CN117371137A - 基于sqp的球头铣刀多轴铣削表面形貌快速预测方法 - Google Patents

Abstract

一种基于SQP的球头铣刀多轴铣削表面形貌快速预测方法，通过建立球头铣刀多轴铣削模型，位于瞬时扫掠多边形内部的工件表面网格点，采用SQP求解网格点对应的切削刀齿点及切削时刻并更新工件网格点高度，进而得到球头铣刀多轴铣削表面形貌。本发明不需要离散刀齿，时间离散微元也不需要精细控制，在保证表面形貌预测精度的同时，可大幅提高计算效率。

Description

基于SQP的球头铣刀多轴铣削表面形貌快速预测方法

技术领域

本发明涉及的是一种铣削加工领域的技术，具体是一种基于顺序二次规划算法(SQP)的球头铣刀多轴铣削表面形貌快速预测方法。

背景技术

球头铣刀多轴铣削广泛应用于航空航天、汽车船舶等领域的复杂曲面零件加工，但由于球头铣刀切削刃的复杂几何结构，且在多轴加工中刀具位姿多变，使得球头铣刀多轴铣削表面形貌预测困难。现有技术需要同时离散工件表面、刀齿、时间，遍历计算各时间微元下的各刀齿微元位置，从而更新工件网格点的高度。为了达到较高的形貌仿真精度，需要耗费大量的计算时间。

发明内容

本发明针对现有技术将仅关注刀尖点的空间位置与姿态，并未考虑球刀复杂的刀刃结构的不足，提出一种基于SQP的球头铣刀多轴铣削表面形貌快速预测方法，该方法不需要离散刀齿，时间离散微元也不需要精细控制，在保证表面形貌预测精度的同时，可大幅提高计算效率。

本发明是通过以下技术方案实现的：

本发明涉及一种基于SQP的球头铣刀多轴铣削表面形貌快速预测方法，通过建立球头铣刀多轴铣削模型，位于瞬时扫掠多边形内部的工件表面网格点，采用SQP求解网格点对应的切削刀齿点及切削时刻并更新工件网格点高度，进而得到球头铣刀多轴铣削表面形貌。

所述的建立球头铣刀多轴铣削模型是指：根据球头铣刀的几何形状、刀具位姿和切削刀路建立球头铣刀多轴铣削的运动轨迹方程；对切削时间进行离散处理，结合刀齿与工件的切触角范围，建立球头铣刀瞬时扫掠多边形。

所述的建立球头铣刀多轴铣削的运动轨迹方程，具体包括：

1)分别建立工件坐标系(全局坐标系){W}、主轴坐标系{S}、刀具坐标系{C}和刀齿坐标系{J}。

2)在刀齿坐标系{J}下，建立球头铣刀几何形状的参数化方程

其中：R为刀具半径，θ为刀刃j上刀齿点P的位置角，ψ为滞后角。

3)在刀具坐标系{C}下，建立描述刀具旋转的齐次坐标变换矩阵

其中：/>为当前时刻刀齿与刀具坐标系X轴正方向的夹角，它同时包含刀齿之间的夹角和刀具旋转角。

4)在主轴坐标系{S}下，建立描述刀具位姿的齐次坐标变换矩阵

其中：α和β分别为刀具的侧倾角和前倾角。

同样在主轴坐标系下，建立描述刀具平移的齐次坐标变换矩阵。

其中，[x₀y₀z₀]为球头铣刀初始的球心位置，w_h为工件初始高度，a_p为轴向切深。t₂为当前进给次序下的进给时刻，f_SX(t₂)，f_SY(t₂)为刀具在X、Y方向上平移的位置。

以单向直线进给为例，建立描述刀具平移的齐次坐标变换矩阵 其中：q为进给次序，f_p为进给间距，v_f为进给速度。

以往复进给为例，建立描述刀具平移的齐次坐标变换矩阵 其中：q为进给次序，f_p为进给间距，v_f为进给速度，Ly为每次走刀时刀具在进给方向上的走刀长度。

5)基于齐次坐标变换，建立球头铣刀多轴铣削的运动轨迹方程

所述的建立球头铣刀瞬时扫掠多边形，具体包括：

a)通过切削时间微元Δt对切削时间离散化；

b)在当前时间微元内，根据刀具位姿、轴向切深、工件表面形状，计算刀齿与工件的切触角范围[θ_min,θ_max]。

c)计算球头铣刀瞬时扫掠多边形的顶点，并按顺序排列各顶点，以形成封闭的瞬时扫掠多边形其中：/>t_c为仿真时刻。

所述的位于瞬时扫掠多边形内部的工件表面网格点，即判断每个时间微元内被铣削到的工件网格点，具体包括：

i)离散工件表面：在x-y平面将工件表面划分为m×n个网格，以矩阵

Z[ii,jj],(ii＝1,2,...,m+1,jj＝1,2,...,n+1)存储工件各网格点的高度信息。

ii)在每个时间微元内，采用叉乘判别法，判断每个工件网格点是否在球头铣刀瞬时扫掠多边形内，在瞬时扫掠多边形内部和边上的工件网格点，即为该时间微元内被铣削到的工件网格点。

