CN111459097A - 一种球头铣刀曲面加工接触区域的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种球头铣刀曲面加工接触区域的计算方法，通过定义瞬时加工坐标系和瞬时刀具坐标系，参数化描述曲面加工中球头铣刀与工件之间的相对位姿关系和铣削接触状态。分析了接触区域边界的形成原理，应用解析和数值的方法对边界曲线进行快速求解，建立了接触区域边界曲线模型，并通过加工试验和仿真实例对模型进行验证。结果表明，接触区域边界曲线模型能够高效准确地描述球头铣刀曲面加工中的接触区域。

Description

一种球头铣刀曲面加工接触区域的计算方法

技术领域

本发明涉及数控加工技术领域，具体为一种球头铣刀曲面加工接触区域计算方法。

背景技术

球头铣刀在曲面加工中具有良好的几何自适应能力且数控编程简单，被广泛应用于在航空航天、汽车、船舶、模具等领域内重要零件的曲面加工之中。在曲面加工过程中，刀具轴矢和进给路径不断变化，这使得刀具与工件的接触区域也不断变化。而铣削加工中刀具与工件的相互作用主要发生在接触区域内[郭明龙,魏兆成,王敏杰,李世泉,刘胜贤.自由曲面平头立铣刀五轴加工铣削力预报[J].机械工程学报,2019,55(07):225-233.]，因此，建立准确的接触区域模型是研究曲面加工中铣削力、加工振动以及刀具磨损等加工状态参数的基础。

现有关于接触区域模型的研究方法主要分为三种：基于布尔运算的实体仿真法、基于微元离散的Z-map仿真法以及基于解析和数值计算的边界曲线法。实体仿真法通过布尔运算确定刀具实体与工件实体的交叉重叠部分，是一种高精度求解刀具与工件接触区域的方法。Gong等建立了刀具和工件的三角网格模型，并通过布尔运算确定接触区域[GongX,Feng H Y.Cutter-workpiece engagement determination for general millingusing triangle mesh modeling[J].Journal of Computational Design andEngineering,2016,3(2):151-160.]。Li等基于圆弧与工件曲面求交的方法提取切触区域边界曲线，提出了一种通用的曲面加工切触区域建模方法[Li Z L,Zhu L M.An accuratemethod for determining cutter-workpiece engagements in five-axis milling witha general tool considering cutter runout[J].Journal of Manufacturing Scienceand Engineering,2018,140(2):021001.]。然而，实体仿真法需要不断计算和更新刀具与工件实体，并判断接触情况，使得计算量巨大，仿真效率低下。

Z-Map仿真法通常将刀具和工件向XY平面投影并离散成网格节点，并比较每个网格节点对应的Z坐标来判断两者的相交情况，从而确定切触区域[董永亨,李淑娟,李言,李鹏阳,杨振朝.基于改进Z-MAP算法的球头铣刀加工表面形貌仿真与试验研究[J].机械工程学报,2017,53(23):197-208.]。Dongming等利用Z-Map方法验证加工中与工件啮合的刀具刃线区间并校准切削系数，建立球头铣刀曲面加工的切削力模型[Dongming G,Fei R,Yuwen S.An approach to modeling cutting forces in five-axis ball-end millingof curved geometries based on tool motion analysis[J].Journal ofManufacturing Science and Engineering,2010,132(4):041004.]。Wei等利用逻辑数组改进Z-Map方法，用于确定曲面铣削中的切触区域[Wei Z C,Wang M J,Zhu J N,etal.Cutting force prediction in ball end milling of sculptured surface with Z-level contouring tool path[J].International Journal of Machine Tools andManufacture,2011,51(5):428-432.]。Z-Map法本质上是一种微元离散法，在仿真精度和效率之间存在矛盾。

边界曲线法通过分析刀具与工件之间几何关系，通过方程或者数值来描述接触区域的边界曲线[朱泽润.刀具姿态对切削力的影响机理与曲面加工策略优化[D].华中科技大学,2018.]。Kiswanto等在粗加工形成的台阶工件表面轮廓的基础上，建立解析的半精加工切触区域模型[Kiswanto G,Hendriko H,Duc E.An analytical method for obtainingcutter workpiece engagement during a semi-finish in five-axis milling[J].Computer-Aided Design,2014,55:81-93.]。然而该模型并不适用于连续铣削加工中基于前一刀轨加工来完成当前刀轨铣削的普遍工况。代月帮等运用了半解析法建立了球头铣刀端铣接触区域边界曲线模型[代月帮,魏兆成,李宏坤,张孟哲.基于接触区域的球头铣刀颤振稳定域预报方法研究[J].机械工程学报,2019,55(01):52-61.]，但是这种模型只适用于刀具沿直线进给的平面加工中，不满足曲面加工的需求。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的在于提供一种一种球头铣刀曲面加工接触区域计算模型，能够准确计算球头铣刀曲面加工过程中的接触区域，适应加工过程中刀具轴矢方向的任意变化。技术方案如下：

