CN116467815A - 一种球头旋转锉的数控磨削轨迹计算方法 - Google Patents

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张剑
杨大治
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Abstract

本发明公开了一种球头旋转锉的数控磨削轨迹计算方法，具体为：首先对球头旋转锉的建模坐标系:工件坐标系及端刃坐标系进行了定义，并建立了加工坐标系—砂轮坐标系；其次，借助运动学理论，对球头旋转锉磨削过程进行了定义，将磨削过程分解为工艺参数表达，初始磨削位姿定义，以及磨削轨迹定义，以简化对磨削过程的定义，实现灵活地对球头旋转锉进行加工。本发明具有较好的刀具加工灵活性和加工精度。

Description

一种球头旋转锉的数控磨削轨迹计算方法
技术领域
本发明属于复杂回转刀具结构设计技术领域，尤其涉及一种球头旋转锉的数控磨削轨迹计算方法。
背景技术
何改云等提出了一种新的刀具加工轨迹优化方法，将曲面匹配方法应用于初始刀具加工轨迹的优化过程，并使用序列二次规划算法求解了曲面匹配问题[何改云,庞凯瑞,桑一村等.曲面匹配方法在刀具加工轨迹优化中的应用[J].工程设计学报,2019,26(2):190-196.]。Chen等提出了一种基于迭代的刀具螺旋槽参数控制算法，并在C++中做出了相应的算法实现[ZhanJi Chen,Wei He,Genghuang Liu etc.Iteration based calculationof position and orientation of grinding wheel for solid cutting tool flutegrinding[J].Journal of Manufacturing Processes,2018,36:209-215.]。B.Karpuschewski针对给定砂轮轮廓和螺旋槽的情况，提出了一种自动搜索砂轮位姿的方法[Karpuschewski B,Jandecka K,Mourek D etc.Automatic search for wheelposition in flute grinding of cutting tools[J].Cirp Annals-ManufacturingTechnology,2011,60(1):347-350.]。Lei Ren针对给定砂轮几何轮廓无法完全保证槽型参数的问题，提出了一种基于标准1V1/1A1砂轮的五轴磨削方法[Lei Ren,Shilong Wang,Lili Yi etc.An accurate method for five-axis flute grinding in cylindricalend-mills using standard 1V1/1A1 grinding wheels,Precision Engineering,2016,43:387-394]。Zhao等提出了一种基于最小距离算法的椭圆环面刀具的引导曲线刀具轨迹生成方法[Zhao Mingbo,Cai Yonglin,Wang Haitong etc.Elliptical torus cuttertool path generation based on minimum distance computation[J].Proceedings OfThe Institution Of Mechanical Engineers,Part C:Journal Of MechanicalEngineering Science,2021,235(24):7672-7684]。