CN103825621A - 一种有效的“0，1”稀疏信号的压缩感知重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种有效的“0，1”稀疏信号的压缩感知重构方法，主要包括稀疏均匀的观测矩阵的构建和基于二分图的迭代重构令部分。该方法巧妙引入图论中的二分图模型，紧密结合二分图的最小覆盖性质，适当添加约束条件，构建了稀疏、均匀且最小覆盖的观测矩阵。基于二分图的迭代重构算法是充分利用“0，1”稀疏信号的特殊结构，通过迭代方法，删除二分图连接线Φ_ij并更新观测值y，最终实现原始信号重构的方法。本方法将图论中的二分图模型引入压缩感知采样和重构中，相比l₁范数最小化方法，不存在重构误差，可应用于中子脉冲序列、地震信号、无线传感网络和二进制图像等的压缩采样。

Description

一种有效的“0,1”稀疏信号的压缩感知重构方法

技术领域

本发明属于压缩感知技术研究领域，涉及一种有效的“0，1”稀疏信号的压缩感知重构方法。

背景技术

压缩感知(Compressive Sensing)理论由Candès，Romberg，Donoho和Tao提出，它包含了稀疏、不相关、随机性、非自适应、非线性和不可微等关键字。从这些关键字，特别是第一、二个关键字可以看出，压缩感知理论是对传统理论的颠覆。这种颠覆最令人兴奋的表现，就是它突破了Nyquist采样定理，能以随机采样的方式，用更少的数据采样点，完美地恢复原始信号。

针对本身具有K-稀疏特性的N×1原始信号x，其压缩采样可以直接无损的表示为y＝Φx。其中，Φ为M×N的观测矩阵，y为M×1的测量值。如果我们将原始信号x和观测值y看作两个集合，即二分图的两个顶点，观测矩阵Φ看作是二分图的边，那么压缩采样过程可以用二分图进行更加直观地表示。

国外，已有学者开展了关于二进制稀疏信号压缩感知的初步应用研究。国内，针对“0，1”稀疏信号的压缩感知理论应用研究工作尚属起步阶段。在已开展的该类研究工作中，并未充分利用信号本身的“0，1”稀疏特性，且重构信号存在误差。鉴于此，针对本身具有特殊“0，1”结构的稀疏信号，特别是类似于中子脉冲序列和地震数据等的“0，1”非常稀疏信号，设计一种有效的“0，1”稀疏信号的压缩感知重构方法，就成为了本发明所关注的问题。

针对“0，1”稀疏信号，充分利用其特有的稀疏结构，巧妙引入图论中的二分图模型，紧密结合二分图的最小覆盖性质，适当添加二分图约束条件，构建稀疏、均匀且最小覆盖的观测矩阵，开展压缩感知应用研究，尚未见有相关文献报道。

发明内容

本发明的目的在于解决如何充分利用“0，1”稀疏信号的特殊结构，设计一种有效的“0，1”稀疏信号的压缩感知重构方法，从而有助于降低数据采样、存储与传输成本的问题。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的。

一种有效的“0，1”稀疏信号的压缩感知重构方法，包括稀疏均匀的观测矩阵的构建和基于二分图的迭代重构；其步骤如下：

(1)压缩采样的二分图表示

针对本身具有K-稀疏特性的N×1中子脉冲序列，即原始信号x，其压缩采样可以直接无损的表示为y＝Φx。其中，Φ为M×N的观测矩阵，y为M×1的测量值。根据二分图的定义，将原始信号x和观测值y看作两个集合，即二分图的两个顶点，观测矩阵Φ看作是二分图的边。那么，压缩采样过程可以通过二分图进行更加直观地表示，详见附图1。

(2)添加约束条件

结合二分图的最小覆盖性质，本方法为二分图添加以下约束条件：

2a)二分图中共有l＝ML条边；

2b)观测值y的每个顶点有且仅有l_y＝L条边，即观测矩阵Φ的每行的零范数均为||Φ(i，：)||₀＝L；

2c)与原始信号x连接的边数

即观测矩阵Φ的每列的零范数 $1\≤{\left|\right|\mathrm{\Φ}(:,i)\left|\right|}_0\≤\frac{\mathrm{ML}}{N}.$