一种球头铣刀曲面加工接触区域计算方法，包括以下步骤：

步骤1：定义曲面加工坐标系

步骤11：定义工件坐标系O_W-X_WY_WZ_W，设其坐标轴单位矢量分别为i_W、j_W、k_W；

步骤12：定义瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M：以刀位点为坐标系原点，X_M轴与刀位点进给矢量v平行，Z_M轴与被加工曲面的瞬时法矢量n平行；定义其坐标轴在工件坐标系下的单位矢量为i_M、j_M、k_M；

步骤13：定义瞬时刀具坐标系O_T-X_TY_TZ_T：以刀位点为坐标原点，Z_T轴与刀轴矢量u平行，X_T轴同时与Z_M、Z_T轴垂直；定义其坐标轴在工件坐标系下的单位矢量为i_T、j_T、k_T；

步骤2：计算坐标轴单位矢量

瞬时加工坐标系各坐标轴单位矢量为：

瞬时刀具坐标系各坐标轴单位矢量为：

步骤3：确定坐标系变换关系

步骤31：将工件坐标系变换至瞬时加工坐标系

瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M与瞬时刀具坐标系O_W-X_WY_WZ_W之间的空间几何关系通过两坐标系各坐标轴矢量计算，设坐标平面X_MY_M与X_WY_W之间的夹角为δ_WM，则有：

δ_WM＝arccos(k_W·k_M) (3)

设坐标平面X_MY_M与X_WY_W交线矢量为s，设s与X_W轴的夹角为γ_WM，与X_M轴的夹角为ε_WM，则有：

s＝k_W×k_M (4)

γ_WM＝arccos(s·i_W) (5)

ε_WM＝arccos(i_M·s) (6)

设刀位点P_L在工件坐标系下的坐标为P_L(x_W,y_W,z_W)，则瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M由加工坐标系O_W-X_WY_WZ_W经过旋转和平移变换获得，变换时会产生两个过渡坐标系，记为O₁-X₁Y₁Z₁和O_M-X₂Y₂Z₂。齐次综合变换矩阵M_WM表示为：

式中：T_WM为平移变换矩阵；R_Z2(ε_WM)为绕Z₂轴旋转角度ε_WM的变换矩阵；R_X1(δ_WM)为绕X₁轴旋转角度δ_WM的变换矩阵；R_ZW(γ_WM)为绕Z_W轴旋转角度γ_WM的变换矩阵；

步骤32：将工件坐标系变换至瞬时加工坐标系

瞬时刀具坐标系O_T-X_TY_TZ_T与瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M原点重合，X_T轴与坐标平面X_TY_T和X_MY_M的交线共线，设坐标平面X_TY_T与X_MY_M之间的夹角为δ_MT，以及X_T轴与X_M轴的夹角为γ_MT，即：

δ_MT＝arccos(k_M·k_T) (8)

γ_MT＝arccos(i_M·i_T) (9)

