CN104166804A - 一种基于时频域单源点稀疏成分分析的工作模态辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出的一种基于时频域单源点稀疏成分分析的工作模态辨识方法，具体步骤如下：测量得到工作状态下设备目标位置的振动信号；对各混合振动信号进行时频域变换；在时频域中应用单源点法提取用于混合矩阵估计的混合振动信号；利用基于K超线聚类的稀疏成分分析混合矩阵估计法估计混合矩阵；混合矩阵求解出来后，再返回时频域，利用l₁最小化方法重构各阶源信号，提取结构各模态向量；然后通过信号指数表达得到工作模态频率及阻尼比。本发明降低混合矩阵估计过程的计算量，在测量点少于源信号数目的欠定情形下有效辨识模态参数，对噪声、异常值及源信号的不完全稀疏性具有良好的抗干扰能力。

Description

一种基于时频域单源点稀疏成分分析的工作模态辨识方法

技术领域

本发明涉及一种基于时频域单源点稀疏成分分析的工作模态辨识方法，属于工作模态辨识领域。

背景技术

目前，模态分析技术已经成为识别动力学系统特征的一种重要手段。通过模态分析，可以提取系统的自然频率、阻尼比和振型等重要的动力学属性。常用的模态参数提取方法有实验模态分析法和工作模态分析法。实验模态分析法需要对结构施加激励，这对于大型复杂机械系统是非常困难的。而工作模态分析法无需外加激励，仅依靠机械结构工作状态下的振动响应信号提取结构模态参数。这种分析方法以其操作方便，同时反映系统真实工作状态下的振动特性而在工作中得到大力推广。如何利用自然激励(如：风对建筑物的激励，气流对飞机、火箭、导弹等空中飞行物的激励，道路或铁轨对车辆的激励，水波对船舶的激励等)或者工作激励，仅根据系统的响应进行结构的模态参数辨识，是传统模态参数辨识方法要改进和发展的方向。然而由于其理论分析计算中假设系统所受载荷为白噪声，与大多数实际情形有或多或少的距离，导致计算结果误差较大。

现有的各种工作模态分析方法虽然都有一些很好的应用，但是还有着各自的局限性。如时域法通常要求激励是平稳白噪声，结构具有线性时不变特性；而时间序列法的模型阶次较难确定；基于响应相关函数的最小二乘复指数法和特征系统实现法要求数据样本长、平均次数多；随机子空间法模型阶次的确定较为烦琐，在测点较多时，Hankel矩阵阶次很高，所需要的数据采样量较大。另外，随机子空间法一般使用奇异值分解或QR分解为模型定阶和过滤噪声。根据奇异值或R阵的对角元划分信号子空间和噪声子空间仍存在一些问题，如为密集模态建模时奇异值并不能反映独立的模态数，从而使模型阶次的估计偏低；奇异值或R阵的对角元并不能反映信号中独立模态的能量贡献。

近年来，由于模态辨识的过程和盲源分离的概念是一致的，应用盲源分离方法来处理工作模态分析引起了高度的重视。盲信号处理中的独立分量分析在辨识阻尼比小于1％的弱阻尼模态参数十分有效。该方法对机械系统模态分离的过程是建立在信号分量的相互独立性的基础上。还有二阶盲辨识也在模态参数辨识领域取得广泛运用。但是这两种方法无法应用于欠定盲源辨识问题的处理，即用于测量振动信号的传感器数量低于被激发的系统振动模态数量。稀疏成分分析是近年来发展起来的一种新兴盲源分离技术，利用信号的稀疏特性提取源信号，在语音信号处理中取得了很好的分离效果。实际工程应用中，很多信号也满足稀疏的特性，稀疏成分分析也已应用到了模态参数估计领域，如参考文献(Y.C.Yang,S.Nagarajaiah,Output-only modal identification with limited sensors using sparse component analysis,Journal ofSound and Vibration 332(19)(2013)4741–4765.)所述应用过程，即将系统的模态扩展表达转换到盲源分离的频域稀疏性表达，再通过模糊C均值聚类法得到混合矩阵，最后获得源信号。但是，该应用在模态分离过程中仅仅利用了信号的频域稀疏性，忽略了信号的时域特性，同时聚类分析过程存在大量的无效聚类点，实际工程应用计算量大，且易受噪声的干扰。稀疏成分分析过程中混合矩阵的估计方法有K均值、模糊C聚类、线性几何独立成分分析等，如参考文献(王翔，黄知涛，任啸天，周一宇，基于时频单源点检测和聚类验证技术的欠定混合盲辨识算法，国防科技大学学报，35(2)，2013)给出了单源点检测后利用K均值聚类得到混合矩阵的过程，但是该方法要求源信号充分稀疏性，噪声及不完全稀疏源信号都会严重影响该方法的实际应用，此外该估计过程没有明确给出单源点检测后的源信号散点图。

