CN103713576A - 多轴铣削加工工件表面形貌建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多轴铣削加工工件表面形貌建模方法，属于数控铣削加工领域。步骤为：离散球头铣刀切削刃为一系列切削微元，建立球头铣刀切削刃上切削微元的切削运动轨迹方程；在建立的工件坐标系中沿平行于x轴的方向离散工件为一系列单元，每个单元两侧的面形成竖切平面，由刀具切削微元的运动轨迹方程得到刀具各个切削微元在切削运动中与竖切平面的交点，针对获得的交点保留同一x、y坐标处竖切平面上z值最低点，即工件在该点处加工后的轨迹点；刀具进行相邻刀步切削过程中会切除在本次切削过程中形成的一部分加工后轨迹点，没有被切除的加工后轨迹点将形成工件表面形貌。本发明可解决铣削加工过程中规则曲面和自由曲面的表面形貌生成问题。

Description

多轴铣削加工工件表面形貌建模方法

技术领域

本发明属于数控铣削加工领域，特别涉及数控铣削加工中刀具磨损引起的自由曲面工件表面形貌建模领域。

背景技术

随着现代机械制造业的发展，对零件加工精度的要求越来越高。工件表面的微观形貌和工件表面粗糙度有密切的联系，对工件的耐磨性与装配精度有重要影响，同时也是反映工件表面加工质量的重要指标，通过预测工件表面的形貌，可以得到工件上任意位置点的坐标值，将其与该点的理论坐标值进行对比，即可得到该点处的加工误差值，进而获得零件的加工精度。国内外许多学者从微观角度对工件表面形貌进行了研究，取得了一些成果，先后提出了一些建立工件表面形貌模型的方法。现有的工件表面形貌的建模方法多是就切削参数选择、刀具定位误差、切削力引起的刀具变形等因素对工件表面形貌的影响进行研究，目前还很少有针对球头铣刀铣削过程中的刀具动态磨损对工件表面形貌的影响进行相关的研究。发明人在申请号为ZL201210162358.5的专利中，对铣削加工规则曲面表面形貌的建模提出了方法，而本发明是针对自由曲面的表面形貌建模问题。本发明克服了上述工件表面形貌的建模方法存在的不足，根据球头铣刀切削刃的特点，建立切削轨迹方程，并进一步将刀具磨损对切削轨迹的影响考虑在内，对刀具磨损后的自由曲面的工件表面形貌进行研究，从而可以解决自由曲面铣削加工过程中表面形貌的生成问题，形成考虑刀具磨损等影响因素在内的规则曲面与自由曲面的工件表面形貌的生成模型。

发明内容

本发明的目的，在于提供一种多轴铣削加工工件表面形貌建模方法，可解决铣削加工过程中刀具磨损引起的工件表面形貌的建模问题。

为了达成上述目的，本发明的解决方案是：

1、一种多轴铣削加工工件表面形貌建模方法，其特征在于包括如下步骤：

(1)离散球头铣刀切削刃为一系列切削微元，分析铣削加工过程中球头铣刀切削刃运动轨迹，建立球头铣刀切削刃上切削微元的切削运动轨迹方程；每个离散微元与球心位置的连线和刀具主轴的夹角称离散微元的位置角，分析铣削加工过程中球头铣刀切削刃运动轨迹，不同位置角处的切削微元在切削时线速度不同，且这些切削微元在加工过程中同时存在着直线进给运动与自身绕刀具主轴的旋转运动。因此，除刀具球头刀尖点外球头切削刃上其它切削微元的运动轨迹将形成一系列的次摆线。为了分析刀具切削刃的运动轨迹在工件上形成的形貌，以离散后的切削微元P点作为研究对象，通过分析切削微元P点在走刀过程中的运动轨迹，得到点P在工件上最终留下的切削轨迹。考虑直线运动和旋转运动，当刀具未发生磨损时，任一切削微元P点在工件坐标系中的理论切削轨迹方程如式(1)所示：

其中，x、y、z为切削微元P点经过一段时间的切削加工后的坐标，x_n、y_n、z_n为P点起始坐标，x_f、y_f、z_f为单位时间的刀具进给速度f在ox、oy、oz方向的分量，t为切削加工时间，γ为P点所处位置的螺旋滞后角，

