CN103312457B - 卷积码编码参数全盲识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种卷积码编码参数全盲识别方法，主要解决现有技术的未全盲识别，计算复杂度高的问题。其技术方案是：（1）根据卷积码编码器与信息码字之间的相互校验关系求解出码长n、输入信息位长度k及寄存器长度m；（2）当码率k/n是1/n时，依次取卷积码比特流中码字的相邻两位比特构造分析矩阵C,对其使用快速Walsh-Hadamard变换求得生成矩阵G；（3）当码率k/n是(n-1)/n时，取卷积码比特流中码字的第1位到第(k+1)位比特构造分析矩阵C,对其使用快速Walsh-Hadamard变换求得基本校验矩阵H，完成卷积码编码参数的全盲识别。本发明较好地解决了未知任何先验知识及含误码情形下的卷积码的编码参数全盲识别问题，简化运算复杂度，可用于多点广播通信以及智能通信。

Description

卷积码编码参数全盲识别方法

技术领域

本发明属于数字通信领域，涉及通信系统编码参数的盲识别，特别涉及在非协作情形下的可容错的卷积码编码参数盲识别方法，适用于多点广播通信以及智能通信。

背景技术

在数字通信领域中，获得对方编码数据后，需要对对方的编码数据进行解码，才有可能得到真正有用的信息序列，以便更好的分析信息数据中的有用信息。在此背景下，如何快速有效地对信息序列的编码参数进行盲识别引起了人们的关注。

从目前的数字通信领域来看，大多都是集中在信号层，在信息层的研究相对较少。2009年，刘健等在其专利《一种容误码的卷积码编码参数盲识别方法》中提出了对卷积码识别的方法。其专利中提及的卷积码的识别方法是对线性方程组进行Walsh-Hadamard变换来求解线性方程组的最大可能解。

该方法，在容错性方面有很好的表现，但是主要停留有一定的先验知识情况下，并没有真正做到全盲识别。更近一步，其专利中提及的方法主要局限在1/2码率的范围内，针对1/n码率以及(n-1)/n码率的情况，其专利中提到的方法并不是很有效，还不能对高码率进行有效的识别。另外一个方面，目前对卷积码的识别方法涉及的运算复杂度都相对较高。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提出一种数字通信领域中的卷积码编码参数全盲识别方法，在未知任何卷积码先验知识及含误码的情况下，准确识别出码长n、输入信息位长度k、寄存器长度m以及1/n码率的生成多项式G和(n-1)/n码率的基本校验矩阵H这些编码参数，并减小运算复杂度。

为了实现上述目的，本发明的技术方案包括如下步骤：

1）对进入接收机的射频信号进行预处理，得到卷积码比特流B_s；

2）通过卷积码比特流B_s构造出行数为L，列数为l的码率分析矩阵R_l，列数l从2遍历到43，行数L＝l+50，求解出每个码率分析矩阵R_l的秩r，若r＜l，则将当前码率分析矩阵R_l的列数l并入到列集合Q中，将当前码率分析矩阵R_l的秩r并入到秩集合R中；

3）求解出列集合Q中所有列数l的最大公约数，即为卷积码的码长n，求解出秩集合R中任意两个相邻秩r的差，即为卷积码的信息位长度k，根据这些求得卷积码的寄存器长度式中要求列数l与秩r选至同一个码率分析矩阵R_l；

4）根据卷积码的码长n、信息位长度k、寄存器长度m和已知卷积码比特流B_s，对卷积码的基本校验矩阵H和生成矩阵G进行识别：

4a）当卷积码的码率k/n等于1/n时,按如下步骤识别生成矩阵G：

4a1）在伽罗华域GF(2)上，假设接收的卷积码比特流B_s为：

c_1,1c_1,2...c_1,nc_2,1c_2,2...c_2,n......c_i,1c_i,2...c_i,n......