针对上述问题，本方法的目的在于解决实际工作模态分析中测量振动信号的传感器数量少于源信号数目的欠定模态参数辨识问题，充分利用源信号在时域和频域两方面的稀疏性，降低混合矩阵估计过程的计算量，分离出源信号中有效成分，克服现有估计混合矩阵的聚类方法对源信号稀疏性要求过强，对噪声、异常值及源信号的不完全稀疏性具有良好的抗干扰能力。

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明的目的是提供一种针对性和准确性较高，在系统工作运行状态下，能够有效利用已知结构振动输出信号得到结构模态参数，且应用较为广泛的欠定工作模态参数识别方法。结合振动输出信号不完全稀疏特性，提出在时频域中基于单源点检测技术和K超线聚类的稀疏成分分析方法，在时频域实现对混合矩阵的精确估计，再基于l₁最小化技术重构源信号矩阵，最后辨识出系统的模态参数及阻尼比。

本发明是按如下方式实现的：一种基于时频域单源点稀疏成分分析的工作模态辨识方法，包括以下步骤：

(1)测量得到工作状态下设备目标位置的振动信号；

(2)将测量得到的振动信号转换入时频域，得到信号输出的混合矩阵表达；

(3)对振动信号进行单源点检测，并绘制出散点图，减少聚类分析的信号数据量，以提高混合矩阵估计精度；

(4)将单源点检测后的振动信号数据进行K超线聚类分析，估计出混合矩阵，具体为：单源点检测分离后的源振动信号组成成分为去除信号杂质的振动激发的各阶模态信号，从这些信号数据中提取子矩阵并归一化，再进入K超线循环聚类计算估计出混合矩阵；

(5)利用l₁最小化方法完成源信号的每一阶重构；

(6)计算重构得到的每一阶源信号的指数表达，得到各阶信号的模态频率和阻尼比。

本发明的有益效果是：本发明具有明确的物理意义，适用于工程应用领域的环境激励下测量点少于源信号数目的欠定情形结构工作模态参数识别的问题。充分利用源信号在时域和频域两方面的稀疏性，克服现有估计混合矩阵的聚类方法对源信号稀疏性要求过强，降低混合矩阵估计过程的计算量，有效辨识模态参数，对噪声、异常值及源信号的不完全稀疏性具有良好的抗干扰能力。

附图说明

图1是一种基于时频域稀疏成分分析的工作模态分析方法的步骤图。

图2是高速摄像获取悬臂梁振动位移响应实验平台。

图3是通过图像处理提取的悬臂梁部分测量点实际振动位移响应。

图4是利用两个测量点振动数据进行单源点检测后绘制的散点图。

图5是仅利用两个测量点数据和本发明方法辨识的模态响应曲线。

图6是利用全部21个测量点数据和本发明方法辨识的振动模态响应曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的描述。

如图1所示，本发明一种基于时频域单源点稀疏成分分析的工作模态分析方法，包括以下步骤：

步骤1：测量得到工作状态下设备目标位置的振动信号：

设备的原始振动测量可以使用加速度传感器、位移传感器和高速摄像系统等，所以观测得到的振动信号x(t)既可以是加速度信号也可以是位移信号。测量过程中测点数量可以小于实际振动源信号各阶数量，该欠定情形无需预估源信号各阶数量。

步骤2：将测量得到的振动信号转换入时频域，得到信号输出的混合矩阵表达：

一般的机械结构工作状态振动信号的稀疏性都较弱，为了能运用稀疏成分分析，首要步骤就是进行稀疏化，将测量所得工作振动信号x(t)变换到时频域空间。

上文中，稀疏化过程可以用短时傅立叶变换法来得到：

$\begin{array}{c}X(t,k)=\mathrm{AS}(t,k)\\ =\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{S}_i(t,k)\end{array}$

其中，X(t,k)＝[X₁(t,k),...,X_m(t,k)]^T和S(t,k)＝[S₁(t,k),...,S_n(t,k)]^T分别代表测量振动响应信号和在时间帧t第k个频率处的源信号的短时傅立叶变换值，a_i＝[a_1i,...,a_mi]^T为混合矩阵A的第i列。只有通过求出各阶源信号，才可以得到振动的各阶频率和阻尼比。