β₀为刀具的最大螺旋角，

为P点所处位置角

处的刀具径向半径，

R₀为未磨损时的球头铣刀半径，ω为刀具主轴旋转角速度，为P点与球头中心O的连线与刀具主轴Z的夹角，即为描述切削微元所在位置的位置角，h是刀具的切削深度，亦是M_R1、M_R2分别是刀具的旋转变换矩阵，分别由式(2)、(3)求解：

$M_{R1}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({\mathrm{\τ}}_1\right)& -\sin \left({\mathrm{\τ}}_1\right)& \\ \sin \left({\mathrm{\τ}}_1\right)& \cos \left({\mathrm{\τ}}_1\right)& \\ & & 1\end{array}\right]---\left(2\right)$

$M_{R2}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({\mathrm{\τ}}_2\right)& & -\sin \left({\mathrm{\τ}}_2\right)\\ & 1& \\ \sin \left({\mathrm{\τ}}_2\right)& & \cos \left({\mathrm{\τ}}_2\right)\end{array}\right]---\left(3\right)$

式中，τ₁是刀具主轴与xoz平面的夹角，τ₂是刀具主轴与yoz平面的夹角。

当把加工过程中刀具磨损对刀具切削刃运动轨迹的影响考虑在内时，随着刀具不断磨损，刀具切削刃同一高度上的切削微元所对应的径向半径r及其所对应的位置角

都将发生变化。因此，当考虑加工过程中的刀具磨损量时，任一切削微元P点的切削轨迹可由式(4)表示：

其中，x'、y'、z'为考虑刀具磨损时切削微元P点经过一段时间的切削加工后的坐标，x_n、y_n、z_n为P点起始坐标，x_f、y_f、z_f为单位时间的刀具进给速度f在ox、oy、oz方向的分量，t为切削加工时间，γ为P点所处位置的螺旋滞后角，

β₀为刀具的最大螺旋角，

为P点所处的位置角

处的刀具磨损后的径向半径，

为切削微元P点所处的位置角对应的高度，即切削微元所在的截平面高度，R₀为未磨损时的球头铣刀半径，ω为刀具主轴旋转角速度，为P点与球头中心O的连线与刀具主轴Z的夹角，即为描述切削微元所在位置的位置角，M_R1、M_R2分别是刀具的旋转变换矩阵，分别由式(2)、(3)求解：

为刀具磨损后P点高度处的球头径向半径，由式(5)求解：

式中，R₀为刀具未磨损时的球头铣刀半径，

为切削微元P点所处的位置角

对应的高度，VB为

高度处刀具切削刃的后刀面磨损量；

x_f、y_f、z_f为刀具进给速度f在ox、oy、oz方向的分量，由式(6)求解：

$\left[\begin{array}{c}{x}_f\\ y_f\\ z_f\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f\·\cos \left({\mathrm{\γ}}_1\right)\·\sin \left({\mathrm{\γ}}_2\right)\\ f\·\cos \left({\mathrm{\γ}}_1\right)\·\cos \left({\mathrm{\γ}}_2\right)\\ f\·\sin \left({\mathrm{\γ}}_1\right)\end{array}\right]---\left(6\right)$

式中，γ₁是进给方向与xoy平面的夹角，γ₂是进给方向在xoy面上的投影与oy轴的夹角。

(2)在建立的工件坐标系中沿平行于x轴的方向离散工件为一系列单元，每个单元两侧的面形成竖切平面，由刀具切削微元的运动轨迹方程得到刀具各个切削微元在切削运动中与竖切平面的交点，针对获得的交点保留同一x、y坐标处竖切平面上z值最低点，即工件在该点处加工后的轨迹点；

为了获得刀具切削过程中两侧与工件表面相交的轨迹线，需要求解刀具切削刃的位置角

的取值范围

求出

区间内各个

角对应的刀具切削轨迹线，这些切削轨迹线的集合就构成了刀具扫掠后的形貌；刀具沿x轴进给，y轴两侧最终留到工件表面的轨迹线分别为P₁P₁'和P₂P₂'，要想保证最外侧轨迹的存在，切削刃轨迹必须满足轨迹线与进给轴交点的坐标值大于刀具旋转一周的直线进给量f_p，由此得到式(7)：