(3)构建观测矩阵

依据上述约束条件，结合原始信号x特殊的“0，1”稀疏结构，观测矩阵Φ(M×N)需要满足以下三个特征：

A.||Φ(i，：)||₀＝L；

B.i(Φ(i，：)≠0)≠j(Φ(j，：)≠0)；

C.∑_iΦ(i，：)≠∑_jΦ(j，：)，(i，j∈(1，2，...M)，i≠j)。

即Φ的每一行中有且仅有L个非零元素，非零元素所在位置点每一行不重复，Φ的每一行元素的和值唯一。

满足上述特性的观测矩阵Φ可以通过以下算法构建：

3a)生成随机位置点矩阵Θ(M×L)，1≤Θ_ij≤N，Θ_i表示Θ的第i行元素集合；

3b)构造高斯矩阵G(M×N)；

3c)产生观测矩阵

$\mathrm{\Φ}={\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{cc}{G}_{\mathrm{ij}},& j\∈{\mathrm{\Θ}}_j\\ 0,& j\∉{\mathrm{\Θ}}_j\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2},...,M;j=\mathrm{1,2},...,N.$

对于K-稀疏原始信号x，压缩感知重构需要的观测值数量为：M＝0(K·logN)。若K-稀疏原始信号x的所有元素均被观测，那么二分图边的数量l至少为N·logN。因此，

$\mathrm{ML}\≈0(N\·\log N)\⇒M\≈0(\frac{N}{L}\·\log N)=0(K\·\log N)\⇒L\≈\frac{1}{S}.$

(4)基于二分图的迭代重构算法

针对观测值y＝Φx，本方法涉及的信号重构算法如下：

4a)如果 $y_i=0\⇒x_i=0,i\∈{\mathrm{\Θ}}_i.$

4b)如果 $y_i={\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{ij}}\⇒\left\{\begin{array}{cc}{x}_j=1,& j\∈{\mathrm{\Θ}}_j;\\ x_k=0,& k\∈{\mathrm{\Θ}}_j,k\≠j\end{array}\right..$

4c)对于已重构的x_i

$y_k=\left\{\begin{array}{cc}{y}_k-{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{ki}},& x_i=1\\ y_k,& x_i=0\end{array}\right.,$ 令Φ_ij＝0，j∈Θ_j；Φ_kj＝0，k≠j，k＝1，2，...，M。

4d)迭代4a)、4b)、4c)至没有x_i可以重构，将已重构的x_i的位置点存入Γ，i∈Γ。

4e)最终得到重构信号 ${\mathrm{Rx}}_i=\left\{\begin{array}{cc}{x}_i,& i\∈\mathrm{\Γ}\\ 1,& i\∉\mathrm{\Γ}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2},...,N.$

本发明的有益效果是：

本发明一方面巧妙引入图论中的二分图模型，紧密结合二分图的最小覆盖性质，适当添加二分图约束条件，构造了稀疏、均匀且最小覆盖的观测矩阵，使得观测矩阵Φ具备稀疏性和均匀性，同时确保原始信号x的每一个元素均被观测。本发明同时采用基于二分图的迭代重构算法，充分利用“0，1”稀疏信号的特殊结构，通过迭代方法，删除二分图连接线Φ_ij并更新观测值y，最终实现原始信号重构。本方法将图论中的二分图模型引入压缩感知采样和重构中，相比l₁范数最小化方法，不存在重构误差，可应用于中子脉冲序列、地震信号、无线传感网络和二进制图像等的压缩采样。

附图说明

图1为本发明实施例压缩采样的二分图表示；

图2为本发明实施方案流程图；

图3为本发明实施例迭代重构后的二分图表示；

图4为本发明实施例原始信号的重构结果。

具体实施方式

下面通过实施例的方式进一步说明本发明，并不因此将本发明限制在所述的实施例范围之中。

以下结合附图，具体说明本发明的技术构思，以及在此构思下的工作过程。

根据图2所示，一种的“0，1”稀疏信号的压缩感知重构方法，包括以下步骤：

(1)巧妙引入于图论中的二分图模型，紧密结合二分图最小覆盖性质，适当添加约束条件，构建稀疏、均匀且最小覆盖的观测矩阵。添加约束条件为(1.1)二分图共有l＝ML条边；(1.2)二分图中与观测值y＝Φx连接的边数均为

