CN109597362A - 燃料电池空气供给系统非线性控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

一种燃料电池空气供给系统非线性控制器设计方法，属于控制技术领域。本发明针对汽车燃料电池的氧气过剩系数控制问题，利用鲁棒三步法来设计控制器，使燃料电池系统在获得充足氧气的同时保证功率最优的燃料电池空气供给系统非线性控制器设计方法。本发明的步骤是：空气供给系统面向控制模型的建立、鲁棒三步法控制器设计。本发明结合三步法与鲁棒控制设计了一个非线性控制器来跟踪氧气过剩系数。此控制方法具有简洁直观的结构，能够在保证系统稳定性的同时考虑系统的非线性特性。

Description

燃料电池空气供给系统非线性控制器设计方法

技术领域

本发明属于控制技术领域。

背景技术

近年来，世界经济不断发展，全球汽车保有量不断快速增长，我国面临的能源和环境压力也日益增大。传统的内燃机汽车受到卡诺循环的限制，其能量转化效率低，并产生大量对环境不友好的气体，对环境造成污染。而燃料电池汽车因为其能量转换效率高、零排放、燃料(氢气)来源广泛和燃料补充方便等优点，被认为是汽车的终极形态。要想使我国燃料电池产业跟随甚至超过国际水平，我们必须对燃料电池系统进行控制。所以，对车用燃料电池系统及其相关设备的控制方案进行研究对燃料电池的推广和产业化具有重大的意义。质子交换膜燃料电池的效率和使用寿命很大程度上取决于空气供给系统的控制性能。氧气过剩系数控制对燃料电池汽车来说尤其重要，当氧气过剩系数过低时，将会缩短电池寿命甚至损坏交换膜；当氧气过剩系数过高时，将会降低整个系统的净功率。因此，如何设计控制器来产生合理的电压驱动压缩机，进而得到充足的空气，一直是汽车燃料电池研究的重要问题之一。针对汽车燃料电池的氧气过剩系数控制，主要有以下问题：

1.燃料电池空气供给系统结构复杂，具有强非线性特性，所以用线性方法设计的控制器其控制输出误差较大，不够精确；

2.以往设计的非线性控制器比较复杂，不能和稳定性分析相结合,其理论控制方法与工程实现之间还有较大的差距。

发明内容

本发明针对汽车燃料电池的氧气过剩系数控制问题，利用鲁棒三步法来设计控制器，使燃料电池系统在获得充足氧气的同时保证功率最优的燃料电池空气供给系统非线性控制器设计方法。

本发明的步骤是：

一、空气供给系统面向控制模型的建立：

1)面向控制模型建立：

设计了如下的非线性空气供给系统模型：

式中，ω_cp是压缩机的角速度，P_sm是进气管道压力，P_ca是阴极压力，u是控制输入(压缩机电压)，I_st是电堆电流，它通常被看成是空气供给系统中可测量的扰动量，W_cp是通过压缩机的空气质量流量；

2)空气质量流量W_cp的计算公式是：

式(1)中的常量a_i(i＝1，2，…，11)，式(2)中的常量α_j(j＝1，2，…5)以及与质子交换膜燃料电池系统相关的物理参数ψ、ψ_max给出如下：

α₁＝Bb₁，α₂＝Bb₂A，α₃＝Bb₃A²

α₄＝Bb₄A³，

α₅＝Bb₅A⁴，

3)定义氧气过剩系数为氧气供给量和氧气消耗量之比，即：

式中c₁和c₂如下所示：

上式中为氧气的摩尔质量，为阴极入口氧气的摩尔分数；

4)定义控制输出为：

将上式微分，由方程(1)可得：

将上式微分可得：

式中，p＝[P_sm，w_cp]是空气供给系统中可测状态；f₁(p)，f₂(y，p)，f₃(p)和g(p)将在下面的方程(7)中给出；d(t)是模型误差和外部干扰的总和；