其中c_i,n表示第i个码字的第n位比特，i∈[1,+∞)；

4a2）取卷积码比特流B_s中每个码字的第一位和第二位比特构造列数为p＝2·(m+1)，行数为q＝p²的分析矩阵C，形式如下：

$C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{i,1}{c}_{i,2}& c_{i+\mathrm{1,1}}{c}_{i+\mathrm{1,2}}& ...& c_{i+m,1}{c}_{i+m,2}\\ c_{i+\mathrm{1,1}}{c}_{i+\mathrm{1,2}}& c_{i+\mathrm{2,1}}{c}_{i+\mathrm{2,2}}& ...& c_{i+m+\mathrm{1,1}}{c}_{i+m+\mathrm{1,2}}\\ .& & & .\\ .& ...& ...& .\\ .& & & .\\ c_{i+3m+\mathrm{1,1}}{c}_{i+3m+\mathrm{1,2}}& c_{i+3m+\mathrm{2,1}}{c}_{i+3m+\mathrm{2,2}}& ...& c_{i+4m+\mathrm{1,1}}{c}_{i+4m+\mathrm{1,2}}\end{array}\right]$ ,其中i∈[1,+∞)；

4a3）将分析矩阵C的每个行向量以行为单位转化为十进制数并放入集合I中，集合I中数“j”出现的次数，即为频率向量v_a的第2^p-j个元素的值，j=O，...,2^p-1，从而构造出频率向量v_a；

4a4）对频率向量v_a进行快速Walsh-Hadamard变换，得到解向量B；

4a5）将解向量B中最大元素对应的除第1列外的列值减1，并转化为二进制形式，作为地址向量v_b，将地址向量v_b中的元素逆序排列得逆地址向量v_b'，假设逆地址向量v_b'=[v₁v₂v₃...v_2m+1v_2m+2]，则卷积码码字第一位比特的生成矩阵g^(1.1)=[v₁v₃...v_2m+1]和第二位比特的生成矩阵g^(1.2)=[v₂v₄...v_2m+2];

4a6）取卷积码比特流B_s中每个码字的第二位和第三位的比特，重复步骤4a2）-4a5）的过程，直到识别出第n-1位比特的生成矩阵g^(1,n-1)和第n位比特的生成矩阵g^(1,n)，完成对卷积码生成矩阵G=[g^(1.1);g^(1.2);...g^(1,n-1);g^(1,n)]的识别。

4b）当卷积码的码率k/n等于(n-1)/n时，按如下步骤识别基本校验矩阵H：

4b1）在伽罗华域GF(2)上，假设接收的卷积码比特流B_s为：

c_1,1c_1,2...c_1,nc_2,1c_2.2...c_2,n......c_i,1c_i,2...c_i,n......

其中c_i,n表示第i个码字的第n位比特，i∈[1,+∞)；

4b2）取卷积码比特流B_s中每个码字的第一位到第(k+1)位比特构造列数为p＝n·(m+1)，行数为q＝p²的分析矩阵C，形式如下：

$C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{i,1}{c}_{i,2}...c_{i,n}& c_{i+\mathrm{1,1}}{c}_{i+\mathrm{1,2}}...c_{i+1,n}& ...& c_{i+m,1}{c}_{i+m,2}...c_{i+m,n}\\ c_{i+\mathrm{1,1}}{c}_{i+\mathrm{1,2}}...c_{i+1,n}& c_{i+\mathrm{2,1}}{c}_{i+\mathrm{2,2}}...c_{i+2,n}& ...& c_{i+m+\mathrm{1,1}}{c}_{i+m+\mathrm{1,2}}...c_{i+m+1,n}\\ .& & & .\\ .& ...& ...& .\\ .& & & .\\ c_{i+3m+\mathrm{1,1}}{c}_{i+3m+\mathrm{1,2}}...c_{i+3m+1,n}& c_{i+3m+\mathrm{2,1}}{c}_{i+3m+\mathrm{2,2}}...c_{i+3m+2,n}& ...& c_{i+4m+\mathrm{1,1}}{c}_{i+4m+\mathrm{1,2}}...c_{i+4m+1,n}\end{array}\right],$

其中i∈[1,+∞)；

4b3）按步骤4a3）对分析矩阵C作相同处理构造出频率向量v_a；

4b4）对频率向量v_a进行快速Walsh-Hadamard变换，得到解向量B；

4b5）按步骤4a5）对解向量B相同处理得到地址向量v_b即为卷积码的基本校验矩阵H，识别结束。

本发明具有以下优点：

（1）本发明由于采用在伽罗华域GF(2)上求解矩阵秩，不仅消除了信道中噪声的影响，提高了抗误码的能力，而且避免了传统方法对矩阵直接求秩可能会出现随机性相关的现象；