坐标系O_M-X_MY_MZ_M经过渡矩阵O₃-X₃Y₃Z₃变换到O_T-X_TY_TZ_T的齐次综合变换矩阵M_MT表示为：

式中：R_X3(δ_MT)为绕X₃轴旋转角度δ_MT的变换矩阵；R_ZM(γ_MT)为绕Z_M轴旋转角度γ_MT的变换矩阵；

步骤4：构建球头铣刀曲面加工接触区域计算模型，设置刀具参数和加工参数，计算得到球头铣刀曲面加工接触区域；

所述构建球头铣刀曲面加工接触区域计算模型包括：

步骤41：定义接触区域边界曲线：

(1)将当前刀轨加工表面与刀具回转面相交形成的曲线定义为扫掠线；

(2)将前一相邻刀轨加工表面与当前刀具回转面相交而形成的曲线定义为轨间交线；

(3)将刀具回转面与未加工表面相交而成的曲线定义为曲面交线；

步骤42：接触区边界曲线计算

(1)扫掠线

扫掠线位于瞬时加工坐标系的Z_MO_MY_M平面，其参数方程为：

式中：θ_M为扫掠线上任意一点在瞬时加工坐标系下的纬度角；R为铣刀球头半径；

(2)轨间交线

当前刀位点P_L处刀具回转面的一般方程在瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M下表示为：

通过比较当前刀位点与前一相邻刀轨的刀位点坐标值筛选出扫掠线与当前刀具回转面相交的刀位点，设其中某一刀位点处扫掠线在其瞬时加工坐标系O'_M-X'_MY'_MZ'_M下的参数方程：

式中：θ′_M某一刀位点在其瞬时加工坐标系O'_M-X'_MY'_MZ'_M下的纬度角；

将前一相邻刀轨瞬时加工坐标系O'_M-X'_MY'_MZ'_M下的扫掠线参数方程变换到当前瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M下，即：

联立式(12)(13)与(14)获得关于θ'_M的一元非线性方程，利用数值方法求解θ'_M值，再结合式(13)和(14)计算出当前瞬时加工坐标系下的刀具回转面与前一相邻刀轨扫掠线的交点坐标；在获得足够多交点坐标后，对其进行B样条插值拟合，获得轨间交线：

式中：P_i为控制曲线的特征点坐标；N_i,k为k阶B样条基函数；m表示控制曲线特征点总数；

(3)曲面交线

设加工表面的微元近似平面由刀触点P_C处切平面沿着曲面法矢量n偏置法向切深a_p形成；则曲面交线在瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M下的参数方程为：

式中：

为曲面交线上任意一点在瞬时加工坐标系下的周向回转角。

本发明的有益效果是：本发明通过分析球头铣刀进行曲面加工过程中刀具与工件的接触特点，首先定义了便于定量描述刀具和工件接触以及刀具自身状态的瞬时加工坐标系和瞬时刀具坐标系；将接触区域根据形成原理划分为三条空间曲线，通过解析和数值计算的方式完成了求解；建模过程中综合考虑刀具空间位姿和进给方向的变化，能够准确计算球头铣刀曲面加工过程中的接触区域，适应加工过程中刀具轴矢方向的任意变化

附图说明

图1为曲面加工坐标系示意图。

图2为球头铣刀与工件的接触示意图。

图3为扫掠线示意图。

图4为轨间交线示意图。

图5为曲面交线示意图。

图6为加工与计算接触区域对比图。

图7为曲面加工仿真示意图。

图8为仿真接触区域仿真对比图；“o”为实体仿真模型；虚线为Z-Map模型；实线为边界曲线模型。

图9为边界曲线模型相对误差曲线图。

图10为工件表面曲率对接触区域模型相对误差的影响曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。具体包括以下步骤：

步骤1：曲面加工坐标系定义及变换

步骤11：坐标系定义

为了准确描述球头铣刀在加工中与工件的接触情况以及自身姿态，本发明建立随刀位点移动的瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M以及瞬时刀具坐标系O_T-X_TY_TZ_T，如图1所示。

(1)工件坐标系在数控编程时定义，记为O_W-X_WY_WZ_W，设其坐标轴单位矢量分别为i_W、j_W、k_W。

(2)瞬时加工坐标系：以刀位点为坐标系原点，X_M轴与刀位点进给矢量v平行，Z_M轴与被加工曲面的瞬时法矢量n平行。定义其坐标轴在工件坐标系下的单位矢量为i_M、j_M、k_M。

(3)瞬时刀具坐标系：瞬时刀具坐标系O_T-X_TY_TZ_T：以刀位点为坐标原点，Z_T轴与刀轴矢量u平行，X_T轴同时与Z_M、Z_T轴垂直。定义其坐标轴在工件坐标系下的单位矢量为i_T、j_T、k_T。

步骤12：坐标轴单位矢量计算

(1)瞬时加工坐标系各坐标轴单位矢量为：

(2)瞬时刀具坐标系各坐标轴单位矢量为：

步骤13：坐标系变换关系

(1)工件坐标系变换至瞬时加工坐标系

瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M与瞬时刀具坐标系O_W-X_WY_WZ_W之间的空间几何关系通过两坐标系各坐标轴矢量计算，设坐标平面X_MY_M与X_WY_W之间的夹角为δ_WM，则有：

δ_WM＝arccos(k_W·k_M) (19)

