CN104122793B - 一种满足预设性能的导弹过载控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种满足预设性能的导弹过载控制方法。本发明通过将导弹纵向通道动力学模型写成一般严格反馈系统的形式，并引入性能函数对系统跟踪误差进行性能限定。设计了一种新型的误差转化函数，达到了误差转化函数通过原点的要求。然后针对严格反馈系统，推导出了反向传递性，只对最后一个子系统进行误差转化便可实现对输出误差的预设性能控制，克服了现有方法复杂耗时的不足。本发明的导弹过载控制方法同时满足了对导弹瞬态性能和稳态性能的要求，对于导弹过载控制的发展具有重要意义。

Description

一种满足预设性能的导弹过载控制方法

技术领域

本发明涉及导弹控制技术领域，尤其涉及的是一种满足预设性能的导弹过载控制方法。

背景技术

导弹系统是一个复杂的非线性时变系统。一直使用并延续至今的传统的导弹控制系统设计方法的基础是小扰动线性化理论和系数冻结基本假设。现代战争对导弹的机动性、快速性及隐蔽性的要求越来越高，对其控制系统也提出了更高的要求。传统的线性化设计方法已不能满足时代要求。有必要寻求新的更为有效的非线性系统的设计理论和方法，对提高导弹系统的性能，提高其作战能力具有重大的实际意义。

现有的过载控制方法仅能保证系统的稳态性能，即保证跟踪误差有界或渐近收敛，而对系统的瞬态性能缺乏系统的设计和分析工具，预设性能控制是一种新兴的非线性控制方法，能够同时兼顾系统的瞬态性能和稳态性能。所谓预设性能是指在保证跟踪误差收敛到一个预先设定的任意小的区域的同时，保证收敛速度及超调量满足预先设定的条件，将预设性能控制应用于导弹的过载控制具有重要的理论和工程意义。

发明内容

本发明为了克服现有过载控制方法仅能保证系统的稳态性能的不足，提供了一种满足预设性能的导弹过载控制方法。

本发明的技术方案如下：

一种满足预设性能的导弹过载控制方法，其步骤如下

(1)给出导弹的纵向通道动力学模型

在不考虑导弹各通道之间交联的前提下，导弹纵向通道的数学模型表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}={\mathrm{\ω}}_z-\frac{1}{m_d{V}_d}(P\sin \mathrm{\α}+C_y^{\mathrm{\α}}\mathrm{\α}+C_y^{{\mathrm{\δ}}_z}{\mathrm{\δ}}_z)+\frac{g}{V_d}\cos \mathrm{\θ}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_z=\frac{1}{J_z}(M_z^{\mathrm{\α}}\mathrm{\α}+M_z^{{\mathrm{\ω}}_z}{\mathrm{\ω}}_z+M_z^{{\mathrm{\δ}}_z}{\mathrm{\δ}}_z+M_z^{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}})\\ n_y=\frac{1}{m_{d}g}(P\sin \mathrm{\α}+C_y^{\mathrm{\α}}\mathrm{\α}+C_y^{{\mathrm{\δ}}_z}{\mathrm{\δ}}_z)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，α为攻角，ω_z为俯仰角速度，θ为速度倾角，m_d为导弹质量，V_d为导弹速度，P为导弹推力，为导弹的气动参数，J_z为导弹的转动惯量，δ_z为俯仰舵偏角，n_y为导弹的纵向过载；

为简化模型，按照导弹的实际飞行情况，进行以下处理：

1)考虑到项比较小，尤其是在导弹速度倾角较大的情况下，因此忽略这一项的影响；

2)考虑俯仰舵偏角对升力的贡献较小，因此忽略这一项；

3)这一项比较小，因此忽略这一项；

经过简化处理后的模型表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\left(t\right)={\mathrm{\ω}}_z-\frac{1}{m_d{V}_d}(P\sin \mathrm{\α}+C_y^{\mathrm{\α}}\mathrm{\α})\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_z=\frac{1}{J_z}(M_z^{\mathrm{\α}}\mathrm{\α}+M_z^{{\mathrm{\ω}}_z}{\mathrm{\ω}}_z+M_z^{{\mathrm{\δ}}_z}{\mathrm{\δ}}_z)\\ n_y=\frac{1}{m_{d}g}(P\sin \mathrm{\α}+C_y^{\mathrm{\α}}\mathrm{\α})\end{array}\right.---\left(2\right)$

显然，过载n_y是关于攻角α的非线性函数，对于导弹而言，攻角α的变化范围一般在[-10° 10°]之内，因此n_y与α之间满足近似的线性关系，且两者的符号一致，在过载指令n_yc已知的前提下，利用滤波器，通过解算可以得到攻角指令α_c，因此对过载进行控制和对攻角进行控制实质上是等价的；

(2)引入性能函数对误差进行性能的预设定

系统(2)是一个典型的严格反馈的形式，写成下面一般的非线性严格反馈系统的形式：

其中，为系统的状态向量；为分别为输入量和输出量；f_i(·)，i=1，2，…，n为连续函数，

按照反演的思路进行控制器设计，首先将模型(3)进一步整理为：

其中，z_i，i＝1，2，…，n为虚拟状态量，x_j，d，j＝2，…，n为第j-1个子系统的虚拟控制量；

选取虚拟控制量和实际控制量为：

其中，k_i，i＝1，2，…，n为设计的正常数；

将式(5)代入式(4)得到闭环系统模型为：

选取Lyapunov函数为：

$V=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_n^2---\left(7\right)$

式(5)两边对时间求导，得到

$\stackrel{\·}{V}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{\stackrel{\·}{z}}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}-k_i{z}_i^2\≤-k_{0}V---\left(8\right)$

其中，因此，通过设计反演控制器(5)可以得到跟踪误差渐近稳定的结论，但只保证的系统的稳态性能，不能兼顾到瞬态性能；为了解决这个问题，引入如下的性能函数：

连续函数满足：

1)ρ(t)是正的且严格递减；

2)lim_t→∞ρ(t)＝ρ_∞＞0；

用e(t)来代表跟踪误差z_i(t)(i＝1，2，…，n)，在初始误差e(0)已知的前提下，给出如下形式的不等式约束：

$\left\{\begin{array}{ccc}-\mathrm{\&zeta;\&rho;}\left(t\right)<e\left(t\right)<\mathrm{\&rho;}\left(t\right)& \mathrm{if}& e\left(0\right)>0\\ -\mathrm{\&rho;}\left(t\right)<e\left(t\right)<\mathrm{\&zeta;\&rho;}\left(t\right)& \mathrm{if}& e\left(0\right)<0\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，t∈[0，∞)，ζ∈[0，1]；

如果不等式(9)满足，以e(0)＞0为例，则误差曲线将被限制在ρ(t)和-ζρ(t)所包围的区域之中，另外，结合函数ρ(t)的递减特性及ζ∈[0，1]可知，误差e(t)将在函数ρ(t)和-ζρ(t)的夹逼作用下迅速收敛到0的一个小邻域内；常数ρ_∞表示预先设定的稳态误差的上界，ρ(t)的衰减速度为跟踪误差e(t)收敛速度的下界，同时跟踪误差的最大超调不会大于ζρ(0)，因此，通过选择适当的性能函数ρ(t)和常数ζ便能对输出误差的稳态和瞬态性能进行限制；

在系统设计过程中，直接对不等式约束(9)进行处理的难度非常大，因此，考虑先将不等式约束转化为等式约束再进行处理，定义误差转化函数S(·)为：

e(t)＝ρ(t)S(ε) (10)

