CN104660269A - 一种用于信号压缩感知的感知矩阵生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于信号压缩感知的感知矩阵生成方法，首先，选取一个确定型感知矩阵或生成一个随机型感知矩阵；然后，再左乘特定的可逆矩阵或右乘特定的可逆对角矩阵或其行/列的全排列，这样得到的矩阵乘积就是我们所需要的新的感知矩阵。本发明可以基于现有感知矩阵，对其结构或元素进行调节，以此来生成具有一定规律性的感知矩阵，同时保持CS属性不变。尤其对于确定型感知矩阵，本发明方法提供了一种非常便利的生成或扩充的新途径。在结构或元素上具有一定规律性的感知矩阵，有利于CS测量系统在压缩采样频率、信号重建速度、实现成本等方面进行改进。

Description

一种用于信号压缩感知的感知矩阵生成方法

技术领域

本发明涉及信号处理的压缩感知领域，特别是一种用于信号压缩感知的感知矩阵生成方法。

背景技术

压缩感知(Compressed or Compressive Sensing，以下简称为CS)最初是在2006年由Donoho、Candes、Romberg和Tao等人提出来的一种用于信号获取和传感器设计的新框架。CS有时也称为压缩采样(Compressive Sampling)或稀疏重建(Sparse Recovery)，其曾被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。

近年来，由于传感器硬件和获取技术的进步所导致的海量传感器数据使得数据的处理、通信、存储成为了瓶颈。Shannon/Nyquist采样定理指出，为了无损地采样一个信号，采样率必须是信号带宽的至少两倍才行。在数字图像和视频等许多应用中，Nyquist采样率是如此之高使得太多的采样数据必须进行压缩才能有效存储或传输。而在医学扫描和雷达成像系统以及高速模数转换器等的应用中，通过提高采样率来提高图像分辨率或信号质量的代价是十分高昂的或难以实现的。而CS通过直接对压缩后的信号进行采样就可以在保证信号质量的前提下降低采样率。从而，通过采样数据的减少使得图像、视频等数据的存储、传输以及计算处理等代价显著降低，也使得超高速的模数转换器或扫描成像系统的实现成为可能。

CS的思想就是，利用信号的稀疏性这个结构特点，通过对信号的非自适应线性投影(边压缩边采样)以保留信号的结构性信息，然后使用优化算法从这些投影中重建信号。由于保证信号重建时所需的投影数据采样个数可以远低于原数据采样个数，因此CS使得在感知稀疏或可压缩信号时所需的采样和计算代价有了很大的减少。同时，CS也给高维数据的维数约简或压缩提供了一种新的途径。基于CS的巨大应用潜力，其在编码和信息论、信号处理、医学成像、光学或遥感成像、无线通信、无线传感器网络、模式识别、雷达探测、地震学和地质勘探、图像超分辨率重建、生物学、天文学等众多领域受到了高度关注，并得到了广泛的应用研究。

感知矩阵的构造和重建算法的设计是CS理论中的两个核心问题。具体而言，给定一个k-稀疏信号x∈Rⁿ，可以将一个获取m个线性测量值的测量系统用数学表述为

y＝Ax,

其中，感知矩阵A为m×n矩阵且测量值y∈R^m。感知矩阵A的作用就是把n维向量x在维度上压缩为m维向量y，因为n通常比m大得多。感知矩阵必须满足一定的属性或条件才能在实现维度压缩的同时保证从测量值可以重建出原来的k-稀疏信号。一般来说，这些属性或条件主要是spark(A)>2k、满足2k阶以上NSP、以及满足2k阶以上RIP。目前感知矩阵的构造可以分为确定型和随机型两大类。举例来说，由m个不同标量构成的m×n Vandermonde矩阵其spark为m+1。但当n很大时构造该确定型矩阵所需标量的个数m也变大。同样，基于其他确定型感知矩阵(满足k阶RIP等属性)进行稀疏重建时，对所需的测量值个数m也有较大甚至是大得不可接受的要求。相比之下，随机构造的感知矩阵可以使得稀疏重建所需的测量值个数m显著减少。例如，元素具有独立且相同连续分布的m×n随机矩阵以概率1具有m+1的spark。更重要的是，如果元素选取自高斯、伯努利分布或更一般的任何亚高斯分布，随机矩阵将以高概率满足RIP。