所述的采用叉乘判别法是指：以矢量描述球头铣刀瞬时扫掠多边形每条边，将扫掠多边形顶点与待求工件网格点组成的矢量，与每条边适量做叉积，叉积结果组成一个集合；当集合中每一个元素的符号都为正，则工件网格点在瞬时扫掠多边形内；当集合中有一个元素为0，则工件网格点在瞬时扫掠多边形上；当集合中有一个元素为负，则工件网格点在瞬时扫掠多边形外。

所述的采用SQP求解网格点对应的切削刀齿点及切削时刻，具体为：将联合工件网格点的x、y坐标与球头铣刀多轴铣削运动轨迹方程建立非线性方程组；基于切削时间约束和切触角范围约束，将非线性方程组转化为优化问题后，当联立工件网格点的x、y坐标与球头铣刀多轴铣削运动轨迹方程的非线性方程组有解时，优化问题的目标函数值为0，通过SQP计算得到该网格点对应的切削刀齿点及切削时刻。

所述的更新是指：将切削刀齿点及切削时刻代入球头铣刀多轴铣削模型，更新该网格点的z坐标。

技术效果

本发明根据球头铣刀的几何形状、刀具位姿和切削刀路，建立球头铣刀多轴铣削的运动轨迹方程；离散切削时间，结合刀齿与工件的切触角范围，建立球头铣刀瞬时扫掠多边形；离散工件表面，判断每个时间微元内被铣削到的工件网格点；联合工件网格点的x、y坐标与球头铣刀多轴铣削运动轨迹方程，采用序列二次规划(SQP)算法求解该网格点对应的切削刀齿点及切削时刻，并将其代入运动轨迹方程，更新该网格点的z坐标；遍历切削时间，并在每个时间微元内更新工件被切削的网格点高度信息，得到球头铣刀多轴铣削表面形貌。

相比现有技术，本发明能够直观地表征多轴铣削加工时的球头铣刀切削状态的同时，大幅缩减了计算规模并避免了工件表面欠切失真现象。通过工件网格点对应的准确切削刀齿点及切削时刻，从而精确更新各工件网格点高度信息。此外，本发明不需要离散刀齿，时间离散微元也不需要精细控制，在保证表面形貌预测精度的同时，可大幅提高计算效率。

附图说明

图1为本发明流程图；

图2为本发明中参考坐标系示意图；

图3为本发明中刀具位姿及刀具平移示意图；

图4为本发明中判断被铣削到的工件网格点示意图；

图5为本发明中头铣刀多轴铣削表面形貌算法框图；

图6为实施例中球头铣刀多轴铣削表面形貌仿真结果图；

图7为实施例与现有技术、实测形貌对比图。

具体实施方式

如图1所示，为本实施例涉及一种基于SQP算法的球头铣刀多轴铣削表面形貌快速预测方法，包括如下步骤：

第一步、根据球头铣刀的几何形状、刀具位姿和切削刀路，建立球头铣刀多轴铣削的运动轨迹方程，具体包括：

1.1)建立参考坐标系，如图1所示：工件坐标系(全局坐标系){W}；主轴坐标系{S}，刀具坐标系{C}，刀齿坐标系{J}。

1.2)在刀齿坐标系{J}下，建立球头铣刀几何形状的参数化方程 其中：R为刀具半径，取5mm，θ为刀刃j上刀齿点P的位置角，范围在[0,pi]。铣刀刀齿2刃。ψ＝tanγ₀(1-cosθ)为滞后角，γ₀＝35°为球头铣刀螺旋角。

1.3)在刀具坐标系{C}下，建立描述刀具旋转的齐次坐标变换矩阵 其中：/>为当前时刻刀齿与刀具坐标系X轴正方向的夹角，它同时包含刀齿之间的夹角和刀具旋转角。/>刀齿数N＝2，ω为主轴转速，取3000r/min，t₁为当前仿真时刻。

