CN104035336A - Mimo非最小相位cstr反应器的非线性控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种MIMO非最小相位CSTR反应器的非线性控制器设计方法，该控制器设计方法在保证系统外部动态满足性能要求的同时也能够保证系统内部零动态的稳定。首先根据实际的生产过程对CSTR进行系统建模，得到该控制系统的非线性数学模型；其次利用状态反馈线性化理论将得到的MIMO非线性系统进行精确反馈线性化，得到其线性化标准型；将该MIMO线性化标准型拆解为若干线性子系统以及一个SISO线性化标准型子系统；最后基于极点配置和李雅普诺夫稳定性理论，给出了具有非最小相位特性SISO线性化标准型子系统的一种非线性控制器设计方法，联合线性子系统部分的控制器，得到MIMO非最小相位CSTR最终形式的控制器。

Description

MIMO非最小相位CSTR反应器的非线性控制器设计方法

技术领域

本发明涉及多输入多输出(MIMO)非最小相位连续搅拌釜式反应器(CSTR)的一种非线性控制器设计及构造方法，尤其涉及利用CSTR生产环戊烯这一实际化工生产过程的控制器设计及其构造方法，属于自动控制技术领域。

背景技术

CSTR是聚合化学反应中广泛使用的一种反应器，是过程工业中典型的、高度非线性的化学反应系统，利用CSTR生产环戊烯的这一化工生产过程便具有典型的非线性、非最小相位特性。对具有非线性非最小相位特性的系统的稳定控制一直是人们研究的重点，由此产生了各种不同的控制方法和策略，近似线性化方法和微分几何方法是其中最常用的两种方法。

非线性系统的近似线性化控制方法作为一种较为有效的控制方法已经发展得比较成熟，该方法的主要思想将原非线性系统在其状态空间中的某一平衡点处进行近似线性化，然后再对线性化的模型进行控制器设计。然而从本质上讲许多化工系统都是复杂非线性系统，当系统受到的扰动较大时，系统的运行点就会发生较大的偏移，此时采用线性控制方法将难以满足实际性能要求，因此客观上就需要在明确考虑实际系统的非线性特征的基础上设计非线性控制器。

近三十年来，随着非线性控制理论的发展，非线性控制方法也得到了广泛的研究，例如各种反馈线性化方法(如微分几何方法和逆系统方法等)、Lyapunov直接控制方法等。上述各种方法中又以微分几何方法使用最广，这一方法的基本思想是采用一个合适的坐标变换及一个恰当的状态反馈将原非线性系统进行精确反馈线性化，这样便能得到原非线性系统的线性化标准型，然后再对标准型中的线性子系统部分进行控制器设计。这是一种使非线性系统在其整个状态空间上或状态空间的一个足够大的域中精确线性化的理论和方法，按这种方法设计的控制系统可以解决传统近似线性化方法带来的弊端。该方法在对非线性系统进行线性化的过程中，通过微分同胚变换可将原非线性系统变换为两部分：线性子系统描述的外部动态和非线性子系统描述的内部动态(即零动态)。对于非最小相位系统(即零动态不稳定的系统)，仅对线性子系统所设计的能使外部动态满足某种性能要求的控制器却难以保证系统内部零动态的稳定，因此非最小相位特性使基于微分几何的精确反馈线性化方法遇到了极大挑战。

为了真正实现对化工生产过程的高性能控制，就必须要解决非线性、非最小相位特性对系统运行时所造成的不良影响，寻求一种有效的控制方法。

发明内容

1、技术问题

本发明的目的在于针对现有技术的不足，提供一种MIMO非线性非最小相位系统的控制器设计与构造方法。采用CSTR生产环戊烯的化工生产过程便具有典型的非线性、非最小相位特性，本发明将提供一种对该生产过程行之有效的非线性控制器设计及构造方法，据此方法构造出的控制器能很好的克服在生产过程中因非线性非最小相位特性所产生的不利影响，且能保证在系统较大的运行范围内都有良好的控制效果。

2、技术方案

本发明的MIMO非最小相位连续搅拌釜式反应器的一种非线性控制器设计及构造方法，采取的技术方案是：首先根据实际情况建立环戊烯生产过程的非线性数学模型，在此基础上运用以微分几何为数学工具的精确反馈线性化方法将所要控制的系统进行状态反馈线性化，得到线性化后的标准型系统；考虑到MIMO系统(一般情况可将系统输入输出的维数记为m，具体到本化工生产过程m＝2)控制器设计的复杂性，将MIMO系统的线性化标准型拆分为m-1个线性子系统和一个SISO系统的线性化标准型子系统，进而可以对各子系统部分单独设计控制器；对于线性子系统部分其控制器的设计方法已经十分成熟，对于具有非线性非最小相位特性SISO系统的线性化标准型子系统部分，本发明将基于极点配置方法和李雅普诺夫稳定理论给出一种对其行之有效的控制器设计方法；最后联合各子系统设计出的控制器便可得到MIMO非最小相位连续搅拌釜式反应器最终形式的控制器，利用DSP控制器编程实现该控制器。

一种MIMO非最小相位CSTR反应器的非线性控制器设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)根据实际的化工生产过程对CSTR进行状态空间建模，得到系统的非线性数学模型；