具有特定结构的确定型感知矩阵数量很少，能够用于实际应用的更少。而实际应用中广泛采用的随机型感知矩阵的元素和结构则完全没有规律性，在生成过程中也没有办法进行人为控制或调节。目前尚无通过已知感知矩阵生成新感知矩阵的方法。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，针对现有技术不足，提供一种用于信号压缩感知的感知矩阵生成方法，可以基于现有感知矩阵，对其结构或元素进行调节，生成特定的感知矩阵，同时保持CS属性不变，既方便扩充构建困难且数量有限的确定型感知矩阵，也有利于对缺乏规律性的随机型感知矩阵进行调节。而在结构或元素上具有一定规律性的特定感知矩阵，有利于降低CS测量系统的实现成本，提高压缩采样频率，以及减少图像等高维信号的重建时间等。另外，还使得信号的压缩采样过程更加具有可调节性，更有利于实际问题的解决。

为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：一种用于信号压缩感知的感知矩阵生成方法，该方法为：

1)选取一个确定型感知矩阵或生成一个随机型感知矩阵作为初始感知矩阵A；若采用随机型感知矩阵作为初始感知矩阵，则先产生一个随机矩阵，利用该随机矩阵对稀疏信号(例如对图像做小波变换后所得信号)进行CS测量，判断利用测量值是否能重建所述稀疏信号；若能，则所述随机矩阵为初始感知矩阵，进入步骤2)；否则，重复步骤1)；

2)将上述初始感知矩阵A左乘一个可逆矩阵B₁，或右乘一个可逆对角矩阵的行或列的全排列B₂，生成一个具有和所述初始感知矩阵A相同CS属性的新感知矩阵B₁A或AB₂。

与现有技术相比，本发明所具有的有益效果为：本发明可以基于现有为数不多的确定型感知矩阵或者缺乏规律性的随机型感知矩阵，对其结构或元素进行调节，以此来生成特定的感知矩阵，同时保持CS属性不变。本方法提供了一种非常便利的生成或扩充确定型感知矩阵的新途径，大大提高了确定型感知矩阵在CS系统中的应用能力。而确定型感知矩阵由于其硬件实现简单，既可以降低CS测量系统的实现成本，也有利于提高压缩采样的频率。对于随机型感知矩阵，本发明也可以在一定程度上克服其在结构或元素上的完全随机性，使其具备一定的规律性。感知矩阵在结构或元素上的规律性，可以减少重建算法的求解时间，提高图像等高维信号的重建速度。另外，在实际应用中，如果我们对感知矩阵的结构或元素做出某些规定或要求，可以使得与感知矩阵相关的测量值或其他参数更加具有可调节性，例如对测量值的强度或相位进行调节，这种可调节性对于实际问题的解决往往会带来某些不可预测或估量的好处。

附图说明

图1为验证一个随机矩阵为感知矩阵；

图2为以左乘和右乘两种方式所得矩阵乘积作为新感知矩阵来重建的图像。

具体实施方式

本发明方法的具体实施可以分为两步。首先，选取或生成一个感知矩阵，以随机型感知矩阵为例，就是由高斯、伯努利等分布产生一个随机矩阵，并验证其为满足CS属性的感知矩阵；然后，再左乘特定的可逆矩阵或右乘特定的可逆对角矩阵(或其行/列的全排列)，这样得到的矩阵乘积就是我们所需要的新的感知矩阵。

下面我们举一个对图像进行稀疏重建的例子来说明该方法的具体实施方式。

(1)生成一个可以实现图像稀疏重建的随机型感知矩阵A。在图1中，先运行MATLAB软件，对原始图像做小波变换得到其稀疏表示(白色点表示大系数)，然后利用randn函数产生一个服从高斯分布N(0,1)的随机矩阵作为感知矩阵对稀疏信号进行测量，最后对测量值采用OMP(Orthogonal Matching Pursuit)算法来重建图像。如果使用该随机矩阵进行测量能够成功重建出图像，就验证了其是一个感知矩阵。将这个矩阵的数据存储到一个MAT文件中，就得到了一个感知矩阵A。

(2)将感知矩阵A左乘一个可逆矩阵(本例采用可逆上三角矩阵)B₁，或右乘一个可逆对角矩阵(或其行/列的全排列)B₂，从而生成一个具有和A相同CS属性的新感知矩阵B₁A或AB₂。通过新感知矩阵重建出来的图像可见图2。新感知矩阵重建图像的误差与原感知矩阵A重建图像的误差非常接近。

