CN103020018A - 一种基于多维伪随机序列的压缩感知矩阵构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于多维伪随机序列的压缩感知矩阵构造方法，主要应用领域是欠采样下的稀疏信号恢复，实现压缩感知框架下的欠采样矩阵。与随机型压缩感知矩阵相比，本发明特点：针对不同的信息长度N和压缩比上限C_r要求，获取m序列优选对集合Λ，采用结构化的硬件电路产生压缩感知矩阵A；压缩感知矩阵A仅有“+1”和“-1”组成，列向量的互相关性小，随着n值得上升，不断接近Welch界；在相同的N和M取值下，矩阵A的稀疏度上限要比随机型矩阵大，在噪声环境下的恢复率最大可提高20%。

Description

一种基于多维伪随机序列的压缩感知矩阵构造方法

技术领域

本发明涉及一种由双极性码“+1”和“-1”组成的确定型压缩感知矩阵的构造，可采用结构化的全硬件实现。

背景技术

作为模拟信号数字化的奠基性理论，香农的奈奎斯特采样定理告诉我们，为了精确的恢复出原始的模拟信号，对于带限信号的采样速率必须达到信道带宽的两倍以上。众所周知，随着宽带业务的发展，一方面，对信号采样率要求越来越高；另一方面，采样后的数据一般要进行压缩后再传输，期间大量的采样数据被抛弃；两者的矛盾，直接导致对有效数据的采样效率下降。这就带给我们一个问题，能不能只采集那些不被丢弃的数据？压缩感知（Compressed Sensing，CS）理论提供了一个解决这个问题的新思路，它将数据的采样和压缩合并为一个步骤，只获取不被抛弃的数据。

压缩感知理论是2004年由David L.Donoho，Emmanuel J.Candes和Terence Tao等提出的，它的表述为：如果一个未知的信号x在已知的正交基或者完备的正交基Ψ上是K-稀疏的，即s=Ψx,且‖s‖₀≤K，那么仅用少量测量值y_M=Θ_M×Ns_N×1就可以精确地恢复出原始信号(M<N)。压缩感知的理论主要包含两个问题：1）设计一个稳定的感知矩阵，能够使得测量值不丢失原有的重要信息；2）设计一种重构算法，能够有效、快速地恢复原始信号。后者与稀疏重构的研究一脉相承，很多学者对此做了分析，提出了大量的恢复算法，如基追踪（Basic Pursuit，BP）算法，正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）等。

由于随机分布的测量矩阵具有与其他固定基都不相关的特性，常被用于压缩感知矩阵。但在实际应用中，这些随机矩阵存在存储元素容量巨大，计算复杂度高的缺点。可见，压缩感知技术进一步的标准化，首先需要设计出基于确定型构造的CS矩阵。

众所周知，仅由“+1”和“-1”所组成的双极性矩阵具有简单的计算量，直观性和计算机获取的便利性等特点。而基于二进制编码来产生双极性CS矩阵，已证实可行，如由Reed-Muller码和BCH码构成的双极性CS矩阵。在CDMA通信中，m序列是由带线性反馈的移存器产生的周期最长的序列。由于m序列的均衡性、游程分布和自相关特性与随机序列的基本性质极相似，所以将其作为最常用的一类伪随机序列。基于m序列优选对，R.Gold于1967年提出一种具有三值相关性的编码组，称为Gold码。Gold码组可以由二个优选的m序列“模二加”得到，具备良好的不相干特性，其硬件构造简单，产生的序列数多，这些特性很适用于CS矩阵。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中存在的缺陷，提出了一种基于伪随机序列的确定型压缩感知矩阵的构造方法。

本发明所采用的技术方案如下：

一种基于多维伪随机序列的压缩感知矩阵构造方法，基于m序列优选对，压缩感知矩阵的具体构造步骤如下：

步骤1、根据信息长度N和压缩比C_r要求，计算m序列阶数n=[log₂(N/Cr+1)],如果n是4的倍数，则取n=n-1；然后设置压缩感知矩阵行数M=2ⁿ-1；

