CN108803334A - 基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法及系统 - Google Patents

Abstract

一种基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法，包括以下步骤：采集直流电机在各种工况下的运行参数；根据运行参数，建立直流电机工况跳变与非齐次马尔科夫链之间的映射关系；基于映射关系，构建基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程，及基于全维观测器的控制器；构建一个包含直流电机系统状态和观测器状态的增广闭环系统方程；根据直流电机系统状态方程，确定直流电机的有限时间稳定及有界的判据；利用MATLAB中的LMI工具箱求解增广闭环系统在满足判据时的上界；输出增广闭环系统的有限时间有界的上界。本发明能有效提高直流电机的稳定性，可防止直流电机在复杂、恶劣环境等不利因素影响下，控制效果变差，保障直流电机平稳运行。

Description

基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法及 系统

技术领域

本发明涉及电力电子技术领域，具体涉及基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法及系统。

背景技术

实际工程应用中，直流电机可能会由于一些因素(如元器件耗损、恶劣环境、负载变化等)而发生参数或结构的突变，造成控制器的控制效果差，甚至出现失控情况，因此，迫切需要研究新型的直流电机控制方法。

在过去的几十年中，直流电机在参数或结构上呈现突然变化的动态系统受到了极大关注。而作为一种能有效表征这种动态系统的方法，马尔可夫跳变系统在实际和理论领域都取得了广泛的研究兴趣。迄今为止，针对马尔可夫跳变系统的控制问题和滤波问题已经做了许多基础研究。需要强调的是，现如今的大多数文献中，马尔可夫跳变系统的转移概率通常被假定为时不变的，这意味着该马尔可夫链是齐次的。然而，这种假设在许多实际系统中并不适用，在实际情况下，马尔可夫跳变系统的转移概率矩阵并非都是一个实常数矩阵，而是一个与时间有关的矩阵，这意味着该马尔可夫链是非齐次的。一个典型的例子是，网络控制系统中的信道延迟和丢包可以用马尔可夫链来描述，且在不同的周期内信道延迟和丢包是不同的，这表明马尔科夫过程的转移概率在实际系统中是随时间变化的。因此，研究具有随时间变化的转移概率(即非齐次)的马尔可夫跳变系统是非常重要的。

另一方面，有限时间稳定性的概念吸引了当前相当多研究者的关注。与关注系统在无限时间间隔内状态收敛特性的Lyapunov稳定性理论不同，有限时间稳定性着重于有限时间间隔内动态系统的暂态性能。现如今，有限时间稳定理论在许多工业应用中起着关键作用，例如机器人控制系统，网络控制系统和生物化学反应系统。但在现有技术中，还没有出现能在有限时间内解决直流电机在复杂、恶劣环境等不利因素影响下控制效果变差的技术。

发明内容

本发明目的在于克服现有技术的缺点与不足，提供了一种基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法，可防止直流电机在复杂、恶劣环境等不利因素影响下，控制效果变差，从而保障直流电机的安全、平稳运行。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案如下：

一种基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法，包括以下步骤：

采集直流电机在各种工况下的运行参数；

根据运行参数，建立直流电机工况跳变与非齐次马尔科夫链之间的映射关系；

基于映射关系，构建基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程，及基于全维观测器的控制器；

构建一个包含直流电机系统状态和观测器状态的增广闭环系统方程；

根据直流电机系统状态方程，确定直流电机的有限时间稳定及有界的判据；

利用MATLAB中的LMI工具箱求解增广闭环系统在满足判据时的上界；

输出增广闭环系统的有限时间有界的上界。

由上可知，本发明通过建立基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程，从而根据直流电机系统状态方程，确定直流电机的有限时间稳定及有界的判据，再通过增广闭环系统方程得到增广闭环系统在满足判据时的上界，从而得到分析直流电机在运行方式调整、运行参数变化以及负荷功率波动等跳变工况下的有限时间稳定性和有界性，实现对直流电机有限时间控制。综上所述，本发明能有效提高直流电机的稳定性，可防止直流电机在复杂、恶劣环境等不利因素影响下，控制效果变差，从而保障直流电机的安全、平稳运行。