即观测矩阵Φ的每一行的零范数均为||Φ(i，：)||₀＝L；(1.3)与原始信号x连接的边数

即观测矩阵Φ的每列的零范数 $1\≤{\left|\right|\mathrm{\Φ}(:,i)\left|\right|}_0\≤\frac{\mathrm{ML}}{N}.$

(2)充分利用“0，1”稀疏信号的特殊结构，设计一种基于二分图的迭代重构方法，有效避免重构误差。针对观测值y＝Φx，本方法涉及的信号重构过程如下：

(2.1)如果 $y_i=0\⇒x_i=0,i\∈{\mathrm{\Θ}}_i;$

(2.2)如果 $y_i={\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{ij}}\⇒\left\{\begin{array}{cc}{x}_j=1,& j\∈{\mathrm{\Θ}}_j;\\ x_k=0,& k\∈{\mathrm{\Θ}}_j,k\≠j\end{array}\right.;$

(2.3)对于已重构的x_i

$y_k=\left\{\begin{array}{cc}{y}_k-{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{ki}},& x_i=1\\ y_k,& x_i=0\end{array}\right.,$ 令Φ_ij＝0，j∈Θ_j；Φ_kj＝0，k≠j，k＝1，2，...，M；

(2.4)迭代(2.1)、(2.2)、(2，3)至没有x_i可以重构，将已重构的x_i的位置点存入Γ，i∈Γ；

(2.5)最终得到重构信号 ${\mathrm{Rx}}_i=\left\{\begin{array}{cc}{x}_i,& i\∈\mathrm{\Γ}\\ 1,& i\∉\mathrm{\Γ}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2},...,N.$

本发明方法中，原始信号 $x=\left\{\begin{array}{cc}1,& i\∈P_1\\ 0,& i\∈P_2\end{array}\right.,P_1\≠P_2,P_1\∪P_2=\{\mathrm{1,2},...,N\},$ 为K-稀疏信号，K＝||x||₀，稀疏比

本实施例中利用块大小为N＝1024，K-稀疏(K＝8)原始信号x，如图4(A)所示。构建观测矩阵的参数L和M分别为：

M≈0(K·logN)＝24。二分图的边数l＝ML＝128*24＝3072，集合y的每个顶点有且仅有l_y＝L＝128条边，与集合x连接的边数 $1\≤l_x\≤\frac{\mathrm{ML}}{N}=3.$

本实施例中重构步骤以图1中的二分图为例：

步骤4a)重构图1中与y₂连接的x₆、x₉、x₁₀，x₆＝x₉＝x₁₀＝0。

步骤4b)重构图1中与y₃连接的x₃、x₇、x₈，x₃＝x₈＝0。

步骤4c)删除图1中与已重构的x_i相连接的边，并更新对应的观测值y_ix₇＝1。

步骤4d)迭代步骤4a)、4b)、4c)直至没有x_i可以重构，也即是图3中迭代算法重构后余下的无法重构的1序列。通过重构算法步骤4e)可以实现信号的完全重构。

图4为实施例信号重构的结果与l₁范数最小化方法重构结果的比较，其中图4(A)为原始信号，图4(B)为本发明设计的重构方法的重构结果，图4(C)为l₁范数最小化方法的重构结果，图4(D)为l₁范数最小化方法的重构误差。可见，针对“0，1”稀疏信号，本发明的重构方法优于l₁范数最小化方法。

Claims (2)