(2)将系统的非线性数学模型进行状态反馈线性化，得到一般形式的MIMO线性化标准型；

(3)将MIMO线性化标准型进行拆分，将其分解为若干线性子系统部分和一个SISO线性化标准型子系统部分，对各子系统单独设计控制器；

(4)为了确保所设计的控制器能有效控制具有非最小相位特性的SISO线性化标准型子系统，给出了该控制器的一般形式，控制器中的待定参数通过极点配置和李雅普诺夫稳定性理论来确定。

所述步骤(1)中，实际生产过程所选用的是利用CSTR生产环戊烯这一化工过程，建立其状态空间模型如下式所示：

状态方程：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dC}}_A}{\mathrm{dt}}={-k}_1\left(T\right)C_A-k_3\left(T\right)C_A^2+(C_{A0}-C_A)\frac{F}{V}\\ \frac{{\mathrm{dC}}_B}{\mathrm{dt}}=k_1\left(T\right)C_A-k_2\left(T\right)C_B-C_B\frac{F}{V}\\ \frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}=\frac{\left({-\mathrm{\ΔH}}_1\right)k_1\left(T\right)C_A+\left({-\mathrm{\ΔH}}_2\right)k_2\left(T\right)C_B}{{\mathrm{\ρC}}_{\mathrm{\ρ}}}+\frac{\left({-\mathrm{\ΔH}}_3\right)k_3\left(T\right)C_A^2+Q_H}{{\mathrm{\ρC}}_{\mathrm{\ρ}}}+(T_0-T)\frac{F}{V}\end{array}\right.$

系统的被控输出为：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_1=T\\ y_2=C_B\end{array}\right.$

其中，T是反应温度，C_A、C_B分别是物质A'和B'的浓度，F是物质A'的输入流量，V是CSTR的常容积；控制输入u₁＝F/V为稀释率，u₂＝Q_H为单位体积增加或减少的热量；C_ρ是热容量，ρ是混合物的密度；ΔH_i是反应热；速率系数k_i(T)由下列的Arrhenius方程给出：

i＝1，2，3分别对应CSTR三个反应过程，

其中，各过程的反应时间常数为k_i0，反应激活能量为E_i，R为气体常数；

控制目标是：通过调节被控输入u₁＝F/V和u₂＝Q_H来使输出y₁＝T和y₂＝C_B分别稳定在设定的平衡点T_S、C_BS上，此时物质A'的浓度相应记为C_AS，(C_AS,C_BS,T_S)为系统达到稳态时的平衡点。

所述步骤(4)中，一般形式的控制器设为

v＝-Gx+v_NL

其中，x为SISO线性化标准型子系统的状态向量，G为行增益向量，v_NL是为使系统内部零动态稳定而引入的非线性补偿项。

通过以下两个子步骤来确定控制器的待定参数：

(A)通过极点配置的方法来确定待定参数G；

(B)通过李雅普诺夫稳定性理论确定待定参数v_NL。

选取下列形式的坐标变换

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=T\\ z_2=C_B\\ \mathrm{\η}=(5-C_A)/C_B\end{array}\right.$

将状态空间模型化为如下标准型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dz}}_1}{\mathrm{dt}}=\frac{\left({-\mathrm{\ΔH}}_1\right)k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\η})+\left({-\mathrm{\ΔH}}_2\right)k_2\left(z_1\right)z_2}{{\mathrm{\ρC}}_{\mathrm{\ρ}}}+\frac{\left({-\mathrm{\ΔH}}_3\right)k_3\left(z_1\right){(5-z_2\mathrm{\η})}^2+u_2}{{\mathrm{\ρC}}_{\mathrm{\ρ}}}+(T_0-z_1)u_1\\ \frac{{\mathrm{dz}}_2}{\mathrm{dt}}=k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\η})-k_2\left(z_1\right)z_2-z_2{u}_1\\ \frac{\mathrm{d\η}}{\mathrm{dt}}=\frac{{5k}_2\left(z_1\right)+k_3\left(z_1\right){(5-z_2\mathrm{\η})}^2-k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\η})\mathrm{\η}}{z_2}\end{array}\right.$

在此坐标变换下，稳态时的平衡点(C_AS,C_BS,T_S)以新的坐标z₁、z₂和η来表示记为(z₁₀,z₂₀,η₀)，其中 $(z_{10},z_{20},{\mathrm{\η}}_0)=(T_S,C_{\mathrm{Bs}},\frac{5-C_{\mathrm{As}}}{C_{\mathrm{Bs}}}).$

将标准型进行拆分为两个子系统，分别为：

子系统a：

${\stackrel{\·}{z}}_1=v_1$

子系统b：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dz}}_2}{\mathrm{dt}}{=v}_2\\ \frac{\mathrm{d\η}}{\mathrm{dt}}=(z_2,\mathrm{\η})=\frac{{5k}_2\left(z_1\right)+k_3\left(z_1\right){(5-z_2\mathrm{\η})}^2-k_1\left(z_1\right)(5-z_2)\mathrm{\η}}{z_2}\end{array}\right.$

其中 $v_1=\frac{\left({-\mathrm{\ΔH}}_1\right)k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\η})+\left({-\mathrm{\ΔH}}_2\right)k_1\left(z_1\right)z_2}{{\mathrm{\ρC}}_{\mathrm{\ρ}}}+\frac{\left({-\mathrm{\ΔH}}_3\right)k_3\left(z_1\right){\left({5-z}_2\mathrm{\η}\right)}^2+u_2}{{\mathrm{\ρC}}_{\mathrm{\ρ}}}+(T_0-z_1)u_1,$ $v_2=\frac{{5k}_2\left(z_1\right)+k_3\left(z_1\right){(5-z_2\mathrm{\η})}^2-k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\η})\mathrm{\η}}{z_2},$ 再分别对这两个子系统设计控制器。

