CN103926025A - 一种用于测量涂层残余应力的试验装置及方法 - Google Patents

Abstract

一种用于测量涂层残余应力的试验装置及方法属于热喷涂领域。通过在线测量喷涂过程中涂层与基体的曲率变化，在弹性范围内计算出制备过程中涂层的内应力，得出涂层最终的残余应力。将待喷涂试样在一端固定(称夹持端为B端，另一端为A端)，之后使用等离子喷涂的方法在试样表面上进行喷涂，并形成涂层。喷涂过程中，由于温度不均匀或材料物理性能不一致使得涂层与试样基体之间产生内应力。通过固定在试样A端的位移传感器测量出A点的位移，从而得出试样的曲率变化。测量试样在喷涂过程中沉积阶段以及冷却阶段的温度变化。根据涂层与基体的曲率变化反求出陶瓷涂层的弹性模量，反推出涂层制备过程中的应力演化以及制备后涂层的残余应力值。

Description

一种用于测量涂层残余应力的试验装置及方法

一、技术领域

本发明属于热喷涂领域，尤其涉及对喷涂涂层通过曲率法这种无损物理方法进行残余应力数据收集及分析的方法及其相关装置。

二、背景技术

陶瓷涂层具有耐高温、高温抗氧化性好、耐磨、耐腐蚀等诸多优点，在金属或合金材料表面制备陶瓷涂层可有效优化金属的使用性能，使金属的强度和韧度与陶瓷材料的诸多优点进行结合，使复合的材料满足人们的使用条件。在众多的涂层制备方法中，热喷涂是一种广泛使用的方法，它有很多优点，比如：可供喷涂的材料很多，被喷涂的构件尺寸不受限制，而且喷涂设备简单，操作工序少、效率高，成本低等等。

然而，陶瓷材料脆性大，与金属材料的物理性能相差较大，在涂层的制备过程与涂层的使用过程中，经常会出现开裂与剥落的现象。这些现象产生的主要原因是涂层与基体之间存在残余应力。由于热喷涂本质是一个材料热加工过程，且涂层材料与基体材料热物性存在一定差异，喷涂过程中涂层材料会经历一系列快速的加热和冷却过程，这更会导致涂层/基体界面处及涂层内部存在较高的残余应力，影响涂层性能以及涂层的服役寿命。因此，要想降低这类缺陷的发生，或者控制缺陷形成的数量及规模，对涂层内应力的演化过程和控制十分重要的。本发明旨在能在线测量喷涂过程中涂层的内应力，推演其变化过程，为优化喷涂工艺提供指导。

目前，涂层残余应力的测试方法主要有有损机械和无损物理两种方法。通常使用的方法主要有衍射法、曲率测量法、钻孔法和逐层移除法等。曲率法是学术界和工程界普遍认为可取的方法之一，它由Stoney在1909年首创，其原理是在较薄的金属基体上制备涂层时，由于涂层内应力的存在，基体会发生弯曲变形，通过各种接触或非接触的方法测试涂层材料的整体曲率k，再通过Stoney方程便可确定涂层的残余应力。

英国剑桥大学的Tsui，Doyle，Clyne等人在此基础上采用在喷涂过程中监测并记录基体连续的曲率变化，得到喷涂过程中曲率变化曲线，分别计算出涂层最终的淬火应力和热应力值。美国纽约大学研究所的Matejicek，Sampath对喷涂中连续测量曲率方法进行了初步的说明并进行了成功尝试。西北工业大学超高温复合材料国家重点实验室的弓满锋使用曲率法测量了高速切削刀具为基体的TiN涂层的残余应力，相比国外，国内的相关成果较少。需要指出的是，以上对于涂层残余应力的测量都是基于涂层制备完成后，针对涂层整体进行的计算，由于陶瓷涂层制备过程中，组织发生变化，因此在厚度方向上存在组织与结构的不均匀性，急需明确和开发喷涂过程中的应力演化，为开发高效优质热喷涂工艺提供指导。

三、发明内容

针对残余应力演化过程问题，本发明旨在能够在线测量喷涂后涂层的残余应力，为研究涂层内应力的演化过程提供一种实时监测的方法。

本发明的目的由以下措施构成的技术方案来实现：

一种在线测量陶瓷涂层残余应力的试验装置，包括位移传感器(1)、温度传感器(2)、数据采集器(3)、夹具(4)；将待喷涂试样一端夹持在夹具上，位移传感器置于试样的未夹持端位置，温度传感器置于试样的夹持端位置，同时将位移传感器与温度传感器接通数据采集器。数据采集器与计算机相联接。

进一步，所述位移传感器(1)，即为接触式或非接触式高精度位移传感器，测量范围-1～10mm，测量精度1×10^-6mm。

进一步，所述温度传感器(2)，采用接触式或非接触式测温仪，测量温度范围-10～1370℃，时间响应速度大于20Hz。

所述的一种在线测量陶瓷涂层残余应力的试验装置所采用的测量残余应力的方法，包括以下工艺步骤：

1)准备夹具，将待喷涂试样一端即B端夹持在夹具上；

2)将位移传感器置于试样的未夹持端位置，温度传感器置于试样的夹持端位置，同时将位移传感器与温度传感器接通数据采集器；

3)将位移传感器、温度传感器与数据采集器组成测试电路并与计算机相联接，以便进行测试；

4)使用热喷涂设备，对试样进行喷涂；

5)喷涂过程中通过位移传感器采集试样A点的位移数据，通过温度传感器采集基体温度数据，传输到数据采集器由电脑记录下来；

6)测得位移及温度后进行的数据处理：

对所得到的数据进行处理，由于有高精度的位移传感器以及温度传感器实时监测喷涂过程，所以我们对每一层热喷涂得到的涂层进行应力分析，步骤如下：

1.位移数据处理：

将数据点记录后通过下列公式计算涂层喷涂过程中基体曲率半径R及基体曲率k的值的变化：

$R=\frac{1}{k}=\frac{{\left(\mathrm{AB}\right)}^2-x^2}{2x}---\left(1\right)$

其中，AB为位移传感器所在的A点距夹持端B点的距离；x为A点位移；

2.温度数据处理：

在每层涂层的喷涂过程中的温度变化，通过接触式或非接触式测温仪检测，整理得到在喷涂过程中基体温度变化曲线；该曲线整体分为三个阶段，分别为预热阶段，沉积阶段以及冷却阶段；而针对每层涂层来说其又分为由沉积阶段与冷却阶段组成的微小过程，这个微小过程将对以下的计算每层涂层的弹性模量以及残余应力的方法有非常重要的作用；