5)扰动观测器的设计：

定义三个状态变量即：z₁＝y，以及一个扩张状态z₃＝d(t)，将方程(6)重新写成如下的状态空间方程：

式中h(t)被认为是一个未知量；

令观测器估计误差线性扩张状态观测器写成如下形式：

参数ω_o由参数调整规则来选择，d(t)可以被估计为：

将方程(6)所建的数学模型与所设计的扰动观测器结合起来，则系统的微分方程写为：

二、鲁棒三步法控制器设计

1)稳态控制

首先令方程(11)中和然后，得到如下的稳态控制律：

式中，在工程实际中g(p)≠0；

2)基于参考变量的前馈控制

定义控制输入为：u＝u_s+u_f (13)

把方程(12)、(13)带入(11)中，则所建模型可以写成如下形式：

令方程(14)中的得到如下的前馈控制律：

3)鲁棒误差反馈控制

在控制输入中引入了一个新的控制量u_e，控制输入写成如下形式：

u＝u_s+u_f+u_e (16)

把方程(12)、(15)、(16)带入方程(11)中，则所建模型写成如下形式：

令参考跟踪误差和干扰误差分别如下：

e＝y^*-y，

然后将方程(18)带入方程(17)中可得：

令e₁＝e，χ＝∫e₁dt，则模型变成如下形式：

对于方程(20)中给出的系统选择如下的李雅普诺夫函数：

将上述得到的李雅普诺夫函数求导，可得：

令k₁χ+e₂＝-k₂e₁并且k₂＞0，则有：

上式中只有e₁＝0时于是得到：

定义一个新的误差量e₃＝e_2d-e₂，构造一个新的李雅普诺夫函数如下所示：

将上述得到的李雅普诺夫函数求导，可推导得出：

式中，

令则方程(26)表示为：

在k₃＞0的情况下，闭环跟踪误差系统是渐进稳定的，推导得到如下的鲁棒误差反馈控制律：

通过把χ＝∫e₁dt，和带入方程(28)中，则误差反馈控制律写成如下形式：

把方程(12)、(15)、(29)组合起来获得总体的控制律，如下所示：

其中：

本发明与现有技术相比本发明的有益效果是：

1.针对燃料电池空气供给系统氧气过剩系数控制，本发明提出了一个仿射形式的二阶面向控制模型，此模型结构有益于控制器的设计。在此模型基础上，设计了一个扰动观测器来补偿模型误差，从而达到提高模型精度的目的。

2.本发明结合三步法与鲁棒控制设计了一个非线性控制器来跟踪氧气过剩系数。此控制方法具有简洁直观的结构，能够在保证系统稳定性的同时考虑系统的非线性特性。

3.因为闭环系统作为线性系统的固有结构，所以本发明通过线性系统理论推导出确定的控制器参数调整规则。

附图说明

图1是实施本发明所述的质子交换膜燃料电池系统原理图；

图2是用来验证模型精度的电堆电流和电机电压的变化图；

图3(a)是进气管道压力与阴极压力之差(P_sm-P_ca)的模型验证结果，其中实线plant为实际压差值，宽虚线Model without ESO为不带扩张状态观测器(ESO)的压差值，窄虚线Model with ESO为带有扩张状态观测器(ESO)的压差值；

图3(b)是氧气过剩系数模型验证结果，其中实线plant为实际氧气过剩系数值，宽虚线Model without ESO为不带扩张状态观测器(ESO)的氧气过剩系数值，窄虚线Model withESO为带有扩张状态观测器(ESO)的氧气过剩系数值；

图4是二阶滤波器的结构框图；

图5是验证控制器效果时电堆电流变化图，单位A；

图6是在本发明所述控制器作用下，进气管道压力与阴极压力之差(P_sm-P_ca)的变化曲线，实线Reference为期望的压差曲线，宽虚线为PID1控制器的实际压差控制输出曲线，点虚线为PID2控制器的实际压差控制输出曲线，点划虚线Triple-step method为基于鲁棒三步法控制器的实际压差控制输出曲线；