（2）本发明由于在未知任何先验知识的情况下，对卷积码的所有编码参数进行了识别，达到了全盲识别的效果；

（3）本发明由于采用快速Walsh-Hadamard变换对解向量B进行处理，避免了传统Hadamard变换进行大矩阵相乘的运算，大幅度提高了运算效率，降低了运算复杂度。

附图说明

图1为本发明的总流程图；

图2为本发明使用的射频信号预处理示意图；

图3为本发明中码长、信息位长度、寄存器长度识别的子流程图；

图4为本发明中生成矩阵识别的子流程图；

图5为本发明中基本校验矩阵识别的子流程图。

具体实施方式

以下参照附图对本发明作进一步详细描述。

参照图1，本发明的实现步骤如下：

步骤1：射频信号预处理：

参照图2，本步骤的具体实现如下：

1.1）射频信号进入到接收机后，对射频信号进行放大处理；

1.2）利用本地振荡器将放大后的信号与本地信号混频，得到中频信号；

1.3）将上述中频信号放大，并利用模数转换器ADC将该中频信号转换为数字信号，即为待分析信号；

1.4）采用功率谱估计的方法，进行待分析信号的载波估计；

1.5）将待分析信号与估计出的载波相乘，得到侦查接收到的卷积码比特流B_s，即为卷积码比特流B_s。

步骤2：计算卷积码的码长n、信息位长度k以及寄存器长度m：

参照图3，本步骤的具体实现如下：

2.1）获得一段卷积码比特流B_s，将卷积码比特流B_s中的数据构造成行数为L，列数为l的码率分析矩阵R_l，构造码率分析矩阵R_l时，列数l从2遍历到43，且L＝l+50；

2.2）在伽罗华域GF(2)上，对每一个不同列数l对应的矩阵R_l，会有如下两种情况：

一是当码率分析矩阵R_l的列数l不是码长n的整数倍的时候：

r=l，<1>

二是当码率分析矩阵R_l的列数l是码长n的整数倍的时候：

$r=l\&CenterDot;\frac{k}{n}+m<l,---\&lang;2\&rang;$

其中式<1>和式<2>中的r代表矩阵R_l的秩，n代表卷积码的码长，k代表卷积码的信息位长度，m代表卷积码的寄存器长度；

2.3）求解码率分析矩阵R_l的秩r，在伽罗华域GF(2)上，将矩阵R_l进行右上角为全0的下三角转换，用N_l(i)表示转化后矩阵的下半部分(L-l)×l矩阵第i列中“1”的个数，i∈(1,l)，则表示该列与其他列是线性依存的，反之说明该列与其他列是非相关的，矩阵的非相关列数即为该矩阵的秩r，式中γ是定义的门限值，γ∈(0，1)，取值为γ＝0.6；

2.4）若矩阵的秩r＜l，则将当前码率分析矩阵R_l的列数l并入到列集合Q中，将当前码率分析矩阵R_l的秩r并入到秩集合R中；

2.5）求解出列集合Q中所有列数l的最大公约数，即为卷积码的码长n，求解出秩集合R中任意两个相邻秩r的差，即为卷积码的信息位长度k，将这些参数代入到步骤2.2）的式<2>中即可求得卷积码的寄存器长度m，式<2>要求列数l与秩r选至同一个码率分析矩阵R_l；

步骤3：根据卷积码的码长n、信息位长度k、寄存器长度m和已知的卷积码比特流B_s，对卷积码的基本校验矩阵H和生成矩阵G进行识别。

3a）当卷积码的码率k/n等于1/n时,按如下步骤识别生成矩阵G：

参照图4，本步骤的具体实现如下：

3a1）假设伽罗华域GF(2)上接收的卷积码比特流B_s为：

c_1,1c_1,2...c_1,nc_2,1c_2,2...c_2,n......c_i,1c_i,2...c_i,n......