优选地，所述参数包括直流电机的电流、电压、转矩、角速度、粘性摩擦和惯性载荷。

优选地，所述基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程具体为：

其中，x(k)为直流电机系统状态方程的状态向量，且满足 是控制输入；是控制输出；是测量输出；是外部扰动；A(r_k),B(r_k),C(r_k),D(r_k),G(r_k),C_y(r_k)都是系统矩阵；ΔA(r_k,k),ΔC(r_k,k),ΔD(r_k,k)和ΔG(r_k,k)都是满足范数有界参数不确定性的矩阵，r_k是非齐次马尔科夫链，它在一个有限的状态集合l＝{1,...,Y}里面取值，r_k的转移概率矩阵Π(k)＝{π_ij(k)},i,j∈l，其中π_ij(k)＝Pr(r_k+1＝j|r_k＝i)表示非齐次马尔科夫链在K时刻处于第i个模态，在K+1时刻跳变到第j个模态的概率，且满足π_ij(k)≥0，这两个条件，其中π_ij(k)≥0表示跳变概率≥0，表示概率之和为1。

优选地，所述非齐次马尔科夫链r_k的转移概率矩阵Π(k)满足下列条件：0≤α_s(k)≤1,

优选地，所述基于全维观测器的控制器为：

其中，是被测状态，是被测输出，H(i)和K_i分别是观测器和控制器的增益，A_i、B_i和C_yi为系统矩阵。

优选地，所述增广闭环系统方程为：

其中，是增广系统矩阵。

优选地，所述直流电机有限时间稳定及有界的判据的判据为：

其中，和分别是待定的正定对称矩阵；X_i是待定的任意矩阵；μ≥1,γ＞0，d＞0，0＜δ＜ò都是待定的常数；λ_max和λ_min分别表示矩阵的最大特征值和最小特征值；sup和inf分别表示矩阵最大特征值的上界和矩阵最小特征值的下界。

本发明还提供一种基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制系统。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案如下：

一种基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制系统，包括数据采集模块、映射模块、模型建立模块、有限时间稳定性分析模块和输出模块；

数据采集模块，用于采集直流电机在各种工况下的运行参数；

映射模块，用于根据运行参数，建立直流电机工况跳变与非齐次马尔科夫链之间的映射关系；

模型建立模块，用于根据映射关系，构建基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程及基于全维观测器的控制器，并构建一个包含直流电机系统状态和观测器状态的增广闭环系统方程；

有限时间稳定性分析模块，用于根据直流电机系统状态方程，确定直流电机的有限时间稳定及有界的判据，并利用MATLAB中的LMI工具箱求解增广闭环系统在满足判据时的上界；

输出模块，用于输出增广闭环系统的有限时间有界的上界。

优选地，所述参数包括直流电机的电流、电压、转矩、角速度、粘性摩擦和惯性载荷。

优选地，所述基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程具体为：

其中，x(k)为直流电机系统状态方程的状态向量，且满足 是控制输入；是控制输出；是测量输出；是外部扰动；A(r_k),B(r_k),C(r_k),D(r_k),G(r_k),C_y(r_k)都是系统矩阵；ΔA(r_k,k),ΔC(r_k,k),ΔD(r_k,k)和ΔG(r_k,k)都是满足范数有界参数不确定性的矩阵，r_k是非齐次马尔科夫链，它在一个有限的状态集合l＝{1,...,Y}里面取值，r_k的转移概率矩阵Π(k)＝{π_ij(k)},i,j∈l，其中π_ij(k)＝Pr(r_k+1＝j|r_k＝i)表示非齐次马尔科夫链在K时刻处于第i个模态，在K+1时刻跳变到第j个模态的概率，且满足π_ij(k)≥0，这两个条件，其中π_ij(k)≥0表示跳变概率≥0，表示概率之和为1。