本发明是在已有感知矩阵的基础上，通过矩阵乘积的方式来生成新的特定的感知矩阵，并且可以使得其具有与已有感知矩阵相同的CS属性(即spark、NSP和RIP)。就我们所知，在此之前尚无通过已知感知矩阵生成新感知矩阵的方法或做法。该方法的原理或根据是基于作者所发现的以下感知矩阵的数学性质，即感知矩阵的spark、NSP阶数和RIP阶数在矩阵初等变换下的不变性定理(其证明附于后面，详细内容参见作者论文“Invariance of the spark,NSP order and RIPorder under elementary transformations of matrices”)。

定理1设B₁为可逆矩阵，B₂为可逆对角矩阵的行(列)的全排列构成的矩阵。对于矩阵A，有spark(B₁A)＝spark(A)和spark(AB₂)＝spark(A)。

定理2设B₁为可逆矩阵，B₂为可逆对角矩阵的行(列)的全排列构成的矩阵。若矩阵A满足k阶NSP，则B₁A和AB₂仍满足k阶NSP。

定理3设B₁为可逆矩阵，B₂为可逆对角矩阵的行(列)的全排列构成的矩阵。若矩阵A满足k阶RIP，则B₁A和AB₂仍满足k阶RIP。

根据以上定理可知，感知矩阵左乘可逆矩阵或者右乘可逆对角矩阵及其行(列)的全排列仍然可以保持原有的CS属性不变，从而使得矩阵乘积仍是一个感知矩阵。因此，得到一个生成感知矩阵的新方法。

本发明中的OMP算法是正交匹配跟踪算法，是一种对信号进行稀疏分解的方法之一，用于从压缩感知的测量值中重建或恢复出信号的稀疏表示。

附：

A)定理1-3的证明

我们知道，对矩阵A做行或列初等变换相当于A左乘或右乘与之对应的初等矩阵。三种初等矩阵(即E_ij、E_i(c)和E_ij(c))的任意乘积为可逆矩阵，而倍乘和对换初等矩阵(即E_ij和E_i(c))的任意乘积为可逆对角矩阵或者对其行(列)进行排列产生的矩阵。因此，以上3个定理可以看做下面引理1-6的推论。

引理1如果对矩阵A做初等行变换将其化为B，则spark(B)等于spark(A)。

引理2如果对矩阵A做除倍加列变换以外的初等列变换将其化为B，则spark(B)等于spark(A)。

引理3若矩阵A满足k阶NSP，对A做初等行变换将其化为B，则B仍满足k阶NSP。

引理4若矩阵A满足k阶NSP，对A做除倍加列变换以外的初等列变换将其化为B，则B仍满足k阶NSP。

引理5若矩阵A满足k阶RIP，对A做初等行变换将其化为B，则B仍满足k阶RIP。

引理6若矩阵A满足k阶RIP，对A做除倍加列变换以外的初等列变换将其化为B，则B仍满足k阶RIP。

B)引理1-6的证明

下面我们给出引理1-6的证明。

B.1引理1-2的证明

首先，从spark的定义出发，我们可以得出证明中将要用到的几个有帮助的事实。对于矩阵A，有：(1)任何个数小于spark(A)的列向量组必定线性无关；(2)线性相关的列向量的个数必定大于或等于spark(A)，反之不一定成立；(3)对于给定的数r≥spark(A)，A中总是存在一个个数为r的线性相关的列向量组，因为该组可以通过对某个个数为spark(A)的线性相关的列向量组添加r-spark(A)个列向量来得到。

其次，为了证明引理1，我们需要用到如下的一个引理。

引理7对矩阵A做初等行变换化为B，则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性，即

则列向量组与(1≤i₁<i₂<···<i_r≤n)有相同的线性相关性。

证明：对A做初等行变换化为B，就是用若干初等矩阵P₁,...,P_s左乘A使之等于B，记P＝P_s···P₂P₁，即有PA＝B。从而Pα_j＝β_j，j＝1,2,...,n。取A_I＝ $({\mathrm{\&alpha;}}_{i_1},{\mathrm{\&alpha;}}_{i_2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\mathrm{\&alpha;}}_{i_r}),B_I=({\mathrm{\&beta;}}_{i_1},{\mathrm{\&beta;}}_{i_2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\mathrm{\&beta;}}_{i_r}),x_I={(x_{i_1},x_{i_2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,x_{i_r})}^T,$ 则齐次线性方程组A_Ix_I＝0与B_Ix_I＝0(即PA_Ix_I＝0)显然是同解方程组(根据求解线性方程组的高斯消元法可知)。而且，矩阵A_I和B_I的列向量组线性相关的充要条件是其对应的方程组有非零解。因此，A_I和B_I的列向量组有相同的线性相关性。

