CN103832170A - 二次曲线规 - Google Patents

Abstract

一种二次曲线规。它是在支架上铰接一个旋转轴，使铰接芯轴中心线k₁和旋转轴中轴线k₂垂直，将k₁和k₂在支架底平面的正投影在支架底座表面用横向刻线和纵向刻线标出。在旋转轴上安装转动架，在转动架上铰接带有滑筒的滑筒架，滑筒的中轴线为k₄。两端装有笔的滑杆装在滑筒之内，笔尖位于k₄上。滑筒架和转动架能一起绕旋转轴转动，转动中k₂和k₄始终在同一平面内，且V点到k₄的距离和V点到支架底平面的距离始终相等。图纸上正交的直线a、b交点为ζ，将支架纵向刻线对准直线a，横向刻线对准直线b后固定在图纸平面上，锁定铰接处的扭角，用手转动滑筒架使滑杆在滑筒内滑动，笔尖就在图纸上画出以直线a为对称轴，以点ζ为焦点的二次曲线。

Description

二次曲线规

所属技术领域

本发明涉及一种绘图工具，它也可以作为教具使用，尤其是能在平面上方便的画出以一定点为焦点，以过该定点的直线为对称轴，并且满足某些特定要求的圆、椭圆、抛物线和双曲线的二次曲线规。

背景技术

现有的二次曲线规(也称圆锥曲线规)虽然也可以画出二次曲线，但是所画出的二次曲线随意性较大，不能够方便地画出以一个定点为焦点，以通过该定点的直线为对称轴的二次曲线。

发明内容

为了克服现有的二次曲线规不能方便地画出以一个定点为焦点，以通过该定点的直线为对称轴的二次曲线的不足，本发明提供一种新的二次曲线规。该二次曲线规不仅能在平面上画出各类二次曲线，而且还能直接画出以平面上任意给定的点为一个焦点，以通过该点的一条直线为对称轴，并且还满足其它要求的二次曲线。

技术方案：

本发明解决技术问题所依据的数学定理是：

定理一：一个正圆锥被一个平面所截，如果圆锥轴线和截面所成的锐角大于圆锥轴线和母线之间的夹角，那么截得的曲线是一个椭圆，该正圆锥和截锥平面的两个内切球(和锥面所有的母线相切也和截锥平面相切，下同)和截锥平面的切点就是该椭圆的两个焦点。

证明：如图1，以点A为顶点的正圆锥被平面R所截，由于圆锥轴线和截面R所成的锐角大于圆锥轴线和母线之间的夹角，那么截面R和圆锥的每一条母线都相交，即截线是一条封闭的曲线。它们有两个内切球是O₁和O₂，球O₁和平面R的切点为P₁，和锥面的切点组成圆M，球O₂和平面R的切点为P₂，和锥面的切点组成圆N。设K为截线上任意一点，连KP₁、KP₂，做正圆锥的母线AK切球O₁于圆M上的B点，延长AK切球O₂于圆N上的C点。由于KP₁＝KB，KP₂＝KC(由球外一点引的两条切线长相等)，那么就有

KP₁+KP₂＝KB+KC＝BC(正圆台母线，常量)，

因此，截得的曲线是一个椭圆，且P₁和P₂为该椭圆的焦点(当圆锥轴线和截面R所成的角是直角时，点P₁、P₂重合为P，截得的曲线是一个圆，点P为该圆的圆心)。

定理二：一个对顶正圆锥被一个平面所截，如果圆锥轴线和截面所成的角小于圆锥轴线和母线之间的夹角，那么截得的曲线是一组双曲线，该对顶圆锥和截锥平面的两个内切球和截锥平面的切点就是这对双曲线的两个焦点。

证明：如图2，以点A为顶点的对顶正圆锥被平面R所截，由于圆锥轴线和截面R所成的角小于圆锥轴线和母线之间的夹角，那么截面R将和对顶圆锥上下锥面的母线都相交，即截线是两条曲线。它们的两个内切球是O₁和O₂，球O₁和平面R的切点为P₁，和锥面的切点组成圆M，球O₂和平面R的切点为P₂，和锥面的切点组成圆N。设K为截线上任意一点，连KP₁、KP₂，做正圆锥的母线AK切球O₁于圆M上的B点，延长KA切球O₂于圆N上的C点。由于KP₁＝KB，KP₂＝KC(球外一点引的两条切线长相等)，那么就有