设坐标平面X_MY_M与X_WY_W交线矢量为s，设s与X_W轴的夹角为γ_WM，与X_M轴的夹角为ε_WM，则有：

s＝k_W×k_M (20)

γ_WM＝arccos(s·i_W) (21)

ε_WM＝arccos(i_M·s) (22)

设刀位点P_L在工件坐标系下的坐标为P_L(x_W,y_W,z_W)，则瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M可由加工坐标系O_W-X_WY_WZ_W经过旋转和平移变换获得，齐次综合变换矩阵M_WM可以表示为：

式中：T_WM为平移变换矩阵；R_Z2(ε_WM)为绕Z₂轴旋转角度ε_WM的变换矩阵；R_X1(δ_WM)为绕X₁轴旋转角度δ_WM的变换矩阵；R_ZW(γ_WM)为绕Z_W轴旋转角度γ_WM的变换矩阵；

(2)工件坐标系变换至瞬时加工坐标系

瞬时刀具坐标系O_T-X_TY_TZ_T与瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M原点重合，X_T轴与坐标平面X_TY_T和X_MY_M的交线共线，设坐标平面X_TY_T与X_MY_M之间的夹角为δ_MT，以及X_T轴与X_M轴的夹角为γ_MT，即：

δ_MT＝arccos(k_M·k_T) (24)

γ_MT＝arccos(i_M·i_T) (25)

坐标系O_M-X_MY_MZ_M到O_T-X_TY_TZ_T的齐次综合变换矩阵M_MT可表示为：

式中：R_X3(δ_MT)为绕X₃轴旋转角度δ_MT的变换矩阵；R_ZM(γ_MT)为绕Z_M轴旋转角度γ_MT的变换矩阵；

步骤2：球头铣刀曲面加工接触区域建模

步骤21：接触区域边界曲线定义

曲面加工时，球头铣刀与工件的瞬时接触情况如图2所示。

(1)将当前刀轨加工表面与刀具回转面相交形成的曲线定义为扫掠线；

(2)将前一相邻刀轨加工表面与当前刀具回转面相交而形成的曲线定义为轨间交线；

(3)将刀具回转面与未加工表面相交而成的曲线定义为曲面交线。

步骤22：接触区边界曲线计算

(1)扫掠线

球头铣刀回转面沿着刀具路径扫掠形成当前刀轨加工表面，扫掠线即刀具回转面在扫掠过程中垂直于进给方向的截面轮廓，为一段圆弧，位于瞬时加工坐标系的Z_MO_MY_M平面，如图3所示，可以直接写出参数方程：

式中：θ_M为扫掠线上任意一点在瞬时加工坐标系下的纬度角；R为铣刀球头半径。

(2)轨间交线

轨间交线的形成如图4所示，前一相邻刀轨扫掠线与当前刀具回转面的交点为轨间交线上的离散点。因此，通过计算轨间交线上的一系列离散点，再利用曲线拟合离散点即可获得轨间交线的数学模型。当前刀位点P_L处刀具回转面的一般方程在瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M下表示为：

通过比较当前刀位点与前一相邻刀轨的刀位点坐标值筛选出扫掠线与当前刀具回转面相交的刀位点，设其中某一刀位点处扫掠线在其瞬时加工坐标系O'_M-X'_MY'_MZ'_M下的参数方程：

将前一相邻刀轨瞬时加工坐标系O'_M-X'_MY'_MZ'_M下的扫掠线参数方程变换到当前瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M下，即：

联立式(12)(13)与(14)可获得关于θ'_M的一元非线性方程，利用数值方法(Newton-Raphson法)求解θ'_M值，再结合式(13)和(14)可以计算出当前瞬时加工坐标系下的刀具回转面与前一相邻刀轨扫掠线的交点坐标。在获得足够多交点坐标后，对其进行B样条插值拟合，即可获得轨间交线[Zhu Z,Peng F,Yan R,et al.High efficiencysimulation of five-axis cutting force based on the symbolically solvablecutting contact boundary model[J].The International Journal of AdvancedManufacturing Technology,2018,94(5-8):2435-2455.]：