然后，我们给出引理1和引理2的证明。

引理1如果对矩阵A做初等行变换将其化为B，则spark(B)等于spark(A)。

证明：设A为m×n矩阵，A的n个列向量记作α₁,α₂,...,α_n。对矩阵A做初等行变换化为B，则B的n个列向量记作β₁,β₂,...,β_n。下面分两种情况进行讨论。

(a)假设spark(B)≤r<spark(A)。因为r≥spark(B)，矩阵B中必定存在r个线性相关的列向量。设矩阵B中这r个列向量和矩阵A中对应的r个列向量分别为和(1≤i₁<i₂<···<i_r≤n)。根据引理7可知，矩阵A中的r个列向量也线性相关。这意味着r≥spark(A)，与假设矛盾。因此，可得spark(B)≥spark(A)。

(b)假设spark(B)>r≥spark(A)。类似于(a)，我们可以得到一个与假设相矛盾的结论。因此，可得spark(B)≤spark(A)。

综合(a)和(b)可知，有spark(B)＝spark(A)。

引理2如果对矩阵A做除倍加列变换以外的初等列变换将其化为B，则spark(B)等于spark(A)。

证明：只需证明每做一次对换和倍乘列变换，矩阵的spark都不变。设A为m×n矩阵，A的n个列向量记作α₁,α₂,...,α_n。

(i)对换A的某两个列的位置，所得到的矩阵B的n个列向量仍是A的n个列向量，显然有spark(B)＝spark(A)。

(ii)把A的第i列乘非零常数c得B，则B的n个列向量为α₁,α₂,...,cα_i,...,α_n。我们知道，A含或不含零列经倍乘列变换后B也是含或不含零列。当A含零列时，此时spark(B)＝spark(A)＝1。当A不含零列时，我们可以考虑下面两种情况。

(a)假设spark(B)≤r<spark(A)。因为r≥spark(B)，矩阵B中必定存在r个线性相关的列向量。如果B的这r个列向量中不含cα_i，则其也是A的r个线性相关的列向量且可得r≥spark(A)，这与假设矛盾。因此，可设B中这r个线性相关的列向量为cφ₁,φ₂,...,φ_r(其中φ₁＝α_i)，且存在不全为0的数k₁,k₂,...,k_r∈R，使得k₁cφ₁+k₂φ₂+···+k_rφ_r＝0。若k₁≠0，则结合c≠0可知矩阵A有r个列向量φ₁,φ₂,...,φ_r线性相关，因而可得r≥spark(A)，与假设矛盾。若k₁＝0，则可知矩阵A有r-1个列向量φ₂,φ₃,...,φ_r线性相关，因而可得r-1≥spark(A)，也与假设矛盾。基于以上矛盾，可得spark(B)≥spark(A)。

(b)假设spark(B)>r≥spark(A)。因为r≥spark(A)，矩阵A中必定存在r个线性相关的列向量。如果A的这r个列向量中不含(被倍乘的)A的第i列(即α_i)，则其也是B的r个线性相关的列向量且可得r≥spark(B)，这与假设矛盾。因此，可设A中这r个线性相关的列向量为φ₁,φ₂,...,φ_r(其中φ₁＝α_i)，且存在不全为0的数k₁,k₂,...,k_r∈R，使得k₁φ₁+k₂φ₂+···+k_rφ_r＝0。因为c≠0，所以存在不全为0的数k₁/c,k₂,...,k_r∈R，使得(k₁/c)(cφ₁)+k₂φ₂+···+k_rφ_r＝0。这说明矩阵B有r个列向量cφ₁,φ₂,...,φ_r线性相关，因而可得r≥spark(B)，与假设矛盾。因此，可得spark(B)≤spark(A)。

综合(a)和(b)可知，当A不含零列时也有spark(B)＝spark(A)。因此，(ii)证毕。

最后，根据(i)和(ii)定理得证。

B.2引理3-4的证明

引理3若矩阵A满足k阶NSP，对A做初等行变换将其化为B，则B仍满足k阶NSP。证明：因为对A做初等行变换相当于A左乘对应的初等矩阵，故可设这些初等矩阵的乘积为P且有PA＝B。根据求解线性方程组的高斯消元法，可知PAh＝0与Ah＝0为同解方程组。因此，对于所有均有因为A满足k阶NSP，故根据NSP定义PA也满足k阶NSP。定理证毕。