7)残余应力的计算：

7.1.弹性模量的处理：

在曲率值-时间变化图中，试样冷却状态下曲率的变化是由于每一层涂层喷涂完成后冷却过程中热应力的作用产生的；通过每一层涂层中已知的在冷却过程中由热应力引起的曲率变化值求得每一层涂层的弹性模量E_ci：

${\mathrm{\Δk}}_i=\frac{{6E}_{\mathrm{ci}}{E}_{s(i-1)}{\mathrm{\ωH}}_{(i-1)}[\mathrm{\ω}+H_{(i-1)}]{\mathrm{\ΔT}}_i\mathrm{\Δ\α}}{E_{\mathrm{ci}}^2{\mathrm{\ω}}^4+{4E}_{\mathrm{ci}}{E}_{s(i-1)}{\mathrm{\ω}}^3{H}_{(i-1)}+{6E}_{\mathrm{ci}}{E}_{s(i-1)}{\mathrm{\ω}}^2{H}_{(i-1)}^2+{4E}_{\mathrm{ci}}{E}_{s(i-1)}{\mathrm{\ωH}}_{(i-1)}^3+E_{s(i-1)}^2{H}_{(i-1)}^4}$

上式即为公式(2)

公式(2)中：E_ci为未知量，是每一次喷涂过程形成的每一层涂层的弹性模量，i=1,2,3,…,n，i即为喷涂次数以及涂层层数；Δk_i为冷却状态下由热应力造成的曲率变化量，通过曲率值-时间图得出，它所对应的是每一次喷涂过程中冷却阶段的曲率变化；E_s(i-1)为前i-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体形成的新基体的弹性模量，i=1,2,3,…,n，E_s0表示原基体的弹性模量；ω为每一次喷涂所形成涂层的厚度，每层厚度基本一致，为十几到几十微米；H_(i-1)为前i-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的新基体的厚度，i=1,2,3,…n，H₀表示原基体的厚度；ΔT_i为每一次喷涂过程中，与冷却阶段曲率变化相对应的温度变化；Δα为基体与涂层的热胀系数差值，在此，由于涂层与基体的热胀系数相差悬殊，故所有的热胀系数差均为原基体与涂层的热胀系数差，即热胀系数在此为一个定值；在此，我们将涂层与原基体形成的梁看做复合梁来进行处理，故由前i-1次喷涂过程中形成的涂层与基体形成的新基体的弹性模量E_s(i-1)可看做复合梁弹性模量来处理：

$E_{s(i-1)}=\frac{E_{s0}{H}_0+(E_{c1}+E_{c2}+...+E_{c(i-1)})\mathrm{\ω}}{H_0+(i-1)\mathrm{\ω}}$ （复合梁弹性模量计算）

(3)

公式(3)中，E_s(i-1)为前i-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体形成的新基体的弹性模量，i=1,2,3,…,n，E_s0表示原基体的弹性模量；H₀表示原基体的厚度；ω为每一次喷涂所形成涂层的厚度，每层厚度基本一致，为十几到几十微米；

i=1,2,3…,n，表示喷涂次数以及涂层层数；

7.2.淬火应力计算：

通过曲率值-时间变化图，得到在每一次喷涂过程中，对应沉积阶段所产生的曲率变化即Δk_j’，该曲率变化对应的是每一次喷涂过程中温度上升时的曲率变化，第j层涂层产生的轴向拉力F_j用公式：

${{\mathrm{\Δk}}_j}^{,}=\frac{F_j((j-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_{j-1})}{{\mathrm{\Σ}}_j}---\left(4\right)$

公式(4)中δ_j-1为原基体与前j-1次喷涂过程中形成涂层所组成的复合梁中性轴到原基体与涂层界面的距离，经公式(6)同理计算可得；∑_j为复合梁刚度，该刚度为经过j次喷涂所形成的j层涂层与原基体所形成的复合梁的刚度，经公式(7)计算可得；根据公式(4)得到F_j值，则喷涂到第j层时，第j层的淬火应力为：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cj}}={\mathrm{\σ}}_c{|}_{y=(j-1/2)\mathrm{\ω}}=\frac{F_j}{\mathrm{b\ω}}-E_{\mathrm{cj}}{{\mathrm{\Δk}}_j}^{,}((j-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_j)---\left(5\right)$

${\mathrm{\δ}}_j=\frac{{\mathrm{\ω}}^2{E}_{\mathrm{cj}}-H_{j-1}^2{E}_s(j-1)}{2({\mathrm{\ωE}}_{\mathrm{cj}}+H_{j-1}{E}_{s(j-1)})}---\left(6\right)$

${\mathrm{\Σ}}_j=E_{\mathrm{cj}}\mathrm{b\ω}(\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{3}-{\mathrm{\ω\δ}}_j+{\mathrm{\δ}}_j^2)+E_{s(j-1)}{\mathrm{bH}}_{j-1}(\frac{H_{j-2}^2}{3}+H_{j-1}{\mathrm{\δ}}_j+{\mathrm{\δ}}_j^2)---\left(7\right)$

公式(5)中，δ_j为经过j次喷涂后形成的j层涂层与原基体形成的复合梁中性轴到原基体与涂层界面的距离，由公式(6)求出；b为涂层宽度，ω为每层涂层厚度；Δk_j’由曲率值-时间变化图得出，该曲率变化对应的是每一次喷涂过程中沉积阶段即温度上升时的曲率变化；

公式(6)中，E_s(j-1)为前j-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体形成的新基体的弹性模量，j=1,2,…,n，求法与公式(3)同理,E_s0表示原基体的弹性模量；H_j-1为前j-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的新基体的厚度，j=1,2,…n，H0表示原基体的厚度；

