CN103929176A

CN103929176A - 基于贝努利移位混沌序列的感知矩阵构造方法

Info

Publication number: CN103929176A
Application number: CN201410143089.7A
Authority: CN
Inventors: 李智; 干红平; 邓伯华
Original assignee: Sichuan University
Current assignee: Sichuan University
Priority date: 2014-04-11
Filing date: 2014-04-11
Publication date: 2014-07-16

Abstract

本发明公开了一种基于贝努利移位混沌序列的感知矩阵（BCSM）构造方法，并证明了该矩阵可以高概率满足RIP，进而将其应用到数据安全通信中。n路贝努利移位映射是个确定性系统，是个分段线性的混沌映射，因此，混沌序列只需要控制参数n和初始条件x₁就可以很容易重新构造，易在硬件和软件中实现。由于BCSM是个具有确定元素的确定性矩阵，因此，相对随机矩阵来讲，BCSM需要更少的存储空间。再有，BCSM一般在是近似独立同分布的矩阵，因此，无关稀疏域ψ的选择，BCSM都高概率满足RIP。这个优点在信号x_s的稀疏度随着时间自适应变化的应用中特别突出。

Description

基于贝努利移位混沌序列的感知矩阵构造方法

技术领域

本发明涉及一种压缩感知理论中感知矩阵的构造方法。

背景技术

传统的信号处理都是基于奈奎斯特采样定理，为了准确恢复出原始数据，需要以大于或等于两倍信号带宽的速率进行采样，这样，就提高了对硬件采集系统的要求。另一方面，在实际应用中，为了减少存储，处理和传输的数据量，通常会对采样后的数据进行压缩。这样就产生一个问题，既然要对采样后的数据进行压缩，那么是否有可能在数据采集的过程中就丢弃无用信息，只采集有用信息？这就是近年发展起来的压缩感知理论。

压缩感知（CS）是Cand`es和Tao提出的采样理论，在信号稀疏或者可压缩的条件下，降低采样速率，在采样的过程中丢弃冗余数据，在采样完成的同时实现信号的压缩。相对奈奎斯特采样定理，压缩感知有巨大的潜力，特别是在高分辨率信号的采集中，突破了奈奎斯特采样定理的瓶颈。

设是一个时域稀疏信号，其中有k个非零值，k即为信号x的稀疏度。压缩感知可线性表示为，其中是感知矩阵，是测量值，ε是噪声信号。若信号x在某个变换域上是稀疏的，压缩感知则可描述为，其中是变换域的系数，只有k个非零值。总结为等式：。

可以看到，设计一个稳定的感知矩阵φ，使得在采样过程中保留有用信息，去除冗余信息，在压缩感知理论中占有重要地位。稳定的感知矩阵需要满足一些性质，例如Cand`es和Tao提出的约束等距性（RIP）。

定义1 约束等距性（RIP）如果存在使

，，

其中，，φ_T是由φ中的|T|列组成的的矩阵。

那么，矩阵φ满足约束等距性。

Cand`es等人在文献Decoding by linear programming, Information Theory和Robust uncertainty principles: exact signal reconstruction fromhighly incomplete frequency information中指出，随机矩阵可以高概率满足RIP。不幸的是，随机方法在某些应用中并不能满足实际需求，如文献Construction of a large class of deterministic sensingmatrices that satisfy a statistical isometry property和Deterministic constructions of compressed sensing matrices指出，可能存在同一个感知矩阵与不同的稀疏域并不满足不相干性。这就产生一个问题，能否用具有随机性的确定性系统来构造感知矩阵。

综合考虑压缩感知与混沌的概念，本发明提出了一种基于n-way贝努利移位混沌序列的感知矩阵（BCSM）构造方法，并证明了该矩阵可以高概率满足RIP。n-way贝努利移位映射是个确定性系统，是个分段线性的混沌映射，因此，混沌序列只需要控制参数n和初始条件x₁就可以很容易重新构造，易在硬件和软件中实现。由于BCSM是个具有确定元素的确定性矩阵，因此，相对随机矩阵来讲，BCSM需要更少的存储空间。再有，BCSM一般在是近似独立同分布的矩阵，因此，无关稀疏域的选择，BCSM都高概率满足RIP。这个优点在信号x_s的稀疏度随着时间自适应变化的应用中特别突出。