KP₂-KP₁＝KC-KB＝BC(正圆台母线，常量)，

由于点K可以选在上面的那支曲线，也可以选在下面的那支曲线，因此，截线是一组双曲线，且P₁和P₂为该双曲线的焦点。

定理三：一个正圆锥被一个平面所截，如果圆锥轴线和截面所成的角等于圆锥轴线和母线之间的夹角，那么该截线是一条抛物线，该圆锥和截锥平面的一个内切球和截锥平面的切点就是该抛物线的焦点。

证明：如图3，以点A为顶点的正圆锥被平面R所截，圆锥的轴线和平面R的交点为L，其内切球O和平面R的切点为P，连OP，则线段OP⊥平面R，过圆锥的轴线AO和OP做平面N，则平面N⊥平面R。平面N上的圆锥母线为AQ、AS，其没与平面R相交的母线为AQ(如图)，那么∠ALP就是圆锥轴线和截面R所成的角，根据已知有∠ALP＝∠LAQ，因此AQ∥PL。内切球O与锥面相切的各切点所在的平面M，交平面N和平面R的交线与G，交母线AQ于B。由于轴线AO⊥平面M，则有平面N⊥平面M，上面已经证得平面N⊥平面R，那么平面M和平面R的交线GE⊥平面N，即有∠LGE＝90°，K为截线上任意一点，过点K做平行于平面M的平面W分别交圆锥母线AQ、AS于点C、H，交平面N和平面R的交线于J(如图)，做KD⊥GE，D为垂足，则∠KDE＝90°，于是有CB∥JG∥KD。由于平面M∥平面W，故有KD＝JG＝CB(夹在平行平面间的平行线段相等)。连母线AK交平面M于F，连KP，则有KP＝KF(由球外一点引的两条切线长相等)，又KF＝CB(正圆台母线，常量)，则有KP＝KF＝CB＝JG＝KD。

就是说，此时截线是一条抛物线，且P点为该抛物线的焦点，直线GE为该抛物线的准线。

由上述三个定理可知，当用一个平面去截一个正圆锥时，除了截线为两条交叉的直线或仅为一点的特殊情形外，所截得的截线都是二次曲线，且它们的内切球和截锥平面的切点都是截得二次曲线的焦点，此点是本发明二次曲线规的理论依据。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

设置一个支架，在支架上铰接一个旋转轴。通过调整铰接部件的扭转角度可改变旋转轴中轴线对于支架底平面的倾角α，在铰接芯轴的一端设置紧固螺母，调完倾角α之后用紧固螺母锁紧。

把铰接芯轴中心线和旋转轴中轴线的交点V在支架底平面的正投影点U的位置用一组正交的刻线在支架底座表面上标出，并使其纵向刻线是旋转轴中轴线在支架底平面正投影落在支架底座表面上的线条。

在旋转轴上安装一个带有横梁的转动架，使转动架可以绕旋转轴转动，在转动架的套管和转动轴之间可以安装滚动轴承。

在转动架横梁上铰接带有一个滑筒的滑筒架，并使上述转动架绕旋转轴旋转时滑筒中轴线和旋转轴中轴线始终在同一平面内(不为异面直线)，且使V点到滑筒中轴线的距离和V点到支架底平面的距离始终相等，通过调整铰接部件的扭转角度可改变旋转轴中轴线和滑筒中轴线的夹角β，在铰接芯轴的一端设置紧固螺母，调完倾角β之后用紧固螺母锁紧。

将一个端头装有笔的滑杆安装在滑筒之内，使之可以在滑筒内滑动，并保证在滑动过程笔尖位于滑筒中轴线上，为保证滑杆在滑筒中滑动顺利，在滑筒和滑杆之间可以设置直线轴承。

为了便于加工和安装，也为了确保旋转轴中轴线和滑筒中轴线始终在同一个平面之内，可以将转动架设计成是以经过套管中轴线的平面成镜对称的，并将滑筒架设计成是以经过滑筒的中轴线的平面成镜对称的。

为满足绘制离心率较大的二次曲线的需要，可以将二次曲线规的支架支柱的上端向一侧弯曲，使滑筒架上滑筒的中点向滑筒轴线的一侧偏移，并安装成当旋转轴水平指向支架支柱隆起的相反方向时，位于旋转轴上方的滑筒架的滑筒偏重端在轴架有旋转轴的一侧。