1.4)如图2所示，在主轴坐标系{S}下，建立描述刀具位姿的齐次坐标变换矩阵其中：α和β分别为刀具的侧倾角和前倾角，取α＝0°，β＝30°。

以单向直线进给为例，建立描述刀具平移的齐次坐标变换矩阵

其中：[x₀ y₀ z₀]为球头铣刀初始的球心位置，取[0,0,0]。q为进给次序，由刀具直径和工件尺寸共同决定。f_p为进给间距，取0.4mm。进给速度v_f＝ωf_zN，f为每齿进给量，取0.2mm/(rz)。t₂为当前进给次序下的进给时刻。w_h为工件初始高度，取0mm。a_p为轴向切深，取0.5mm。

1.5)基于齐次坐标变换，建立球头铣刀多轴铣削的运动轨迹方程，具体为：

第二步、离散切削时间，结合刀齿与工件的切触角范围，建立球头铣刀瞬时扫掠多边形，具体包括：

2.1)离散切削时间，切削时间微元为Δt,取1×10^-3s。

2.2)在当前时间微元内，根据刀具位姿、轴向切深、工件表面形状，计算刀齿与工件的切触角范围[θ_min,θ_max]。

2.3)计算球头铣刀瞬时扫掠多边形的顶点，并按顺序排列各顶点，以形成封闭的瞬时扫掠多边形，具体为：其中：t_c为仿真时刻。

第三步、离散工件表面，判断每个时间微元内被铣削到的工件网格点，具体包括：

3.1)离散工件表面，在x-y平面将1.5mm×1.5mm工件表面划分为m×n个网格，以矩阵Z[ii,jj]存储工件各网格点的高度信息，其中：ii＝1,2,...,m+1,jj＝1,2,...,n+1。

本实施例中m＝100,n＝100。

3.2)采用叉乘判别法，判断工件网格点是否在球头铣刀瞬时扫掠多边形内，具体为：将球头铣刀瞬时扫掠多边形每条边矢量表示为将各顶点与待求工件网格点Q组成的矢量，与每条边矢量做叉积/>(当i＝4时，取P₅＝P₁)，叉积结果组成一个集合/>

根据矢量积的规律判断工件网格点与封闭瞬时扫掠多边形的关系，若集合A中每一个元素的符号都为正，则工件网格点在瞬时扫掠多边形内；，若集合A中有一个元素为0，则工件网格点在瞬时扫掠多边形上；若集合A中有一个元素为负，则工件网格点在瞬时扫掠多边形外。

3.3)在每个时间微元内，遍历求解所有工件网格点与球头铣刀瞬时扫掠多边形的关系。在瞬时扫掠多边形内部和边上的工件网格点，如图3所示，即为该时间微元内被铣削到的工件网格点。

第四步、联合工件网格点的x、y坐标与球头铣刀多轴铣削运动轨迹方程，采用序列二次规划算法求解该网格点对应的切削刀齿点及切削时刻，并将其代入运动轨迹方程，更新该网格点的z坐标，具体包括：

4.1)联合工件网格点的x、y坐标与球头铣刀多轴铣削运动轨迹方程，建立非线性方程组，具体为其中：x_ii,y_jj为工件网格点的x、y坐标，/> 为球头铣刀多轴铣削运动轨迹方程，t,θ为待求的该网格点切削时刻和对应的刀齿位置角。

4.2)引入切削时间约束和切触角范围约束，将非线性方程组转化为优化问题，具体为：当非线性方程组有解时，优化问题的目标函数值为0。

4.3)采用序列二次规划算法求解该优化问题，计算得到该网格点对应的切削刀齿点θ^*及切削时刻t^*。

4.4)将切削刀齿点θ^*、切削时刻t^*代入多轴铣削运动轨迹方程，计算该刀齿点的z坐标:

4.5)比较与该工件网格点的z坐标，取二者较小值更新工件网格点高度矩阵Z[ii,jj]。

以工件网格点(x_ii,y_jj)＝(0.84,0.11)为例，此时根据SQP算法求解的结果(t^*,θ^*)＝(0.0070,0.0128)，进而计算得到当工件网格点的z坐标为初始高度0mm，因而此网格点更新后的网格点高度为-2.4114μm。