其中c_i,n表示第i个码字的第n路数据，i∈[1,+∞)；

3a2)选取卷积码比特流B_s中每个码字的第一位和第二位比特构造列数为p＝2·(m+1)，行数为q＝p²的分析矩阵C，形式如下：

$C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{i,1}{c}_{i,2}& c_{i+\mathrm{1,1}}{c}_{i+\mathrm{1,2}}& ...& c_{i+m,1}{c}_{i+m,2}\\ c_{i+\mathrm{1,1}}{c}_{i+\mathrm{1,2}}& c_{i+\mathrm{2,1}}{c}_{i+\mathrm{2,2}}& ...& c_{i+m+\mathrm{1,1}}{c}_{i+m+\mathrm{1,2}}\\ & & & \\ & ...& ...& \\ & & & \\ c_{i+3m+\mathrm{1,1}}{c}_{i+3m+\mathrm{1,2}}& c_{i+3m+\mathrm{2,1}}{c}_{i+3m+\mathrm{2,2}}& ...& c_{i+4m+\mathrm{1,1}}{c}_{i+4m+\mathrm{1,2}}\end{array}\right]$ ,其中i∈[1,+∞)；

3a3）将分析矩阵C的每个行向量以行为单位转化为十进制数并放入集合I中，集合I中数“j”出现的次数，即为频率向量v_a的第2^p-j个元素的值，从而构造出频率向量v_a；

3a4）使用快速Walsh-Hadamard变换算法对频率向量v_a进行变换得到解向量B，按如下步骤进行：

3a41）假设频率向量的形式，p为分析矩阵C的列数；

3a42）将频率向量v_a按先奇数列元素，后按偶数列元素的方式排列，得到排列后的频率向量v_a为,p为分析矩阵C的列数；

3a43）对排列后的频率向量v_a的相邻两个元素做和、差运算，得到如下结果：

$v_{a1}=[(x_1+x_3)(x_1-x_3)(x_5+x_7)(x_5-x_7)...(x_{2^p-2}+x_{2^p})(x_{2^p-2}-x_{2^p})];$

3a44）对向量v_a1按照步骤3a42)-步骤3a43）进行第二次运算，得到新向量v_a2；

3a45)对步骤3a44）得到的新向量继续按照步骤3a42)-步骤3a43）进行下一次运算，直到进行完p次运算，得到向量：

$v_{\mathrm{ap}}={\left[\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3+...+x_{2^p}\\ x_1+x_3+...+x_{2^p-1}-x_2-x_4-...-x_{2^p}\\ .\\ .\\ .\\ x_1-x_3-x_5+...+x_{2^p-1}-x_2+x_4+...-x_{2^p}\end{array}\right]}^T$ 即为解向量B；

3a5）将解向量B中最大元素对应的除第1列外的列值减1，并转化为二进制形式，作为地址向量v_b，将地址向量v_b中的元素逆序排列得逆地址向量v_b'，假设逆地址向量v_b'=[v₁v₂v₃...v_2m+1v_2m+2],则卷积码码字第一位比特的生成矩阵g^(1.1)=[v₁v₃...v_2m+1]和第二位比特的生成矩阵g^(1.2)=[v₂v₄...v_2m+2];

3a6）取卷积码比特流B_s中每个码字的第二位和第三位的比特，重复步骤3a2）-3a5）的过程，直到识别出第n-1位比特的生成矩阵g^(1,n-1)和第n位比特的生成矩阵g^(1,n)，完成对卷积码生成矩阵G=[g^(1.1);g^(1.2);...g^(1,n-1);g^(1,n)]的识别；

3b）当卷积码的码率k/n等于(n-1)/n时，按如下步骤识别基本校验矩阵H：

参照图5：本步骤的具体实现如下：

3b1）假设伽罗华域GF(2)域上接收的卷积码比特流B_s为：

c_1,1c_1,2...c_1,nc_2,1c_2,2...c_2,n......c_i,1c_i,2...c_i,n......