公式(7)中，E_cj为每一次喷涂过程所形成的每一层涂层的弹性模量，

j=1,2,…,n；在这三个公式当中，j均为喷涂次数以及所形成的涂层数；故据此得到第j层涂层淬火应力σ_cj；

7.3.热应力计算：

热不匹配应力有两部分组成，一部分是通常所说的热应力，喷涂完成后基体冷却至室温有热胀系数的差异在涂层中产生的应力，第二部分为层间应力，在每一层涂层形成前后涂层的温度有较大差异，由于涂层与基体热膨胀系数的不同，使涂层在这一过程中产生热应力；

第一部分热应力：由热不匹配引起的轴向拉力为：

$F_{\left(\mathrm{CTE}\right)j}=\frac{{2\mathrm{\Δk}}_j{\mathrm{\Σ}}_j}{\mathrm{\ω}+H_{j-1}}---\left(8\right)$

公式(8)中，Δk_j为冷却状态下，由热应力造成的曲率变化，通过曲率值-时间图得出，它对应的是冷却阶段即温度下降时的曲率变化值；∑_j为复合梁刚度，该刚度为经过j次喷涂所形成的j层涂层与原基体所形成的复合梁的刚度，经公式(7)计算可得；ω为每层涂层的厚度；H_j-1为前j-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的新基体的厚度，j=1,2,3,…n，H₀表示原基体的厚度；j为喷涂次数以及所形成的涂层数；

涂层y=(j-1/2)ω处的热应力值应为：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cj}}^{,}={\mathrm{\σ}}_c^{,}{|}_{y=(j-1/2)\mathrm{\ω}}=\frac{F_{\left(\mathrm{CTE}\right)j}}{\mathrm{b\ω}}-E_{\mathrm{cj}}{\mathrm{\Δk}}_j((j-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_j)---\left(9\right)$

公式(9)中，F_(CTE)j通过公式(8)求出；b为涂层宽度，ω0每层涂层厚度；Δk_j为冷却状态下，由热应力造成的曲率变化，通过曲率值-时间图得出，它对应的是冷却阶段即温度下降时的曲率变化值；δ_j为经过j次喷涂后所形成的j层涂层与原基体形成的复合梁中性轴到原基体与涂层界面的距离，由公式(6)求出；j为喷涂次数以及所形成的涂层数；

第二部分热不匹配应力与涂层形成过程的温度历程相关，第j层涂层沉积后，涂层中由热胀系数不匹配产生的轴向拉力为

${F^{,}}_{\left(\mathrm{CTE}\right)j}=\mathrm{b\Δ\α\Δ}{T}_j\left(\frac{{\mathrm{\ωH}}_{j-1}{E}_{\mathrm{cj}}{E}_{s(j-1)}}{H_{j-1}{E}_{s(j-1)}+{\mathrm{\ωE}}_{\mathrm{cj}}}\right)---\left(10\right)$

公式(10)中，b为涂层宽度，ω为每层涂层厚度；Δα为基体与涂层的热胀系数差值，在此，由于涂层与基体的热胀系数相差悬殊，故所有的热胀系数差均为原基体与涂层的热胀系数差；ΔT_j为每一次喷涂过程中，与冷却阶段曲率变化相对应的温度变化；E_cj为每一次喷涂过程形成的每一层涂层的弹性模量，j=1,2,3,…,n，j即为喷涂次数以及涂层层数，由公式(2)得出；E_s(j-1)为前j-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体形成的新基体的弹性模量，j=1,2,3,…,n，由公式(3)得出，E_s0表示原基体的弹性模量；H_j-1为前j-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的新基体的厚度，j=1,2,3,…n，H0表示原基体的厚度；

由此得出，在这一过程完成后，第j层涂层中的层间应力值为：

$\begin{array}{c}{{\mathrm{\σ}}^{,,}}_{\mathrm{cj}}={{\mathrm{\σ}}^{,,}}_c{|}_{y=(j-1/2)\mathrm{\ω}}\\ =\frac{{F^{,}}_{\left(\mathrm{CTE}\right)j}}{\mathrm{b\ω}}-E_{\mathrm{cj}}{\mathrm{\Δk}}_j((j-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_j)\end{array}---\left(10\right)$

公式(11)中，F’_(CTE)j为第j层涂层沉积后，涂层中由热胀系数不匹配产生的轴向拉力，由公式(10)求出；E_cj为每一次喷涂过程形成的每一层涂层的弹性模量，j=1,2,3,…,n，j即为喷涂次数以及涂层层数，由公式(2)得出；δ_j为经过j次喷涂后所形成的j层涂层与原基体形成的复合梁中性轴到原基体与涂层界面的距离，由公式(6)求出；j为喷涂次数以及所形成的涂层数；

综上，由公式(2)得到每层涂层制备时的弹性模量，由公式(5)得到每层涂层制备时的淬火应力分布，由公式(9)得到每一层涂层热应力，由公式(11)得到每一层涂层层间应力；

4.总应力值的计算：

由前面所述公式综合得到涂层第j层的应力值：

本发明具有如下的有益效果：

本发明的方法和装置，可以跟踪测量每一层涂层制备过程中应力的变化，使测量者能够掌握涂层的演化过程从而为优化喷涂工艺提供指导，从而达到改善涂层的性能的目的。

四、附图说明

图1本发明装置示意图。

图2A点位移导致的复合梁曲率变化数据

图3160(℃)预热下基体温度曲线

图4涂层淬火应力梯度曲线

五、具体实施方式

下面以基体为Ti-6Al-4V(TC4)板材，涂层为ZrO₂粉末为例，对本方法作进一步详述：

1.基体材料选用Ti-6Al-4V(TC4)板材，板材尺寸为200mm×15mm×2mm。粉末选用ZrO₂粉末(5～60μm)。

2.喷涂前，将基体用丙酮清洗，并在0.5MPa的压力下用10～30目的刚玉粗化，之后再清洗表面。

3.试样的一端被夹持在夹具上。

4.此处，将接触式位移传感器置于试样的未夹持端，接触式温度传感器置于试样夹持端。

5.通过测试电路，在计算机中，采集并记录下位移与温度数据的变化。

6.使用等离子喷枪在试样表面进行等离子喷涂，往返3次。将数据记录下来。

7.通过得出的数据，应用公式(2)计算每一层涂层的弹性模量，公式(5)计算得出每一层涂层的淬火应力，公式(9)计算得出每一层涂层的热应力，公式(11)计算得出每一层图层的层间应力，最后公式(12)计算得出每层涂层的总应力值。

