李雅普诺夫泛函以及抗干扰性能指标

d.基于李雅普诺夫稳定性定理及H_∞控制方法，结合Markov跳变理论，利用已经获得的期望跳变转移概率矩阵，获取使闭环系统随机稳定并满足H_∞性能的充分条件。 

2.根据权利要求1所述的非齐次Markov跳变系统的干扰抑制方法，其特征在于，设计观测器对系统的状态进行估计，再利用估计的状态设计控制器，确保系统随机稳定的同时对所有频段的外部干扰信号具有一定的干扰抑制能力。