对于子系统a，控制目标是使反应温度T恒稳定在一目标值上，根据线性系统的反馈控制方法只需要v₁＝-96.465(z₁-407.15)即可。

对于子系统b，其控制器设计方法包括以下步骤：

b1、将子系统b中的非线性状态方程在平衡点(z₂₀,η₀)处通过二阶泰勒展开，展开过程中将z₁视为常参量，分解为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=q(z_2,\mathrm{\η})=A_{z_2}(z_2-z_{20})+A_{\mathrm{\η}}(\mathrm{\η}-{\mathrm{\η}}_0)+\mathrm{\ω}(z_2,\mathrm{\η})$

其中 ${A_z}_2=\frac{\∂q(z_2,\mathrm{\η})}{{\∂z}_2}{|}_{(z_2,\mathrm{\η})=(z_{20},{\mathrm{\η}}_0)},$ $A_{\mathrm{\η}}=\frac{\∂q(z_2,\mathrm{\η})}{{\∂}_{\mathrm{\η}}}{|}_{(z_2,\mathrm{\η})=(z_{20},{\mathrm{\η}}_0)},$ ω(z₂,η)为泰勒展开中的二阶及其以上的项，这样子系统b便等价于下列矩阵形式：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_2\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\η}}\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{z}_2-z_{20}\\ \mathrm{\η}-{\mathrm{\η}}_0\end{array}\right]+{\mathrm{Bv}}_2\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\ω}(z_2,\mathrm{\η})\end{array}\right]$

b2、设子系统b的控制器为：

$v_2=-G\left[\begin{array}{c}{z}_2-z_{20}\\ \mathrm{\η}-{\mathrm{\η}}_0\end{array}\right]+v_{\mathrm{NL}}={-g}_1(z_2-z_{20})-g_2(\mathrm{\η}-{\mathrm{\η}}_0)+v_{\mathrm{HL}}$

其中，待定参数G＝(g₁,g₂)为行增益向量，待定参数v_NL是为了使系统稳定而引入的非线性补偿项；将此控制器联合第b1步有：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_2\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\η}}\end{array}\right]=[A-\mathrm{BG}]\left[\begin{array}{c}{z}_2-z_{20}\\ \mathrm{\η}-{\mathrm{\η}}_0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{NL}}\\ \mathrm{\ω}(z_2,\mathrm{\η})\end{array}\right]$

b3、利用极点配置的方法来确定待定参数G，得到行增益向量G中两个元素g₁、g₂的值；

b4、运用李雅普诺夫稳定性理论来求解v_NL：

构造如下李雅普诺夫函数：

${L(z,\mathrm{\η})\left[\begin{array}{c}{z}_2-z_{20}\\ \mathrm{\η}-{\mathrm{\η}}_0\end{array}\right]}^{T}P\left[\begin{array}{c}{z}_2-z_{20}\\ \mathrm{\η}-{\mathrm{\η}}_0\end{array}\right]$

其中P是满足如下李雅普诺夫方程的正定矩阵，

A_s ^TP+PA_s＝-Q

Q为任意正定矩阵；

对李雅普诺夫函数求导得系统稳定要求由此可得v_NL，这样便能得到控制律v₂。

利用DSP通过软件编程来实现该控制器，

DSP控制器与CSTR的连接方式为：连续搅拌釜式反应器系统的状态环戊二烯浓度C_A和输出环戊烯浓度C_B、温度T分别经2个浓度传感器和1个温度传感器接DSP控制器的输入端；经A/D转换、运算、D/A转换后输出四路模拟量控制信号，再分别经4个4-20mA电流变送器转换为4路电动调节阀的输入控制信号，自动调节4个电动调节阀的开度以分别控制环戊二烯的流量以及进入夹套内冷却水的流量。

3、技术效果

本发明提供了一种MIMO非最小相位连续搅拌釜式反应器的非线性控制器设计及构造方法。本发明适合于任意具有非最小相位特性的复杂非线性系统的控制，而且控制器的设计原理简单，无需高深的数学推导，实现简单，具有很强的应用价值。

本发明的优点在于：

a.本发明所给出的控制器设计方法建立在微分几何精确反馈线性化方法的基础上，理论上按本发明所给出的控制器设计方法所设计的非线性控制器不会丢失系统的原有信息。

b.在本发明所给出的控制器设计方法中，即使将标准型中的非线性子系统部分按泰勒展开的方法进行分解处理，与近似线性化的方法相比，也有丢失信息少的优点，这主要体现在两个方面：首先，该方法只对系统的部分状态进行展开，而近似线性化的方法是对整个系统进行近似线性化处理；其次，可通过提高泰勒展开的阶数来尽可能地减少系统信息的丢失。

c.本发明提出的控制器设计方法适用于任何非线性系统，尤其是具有非最小相位特性的非线性系统，因此可以应用到各类实际工程系统中，有广阔的应用前景。

d.本发明所提出的控制器设计方法无需高深的理论知识和复杂的数学推导，易于工程实现。

附图说明

图1是利用CSTR生产环戊烯这一实际化工生产过程的应用场景示意图。

图2是控制系统的结构图。

图3是控制器与实际控制系统的连接示意图。其中输入信号是u₁和u₂，状态变量为x，输出是y₁和y₂。

图4是本发明所给出的控制器设计方法对内部零动态C_A的控制效果仿真图，可以看到该方法可以有效保证系统内部零动态的稳定。

图5是本发明所所给出的控制器设计方法对外部动态C_B亦即系统被控输出的控制效果仿真图，可以看到该方法很好的使外部动态满足控制性能要求。

图6是本发明所所给出的控制器设计方法对外部动态T亦即系统被控输出的控制效果仿真图，可以看到该方法很好的使外部动态满足控制性能要求。

图7是依据本发明所给的控制器设计方法设计出的控制器F/V的仿真图。

图8是依据本发明所给的控制器设计方法设计出的控制器QH的仿真图。

图9是采用DSP控制器作为本发明的控制装置的连接示意图。

图10是采用DSP控制器2为控制核心实现本发明的系统软件流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