第五步、如图4所示，遍历切削时间，并在每个时间微元内更新工件被切削的网格点高度信息，得到球头铣刀多轴铣削表面形貌，具体包括：

5.1)建立切削时间循环，遍历各时间微元；

5.2)建立刀齿数循环，在每个时间微元内，遍历各球头铣刀刀齿；

5.3)在每个刀齿数循环内，建立球头铣刀瞬时扫掠多边形，判断被铣削到的工件网格点；

5.4)建立工件网格点循环，求解被铣削到的工件网格点对应的切削刀齿点及切削时刻，并将其代入运动轨迹方程，更新各网格点的z坐标；

5.5)各循环结束后，得到如图5所示的球头铣刀多轴铣削表面形貌。

在此仿真参数下，现有的刀齿离散、时间离散的球头铣刀多轴铣削表面形貌预测方法耗时58分钟，而本方法耗时15分钟，效率提升74.1％。

以刀具半径R＝5mm，刀齿数N＝2，螺旋角γ₀＝35°的球头铣刀开展切削实验。实验参数设置如下：主轴转速ω＝3000r/min，工件表面尺寸1.5mm×1.5mm，。进给间距f_p＝0.4mm。每齿进给量f＝0.2mm/(rz)。工件初始高度w_h＝0mm。轴向切深a_p＝0.5mm。取工件表面中心线上的测量轮廓与仿真轮廓对比，见图7。可以发现，本方法与现有的球刀形貌仿真方法预测结果相同，整体趋势与实测形貌接近，幅值均均位于[-5，5]μm之间。说明本方法可以取得较好的球刀多轴铣削形貌预测结果。

与现有技术相比，本发明考虑球头铣刀多轴铣削加工时的刀具位姿和运动形式，以齐次坐标变换的方式，建立了描述球头铣刀多轴铣削加工的运动轨迹方程，能够直观地表征多轴铣削加工时的球头铣刀切削状态。本发明根据刀具与工件的切触关系建立了刀具瞬时扫掠多边形，采用叉乘判别法识别出各时间微元内被切削到工件网格点，大幅缩减了计算规模。本发明联合工件网格点的x、y坐标与球头铣刀多轴铣削运动轨迹方程，建立了带时间约束和切触范围约束的优化模型，避免了工件表面欠切失真现象。本发明采用二次序列规划法求解优化模型，获得了工件网格点对应的准确切削刀齿点及切削时刻，从而精确更新各工件网格点高度信息。本发明不需要离散刀齿，时间离散微元也不需要精细控制，在保证表面形貌预测精度的同时，可大幅提高计算效率。

上述具体实施可由本领域技术人员在不背离本发明原理和宗旨的前提下以不同的方式对其进行局部调整，本发明的保护范围以权利要求书为准且不由上述具体实施所限，在其范围内的各个实现方案均受本发明之约束。

Claims (9)

1.一种基于序列二次规划的球头铣刀多轴铣削表面形貌预测方法，其特征在于，通过建立球头铣刀多轴铣削模型，位于瞬时扫掠多边形内部的工件表面网格点，采用SQP求解网格点对应的切削刀齿点及切削时刻并更新工件网格点高度，进而得到球头铣刀多轴铣削表面形貌；

所述的建立球头铣刀多轴铣削模型是指：根据球头铣刀的几何形状、刀具位姿和切削刀路建立球头铣刀多轴铣削的运动轨迹方程；对切削时间进行离散处理，结合刀齿与工件的切触角范围，建立球头铣刀瞬时扫掠多边形。

2.根据权利要求1所述的球头铣刀多轴铣削表面形貌预测方法，其特征是，所述的建立球头铣刀多轴铣削的运动轨迹方程，具体包括：

1)分别建立工件坐标系(全局坐标系){W}、主轴坐标系{S}、刀具坐标系{C}和刀齿坐标系{J}；

2)在刀齿坐标系{J}下，建立球头铣刀几何形状的参数化方程 其中：R为刀具半径，θ为刀刃j上刀齿点P的位置角，ψ为滞后角；

3)在刀具坐标系{C}下，建立描述刀具旋转的齐次坐标变换矩阵 其中：/>为当前时刻刀齿与刀具坐标系X轴正方向的夹角，它同时包含刀齿之间的夹角和刀具旋转角；

4)在主轴坐标系{S}下，建立描述刀具位姿的齐次坐标变换矩阵 其中：α和β分别为刀具的侧倾角和前倾角；

同样在主轴坐标系下，建立描述刀具平移的齐次坐标变换矩阵 其中：[x₀ y₀ z₀]为球头铣刀初始的球心位置，w_h为工件初始高度，a_p为轴向切深，t₂为当前进给次序下的进给时刻，f_SX(t₂)，f_SY(t₂)为刀具在X、Y方向上平移的位置；