其中c_i,n表示第i个码字的第n路数据，i∈[1,+∞)；

3b2）取卷积码比特流B_s中每个码字的第一位到第(k+1)位比特构造列数为p＝n·(m+1)，行数为q＝p²的分析矩阵C，形式如下：

$C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{i,1}{c}_{i,2}...c_{i,n}& c_{i+\mathrm{1,1}}{c}_{i+\mathrm{1,2}}...c_{i+1,n}& ...& c_{i+m,1}{c}_{i+m,2}...c_{i+m,n}\\ c_{i+\mathrm{1,1}}{c}_{i+\mathrm{1,2}}...c_{i+1,n}& c_{i+\mathrm{2,1}}{c}_{i+\mathrm{2,2}}...c_{i+2,n}& ...& c_{i+m+\mathrm{1,1}}{c}_{i+m+\mathrm{1,2}}...c_{i+m+1,n}\\ .& & & .\\ .& ...& ...& .\\ .& & & .\\ c_{i+3m+\mathrm{1,1}}{c}_{i+3m+\mathrm{1,2}}...c_{i+3m+1,n}& c_{i+3m+\mathrm{2,1}}{c}_{i+3m+\mathrm{2,2}}...c_{i+3m+2,n}& ...& c_{i+4m+\mathrm{1,1}}{c}_{i+4m+\mathrm{1,2}}...c_{i+4m+1,n}\end{array}\right],$ 其中i∈[1,+∞)；

3b3)按步骤3a3）对分析矩阵C作相同处理构造出频率向量v_a；

3b4）按步骤3a4）对频率向量v_a进行快速Walsh-Hadamard变换，得到解向量B；

3b5）按步骤3a5）对解向量B相同处理得到地址向量v_b即为卷积码的基本校验矩阵H，识别结束。

上述步骤描述了本发明的优选实例，显然本领域技术人员通过参考本发明的优选实例和附图可以对本发明作出各种修改和替换，这些修改和替换都应落入本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种卷积码编码参数全盲识别方法，包括如下步骤：

1)对进入接收机的射频信号进行预处理，得到卷积码比特流B_s；

2)通过卷积码比特流B_s构造出行数为L，列数为l的码率分析矩阵R_l，列数l从2遍历到43，行数L＝l+50，求解出每个码率分析矩阵R_l的秩r，若r<l，则将当前码率分析矩阵R_l的列数l并入到列集合Q中，将当前码率分析矩阵R_l的秩r并入到秩集合R中；

3)求解出列集合Q中所有列数l的最大公约数，即为卷积码的码长n，求解出秩集合R中任意两个相邻秩r的差，即为卷积码的信息位长度k，根据这些求得卷积码的寄存器长度式中要求列数l与秩r选至同一个码率分析矩阵R_l；

4)根据卷积码的码长n、信息位长度k、寄存器长度m和已知卷积码比特流B_s，对卷积码的基本校验矩阵H和生成矩阵G进行识别：

4a)当卷积码的码率k/n等于1/n时,按如下步骤识别生成矩阵G：

4a1)在伽罗华域GF(2)上，假设接收的卷积码比特流B_s为：

c_1,1c_1,2…c_1,nc_2,1c_2,2…c_2,n……c_i,1c_i,2…c_i,n……

其中c_i,n表示第i个码字的第n位比特，i∈[1,+∞)；

4a2)取卷积码比特流B_s中每个码字的第一位和第二位比特构造列数为p＝2·(m+1)，行数为q＝p²的分析矩阵C，形式如下：

$C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{i,1}{c}_{i,2}& c_{i+1,1}{c}_{i+1,2}& ...& c_{i+m,1}{c}_{i+m,2}\\ c_{i+1,1}{c}_{i+1,2}& c_{i+2,1}{c}_{i+2,2}& ...& c_{i+m+1,1}{c}_{i+m+1,2}\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}& ...& ...& \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ c_{i+3m+1,1}{c}_{i+3m+1,2}& c_{i+3m+2,1}{c}_{i+3m+2,2}& ...& c_{i+4m+1,1}{c}_{i+4m+1,2}\end{array}\right],$ 其中i∈[1,+∞)；

4a3)将分析矩阵C的每个行向量以行为单位转化为十进制数并放入集合I中，集合I中数“j”出现的次数，即为频率向量v_a的第2^p-j个元素的值，j＝0,…,2^p-1，从而构造出频率向量v_a；

4a4)对频率向量v_a进行快速Walsh-Hadamard变换，得到解向量B；

4a5)将解向量B中最大元素对应的除第1列外的列值减1，并转化为二进制形式，作为地址向量v_b，将地址向量v_b中的元素逆序排列得逆地址向量v_b'，假设逆地址向量v_b'＝[v₁v₂v₃…v_2m+1v_2m+2]，则卷积码码字第一位比特的生成矩阵g^(1.1)＝[v₁v₃…v_2m+1]和第二位比特的生成矩阵g^(1.2)＝[v₂v₄…v_2m+2]；