其中，ε为转化误差，S(ε)满足下述性质：

1)S(ε)光滑且严格递增；

$\begin{array}{ccc}-\mathrm{\&zeta;}<S\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)<1& \mathrm{if}& e\left(0\right)>0\\ -1<S\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)<\mathrm{\&zeta;}& \mathrm{if}& e\left(0\right)<0\end{array};---2)$

$\begin{array}{ccc}\left.\begin{array}{c}{\lim }_{\mathrm{\&epsiv;}\&RightArrow;-\&infin;}S\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)=-\mathrm{\&zeta;}\\ {\lim }_{\mathrm{\&epsiv;}\&RightArrow;+\&infin;}S\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)=1\end{array}\right\}& \mathrm{if}& e\left(0\right)>0\\ \left.\begin{array}{c}{\lim }_{\mathrm{\&epsiv;}\&RightArrow;-\&infin;}S\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)=-1\\ {\lim }_{\mathrm{\&epsiv;}\&RightArrow;+\&infin;}S\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)=\mathrm{\&zeta;}\end{array}\right\}& \mathrm{if}& e\left(0\right)<0\end{array};---3)$

由上述性质可知，当e(0)＞0时，有

-δ＜S(ε)＜1 (11)

由于ρ(t)＞0，则进一步有

-ζρ(t)＜ρ(t)S(ε)＜ρ(t) (12)

结合式(10)得到

-ζρ(t)＜e(t)＜ρ(t) (13)

同理，当e(0)＜0时，有

-ρ(t)＜e(t)＜ζρ(t) (14)

因此，不等式约束(9)得以满足；

另外，通过函数S的性质可知，S可逆，其逆变换为

显然，如果能够满足ε(t)∈l_∞，则推出不等式约束(9)成立，进一步保证跟踪信号满足预设性能的要求；结合性能函数ρ(t)的衰减特性，系统稳定后的跟踪误差将被限制在以下区域：

(3)一种新的误差转化函数

针对模型(3)，要求误差转化函数通过原点，而现有的误差转化函数多采用双曲函数的形式，当上下界参数不相等的时候无法保证误差转化函数通过原点，如果强行令上下界参数相等，又大大降低了设计的灵活性，为解决这一问题，设计了一种新的误差转化函数：

$S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{up}})=\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}\frac{{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{up}}\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}}\exp (-\mathrm{\&epsiv;})}{\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})}\arctan \left(\mathrm{\&lambda;\&epsiv;}\right)$

其中，ι_down＞ι_up＞0为常数，式(17)两边对ε求导，可得

$\begin{array}{c}\frac{\&PartialD;S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{up}})}{\&PartialD;\mathrm{\&epsiv;}}\\ =\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}}\{\frac{2(\frac{{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{up}}}{{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}}}-1)\arctan \left(\mathrm{\&lambda;\&epsiv;}\right)}{{[\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})]}^2}+\frac{\mathrm{\&lambda;}[\frac{{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{up}}}{{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}}}\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})]}{[\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})][1+{\left(\mathrm{\&lambda;\&epsiv;}\right)}^2]}\}\\ =\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}}\{\frac{\mathrm{\&lambda;}[\mathrm{\&tau;exp}\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})]}{[\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})][1+{\mathrm{\&lambda;\&epsiv;}}^2]}-\frac{2(1-\mathrm{\&tau;})\arctan \left(\mathrm{\&lambda;\&epsiv;}\right)}{{[\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})]}^2}\}\end{array}---\left(18\right)$

其中，显然，当ε∈(-∞，0]时，当ε∈(0，+∞)时的情况比较复杂，这里采用分段处理的办法，分别讨论和的情况；当时，通过选取足够小的λ，得到arctan(λε)≈λε，因此式(17)变为：

$S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{up}})\&ap;\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}\frac{{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{up}}\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}}\exp (-\mathrm{\&epsiv;})}{\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})}\left(\mathrm{\&lambda;\&epsiv;}\right)---\left(19\right)$

式(19)两边对时间求导，得到

$\begin{array}{c}\frac{\&PartialD;S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{up}})}{\&PartialD;\mathrm{\&epsiv;}}\\ \&ap;\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;\&iota;}}_{\mathrm{down}}\{\frac{[\mathrm{\&tau;exp}\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})]}{[\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})]}-\frac{2(1-\mathrm{\&tau;})\mathrm{\&epsiv;}}{{[\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})]}^2}\}\end{array}---\left(20\right)$

令 $\frac{\&PartialD;S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{up}})}{\&PartialD;\mathrm{\&epsiv;}}>0,$ 则有

$\mathrm{\&tau;}>\frac{-\exp (-2\mathrm{\&epsiv;})+2\mathrm{\&epsiv;}-1}{\exp \left(2\mathrm{\&epsiv;}\right)+2\mathrm{\&epsiv;}+1}---\left(21\right)$

又有 $\underset{\mathrm{\&epsiv;}\&Element;(0,+\&infin;)}{\max }\left\{\frac{-\exp (-2\mathrm{\&epsiv;})+2\mathrm{\&epsiv;}-1}{\exp \left(2\mathrm{\&epsiv;}\right)+2\mathrm{\&epsiv;}+1}\right\}=0.0908,$ 因此，当τ＞0.0908时， $\frac{\&PartialD;S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{up}})}{\&PartialD;\mathrm{\&epsiv;}}>0;$

当时，近似认为exp(-ε)≈0，exp(-2ε)≈0，将其代入式(18)，得到

$\begin{array}{c}\frac{\&PartialD;S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{up}})}{\&PartialD;\mathrm{\&epsiv;}}=\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}}\{\frac{\mathrm{\&lambda;\&tau;}}{[1+{\left(\mathrm{\&lambda;\&epsiv;}\right)}^2]}-\frac{2(1-\mathrm{\&tau;})\arctan \left(\mathrm{\&lambda;\&epsiv;}\right)}{2+\exp \left(2\mathrm{\&epsiv;}\right)}\}\\ >\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}}\{\frac{\mathrm{\&lambda;\&tau;}}{1+{\left(\mathrm{\&lambda;\&epsiv;}\right)}^2}-\frac{\mathrm{\&pi;}(1-\mathrm{\&tau;})}{2+\exp \left(2\mathrm{\&epsiv;}\right)}\}\end{array}---\left(22\right)$

显然，当λ足够小时，有

$\frac{\mathrm{\&lambda;\&tau;}}{1+{\left(\mathrm{\&lambda;\&epsiv;}\right)}^2}-\frac{\mathrm{\&pi;}(1-\mathrm{\&tau;})}{2+\exp \left(2\mathrm{\&epsiv;}\right)}>0---\left(23\right)$

因此，得到 $\frac{\&PartialD;S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{down}},{\mathrm{\&iota;}}_{\mathrm{up}})}{\&PartialD;\mathrm{\&epsiv;}}>0;$

综上可得，在ι_down＞ι_up＞0的前提下，当τ＞0.0908时，通过选取足够小的参数λ，使得即误差传递函数S为严格递增的；同理，在ι_up＞ι_down＞0的前提下，具有类似的结论；