上式得到的最小位置角

为满足条件的位置角

的最小值；

位置角

的最大位置角

的表达式如下：

式中β是辅助角，R是刀具半径，h是切削深度。

在本发明中辅助角β有几种情况需要分别讨论，假设

是曲面切削时各离散曲面段的法矢，

是平行于ox方向的矢量，刀具主轴与xoz平面的夹角是τ₁，刀具主轴与yoz平面的夹角是τ₂，那么

如果|τ₁|<|τ₂|，

且τ₂>0，那么β=γ₁+τ₂；

如果|τ₁|<|τ₂|，且τ₂<0，那么β=|γ₁+τ₂|；

如果|τ₁|<|τ₂|，且τ₂>0，那么β=|γ₁-τ₂|；

如果|τ₁|<|τ₂|，

且τ₂<0，那么β=γ₁+|τ₂|；

如果|τ₁|>|τ₂|，

且τ₁>0，那么β=γ₁+τ₁；

如果|τ₁|>|τ₂|，

且τ₁<0，那么β=|γ₁+τ₁|；

如果|τ₁|>|τ₂|，

且τ₁>0，那么β=|γ₁-τ₁|；

如果|τ₁|>|τ₂|，

且τ₁<0，那么β=γ₁+|τ₁|；

根据式(1)求得的刀具切削刃上任一切削微元P点随刀具旋转运动及进给运动时的一系列坐标值(x_i，y_i，z_i)后。在每一个过离散微元的竖切平面上，比较铣刀切削刃上切削微元P的z坐标值z_i和对应同一坐标(x_i，y_i)处工件表面点的位置关系，保留两者比较的最小z_i值即可获得对应于切削微元P在工件表面上的扫掠轨迹点。

(3)在刀具进行相邻刀步切削的过程中会切除在本次切削过程中形成一部分加工后的轨迹点，没有被切除的加工后的轨迹点将形成工件表面形貌。

根据刀触点坐标和铣削加工的切削行距求出相邻两切削行中的加工表面残高点，将相邻刀触点间加工后轨迹以及残高点投影到oz轴上，对于相邻切削行中相邻刀触点间的每一个切削行轨迹来说，oz轴上的投影在残高点投影和刀触点投影之间的点将会被保留而其余的点会被切除；对于第一次走刀和最后一次走刀还需要保留其加工后表面形貌边缘处所有轨迹点；保留下来的点即是刀具切削运动在工件上留下的最终轨迹，这些点最终会形成工件的加工后表面形貌。

采用上述方案后，本发明根据铣削加工刀具切削运动轨迹将球头铣刀刀具切削刃进行离散处理，建立球头铣刀切削刃上切削微元的切削运动轨迹方程；在建立的工件坐标系中沿平行于x轴的方向离散工件为一系列单元，每个单元两侧的面形成竖切平面，由刀具切削微元的运动轨迹方程得到刀具各个切削微元在切削运动中与竖切平面的交点，针对获得的交点保留同一x、y坐标处竖切平面上z值最低点，即工件在该点处加工后的轨迹点；刀具进行相邻刀步切削过程中会切除在本次切削过程中形成的一部分加工后轨迹点，没有被切除的加工后轨迹点将形成工件表面形貌，解决铣削加工过程中由刀具磨损引起的工件表面形貌问题。

附图说明

图1是本发明中球头切削刃离散示意图；

图2是本发明中球头铣刀切削微元切削轨迹示意图；

图3是本发明中铣削加工坐标变换示意图；

图4是本发明中刀具切削微元磨损前后变化示意图；

图5是本发明中进给速度分解示意图；

图6是本发明中分段直线拟合切削轨迹线的示意图；

图7是本发明中竖切平面上保留z值最低点的示意图；

图8是本发明中工件坐标系中沿y轴的形貌轨迹线示意图；

图9是本发明中生成的工件表面形貌示意图；

图10是本发明中生成的工件表面形貌示意图；

图中标号名称：1-第一切削刃；2-第二切削刃；3-工件理想表面；4-毛坯的表面；5-拟合切削轨迹线的分段直线；6-切削轨迹；7-保留下来的点；8-切除掉的点；9-相邻行切削保留下来的点；10-相邻行切削切除掉的点；11-沿y轴的刀具轨迹线；12-最终的加工后形成的工件表面形貌。