步骤3：对振动信号进行单源点检测，并绘制出散点图，减少聚类分析的信号数据量，以提高混合矩阵估计精度：

工作振动信号变换到时频域后，通过进行复数展开，振动信号的时频域稀疏化表达在任意点(t,k)处的实部和虚部分别为：

Re{X(t₁,k₁)}＝a₁Re{S₁(t₁,k₁)}

Im{X(t₁,k₁)}＝a₁Im{S₁(t₁,k₁)}

在时频域内，振动响应信号任意一点(t,k)的绝对方向角度小于Δθ则为单源点，具体表达为：

$\left|\frac{\mathrm{Re}{\left\{X(t,k)\right\}}^T\mathrm{Im}\left\{X(t,k)\right\}}{\left|\right|\mathrm{Re}\left\{X(t,k)\right\}\left|\right|\·\left|\right|\mathrm{Im}\left\{X(t,k)\right\}\left|\right|}\right|>\cos \left(\mathrm{\Δ\θ}\right)$

其中，|·|表示绝对值，满足上式的单源点即被保存用于估计混合矩阵。由单源点绘制的散点图反映了目标振动的模态形状及位置。

步骤4：将单源点检测后的振动信号数据进行K超线聚类分析，估计出混合矩阵，具体为单源点检测分离后的源振动信号组成成分为去除信号杂质的振动激发的各阶模态信号，从这些信号数据中提取子矩阵并归一化，再进入K超线循环聚类计算估计出混合矩阵，算法流程如下：

1)初始化：

初始化方向矩阵K可以任选一较大的值。

2)提取子矩阵：

将单源点数据X(t,k)表示为X＝[x(1),...,x(N)]∈R^m×N，m和N分别为单源点数据的行数和列数，并从中提取子矩阵则子矩阵的每一列的范数大于一个特定的阈值ξ，该阈值是一个正常数，假定X中共有列被提取。

3)子矩阵归一化：

为了抑制异常值，对进行归一化处理，则当时，每一列

4)聚类计算：

将各采样点分配到不同的聚类集Ω_k,k＝1,...,K，其中Ω_k是向量集。集合Ω_k的直线方向的估计为l_k,k＝1,...,K。基于一个点p到某条超线L(l)的距离公式其中<·,·>表示内积，计算从到lk,k＝1,…,K的每一段距离当且仅当 $k=\arg \min i=1,...,K\left\{d^2(\tilde{X}\left(n\right),l_i)\right\},n\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_k.$ 假设处点被分别分配至向量集Ω_k。则可以得到一组子矩阵

5)更新方向向量：

分别循环更新l_k,k＝1,...,K和其对应的置信指数f_k如下：

计算矩阵的第一特征向量及其对应的最大特征值。应用特征分解或奇异值分解，可以得到其中U_k＝[u_1k,...u_mk]为特征向量集，Λ_k＝diag(λ_1k,...,λ_mk)，λ_1k≥…≥λ_mk，特征值λ_1k,…,λ_mk分别对应于u_1k,…,u_mk。则l_k＝u_1k，f_k＝λ_1k。

6)返回步骤4)，重复步骤4)和5)直至收敛。

7)输出估计的超线l_k,k＝1,...,K和她们对应的置信指数f_k,k＝1,...,K。则可以得到L＝[l₁,...,l_K]和f＝[f₁,...,f_K]^T,该L即为估计所得混合矩阵A。

步骤5：利用l₁最小化方法完成源信号的每一阶重构：

欠定辨识需要利用l₁最小化技术获得源信号，该技术同样是基于分析域中源信号的稀疏性，通过以下凸优化寻踪算法得到源信号的稀疏解：

$\tilde{S}\left(\mathrm{\&xi;}\right)=\arg \min \left|\right|S\left(\mathrm{\&xi;}\right)\left|\right|l_1$

AS(ξ)＝X(ξ)

其中，ξ代表时频域，l₁范数可以描述为当ξ域中的源信号被辨识后，所需要的时域源信号就可以通过以下的短时傅立叶逆变换得到：

$\tilde{S}\left(t\right)={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\left(\tilde{S}\left(\mathrm{\&xi;}\right)\right)$