8.通过上述步骤以及数据的采集和处理办法，我们可以得到如下结果，这些结果可以帮助我们为得到高效优质的喷涂涂层提供指导：下面以某试样为例进行说明：该实验的实验数据如表1所示

表1等离子喷涂ZrO₂涂层工艺参数

进行第一次喷涂时，i=1，j=1。

涂层的弹性模量：

${\mathrm{\Δk}}_1=\frac{{6E}_{c1}{E}_{s0}\mathrm{\ω}{H}_0[\mathrm{\ω}+H_0]{\mathrm{\ΔT}}_1\mathrm{\Δ\α}}{E_{c1}^2{\mathrm{\ω}}^4+{4E}_{c1}{E}_{s0}{\mathrm{\ω}}^3{H}_0+{6E}_{c1}{E}_{s0}{\mathrm{\ω}}^2{H}_0^2+{4E}_{c1}{E}_{s0}\mathrm{\ω}{H}_0^3+E_{s0}^2{H}_0^4}---\left(13\right)$

式(13)中，E_c1为未知量，是第一次喷涂过程形成的第1层涂层的弹性模量；Δk₁为冷却状态时，由热应力造成的曲率变化量，通过曲率值-时间图可得出，它所对应的是第一次喷涂过程中冷却阶段的曲率变化；E_s0表示原基体的弹性模量；ω为每一次喷涂所形成涂层的厚度；H₀表示原基体的厚度，即试样厚度2mm；ΔT₁为第一次喷涂过程中，与曲率变化相对应的温度变化；Δα为基体与涂层的热胀系数差值，在此，由于涂层与基体的热胀系数相差悬殊，故所有的热胀系数差均为原基体与涂层的热胀系数差，即热胀系数在此为一个定值（下面过程中，Δα皆为此值）。第一次喷涂后，只存在一层涂层与原基体，不存在多层涂层与原基体复合成一个新基体的现象，故此处不用应用公式(3)。

第1层涂层的淬火应力：

${{\mathrm{\Δk}}_1}^{,}=\frac{F_1((1-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_0)}{{\mathrm{\Σ}}_1}---\left(14\right)$

${\mathrm{\σ}}_{c1}={\mathrm{\σ}}_c{|}_{y=(1-1/2)\mathrm{\ω}}=\frac{F_1}{\mathrm{b\ω}}-E_{c1}{{\mathrm{\Δk}}_1}^{,}((1-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_1)---\left(15\right)$

${\mathrm{\δ}}_1=\frac{{\mathrm{\ω}}^2{E}_{c1}-H_0^2{E}_{s0}}{2({\mathrm{\ωE}}_{c1}+H_0{E}_{s0})}---\left(16\right)$

${\mathrm{\Σ}}_1=E_{c1}\mathrm{b\ω}(\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{3}-{\mathrm{\ω\δ}}_1+{\mathrm{\δ}}_1^2)+E_{s0}b{H}_0(\frac{H_0^2}{3}+H_0{\mathrm{\δ}}_1+{\mathrm{\δ}}_1^2)---\left(17\right)$

式(14)中，Δk₁’是对应沉积阶段即温度上升时的曲率变化量，可由图像中得出；δ₀为原基体中性轴到原基体与第1层涂层界面的距离，数值为基体厚度的一半，为负值，亦可由式(16)同理计算得出；ω为涂层厚度；∑₁即为第1层涂层与原基体形成的复合梁的刚度，由式(17)可得出。由式(14)可以得到第1层涂层产生的轴向拉力F₁。

式(15)中，F₁为第1层涂层产生的轴向拉力；b为涂层宽度，即试样宽度15mm；ω为涂层厚度；E_c1为第1层涂层的弹性模量，由式(13)求出；Δk₁’是对应沉积阶段即温度上升时的曲率变化量，可由图像中得出；δ₁即为第1层涂层与原基体形成的复合梁的中性轴到原基体与第1层涂层界面的距离，可由式(16)计算得出；

式(16)中，E_s0表示原基体的弹性模量；H₀表示原基体的厚度，即试样厚度2mm；E_c1为第1层涂层的弹性模量，由式(13)求出。

式(17)中，E_c1为第1层涂层的弹性模量。其余量与上面含义相同，不再赘述。

热应力计算：

第一部分热应力：由热不匹配引起的轴向拉力为：

$F_{\left(\mathrm{CTE}\right)1}=\frac{{2\mathrm{\Δk}}_1{\mathrm{\Σ}}_1}{\mathrm{\ω}+H_1}---\left(18\right)$

式(18)中，Δk₁为冷却阶段即温度下降时的曲率变化，通过曲率值-时间图可得出；∑₁为第1层涂层与原基体组成的复合梁的刚度，经式(17)计算可得；ω为每层涂层的厚度；H₀表示原基体的厚度，即试样厚度2mm。

涂层y=(1-1/2)ω处的热应力值应为：

${\mathrm{\σ}}_{c1}^{,}={\mathrm{\σ}}_c^{,}{|}_{y=(1-1/2)\mathrm{\ω}}=\frac{F_{\left(\mathrm{CTE}\right)1}}{\mathrm{b\ω}}-E_{c1}{\mathrm{\Δk}}_1((1-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_1)---\left(19\right)$

式(19)中，F_(CTE)1可通过式(18)求出；b为涂层宽度，即试样宽度15mm；ω为每层涂层厚度；Δk₁为冷却阶段即温度下降时的曲率变化，通过曲率值-时间图可得出；δ₁由式(16)可求出。

第二部分热不匹配应力与涂层形成过程的温度历程相关，第1层涂层沉积后，涂层中由热胀系数不匹配产生的轴向拉力为

${F^{,}}_{\left(\mathrm{CTE}\right)1}=\mathrm{b\Δ\α\Δ}{T}_1\left(\frac{{\mathrm{\ωH}}_0{E}_{c1}{E}_{s0}}{H_0{E}_{s0}+{\mathrm{\ωE}}_{c1}}\right)---\left(20\right)$

式(20)中，b为涂层宽度，即试样宽度15mm；ω为每层涂层厚度；Δα为基体与涂层的热胀系数差值，在此，由于涂层与基体的热胀系数相差悬殊，故所有的热胀系数差均为原基体与涂层的热胀系数差。ΔT₁为第一次喷涂过程中，与冷却阶段曲率变化相对应的温度变化；E_c1为第1层涂层的弹性模量，由式(13)得出；E_s0表示原基体的弹性模量；H₀表示原基体的厚度，即试样厚度2mm；