图7是图6在3.5s-5s时间段内的曲线放大图；

图8是本发明所述控制器作用下，氧气过剩系数的变化曲线，实线Reference为期望的氧气过剩系数曲线，宽虚线为PID1控制器的实际氧气过剩系数控制输出曲线，点虚线为PID2控制器的实际氧气过剩系数控制输出曲线，点划虚线Triple-step method为基于鲁棒三步法控制器的实际氧气过剩系数控制输出曲线；

图9是图8在3.5s-5s时间段内的曲线放大图；

图10是在本发明所述控制器作用下，电堆温度在叠加高斯噪声干扰的情况下，进气管道压力与阴极压力之差(P_sm-P_ca)的变化曲线，实线Reference为期望的压差曲线，宽虚线为PID1 控制器的实际压差控制输出曲线，点虚线为PID2控制器的实际压差控制输出曲线，点划虚线 Triple-step method为基于三步法控制器的实际压差控制输出曲线；

图11是在本发明所述控制器作用下，电堆温度被用来跟踪高斯噪声干扰的情况下，氧气过剩系数的变化曲线，实线Reference为期望的氧气过剩系数曲线，宽虚线为PID1控制器的实际氧气过剩系数控制输出曲线，窄虚线为PID2控制器的实际氧气过剩系数控制输出曲线，点划虚线Triple-step method为基于三步法控制器的实际氧气过剩系数控制输出曲线。

具体实施方式

本发明主要针对汽车燃料电池的氧气过剩系数控制问题，利用鲁棒三步法来设计控制器。鲁棒三步法设计的控制器由三部分组成：稳态控制、基于参考变量的前馈控制、鲁棒误差反馈控制。首先，当系统达到稳定状态时，稳态控制u_s在控制器中占主导地位；其次，前馈控制u_f通过考虑参考变量来改善系统动态行为；然后，通过稳态控制和前馈控制提取系统非线性特性，得到了面向控制模型的显式仿射表达式，大大地简化了误差反馈的设计，并基于鲁棒理论设计了反馈环节。最后，在Lyapunov稳定性框架下证明了系统的渐进稳定性。本发明能很好地解决以上两点问题。

本发明针对汽车燃料电池的氧气过剩系数控制问题，利用鲁棒三步法来设计控制器，使燃料电池系统在获得充足氧气的同时保证功率最优。由于燃料电池空气供给系统比较复杂，具有较强的非线性特性。因此，用线性方法难以设计有效的控制器。而本发明针对此系统设计了基于鲁棒三步法控制算法的非线性控制器，达到了良好的控制效果。

本发明所述的研究方法是基于鲁棒三步法控制算法，包括以下步骤：

为了便于控制器的设计，首先，推导得到一个仿射形式的二阶面向控制模型；其次，设计了一个干扰观测器来补偿所建模型的误差，并对模型精度进行了验证；然后，提出了用于氧气过剩系数跟踪控制的鲁棒非线性三步法，并在Lyapunov稳定性框架下证明了系统的渐进稳定性，同时给出了控制器参数调整规则；最后，给出了该控制器在不同工况下的仿真结果，与传统PID控制器相比，设计的控制器具有更好的控制效果。

为解决上述技术问题，本发明是采用如下技术方案实现的：

本发明结合三步法与鲁棒控制所设计的非线性控制器是通过软件系统实现。软件系统为 Matlab/Simulink高级仿真软件组成。MATLAB/Simulink软件是用于控制器的仿真模型搭建，即通过Simulink编程来完成基于鲁棒三步法非线性控制器的搭建。