具体实施方式

以下将结合附图，对本发明的技术方案进行详细说明。

一种多轴铣削加工工件表面形貌建模方法，包括如下步骤：

(1)球头铣刀切削刃的离散，建立球头铣刀刀具切削刃切削微元的铣削轨迹方程。

根据铣削加工刀具切削运动轨迹将刀具球头部分切削刃离散为一系列切削微元，如图1所示为本发明中球头切削刃离散示意图，图中球头处所示的实线螺旋部分1和虚线螺旋部分2为球头铣刀的两条螺旋切削刃，点P为其中一条螺旋刃上的一个切削微元，O为球头部分中心，

为P点与球头中心O的连线与刀具主轴Z的夹角，即描述切削微元所在位置的角度称为位置角。由于不同切削微元在切削时线速度不同，且在加工过程中同时存在直线进给运动与自身绕刀具主轴的旋转运动，除球头铣刀刀尖外球头切削刃上其它切削微元的运动轨迹实际为一系列的次摆线。其中同一切削刃上两个不同位置角的切削微元的运动形成的切削轨迹如图2所示，实线表示球头铣刀切削刃上位置角为

的点的切削轨迹，虚线表示球头铣刀切削刃上位置角为

的点的切削轨迹。为了分析刀具切削刃的运动轨迹在工件上形成的形貌，以离散后的切削微元P点作为研究对象，通过分析切削微元P点在走刀过程中的运动轨迹，得到加工结束后点P在工件上最终留下的切削轨迹，去除在加工中被切除掉的轨迹线即得到最终构成工件形貌的轨迹。

建立如图3所示的工件坐标系o-xyz、刀具主轴坐标系o_T-x_Ty_Tz_T、工件上任一点的局部坐标系o_n-x_ny_nz_n。

其中，刀具主轴坐标系o_T-x_Ty_Tz_T随刀具一起做相对于工件的平移和旋转运动，单位时间的进给速度为f，其在工件坐标系下的ox、oy、oz方向上的分量分别是x_f、y_f、z_f。工件上任一点的局部坐标系o_n-x_ny_nz_n中o_nx_n，o_ny_n，o_nz_n轴分别与工件坐标系的ox，oy，oz轴的方向一致，其坐标原点o_n在工件坐标系下的坐标为(x_n,y_n,z_n)。

考虑直线运动和旋转运动，当刀具未发生磨损时，经过一系列的坐标变换，任一切削微元P点在工件坐标系下的理论切削轨迹方程如式(1)所示：

其中，x、y、z为切削微元P点经过一段时间的切削加工后的坐标，x_n、y_n、z_n为P点加工时的起始坐标，x_f、y_f、z_f为单位时间的刀具进给速度f在ox、oy、oz方向的分量，t为切削加工时间，γ为P点所处位置的螺旋滞后角，

β₀为刀具的最大螺旋角，

为P点所处的位置角

处的刀具径向半径， ₀为未磨损时的球头铣刀半径，ω为刀具主轴旋转角速度，

为P点与球头中心O的连线与刀具主轴Z的夹角，即为描述切削微元所在位置的角度称为位置角，M_R1、M_R2分别是刀具的旋转变换矩阵，分别由式(2)、(3)求解：

$M_{R1}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({\mathrm{\&tau;}}_1\right)& -\sin \left({\mathrm{\&tau;}}_1\right)& \\ \sin \left({\mathrm{\&tau;}}_1\right)& \cos \left({\mathrm{\&tau;}}_1\right)& \\ & & 1\end{array}\right]---\left(2\right)$

$M_{R2}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({\mathrm{\&tau;}}_2\right)& & -\sin \left({\mathrm{\&tau;}}_2\right)\\ & 1& \\ \sin \left({\mathrm{\&tau;}}_2\right)& & \cos \left({\mathrm{\&tau;}}_2\right)\end{array}\right]---\left(3\right)$