步骤2、由2个n次本原多项式和所产生的两个m序列构成一对优选对(u₁,u₂,n)，优选对查找规则：当n是偶数且u₁=1时，设l=2ⁱ+1（1<i≤n/2），如果gcd(2ⁿ-1,l)=1且gcd(n,i)=2，其中gcd表示最大公约数，则u₂=l；当n是奇数且u₁=1时，设l=2ⁱ+1或l=2²ⁱ-2ⁱ+1，1<i≤(n-1)/2，如果gcd(2ⁿ-1,l)=1且gcd(n,i)=1，则u₂=l；n不能为4的倍数；如果s与2ⁿ-1互素且存在优选对(1,l,n)，则(s,sl,n)也是优选对；

步骤3、配置对应本原多项式

和

的两个最长线性反馈移位寄存器，其输出的连续2ⁿ-1项，构成码组g₁和g₂；生成Gold码组的过程如下：1）每个时钟周期后，码组g₂左移一位后和码组g₁“模2加”，得到Gold码组

其中t∈{0,1,...,N-1}；2）经过2ⁿ-1个时钟周期后，码组g₁左移一位，转到步骤1）作循环操作，直到输出N个Gold码组；

步骤4、N个Gold码组构成二进制矩阵

的列向量，将二进制矩阵

进行数值转换，得到压缩感知矩阵

本发明涉及的技术方案具体为：

1、根据需要，查找m序列优选。

首先，定义互相关系数：设周期v的二元序列a=(a₀,a₁,a₂,…)，b=(b₀,b₁,b₂,…)，a_i,b_i∈·₂；对任意非负整数τ，a和b的互相关系数为

其中η是从·₂的加法群到+1和-1组成的乘法群的同构映射：η(0)=1，η(1)=-1。

以上所述的m序列优选对的定义：设α是

的一个本原元， ${\mathrm{\&alpha;}}^{u_1},{\mathrm{\&alpha;}}^{u_2}(0<u_i<2^n-1,i=\mathrm{1,2})$ 分别是·₂上2个n次本原多项式 $f_{u_1}\left(x\right),f_{u_2}\left(x\right)$ 的首根，

和

为对应的周期为2ⁿ-1的m序列集合。假定对于任意 $\tilde{a}\&Element;G\left(f_{u_1}\right),$ $\tilde{b}\&Element;G\left(f_{u_2}\right),$ 有

$c_{\tilde{a},\tilde{b}}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\&Element;\{-1,-1-2^{\left[\frac{n+2}{2}\right]},-1+2^{\left[\frac{n+2}{2}\right]}\},$

则

和

所产生的两个m序列构成一对优选对，表示为(u₁,u₂,n)。

对于某个给定的n值，寻找周期为2ⁿ-1的m序列优选对的方法如下：

1).若n=2t，u₁=1，1<i≤t，l=2ⁱ+1，若gcd(2ⁿ-1,l)=1，且gcd(n,i)=2，则u₂=l，其中gcd表示最大公约数。

2).若n=2t+1，u₁=1，1<i≤t，l=2ⁱ+1或l=2²ⁱ-2ⁱ+1，若gcd(2ⁿ-1,l)=1，且gcd(n,i)=1，则u₂=l。

3).若n=4t，无优选对。

4).设s与2ⁿ-1互素，若存在优选对(1,l,n)，则(s,sl,n)也是优选对。

2、将一对优选(u₁,u₂,n)的m序列进行“模二加”后输出，得到Gold序列集 $G(f_{u_1},f_{u_2})=G\left(f_{u_1}\right)\&CirclePlus;G\left(f_{u_2}\right),$ 文中

均为“模二加”。

以上所述的任意两个Gold序列

具有与m序列优选对相同的三值互相关性，即 $c_{a,b}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\&Element;\{-1,-1-2^{\left[\frac{n+2}{2}\right]},-1+2^{\left[\frac{n+2}{2}\right]}\}.$

3、设

是M×N(M<N)二进制矩阵,E是M×N单位阵，则

为列归一化的双极性矩阵。令λ=A^TA,矩阵互相关性参数λ定义为矩阵A中任意两列互相关性的最大绝对值：若λ<1/3K^1.5,则双极性矩阵A满足参数δ_K+1=λK的RIP限制。此时，OMP算法能从M维的信号y中恢复出K-稀疏的N维信号x。