综上可知，式(7)满足单调递增的条件，则其满足误差传递函数的所有条件且通过原点；

(4)预设性能的反向传递性

按照式(4)和式(5)的反演方法对系统(3)进行控制器设计，如果要求跟踪误差满足预设性能的要求，通常的作法是对每一个子系统进行误差转化，这个过程是复杂且耗时的，对于导弹这类实时性较强的系统来说是不适用的，这里证明了预设性能的反向传递性，只对最后一个子系统进行误差转化便可实现对输出误差的预设性能控制；

在公式(6)的基础上对最后一个子系统进行误差转化，得到

其中， ρ(t)＝(ρ₀-ρ_∞)exp(-lt)+ρ_∞，ρ₀＞|z_n(0)|，这里设z_n(0)＞0，0＜μ＜1；

因为只对最后一个子系统进行了误差转化，因此虚拟控制量的设计与式(7)类似，而实际控制量u则需要重新设计；选取新的虚拟控制量和实际控制量为：

将式(25)代入式(24)，得到新的误差状态方程为：

式(26)之所以与式(8)在形式上有略微的不同，是因为在虚拟控制量选取过程中省去了子系统之间的交叉项，将每个子系统作为一个独立的系统进行设计，而将下一个子系统的误差状态量作为有界干扰进行处理；

明显可以看出，转化误差因此误差状态量z_n满足预设性能的要求，即z_n(t)处于ρ(t)和-δρ(t)所包围的区域，将式(8)中的第n-1个子系统单独列出来：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{n-1}=-k_{n-1}{z}_{n-1}+z_n---\left(27\right)$

式(27)两边同时乘以exp(k_n-1t)，并整理得到

$\frac{d\left(\exp \left(k_{n-1}\right)z_{n-1}\right)}{\mathrm{dt}}\exp \left(k_{n-1}t\right)z_n---\left(28\right)$

式(28)两边对时间求积分，得到

$z_{n-1}=\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)+\exp (-k_{n-1}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-1}\mathrm{\&tau;}\right)z_n\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(29\right)$

由于z_n处于ρ(t)和-δρ(t)所包围的区域中，且ρ(t)为严格递减的正函数，则ρ(t)和-δρ(t)分别代表了z_n的上界和下界，通过观察式(29)也容易看出，当z_n取ρ(t)和-δρ(t)时得到的z_n-1也分别代表着z_n-1的上界和下界；

首先用ρ(t)代替z_n，得到z_n-1的上界为：

$\begin{array}{c}{z}_{n-1,\mathrm{up}}\\ =\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)+\exp (-k_{n-1}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-1}\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{\&rho;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}\\ =\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)+\exp (-k_{n-1}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-1}\mathrm{\&tau;}\right)[({\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;})\exp (-\mathrm{l\&tau;})+{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}]\mathrm{d\&tau;}\\ =\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)+\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}-l}\exp (-\mathrm{lt})+\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}}-\exp (-k_{n-1}t)(\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}-l}+\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}})\\ =\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}-l}\exp (-\mathrm{lt})+\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}}+\exp (-k_{n-1}t)(z_{n-1}\left(0\right)-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}-l}-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}})\end{array}---\left(30\right)$

同理，用-δρ(t)代替z_n，得到z_n-1的下界为：

$\begin{array}{c}{z}_{n-1,\mathrm{down}}\\ =\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)-\mathrm{\&delta;exp}(-k_{n-1}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-1}\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{\&rho;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}\\ =\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)-\mathrm{\&delta;exp}(-k_{n-1}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-1}\mathrm{\&tau;}\right)[({\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;})\exp (-\mathrm{l\&tau;})+{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}]\mathrm{d\&tau;}\\ =\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}-l}\exp (-\mathrm{lt})-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}}+\exp (-k_{n-1}t)(\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}-l}+\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}})\\ =\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}-l}\exp (-\mathrm{lt})-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}}+\exp (-k_{n-1}t)(z_{n-1}\left(0\right)+\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}-l}+\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}})\end{array}---\left(31\right)$

令 $a_{n-1,\mathrm{up}}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}-l},$ $b_{n-1,\mathrm{up}}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}},$ $c_{n-1,\mathrm{up}}=z_{n-1}\left(0\right)-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}-l}-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}};$

$a_{n-1,\mathrm{down}}=-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}-l},$ $b_{n-1,\mathrm{down}}=-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}},$ $c_{n-1,\mathrm{down}}=z_{n-1}\left(0\right)+\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}-l}+\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}},$ 得到

z_n-1，up＝a_n-1，upexp(-lt)+b_n-1，up+c_n-1，upexp(-k_n-1t) (32)

z_n-1，down＝a_n-1，downexp(-lt)+b_n-1，down+c_n-1，downexp(-k_n-1t) (33)

进一步研究式(26)中第n-2个子系统的情况：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{n-2}=-k_{n-2}{z}_{n-2}+z_{n-1}---\left(34\right)$

式(34)两边同时乘以exp(k_n-2t)，并整理得到

$\frac{d\left(\exp \left(k_{n-1}\right)z_{n-1}\right)}{\mathrm{dt}}\exp \left(k_{n-1}t\right)z_n---\left(35\right)$

式(35)两边对时间求积分，得到

$z_{n-2}=\exp (-k_{n-2}t)z_{n-2}\left(0\right)+\exp (-k_{n-2}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-2}\mathrm{\&tau;}\right)z_{n-1}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(36\right)$

由于z_n-1处于z_n-1，up和z_n-1，down所包围的区域中，通过与前面类似的分析可知，当z_n-1取z_n-1，up和z_n-1，down时得到的z_n-2分别代表着z_n-2的上界和下界；

用z_n-1，up代替z_n-1，得到z_n-2的上界为：

$\begin{array}{c}{z}_{n-2,\mathrm{up}}=\exp (-k_{n-2}t)z_{n-2}\left(0\right)+\exp (-k_{n-2}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-2}\mathrm{\&tau;}\right)z_{n-1}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}\\ =\frac{a_{n-1,\mathrm{up}}}{k_{n-2}-l}\exp (-\mathrm{lt})+\frac{b_{n-1,\mathrm{up}}}{k_{n-2}}+\frac{c_{n-1,\mathrm{up}}}{k_{n-2}-k_{n-1}}\exp (-k_{n-1}t)+\\ [z_{n-2}\left(0\right)-\frac{a_{n-1,\mathrm{up}}}{k_{n-2}-l}-\frac{b_{n-1,\mathrm{up}}}{k_{n-2}}-\frac{c_{n-1,\mathrm{up}}}{k_{n-2}-k_{n-1}}]\exp (-k_{n-2}t)\\ =a_{n-2,\mathrm{up}}\exp (-\mathrm{lt})+b_{n-2,\mathrm{up}}+c_{n-2,\mathrm{up}}\exp (-k_{n-1}t)+d_{n-2,\mathrm{up}}\exp (-k_{n-2}t)\end{array}---\left(37\right)$

其中， $a_{n-2,\mathrm{up}}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{(k_{n-1}-l)(k_{n-2}-l)},$ $b_{n-2,\mathrm{up}}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}{k}_{n-2}},$ $c_{n-2,\mathrm{up}}=\frac{c_{n-1,\mathrm{up}}}{k_{n-2}-k_{n-1}},$ $d_{n-2,\mathrm{up}}=z_{n-2}\left(0\right)-\frac{a_{n-1,\mathrm{up}}}{k_{n-2}-l}-\frac{b_{n-1,\mathrm{up}}}{k_{n-2}}-\frac{c_{n-1,\mathrm{up}}}{(k_{n-2}-k_{n-1})};$