由此可得出，在这一过程完成后，第1层涂层中的层间应力值为：

$\begin{array}{c}{{\mathrm{\σ}}^{,,}}_{c1}={{\mathrm{\σ}}^{,,}}_c{|}_{y=(1-1/2)\mathrm{\ω}}\\ =\frac{{F^{,}}_{\left(\mathrm{CTE}\right)1}}{\mathrm{b\ω}}-E_{c1}{\mathrm{\Δk}}_1((1-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_1)\end{array}---\left(21\right)$

式(21)中，F’_(CTE)1可由式(20)求出；E_c1为第1层涂层的弹性模量，由式(13)得出；Δk₁为冷却阶段即温度下降时的曲率变化，通过曲率值-时间图可得出；δ₁由式(16)可求出。

综上，由式(13)可得到第1层涂层制备时的弹性模量，由式(15)可得到第1层涂层制备时的淬火应力分布，由式(19)可得到第1层涂层热应力，由式(21)可得到第1层涂层层间应力。

总应力值的计算：

由前面所述公式综合可得到涂层第1层的应力值：

进行第二次喷涂时，i=2，j=2。

弹性模量的处理：

${\mathrm{\Δk}}_2=\frac{{6E}_{c2}{E}_{s1}\mathrm{\ω}{H}_1[\mathrm{\ω}+H_1]{\mathrm{\ΔT}}_2\mathrm{\Δ\α}}{E_{c2}^2{\mathrm{\ω}}^4+{4E}_{c2}{E}_{s1}{\mathrm{\ω}}^3{H}_1+{6E}_{c2}{E}_{s1}{\mathrm{\ω}}^2{H}_1^2+{4E}_{c1}{E}_{s1}\mathrm{\ω}{H}_1^3+E_{s1}^2{H}_1^4}$ 即为式(23)

式(23)中：E_c2为未知量，是第2层涂层的弹性模量；Δk₂为冷却状态下，由热应力造成的曲率变化量，通过曲率值-时间图可得出，它所对应的是第2次喷涂过程中冷却阶段的曲率变化；E_s1为前1次喷涂过程中形成的涂层与原基体形成的新基体的弹性模量；ω为第2层涂层的厚度，与第1层涂层基本一致；H₁为前1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的新基体的厚度；ΔT₂为第二次喷涂过程中，与曲率变化相对应的温度变化；Δα为基体与涂层的热胀系数差值，在此，由于涂层与基体的热胀系数相差悬殊，故所有的热胀系数差均为原基体与涂层的热胀系数差，即热胀系数在此为一个定值。在此，我们将涂层与原基体形成的梁看做复合梁来进行处理，故由前1次喷涂过程中形成的涂层与基体形成的新基体的弹性模量E_s1可看做复合梁弹性模量来处理：

$E_{s1}=\frac{E_{s0}{H}_0+E_{c1}\mathrm{\ω}}{H_0+\mathrm{\ω}}---\left(24\right)$

式(24)中，E_s1为前1次喷涂过程中形成的涂层与原基体形成的新基体的弹性模量；E_s0表示原基体的弹性模量；H₀表示原基体的厚度，即试样厚度2mm；ω为第2层涂层的厚度，与第1层涂层基本一致。

淬火应力计算：

通过曲率值-时间变化图，可以得到在第二次喷涂过程中，对应沉积阶段所产生的曲率变化即Δk₂’，该曲率变化对应的是每一次喷涂过程中温度上升时的曲率变化，第2层涂层产生的轴向拉力F₂用公式：

${{\mathrm{\Δk}}_2}^{,}=\frac{F_2((2-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_1)}{{\mathrm{\Σ}}_2}---\left(25\right)$

式(25)中δ₁为原基体与前1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的复合梁中性轴到原基体与涂层界面的距离，经式(27)同理计算可得；∑₂为复合梁刚度，该刚度为经过2次喷涂所形成的2层涂层与原基体所形成的复合梁的刚度，经式(28)计算可得。根据式(25)可得到F₂值，则喷涂到第2层时，第2层的淬火应力为：

${\mathrm{\σ}}_{c2}^{,}={\mathrm{\σ}}_c^{,}{|}_{y=(2-1/2)\mathrm{\ω}}=\frac{F_2}{\mathrm{b\ω}}-E_{c2}{\mathrm{\Δk}}_2((2-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_2)---\left(26\right)$

${\mathrm{\δ}}_1=\frac{{\mathrm{\ω}}^2{E}_{c2}-H_1^2{E}_{s1}}{2({\mathrm{\ωE}}_{c2}+H_1{E}_{s1})}---\left(27\right)$

${\mathrm{\Σ}}_2=E_{c2}\mathrm{b\ω}(\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{3}-{\mathrm{\ω\δ}}_2+{\mathrm{\δ}}_2^2)+E_{s1}{\mathrm{bH}}_1(\frac{H_1^2}{3}+H_1{\mathrm{\δ}}_2+{\mathrm{\δ}}_2^2)---\left(28\right)$

式(26)中，δ₂为经过2次喷涂后形成的2层涂层与原基体形成的复合梁中性轴到原基体与涂层界面的距离，由式(27)可求出；b为涂层宽度，即试样宽度15mm，ω为每层涂层厚度；Δk₂’可由曲率值-时间变化图得出，该曲率变化对应的是第二次喷涂过程中沉积阶段即温度上升时的曲率变化。

式(27)中，E_s1为前1次喷涂过程中形成的涂层与原基体形成的新基体的弹性模量，求法与式(24)同理；E_s0表示原基体的弹性模量；H₁为前1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的新基体的厚度；H₀表示原基体的厚度，即试样厚度2mm；

式(28)中，E_c2为第2层涂层的弹性模量。其余量与上述公式相同所涉及量相同，不再赘述。

热应力计算：

第一部分热应力：由热不匹配引起的轴向拉力为：

$F_{\left(\mathrm{CTE}\right)2}=\frac{{2\mathrm{\Δk}}_2{\mathrm{\Σ}}_2}{\mathrm{\ω}+H_1}---\left(29\right)$