4、由m序列优选对，可以得到对应的Gold序列集，然后由不同Gold序列的连续2ⁿ-1项构成矩阵

的列向量，则对应矩阵A中任意两列的互相关性 ${\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{ij}}\&Element;\{\frac{-1}{2^n-1},\frac{-1-2^{\left[\frac{n+2}{2}\right]}}{2^n-1},\frac{-1+2^{\left[\frac{n+2}{2}\right]}}{2^n-1}\},$ 即互相关性参数 $\mathrm{\&lambda;}=\frac{1+2^{\left[\frac{n+2}{2}\right]}}{2^n-1}.$

本发明涉及的压缩感知矩阵A具有较强的自相关性和较弱的互相关性，同时还具备伪随机特性。其方法简便、电路结构简单，可以很容易地得到大量的CS矩阵。源于代数编码理论的确定型构造方法，使得其具备真正的可实用性，有利于压缩感知理论的实践应用。

附图说明

图1不同压缩比下CS矩阵A的互相关性分布情况；

图2不同压缩比下基于CS矩阵A的OMP算法性能；

图3不同噪声强度下基于CS矩阵A的OMP算法性能；

图4CS矩阵A的构造框图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例，做进一步详细说明。

实施例1

基于m序列优选对，得到Gold序列集，由其构造CS矩阵A的方法如下：

1）.给定N，压缩比下限C_r,则M'=N/C_r；在保证压缩比的前提下，n=[log₂(M'+1)；如果n是4的倍数,n=n-1，M=2ⁿ-1；查找周期为2ⁿ-1的m序列优选对集合Λ。

2）.从集合Λ中选择一组优选对(u₁,u₂,n)，计算本原多项式

和

3）.与

和对应的两个最长线性反馈移位寄存器分别输出两个优选的m序列，分别取出两个m序列中连续2ⁿ-1项，构成码组g₁和码组g₂。

4）.初始化i＝1，j=1，t=0，定义作用在g₁上得一位左移变换L：L(g₁)=(g₁₁,g₁₂,…,g_1(n-1),g₁₀)，c_t=g₁。

5）.如果t≥N-1，转至步骤8）；

6）.如果j≤2ⁿ-1，t=t+1，g₂=L(g₂)，j=j+1，转至步骤6）。

7）.如果i≤2ⁿ-1，g₁=L(g₁)，t=t+1，c_t=g₁，i＝i+1，j=1，转至步骤6）。

8）.码组集{c₀,c₁，…，c_N-1}构成二进制矩阵

的列向量，即

9).计算CS矩阵 $A=\frac{1}{\sqrt{M}}(2\tilde{A}-E).$

运用m序列优选对查找算法，得到优选对集合，下表中列出了不同n取值下的部分优选对、互相关性参数λ和Welch界。对于CS矩阵A_M×N，Welch界为

这里考虑在最大压缩比下，即N=2²ⁿ，M=2ⁿ-1时的Welch界。CS矩阵A互相关性参数λ随着n值的上升，不断接近Welch界。

当n=7，M=127时，运用本实施例的构造方法，得到不同压缩比N/M下CS矩阵A。图1显示了它们的互相关性分布情况，矩阵A具有三值互相关性，主峰值为考察主峰值在互相关性中的百分比。从图1可见，随着N/M的上升，百分比下降，互相关性分布更平坦。图2显示了在不同压缩比N/M下，OMP算法的成功率。可见，对比相同大小的矩阵A和Gaussian型随机矩阵，前者的OMP算法成功率要高。当N/M不断增大时，成功率下降趋势明显，这与图2中显示的互相关性分布情况相一致，说明分布越集中，成功率越高。

下表显示了100%正确恢复时所能达到的最大稀疏度K。运用本实施例的构造方法，当N=2²ⁿ，M=2ⁿ-1时，矩阵A达到的最大压缩比。此时，对比随机型CS矩阵，矩阵A的最大稀疏度要高。表中同时列出随机型CS矩阵理论上限K≤M/2lnN和确定型CS矩阵的理论上限

可见在无噪声情况下，CS矩阵A达到了随机型CS矩阵的理论上限。

图3显示了在噪声环境下，OMP算法性能。运用本实施例的构造方法，当N=2²ⁿ，M=2ⁿ-1时，考察了不同信噪比下，OMP算法的恢复性能。对比随机型CS矩阵和确定型CS矩阵A，后者的性能总体要优于前者。在相同信噪比和矩阵大小下，最大可提高20%的OMP恢复算法的成功率。