可在支架底座上设置固定针，以固定在木质图板上，也可在支架底座下安装永磁铁，以固定在铁质材料上，还可以在支架底座上设置可收起的固定针同时在支架底座下安装永磁铁。

为了便于调整铰接的两个零部件之间的角度，可以在铰接芯轴的一端设置角度标尺。

在一张图纸上画一条以该图纸上两条相交成直角的直线a和b的交点ζ为焦点，并以直线a为对称轴的二次曲线的画法如下：

将图纸平铺并固定在图板上，通过确定芯轴铰接的部件之间的相对位置，固定角α和β，将二次曲线规支架底座表面上的纵向刻线两端均对准直线a，横向刻线的两端均对准直线b，将支架底座固定在图板上，此时二次曲线规的U点和ζ点重合。用手旋转滑筒架，使转动架绕旋转轴旋转，使滑杆在滑筒中滑动，此时笔尖在图纸上移动画出的曲线就是以点ζ为焦点，并以直线a为对称轴的二次曲线。这是因为，根据我们的设计，在上述画图的过程，滑筒的中轴线绕出的是一个正圆锥面(或其一部分)，图纸平面是该正圆锥的一个截面，另外，由于V点到图纸平面的距离和到锥面的距离都相等，则点V为该截锥图形一个内切球的球心，点ζ就是内切球在截锥平面上的切点，即点ζ就是所画二次曲线的一个焦点，又因为直线a是旋转轴中轴线在图纸上的正投影，因此直线a是所画二次曲线过焦点的对称轴。

通过改变旋转轴中轴线对于支架底平面的倾角α和(或)改变旋转轴中轴线和滑筒中轴线的夹角β，可以画出不同种类的二次曲线。当α=90°时，画出的二次曲线是一个圆，当α＜90°，且α＞β时，画出的二次曲线是一个椭圆，当α＜90°，且α＝β时，画出的二次曲线是一条抛物线。当α＜β＜90°时，画出的二次曲线是双曲线(滑杆两端的笔尖分别画出双曲线的一个分支)。通过改变角度α和β除了可以改变所画二次曲线的种类外，还可以使得绘出的二次曲线符合事先规定的特殊要求。例如，绘制一个以图纸上两条相交成直角的直线a和b的交点ζ为焦点，以直线a为对称轴，并且经过图纸上事先给定的一点ω或两点ω、δ的椭圆、抛物线或双曲线。

本发明的有益效果是，不仅可以画出各种二次曲线，而且可以很方便的画出规定焦点、对称轴并满足其它要求的二次曲线，其原理清晰，结构紧凑，使用方便。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

图1是证明定理一的附图。

图2是证明定理二的附图。

图3是证明定理三的附图。

图4是本发明二次曲线规的构造图。

图5是图4的A-A剖面图。

图6是图4的B-B剖面图。

图中：1.由1-1支架底座和1-4支架支柱构成的支架，1-2.横向刻线，1-3.纵向刻线，1-5.支架底平面，1-6.可收起的固定针，1-7.永磁铁，2.支架芯轴，3.紧固螺母，4.转架芯轴，5.紧固螺母，6.由6-1固定轴挡和6-2旋转轴构成的轴架，7.由7-1横梁和7-2套管构成的转动架，8.活动轴挡，9.螺母，10.由10-1人形支架和10-2滑筒构成的滑筒架，11.滑杆，12.笔，k₁是支架芯轴中心线，k₂是旋转轴中轴线，k₃是转架芯轴中心线，k₄是滑筒中轴线，点V是k₁和k₂的交点，k₅是点V到支架底平面的垂线，点U是k₅和支架底平面的交点。

具体实施方式

设置支架(1)，在支架(1)上通过支架芯轴(2)铰接轴架(6)，并使旋转轴(6-2)的中轴线(k₂)和支架芯轴中心线(k₁)垂直，在支架芯轴(2)的一端设置紧固螺母(3)。

通过调整轴架(6)和支架(1)在支架芯轴(2)处的扭转角度可改变旋转轴中轴线(k₂)对于支架底平面(1-5)的倾角α，调整后用紧固螺母(3)锁紧。

把支架芯轴中心线(k₁)和旋转轴中轴线(k₂)的交点V在支架底平面(1-5)的正投影点U的位置用正交的横向刻线(1-2)和纵向刻线(1-3)在支架底座表面上标出，并使纵向刻线(1-3)是旋转轴中轴线(k₂)在支架底平面(1-5)上的正投影落在支架底座(1-1)表面上的线条，以便在绘图时将纵向刻线(1-3)对准拟画二次曲线过焦点的对称轴，并将点U对准拟绘制二次曲线的焦点。

将以经过套管中轴线的平面成镜对称的转动架(7)上的套管(7-2)装在轴架(6)的旋转轴(6-2)上，在套管(7-2)和旋转轴(6-2)之间装有滚动轴承(图中未标出)，并用固定轴挡(6-1)、活动轴挡(8)和螺母(9)紧固，使转动架(7)可以绕旋转轴(6-2)转动。