式中：P_i为控制曲线的特征点坐标；N_i,k为k阶B样条基函数；m表示控制曲线特征点总数；

(3)曲面交线

曲面交线是刀具回转面与未加工表面的相交线。未加工表面可能是前一切削层走刀留下的加工表面，或者工件毛坯表面。对于前者，曲面交线可以利用上述求解轨间交线的方法求解。对于后者，有学者使用工件设计曲面的偏置曲面来近似描述未加工曲面[Wang XC,Ghosh S K,Li Y B,et al.Curvature catering-a new approach in manufacture ofsculptured surfaces(part 1.theorem)[J].Journal of Materials ProcessingTechnology,1993,38(1-2):159-175.]，是很好的工件未加工曲面近似模型。为了提高计算效率，基于微分离散思想简化局部未加工曲面，将其视为一系列微元平面的组合。采用刀触点微元切平面的偏置平面来近似描述局部未加工表面。如图5所示，未加工表面的微元近似平面由刀触点P_C处切平面沿着曲面法矢量n偏置法向切深a_p形成。则曲面交线在瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M下的参数方程为：

试验验证：

(1)球头铣刀曲面加工接触区域铣削试验验证，铣削试验加工参数如表1所示。

表1铣削试验加工参数

接触区域的边界曲线通过EURO-TECH PG 1000工具显微镜测量，测量与计算结果如图6所示，实际加工接触区域的测量与计算结果吻合良好。

(2)仿真验证

基于布尔运算的实体仿真法是公认的高精度、低效率的接触区域建模方法，Z-Map法则是一种精度稍逊而效率较高的建模方法。故以实体仿真模型和Z-Map模型为参考，对比分析本发明的准确性和计算效率。仿真参数如表2所示。

表2仿真加工参数

工件几何参数和刀轨如图7所示，参考线是一段位于工件底平面，半径为208mm的圆弧。接触区域边界曲线模型和Z-Map模型(网格大小为0.01mm)则利用Matlab完成仿真计算，三种模型的仿真全部在同一台计算机(Intel(R)Celeron(R)CPU G1840@2.80GHz，内存8GB)上进行。等距选取刀轨上16个刀位点，各个刀位点处通过三种模型仿真获得的接触区域形状和大小几乎一致。刀位点16处的仿真结果差异最大，如图8所示，但是该刀位点处三种模型仿真获得的接触区域边界仍然几乎重合，说明边界曲线模型与Z-Map模型都能有效仿真接触区域，且精度相近。

以实体仿真模型为基准，通过接触区域面积来定量分析边界曲线模型的相对误差。16个刀位点处的边界曲线模型相对误差如图9所示，相对误差均在3％以内，说明该模型具有较高的仿真精度。边界曲线模型的相对误差随刀位点变化而逐渐增大，且呈现一定规律性。而16个刀位点中，各刀位点处加工条件的差异主要体现在工件曲率不同，说明边界曲线模型的仿真精度受工件曲率影响。为了进一步分析工件曲率对边界曲线模型精度的影响程度，进行不同铣刀直径、工件曲率半径的加工仿真试验。仿真结果表明，边界曲线模型的仿真精度受工件曲率半径r和铣刀半径R共同影响。模型的相对误差与R/r值近似呈线性关系，而且当R/r<0.1时，边界曲线模型的相对误差在5％以内，如图10所示。

表3平均每个刀位点仿真耗时

完成图7所示加工仿真，三种模型平均每个刀位点仿真耗时如表3所示。在仿真精度相近时，边界曲线模型的计算效率最高，约为Z-Map模型的138倍。

Claims (1)

1.一种球头铣刀曲面加工接触区域计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：定义曲面加工坐标系

步骤11：定义工件坐标系O_W-X_WY_WZ_W，设其坐标轴单位矢量分别为i_W、j_W、k_W；

步骤12：定义瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M：以刀位点为坐标系原点，X_M轴与刀位点进给矢量v平行，Z_M轴与被加工曲面的瞬时法矢量n平行；定义其坐标轴在工件坐标系下的单位矢量为i_M、j_M、k_M；

步骤13：定义瞬时刀具坐标系O_T-X_TY_TZ_T：以刀位点为坐标原点，Z_T轴与刀轴矢量u平行，X_T轴同时与Z_M、Z_T轴垂直；定义其坐标轴在工件坐标系下的单位矢量为i_T、j_T、k_T；

步骤2：计算坐标轴单位矢量

瞬时加工坐标系各坐标轴单位矢量为：

瞬时刀具坐标系各坐标轴单位矢量为：

步骤3：确定坐标系变换关系

步骤31：将工件坐标系变换至瞬时加工坐标系

瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M与瞬时刀具坐标系O_W-X_WY_WZ_W之间的空间几何关系通过两坐标系各坐标轴矢量计算，设坐标平面X_MY_M与X_WY_W之间的夹角为δ_WM，则有：