5)基于齐次坐标变换，建立球头铣刀多轴铣削的运动轨迹方程

3.根据权利要求2所述的球头铣刀多轴铣削表面形貌预测方法，其特征是，在单向直线进给时，步骤4)中建立描述刀具平移的齐次坐标变换矩阵 其中：q为进给次序，f_p为进给间距，v_f为进给速度；

在往复进给时，步骤4)中建立描述刀具平移的齐次坐标变换矩阵 其中：q为进给次序，f_p为进给间距，v_f为进给速度，L_y为每次走刀时刀具在进给方向上的走刀长度。

4.根据权利要求1所述的球头铣刀多轴铣削表面形貌预测方法，其特征是，所述的建立球头铣刀瞬时扫掠多边形，具体包括：

a)通过切削时间微元Δt对切削时间离散化；

b)在当前时间微元内，根据刀具位姿、轴向切深、工件表面形状，计算刀齿与工件的切触角范围[θ_min,θ_max]；

c)计算球头铣刀瞬时扫掠多边形的顶点，并按顺序排列各顶点，以形成封闭的瞬时扫掠多边形其中：/>t_c为仿真时刻。

5.根据权利要求1所述的球头铣刀多轴铣削表面形貌预测方法，其特征是，所述的位于瞬时扫掠多边形内部的工件表面网格点，即判断每个时间微元内被铣削到的工件网格点，具体包括：

i)离散工件表面：在x-y平面将工件表面划分为m×n个网格，以矩阵Z[ii,jj],(ii＝1,2,...,m+1,jj＝1,2,...,n+1)存储工件各网格点的高度信息；

ii)在每个时间微元内，采用叉乘判别法，判断每个工件网格点是否在球头铣刀瞬时扫掠多边形内，在瞬时扫掠多边形内部和边上的工件网格点，即为该时间微元内被铣削到的工件网格点。

6.根据权利要求5所述的球头铣刀多轴铣削表面形貌预测方法，其特征是，所述的采用叉乘判别法是指：以矢量描述球头铣刀瞬时扫掠多边形每条边，将扫掠多边形顶点与待求工件网格点组成的矢量，与每条边适量做叉积，叉积结果组成一个集合；当集合中每一个元素的符号都为正，则工件网格点在瞬时扫掠多边形内；当集合中有一个元素为0，则工件网格点在瞬时扫掠多边形上；当集合中有一个元素为负，则工件网格点在瞬时扫掠多边形外。

7.根据权利要求1所述的球头铣刀多轴铣削表面形貌预测方法，其特征是，所述的采用SQP求解网格点对应的切削刀齿点及切削时刻，具体为：将联合工件网格点的x、y坐标与球头铣刀多轴铣削运动轨迹方程建立非线性方程组；基于切削时间约束和切触角范围约束，将非线性方程组转化为优化问题后，当联立工件网格点的x、y坐标与球头铣刀多轴铣削运动轨迹方程的非线性方程组有解时，优化问题的目标函数值为0，通过SQP计算得到该网格点对应的切削刀齿点及切削时刻。

8.根据权利要求1所述的球头铣刀多轴铣削表面形貌预测方法，其特征是，所述的更新是指：将切削刀齿点及切削时刻代入球头铣刀多轴铣削模型，更新该网格点的z坐标。

9.根据权利要求1-8中任一所述的球头铣刀多轴铣削表面形貌预测方法，其特征是，具体包括：

第一步、根据球头铣刀的几何形状、刀具位姿和切削刀路，建立球头铣刀多轴铣削的运动轨迹方程，具体包括：

1.1)建立参考坐标系，工件坐标系(全局坐标系){W}；主轴坐标系{S}，刀具坐标系{C}，刀齿坐标系{J}；

1.2)在刀齿坐标系{J}下，建立球头铣刀几何形状的参数化方程 其中：R为刀具半径，取5mm，θ为刀刃j上刀齿点P的位置角，范围在[0,pi]，铣刀刀齿2刃，ψ＝tanγ₀(1-cosθ)为滞后角，γ₀＝35°为球头铣刀螺旋角；

1.3)在刀具坐标系{C}下，建立描述刀具旋转的齐次坐标变换矩阵 其中：/>为当前时刻刀齿与刀具坐标系X轴正方向的夹角，它同时包含刀齿之间的夹角和刀具旋转角，/>刀齿数N＝2，ω为主轴转速，取3000r/min，t₁为当前仿真时刻；