式中，τ₁是刀具主轴与工件坐标系的xoz平面的夹角，τ₂是刀具主轴与yoz平面的夹角。

当把加工过程中刀具磨损对刀具切削刃运动轨迹的影响考虑在内时，随着刀具不断磨损，刀具切削刃同一高度上的切削微元所对应的径向半径r及其所对应的位置角

都将发生变化。因此，当考虑加工过程中的刀具磨损量时，任一切削微元P点的切削轨迹可由式(4)表示：

其中，x'、y'、z'为切削微元P点经过一段时间的切削加工后的坐标，x_n、y_n、z_n为P点起始坐标，x_f、y_f、z_f为单位时间的刀具进给速度f在ox、oy、oz方向的分量，t为切削加工时间，γ为P点所处位置的螺旋滞后角，

β₀为刀具的最大螺旋角，

为P点所处的位置角

处的刀具磨损后的径向半径，

为切削微元P点所处的位置角

对应的高度，即切削微元所在的截平面高度，R₀为未磨损时的球头铣刀半径，ω为刀具主轴旋转角速度，

为P点与球头中心O的连线与刀具主轴Z的夹角，即为描述切削微元所在位置的角度称为位置角，M_R1、M_R2分别是刀具的旋转变换矩阵，分别由式(2)、(3)求解：

图4描述了铣刀切削刃上任意切削微元P点磨损前后的位置示意图，图中P'点是刀具切削微元P点磨损后的位置，R₀为未磨损时的球头铣刀半径，

为切削微元P点所处的位置角

对应的高度，VB为高度处刀具切削刃的后刀面磨损量，为切削微元磨损前的径向半径，

为刀具磨损后P点高度处的球头径向半径，由图4中的几何关系可知磨损后P点的径向半径

的求解如式(5)：

x_f、y_f、z_f为单位时间的刀具进给速度f在ox、oy、oz方向的分量，如图5所示，γ₁是进给速度f的进给方向与工件坐标系的xoy平面的夹角，γ₂是该进给速度的进给方向在xoy面上的投影与oy轴的夹角。由图5所示的几何关系可以得到x_f、y_f、z_f的求解如式(6)：

$\left[\begin{array}{c}{x}_f\\ y_f\\ z_f\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f\&CenterDot;\cos \left({\mathrm{\&gamma;}}_1\right)\&CenterDot;\sin \left({\mathrm{\&gamma;}}_2\right)\\ f\&CenterDot;\cos \left({\mathrm{\&gamma;}}_1\right)\&CenterDot;\cos \left({\mathrm{\&gamma;}}_2\right)\\ f\&CenterDot;\sin \left({\mathrm{\&gamma;}}_1\right)\end{array}\right]---\left(6\right)$

(2)在建立的工件坐标系中沿平行于x轴的方向离散工件为一系列单元，每个单元两侧的面形成竖切平面，结合刀具切削微元的运动轨迹方程得到刀具切削微元的运动轨迹与竖切平面的交点，保留同一坐标处竖切平面上z值的最低点，即是刀具切削刃在该点处的最终加工轨迹；

刀具切削刃的离散根据刀具加工时最大有效位置角

来离散，如错误！未找到引用源。所示，刀具切削时的最大有效位置角为

根据最大有效位置角

将切削刃平均分成若干个对应的位置角变换量近似相等的离散微元。规定在铣削中刀轴和被切削面的法矢平行时刀具切削工件的最大有效位置角为此时刀具切削刃的离散微元在xoy面上的投影中相邻间距最小的值记为Δs。离散工件为一系列单元，单元的间距等于或小于Δs，单元间距过小又会导致运算量增大，本发明中距单元的间距等于Δs。

为了获得刀具切削过程中两侧与工件表面相交的轨迹线，需要求解刀具切削刃的位置角

的取值范围

求出

区间内各个

角对应的刀具切削轨迹线，这些切削轨迹线的集合就构成了刀具扫掠后的形貌；如图2所示刀具沿x轴进给，y轴两侧最终留到工件表面的轨迹线分别为P₁P₁'和P₂P₂'，要想保证最外侧轨迹的存在，切削刃轨迹必须满足轨迹线与进给轴交点的坐标值大于刀具旋转一周的直线进给量f_p，由此得到式(7)：