式(29)中，Δk₂为冷却状态下，由热应力造成的曲率变化，通过曲率值-时间图可得出，它对应的是冷却阶段即温度下降时的曲率变化值；∑₂为复合梁刚度，该刚度为经过2次喷涂所形成的2层涂层与原基体所形成的复合梁的刚度，经式(28)计算可得；ω为每层涂层的厚度；H1为前1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的新基体的厚度。

涂层y=(2-1/2)ω处的热应力值应为：

${\mathrm{\σ}}_{c2}^{,}={\mathrm{\σ}}_c^{,}{|}_{y=(2-1/2)\mathrm{\ω}}=\frac{F_{\left(\mathrm{CTE}\right)2}}{\mathrm{b\ω}}-E_{c2}{\mathrm{\Δk}}_2((2-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_2)---\left(30\right)$

式(30)中，F_(CTE)2可通过式(29)求出；b为涂层宽度，即试样宽度15mm；ω为每层涂层厚度；Δk₂为冷却状态下，由热应力造成的曲率变化，通过曲率值-时间图可得出，它对应的是冷却阶段即温度下降时的曲率变化值；δ₂为经过2次喷涂后所形成的2层涂层与原基体形成的复合梁中性轴到原基体与涂层界面的距离，由式(27)可求出。

第二部分热不匹配应力与涂层形成过程的温度历程相关，第2层涂层沉积后，涂层中由热胀系数不匹配产生的轴向拉力为

${F^{,}}_{\left(\mathrm{CTE}\right)2}=\mathrm{b\Δ\α\Δ}{T}_2\left(\frac{{\mathrm{\ωH}}_1{E}_{c2}{E}_{s1}}{H_1{E}_{s1}+{\mathrm{\ωE}}_{c2}}\right)---\left(31\right)$

公式(31)中，b为涂层宽度，即试样宽度15mm；ω为每层涂层厚度；Δα为基体与涂层的热胀系数差值，在此，由于涂层与基体的热胀系数相差悬殊，故所有的热胀系数差均为原基体与涂层的热胀系数差。ΔT₂为第二次喷涂过程中，与曲率变化相对应的温度变化；E_c2为第2层涂层的弹性模量，由式(23)得出；E_s1为前1次喷涂过程中形成的涂层与原基体形成的新基体的弹性模量，有式(24)得出；H₁为前1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的新基体的厚度。

由此可得出，在这一过程完成后，第2层涂层中的层间应力值为：

$\begin{array}{c}{{\mathrm{\σ}}^{,,}}_{c2}={{\mathrm{\σ}}^{,,}}_c{|}_{y=(2-1/2)\mathrm{\ω}}\\ =\frac{{F^{,}}_{\left(\mathrm{CTE}\right)2}}{\mathrm{b\ω}}-E_{c2}{\mathrm{\Δk}}_2((2-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_2)\end{array}---\left(32\right)$

公式(11)中，F’_(CTE)2为第2层涂层沉积后，涂层中由热胀系数不匹配产生的轴向拉力，可由式(31)求出；E_c2为第2层涂层的弹性模量，由式(23)得出；δ₂为经过2次喷涂后所形成的2层涂层与原基体形成的复合梁中性轴到原基体与涂层界面的距离，由式(27)可求出。

综上，由式(23)可得到每层涂层制备时的弹性模量，由式(26)可得到每层涂层制备时的淬火应力分布，由式(30)可得到涂层热应力，由式(32)可得到涂层层间应力。

总应力值的计算：

由前面所述公式综合可得到涂层第2层的应力值：

按照上述规律，在进行第3次，第4次，一直到第n次喷涂的过程中，只需将公式(2)至公式(12)中的i与j代换为3,4,…,n即可。

图2显示了该试样在喷涂过程中，位移传感器所测位置（即A点）的位移所导致的复合梁的曲率变化情况。图3显示了喷涂过程中的温度变化情况。

通过图2和图3，我们可以根据曲率的变化情况，在喷涂过程中选取其中一个微小的喷涂过程。在图2中该微小过程时间段内都有两次曲率的变化，一次对应的是喷涂阶段即升温阶段的曲率变化，另一次对应的是冷却阶段即降温阶段曲率的变化，其温度的变化可由图3对应得出。最后，再利用公式(2)即可以计算出每一层涂层的弹性模量。这之中，由于每层涂层之间的热胀系数差别微小，可忽略不计，即将热胀系数按照整个涂层的热胀系数来进行计算。在进行进一步计算时，将图2与图3合并为一个图，并将局部放大，即可得出每一次喷涂过程中，沉积阶段（即温度上升时）以及冷却阶段（即温度下降时）的曲率变化量。然后将其代入响应公式中进行计算。

在本实验中，因为温度在20℃～400℃之间，TC4基体热膨胀系数为10×10^-6/℃，而ZrO₂涂层热膨胀系数为9.8×10^-6/℃。

经过计算可以得到如图4所示的淬火应力图像，由此可知涂层的应力状态变化情况。

由此可以看出，当进行喷涂时，运用上述方法则可以在喷涂过程中对涂层的应力水平进行一个较为可靠的实时监控。当涂层的应力水平发生突然的较大变化时，就说明该涂层可能存在不符合要求的缺陷，或者该喷涂工艺已经不适合该厚度的涂层，从而对喷涂工艺起到指导作用。

Claims (4)

1.一种在线测量陶瓷涂层残余应力的试验装置，包括位移传感器(1)、温度传感器(2)、数据采集器(3)、夹具(4)；

将待喷涂试样一端夹持在夹具上，位移传感器置于试样的未夹持端位置，温度传感器置于试样的夹持端位置，同时将位移传感器与温度传感器接通数据采集器。数据采集器与计算机相联接。

2.根据权利要求1所述的一种在线测量陶瓷涂；层残余应力的试验装置，其特征在于，所述位移传感器(1)，即为接触式或非接触式高精度位移传感器，测量范围-1～10mm，测量精度1×10^-6mm。

3.根据权利要求1所述的一种在线测量陶瓷涂层残余应力的试验装置，其特征在于，所述温度传感器(2)，采用接触式或非接触式测温仪，测量温度范围-10～1370℃，时间响应速度大于20Hz。