本发明的多输入多输出非最小相位连续搅拌釜式反应器的一种非线性控制器设计及构造方法，其具体实施方案是：首先根据非线性系统的反馈线性化理论将所要控制的系统进行精确反馈线性化；然后基于极点配置和李雅普诺夫稳定理论对采用CSTR生产环戊烯这样具有非线性非最小相位特性的实际化工生产过程进行控制器设计；最后用DSP控制器为控制核心来编程实现本发明设计的控制器。具体实施时，根据不同的要求，采用不同的硬件和软件来实现。

具体实施分为以下8步：

1.建立实际系统的数学模型。

本发明主要考虑利用CSTR生产环戊烯这一实际化工生产过程，该过程的场景示意图如图1所示，CSTR中，电动调节阀7控制物质A'(环戊二烯)的输入流量，电动调节阀8控制物质B'(环戊烯)的输出流量。电动调节阀9控制流入夹套换热器的冷却水W输入流量，电动调节阀10控制流出夹套换热器的冷却水W输出流量。结构图如图2所示，其中u₁(稀释率F/V)和u₂(热量变化率Q_H)为被控输入，y₁(温度T)和y₂(环戊烯浓度C_B)为控制输出，x(环戊二烯浓度C_A)为状态变量。该过程的化学反应方程式可以表示为：

上述反应由环戊二烯(A')生成主产品环戊烯(B')和副产品二环戊二烯(D')，以及由环戊烯继续反应生成副产品环戊酮(C')这三个反应过程构成。可将A'→B'的反应过程记为过程1，B'→C'的反应过程记为过程2，2A'→D'的反应过程记为过程3，基于物质A'和B'的摩尔平衡和能量守恒，可以建立该化工过程的数学模型如下：

状态方程：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dC}}_A}{\mathrm{dt}}={-k}_1\left(T\right)C_A-k_3\left(T\right)C_A^2+(C_{A0}-C_A)\frac{F}{V}\\ \frac{{\mathrm{dC}}_B}{\mathrm{dt}}=k_1\left(T\right)C_A-k_2\left(T\right)C_B-C_B\frac{F}{V}\\ \frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}=\frac{\left({-\mathrm{\ΔH}}_1\right)k_1\left(T\right)C_A+\left({-\mathrm{\ΔH}}_2\right)k_2\left(T\right)C_B}{{\mathrm{\ρC}}_{\mathrm{\ρ}}}+\frac{\left({-\mathrm{\ΔH}}_3\right)k_3\left(T\right)C_A^2+Q_H}{{\mathrm{\ρC}}_{\mathrm{\ρ}}}+(T_0-T)\frac{F}{V}\end{array}\right.$

被控输出方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_1=T\\ y_2=C_B\end{array}\right.$

其中，T是反应温度，C_A、C_B分别是物质A'和B'的浓度，F是物质A'的输入流量，V是常体积。控制输入u₁＝F/V为稀释率，u₂＝Q_H为单位体积增加或减少的热量(热量变化率)。C_ρ是热容量，ρ是混合物的密度。将i＝1,2,3分别与上述三个反应过程相对应，三个过程的反应热为ΔH_i，速率系数k_i(T)由下列的Arrhenius方程给出：

$k_i\left(T\right)=k_{i0}\exp \left(\frac{R_i}{\mathrm{RT}}\right),i=\mathrm{1,2,3}$

其中各过程的反应时间常数为k_i0，反应激活能量为E_i，R为气体常数。

本实施例中，常量参数取值为：混合物的密度ρ＝0.9342kg/L，热容量C_ρ＝3.01kJ/(kg·K)，ΔH₁＝4.20kJ/mol，ΔH₂＝-11.00kJ/mol，ΔH₃＝-41.85kJ/mol，k₁₀＝1.287×10¹²/hr，E₁/R＝-9758.3K，k₂₀＝1.287×10¹²/hr，E₂/R＝-9758.3K，k₃₀＝9.403×10⁹L/(mol·hr)，E₃/R＝-8560.0K，物质A'的初始浓度为C_A0＝5.0mol/L，反应初始温度T₀＝403.15K。本实施例中控制目标是通过调节被控输入u₁＝F/V和u₂＝Q_H来使输出y₁＝T和y₂＝C_B稳定在设定的平衡点上。要求所设计的控制器能使输出y₂＝C_B最终稳定在1.0mol/l上，即C_BS＝1.0mol/l，输出y₁＝T维持407.15K不变，即T_S＝407.15K。稳态时的其他量为：物质A'的稳态浓度C_AS＝1.54mol/l，控制输入u₁的稳态值为u_1S＝27.12/h，控制输入u₁的稳态值为u_2S＝-613.37kJ/(L·hr)。