上式得到的最小位置角为满足条件的位置角

的最小值；

如图6所示，位置角

的最大位置角

的表达式如下：

式中β是辅助角，R是刀具直径，h是切削深度。

图6和图7中的直线段是用来拟合曲面的实际加工直线段，其中图6是刀具主轴不发生偏摆时的加工情况，图7是刀具主轴沿着y轴发生偏摆时的加工情况，由这两幅图可见，刀具是否发生偏摆其有效的切削轨迹是不变的，只是刀具的有效切削半径发生了变化，在本发明中辅助角β有几种情况需要分别讨论，图6中显示了假设是曲面进给时各离散曲面段的法矢，

是平行于工件坐标系的ox轴方向的矢量，刀具主轴与xoz平面的夹角τ₁，刀具主轴与yoz平面的夹角τ₂，那么

如果|τ₁|<|τ₂|，

且τ₂>0，那么β=γ₁+τ₂；

如果|τ₁|<|τ₂|，

且τ₂<0，那么β＝|γ₁-|τ₂||；

如果|τ₁|<|τ₂|，

且τ₂>0，那么β=|γ₁-τ₂|；

如果|τ₁|<|τ₂|，且τ₂<0，那么β=γ₁+|τ₂|；

如果|τ₁|>|τ₂|，

且τ₁>0，那么β=γ₁+τ₁；

如果|τ₁|>|τ₂|，且τ₁<0，那么β=|γ₁-|τ₁||；

如果|τ₁|>|τ₂|，

且τ₁>0，那么β=|γ₁-τ₁|；

如果|τ₁|>|τ₂|，

且τ₁<0，那么β=γ₁+|τ₂|；

根据式(1)求得的刀具切削刃上任一切削微元P点随刀具旋转运动及进给运动时的一系列坐标值(x_i，y_i，z_i)后。在每一个过离散微元的竖切平面上，比较铣刀切削刃上切削微元P的z坐标值和对应同一坐标(x_i，y_i)处工件表面点的位置关系，保留两者比较的最小z_i值即可获得对应于切削微元P在工件表面上的扫掠轨迹。如图8所示为曲面上三条加工轨迹中心线的示意图，其中第一条轨迹只显示了第一次切削留下的轨迹，第二条轨迹显示了第一次和第二次切削留下的轨迹，第三条轨迹留下了第一次、第二次和第三次切削的切削轨迹。如图8所示针对获得的交点保留同一x、y坐标处竖切平面上z值最低点，即工件在该点处加工后的轨迹点；

(3)在刀具进行相邻刀步切削的过程中会切除在本次切削过程中形成表面形貌轨迹线的一部分，没有被切除的最外侧表面形貌轨迹线形成工件表面形貌。

根据刀触点坐标和铣削加工的切削行距求出相邻两切削行中的加工表面实际残高，图9中Q和Q'分别是相邻切削行I和II及相邻切削行II和III的残高，将相邻刀触点间的加工轨迹及残高投影到oz轴上，下面以相邻切削行I和II为例进行说明，对于切削行I中，以刀触点为界线将该切削行中的轨迹分成两部分：靠近切削行II的轨迹和远离切削行II的轨迹，对切削行I中靠近切削行II投影到oz轴上的轨迹来说，投影在残高投影和刀触点投影之间的轨迹将会被保留而其余的轨迹将会被切除；对切削行II来说，靠近切削行I投影到oz轴上的轨迹，投影在残高投影和刀触点投影之间的轨迹将会被保留而其余的轨迹将会被切除。如图9所示的空心圆点即是相邻行走刀过程中被切除掉的轨迹，实心圆点即是最终保留下来的轨迹。对于第一次走刀和最后一次走刀还需要保留其加工后表面形貌边缘处所有轨迹点，如图9中所示的最左侧和最右侧方块状的实心轨迹点。最终保留下来的即是刀具在工件上留下的最低点的刀具轨迹。从z轴俯视刀具切削轨迹如图10所示，空心点是在刀具切削过程中被切除掉的点，实心点是最终保留下来的点，即刀具切削运动在工件上留下的最外侧的轨迹。