优选地，所述基于全维观测器的控制器为：

其中，是被测状态，是被测输出，H(i)和K_i分别是观测器和控制器的增益，A_i、B_i和C_yi为系统矩阵。

优选地，所述增广闭环系统方程为：

其中，是增广系统矩阵。

优选地，所述直流电机有限时间稳定及有界的判据的判据为：

其中，和分别是待定的正定对称矩阵；X_i是待定的任意矩阵；μ≥1,γ＞0，d＞0，0＜δ＜ò都是待定的常数；λ_max和λ_min分别表示矩阵的最大特征值和最小特征值；sup和inf分别表示矩阵最大特征值的上界和矩阵最小特征值的下界。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

(1)本发明能有效提高直流电机的稳定性，可防止直流电机在复杂、恶劣环境等不利因素影响下，控制效果变差，从而保障直流电机的安全、平稳运行。

(2)本发明中采用的马尔科夫模型是一种新颖的非齐次马尔科夫模型，在以往的基于马尔科夫模型的控制方法中，所采用的都是齐次的马尔科夫模型，而在实际工程应用中，由于直流电机不可避免的会受到诸如运行环境变化、元器件损耗等不利因素，造成直流电机速度骤变，直流电机运行稳定性差；但是简单的齐次马尔科夫模型不能有效的描述实际应用中不断变化的外在因素，而本发明所采用的非齐次马尔科夫模型能有效地克服齐次马尔科夫模型的不足，将非齐次马尔科夫模型应用在直流电机中，能得到更好、更有效的控制效果。

(3)本发明采用的控制方法是基于有限时间稳定的控制方法，不同于传统的时间间隔趋于无穷大的Lyapunov渐进稳定理论，基于有限时间稳定的控制方法能更有效地对实际系统进行控制，因为现实生活中，对一个实际系统进行控制，时间间隔不可能趋于无穷大，因此，基于有限时间稳定的控制方法能更加有效地对实际系统，特别是直流电机进行控制。

附图说明

图1为本发明基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法的流程图；

图2为本发明基于非齐次马尔科夫跳变模型直流电机的模型图；

图3为直流电机在正常、低速、中速这三种工况下的模态跳变图；

图4为增广闭环系统在有限时间间隔内的状态图；

图5为增广闭环系统方程中x₁(k),和e₁(k)的轨迹图；

图6为增广闭环系统方程中x₂(k),和e₂(k)的轨迹图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。可以理解的是，此处所描述的具体实施例仅仅用于解释本发明，而非对本发明的限定。另外还需要说明的是，为了便于描述，附图中仅示出了与本发明相关的部分而非全部内容。

实施例

请参考图1，一种基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法，包括以下步骤：

S1.采集直流电机在各种工况下的运行参数，其中所述参数包括直流电机的电流、电压、转矩、角速度、粘性摩擦和惯性载荷；

S2.根据运行参数，建立直流电机工况跳变与非齐次马尔科夫链之间的映射关系；

S3.基于映射关系，构建基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程，及基于全维观测器的控制器；

S4.构建一个包含直流电机系统状态和观测器状态的增广闭环系统方程；

S5.根据直流电机系统状态方程，确定直流电机的有限时间稳定及有界的判据；

S6.利用MATLAB中的LMI工具箱求解增广闭环系统在满足判据时的上界；

S7.输出增广闭环系统的有限时间有界的上界。

由上可知，本发明通过建立基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程，从而根据直流电机系统状态方程，确定直流电机的有限时间稳定及有界的判据，再通过增广闭环系统方程得到增广闭环系统在满足判据时的上界，从而得到分析直流电机在运行方式调整、运行参数变化以及负荷功率波动等跳变工况下的有限时间稳定性和有界性，实现对直流电机有限时间控制。