同理，用z_n-1，down代替z_n-1，得到z_n-2的下界为：

z_n-2，down＝a_n-2，downexp(-lt)+b_n-2，down+c_n-2，downexp(-k_n-1t)+d_n-2，downexp(-k_n-2t) (38)

其中， $a_{n-2,\mathrm{down}}=-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{(k_{n-1}-l)(k_{n-2}-l)},$ $b_{n-2,\mathrm{dowm}}=-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}{k}_{n-2}},$ $c_{n-2,\mathrm{down}}=\frac{c_{n-1,\mathrm{down}}}{k_{n-2}-k_{n-1}},$ $d_{n-2,\mathrm{down}}=z_{n-2}\left(0\right)-\frac{a_{n-1,\mathrm{down}}}{k_{n-2}-l}-\frac{b_{n-1,\mathrm{down}}}{k_{n-2}}-\frac{c_{n-1,\mathrm{down}}}{(k_{n-2}-k_{n-1})};$

以此类推，得到z₁的上界为：

z_1，up＝a_1，upexp(-lt)+b_1，up+c_1，upexp(-k_n-1t)+d_1，upexp(-k_n-2t)+… (39)

其中， $a_{1,\mathrm{up}}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{(k_{n-1}-l)(k_{n-2}-l)\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;(k_1-l)},$ $b_{1,\mathrm{up}}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}{k}_{n-2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;k_1},$ c_1，up，d_1，up通过递推得到；

z₁的下界为：

z_1，down＝a_1，downexp(-lt)+b_1，down+c_1，downexp(-k_n-1t)+d_1，downexp(-k_n-2t)+… (40)

其中， $a_{1,\mathrm{down}}=-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{(k_{n-1}-l)(k_{n-2}-l)\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;(k_1-l)},$ $b_{1,\mathrm{down}}=-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}{k}_{n-2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;k_1},$ c_1，down，d_1，down，通过递推得到；

通过选取足够大的控制器参数k₁，k₂，…，k_n，消除式(39)和式(40)中除前两项之外其他项的影响，因此z₁的上界和下界分别为：

z_1，up＝a_1，upexp(-lt)+b_1，up (41)

z_1，down＝a_1，downexp(-lt)+b_1，down

其中， $a_{1,\mathrm{up}}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{(k_{n-1}-l)(k_{n-2}-l)\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;(k_1-l)},$ $b_{1,\mathrm{up}}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}{k}_{n-2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;k_1},$ $a_{1,\mathrm{down}}=-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{(k_{n-1}-l)(k_{n-2}-l)\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;(k_1-l)},$ $b_{1,\mathrm{down}}=-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\&infin;}}{k_{n-1}{k}_{n-2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;k_1},$ 通过令a_n，up＝ρ₀-ρ_∞，b_n，up＝ρ_∞，a_n，up＝-δ(ρ₀-ρ_∞)，b_n，down＝-δρ_∞，进一步有 $a_{1,\mathrm{up}}=\frac{a_{n,\mathrm{up}}}{(k_{n-1}-l)(k_{n-2}-l)\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;(k_1-l)},$ $b_{1,\mathrm{up}}=\frac{b_{n,\mathrm{up}}}{k_{n-1}{k}_{n-2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;k_1},$ $a_{1,\mathrm{down}}=\frac{a_{n,\mathrm{down}}}{(k_{n-1}-l)(k_{n-2}-l)\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;(k_1-l)},$ $b_{1,\mathrm{down}}=\frac{b_{n,\mathrm{up}}}{k_{n-1}{k}_{n-2}...k_1};$

由此可知，如果第n个子系统满足预设性能的要求，即误差z_n被限制在上界z_n，up和下界z_n，down所包围的区域中，其中，z_n，up＝a_n，upexp(-lt)+b_n，up，z_n，down＝a_n，downexp(-lt)+b_n，down，那么，跟踪误差e同样满足预设性能的要求，即跟踪误差z₁将被限制在上界z_1，up和下界z_1，down所包围的区域之中，其中z_1，up＝a_1，upexp(-lt)+b_1，up，z_1，down＝a_1，downexp(-lt)+b_1，down，且参数a_1，up，b_1，up，a_1，down和b_1，down通过参数a_n，up，b_n，up，a_n，down，b_n，down及控制器参数k_i，i＝1，…，n计算得到，其具体形式为 $a_{1,\mathrm{up}}=\frac{a_{n,\mathrm{up}}}{(k_{n-1}-l)...(k_1-l)},$ $b_{1,\mathrm{up}}=\frac{b_{n,\mathrm{up}}}{k_{n-1}...k_1},$ $a_{1,\mathrm{down}}=\frac{a_{n,\mathrm{down}}}{(k_{n-1}-l)...(k_1-l)},$ $b_{1,\mathrm{down}}=\frac{b_{n,\mathrm{up}}}{k_{n-1}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;k_1};$ 我们称这种性质为预设性能的反向传递性；这样我们只需对最后一个子系统进行设计，使其满足预先设定的性能要求，这样就避免了对每一个子系统进行误差转化，大大提高在实际控制过程中实时性；

(5)基于预设性能的导弹过载控制

下面对式(1)表示的导弹动力学模型进行满足预设性能的过载控制器设计，针对式(2)的第1个子系统，令z₁＝α-α_c，则其动态方程变为：

${\stackrel{.}{z}}_1={\mathrm{\&omega;}}_z-\frac{1}{m_d{V}_d}(P\sin \mathrm{\&alpha;}+C_y^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;})-{\stackrel{.}{\mathrm{\&alpha;}}}_c---\left(42\right)$

将ω_z作为第1个子系统的控制输入，则式(42)进一步变为：

${\stackrel{.}{z}}_1=-\frac{1}{m_d{V}_d}(P\sin \mathrm{\&alpha;}+C_y^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;})-{\stackrel{.}{\mathrm{\&alpha;}}}_c+{\mathrm{\&omega;}}_{z,c}+z_2---\left(43\right)$

其中，ω_z，c为虚拟控制量，z₂＝ω_z-ω_z，c为误差状态量；

选取虚拟控制量ω_z，c为：

${\mathrm{\&omega;}}_{z,c}=\frac{1}{m_d{V}_d}(P\sin \mathrm{\&alpha;}+C_y^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;})+{\stackrel{.}{\mathrm{\&alpha;}}}_c-k_1{z}_1-\frac{z_1}{4}---\left(44\right)$

其中，k₁＞0为设计的控制器参数；

针对式(2)的第2个子系统，结合z₂＝ω_z-ω_z，c得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=\frac{1}{J_z}(M_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+M_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z+M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z)-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{z,c}---\left(45\right)$

利用函数S^-1(·)对z₂进行误差转化，得到新的误差状态量ε为：

ε＝S^-1(z₂/ρ) (46)

其中，ρ＝(ρ₀-ρ_∞)exp(-lt)+ρ_∞为设定的性能函数，ρ₀＞0，ρ_∞为任意小的正常数；

式(46)两边对时间求导，得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=\frac{{\&PartialD;S}^{-1}}{\&PartialD;(z_2/\mathrm{\&rho;})}\frac{1}{\mathrm{\&rho;}}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2---\left(47\right)$

将式(45)代入式(47)，得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=\frac{{\&PartialD;S}^{-1}}{\&PartialD;(z_2/\mathrm{\&rho;})}\frac{1}{\mathrm{\&rho;}}[(M_z^{\mathrm{\&alpha;}}+M_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z+M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z)/J_z-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{z,c}-\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}}{\mathrm{\&rho;}}{z}_2]---\left(48\right)$