1.4)在主轴坐标系{S}下，建立描述刀具位姿的齐次坐标变换矩阵其中：α和β分别为刀具的侧倾角和前倾角，取α＝0°，β＝30°；

建立描述刀具平移的齐次坐标变换矩阵其中：[x₀y₀ z₀]为球头铣刀初始的球心位置，取[0,0,0]，q为进给次序，由刀具直径和工件尺寸共同决定，f_p为进给间距，取0.4mm，进给速度v_f＝ωf_zN，f为每齿进给量，取0.2mm/(rz)，t₂为当前进给次序下的进给时刻，w_h为工件初始高度，取0mm，a_p为轴向切深，取0.5mm；

1.5)基于齐次坐标变换，建立球头铣刀多轴铣削的运动轨迹方程，具体为：

第二步、离散切削时间，结合刀齿与工件的切触角范围，建立球头铣刀瞬时扫掠多边形，具体包括：

2.1)离散切削时间，切削时间微元为Δt,取1×10^-3s；

2.2)在当前时间微元内，根据刀具位姿、轴向切深、工件表面形状，计算刀齿与工件的切触角范围[θ_min,θ_max]；

2.3)计算球头铣刀瞬时扫掠多边形的顶点，并按顺序排列各顶点，以形成封闭的瞬时扫掠多边形，具体为：其中：t_c为仿真时刻；

第三步、离散工件表面，判断每个时间微元内被铣削到的工件网格点，具体包括：

3.1)离散工件表面，在x-y平面将1.5mm×1.5mm工件表面划分为m×n个网格，以矩阵Z[ii,jj]存储工件各网格点的高度信息，其中：ii＝1,2,...,m+1,jj＝1,2,...,n+1；

3.2)采用叉乘判别法，判断工件网格点是否在球头铣刀瞬时扫掠多边形内，具体为：将球头铣刀瞬时扫掠多边形每条边矢量表示为将各顶点与待求工件网格点Q组成的矢量，与每条边矢量做叉积/>当i＝4时，取P₅＝P₁，叉积结果组成一个集合/>

根据矢量积的规律判断工件网格点与封闭瞬时扫掠多边形的关系，若集合A中每一个元素的符号都为正，则工件网格点在瞬时扫掠多边形内；若集合A中有一个元素为0，则工件网格点在瞬时扫掠多边形上；若集合A中有一个元素为负，则工件网格点在瞬时扫掠多边形外；

3.3)在每个时间微元内，遍历求解所有工件网格点与球头铣刀瞬时扫掠多边形的关系，在瞬时扫掠多边形内部和边上的工件网格点，即为该时间微元内被铣削到的工件网格点；

第四步、联合工件网格点的x、y坐标与球头铣刀多轴铣削运动轨迹方程，采用序列二次规划算法求解该网格点对应的切削刀齿点及切削时刻，并将其代入运动轨迹方程，更新该网格点的z坐标，具体包括：

4.1)联合工件网格点的x、y坐标与球头铣刀多轴铣削运动轨迹方程，建立非线性方程组，具体为其中：x_ii,y_jj为工件网格点的x、y坐标，/> 为球头铣刀多轴铣削运动轨迹方程，t,θ为待求的该网格点切削时刻和对应的刀齿位置角；

4.2)引入切削时间约束和切触角范围约束，将非线性方程组转化为优化问题，具体为：当非线性方程组有解时，优化问题的目标函数值为0；

4.3)采用序列二次规划算法求解该优化问题，计算得到该网格点对应的切削刀齿点θ^*及切削时刻t^*；

4.4)将切削刀齿点θ^*、切削时刻t^*代入多轴铣削运动轨迹方程，计算该刀齿点的z坐标:

4.5)比较与该工件网格点的z坐标，取二者较小值更新工件网格点高度矩阵Z[ii,jj]；

第五步、遍历切削时间，并在每个时间微元内更新工件被切削的网格点高度信息，得到球头铣刀多轴铣削表面形貌，具体包括：

5.1)建立切削时间循环，遍历各时间微元；

5.2)建立刀齿数循环，在每个时间微元内，遍历各球头铣刀刀齿；

5.3)在每个刀齿数循环内，建立球头铣刀瞬时扫掠多边形，判断被铣削到的工件网格点；

5.4)建立工件网格点循环，求解被铣削到的工件网格点对应的切削刀齿点及切削时刻，并将其代入运动轨迹方程，更新各网格点的z坐标；

5.5)各循环结束后，得到球头铣刀多轴铣削表面形貌。