将以经过滑筒中轴线(k₄)的平面成镜对称的滑筒架(10)，用在横梁(7-1)上对称设置的两个转架芯轴(4)铰接到转动架(7)上，以确保旋转轴中轴线(k₂)和滑筒中轴线(k₄)始终在同一个平面之内。在转架芯轴(4)的一端设置紧固螺母(5)。

使转架芯轴中心线(k₃)经过V点，并保证V点到支架底平面(1-5)的距离(即VU的长)和V点到滑筒中轴线(k₄)的距离相等。

通过调整滑筒架(10)和转动架(7)在转架芯轴(4)处的扭转角度能改变旋转轴中轴线(k₂)和滑筒中轴线(k₄)的夹角β，调整后用紧固螺母(5)锁紧。

将一个两端装有笔(12)的滑杆(11)安装在滑筒(10-2)之内，在滑杆(11)和滑筒(10-2)之间安装直线轴承(图中未标出)，使滑杆(11)能在滑筒(10-2)内滑动，并保证滑动过程笔(12)的尖端位于滑筒中轴线(k₄)上。

将二次曲线规的支架支柱(1-4)的上端向一侧弯曲，使滑筒架(10)上滑筒(10-2)的中点向滑筒轴线(k₄)的一侧偏移，并安装成当旋转轴(6-2)水平指向支架支柱(1-4)隆起的相反方向时，位于旋转轴(6-2)上方的滑筒架(10)上的滑筒(10-2)的偏重端在轴架(6)有旋转轴(6-2)的一侧。

在支架底座(1-1)上设置可收起的固定针(1-6)并在支架底座(1-1)的底部安装永磁铁(1-7)。

在支架芯轴(2)和转架芯轴(4)的无紧固螺母的一端设有角度标尺(图中未标出)。

二次曲线的绘制

使用本二次曲线规能很方便的绘制出各类二次曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。不仅如此，我们还能直接的绘制出，以绘图平面上事先给定的一点ζ为焦点，经过点ζ的直线a为对称轴的二次曲线，还可以绘制出具有其它约束条件的二次曲线，例如以绘图平面上事先给定的一点ζ为焦点，经过点ζ的直线a为对称轴的二次曲线，并且还经过事先给定的另外一点ω或另外两点ω、δ的椭圆、抛物线或双曲线。

绘制圆

在图纸上画一个以点ζ为圆心，并且经过另一点ω的圆的画法如下：

①将图纸平铺并固定在图板上，在图纸上过点ζ画两条相交成直角的直线a和b，将二次曲线规支架底座(1-1)表面上的纵向刻线(1-3)两端均对准直线a，横向刻线(1-2)的两端均对准直线b，将支架底座(1-1)固定在图板上，此时二次曲线规的U点和ζ点重合。

②调整轴架(6)和支架(1)在支架芯轴(2)处的扭转角度，使旋转轴中轴线(k₂)对于支架底平面(1-5)的倾角α＝90°，用紧固螺母(3)将支架芯轴(2)处锁紧，调整滑筒架(10)和转动架(7)在转架芯轴(4)处的扭转角度使笔(12)的尖端通过点ω，用紧固螺母(5)将转架芯轴(4)处锁紧。

③用手旋转滑筒架(10)带动转动架(7)绕旋转轴(6-2)旋转，使滑杆(11)在滑筒(10-2)中滑动，此时笔(12)的尖端在图纸上移动画出的曲线就是以点ζ为圆心，且经过点ω的圆。

绘制椭圆

在图纸上画一个以点ζ为焦点，以经过点ζ的直线a为对称轴，并且还通过另外一点ω的椭圆的画法如下：

①将图纸平铺并固定在图板上，在图纸上过点ζ画一条直线b垂直于直线a，将二次曲线规支架底座(1-1)表面上的纵向刻线(1-3)两端均对准直线a，横向刻线(1-2)的两端均对准直线b，将支架底座(1-1)固定在图板上，此时二次曲线规的U点和ζ点重合。

②调整轴架(6)和支架(1)在支架芯轴(2)处的扭转角度，改变旋转轴中轴线(k₂)对于支架底平面(1-5)的倾角α，调整滑筒架(10)和转动架(7)在转架芯轴(4)处的扭转角度，改变旋转轴中轴线(k₂)和滑筒中轴线(k₄)的夹角β，在保证当α＜90°且α＞β的前提下，使笔(12)的尖端通过点ω，用紧固螺母(3)将支架芯轴(2)处锁紧，用紧固螺母(5)将转架芯轴(4)处锁紧。