发明内容

为了克服随机感知矩阵需要的存储空间大，以及在某些情况下不满足RIP的缺陷，本发明提出了一种基于n-way贝努利移位混沌序列的伪随机感知矩阵的构造方法。

感知矩阵的具体构造步骤如下：

步骤一、贝努利混沌序列，记作，的构造，如下：

对n-way贝努利移位映射变形，得到区间[-0.5,0.5]的贝努利移位映射

具体的构造如下：

。

当序列的种子x₁是一个无理数时，序列显示出非周期性和混沌性，并且贝努利序列没有瞬态时间，这是本发明采用贝努利混沌序列构造感知矩阵的一个重要理由。

步骤二、设计合理的取样间隔l，取样贝努利移位序列，表示为，。合理的取样间隔l的选取是根据选取后的序列需要满足的独立同分布特性而定的，不能取值太小。

步骤三、检验序列的独立同分布性，若满足，继续步骤四，否则返回步骤二增大取样间隔l。

步骤四、用逐列构造满足RIP性质的贝努利混沌感知矩阵（BCSM），构造如下：

，

其中δ²是的方差，BCSM中的所有元素都用进行了归一化。

附图说明

图1初始稀疏信号x_s1。

图2 初始信号经过感知矩阵测量得到的测量数据。

图3 从测量数据中恢复的信号x_s1 ^*。

图4 恢复误差。

图5 采用不同测量矩阵采样后恢复的绝对误差随测量值的变化的对比。

图6采用不同测量矩阵采样后恢复的相对误差随测量值的变化的对比。

图7 采用不同测量矩阵采样后恢复的信噪比。

图8采用不同测量矩阵恢复概率随信号稀疏度k的变化对比。

图9 构造BCSM的过程框图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

根据发明内容中具体步骤的描述，感知矩阵BCSM的构造如下：

1，首先，选取参数x1=0.45467构造序列

。

2，以参数l=5对序列进行取样得到序列。

在这里，用参数l=5取样得到的序列可以满足独立同分布特性。

3，逐列构造的感知矩阵BCSM：

。

实验中所用到的初始信号是长度为n=200的离散时间稀疏信号x_s1，以分布独立抽取k个点赋以非零值构成的，也就是说，该信号的稀疏矩阵为单位矩阵I。仿真中，以ε表示高斯噪声，设定信噪比（SNR）为40，信号的稀疏度k=20，如图1。用本发明构造的感知矩阵BCSM对信号测量，得到测量值y_s，如图2所示。随后，用基追踪方法得到重构信号，如图3，和重构误差，如图4。

分别用贝努利感知矩阵（BSM），高斯感知矩阵（GSM），和Database-friendly感知矩阵（DaSM）重复上述信号的感知和重构过程，以便与贝努利混沌感知矩阵（BCSM）的结果进行比较，结果如图5和图6。图5和图6分别对重构的绝对误差和相对误差进行了对比。

变化信号x_s1的稀疏度k，再分别用80 × 200的感知矩阵BCSM,GSM,BSM,DaSM进行试验，得到信号成功恢复率与稀疏度k的关系图，如图7。这里对成功恢复的定义为。

Claims

1.一种基于n-way贝努利移位混沌序列构造感知矩阵的方法，感知矩阵的具体构造方法如下：

步骤一、构造区间[-0.5,0.5]的n-way贝努利混沌序列，记作；

步骤二、设计合理的取样间隔l，取样贝努利移位序列，表示为：

；

步骤三、检验序列的独立同分布性，若满足，继续步骤四，否则返回步骤二增大取样间隔l；

步骤四、用逐列构造满足RIP的贝努利混沌感知矩阵（BCSM），构造如下：

其中δ²是的方差，BCSM中的所有元素都用进行了归一化。

2.根据权利要求1所述的基于贝努利混沌序列构造压缩感知矩阵的方法，其特征在于：

步骤一中，对n-way贝努利混沌序列进行变形，得到区间[-0.5,0.5]的n-way贝努利混沌序列

选取序列的种子元素无理数，具体的构造如下：

。

3.根据权利要求1所述的基于贝努利混沌序列构造压缩感知矩阵的方法，其特征在于：

步骤二中，为了使序列满足独立同分布性质，所选取的取样间隔需要较大。