从功能上说本发明可以包括以下几部分：燃料电池系统模型、带有扰动观测器的燃料电池空气供给系统面向控制模型和基于鲁棒三步法控制器模块。

下面详细说明各部分的作用：

燃料电池系统模型主要作用是模拟真实的被控对象，能够准确的描述真实燃料电池的空气供给系统的功能，给整个控制系统提供了一个较准确的被控对象。

带有扰动观测器的燃料电池空气供给系统面向控制模型的建立能够方便基于鲁棒三步法非线性控制器的设计。

基于鲁棒三步法控制器模块的主要作用是对燃料电池空气供给系统模型的各种状态信息进行采集，然后进行优化运算，产生控制信号——压缩机驱动电压信号，并且将该信号发送给燃料电池空气供给系统的执行机构——压缩机。

本发明的控制目标是，控制器根据燃料电池系统的状态，控制压缩机驱动电压跟随一个参考的氧气过剩系数以避免发生氧饥饿现象损害燃料电池电堆，通常使燃料电池系统的氧气过剩系数保持在2。

本发明提供了一套基于以上运行原理和运行过程的装置。搭建以及运行过程如下：

1.软件选择

该控制系统的被控对象和控制器的仿真模型通过软件Matlab/Simulink进行搭建，软件版本为Matlab R20012a，求解器选择分别为ode3。仿真步长为定步长，步长选择为0.005s。

2.空气供给系统面向控制模型的建立

1)面向控制模型建立

本发明基于质子交换膜燃料电池的工作原理，设计了如下的非线性空气供给系统模型：

式中，ω_cp是压缩机的角速度，P_sm是进气管道压力，P_ca是阴极压力。u是控制输入(压缩机电压)。I_st是电堆电流，它通常被看成是空气供给系统中可测量的扰动量。W_cp是通过压缩机的空气质量流量，它是由压缩机角速度ω_cp和进气管道压力P_sm共同决定的。

其计算公式如下：

方程(1)中的常量a_i(i＝1，2，…，11)，方程(2)中的常量α_j(j＝1，2，…5)以及与质子交换膜燃料电池系统相关的物理参数ψ、ψ_max给出如下：

α₁＝Bb₁，α₂＝Bb₂A，α₃＝Bb₃A²

α₄＝Bb₄A³，

α₅＝Bb₅A⁴，

压缩机的回归系数给出如下：

上述建模过程中所用的参数给出如下：

为了提高质子交换膜燃料电池的工作效率和使用寿命，维持氧气过剩系数在一理想值至关重要。定义为氧气供给量和氧气消耗量之比，即：

式中c₁和c₂如下所示：

上式中为氧气的摩尔质量，其值为32.0×10^-3；为阴极入口氧气的摩尔分数，其值为0.21。

由方程(3)可知，干扰量I_st存在中的分母上。如果直接对进行微分计算可能导致控制设计过程的复杂性。本发明将进气管道压力P_sm与阴极压力P_ca之差，即P_sm-P_ca当做直接控制目标。于是本发明定义控制输出为：

将上式微分，由方程(1)可得：

将上式微分可得：

式中，p＝[P_sm，w_cp]是空气供给系统中可测状态；f₁(p)，f₂(y，p)，f₃(p)和g(p）将在下面的方程(7)中给出；d(t)是模型误差和外部干扰的总和。