引理4若矩阵A满足k阶NSP，对A做除倍加列变换以外的初等列变换将其化为B，则B仍满足k阶NSP。

证明：只需证明每做一次对换和倍乘列变换，矩阵的NSP阶数都不变。设A为m×n矩阵，A的n个列向量记作α₁,α₂,...,α_n。因为A满足k阶NSP，所以A不含零列而且经对换和倍乘列变换后所得矩阵也不含零列。

(i)对换A的某两个列的位置，相当于A右乘一个初等矩阵E_ij。对于有

AE_ijh＝AE_ij(h₁,...,h_i,...,h_j,...,h_n)^T＝A(h₁,...,h_j,...,h_i,...,h_n)^T＝0，且可得显然，E_ijh只是改变了h中两个系数的位置，而系数的模没变。因此，对于所有满足|Λ|≤k的Λ，只要E_ijh满足NSP定义h就满足NSP定义。因为A满足k阶NSP，故AE_ij也满足k阶NSP。

(ii)对A的第i列乘非零常数c，相当于A右乘一个初等矩阵E_i(c)(c≠0)。对于 有

AE_i(c)h＝AE_i(c)(h₁,...,h_i,...,h_n)^T＝A(h₁,...,ch_i,...,h_n)^T＝0，

且可得E_i(c)h∈N(A)。

对任何一个满足|Λ|＝K≤k的Λ，我们考虑i∈Λ和两种情况。

(a)当i∈Λ时，不失一般性，可令Λ＝{l₀,l₁,...,l_K-1}且l₀＝i。因为故有 $\left|\right|h_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}|{|}_1=|\left|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\right|{|}_1.$

若0<|c|≤1，则有

$\left|c\right|\&CenterDot;{\left|\right|h_{\mathrm{\&Lambda;}}\left|\right|}_2=\sqrt{c^2{h}_i^2+c^2{h}_{l_1}^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+c^2{h}_{l_{K-1}}^2}\&le;\sqrt{{\left(c{h}_i\right)}^2+h_{l_1}^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+h_{l_{K-1}}^2}={\left|\right|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{\mathrm{\&Lambda;}}\left|\right|}_2.$

从而有

${\left|\right|h_{\mathrm{\&Lambda;}}\left|\right|}_2\&le;\frac{1}{\left|c\right|}\&CenterDot;{\left|\right|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{\mathrm{\&Lambda;}}\left|\right|}_2\&le;\frac{1}{\left|c\right|}\&CenterDot;C\frac{{\left|\right|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\left|\right|}_1}{\sqrt{k}}=\frac{1}{\left|c\right|}C\frac{{\left|\right|h_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\left|\right|}_1}{\sqrt{k}},$

其中第二个不等式是根据和A满足k阶NSP得到的。

若|c|>1，则有

${\left|\right|h_{\mathrm{\&Lambda;}}\left|\right|}_2=\sqrt{h_i^2+h_{l_1}^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+h_{l_{K-1}}^2}<\sqrt{{\left(c{h}_i\right)}^2+h_{l_1}^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+h_{l_{K-1}}^2}={\left|\right|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{\mathrm{\&Lambda;}}\left|\right|}_2.$

从而有

${\left|\right|h_{\mathrm{\&Lambda;}}\left|\right|}_2<{\left|\right|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{\mathrm{\&Lambda;}}\left|\right|}_2\&le;C\frac{{\left|\right|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\left|\right|}_1}{\sqrt{k}}=C\frac{{\left|\right|h_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\left|\right|}_1}{\sqrt{k}},$

其中第二个不等式是根据和A满足k阶NSP得到的。

(b)当时，有‖h_Λ‖₂＝‖(E_i(c)h)_Λ‖₂。因为i∈Λ^c，不失一般性，可令Λ^c＝{l₀,l₁,...,l_n-K-1}且l₀＝i。

若0<|c|≤1，则有

${\left|\right|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\left|\right|}_1=\left|c{h}_i\right|+\left|h_{l_1}\right|+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+\left|h_{l_{n-K-1}}\right|\&le;\left|h_i\right|+\left|h_{l_1}\right|+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+\left|h_{l_{n-K-1}}\right|={\left|\right|h_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\left|\right|}_1.$