Xi针对曲面数控加工中基于投影法用圆环面刀具计算刀位点的效率问题，提出了一种用圆环面逼近待加工曲面直接计算刀位点的新算法[Xiaolin Xi,Yonglin Cai,Fenglei Wang etc.An efficient algorithm forcalculating the cutter location point based on projection method[J].International Journal Of Production Research,2018,56(4):1722-1731.]。Wu利用微分几何原理，给出了等螺旋角圆弧型球头铣刀切削刃的相关模型和仿真结果，并在此基础上，给出了制造模型反问题的求解方法[CT Wu,CK Chen,YY Tang etc.Modelling andcomputer simulation of grinding of the ball end type rotating cutter with aconstant helical angle[J].Proceedings Of The Institution Of MechanicalEngineers,Part B:Journal Of Engineering Manufacture,2001,215(11):1581-1594.]。
发明内容
对于球头旋转锉的加工，目前尚未有完整公开的参数化定义和参数化数控磨削轨迹算法。针对于球头旋转锉的磨削工艺，本发明提供一种球头旋转锉的数控磨削轨迹计算方法。
本发明的一种球头旋转锉的数控磨削轨迹计算方法，包括以下步骤：
步骤1：定义关键坐标系。
工件坐标系
定义工件坐标系Ow-XwYwZw作为坐标系统中的绝对坐标系；定义工件坐标系XwOwYw平面为周刃螺旋刃起点所在平面，坐标原点为XwOwYw平面与刀具轴线交点；坐标轴Zw与刀具回转轴同轴；坐标轴Xw交于起始螺旋刃线起点；Yw由右手定则确定。
端刃坐标系
定义端刃坐标系Od-XdYdZd轴Zd重合于刀具轴线，轴Xd平行于XwYw平面且交于周刃刃线端点，综合考虑刃线连续性以及建模过程简化，端刃坐标系相对工件坐标系存在相位角转换关系，以坐标轴Xd与Xw间的夹角表示，其函数关系表达为：
式中，Lz为端刃坐标系原点Od与工件坐标系平面XwYw的距离，Rw为XwYw平面内的毛坯半径，βw为周齿螺旋角，κw为刀具回转体母线与轴线的夹角。
由坐标表达要求可知，需将端刃坐标系下的端刃刃线表达转换至工件坐标系下表示，故存在端刃坐标系到工件坐标系转换关系如矩阵Md→w所示：
式中，为周刃末点螺旋角，Lw为周刃长度。
砂轮坐标系
定义砂轮坐标系原点OG为刃线上沿工件坐标系Zw正方向移动的动点，XG轴交于刀具轴线；YG与螺旋刃线相切。
步骤2：周刃刃线模型建立。
首先定义刀具毛坯上一以螺旋前进方式的动点P的运动轨迹为刃线，建立旋转锉周刃刃线以轴向位移zp为自变量的参数化方程表达式如下：
式中，为自变量zp对应的周刃回转角。
定义旋转锉刃线数量为N，定义相邻两刃之间的角度为分度角其取决于定义的刃线组数Ng和组内刃数Nb，且N＝Ng·Nb，规定分区型旋转锉N不为质数；分度角/>的函数表达如下所示：
联立式(3)、(4)建立旋转锉周刃上点P的轨迹Ptracks表达如式(5)所示：
式中，n表示自工件坐标系Xw轴起始逆时针方向的第n条刃线。
步骤3：端刃刃线模型建立；
采用球坐标的方式对球头刃线进行参数化建模，将端刃坐标系原点置于端刃结构中心，以Xd轴作为球坐标自变量及回转角度的基准参照，为统一坐标表达形式，同时考虑刀位点的表达形式均为三维坐标，所以最后将球坐标系下的极坐标表达转化形成三维坐标系下的表达形式；采用投影的方式分别做端刃坐标轴Zd的垂线及齿偏h圆柱的切线，分别球头刃线相交形成的轨迹为无齿偏刃线及具有齿偏h的刃线，统一以球坐标形式构建的刃线方程如下所示：
式中，为端刃螺旋角，θs为纬度角，齿偏量0<h<Rscosκw，Rs为球头半径。
自变量受齿偏量及周刃锥度影响，将其回转到平面Mxz中可得自变量θs取值范围如下：
θs∈(κ,arccos(h/Rs)) (7)
将球坐标系下的球头端刃刃线表达为如式(8)所示的三维坐标：
步骤4：刃线分区控制模型建立。