上面所推导的面向控制模型具有仿射的形式，它很适合控制器的设计。

2)扰动观测器的设计

为了提高空气供给系统面向控制模型的精度，本发明设计了一个线性扩张状态观测器(ESO) 来估计所建模型的不确定性d(t)。

首先，我们定义三个状态变量即：z₁＝y，以及一个扩张状态z₃＝d(t)。然后，将方程(6)重新写成如下的状态空间方程：

式中h(t)被认为是一个未知量。

然后，我们令观测器估计误差于是，线性扩张状态观测器(ESO)可以写成如下形式：

参数w_o由参数调整规则来选择。因此，d(t)可以被估计为：

将方程(6)所建的数学模型与所设计的扰动观测器结合起来，则系统的微分方程可以写为：

3)空气供给系统模型验证

为了分析线性扩张状态观测器在估计d(t)方面的有效性，本发明给出了带有扩张状态观测器 (ESO)和不带有扩张状态观测器(ESO)的模型精度对比仿真结果图。图2分别是验证模型精度的电堆电流和电机电压的变化图，图3(a)是系统输出y(P_sm-P_ca)的仿真结果图，图3(b)是氧气过剩系数的仿真结果图。从图3中我们可以看到，不带有扩张状态观测器(ESO)的空气供给系统面向控制模型其输出与真实值之间存在明显的偏差。然而从仿真图中可以看出扩张状态观测器(ESO)可以有效地消除所建模型的误差并且显著提高了空气供给系统面向控制模型的精度。

3.鲁棒三步法控制器设计

1)稳态控制

首先我们令方程(11)中和然后，得到如下的稳态控制律：

式中，在工程实际中g(p)≠0。上述的控制法取决于输出y和可测变量p。

2)基于参考变量的前馈控制

仅靠稳态控制不足以满足空气供给系统的控制需求。因此在此基础上，应用基于参考变量的前馈控制来提高系统的瞬态控制性能。

我们先定义控制输入为：u＝u_s+u_f (13)

把方程(12)、(13)带入(11)中，则所建模型可以写成如下形式：

有个控制难题是参考输出y^*随着电堆电流I_st的变化而变化，因此需要考虑参考量的变化。令方程(14)中的我们得到如下的前馈控制律：

3)鲁棒误差反馈控制

在上面所描述的两步中没有考虑到跟踪误差。为了实现更好的控制性能并保证系统的鲁棒性，本发明还推导得到一个鲁棒误差反馈控制律。

首先，我们在控制输入中引入了一个新的控制量u_e。于是，控制输入可以写成如下形式：

u＝u_s+u_f+u_e (16)

把方程(12)、(15)、(16)带入方程(11)中，则所建模型可以写成如下形式：

我们令参考跟踪误差和干扰误差分别如下：

e＝y^*-y，

然后将方程(18)带入方程(17)中可得：

为了抑制系统的稳态误差，本发明引入了误差积分。令，e₁＝eχ＝∫e₁dt，则模型变成如下形式：

对于方程(20)中给出的系统选择如下的李雅普诺夫函数：

将上述得到的李雅普诺夫函数求导，可得：

为了满足上述方程是负定的，我们令k₁χ+e₂＝-k₂e₁并且k₂＞0。则有：

上式中只有e₁＝0时于是我们得到：

为了确保e₂能够渐进稳定地收敛于e_2d，我们定义了一个新的误差量e₃＝e_2d-e₂。构造了一个新的李雅普诺夫函数如下所示：

将上述得到的李雅普诺夫函数求导，可推导得出：

式中，

如果我们令则方程(26)可以表示为：

在k₃＞0的情况下，闭环跟踪误差系统是渐进稳定的。于是可以推导得到如下的鲁棒误差反馈控制律：

通过把χ＝∫e₁dt，和带入方程(28)中，则误差反馈控制律可以写成如下形式：

把方程(12)、(15)、(29)组合起来可以获得总体的控制律，如下所示：

其中：

首先，当系统达到稳态时，稳态控制u_s在控制器中占主导地位。其次，前馈控制律u_f通过考虑参考量的变化改善了系统的动态行为。然后，在通过前两个步骤提取一些系统非线性特性后，我们推导得到一种显示仿射的表达式。在此表达式的基础上，可以很容易地设计出一种鲁棒误差反馈控制律。这种方法简明扼要，可与现代汽车控制在实践中采用的结构相媲美。它的确需要建模工作，但它在减少校准工作负载和提高瞬态控制性能方面有显著的优势。因此，它有助于缩小理论非线性控制方法与工程实现之间的差距。

