CN103902769A - 一种渐近波形估计算法的模型降阶方法 - Google Patents

一种渐近波形估计算法的模型降阶方法 Download PDF

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徐强
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Abstract

本发明提供一种渐近波形估计算法的模型降阶方法，属于系统模型降阶领域，本发明以渐进波形估计方法为基础，结合仿真结果和理论分析，从矩的计算和主极点计算两方面针对该渐渐波形估计方法进行了改进，从而获得原始系统的传递函数近似系统的稳定极点-留数形式，提高了单频点降阶模型的精确度。

Description

一种渐近波形估计算法的模型降阶方法
技术领域
本发明涉及系统模型降阶，具体为一种渐近波形估计算法的模型降阶方法。
背景技术
模型降阶是在某种情况下将一个较大系统转化为一个近似的较小系统的过程，以便降低大型复杂系统的理论分析难度和减少数据运算量。一般的模型降阶方法应满足的基本条件为：降阶系统与原始系统的近似误差足够小；降阶系统能保持原始系统的某些性能，例如稳定性、无源性和结构性等；降阶计算过程稳定而高效等。
渐进波形估计方法通过保持原有系统若干阶矩实现对系统传递函数的近似，可以快速有效地获得系统的响应。该方法可用作频域分析，亦可使用在时域瞬态分析中。然而渐进波形估计方法也具有如下局限性：
1) AWE的计算性能依赖于方程中的Toeplitz矩阵的可逆性及条件数。也就是，提高降阶系统阶数不但不能提高计算精度，而且会导致病态Toeplitz矩阵。因此渐进波形估计方法仅能获得阶次较小的降阶模型。
2) 渐进波形估计的准确性随着复平面上计算频点与级数展开频点距离的增加而减小。然而标准的AWE方法一般在原点进行级数展开求解矩。所以，标准的渐近波形估计方法不适合求解高频问题。
3) 在计算矩的过程中很小的截断误差都会对近似系统的极点和留数产生很大的误差影响，即该方法对原始系统矩的计算精度要求很高。
发明内容
渐进波形估计模型降阶方法主要考虑降阶系统如何保持系统的矩。从理论分析的角度看，渐进波形估计降阶方法的思想来自pade有理逼近，但比数学上的pade有理逼近更具有实际意义。对实际输入输出系统而言，其输入函数
Figure DEST_PATH_IMAGE002A
和输出函数都可称为波形，它们通常具有卷积关系
Figure DEST_PATH_IMAGE006A
，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE008AA
为某已知函数。渐进波形估计模型降阶方法旨在寻找
Figure DEST_PATH_IMAGE008AAA
的结构简单的近似函数
Figure DEST_PATH_IMAGE010A
，使得系统的近似输出波形可以通过来较容易地计算。渐进波形估计模型降阶方法的最大特点是近似函数
Figure DEST_PATH_IMAGE014A
能匹配函数
Figure DEST_PATH_IMAGE016A
的若干矩。
波形估计模型降阶方法中存在的问题：一、具有数值不稳定性，且该方法仅能获得阶次较小的降阶模型。二、只能在单一频率下获得降阶系统的少量极点和留数，降阶精度受限。三、标准的渐近波形估计方法不适合求解高频问题。本发明以经典渐进波形估计方法（AWE）为基础，从矩计算和矩匹配两方面针对该传统方法的固有弱点进行改进，从而将原始系统的传输函数表示为稳定极点-留数形式，提高了单频点降阶模型的精确度。
通过单点矩匹配方法，渐进波形估计方法可以在展开频点附近有效逼近降阶。然而，标准的AWE方法容易产生病态的Toeplitz 矩阵和不稳定的主极点。利用“矩缩放”和“频率转移”两种措施替代标准AWE方法中的矩计算的方法，从而可以在一定程度上避免病态Toeplitz 矩阵的产生；同时通过“矩转移”迭代方法，可去除传统AWE方法产生的伪极点，获得稳定的主极点，提高降阶系统的计算精度。
（1）矩缩放
矩缩放过程相当于引入新的频率变量
Figure DEST_PATH_IMAGE018AA
，或相当于引入新的矩
Figure DEST_PATH_IMAGE020AA
，可使缩放后的各阶矩在数值上能保持近似相同的数量级，可在一定程度上避免矩矩阵出现病态。
（2）频率转移