4a6)取卷积码比特流B_s中每个码字的第二位和第三位的比特，重复步骤4a2)-4a5)的过程，直到识别出第n-1位比特的生成矩阵g^(1,n-1)和第n位比特的生成矩阵g^(1,n)，完成对卷积码生成矩阵G＝[g^(1,1)；g^(1,2)；…g^(1,n-1)；g^(1,n)]的识别；

4b)当卷积码的码率k/n等于(n-1)/n时，按如下步骤识别基本校验矩阵H：

4b1)在伽罗华域GF(2)上，假设接收的卷积码比特流B_s为：

c_1,1c_1,2…c_1,nc_2,1c_2,2…c_2,n……c_i,1c_i,2…c_i,n……

其中c_i,n表示第i个码字的第n位比特，i∈[1,+∞)；

4b2)取卷积码比特流B_s中每个码字的第一位到第(k+1)位比特构造列数为p＝n·(m+1)，行数为q＝p²的分析矩阵C，形式如下：

$C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{i,1}{c}_{i,2}\mathrm{...}{c}_{i,n}& c_{i+1,1}{c}_{i+1,2}\mathrm{...}{c}_{i+1,n}& ...& c_{i+m,1}{c}_{i+m,2}\mathrm{...}{c}_{i+m,n}\\ c_{i+1,1}{c}_{i+1,2}\mathrm{...}{c}_{i+1,n}& c_{i+2,1}{c}_{i+2,2}\mathrm{...}{c}_{i+2,n}& ...& c_{i+m+1,1}{c}_{i+m+1,2}\mathrm{...}{c}_{i+m+1,n}\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}& ...& ...& \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ c_{i+3m+1,1}{c}_{i+3m+1,2}\mathrm{...}{c}_{i+3m+1,n}& c_{i+3m+2,1}{c}_{i+3m+2,2}\mathrm{...}{c}_{i+3m+2,n}& ...& c_{i+4m+1,1}{c}_{i+4m+1,2}\mathrm{...}{c}_{i+4m+1,n}\end{array}\right],$

其中i∈[1,+∞)；

4b3)按步骤4a3)对分析矩阵C作相同处理构造出频率向量v_a；

4b4)对频率向量v_a进行快速Walsh-Hadamard变换，得到解向量B；

4b5)按步骤4a5)对解向量B相同处理得到地址向量v_b即为卷积码的基本校验矩阵H，识别结束。

2.根据权利要求1所述的方法，其中步骤2)所述的求解出每个码率分析矩阵R_l的秩r，按如下步骤进行：

2.1)将码率分析矩阵R_l进行右上角为全0的下三角转换；

2.2)将转换后矩阵的下半部分(L-l)×l矩阵的第i列中“1”的个数记为N_l(i)，i∈[1,l]，若则表示该列与其他列之间是非线性相关的，其中γ∈(0，1)，取γ＝0.6，矩阵的非线性相关列数即为该矩阵的秩r。

3.根据权利要求1所述的方法，其中步骤4a4)和步骤4b4)所述的对频率向量v_a进行快速Walsh-Hadamard变换，得到的解向量B，按如下步骤进行：

3.1)假设频率向量v_a为的形式，对其进行如下运算：

3.1.1)将频率向量v_a按先奇数列元素，后按偶数列元素的方式排列，得到排列后的频率向量v_a为，p为分析矩阵C的列数；

3.1.2)对排列后的频率向量v_a的相邻两个元素做和、差运算，得到如下结果：

$v_{a1}=\&lsqb;(x_1+x_3)(x_1-x_3)(x_5+x_7)(x_5-x_7)...(x_{2^p-2}+x_{2^p})(x_{2^p-2}-x_{2^p})\&rsqb;;$

3.2)对向量v_a1按照步骤3.1.1)-步骤3.1.2)进行第二次运算，得到新向量v_a2；

3.3)对步骤3.2)得到的新向量继续按照步骤3.1.1)-步骤3.1.2)进行下一次运算，直到进行完p次运算，得到向量：

$v_{ap}={\left[\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3+...+x_{2^p}\\ x_1+x_3+...+x_{2^p-1}-x_2-x_4-...-x_{2^p}\\ .\\ .\\ .\\ x_1-x_3-x_5+...+x_{2^p-1}-x_2+x_4+...-x_{2^p}\end{array}\right]}^T$ 即为解向量B。