2.按非线性系统的精确反馈线性化理论容易计算出该系统的相对阶集合为r＝{1，1}，从而可以选取下列形式的坐标变换

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=T\\ z_2=C_B\\ \mathrm{\η}=(5-C_A)/C_B\end{array}\right.$

将第1步中的非线性控制系统化为如下标准型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dz}}_1}{\mathrm{dt}}=\frac{\left({-\mathrm{\ΔH}}_1\right)k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\η})+\left({-\mathrm{\ΔH}}_2\right)k_2\left(z_1\right)z_2}{{\mathrm{\ρC}}_{\mathrm{\ρ}}}+\frac{\left({-\mathrm{\ΔH}}_3\right)k_3\left(z_1\right){(5-z_2\mathrm{\η})}^2+u_2}{{\mathrm{\ρC}}_{\mathrm{\ρ}}}+(T_0-z_1)u_1\\ \frac{{\mathrm{dz}}_2}{\mathrm{dt}}=k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\η})-k_2\left(z_1\right)z_2-z_2{u}_1\\ \frac{\mathrm{d\η}}{\mathrm{dt}}=\frac{{5k}_2\left(z_1\right)+k_3\left(z_1\right){(5-z_2\mathrm{\η})}^2-k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\η})\mathrm{\η}}{z_2}\end{array}\right.$

在此坐标变换下，稳态时的平衡点(C_AS,C_BS,T_S)以新的坐标z₁、z₂和η来表示可记为(z₁₀,z₂₀,η₀)，其中 $(z_{10},z_{20},{\mathrm{\η}}_0)=(T_S,C_{\mathrm{Bs}},\frac{5-C_{\mathrm{As}}}{C_{\mathrm{Bs}}})=\left(\mathrm{407.15,1.0,3.46}\right).$

3.在第2步的标准型系统中，定义为非线性系统的零动态，式被称为零动态方程，此即为在标准型的最后一个状态方程中令z＝(z₁,z₂)＝(0,0)所得。如果系统的零动态不稳定则称非线性系统是非最小相位的。令z＝0只是一般情况，其代表的实际意义是系统的平衡点，对于本实际问题z＝(407.15,1.0)。不难验证该系统的零动态不稳定，这便说明了运用连续搅拌釜式反应器生成环戊烯这样的实际化工生产系统是具有典型非线性、非最小相位特性的系统。

4.将第2步得到的标准型系统进行拆分处理。首先作非线性状态反馈 $\frac{\left({-\mathrm{\ΔH}}_1\right)k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\η})+\left({-\mathrm{\ΔH}}_2\right)k_1\left(z_1\right)z_2}{{\mathrm{\ρC}}_{\mathrm{\ρ}}}+\frac{\left({-\mathrm{\ΔH}}_3\right)k_3\left(z_1\right){\left({5-z}_2\mathrm{\η}\right)}^2+u_2}{{\mathrm{\ρC}}_{\mathrm{\ρ}}}+(T_0-z_1)u_1=v_1$ 和k₁(z₁)(5-z₂η)-k₂(z₁)z₂-z₂u₁＝v₂，然后将标准型拆分为如下两个子系统：

子系统a：

${\stackrel{\·}{z}}_1=v_1$

子系统b：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_2{=v}_2\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=\frac{{5k}_2\left(z_1\right)+k_3\left(z_1\right){(5-z_2\mathrm{\η})}^2-k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\η})\mathrm{\η}}{z_2}\end{array}\right.$

下面只需要对这两个子系统单独设计控制器即可。

5.对于子系统a，控制目标是要使T(即z₁)恒稳定在407.15K上，根据线性系统的反馈控制方法，只需要v₁＝-96.465(z₁-407.15)即可。

6.对于子系统b，其控制器设计方法又分以下四个步骤。

(1)将子系统b中的非线性状态方程在平衡点处通过二阶泰勒展开(忽略三阶及以上高阶项，且在泰勒展开中将z₁视为常量)，做如下分解处理：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=q(z_2,\mathrm{\η})=530.2521(z_2-1.0)+75.7682(\mathrm{\η}-3.46)+\mathrm{\ω}(z_2,\mathrm{\η})$

其中

ω(z₂,η)＝-450.1261(z₂-1.0)²+56.8923(η-3.46)²+148.6561(z₂-1.0)(η-3.46)

这样子系统b便等价于下列矩阵形式：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_2\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\η}}\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{z}_2-1.0\\ \mathrm{\η}-3.46\end{array}\right]{\mathrm{Bv}}_2+\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\ω}(z_2,\mathrm{\η})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 530.2521& 75.7682\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_2-1.0\\ \mathrm{\η}-3.46\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]v_2+\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\ω}(z_2,\mathrm{\η})\end{array}\right]$

(2)设该子系统的控制器为：

$v_2=-G\left[\begin{array}{c}{z}_2-1.0\\ \mathrm{\η}-3.46\end{array}\right]+v_{\mathrm{NL}}=-g_1(z_2-1.0)-g_2(\mathrm{\η}-3.46)+v_{\mathrm{NL}}$

其中待定参数G＝(g₁,g₂)为行增益向量，待定参数v_NL是为了使系统稳定而引入的非线性补偿项。将此控制器联合第(1)步得到的状态方程便有：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_2\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\η}}\end{array}\right]=[A-\mathrm{BG}]\left[\begin{array}{c}{z}_2-1.0\\ \mathrm{\η}-3.46\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{NL}}\\ \mathrm{\ω}(z_2,\mathrm{\η})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{-g}_1& {-g}_2\\ 530.2521& 75.7682\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_2-1.0\\ \mathrm{\η}-3.46\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{NL}}\\ \mathrm{\ω}(z_2,\mathrm{\η})\end{array}\right]$