由于常用的渐进波形估计方法都在原点进行级数展开从而求解对应的矩，因此在一定程度上限制了标准AWE 方法只能有效分析有限频段（主要集中在低频段）问题。频率转移方法即在任意非零点≠0（一般选择在计算频点附近）进行级数展开求解矩，而后通过一个简单的变量替换=s−，仍按照标准AWE方法进行模型降阶。
（3）稳定主极点的获取
根据“主极点收敛”特性，逐渐采用高阶矩，迭代计算若干主极点，直至求解的主极点在一定误差范围内达到收敛。
本发明的有益效果是：
利用“矩缩放”和“频率转移”两种措施替代标准AWE方法中的矩计算的方法，从而可以在一定程度上避免病态Toeplitz矩阵的产生；同时通过稳定主极点的迭代获取方法，可去除传统AWE方法产生的伪极点，获得稳定的主极点，提高降阶系统的计算精度。
附图说明
附图1是频率转移处理后等效电路的重构图。
具体实施方式
(1) 矩缩放
单输入单输出系统传递函数的矩展开形式如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE022A
(6.1.1)
实际应用表明，一般相邻阶次矩之间存在固定量级的倍数关系，假设λ为任意两个相邻极点之间的比值，即
Figure DEST_PATH_IMAGE024A
。当比值λ较大时，随着Toeplitz矩阵阶次的增加，该矩阵容易出现病态特性或接近奇异。按照(6.1.2)方式构造传递函数，可使缩放后的各阶矩在数值上能保持近似相同的数量级，因此可在一定程度避免矩阵出现病态特性。
Figure DEST_PATH_IMAGE026A
(6.1.2)
从数学角度看，矩缩放过程相当于引入新的频率变量
Figure DEST_PATH_IMAGE018AAA
，或相当于引入新的矩，从物理角度看，矩缩放过程相当于将PEEC等效电路中分布电感和电容值均扩大λ倍。采用经过矩缩放后的Toeplitz 矩阵计算的极点和留数并不是系统真正的极点和留数，需要将直接计算获得的极点和留数分别缩放回λ倍，即除以λ。
(2) 频率转移
Pade 逼近获得的近似函数与原函数之间的逼近误差随着复平面内计算频点与展开频点的距离增加而增大。由于常用的渐进波形估计方法都在原点进行级数展开从而求解对应的矩，因此在一定程度上限制了标准AWE 方法只能有效分析有限频段（主要集中在低频段）问题。频率转移方法即在任意非零点 ≠0（一般选择在计算频点附近）进行级数展开求解矩，而后通过一个简单的变量替换 =s− ，仍按照标准 AWE 方法进行模型降阶。
从数学角度，对PEEC等效电路网络，经过频率转移处理后系统阻抗矩阵和电导矩阵可表示为式（6.2.1）和式（6.2.2）。从物理角度看，频率转移相当于在原始电路系统中容性支路上并联一外加电容；在感性耦合支路中串联一外加电感，如图1所示。
(3) 稳定主极点的获取
一般[L/M]型Pade逼近的表达式如下式(6.3.1)所示，其中L和M分别指逼近有理式中分子分母多项式的阶次。
Figure DEST_PATH_IMAGE030A
在Pade逼近中，为了获得更好的逼近效果，如何选择适当的L和M一直是研究人员所关注的问题。不同的[L/M]组合可以计算得到不同的极点-留数，对于一般的单点匹配，在选择L=M，或L=M-1可以获得较好的逼近效果。此外，固定M取值的同时逐渐增加L值，计算得到的主极点具有很快的收敛特性。该特性可以通过(6.3.2)表示，其中pj为原函数的实际极点，也就是“主极点收敛”性质。
Figure DEST_PATH_IMAGE032A
其中，且。
这一特性对于提取系统的稳定主极点具有非常重要的价值。逐渐采用高阶矩，迭代计算若干主极点，直至求解的主极点在一定误差范围内达到收敛。实际计算时，固定Pade有理式分母多项式阶次M，分子多项的阶次从M-1阶增加，[L/M]取值组合的改变意味着计算中所需要的矩发生变化，获得稳定M个主极点后，再计算相应的留数。

Claims (1)

1.一种渐近波形估计算法的模型降阶方法，其特征在于包括以下方面：
矩缩放
矩缩放过程相当于引入新的频率变量 ，或相当于引入新的矩
Figure 97020DEST_PATH_IMAGE002
，可使缩放后的各阶矩在数值上能保持近似相同的数量级，可在一定程度上避免矩矩阵出现病态；
频率转移
频率转移方法即在任意非零点 ≠0（一般选择在计算频点附近）进行级数展开求解矩，而后通过一个简单的变量替换 =s− ，仍按照标准 AWE 方法进行模型降阶；
稳定主极点的获取
根据“主极点收敛”特性，逐渐采用高阶矩，迭代计算若干主极点，直至求解的主极点在一定误差范围内达到收敛。
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