以上实例仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明保护范围之内。

Claims (1)

1.一种多轴铣削加工工件表面形貌建模方法，其特征在于包括如下步骤：

(1)离散球头铣刀切削刃为一系列切削微元，分析铣削加工过程中球头铣刀切削刃运动轨迹，建立球头铣刀切削刃上切削微元的切削运动轨迹方程；每个离散微元与球心位置的连线和刀具主轴的夹角称离散微元的位置角，分析铣削加工过程中球头铣刀切削刃运动轨迹，不同位置角处的切削微元在切削时线速度不同，且这些切削微元在加工过程中同时存在着直线进给运动与自身绕刀具主轴的旋转运动；因此，除刀具球头刀尖点外球头切削刃上其它切削微元的运动轨迹将形成一系列的次摆线；为了分析刀具切削刃的运动轨迹在工件上形成的形貌，以离散后的切削微元P点作为研究对象，通过分析切削微元P点在走刀过程中的运动轨迹，得到点P在工件上最终留下的切削轨迹；考虑直线运动和旋转运动，当刀具未发生磨损时，任一切削微元P点在工件坐标系中的理论切削轨迹方程如式(1)所示：

其中，x、y、z为切削微元P点经过一段时间的切削加工后的坐标，x_n、y_n、z_n为P点起始坐标，x_f、y_f、z_f为单位时间的刀具进给速度f在ox、oy、oz方向的分量，t为切削加工时间，γ为P点所处位置的螺旋滞后角，

β₀为刀具的最大螺旋角，

为P点所处位置角

处的刀具径向半径，

R₀为未磨损时的球头铣刀半径，ω为刀具主轴旋转角速度，

为P点与球头中心O的连线与刀具主轴Z的夹角，即为描述切削微元所在位置的位置角，h是刀具的切削深度，亦是M_R1、M_R2分别是刀具的旋转变换矩阵，分别由式(2)、(3)求解：

$M_{R1}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({\mathrm{\&tau;}}_1\right)& -\sin \left({\mathrm{\&tau;}}_1\right)& \\ \sin \left({\mathrm{\&tau;}}_1\right)& \cos \left({\mathrm{\&tau;}}_1\right)& \\ & & 1\end{array}\right]---\left(2\right)$

$M_{R2}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({\mathrm{\&tau;}}_2\right)& & -\sin \left({\mathrm{\&tau;}}_2\right)\\ & 1& \\ \sin \left({\mathrm{\&tau;}}_2\right)& & \cos \left({\mathrm{\&tau;}}_2\right)\end{array}\right]---\left(3\right)$

式中，τ₁是刀具主轴与xoz平面的夹角，τ₂是刀具主轴与yoz平面的夹角；

当把加工过程中刀具磨损对刀具切削刃运动轨迹的影响考虑在内时，随着刀具不断磨损，刀具切削刃同一高度上的切削微元所对应的径向半径r及其所对应的位置角

都将发生变化；因此，当考虑加工过程中的刀具磨损量时，任一切削微元P点的切削轨迹可由式(4)表示：

其中，x'、y'、z'为考虑刀具磨损时切削微元P点经过一段时间的切削加工后的坐标，x_n、y_n、z_n为P点起始坐标，x_f、y_f、z_f为单位时间的刀具进给速度f在ox、oy、oz方向的分量，t为切削加工时间，γ为P点所处位置的螺旋滞后角，

β₀为刀具的最大螺旋角，为P点所处的位置角

处的刀具磨损后的径向半径，

为切削微元P点所处的位置角

对应的高度，即切削微元所在的截平面高度，R₀为未磨损时的球头铣刀半径，ω为刀具主轴旋转角速度，

为P点与球头中心O的连线与刀具主轴Z的夹角，即为描述切削微元所在位置的位置角，M_R1、M_R2分别是刀具的旋转变换矩阵，分别由式(2)、(3)求解：

为刀具磨损后P点高度处的球头径向半径，由式(5)求解：

式中，R₀为刀具未磨损时的球头铣刀半径，

为切削微元P点所处的位置角

对应的高度，VB为

高度处刀具切削刃的后刀面磨损量；

x_f、y_f、z_f为刀具进给速度f在ox、oy、oz方向的分量，由式(6)求解：

$\left[\begin{array}{c}{x}_f\\ y_f\\ z_f\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f\&CenterDot;\cos \left({\mathrm{\&gamma;}}_1\right)\&CenterDot;\sin \left({\mathrm{\&gamma;}}_2\right)\\ f\&CenterDot;\cos \left({\mathrm{\&gamma;}}_1\right)\&CenterDot;\cos \left({\mathrm{\&gamma;}}_2\right)\\ f\&CenterDot;\sin \left({\mathrm{\&gamma;}}_1\right)\end{array}\right]---\left(6\right)$