步骤6：计算重构得到的每一阶源信号的指数表达，得到各阶信号的模态频率和阻尼比：

由可知由振动测量数据辨识的源响应信号为多个单一的模态向量组合n为混合矩阵列数，系统自由振动时源响应信号即多个单调指数衰减正弦信号的组合：

$S_i\left(t\right)=u_i{\exp }^{-{\mathrm{\&xi;}}_i{\mathrm{\&omega;}}_{i}t}\cos ({\mathrm{\&omega;}}_{i}t+{\mathrm{\&theta;}}_i),i=1,...,n$

其中，ω_i和ζ_i分别为第i阶振动模态的频率和阻尼比，u_i和θ_i分别为常数和相位。

实验结果：

通过测量一个尺寸为0.31m×0.0012m×0.0004m的钢制悬臂梁的振动响应试验验证本发明提出的时频域单源点稀疏成分分析工作模态辨识方法，如图2所示。该悬臂梁的材料为碳素工具钢，杨氏模量和密度分别为：2.06×10¹¹N·m^-2、7.85×10³kg·m^-3。梁的末段固定在工作台上，支点离末端的距离为0.28m。悬臂梁每隔0.01m标记一个测量点，一共21个测量点。通过高速摄像法捕捉振动的位移响应图像，8位灰度图像以500fps(1200×150像素，每像素对应0.0002m)速度进行采样，数据传至PC端进行图像处理及位移响应数据提取。部分测量点处的位移响应如图3所示。

模态参数辨识算法执行过程为：首先，通过短时傅立叶变换将振动响应数据转换入时频域；再利用单源点检测方法找出时频域内的满足点，仅利用两处测量点数据的欠定盲源辨识情况下绘制的散点图如图4所示，从该图可以看出：悬臂梁实际振动被激发的三个模态都被辨识；然后通过K超线聚类算法获得混合矩阵；利用估计得到的混合矩阵，结合最小化算法可以得到欠定情况下的频域模态响应；根据反向短时傅立叶变换和反向汉宁窗得到时域模态响应，如图5所示，并且为了验证本发明方法在欠定盲源辨识的有效性，利用全部21个测量点振动数据在确定盲源情况下的辨识的模态响应曲线，如图6所示；然后，模态频率和阻尼比可以由对数衰减方法得到，如表1所示。为了证明本发明方法辨识模态向量精度，通过模态确定性标准确定估计的模态振型误差。模态置信度准则MAC的值可以表示辨识模态形状的精度，其值计算如下：

$\mathrm{MAC}({\tilde{a}}_i,a_i)=\frac{{({{\tilde{a}}_i}^T\&CenterDot;a_i)}^2}{({{\tilde{a}}_i}^T\&CenterDot;{\tilde{a}}_i)({{\tilde{a}}_i}^T\&CenterDot;a_i)}$

其中，和a_i分别为辨识的和理论的模态向量，即辨识的和理论的混合矩阵的列向量，MAC的值范围为0～1，0代表二者无任何相关性，1代表二者完全相关。

通过表1数据可以得出利用本发明提出的时频域单源点稀疏成分分析工作模态辨识方法可以准确给出目标振动被激发模态数量和形状，辨识的欠定盲源情形下的自然频率和阻尼比和确定盲源情形下的值具有高度一致性。

表1是悬臂梁振动实验中本发明提出的方法在确定和欠定两种情况下辨识的模态参数。

本发明提出的方法不限于具体实施方式中所述的实施例，本领域技术人员根据本发明的技术方案得出其他的实施例，只要是通过时频域单源点K超线聚类稀疏成分分析法实现工作模态辨识的，也应当同样属于本发明的创新范围。

Claims (2)

1.一种基于时频域单源点稀疏成分分析的工作模态辨识方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)测量得到工作状态下设备目标位置的振动信号；

(2)将测量得到的振动信号转换入时频域，得到信号输出的混合矩阵表达；

(3)对振动信号进行单源点检测，并绘制出散点图，减少聚类分析的信号数据量，以提高混合矩阵估计精度；

(4)将单源点检测后的振动信号数据进行K超线聚类分析，估计出混合矩阵；

(5)利用l₁最小化方法完成源信号的每一阶重构；

(6)计算重构得到的每一阶源信号的指数表达，得到各阶信号的模态频率和阻尼比。

2.根据权利要求1所述的一种基于时频域单源点稀疏成分分析的工作模态辨识方法，其特征在于，步骤(4)估计出混合矩阵具体为单源点检测分离后的源振动信号组成成分为去除信号杂质的振动激发的各阶模态信号，从这些信号数据中提取子矩阵并归一化，再进入K超线聚类循环计算估计出混合矩阵。