图2是本发明基于非齐次马尔科夫跳变模型直流电机的模型图，本实施例中，采用的实验测试平台是基于DC Motor Module 2208，产自巴西的Datapool Eletronica Ltda公司，用一个National Instruments USB-6008数据采集卡与计算机进行物理连接。计算机调用MATLAB软件模拟物理控制器。为了测量角速度，我们使用该制造商提供的测速发电机，从而产生与轴速成比例的电压。为了测量电流，我们引入了一个简单的电路和直流电机串联，该电路由一个与前置放大器信号相连接的分流电阻组成。在电路中使用一阶模拟滤波器来减少实验数据中的高频噪声。运用力学以及电路知识，建立直流电机的物理模型：

其中，T_k表示直流电机轴的转矩；K_m表示电枢常数；i_k和V_mk分别表示电流和电压；v_k表示负载的角速度；K_b是与电机物理特性有关的比例系数；J是电机的惯性载荷；K_fv_k是粘性摩擦的线性近似。

通过等价变换，将该直流电机的物理模型转换为模型建立模块中的直流电机状态方程，从而得到基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程具体为：

其中，x(k)为直流电机系统状态方程的状态向量，且满足 是控制输入；是控制输出；是测量输出；是外部扰动；A(r_k),B(r_k),C(r_k),D(r_k),G(r_k),C_y(r_k)都是系统矩阵；ΔA(r_k,k),ΔC(r_k,k),ΔD(r_k,k)和ΔG(r_k,k)都是满足范数有界参数不确定性的矩阵，r_k是非齐次马尔科夫链，它在一个有限的状态集合l＝{1,...,Y}里面取值，r_k的转移概率矩阵Π(k)＝{π_ij(k)},i,j∈l，其中π_ij(k)＝Pr(r_k+1＝j|r_k＝i)表示非齐次马尔科夫链在K时刻处于第i个模态，在K+1时刻跳变到第j个模态的概率，且满足π_ij(k)≥0，这两个条件，其中π_ij(k)≥0表示跳变概率≥0，表示概率之和为1。

而且，在本实施例中，所述非齐次马尔科夫链r_k的转移概率矩阵Π(k)满足下列条件：0≤α_s(k)≤1,

其中，非齐次马尔科夫链的转移概率矩阵变化如下：

在本实施例中，所述基于全维观测器的控制器为：

其中，是被测状态，是被测输出，H(i)和K_i分别是观测器和控制器的增益，A_i、B_i和C_yi为系统矩阵。

其中，

假设电源传送到电机转轴的途中遭受突变，该过程可以用具有三种操作模态的非齐次马尔科夫链来描述，分别是正常(r_k＝i＝1)，低速(r_k＝i＝2)和中速(r_k＝i＝3)，通过实际测量可得A_i和B_i参数如下：

在本实施例中，所述增广闭环系统方程为：

其中，是增广系统矩阵。

在本实施例中，所述直流电机有限时间稳定及有界的判据的判据为：

其中，和分别是待定的正定对称矩阵；X_i是待定的任意矩阵；μ≥1,γ＞0，d＞0，0＜δ＜ò都是待定的常数；λ_max和λ_min分别表示矩阵的最大特征值和最小特征值；sup和inf分别表示矩阵最大特征值的上界和矩阵最小特征值的下界。

运用MATLAB中的LMI工具箱，对本发明控制方法中所建立的数学模型进行仿真，得到仿真图3-6。图3表示直流电机在正常、低速、中速这三种工况下的模态跳变图。图4表明直流电机在本发明控制方法作用下，处于有限时间有界的状态。图5和图6表示本发明控制方法中的观测器能非常有效地跟踪直流电机的电流及电压状态。