(3)利用极点配置的方法来确定待定参数G。记A_s＝[A-BG]，将A_s的极点配置到-33.154±9.815i，则可以得到行增益向量G中两个元素的值：g₁＝142.0762，g₂＝22.5560。

(4)运用李雅普诺夫稳定性理论来求解vNL。构造如下李雅普诺夫函数：

${L(z,\mathrm{\η})\left[\begin{array}{c}{z}_2-1.0\\ \mathrm{\η}-3.46\end{array}\right]}^{T}P\left[\begin{array}{c}{z}_2-1.0\\ \mathrm{\η}-3.46\end{array}\right]$

其中P是满足如下李雅普诺夫方程的正定矩阵:

A_s ^TP+PA_s＝-Q

Q为任意正定矩阵。不失一般性，如果将Q取为单位矩阵I，可以得到

$P=\left[\begin{array}{cc}1.8172& 0.4860\\ 0.4860& 0.1381\end{array}\right]$

对李雅普诺夫函数求导得：

$\stackrel{\·}{L}(z,\mathrm{\η})=-[z_2-1.0,\mathrm{\η}-3.46]Q\left[\begin{array}{c}{z}_2-1.0\\ \mathrm{\η}-3.46\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}{v}_{\mathrm{NL}}& \mathrm{\ω}(z,\mathrm{\η})\end{array}\right]P\left[\begin{array}{c}{z}_2-1.0\\ \mathrm{\η}-3.46\end{array}\right]$

根据李雅普诺夫稳定性定理，要使在

$v_2=-G\left[\begin{array}{c}{z}_2-1.0\\ \mathrm{\η}-3.46\end{array}\right]+v_{\mathrm{NL}}={-g}_1(z_2-1.0)-g_2(\mathrm{\η}-3.46)+v_{\mathrm{NL}}$

控制作用下的闭环系统稳定，只要即可。由于Q是正定的，必有 $-[z_2-1.0,\mathrm{\&eta;}-3.46]Q\left[\begin{array}{c}{z}_2-1.0\\ \mathrm{\&eta;}-3.46\end{array}\right]<0,$ 因此要使闭环系统稳定，只需

$c=\left[\begin{array}{cc}{v}_{\mathrm{NL}}& \mathrm{\&omega;}(z,\mathrm{\&eta;})\end{array}\right]P\left[\begin{array}{c}{z}_2-1.0\\ \mathrm{\&eta;}-3.46\end{array}\right]\&le;0$

不妨令上式c＝0，从中便可以解出v_NL，这样便可得到控制律v₂。

7.综合第5、第6两步便可得到v₁和v₂，最后从第4步中的非线性状态反馈中反解出u₁和u₂即可。在闭环控制器u₁和u₂的控制作用下系统的结构图如图3所示，控制效果的仿真图如图4-图8所示。

8.采用DSP控制器为控制核心编写程序实现上述控制器设计方法。DSP控制器与CSTR的连接示意图如图9所示。其中包括连续搅拌釜式反应器系统CSTR1、DSP控制器2、4-20mA电流变送器3,4、4-20mA电流变送器5,6、电动调节阀7,8、电动调节阀9,10、浓度传感器11、浓度传感器12、温度传感器13、保护单元14、人机交互15。浓度传感器11、浓度传感器12分别采样连续搅拌釜式反应釜1内物质A'(环戊二烯)和物质B'(环戊烯)的浓度，温度传感器13采样反应釜内反应温度T，作为控制器的反馈量传送给DSP控制器2内的A/D转换模块、DSP控制器2经运算并通过D/A转换后输出模拟量控制信号。经4-20mA电流变送器3、4转换为电动调节阀7、8的输入控制信号，实现自动调节电动调节阀7、8的开度以控制环戊二烯的输入流量和环戊烯的输出流量，并保持电动调节阀8的开度与电动调节阀7的开度相同，以保证反应釜内液体体积不变。4-20mA电流变送器5、6分别转换为电动调节阀9、10的输入控制信号，实现自动调节电动调节阀9、10的开度，以控制进入套管内循环冷却水的输入流量和流出夹套换热器的冷却水的输出流量。DSP控制器2还通过保护单元14与CSTR1相连接，用于对CSTR1系统的保护。人机交互15负责实现对CSTR1系统的实时显示与操控。

DSP的程序包括一个主程序和两个中断服务程序(异常中断服务程序、定时中断服务程序)，程序流程图如图10所示。DSP程序运行从主程序开始，先进行初始化，然后进入数据显示与故障诊断的循环，如果接收到主程序结束命令，则结束主程序。主程序数据显示与故障诊断期间，按一定时间间隔运行定时中断服务程序，如果出现故障，则运行异常中断服务程序。定时中断服务程序的处理流程为：首先对主程序进行现场保护，接下来通过各种传感器和A/D转换采集数据，再对数据进行滤波处理，然后对滤波后的数据进行运算，之后将得到的结果输出到显示单元的存储器中，最后恢复现场并返回主程序。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (9)

1.一种MIMO非最小相位CSTR反应器的非线性控制器设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)根据实际的化工生产过程对CSTR进行状态空间建模，得到系统的非线性数学模型；