令则式(48)进一步变为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=r[(M_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+M_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z+M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z)/J_z-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{z,c}-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}{z}_2/\mathrm{\&rho;}]---\left(49\right)$

选取控制量δ_z为：

${\mathrm{\&delta;}}_z=-\frac{M_z^{\mathrm{\&alpha;}}}{M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}}\mathrm{\&alpha;}-\frac{M_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}}{M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}}{\mathrm{\&omega;}}_z+\frac{J_z}{M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{z,c}+\frac{J_z\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}{z}_2}{M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}\mathrm{\&rho;}}-\frac{k_2}{r}\mathrm{\&epsiv;}-\frac{{\mathrm{\&eta;}}^2}{r}\mathrm{\&epsiv;}---\left(50\right)$

其中，k₂＞0为设计的控制器参数，

选取如下形式的Lyapunov函数：

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_2^2---\left(51\right)$

式(51)两边对时间求导并将式(43)和式(49)代入，得到

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=z_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+{\mathrm{\&epsiv;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_1\\ =z_1(-\frac{1}{m_d{V}_d}(P\sin \mathrm{\&alpha;}+C_y^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;})-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_c+{\mathrm{\&omega;}}_{z,c}+z_2)\\ +{\mathrm{r\&epsiv;}}_1[(M_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+M_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z+M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z)/J_z-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{z,c}-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}{z}_2/\mathrm{\&rho;}]\end{array}---\left(52\right)$

将式(44)和式(50)代入式(52)得到

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=-k_1{z}_1^2-\frac{z_1^2}{4}+z_1{z}_2-k_2{\mathrm{\&epsiv;}}_2^2-{\mathrm{\&eta;}}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^2\\ =-k_1{z}_1^2-k_2{\mathrm{\&epsiv;}}_2^2-{(\frac{z_1}{2}-z_2)}^2+z_2^2-{\mathrm{\&eta;}}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^2\end{array}---\left(53\right)$

由于误差传递函数S(ε)光滑有界、严格递增且通过原点，可知是存在的，另外由拉格朗日中值定理可得

$z_2=S\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)=\frac{\mathrm{dS}\left({\mathrm{\&epsiv;}}^{\&prime;}\right)}{\mathrm{d\&epsiv;}}\mathrm{\&epsiv;}---\left(54\right)$

其中，ε′处于由0和ε所确定的闭区间内，因此得到

|z₂|≤|ηε| (55)

因此式(53)进一步整理为

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-k_1{z}_1^2-k_2{\mathrm{\&epsiv;}}_2^2\&le;-\mathrm{kV}---\left(56\right)$

其中，k＝min{2k₁，2k₂}，因此，闭环系统是渐近稳定的。

本发明的导弹过载控制方法同时满足了对导弹瞬态性能和稳态性能的要求，对于导弹过载控制的发展具有重要意义。

附图说明

图1为实际攻角跟踪攻角指令的情况；

图2为俯仰角速度跟踪俯仰角速度指令的情况；

图3为导弹攻角的跟踪误差；

图4为导弹俯仰角速度跟踪误差；

图5为转化误差随时间变化情况；

图6为控制指令随时间变化情况。

具体实施方式

以下结合具体实施例，对本发明进行详细说明。

实施例

针对在某特征点处的导弹过载控制模型，如下式所示。

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2-0.8\sin x_1-0.5x_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-0.3x_1-2x_2-0.4u\end{array}\right.---\left(57\right)$

其输出方程为：

y＝0.8sinx₁+0.5x₁ (58)

其中，x₁表示攻角，x₂表示俯仰角速度，u表示俯仰舵偏角。

采用反演的设计思路，将式(57)转化为误差方程的形式，如下式所示。

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=x_{2,d}-0.8\sin x_1-0.5x_1+z_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1,d}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=-0.3x_1-2x_2-0.4u-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2,d}\end{array}\right.---\left(59\right)$

其中，z₁，z₂为状态误差，x_2，d为虚拟控制量，分别为期望状态量和虚拟控制量的微分，期望轨迹取为

对第2个子系统进行误差转化，得到

ε＝S^-1(z₂/ρ) (60)

其中，性能函数取为ρ＝(1-0.001)exp(-t)+0.001，误差转化函数取为

$S\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)=\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}\frac{0.5\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})}{\exp \left({\mathrm{\&epsiv;}}_0\right)+\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)}\&CenterDot;\arctan \left(\mathrm{\&epsiv;}\right).$

此系统采用控制律为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{2,d}=0.8\sin x_1+0.5x_1+\frac{10}{57.3}\cos \left(t\right)-2z_1-\frac{z_1}{4}\\ u=-0.75x_1-5x_2-2.5{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2,d}-\frac{2.5\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}{z}_2}{\mathrm{\&rho;}}-\frac{4}{r}\mathrm{\&epsiv;}-\frac{{\mathrm{\&eta;}}^2}{r}\mathrm{\&epsiv;}\end{array}\right.---\left(61\right)$

其中， $r=\frac{{\&PartialD;S}^{-1}}{\&PartialD;(z_2/\mathrm{\&rho;})}\frac{1}{\mathrm{\&rho;}},$ $\mathrm{\&eta;}=\underset{\mathrm{\&epsiv;}}{\max }\left\{\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{d\&epsiv;}}\right\}.$

从图1和图2可以看出，攻角和跟踪角速度在很短的时间内便跟踪上各自的指令信号，且实现了稳定跟踪；从图3和图4可以看出，跟踪误差始终在预先设定的可行域内运行，因此满足预设的稳态和瞬态性能要求；图5表明转化误差始终有界，间接说明了闭环系统中相关信号的有界性；图6给出的控制指令光滑有界，满足控制要求。

应当理解的是，对本领域普通技术人员来说，可以根据上述说明加以改进或变换，而所有这些改进和变换都应属于本发明所附权利要求的保护范围。

Claims (1)

1.一种满足预设性能的导弹过载控制方法，其特征是，其步骤如下：

(1)给出导弹的纵向通道动力学模型

在不考虑导弹各通道之间交联的前提下，导弹纵向通道的数学模型表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}={\mathrm{\&omega;}}_z-\frac{1}{m_d{V}_d}(Psin\mathrm{\&alpha;}+C_y^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+C_y^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z)+\frac{g}{V_d}cos\mathrm{\&theta;}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_z=\frac{1}{J_z}(M_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+M_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z+M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z+M_z^{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}})\\ n_y=\frac{1}{m_{d}g}(P\sin \mathrm{\&alpha;}+C_y^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+C_y^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，α为攻角，ω_z为俯仰角速度，θ为速度倾角，m_d为导弹质量，V_d为导弹速度，P为导弹推力，为导弹的气动参数，J_z为导弹的转动惯量，δ_z为俯仰舵偏角，n_y为导弹的纵向过载；

为简化模型，按照导弹的实际飞行情况，进行以下处理：

1)考虑到项比较小，尤其是在导弹速度倾角较大的情况下，因此忽略这一项的影响；

2)考虑俯仰舵偏角对升力的贡献较小，因此忽略这一项；

3)这一项比较小，因此忽略这一项；

经过简化处理后的模型表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}={\mathrm{\&omega;}}_z-\frac{1}{m_d{V}_d}(Psin\mathrm{\&alpha;}+C_y^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_z=\frac{1}{J_z}(M_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+M_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z+M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z)\\ n_y=\frac{1}{m_{d}g}(P\sin \mathrm{\&alpha;}+C_y^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;})\end{array}\right.---\left(2\right)$