4.根据权利要求1所述的一种在线测量陶瓷涂层残余应力的试验装置所采用的测量残余应力的方法，包括以下工艺步骤：

1)准备夹具，将待喷涂试样一端即B端夹持在夹具上；

2)将位移传感器置于试样的未夹持端位置，温度传感器置于试样的夹持端位置，同时将位移传感器与温度传感器接通数据采集器；

3)将位移传感器、温度传感器与数据采集器组成测试电路并与计算机相联接，以便进行测试；

4)使用热喷涂设备，对试样进行喷涂；

5)喷涂过程中通过位移传感器采集试样A点的位移数据，通过温度传感器采集基体温度数据，传输到数据采集器由电脑记录下来；

6)测得位移及温度后进行的数据处理：

对所得到的数据进行处理，由于有高精度的位移传感器以及温度传感器实时监测喷涂过程，所以对每一层热喷涂得到的涂层进行应力分析，步骤如下：

1.位移数据处理：

将数据点记录后通过下列公式计算涂层喷涂过程中基体曲率半径R及基体曲率k的值的变化：

$R=\frac{1}{k}=\frac{{\left(\mathrm{AB}\right)}^2-x^2}{2x}---\left(1\right)$

其中，AB为位移传感器所在的A点距夹持端B点的距离；x为A点位移；

2.温度数据处理：

在每层涂层的喷涂过程中的温度变化，通过接触式或非接触式测温仪检测，整理得到在喷涂过程中基体温度变化曲线；该曲线整体分为三个阶段，分别为预热阶段，沉积阶段以及冷却阶段；而针对每层涂层来说其又分为由沉积阶段与冷却阶段组成的微小过程，这个微小过程将对以下的计算每层涂层的弹性模量以及残余应力的方法有非常重要的作用；

7)残余应力的计算：

7.1.弹性模量的处理：

在曲率值-时间变化图中，试样冷却状态下曲率的变化是由于每一层涂层喷涂完成后冷却过程中热应力的作用产生的；通过每一层涂层中已知的在冷却过程中由热应力引起的曲率变化值求得每一层涂层的弹性模量E_ri：

${\mathrm{\Δk}}_i=\frac{{6E}_{\mathrm{ci}}{E}_{s(i-1)}{\mathrm{\ωH}}_{(i-1)}[\mathrm{\ω}+H_{(i-1)}]{\mathrm{\ΔT}}_i\mathrm{\Δ\α}}{E_{\mathrm{ci}}^2{\mathrm{\ω}}^4+{4E}_{\mathrm{ci}}{E}_{s(i-1)}{\mathrm{\ω}}^3{H}_{(i-1)}+{6E}_{\mathrm{ci}}{E}_{s(i-1)}{\mathrm{\ω}}^2{H}_{(i-1)}^2+{4E}_{\mathrm{ci}}{E}_{s(i-1)}{\mathrm{\ωH}}_{(i-1)}^3+E_{s(i-1)}^2{H}_{(i-1)}^4}$ 上式即为公式(2)

公式(2)中：E_ci为未知量，是每一次喷涂过程形成的每一层涂层的弹性模量，i=1,2,3,…,n，i即为喷涂次数以及涂层层数；Δk_i为冷却状态下由热应力造成的曲率变化量，通过曲率值-时间图得出，它所对应的是每一次喷涂过程中冷却阶段的曲率变化；E_s(i-1)为前i-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体形成的新基体的弹性模量，i=1,2,3,…,n，E_s0表示原基体的弹性模量；ω为每一次喷涂所形成涂层的厚度，每层厚度基本一致，为十几到几十微米；H_(i-1)为前i-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的新基体的厚度，i=1,2,3,…n，H0表示原基体的厚度；ΔTi为每一次喷涂过程中，与冷却阶段曲率变化相对应的温度变化；Δα为基体与涂层的热胀系数差值，在此，由于涂层与基体的热胀系数相差悬殊，故所有的热胀系数差均为原基体与涂层的热胀系数差，即热胀系数在此为一个定值；将涂层与原基体形成的梁看做复合梁来进行处理，故由前i-1次喷涂过程中形成的涂层与基体形成的新基体的弹性模量Es(i-1)看做复合梁弹性模量来处理：

$E_{s(i-1)}=\frac{E_{s0}{H}_0+(E_{c1}+E_{c2}+...+E_{c(i-1)})\mathrm{\ω}}{H_0+(i-1)\mathrm{\ω}}$ （复合梁弹性模量计算）

(3)

公式(3)中，E_s(i-1)为前i-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体形成的新基体的弹性模量，i=1,2,3,…,n，E_s0表示原基体的弹性模量；H₀表示原基体的厚度；ω为每一次喷涂所形成涂层的厚度，每层厚度基本一致，为十几到几十微米；i=1,2,3…,n，表示喷涂次数以及涂层层数；

7.2.淬火应力计算：

通过曲率值-时间变化图，得到在每一次喷涂过程中，对应沉积阶段所产生的曲率变化即Δk_j’，该曲率变化对应的是每一次喷涂过程中温度上升时的曲率变化，第j层涂层产生的轴向拉力Fj用公式：

${{\mathrm{\Δk}}_j}^{,}=\frac{F_j((j-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_{j-1})}{{\mathrm{\Σ}}_j}---\left(4\right)$

公式(4)中δ_j-1为原基体与前j-1次喷涂过程中形成涂层所组成的复合梁中性轴到原基体与涂层界面的距离，经公式(6)同理计算可得；∑_j为复合梁刚度，该刚度为经过j次喷涂所形成的j层涂层与原基体所形成的复合梁的刚度，经公式(7)计算可得；根据公式(4)得到F_j值，则喷涂到第j层时，第j层的淬火应力为：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cj}}={\mathrm{\σ}}_c{|}_{y=(j-1/2)\mathrm{\ω}}=\frac{F_j}{\mathrm{b\ω}}-E_{\mathrm{cj}}{{\mathrm{\Δk}}_j}^{,}((j-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_j)---\left(5\right)$

${\mathrm{\δ}}_j=\frac{{\mathrm{\ω}}^2{E}_{\mathrm{cj}}-H_{j-1}^2{E}_s(j-1)}{2({\mathrm{\ωE}}_{\mathrm{cj}}+H_{j-1}{E}_{s(j-1)})}---\left(6\right)$