综上所述，由仿真图可知，本发明所提供的方法能很好的保证直流电机在遭受突变时仍然能够在有限时间内保持平稳运行，证明了本发明提供方法的有效性和可靠性。

综上所述，本发明具有以下优点：

(1)本发明能有效提高直流电机的稳定性，可防止直流电机在复杂、恶劣环境等不利因素影响下，控制效果变差，从而保障直流电机的安全、平稳运行。

(2)本发明中采用的马尔科夫模型是一种新颖的非齐次马尔科夫模型，在以往的基于马尔科夫模型的控制方法中，所采用的都是齐次的马尔科夫模型，而在实际工程应用中，由于直流电机不可避免的会受到诸如运行环境变化、元器件损耗等不利因素，造成直流电机速度骤变，直流电机运行稳定性差；但是简单的齐次马尔科夫模型不能有效的描述实际应用中不断变化的外在因素，而本发明所采用的非齐次马尔科夫模型能有效地克服齐次马尔科夫模型的不足，将非齐次马尔科夫模型应用在直流电机中，能得到更好、更有效的控制效果。

(3)本发明采用的控制方法是基于有限时间稳定的控制方法，不同于传统的时间间隔趋于无穷大的Lyapunov渐进稳定理论，基于有限时间稳定的控制方法能更有效地对实际系统进行控制，因为现实生活中，对一个实际系统进行控制，时间间隔不可能趋于无穷大，因此，基于有限时间稳定的控制方法能更加有效地对实际系统，特别是直流电机进行控制。

一种基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制系统，包括数据采集模块、映射模块、模型建立模块、有限时间稳定性分析模块和输出模块；

数据采集模块，用于采集直流电机在各种工况下的运行参数；

映射模块，用于根据运行参数，建立直流电机工况跳变与非齐次马尔科夫链之间的映射关系；

模型建立模块，用于根据映射关系，构建基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程及基于全维观测器的控制器，并构建一个包含直流电机系统状态和观测器状态的增广闭环系统方程；

有限时间稳定性分析模块，用于根据直流电机系统状态方程，确定直流电机的有限时间稳定及有界的判据，并利用MATLAB中的LMI工具箱求解增广闭环系统在满足判据时的上界；

输出模块，用于输出增广闭环系统的有限时间有界的上界。

由上可知，本发明通过建立基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程，从而根据直流电机系统状态方程，确定直流电机的有限时间稳定及有界的判据，再通过增广闭环系统方程得到增广闭环系统在满足判据时的上界，从而得到分析直流电机在运行方式调整、运行参数变化以及负荷功率波动等跳变工况下的有限时间稳定性和有界性，实现对直流电机有限时间控制。

在本实施例中，所述参数包括直流电机的电流、电压、转矩、角速度、粘性摩擦和惯性载荷。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

采集直流电机在各种工况下的运行参数；

根据运行参数，建立直流电机工况跳变与非齐次马尔科夫链之间的映射关系；

基于映射关系，构建基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程，及基于全维观测器的控制器；

构建一个包含直流电机系统状态和观测器状态的增广闭环系统方程；

根据直流电机系统状态方程，确定直流电机的有限时间稳定及有界的判据；

利用MATLAB中的LMI工具箱求解增广闭环系统在满足判据时的上界；

输出增广闭环系统的有限时间有界的上界。

2.根据权利要求1所述的基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法，其特征在于：所述基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程具体为：

其中，x(k)为直流电机系统状态方程的状态向量，且满足 是控制输入；是控制输出；是测量输出；是外部扰动；A(r_k),B(r_k),C(r_k),D(r_k),G(r_k),C_y(r_k)都是系统矩阵；ΔA(r_k,k),ΔC(r_k,k),ΔD(r_k,k)和ΔG(r_k,k)都是满足范数有界参数不确定性的矩阵，r_k是非齐次马尔科夫链，它在一个有限的状态集合l＝{1,...,Y}里面取值，r_k的转移概率矩阵Π(k)＝{π_ij(k)},i,j∈l，其中π_ij(k)＝Pr(r_k+1＝j|r_k＝i)表示非齐次马尔科夫链在K时刻处于第i个模态，在K+1时刻跳变到第j个模态的概率，且满足π_ij(k)≥0，两个条件，其中π_ij(k)≥0表示跳变概率≥0，示概率之和为1。