显然，过载n_y是关于攻角α的非线性函数，对于导弹而言，攻角α的变化范围一般在[-10°10°]之内，因此n_y与α之间满足近似的线性关系，且两者的符号一致，在过载指令n_yc已知的前提下，利用滤波器，通过解算可以得到攻角指令α_c，因此对过载进行控制和对攻角进行控制实质上是等价的；

(2)引入性能函数对误差进行性能的预设定

系统(2)是一个典型的严格反馈的形式，写成下面一般的非线性严格反馈系统的形式：

其中，为系统的状态向量；为分别为输入量和输出量；f_i(·)，i＝1,2,…,n为连续函数；

按照反演的思路进行控制器设计，首先将模型(3)进一步整理为：

其中，z_i，i＝1,2,…,n为虚拟状态量，x_j,d，j＝2,…,n为第j-1个子系统的虚拟控制量；

选取虚拟控制量和实际控制量为：

其中，k_i，i＝1,2,…,n为设计的正常数；

将式(5)代入式(4)得到闭环系统模型为：

选取Lyapunov函数为：

$V=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{z}_n^2---\left(7\right)$

式(5)两边对时间求导，得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{z}_i{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}-k_i{z}_i^2\&le;-k_{0}V---\left(8\right)$

其中，因此，通过设计反演控制器(5)可以得到跟踪误差渐近稳定的结论，但只保证的系统的稳态性能，不能兼顾到瞬态性能；为了解决这个问题，引入如下的性能函数：

连续函数满足：

1)ρ(t)是正的且严格递减；

2)lim_t→∞ρ(t)＝ρ_∞>0；

用e(t)来代表跟踪误差z_i(t)(i＝1,2,…,n)，在初始误差e(0)已知的前提下，给出如下形式的不等式约束：

其中，t∈[0,∞)，

如果不等式(9)满足，以e(0)>0为例，则误差曲线将被限制在ρ(t)和所包围的区域之中，另外，结合函数ρ(t)的递减特性及可知，误差e(t)将在函数ρ(t)和的夹逼作用下迅速收敛到0的一个小邻域内；常数ρ_∞表示预先设定的稳态误差的上界，ρ(t)的衰减速度为跟踪误差e(t)收敛速度的下界，同时跟踪误差的最大超调不会大于因此，通过选择适当的性能函数ρ(t)和常数便能对输出误差的稳态和瞬态性能进行限制；

在系统设计过程中，直接对不等式约束(9)进行处理的难度非常大，因此，考虑先将不等式约束转化为等式约束再进行处理，定义误差转化函数S(·)为：

e(t)＝ρ(t)S(ε) (10)

其中，ε为转化误差，S(ε)满足下述性质：

1)S(ε)光滑且严格递增；

2)

3)

由上述性质可知，当e(0)>0时，有

-δ<S(ε)<1 (11)

由于ρ(t)>0，则进一步有

结合式(10)得到

同理，当e(0)<0时，有

因此，不等式约束(9)得以满足；

另外，通过函数S的性质可知，S可逆，其逆变换为

显然，如果能够满足则推出不等式约束(9)成立，进一步保证跟踪信号满足预设性能的要求；结合性能函数ρ(t)的衰减特性，系统稳定后的跟踪误差将被限制在以下区域：

(3)一种新的误差转化函数

针对模型(3)，要求误差转化函数通过原点，而现有的误差转化函数多采用双曲函数的形式，当上下界参数不相等的时候无法保证误差转化函数通过原点，如果强行令上下界参数相等，又大大降低了设计的灵活性，为解决这一问题，设计了一种新的误差转化函数：

$S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{down},{\mathrm{\&iota;}}_{up})=\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}\frac{{\mathrm{\&iota;}}_{up}\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+{\mathrm{\&iota;}}_{down}\exp (-\mathrm{\&epsiv;})}{\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})}\arctan \left(\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&epsiv;}\right)---\left(17\right)$

其中，ι_down>ι_up>0为常数，式(17)两边对ε求导，可得

$\begin{array}{c}\frac{\&part;S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{down},{\mathrm{\&iota;}}_{up})}{\&part;\mathrm{\&epsiv;}}\\ =\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&iota;}}_{down}\left\{\frac{2(\frac{{\mathrm{\&iota;}}_{up}}{{\mathrm{\&iota;}}_{down}}-1)\arctan \left(\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&epsiv;}\right)}{{\&lsqb;\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})\&rsqb;}^2}+\frac{\mathrm{\&lambda;}\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&iota;}}_{up}}{{\mathrm{\&iota;}}_{down}}\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})}{\&lsqb;\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})\&rsqb;\&lsqb;1+{\left(\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&epsiv;}\right)}^2\&rsqb;}\right\}\\ =\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&iota;}}_{down}\left\{\frac{\mathrm{\&lambda;}\&lsqb;\mathrm{\&tau;}\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})\&rsqb;}{\&lsqb;\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})\&rsqb;\&lsqb;1+{\left(\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&epsiv;}\right)}^2\&rsqb;}-\frac{2(1-\mathrm{\&tau;})\arctan \left(\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&epsiv;}\right)}{{\&lsqb;\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})\&rsqb;}^2}\right\}\end{array}---\left(18\right)$

其中，显然，当ε∈(-∞,0]时，当ε∈(0,+∞)时的情况比较复杂，这里采用分段处理的办法，分别讨论和的情况；当时，通过选取足够小的λ，得到arctan(λε)≈λε，因此式(17)变为：

$S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{down},{\mathrm{\&iota;}}_{up})\&ap;\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}\frac{{\mathrm{\&iota;}}_{up}\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+{\mathrm{\&iota;}}_{down}\exp (-\mathrm{\&epsiv;})}{\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})}\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&epsiv;}---\left(19\right)$

式(19)两边对时间求导，得到

$\begin{array}{c}\frac{\&part;S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{down},{\mathrm{\&iota;}}_{up})}{\&part;\mathrm{\&epsiv;}}\\ \&ap;\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&lambda;\&iota;}}_{down}\left\{\frac{\&lsqb;\mathrm{\&tau;}\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})\&rsqb;}{\&lsqb;\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})\&rsqb;}-\frac{2(1-\mathrm{\&tau;})\mathrm{\&epsiv;}}{{\&lsqb;\exp \left(\mathrm{\&epsiv;}\right)+\exp (-\mathrm{\&epsiv;})\&rsqb;}^2}\right\}\end{array}---\left(20\right)$

令则有

$\mathrm{\&tau;}>\frac{-\exp (-2\mathrm{\&epsiv;})+2\mathrm{\&epsiv;}-1}{\exp \left(2\mathrm{\&epsiv;}\right)+2\mathrm{\&epsiv;}+1}---\left(21\right)$

又有因此，当τ>0.0908时，

当时，近似认为exp(-ε)≈0，exp(-2ε)≈0，将其代入式(18)，得到

$\begin{array}{c}\frac{\&part;S(\mathrm{\&epsiv;},{\mathrm{\&iota;}}_{down},{\mathrm{\&iota;}}_{up})}{\&part;\mathrm{\&epsiv;}}=\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&iota;}}_{down}\left\{\frac{\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&tau;}}{\&lsqb;1+{\left(\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&epsiv;}\right)}^2\&rsqb;}-\frac{2(1-\mathrm{\&tau;})\arctan \left(\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&epsiv;}\right)}{2+\exp \left(2\mathrm{\&epsiv;}\right)}\right\}\\ >\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&iota;}}_{down}\left\{\frac{\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&tau;}}{1+{\left(\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&epsiv;}\right)}^2}-\frac{\mathrm{\&pi;}(1-\mathrm{\&tau;})}{2+\exp \left(2\mathrm{\&epsiv;}\right)}\right\}\end{array}---\left(22\right)$