4)控制器参数调整规则：

为了给控制器参数调整规则提供指导，将方程(24)、(30)带入(11)中，则闭环误差系统如下：

式中，并且它是有界的。

从方程(32)中我们可以推断出k₂在跟踪误差e₁的衰减的过程中占主导地位。同理k₃对e₃也有同样的作用。基于这个考虑，选择k₁和k₂时应尽可能大。然而，从方程(30)和(31)可以看出过大的k₁和k₂将使控制器的增益过大，这在实践中是不可取的。

接下来，我们对方程(32)进行拉普拉斯变换和一些简单的操作可得：

由终值定理，可得跟踪偏移量如下：

这意味着当d′为脉冲或阶跃信号时e₁(∞)＝0。显然在这种情况下，系统的性能会从引入积分操作中得到提高。此外，如果d′是一个斜率为的斜坡信号，那么偏移量将变成：

一般来说，如果干扰比较小的话我们可以选择足够大的k₁k₃来减小跟踪偏移量。

最后，本发明为参数调整规则提供了以下的指导原则：

①根据e₁所需的衰减率来选择k₂的值，其中衰减率越大选择的k₂值就越大；

②为了获得一个理想的跟踪偏移量应选择一个较大的k₁值；

③为了满足系统响应速度快、震荡小同时避免过高的增益，我们应选择k₂≤k₁。

4.实现问题和仿真结果

1)实现问题

为了实际的实现，本发明引入了信号处理的方法并对本发明中的控制方案进行了必要的微分计算。

由方程(4)可知，参考量y^*可由参考的氧气过剩系数计算得到：

一般我们令可以保证质子交换膜燃料电池的输出功率最大。

为了从参考量y^*中得到和本发明利用了用于信号处理的低通滤波器。

把参考量标记为将通过一个二阶滤波器可得：

二阶滤波器的结构框图如图4所示，和都标记在图4中。

2)实验验证及分析

本发明中将基于鲁棒三步法设计的控制器和两个PID控制器进行比较，所用的模型是和模型验证相同的模型。PID控制器的数学表达式如下：

其中：

为了验证本发明设计的控制器的有效性，我们考虑了两种PID控制器。第一种PID控制器的控制目标是避免产生震荡同时快速调整，它调整后的参数为：K_p＝80， K_i＝1000，K_d＝0.2。第二种控制器的控制目标是以较小的超调实现快速调整，最后其调整后的参数为：K_p＝80，K_i＝650，K_d＝0.2。

我们令扰动观测器的参数w_o＝100。根据前面介绍的控制器参数调整规则，本发明设计的控制器参数设置为：k₁＝15000，k₂＝1000，k₃＝50。

首先，我们验证控制系统抗干扰性。为了更好地证明鲁棒三步法的控制性能，我们在电堆电流上加入一系列阶跃扰动，如图5所示。图6和图8分别是控制输出y(P_sm-P_ca) 和氧气过剩系数的控制输出曲线。图7和图9分别是图6和图8在3.5-5s内的曲线放大图。

从图6和图8可以看到，基于鲁棒三步法设计的控制器能够比其他两个PID控制器以更小的超调和更快的速度来稳定氧气过剩系数。第一个PID控制器可以在没有震荡的情况下来跟踪所需的值。第二个PID控制器虽能实现快速地调节但也产生震荡。总之，本发明设计的控制系统相比于PID控制器来说调节时间更快、超调更小、没有震荡。由于电堆电流的变化要比燃料电池的动态过程快，所以需要时间通过调整输入电压来补偿氧气过剩系数的突然变化。本发明所设计的基于扰动观测器鲁棒三步法综合考虑了空气供给系统的非线性和干扰，从而达到了最佳的控制效果。

其次，本发明还验证了在参数扰动下，所设计的控制系统在减小允许误差方面的性能。在实际应用中，燃料电池的许多参数可能随工作条件变化而变化，如电堆温度、环境温度和环境压力的变化。在本发明中我们只考虑了电堆温度的扰动。给电堆温度叠加上一个平均值为353、方差为20的高斯噪声干扰。电堆电流变化还是如图5所示。图10和图11分别是控制输出y(P_sm-P_ca)和氧气过剩系数的控制输出曲线。