(2)将系统的非线性数学模型进行状态反馈线性化，得到一般形式的MIMO线性化标准型；

(3)将MIMO线性化标准型进行拆分，将其分解为若干线性子系统部分和一个SISO线性化标准型子系统部分，对各子系统单独设计控制器；

(4)为了确保所设计的控制器能有效控制具有非最小相位特性的SISO线性化标准型子系统，给出了该控制器的一般形式，控制器中的待定参数通过极点配置和李雅普诺夫稳定性理论来确定。

2.根据权利要求1所述的MIMO非最小相位CSTR反应器的非线性控制器设计方法，其特征在于，所述步骤(1)中，实际生产过程所选用的是利用CSTR生产环戊烯这一化工过程，建立其状态空间模型如下式所示：

状态方程：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dC}}_A}{\mathrm{dt}}={-k}_1\left(T\right)C_A-k_3\left(T\right)C_A^2+(C_{A0}-C_A)\frac{F}{V}\\ \frac{{\mathrm{dC}}_B}{\mathrm{dt}}=k_1\left(T\right)C_A-k_2\left(T\right)C_B-C_B\frac{F}{V}\\ \frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}=\frac{\left({-\mathrm{\&Delta;H}}_1\right)k_1\left(T\right)C_A+\left({-\mathrm{\&Delta;H}}_2\right)k_2\left(T\right)C_B}{{\mathrm{\&rho;C}}_{\mathrm{\&rho;}}}+\frac{\left({-\mathrm{\&Delta;H}}_3\right)k_3\left(T\right)C_A^2+Q_H}{{\mathrm{\&rho;C}}_{\mathrm{\&rho;}}}+(T_0-T)\frac{F}{V}\end{array}\right.$

系统的被控输出为：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_1=T\\ y_2=C_B\end{array}\right.$

其中，T是反应温度，C_A、C_B分别是物质A'和B'的浓度，F是物质A'的输入流量，V是CSTR的常容积；控制输入u₁＝F/V为稀释率，u₂＝Q_H为单位体积增加或减少的热量；C_ρ是热容量，ρ是混合物的密度；ΔH_i是反应热；速率系数k_i(T)由下列的Arrhenius方程给出：

i＝1,2,3分别对应CSTR三个反应过程，

其中，各过程的反应时间常数为k_i0，反应激活能量为E_i，R为气体常数；

控制目标是：通过调节被控输入u₁＝F/V和u₂＝Q_H来使输出y₁＝T和y₂＝C_B分别稳定在设定的平衡点T_S、C_BS上，此时物质A'的浓度相应记为C_AS，(C_AS,C_BS,T_S)为系统达到稳态时的平衡点。

3.根据权利要求1所述的MIMO非最小相位CSTR反应器的非线性控制器设计方法，其特征在于，所述步骤(4)中，一般形式的控制器设为

v＝-Gx+v_NL

其中，x为SISO线性化标准型子系统的状态向量，G为行增益向量，vNL是为使系统内部零动态稳定而引入的非线性补偿项。

4.根据权利要求3所述的MIMO非最小相位CSTR反应器的非线性控制器设计方法，其特征在于，通过以下两个子步骤来确定控制器的待定参数：

(A)通过极点配置的方法来确定待定参数G；

(B)通过李雅普诺夫稳定性理论确定待定参数v_NL。

5.根据权利要求2所述的MIMO非最小相位CSTR反应器的非线性控制器设计方法，其特征在于，选取下列形式的坐标变换

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=T\\ z_2=C_B\\ \mathrm{\&eta;}=(5-C_A)/C_B\end{array}\right.$

将状态空间模型化为如下标准型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dz}}_1}{\mathrm{dt}}=\frac{\left({-\mathrm{\&Delta;H}}_1\right)k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\&eta;})+\left({-\mathrm{\&Delta;H}}_2\right)k_2\left(z_1\right)z_2}{{\mathrm{\&rho;C}}_{\mathrm{\&rho;}}}+\frac{\left({-\mathrm{\&Delta;H}}_3\right)k_3\left(z_1\right){(5-z_2\mathrm{\&eta;})}^2+u_2}{{\mathrm{\&rho;C}}_{\mathrm{\&rho;}}}+(T_0-z_1)u_1\\ \frac{{\mathrm{dz}}_2}{\mathrm{dt}}=k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\&eta;})-k_2\left(z_1\right)z_2-z_2{u}_1\\ \frac{\mathrm{d\&eta;}}{\mathrm{dt}}=\frac{{5k}_2\left(z_1\right)+k_3\left(z_1\right){(5-z_2\mathrm{\&eta;})}^2-k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\&eta;})\mathrm{\&eta;}}{z_2}\end{array}\right.$

在此坐标变换下，稳态时的平衡点(C_AS,C_BS,T_S)以新的坐标z₁、z₂和η来表示记为(z₁₀,z₂₀,η₀)，其中 $(z_{10},z_{20},{\mathrm{\&eta;}}_0)=(T_S,C_{\mathrm{Bs}},\frac{5-C_{\mathrm{As}}}{C_{\mathrm{Bs}}}).$

6.根据权利要求5所述的MIMO非最小相位CSTR反应器的非线性控制器设计方法，其特征在于，将标准型进行拆分为两个子系统，分别为：

子系统a：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=v_1$

子系统b：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dz}}_2}{\mathrm{dt}}{=v}_2\\ \frac{\mathrm{d\&eta;}}{\mathrm{dt}}=(z_2,\mathrm{\&eta;})=\frac{{5k}_2\left(z_1\right)+k_3\left(z_1\right){(5-z_2\mathrm{\&eta;})}^2-k_1\left(z_1\right)(5-z_2)\mathrm{\&eta;}}{z_2}\end{array}\right.$