显然，当λ足够小时，有

$\frac{\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&tau;}}{1+{\left(\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&epsiv;}\right)}^2}-\frac{\mathrm{\&pi;}(1-\mathrm{\&tau;})}{2+\exp \left(2\mathrm{\&epsiv;}\right)}>0---\left(23\right)$

因此，得到

综上可得，在ι_down>ι_up>0的前提下，当τ>0.0908时，通过选取足够小的参数λ，使得即误差传递函数S为严格递增的；

综上可知，式(7)满足单调递增的条件，则其满足误差传递函数的所有条件且通过原点；

(4)预设性能的反向传递性

按照式(4)和式(5)的反演方法对系统(3)进行控制器设计，如果要求跟踪误差满足预设性能的要求，通常的作法是对每一个子系统进行误差转化，这个过程是复杂且耗时的，对于导弹这类实时性较强的系统来说是不适用的，这里证明了预设性能的反向传递性，只对最后一个子系统进行误差转化便可实现对输出误差的预设性能控制；

在公式(6)的基础上对最后一个子系统进行误差转化，得到

其中，ρ(t)＝(ρ₀-ρ_∞)exp(-lt)+ρ_∞，ρ₀>|z_n(0)|，这里设z_n(0)>0，0<μ<1；

因为只对最后一个子系统进行了误差转化，因此虚拟控制量的设计与式(7)类似，而实际控制量u则需要重新设计；选取新的虚拟控制量和实际控制量为：

将式(25)代入式(24)，得到新的误差状态方程为：

式(26)之所以与式(8)在形式上有略微的不同，是因为在虚拟控制量选取过程中省去了子系统之间的交叉项，将每个子系统作为一个独立的系统进行设计，而将下一个子系统的误差状态量作为有界干扰进行处理；

明显可以看出，转化误差因此误差状态量zn满足预设性能的要求，即z_n(t)处于ρ(t)和-δρ(t)所包围的区域，将式(8)中的第n-1个子系统单独列出来：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{n-1}=-k_{n-1}{z}_{n-1}+z_n---\left(27\right)$

式(27)两边同时乘以exp(k_n-1t)，并整理得到

$\frac{d\left(\exp \right(k_{n-1}t\left)z_{n-1}\right)}{dt}=\exp \left(k_{n-1}t\right)z_n---\left(28\right)$

式(28)两边对时间求积分，得到

$z_{n-1}=\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)+\exp (-k_{n-1}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-1}\mathrm{\&tau;}\right)z_n\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}---\left(29\right)$

由于z_n处于ρ(t)和-δρ(t)所包围的区域中，且ρ(t)为严格递减的正函数，则ρ(t)和-δρ(t)分别代表了z_n的上界和下界，通过观察式(29)也容易看出，当z_n取ρ(t)和-δρ(t)时得到的z_n-1也分别代表着z_n-1的上界和下界；

首先用ρ(t)代替z_n，得到z_n-1的上界为：

$\begin{array}{c}{z}_{n-1,up}\\ =\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)+\exp (-k_{n-1}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-1}\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{\&rho;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}\\ =\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)+\exp (-k_{n-1}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-1}\mathrm{\&tau;}\right)\&lsqb;({\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}})\exp (-l\mathrm{\&tau;})+{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}\&rsqb;d\mathrm{\&tau;}\\ =\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)+\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}-l}\exp (-lt)+\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}}-\exp (-k_{n-1}t)(\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}-l}+\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}})\\ =\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}-l}\exp (-lt)+\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}}+\exp (-k_{n-1}t)\left(z_{n-1}\right(0)-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}-l}-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}})\end{array}---\left(30\right)$

同理，用-δρ(t)代替z_n，得到z_n-1的下界为：

$\begin{array}{c}{z}_{n-1,down}\\ =\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)-\mathrm{\&delta;}\exp (-k_{n-1}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-1}\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{\&rho;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}\\ =\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)-\mathrm{\&delta;}\exp (-k_{n-1}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-1}\mathrm{\&tau;}\right)\&lsqb;({\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}})\exp (-l\mathrm{\&tau;})+{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}\&rsqb;d\mathrm{\&tau;}\\ =\exp (-k_{n-1}t)z_{n-1}\left(0\right)-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}-l}\exp (-lt)-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}}+\exp (-k_{n-1}t)(\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}-l}+\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}})\\ =-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}-l}\exp (-lt)-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}}+\exp (-k_{n-1}t)\left(z_{n-1}\right(0)+\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}-l}+\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}})\end{array}---\left(31\right)$

令

$a_{n-1,down}=-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}-l},b_{n-1,down}=-\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}},c_{n-1,down}=z_{n-1}\left(0\right)+\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_0-{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}-l}+\mathrm{\&delta;}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&infin;}}}{k_{n-1}},$

得到

z_n-1,up＝a_n-1,upexp(-lt)+b_n-1,up+c_n-1,upexp(-k_n-1t) (32)

z_n-1,down＝a_n-1,downexp(-lt)+b_n-1,down+c_n-1,downexp(-k_n-1t) (33)

进一步研究式(26)中第n-2个子系统的情况：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{n-2}=-k_{n-2}{z}_{n-2}+z_{n-1}---\left(34\right)$

式(34)两边同时乘以exp(k_n-2t)，并整理得到

$\frac{d\left(\exp \right(k_{n-1}t\left)z_{n-1}\right)}{dt}=\exp \left(k_{n-1}t\right)z_n---\left(35\right)$

式(35)两边对时间求积分，得到

$z_{n-2}=\exp (-k_{n-2}t)z_{n-2}\left(0\right)+\exp (-k_{n-2}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-2}\mathrm{\&tau;}\right)z_{n-1}\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}---\left(36\right)$

由于z_n-1处于z_n-1,up和z_n-1,down所包围的区域中，通过与前面类似的分析可知，当z_n-1取z_n-1,up和z_n-1,down时得到的z_n-2分别代表着z_n-2的上界和下界；

用z_n-1,up代替z_n-1，得到z_n-2的上界为：

$\begin{array}{c}{z}_{n-2,up}=\exp (-k_{n-2}t)z_{n-2}\left(0\right)+\exp (-k_{n-2}t){\&Integral;}_0^t\exp \left(k_{n-2}\mathrm{\&tau;}\right)z_{n-1}\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}\\ =\frac{a_{n-1,up}}{k_{n-2}-l}\exp (-lt)+\frac{b_{n-1,up}}{k_{n-2}}+\frac{c_{n-1,up}}{k_{n-2}-k_{n-1}}\exp (-k_{n-1}t)+\\ \&lsqb;z_{n-2}\left(0\right)-\frac{a_{n-1,up}}{k_{n-2}-l}-\frac{b_{n-1,up}}{k_{n-2}}-\frac{c_{n-1,up}}{k_{n-2}-k_{n-1}}\&rsqb;\exp (-k_{n-2}t)\\ =a_{n-2,up}\exp (-lt)+b_{n-2,up}+c_{n-2,up}\exp (-k_{n-1}t)+d_{n-2,up}\exp (-k_{n-2}t)\end{array}---\left(37\right)$