式中，γ₁是进给方向与xoy平面的夹角，γ₂是进给方向在xoy面上的投影与oy轴的夹角；

(2)在建立的工件坐标系中沿平行于x轴的方向离散工件为一系列单元，每个单元两侧的面形成竖切平面，由刀具切削微元的运动轨迹方程得到刀具各个切削微元在切削运动中与竖切平面的交点，针对获得的交点保留同一x、y坐标处竖切平面上z值最低点，即工件在该点处加工后的轨迹点；

为了获得刀具切削过程中两侧与工件表面相交的轨迹线，需要求解刀具切削刃的位置角

的取值范围

求出

区间内各个

角对应的刀具切削轨迹线，这些切削轨迹线的集合就构成了刀具扫掠后的形貌；刀具沿x轴进给，y轴两侧最终留到工件表面的轨迹线分别为P₁P₁'和P₂P₂'，要想保证最外侧轨迹的存在，切削刃轨迹必须满足轨迹线与进给轴交点的坐标值大于刀具旋转一周的直线进给量f_p，由此得到式(7)：

上式得到的最小位置角

为满足条件的位置角

的最小值；

位置角的最大位置角的表达式如下：

式中β是辅助角，R是刀具半径，h是切削深度；

在本发明中辅助角β有几种情况需要分别讨论，假设是曲面切削时各离散曲面段的法矢，

是平行于ox方向的矢量，刀具主轴与xoz平面的夹角是τ₁，刀具主轴与yoz平面的夹角是τ₂，那么：

如果|τ₁|<|τ₂|，

且τ₂>0，那么β=γ₁+τ₂；

如果|τ₁|<|τ₂|，

且τ₂<0，那么β=|γ₁+τ₂|；

如果|τ₁|<|τ₂|，

且τ₂>0，那么β=|γ₁-τ₂|；

如果|τ₁|<|τ₂|，且τ₂<0，那么β=γ₁+|τ₂|；

如果|τ₁|>|τ₂|，

且τ₁>0，那么β=γ₁+τ₁；

如果|τ₁|>|τ₂|，

且τ₁<0，那么β=|γ₁+τ₁|；

如果|τ₁|>|τ₂|，

且τ₁>0，那么β=|γ₁-τ₁|；

如果|τ₁|>|τ₂|，

且τ₁<0，那么β=γ₁+|τ₁|；

根据式(1)求得的刀具切削刃上任一切削微元P点随刀具旋转运动及进给运动时的一系列坐标值(x_i，y_i，z_i)后；在每一个过离散微元的竖切平面上，比较铣刀切削刃上切削微元P的z坐标值z_i和对应同一坐标(x_i，y_i)处工件表面点的位置关系，保留两者比较的最小z_i值即可获得对应于切削微元P在工件表面上的扫掠轨迹点；

(3)在刀具进行相邻刀步切削的过程中会切除在本次切削过程中形成一部分加工后的轨迹点，没有被切除的加工后的轨迹点将形成工件表面形貌；

根据刀触点坐标和铣削加工的切削行距求出相邻两切削行中的加工表面残高点，将相邻刀触点间加工后轨迹以及残高点投影到oz轴上，对于相邻切削行中相邻刀触点间的每一个切削行轨迹来说，oz轴上的投影在残高点投影和刀触点投影之间的点将会被保留而其余的点会被切除；对于第一次走刀和最后一次走刀还需要保留其加工后表面形貌边缘处所有轨迹点；保留下来的点即是刀具切削运动在工件上留下的最终轨迹，这些点最终会形成工件的加工后表面形貌。

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