实施例2

图4显示了基于m序列优选对的CS矩阵A的硬件构造框图。根据本原多项式

和

设定两个n级线性反馈移存器中反馈线的连接状态，初始化寄存器状态，避免出现全“0”状态。时钟信号Clock1为全局时钟，周期为T₁；时钟信号Clock2为Clock1的分频时钟，周期T₂=(2ⁿ-1)T₁。线性反馈移存器和缓冲存储器的输出分别接至两个数据选择器的输入端S₂和S₁，Clock1和Clock2引入另一个数据选择器的输入端S₂和S₁；2选1数据选择器（MUX）的功能是：当Select=0时，D=S₁；当Select=1时，D=S₂。初始化Select=1，经过2ⁿ-1个全局时钟周期，一个周期的m序列保存至缓冲存储器中。然后令Select=0，2ⁿ-1个全局时钟后产生Gold序列的一个周期码组，作为二进制矩阵

的列向量。经过NT₂/M后，产生压缩比为N/M的二进制矩阵

再经数值转换将“0”转换至“-1”，最终将产生双极性CS矩阵A。

Claims (2)

1.一种基于多维伪随机序列的压缩感知矩阵构造方法，基于m序列优选对，压缩感知矩阵的具体构造步骤如下：

步骤1、根据信息长度N和压缩比C_r要求，计算m序列阶数n=[log₂(N/Cr+1)],如果n是4的倍数，则取n=n-1；然后设置压缩感知矩阵行数M=2ⁿ-1；

步骤2、由2个n次本原多项式

和所产生的两个m序列构成一对优选对(u₁,u₂,n)，优选对查找规则：当n是偶数且u₁=1时，设l=2ⁱ+1（1<i≤n/2），如果gcd(2ⁿ-1,l)=1且gcd(n,i)=2，其中gcd表示最大公约数，则u₂=l；当n是奇数且u₁=1时，设l=2ⁱ+1或l=2²ⁱ-2ⁱ+1，1<i≤(n-1)/2，如果gcd(2ⁿ-1,l)=1且gcd(n,i)=1，则u₂=l；n不能为4的倍数；如果s与2ⁿ-1互素且存在优选对(1,l,n)，则(s,sl,n)也是优选对；

步骤3、配置对应本原多项式

和

的两个最长线性反馈移位寄存器，其输出的连续2ⁿ-1项，构成码组g₁和g₂；生成Gold码组的过程如下：1）每个时钟周期后，码组g₂左移一位后和码组g₁“模2加”，得到Gold码组

其中t∈{0,1,...,N-1}；2）经过2ⁿ-1个时钟周期后，码组g₁左移一位，转到步骤1）作循环操作，直到输出N个Gold码组；

步骤4、N个Gold码组构成二进制矩阵

的列向量，将二进制矩阵

进行数值转换，得到压缩感知矩阵

2.根据权利要求1所述的一种基于多维伪随机序列的压缩感知矩阵构造方法，实施的硬件构造为：根据本原多项式和

设定两个n级线性反馈移存器中反馈线的连接状态，初始化寄存器状态，避免出现全“0”状态；时钟信号Clock1为全局时钟，周期为T₁，时钟信号Clock2为Clock1的分频时钟，周期T₂=(2ⁿ-1)T₁；线性反馈移存器和缓冲存储器的输出分别接至两个数据选择器的输入端S₂和S₂，Clock1和Clock2引入另一个数据选择器的输入端S₂和S₁；数据选择器的功能是：在地址选择信号Select的控制下，从两路数据S₁和S₂中选择一路作为输出信号D；初始化数据选择器输出D=S₂，经过2ⁿ-1个全局时钟周期，一个周期的m序列保存至缓冲存储器中，然后令D=S₁，2ⁿ-1个全局时钟后产生Gold序列的一个周期码组，作为二进制矩阵

的列向量；经过NT₂/M后，产生压缩比为N/M的二进制矩阵

再经数值转换将“0”转换至“-1”，最终将产生双极性压缩感知矩阵A。

Images