从而有

${\left|\right|h_{\mathrm{\&Lambda;}}\left|\right|}_2{=\left|\right|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{\mathrm{\&Lambda;}}\left|\right|}_2\&le;C\frac{{\left|\right|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\left|\right|}_1}{\sqrt{k}=}\&le;C\frac{{\left|\right|h_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\left|\right|}_1}{\sqrt{k}},$

其中第一个不等式是根据和A满足k阶NSP得到的。

若|c|>1，则有

$\frac{1}{\left|c\right|}\&CenterDot;{\left|\right|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\left|\right|}_1=\frac{1}{\left|c\right|}\&CenterDot;\left|c{h}_i\right|+\frac{1}{\left|c\right|}\&CenterDot;\left|h_{l_1}\right|+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+\frac{1}{\left|c\right|}\&CenterDot;\left|h_{l_{n-K-1}}\right|<\left|h_i\right|+{|h}_{l_1}|+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+|h_{l_{n-K-1}}|={\left|\right|h_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\left|\right|}_1.$

从而有

${\left|\right|h_{\mathrm{\&Lambda;}}\left|\right|}_2{=\left|\right|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{\mathrm{\&Lambda;}}\left|\right|}_2\&le;C\frac{{\left|\right|{\left(E_i\left(c\right)h\right)}_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\left|\right|}_1}{\sqrt{k}=}<\left|c\right|\&CenterDot;C\frac{{\left|\right|h_{{\mathrm{\&Lambda;}}^C}\left|\right|}_1}{\sqrt{k}},$

其中第一个不等式是根据和A满足k阶NSP得到的。

综合(a)和(b)可知，令 $C_0=\max \left\{\right|c|\&CenterDot;C,\frac{1}{\left|c\right|}\&CenterDot;C\},$ 则对于所有以及所有满足|Λ|≤k的Λ，均有这说明AE_i(c)满足k阶NSP。

B.3引理5-6的证明

引理5若矩阵A满足k阶RIP，对A做初等行变换将其化为B，则B仍满足k阶RIP。

证明：只需证明每做一次对换、倍乘和倍加行变换，矩阵的RIP阶数都不变。设A为m×n矩阵，且假设A满足k阶非对称RIP。

(i)对换A的某两个行的位置，相当于A左乘一个初等矩阵E_ij。对于若令Ax＝y，则可得

E_ijAx＝E_ijy＝E_ij(y₁,...,y_i,...,y_j,...,y_m)^T＝(y₁,...,y_j,...,y_i,...,y_m)^T。

因而容易看出由假设知A满足非对称RIP定义，故可得这表明E_ijA满足k阶非对称RIP。

(ii)对A的第i行乘非零常数c，相当于A左乘一个初等矩阵E_i(c)(c≠0)。对于若令Ax＝y，则可得

E_i(c)Ax＝E_i(c)y＝E_i(c)(y₁,...,y_i,...,y_m)^T＝(y₁,...,cy_i,...,y_m)^T。

从而有

${\left|\right|E_i\left(c\right)\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2=y_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+{\left(c{y}_i\right)}^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_m^2.---(B.1)$

因为c的取值我们需要考虑下面两种情况。

若0<|c|≤1，则根据(B.1)有

${\left|\right|E_i\left(c\right)\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2\&le;y_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;{+y}_m^2={\left|\right|\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2,$

以及

${\left|\right|E_i\left(c\right)\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2\&GreaterEqual;c^2{y}_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+c^2{y}_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+c^2{y}_m^2={c^2\left|\right|\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2.$

由这两个不等式，以及A满足非对称RIP定义这个假设可得 $c^2\mathrm{\&alpha;}{\left|\right|x\left|\right|}_2^2\&le;{\left|\right|E_i\left(c\right)\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2\&le;\mathrm{\&beta;}{\left|\right|x\left|\right|}_2^2.$

若|c|>1，则根据(B.1)有

${\left|\right|E_i\left(c\right)\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2>y_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;{+y}_m^2={\left|\right|\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2,$

以及

${\left|\right|E_i\left(c\right)\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2<c^2{y}_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+c^2{y}_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+c^2{y}_m^2={c^2\left|\right|\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2.$

由这两个不等式，以及A满足非对称RIP定义这个假设可得 $\mathrm{\&alpha;}{\left|\right|x\left|\right|}_2^2\&le;{\left|\right|E_i\left(c\right)\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2\&le;c^2\mathrm{\&beta;}{\left|\right|x\left|\right|}_2^2.$