${\mathrm{\Σ}}_j=E_{\mathrm{cj}}\mathrm{b\ω}(\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{3}-{\mathrm{\ω\δ}}_j+{\mathrm{\δ}}_j^2)+E_{s(j-1)}{\mathrm{bH}}_{j-1}(\frac{H_{j-2}^2}{3}+H_{j-1}{\mathrm{\δ}}_j+{\mathrm{\δ}}_j^2)---\left(7\right)$

公式(5)中，δ_j为经过j次喷涂后形成的j层涂层与原基体形成的复合梁中性轴到原基体与涂层界面的距离，由公式(6)求出；b为涂层宽度，ω为每层涂层厚度；Δk_j’由曲率值-时间变化图得出，该曲率变化对应的是每一次喷涂过程中沉积阶段即温度上升时的曲率变化；

公式(6)中，E_s(j-1)为前j-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体形成的新基体的弹性模量，j=1,2,…,n，求法与公式(3)同理,E_s0表示原基体的弹性模量；H_j-1为前j-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的新基体的厚度，j=1,2,…n，H₀表示原基体的厚度；

公式(7)中，E_cj为每一次喷涂过程所形成的每一层涂层的弹性模量，

j=1,2,…,n；在这三个公式当中，j均为喷涂次数以及所形成的涂层数；故据此得到第j层涂层淬火应力σ_cj；

7.3.热应力计算：

热不匹配应力有两部分组成，一部分是通常所说的热应力，喷涂完成后基体冷却至室温有热胀系数的差异在涂层中产生的应力，第二部分为层间应力，在每一层涂层形成前后涂层的温度有较大差异，由于涂层与基体热膨胀系数的不同，使涂层在这一过程中产生热应力；

第一部分热应力：由热不匹配引起的轴向拉力为：

$F_{\left(\mathrm{CTE}\right)j}=\frac{{2\mathrm{\Δk}}_j{\mathrm{\Σ}}_j}{\mathrm{\ω}+H_{j-1}}---\left(8\right)$

公式(8)中，Δk_j为冷却状态下，由热应力造成的曲率变化，通过曲率值-时间图得出，它对应的是冷却阶段即温度下降时的曲率变化值；∑_j为复合梁刚度，该刚度为经过j次喷涂所形成的j层涂层与原基体所形成的复合梁的刚度，经公式(7)计算可得；ω为每层涂层的厚度；H_j-1为前j-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的新基体的厚度，j=1,2,3,…n，H0表示原基体的厚度；j为喷涂次数以及所形成的涂层数；

涂层y=(j-1/2)ω处的热应力值应为：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cj}}^{,}={\mathrm{\σ}}_c^{,}{|}_{y=(j-1/2)\mathrm{\ω}}=\frac{F_{\left(\mathrm{CTE}\right)j}}{\mathrm{b\ω}}-E_{\mathrm{cj}}{\mathrm{\Δk}}_j((j-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_j)---\left(9\right)$

公式(9)中，F_(CTE)j通过公式(8)求出；b为涂层宽度，ω为每层涂层厚度；Δk_j为冷却状态下，由热应力造成的曲率变化，通过曲率值-时间图得出，它对应的是冷却阶段即温度下降时的曲率变化值；δ_j为经过j次喷涂后所形成的j层涂层与原基体形成的复合梁中性轴到原基体与涂层界面的距离，由公式(6)求出；j为喷涂次数以及所形成的涂层数；

第二部分热不匹配应力与涂层形成过程的温度历程相关，第j层涂层沉积后，涂层中由热胀系数不匹配产生的轴向拉力为

${F^{,}}_{\left(\mathrm{CTE}\right)j}=\mathrm{b\Δ\α\Δ}{T}_j\left(\frac{{\mathrm{\ωH}}_{j-1}{E}_{\mathrm{cj}}{E}_{s(j-1)}}{H_{j-1}{E}_{s(j-1)}+{\mathrm{\ωE}}_{\mathrm{cj}}}\right)---\left(10\right)$

公式(10)中，b为涂层宽度，ω为每层涂层厚度；Δα为基体与涂层的热胀系数差值，在此，由于涂层与基体的热胀系数相差悬殊，故所有的热胀系数差均为原基体与涂层的热胀系数差；ΔT_j为每一次喷涂过程中，与冷却阶段曲率变化相对应的温度变化；E_cj为每一次喷涂过程形成的每一层涂层的弹性模量，j=1,2,3,…,n，j即为喷涂次数以及涂层层数，由公式(2)得出；E_s(j-1)为前j-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体形成的新基体的弹性模量，j=1,2,3,…,n，由公式(3)得出，E_s0表示原基体的弹性模量；H_j-1为前j-1次喷涂过程中形成的涂层与原基体所形成的新基体的厚度，j=1,2,3,…n，H0表示原基体的厚度；

由此得出，在这一过程完成后，第j层涂层中的层间应力值为：

$\begin{array}{c}{{\mathrm{\σ}}^{,,}}_{\mathrm{cj}}={{\mathrm{\σ}}^{,,}}_c{|}_{y=(j-1/2)\mathrm{\ω}}\\ =\frac{{F^{,}}_{\left(\mathrm{CTE}\right)j}}{\mathrm{b\ω}}-E_{\mathrm{cj}}{\mathrm{\Δk}}_j((j-1/2)\mathrm{\ω}-{\mathrm{\δ}}_j)\end{array}---\left(10\right)$

公式(11)中，F^’ _(CTE)j为第j层涂层沉积后，涂层中由热胀系数不匹配产生的轴向拉力，由公式(10)求出；E_cj为每一次喷涂过程形成的每一层涂层的弹性模量，j=1,2,3,…,n，j即为喷涂次数以及涂层层数，由公式(2)得出；δ_j为经过j次喷涂后所形成的j层涂层与原基体形成的复合梁中性轴到原基体与涂层界面的距离，由公式(6)求出；j为喷涂次数以及所形成的涂层数；

综上，由公式(2)得到每层涂层制备时的弹性模量，由公式(5)得到每层涂层制备时的淬火应力分布，由公式(9)得到每一层涂层热应力，由公式(11)得到每一层涂层层间应力；

4.总应力值的计算：

由前面所述公式综合得到涂层第j层的应力值：