3.根据权利要求1所述的基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法，其特征在于：所述基于全维观测器的控制器为：

其中，是被测状态，是被测输出，H(i)和K_i分别是观测器和控制器的增益，A_i、B_i和C_yi为系统矩阵。

4.根据权利要求1所述的基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法，其特征在于：所述增广闭环系统方程为：

其中，是增广系统矩阵。

5.根据权利要求1所述的基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制方法，其特征在于：所述直流电机有限时间稳定及有界的判据的判据为：

其中，和分别是待定的正定对称矩阵；X_i是待定的任意矩阵；μ≥1,γ＞0，d＞0，0＜δ＜ò都是待定的常数；λ_max和λ_min分别表示矩阵的最大特征值和最小特征值；sup和inf分别表示矩阵最大特征值的上界和矩阵最小特征值的下界。

6.一种基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制系统，其特征在于：包括数据采集模块、映射模块、模型建立模块、有限时间稳定性分析模块和输出模块；

数据采集模块，用于采集直流电机在各种工况下的运行参数；

映射模块，用于根据运行参数，建立直流电机工况跳变与非齐次马尔科夫链之间的映射关系；

模型建立模块，用于根据映射关系，构建基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程及基于全维观测器的控制器，并构建一个包含直流电机系统状态和观测器状态的增广闭环系统方程；

有限时间稳定性分析模块，用于根据直流电机系统状态方程，确定直流电机的有限时间稳定及有界的判据，并利用MATLAB中的LMI工具箱求解增广闭环系统在满足判据时的上界；

输出模块，用于输出增广闭环系统的有限时间有界的上界。

7.根据权利要求6所述的基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制系统，其特征在于：所述基于非齐次马尔科夫模型的直流电机系统状态方程具体为：

其中，x(k)为直流电机系统状态方程的状态向量，且满足 是控制输入；是控制输出；是测量输出；是外部扰动；A(r_k),B(r_k),C(r_k),D(r_k),G(r_k),C_y(r_k)都是系统矩阵；ΔA(r_k,k),ΔC(r_k,k),ΔD(r_k,k)和ΔG(r_k,k)都是满足范数有界参数不确定性的矩阵，r_k是非齐次马尔科夫链，它在一个有限的状态集合l＝{1,...,Y}里面取值，r_k的转移概率矩阵Π(k)＝{π_ij(k)},i,j∈l，其中π_ij(k)＝Pr(r_k+1＝j|r_k＝i)表示非齐次马尔科夫链在K时刻处于第i个模态，在K+1时刻跳变到第j个模态的概率，且满足π_ij(k)≥0，这两个条件，其中π_ij(k)≥0表示跳变概率≥0，表示概率之和为1。

8.根据权利要求6所述的基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制系统，其特征在于：所述基于全维观测器的控制器为：

其中，是被测状态，是被测输出，H(i)和K_i分别是观测器和控制器的增益，A_i、B_i和C_yi为系统矩阵。

9.根据权利要求6所述的基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制系统，其特征在于：所述增广闭环系统方程为：

其中，是增广系统矩阵。

10.根据权利要求6所述的基于非齐次马尔科夫模型的直流电机有限时间控制系统，其特征在于：所述直流电机有限时间稳定及有界的判据的判据为：

其中，和分别是待定的正定对称矩阵；X_i是待定的任意矩阵；μ≥1,γ＞0，d＞0，0＜δ＜ò都是待定的常数；λ_max和λ_min分别表示矩阵的最大特征值和最小特征值；sup和inf分别表示矩阵最大特征值的上界和矩阵最小特征值的下界。