从以上两种情况可知，若令α₀＝min{α,c²α}，β₀＝max{β,c²β}，则对于所有x∈Σ_k均有这表明E_i(c)A满足k阶非对称RIP。

(iii)将A的第i行乘常数c加到第j行，相当于A左乘一个初等矩阵E_ij(c)。对于若令Ax＝y，则可得

E_ij(c)Ax＝E_ij(c)y＝E_ij(c)(y₁,...,y_i,...,y_j,...,y_m)^T＝(y₁,...,y_i,...,cy_i+y_j,...,y_m)^T。

从而有

${\left|\right|E_{\mathrm{ij}}\left(c\right)\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2=y_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+{(c{y}_1+y_j)}^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;y_m^2.---(B.2)$

只是第j项不同，因此得到

${\left|\right|E_{\mathrm{ij}}\left(c\right)\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2-{(c{y}_i+y_j)}^2={\left|\right|\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2-{y_j}^2.---(B.3)$

另一方面，对所有x∈Σ_k，均有因此，由A满足非对称RIP定义这个假设可知，

$\mathrm{\&alpha;}\&le;\frac{{\left|\right|\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2}{{\left|\right|x\left|\right|}_2^2}\&le;\mathrm{\&beta;}---(B.4)$

对于所有x∈Σ_k都成立。

类似地，如果我们能够证明对于所有存在上界和下界，我们就得到E_ij(c)A满足k阶非对称RIP的结论。

首先，根据(B.2)可得

$\begin{array}{c}{\left|\right|E_{\mathrm{ij}}\left(c\right)\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2\&le;y_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+2({\left(c{y}_i\right)}^2+{\left(y_j\right)}^2)+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_m^2\\ \&le;2(y_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+{\left(c{y}_i\right)}^2+{\left(y_j\right)}^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_m^2)\\ =2(y_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+(1+c^2)y_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+{\left(y_j\right)}^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_m^2)\\ \&le;2(1+c^2)(y_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_j^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_m^2)=2(1+c^2){\left|\right|\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2.\end{array}$

利用(B.4)，可得 $\frac{{\left|\right|E_{\mathrm{ij}}\left(c\right)\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2}{{\left|\right|x\left|\right|}_2^2}\&le;2(1+c^2)\mathrm{\&beta;}.$

其次，我们要证明

$\frac{{\left|\right|E_{\mathrm{ij}}\left(c\right)\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2}{{\left|\right|x\left|\right|}_2^2}=\frac{{\left|\right|\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2-{y_j}^2}{{\left|\right|x\left|\right|}_2^2}+\frac{{(c{y}_i+y_j)}^2}{{\left|\right|x\left|\right|}_2^2}---(B.5)$

对于所有x∈Σ_k都不是无穷小，这里的等式是根据(B.3)得到的。下面使用反证法。假设存在某个x₀∈Σ_k使得当x→x₀时结合(B.5)，由该假设可得

以及

$\frac{{\left|\right|\mathrm{Ax}\left|\right|}_2^2-{y_j}^2}{{\left|\right|x\left|\right|}_2^2}=\frac{y_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_{j-1}^2+y_{j+1}^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+y_m^2}{{\left|\right|x\left|\right|}_2^2}\&RightArrow;0---(B.6)$

$\frac{{(c{y}_i+y_j)}^2}{{\left|\right|x\left|\right|}_2^2}={(\frac{c{y}_i}{{\left|\right|x\left|\right|}_2}+\frac{y_j}{{\left|\right|x\left|\right|}_2})}^2\&RightArrow;0.---(B.7)$

根据(B.6)可知 $\frac{{y_i}^2}{{\left|\right|x\left|\right|}_2^2}\&RightArrow;0,$ 且 $\frac{c{y}_i}{{\left|\right|x\left|\right|}_2}=\&PlusMinus;\sqrt{\frac{c^2{y}_i^2}{{\left|\right|x\left|\right|}_2^2}},$ 可得 $\frac{c{y}_i}{{\left|\right|x\left|\right|}_2}\&RightArrow;0.$ 将其与(B.7)结合可以看出从而有由此再结合(B.6)可得与(B.4)矛盾。因此，必定存在常数α₀(0<α₀<∞)，使得对于所有x∈Σ_k都成立。至此我们就得到了上面提到的结论。