③用手旋转滑筒架(10)带动转动架(7)绕旋转轴(6-2)旋转，使滑杆(11)在滑筒(10-2)中滑动，此时笔(12)的尖端在图纸上移动画出的曲线就是以点ζ为焦点，以直线a为过焦点的对称轴，且经过点ω的椭圆。

绘制抛物线

在图纸上画一个以点ζ为焦点，以经过点ζ的直线a为对称轴，并且还通过另外一点ω的抛物线的画法如下：

步骤①同绘制椭圆。

步骤②仅需将角度α和β的控制要求，更改为“在保证当α＜90°且α＝β[当滑筒(10-2)转至最高处时，滑筒中轴线(k₄)平行于图纸平面]的前提下，使笔(12)的尖端通过点ω”其余同绘制椭圆。

步骤③同绘制椭圆的做法，但绘得的曲线是符合要求的抛物线。

绘制双曲线

在图纸上画一组以点ζ为焦点，以经过点ζ的直线a为对称轴，并且还通过另外一点ω的双曲线的画法如下：

步骤①同绘制椭圆。

步骤②仅需将角度α和β的控制要求，更改为“在保证α＜β＜90°的前提下，使笔(12)的尖端通过点ω(可以是滑杆(11)任何一端的笔尖)，”其余同绘制椭圆。

步骤③同绘制椭圆的做法，但绘得的曲线是符合要求的双曲线，该组双曲线的两条分支将分别由滑杆(11)两端的笔(12)的尖端画出。

在图纸上画一个以点ζ为焦点，以经过点ζ的直线a为对称轴，并且还通过另外两点ω、δ的椭圆、抛物线或双曲线的画法，基本上和上述画法相同，仅需将“调整角度α和(或)β，使笔尖经过点ω”，更改为“调整角度α和(或)β，使笔尖经过点ω和点δ”。

Claims (6)

1.一种二次曲线规，由支架(1)、轴架(6)、转动架(7)、带滑筒(10-2)的滑筒架(10)和端头带笔(12)的滑杆(11)构成，其特征是：

在支架(1)上通过支架芯轴(2)铰接轴架(6)，并使旋转轴(6-2)的中轴线(k₂)和支架芯轴中心线(k₁)垂直，在支架芯轴(2)的一端设置紧固螺母(3)；

把支架芯轴中心线(k₁)和旋转轴中轴线(k₂)的交点V在支架底平面(1-5)的正投影点U的位置用正交的横向刻线(1-2)和纵向刻线(1-3)在支架底座表面上标出，并使纵向刻线(1-3)是旋转轴中轴线(k₂)在支架底平面(1-5)投影落在支架底座(1-1)表面上的线条；

将转动架(7)上的套管(7-2)装在轴架(6)的旋转轴(6-2)上，使转动架(7)可以绕旋转轴(6-2)转动；

将滑筒架(10)用两个转架芯轴(4)铰接到转动架(7)的横梁(7-1)上，保证旋转轴中轴线(k₂)和滑筒中轴线(k₄)始终在同一个平面之内，在转架芯轴(4)的一端设置紧固螺母(5)；

使转架芯轴中心线(k₃)经过V点，并保证V点到支架底平面(1-5)的距离和V点到滑筒中轴线(k₄)的距离相等；

将一个两端装有笔(12)的滑杆(11)安装在滑筒(10-2)之内，使滑杆(11)能在滑筒(10-2)内滑动，并保证滑动过程笔(12)的尖端位于滑筒中轴线(k₄)上。

2.根据权利要求1所述的二次曲线规，其特征是：支架支柱(1-4)的上端向一侧弯曲，滑筒架(10)上滑筒(10-2)的中点向滑筒轴线(k₄)的一侧偏移。

3.根据权利要求1所述的二次曲线规，其特征是：在支架底座(1-1)上设置可收起的固定针(1-6)并在支架底座(1-1)的底部安装永磁铁(1-7)。

4.根据权利要求1所述的二次曲线规，其特征是：转动架(7)是以经过套管(7-2)中轴线的一个平面成镜对称的，滑筒架(10)是以经过滑筒中轴线(k₄)的一个平面成镜对称的。

5.根据权利要求1所述的二次曲线规，其特征是：在在套管(7-2)和旋转轴(6-2)之间装有滚动轴承，在滑杆(11)和滑筒(10-2)之间装有直线轴承。

6.根据权利要求1所述的二次曲线规，其特征是：在支架芯轴(2)和转架芯轴(4)的一端设有角度标尺。

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