从图10和图11中可以看出，对于两个PID控制器而言，由于电堆温度的变化使氧气过剩系数偏离了期望的稳态值，而基于鲁棒三步法设计的控制系统最后只有一个非常小的稳态误差。

总之，无论是抗干扰性能还是减小允许误差方面的性能，本发明所设计的控制器都要优于PID控制器。

Claims (1)

1.一种燃料电池空气供给系统非线性控制器设计方法，其特征在于：

一、空气供给系统面向控制模型的建立：

1)面向控制模型建立：

设计了如下的非线性空气供给系统模型：

式中，ω_cp是压缩机的角速度，P_sm是进气管道压力，P_ca是阴极压力，u是控制输入(压缩机电压)，I_st是电堆电流，它通常被看成是空气供给系统中可测量的扰动量，W_cp是通过压缩机的空气质量流量；

2)空气质量流量W_cp的计算公式是：

式(1)中的常量a_i(i＝1，2，…，11)，式(2)中的常量α_j(j＝1，2，…5)以及与质子交换膜燃料电池系统相关的物理参数ψ、ψ_max给出如下：

α₁＝Bb₁，α₂＝Bb₂A，α₃＝Bb₃A²

a₄＝Bb₄A³,

3)定义氧气过剩系数为氧气供给量和氧气消耗量之比，即：

式中c₁和c₂如下所示：

上式中为氧气的摩尔质量，为阴极入口氧气的摩尔分数；

4)定义控制输出为：

将上式微分，由方程(1)可得：

将上式微分可得：

式中，p＝[P_sm，w_cp]是空气供给系统中可测状态；f₁(p)，f₂(y，p)，f₃(p)和g(p)将在下面的方程(7)中给出；d(t)是模型误差和外部干扰的总和；

5)扰动观测器的设计：

定义三个状态变量即：z₁＝y以及一个扩张状态z₃＝d(t)，将方程(6)重新写成如下的状态空间方程：

式中h(t)被认为是一个未知量；

令观测器估计误差线性扩张状态观测器写成如下形式：

参数w_o由参数调整规则来选择，d(t)可以被估计为：

将方程(6)所建的数学模型与所设计的扰动观测器结合起来，则系统的微分方程写为：

二、鲁棒三步法控制器设计

1)稳态控制

首先令方程(11)中和然后，得到如下的稳态控制律：

式中，在工程实际中g(p)≠0；

2)基于参考变量的前馈控制

定义控制输入为：u＝u_s+u_f (13)

把方程(12)、(13)带入(11)中，则所建模型可以写成如下形式：

令方程(14)中的得到如下的前馈控制律：

3)鲁棒误差反馈控制

在控制输入中引入了一个新的控制量u_e，控制输入写成如下形式：

u＝u_s+u_f+u_e (16)

把方程(12)、(15)、(16)带入方程(11)中，则所建模型写成如下形式：

令参考跟踪误差和干扰误差分别如下：

e＝y^*-y，

然后将方程(18)带入方程(17)中可得：

令e_l＝e,χ＝∫e₁dt，则模型变成如下形式：

对于方程(20)中给出的系统选择如下的李雅普诺夫函数：

将上述得到的李雅普诺夫函数求导，可得：

令k₁χ+e₂＝-k₂e₁并且k₂＞0，则有：

上式中只有e₁＝0时于是得到：

定义一个新的误差量e₃＝e_2d-e₂，构造一个新的李雅普诺夫函数如下所示：

将上述得到的李雅普诺夫函数求导，可推导得出：

式中，

令则方程(26)表示为：

在k₃＞0的情况下，闭环跟踪误差系统是渐进稳定的，推导得到如下的鲁棒误差反馈控制律：

通过把χ＝∫e₁dt，和带入方程(28)中，则误差反馈控制律写成如下形式：

把方程(12)、(15)、(29)组合起来获得总体的控制律，如下所示：

其中：