1.一种有效的“0，1”稀疏信号的压缩感知重构方法，包括稀疏均匀的观测矩阵的构建和基于二分图的迭代重构；其特征在于：

(1)所述稀疏均匀的观测矩阵的构建步骤如下：

(1.1)压缩采样的二分图表示

针对本身具有K-稀疏特性的N×1中子脉冲序列，即原始信号x，其压缩采样表示为y＝Φx；其中，Φ为M×N的观测矩阵，y为M×1的测量值；根据二分图的定义，将原始信号x和观测值y看作两个集合，即二分图的两个顶点，观测矩阵Φ看作是二分图的边，压缩采样过程即可以通过二分图进行直观表示；

(1.2)添加约束条件

(1.2a)二分图中共有l＝ML条边；

(1.2b)观测值y的每个顶点有且仅有l_y＝L条边，即观测矩阵Φ的每行的零范数均为||Φ(i，：)||₀＝L；

(1.2c)与原始信号x连接的边数

即观测矩阵Φ的每列的零范数 $1\≤{\left|\right|\mathrm{\Φ}(:,i)\left|\right|}_0\≤\frac{\mathrm{ML}}{N};$

(1.3)构建观测矩阵

依据上述约束条件，结合原始信号x特殊的“0，1”稀疏结构，观测矩阵Φ(M×N)需要满足以下三个特征：

A.||Φ(i，：)||₀＝L；

B.i(Φ(i，：)≠0)≠j(Φ(j，：)≠0)；

C.∑_iΦ(i，：)≠∑_jΦ(j，：)，(i，j∈(1，2，...M)，i≠j)；

即Φ的每一行中有且仅有L个非零元素，非零元素所在位置点每一行不重复，Φ的每一行元素的和值唯一；

满足上述特性的观测矩阵Φ通过以下算法构建：

(1.3a)生成随机位置点矩阵Θ(M×L)，1≤Θ_ij≤N，Θ_i表示Θ的第i行元素集合；

(1.3b)构造高斯矩阵G(M×N)；

(1.3c)产生观测矩阵

$\mathrm{\Φ}={\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{cc}{G}_{\mathrm{ij}},& j\∈{\mathrm{\Θ}}_j\\ 0,& j\∉{\mathrm{\Θ}}_j\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2},...,M;j=\mathrm{1,2},...,N;$

对于K-稀疏原始信号x，压缩感知重构需要的观测值数量为：M＝0(K·logN)；若K-稀疏原始信号x的所有元素均被观测，那么二分图边的数量l至少为N·logN；因此，

$\mathrm{ML}\≈0(N\·\log N)\⇒M\≈0(\frac{N}{L}\·\·\log N)=0(K\·\log N)\⇒L\≈\frac{1}{S};$

(2)基于二分图的迭代重构：

针对观测值y＝Φx，本方法涉及的信号重构算法如下：

(2.1)如果 $y_i=0\⇒x_i=0,i\∈{\mathrm{\Θ}}_i;$

(2.2)如果 $y_i={\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{ij}}\⇒\left\{\begin{array}{c}{x}_j=1,j\∈{\mathrm{\Θ}}_j;\\ x_k=0,k\∈{\mathrm{\Θ}}_j,k\≠j\end{array}\right.;$

(2.3)对于已重构的x_i

$y_k=\left\{\begin{array}{cc}{y}_k-{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{ki}},& x_i=1\\ y_k,& x_i=0\end{array}\right.,$ 令Φ_ij＝0，j∈Θ_j；Φ_kj＝0，k≠j，k＝1，2，...，M；

(2.4)迭代(2.1)、(2.2)、(2，3)至没有x_i可以重构，将已重构的x_i的位置点存入Γ，i∈Γ；

(2.5)最终得到重构信号 $R{x}_i=\left\{\begin{array}{cc}{x}_i,& i\∈\mathrm{\Γ}\\ 1,& i\∉\mathrm{\Γ}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2},...,N.$

2.根据权利要求1所述的压缩感知重构方法，其特征在于：所述方法中，原始信号 $x=\left\{\begin{array}{cc}1,& i\∈P_1\\ 0,& i\∈P_2\end{array}\right.,P_1\≠P_2,P_1\∪P_2=\{\mathrm{1,2},...,N\},$ 为K-稀疏信号，K＝||x||₀，稀疏比

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