δ_WM＝arccos(k_W·k_M) (3)

设坐标平面X_MY_M与X_WY_W交线矢量为s，设s与X_W轴的夹角为γ_WM，与X_M轴的夹角为ε_WM，则有：

s＝k_W×k_M (4)

γ_WM＝arccos(s·i_W) (5)

ε_WM＝arccos(i_M·s) (6)

设刀位点P_L在工件坐标系下的坐标为P_L(x_W,y_W,z_W)，则瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M由加工坐标系O_W-X_WY_WZ_W经过旋转和平移变换获得，变换时会产生两个过渡坐标系，记为O₁-X₁Y₁Z₁和O_M-X₂Y₂Z₂；齐次综合变换矩阵M_WM表示为：

式中：T_WM为平移变换矩阵；R_Z2(ε_WM)为绕Z₂轴旋转角度ε_WM的变换矩阵；R_X1(δ_WM)为绕X₁轴旋转角度δ_WM的变换矩阵；R_ZW(γ_WM)为绕Z_W轴旋转角度γ_WM的变换矩阵；

步骤32：将工件坐标系变换至瞬时加工坐标系

瞬时刀具坐标系O_T-X_TY_TZ_T与瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M原点重合，X_T轴与坐标平面X_TY_T和X_MY_M的交线共线，设坐标平面X_TY_T与X_MY_M之间的夹角为δ_MT，以及X_T轴与X_M轴的夹角为γ_MT，即：

δ_MT＝arccos(k_M·k_T) (8)

γ_MT＝arccos(i_M·i_T) (9)

坐标系O_M-X_MY_MZ_M经过渡矩阵O₃-X₃Y₃Z₃变换到O_T-X_TY_TZ_T的齐次综合变换矩阵M_MT表示为：

式中：R_X3(δ_MT)为绕X₃轴旋转角度δ_MT的变换矩阵；R_ZM(γ_MT)为绕Z_M轴旋转角度γ_MT的变换矩阵；

步骤4：构建球头铣刀曲面加工接触区域计算模型，设置刀具参数和加工参数，计算得到球头铣刀曲面加工接触区域；

所述构建球头铣刀曲面加工接触区域计算模型包括：

步骤41：定义接触区域边界曲线：

(1)将当前刀轨加工表面与刀具回转面相交形成的曲线定义为扫掠线；

(2)将前一相邻刀轨加工表面与当前刀具回转面相交而形成的曲线定义为轨间交线；

(3)将刀具回转面与未加工表面相交而成的曲线定义为曲面交线；

步骤42：接触区边界曲线计算

(1)扫掠线

扫掠线位于瞬时加工坐标系的Z_MO_MY_M平面，其参数方程为：

式中：θ_M为扫掠线上任意一点在瞬时加工坐标系下的纬度角；R为铣刀球头半径；

(2)轨间交线

当前刀位点P_L处刀具回转面的一般方程在瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M下表示为：

通过比较当前刀位点与前一相邻刀轨的刀位点坐标值筛选出扫掠线与当前刀具回转面相交的刀位点，设其中某一刀位点处扫掠线在其瞬时加工坐标系O'_M-X'_MY'_MZ'_M下的参数方程：

式中：θ′_M某一刀位点在其瞬时加工坐标系O'_M-X'_MY'_MZ'_M下的纬度角；

将前一相邻刀轨瞬时加工坐标系O'_M-X'_MY'_MZ'_M下的扫掠线参数方程变换到当前瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M下，即：

联立式(12)(13)与(14)获得关于θ'_M的一元非线性方程，利用数值方法求解θ'_M值，再结合式(13)和(14)计算出当前瞬时加工坐标系下的刀具回转面与前一相邻刀轨扫掠线的交点坐标；在获得足够多交点坐标后，对其进行B样条插值拟合，获得轨间交线：

式中：P_i为控制曲线的特征点坐标；N_i,k为k阶B样条基函数；m表示控制曲线特征点总数；

(3)曲面交线

设加工表面的微元近似平面由刀触点P_C处切平面沿着曲面法矢量n偏置法向切深a_p形成；则曲面交线在瞬时加工坐标系O_M-X_MY_MZ_M下的参数方程为：

式中：

为曲面交线上任意一点在瞬时加工坐标系下的周向回转角。

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