其中，

同理，用z_n-1,down代替z_n-1，得到z_n-2的下界为：

z_n-2,down＝a_n-2,downexp(-lt)+b_n-2,down+c_n-2,downexp(-k_n-1t)+d_n-2,downexp(-k_n-2t)

(38)

其中，

以此类推，得到z₁的上界为：

z_1,up＝a_1,upexp(-lt)+b_1,up+c_1,upexp(-k_n-1t)+d_1,upexp(-k_n-2t)+… (39)

其中，c_1,up，d_1,up通过递推得到；

z₁的下界为：

z_1,down＝a_1,downexp(-lt)+b_1,down+c_1,downexp(-k_n-1t)+d_1,downexp(-k_n-2t)+… (40)

其中，c_1,down，d_1,down，通过递推得到；

通过选取足够大的控制器参数k₁,k₂,…,k_n，消除式(39)和式(40)中除前两项之外其他项的影响，因此z₁的上界和下界分别为：

$\begin{array}{c}{z}_{1,up}=a_{1,up}\exp (-lt)+b_{1,up}\\ z_{1,down}=a_{1,down}\exp (-lt)+b_{1,down}\end{array}---\left(41\right)$

其中， 通过令a_n,up＝ρ₀-ρ_∞，b_n,up＝ρ_∞，a_n,up＝-δ(ρ₀-ρ_∞)，b_n,down＝-δρ_∞，进一步有

由此可知，如果第n个子系统满足预设性能的要求，即误差z_n被限制在上界z_n,up和下界z_n,down所包围的区域中，其中，z_n,up＝a_n,upexp(-lt)+b_n,up，z_n,down＝a_n,downexp(-lt)+b_n,down，那么，跟踪误差e同样满足预设性能的要求，即跟踪误差z₁将被限制在上界z_1,up和下界z_1,down所包围的区域之中，其中z_1,up＝a_1,upexp(-lt)+b_1,up，z_1,down＝a_1,downexp(-lt)+b_1,down，且参数a_1,up，b_1,up，a_1,down和b_1,down通过参数a_n,up，b_n,up，a_n,down，b_n,down及控制器参数k_i,i＝1,…,n计算得到，其具体形式为 我们称这种性质为预设性能的反向传递性；这样我们只需对最后一个子系统进行设计，使其满足预先设定的性能要求，这样就避免了对每一个子系统进行误差转化，大大提高在实际控制过程中实时性；

(5)基于预设性能的导弹过载控制

下面对式(1)表示的导弹动力学模型进行满足预设性能的过载控制器设计，针对式(2)的第1个子系统，令z₁＝α-α_c，则其动态方程变为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1={\mathrm{\&omega;}}_z-\frac{1}{m_d{V}_d}(Psin\mathrm{\&alpha;}+C_y^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;})-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_c---\left(42\right)$

将ω_z作为第1个子系统的控制输入，则式(42)进一步变为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=-\frac{1}{m_d{V}_d}(Psin\mathrm{\&alpha;}+C_y^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;})-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_c+{\mathrm{\&omega;}}_{z,c}+z_2---\left(43\right)$

其中，ω_z,c为虚拟控制量，z₂＝ω_z-ω_z,c为误差状态量；

选取虚拟控制量ω_z,c为：

${\mathrm{\&omega;}}_{z,c}=\frac{1}{m_d{V}_d}(Psin\mathrm{\&alpha;}+C_y^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;})+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_c-k_1{z}_1-\frac{z_1}{4}---\left(44\right)$

其中，k₁>0为设计的控制器参数；

针对式(2)的第2个子系统，结合z₂＝ω_z-ω_z,c得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=\frac{1}{J_z}(M_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+M_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z+M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z)-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{z,c}---\left(45\right)$

利用函数S^-1(·)对z₂进行误差转化，得到新的误差状态量ε为：

ε＝S^-1(z₂/ρ) (46)

其中，ρ＝(ρ₀-ρ_∞)exp(-lt)+ρ_∞为设定的性能函数，ρ₀>0，ρ_∞为任意小的正常数；

式(46)两边对时间求导，得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=\frac{\&part;S^{-1}}{\&part;(z_2/\mathrm{\&rho;})}\frac{1}{\mathrm{\&rho;}}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2---\left(47\right)$

将式(45)代入式(47)，得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=\frac{\&part;S^{-1}}{\&part;(z_2/\mathrm{\&rho;})}\frac{1}{\mathrm{\&rho;}}\&lsqb;(M_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+M_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z+M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z)/J_z-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{z,c}-\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}}{\mathrm{\&rho;}}{z}_2\&rsqb;---\left(48\right)$

令则式(48)进一步变为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=r\&lsqb;(M_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+M_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z+M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z)/J_z-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{z,c}-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}{z}_2/\mathrm{\&rho;}\&rsqb;---\left(49\right)$

选取控制量δ_z为：

${\mathrm{\&delta;}}_z=-\frac{M_z^{\mathrm{\&alpha;}}}{M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}}\mathrm{\&alpha;}-\frac{M_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}}{M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}}{\mathrm{\&omega;}}_z+\frac{J_z}{M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{z,c}+\frac{J_z\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}{z}_2}{M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}\mathrm{\&rho;}}-\frac{k_2}{r}\mathrm{\&epsiv;}-\frac{{\mathrm{\&eta;}}^2}{r}\mathrm{\&epsiv;}---\left(50\right)$

其中，k₂>0为设计的控制器参数，

选取如下形式的Lyapunov函数：

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_2^2---\left(51\right)$

式(51)两边对时间求导并将式(43)和式(49)代入，得到

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=z_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+{\mathrm{\&epsiv;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_1\\ =z_1(-\frac{1}{m_d{V}_d}(P\sin \mathrm{\&alpha;}+C_y^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;})-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_c+{\mathrm{\&omega;}}_{z,c}+z_2)\\ +{\mathrm{r\&epsiv;}}_1\&lsqb;(M_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+M_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z+M_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z)/J_z-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{z,c}-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}{z}_2/\mathrm{\&rho;}\&rsqb;\end{array}---\left(52\right)$

将式(44)和式(50)代入式(52)得到

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=-k_1{z}_1^2-\frac{z_1^2}{4}+z_1{z}_2-k_2{\mathrm{\&epsiv;}}_2^2-{\mathrm{\&eta;}}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^2\\ =-k_1{z}_1^2-k_2{\mathrm{\&epsiv;}}_2^2-{(\frac{z_1}{2}-z_2)}^2+z_2^2-{\mathrm{\&eta;}}^2{\mathrm{\&epsiv;}}^2\end{array}---\left(53\right)$

由于误差传递函数S(ε)光滑有界、严格递增且通过原点，可知是存在的，另外由拉格朗日中值定理可得

$z_2=S\left(\mathrm{\&epsiv;}\right)=\frac{dS\left({\mathrm{\&epsiv;}}^{\&prime;}\right)}{d\mathrm{\&epsiv;}}\mathrm{\&epsiv;}---\left(54\right)$

其中，ε′处于由0和ε所确定的闭区间内，因此得到

|z₂|≤|ηε| (55)

因此式(53)进一步整理为

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-k_1{z}_1^2-k_2{\mathrm{\&epsiv;}}_2^2\&le;-kV---\left(56\right)$

其中，k＝min{2k₁,2k₂}，因此，闭环系统是渐近稳定的。