其中 $v_1=\frac{\left({-\mathrm{\&Delta;H}}_1\right)k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\&eta;})+\left({-\mathrm{\&Delta;H}}_2\right)k_1\left(z_1\right)z_2}{{\mathrm{\&rho;C}}_{\mathrm{\&rho;}}}+\frac{\left({-\mathrm{\&Delta;H}}_3\right)k_3\left(z_1\right){\left({5-z}_2\mathrm{\&eta;}\right)}^2+u_2}{{\mathrm{\&rho;C}}_{\mathrm{\&rho;}}}+(T_0-z_1)u_1,$ $v_2=\frac{{5k}_2\left(z_1\right)+k_3\left(z_1\right){(5-z_2\mathrm{\&eta;})}^2-k_1\left(z_1\right)(5-z_2\mathrm{\&eta;})\mathrm{\&eta;}}{z_2},$ 再分别对这两个子系统设计控制器。

7.根据权利要求6所述的MIMO非最小相位CSTR反应器的非线性控制器设计方法，其特征在于，对于子系统a，控制目标是使反应温度T恒稳定在一目标值上，根据线性系统的反馈控制方法只需要v₁＝-96.465(z₁-407.15)即可。

8.根据权利要求6所述的MIMO非最小相位CSTR反应器的非线性控制器设计方法，其特征在于，对于子系统b，其控制器设计方法包括以下步骤：

b1、将子系统b中的非线性状态方程在平衡点(z₂₀,η₀)处通过二阶泰勒展开，展开过程中将z₁视为常参量，分解为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}=q(z_2,\mathrm{\&eta;})=A_{z_2}(z_2-z_{20})+A_{\mathrm{\&eta;}}(\mathrm{\&eta;}-{\mathrm{\&eta;}}_0)+\mathrm{\&omega;}(z_2,\mathrm{\&eta;})$

其中 ${A_z}_2=\frac{\&PartialD;q(z_2,\mathrm{\&eta;})}{{\&PartialD;z}_2}{|}_{(z_2,\mathrm{\&eta;})=(z_{20},{\mathrm{\&eta;}}_0)},$ $A_{\mathrm{\&eta;}}=\frac{\&PartialD;q(z_2,\mathrm{\&eta;})}{{\&PartialD;}_{\mathrm{\&eta;}}}{|}_{(z_2,\mathrm{\&eta;})=(z_{20},{\mathrm{\&eta;}}_0)},$ ω(z₂,η)为泰勒展开中的二阶及其以上的项，这样子系统b便等价于下列矩阵形式：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{z}_2-z_{20}\\ \mathrm{\&eta;}-{\mathrm{\&eta;}}_0\end{array}\right]+{\mathrm{Bv}}_2\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\&omega;}(z_2,\mathrm{\&eta;})\end{array}\right]$

b2、设子系统b的控制器为：

$v_2=-G\left[\begin{array}{c}{z}_2-z_{20}\\ \mathrm{\&eta;}-{\mathrm{\&eta;}}_0\end{array}\right]+v_{\mathrm{NL}}={-g}_1(z_2-z_{20})-g_2(\mathrm{\&eta;}-{\mathrm{\&eta;}}_0)+v_{\mathrm{HL}}$

其中，待定参数G＝(g₁,g₂)为行增益向量，待定参数v_NL是为了使系统稳定而引入的非线性补偿项；将此控制器联合第b1步有：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\end{array}\right]=[A-\mathrm{BG}]\left[\begin{array}{c}{z}_2-z_{20}\\ \mathrm{\&eta;}-{\mathrm{\&eta;}}_0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{NL}}\\ \mathrm{\&omega;}(z_2,\mathrm{\&eta;})\end{array}\right]$

b3、利用极点配置的方法来确定待定参数G，得到行增益向量G中两个元素g₁、g₂的值；

b4、运用李雅普诺夫稳定性理论来求解v_NL：

构造如下李雅普诺夫函数：

${L(z,\mathrm{\&eta;})\left[\begin{array}{c}{z}_2-z_{20}\\ \mathrm{\&eta;}-{\mathrm{\&eta;}}_0\end{array}\right]}^{T}P\left[\begin{array}{c}{z}_2-z_{20}\\ \mathrm{\&eta;}-{\mathrm{\&eta;}}_0\end{array}\right]$

其中P是满足如下李雅普诺夫方程的正定矩阵，

A_s ^TP+PA_s＝-Q

Q为任意正定矩阵；

对李雅普诺夫函数求导得系统稳定要求由此可得v_NL，这样便能得到控制律v2。

9.根据权利要求1－8中任意一项权利要求所述的MIMO非最小相位CSTR反应器的非线性控制器设计方法，其特征在于，利用DSP通过软件编程来实现该控制器，

DSP控制器与CSTR的连接方式为：连续搅拌釜式反应器系统的状态环戊二烯浓度C_A和输出环戊烯浓度C_B、温度T分别经2个浓度传感器和1个温度传感器接DSP控制器的输入端；经A/D转换、运算、D/A转换后输出四路模拟量控制信号，再分别经4个4-20mA电流变送器转换为4路电动调节阀的输入控制信号，自动调节4个电动调节阀的开度以分别控制环戊二烯的流量以及进入夹套内冷却水的流量。