引理6若矩阵A满足k阶RIP，对A做除倍加列变换以外的初等列变换将其化为B，则B仍满足k阶RIP。

证明：只需证明每做一次对换和倍乘列变换，矩阵的RIP阶数都不变。设A为m×n矩阵，且假设A满足k阶非对称RIP。

(i)对换A的某两个列的位置，相当于A右乘一个初等矩阵E_ij。对于有

AE_ijx＝AE_ij(x₁,...,x_i,...,x_j,...,x_n)^T＝A(x₁,...,x_j,...,x_i,...,x_n)^T。

注意到E_ijx∈Σ_k，并结合A满足非对称RIP定义这个假设，可得 $\mathrm{\&alpha;}{\left|\right|E_{\mathrm{ij}}x\left|\right|}_2^2\&le;{\left|\right|A{E}_{\mathrm{ij}}x\left|\right|}_2^2\&le;\mathrm{\&beta;}{\left|\right|E_{\mathrm{ij}}x\left|\right|}_2^2.$ 容易看出 ${\left|\right|E_{\mathrm{ij}}x\left|\right|}_2^2={\left|\right|x\left|\right|}_2^{2,}$ 因此得到这表明AE_ij满足k阶非对称RIP。

(ii)对A的第i列乘非零常数c，相当于A右乘一个初等矩阵E_i(c)(c≠0)。对于有

AE_i(c)x＝AE_i(c)(x₁,...,x_i,...,x_n)^T＝A(x₁,...,cx_i,...,x_n)^T。

从而有

${\left|\right|E_i\left(c\right)x\left|\right|}_2^2=x_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+{\left(c{x}_i\right)}^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+x_n^2.---(B.8)$

注意到E_i(c)x∈Σ_k，以及A满足非对称RIP定义这个假设可得

$\mathrm{\&alpha;}{\left|\right|E_{\mathrm{ij}}\left(c\right)x\left|\right|}_2^2\&le;{\left|\right|A{E}_i\left(c\right)x\left|\right|}_2^2\&le;\mathrm{\&beta;}{\left|\right|E_i\left(c\right)x\left|\right|}_2^2.---(B.9)$

因为c的取值我们需要考虑下面两种情况。

若0<|c|≤1，则根据(B.8)有

${\left|\right|E_i\left(c\right)x\left|\right|}_2^2\&le;x_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+x_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;{+x}_n^2={\left|\right|x\left|\right|}_2^2,$

以及

${\left|\right|E_i\left(c\right)x\left|\right|}_2^2\&GreaterEqual;c^2{x}_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+c^2{x}_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+c^2{x}_n^2=c^2{\left|\right|x\left|\right|}_2^2.$

将这两个不等式代入(B.9)，可得

若|c|>1，则根据(B.8)有

${\left|\right|E_i\left(c\right)x\left|\right|}_2^2>x_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+x_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;{+x}_n^2={\left|\right|x\left|\right|}_2^2,$

以及

${\left|\right|E_i\left(c\right)x\left|\right|}_2^2<c^2{x}_1^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+c^2{x}_i^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+c^2{x}_n^2=c^2{\left|\right|x\left|\right|}_2^2.$

将这两个不等式代入(B.9)，可得

从以上两种情况可知，若令α₀＝min{α,c²α}，β₀＝max{β,c²β}，则对于所有x∈Σ_k均有这表明AE_i(c)满足k阶非对称RIP。

Claims (3)

1.一种用于信号压缩感知的感知矩阵生成方法，其特征在于，该方法为：

1）选取一个确定型感知矩阵或生成一个随机型感知矩阵作为初始感知矩阵A；若采用随机型感知矩阵作为初始感知矩阵，则先产生一个随机矩阵，利用该随机矩阵对稀疏信号进行CS测量，判断利用测量值是否能重建所述稀疏信号；若能，则所述随机矩阵为初始感知矩阵，进入步骤2）；否则，重复步骤1）；

2）将上述初始感知矩阵A左乘一个可逆矩阵B ₁，或右乘一个可逆对角矩阵的行或列的全排列B ₂，生成一个具有和所述初始感知矩阵A相同CS属性的新感知矩阵B ₁ A或AB ₂。

2.根据权利要求1所述的用于信号压缩感知的感知矩阵生成方法，其特征在于，所述步骤1）中，所述随机矩阵服从高斯分布或伯努利分布。

3.根据权利要求1所述的用于信号压缩感知的感知矩阵生成方法，其特征在于，所述步骤1）中，利用所述测量值，采用OMP算法来重建所述稀疏信号。