将球头刃线按组进行划分，每组刃线由一个过球头顶点的主切削刃和若干副切削刃组成；定义第i副切削刃终点距离坐标原点的长度为刃过量li，偏离圆心的距离为hi，靠近球头刃顶点处刃线的疏密程度主要受刃偏量hi的影响。
由于球头第i，i＝1,2…Nb-1副切削刃起始回转角的存在，一组内任意主、副切削刃末点延长线在投影平面XdOdYd内必然相交，易知一组刃线内第i副切削刃相交点距离坐标原点Od的长度即为刃过中心量li，交点为Pu_i，为建立主切削刃与副切削刃相对位置的函数关系，需要首先确定主、副刃线末点相交所形成的夹角∠Pu_i；通常主切削刃末点位于旋转锉顶点，由式(8)求导得端刃坐标系下主切削刃末点切矢量，即为无齿偏情况下，θs＝90°时的刃线切矢量，其投影在坐标平面XdOdYd中的单位矢量FP-end如式(9)所示：
对于第i副切削刃末点矢量的求取，由式(10)得到，对于分区型旋转锉，其求取一组刃线内的角度参数即可；
式中，θ(hi)为第i副切削刃对应的自变量θs上限，且θ(hi)＝arccos(hi/Rs)，hi为第i个副切削刃的刃偏量，0≤i≤Nb。
联立式(9)、(10)进一步求得一组刃线内主切削刃与第i副切削刃末点切矢量在投影平面内的夹角∠Pu_i为：
由刃偏刃线成形方法可知，其末点切于以端刃坐标系原点Od为圆心的齿偏hi圆环，故可构成直角三角形ΔPh_end_iPu_iPend，根据直角三角正切关系可构建如下所示函数关系：
式中，hi为同一刃线组内第i个副切削刃刃偏量，li为交点Pu_i与主切削刃Pend末点距离。
由式(9)～(12)联合求解可得关于变量θ(hi)，hi以及li的数学模型，如式(13)所示：
式中，θ(hi)＝arccos(hi/Rs)，故该式为仅和hi及li相关的函数关系式。
进一步选取li作为刃线分区的控制量，选取hi作为刃线疏密的因变参数，为实现对各副切削刃分区布置进行统一的控制，规定一组内各个副切削刃于端刃坐标系平面内均交主切削上于同一点Pm，并以主切削刃的齿过量lm作为分区控制量进行球头刃线分区的控制；故依次在XdOdYd坐标平面内计算同组刃线第i副切削刃的刃偏量hi，使得各副切削刃末点延长线交于主刃延长线于Pm点处。
求解刃偏量hi的取值范围如式(14)所示：
0≤hi＜Rscosκw,κw∈(-90,90) (14)
步骤5：刃线参数求解。
首先，将设定的分区控制参数lm带入式(12)中求解分区模型中第i副切削刃刃偏参数hi，i＝1,2,3…，并由式(6)进一步确定球头刃线第i个副切削刃函数方程如式(15)所示：
分区球头旋转锉刃线组数Ng和组内刃数Nb可知，任意两主切削刃间的相位角为任意两相邻刃线相位角/>以及主切屑削刃上回转角/>由球坐标系下求相交刃线点对应副切削刃自变量区间上限θmax-i，联立式(6)、(15)求取球坐标下的交点Pmax-i，i＝1,2…Nb-1)如式(16)所示：
式中， 为主切削刃螺旋线经度角；则有分区型球头旋转锉刃线磨削自变量θs-i区间为：
κw≤θs-i≤θmax-i (17)
步骤6：砂轮磨削运动模型。
(1)磨削运动定义及砂轮回转面模型：
旋转锉容屑槽的加工采用1V1/1A1平行砂轮磨削，磨削过程可视为：工件固定不动，砂轮以一初始磨削位姿沿螺旋刃线磨削运动的方式。
砂轮回转轮廓的数学模型在砂轮坐标系下建立，将砂轮大端面圆心与砂轮坐标系原点重合，以及将砂轮回转轴线与砂轮坐标系ZG重叠，沿砂轮坐标系ZG轴正向方向建立砂轮实体分层离散数学模型，由此建立砂轮回转轮廓方程如式(18)所示：
式中，hG为砂轮高度方向自变量，ψG为砂轮hG截面回转角度自变量，κG为砂轮锥度。
(2)砂轮工艺参数变换矩阵：
定义容屑槽前角为γ，切深参数为cd，为避免初始砂轮位姿设定过程中参数间的相互影响，规定砂轮参数定义的变换过程如下：首先将砂轮数学模型沿砂轮坐标系XG轴正方向平移RG-cd；使得坐标原点OG重合于磨削点P，其次将砂轮绕砂轮坐标系YG轴顺时针旋转前角γ，参数变换矩阵MG-para(γ,cd)如式(19)所示：
(3)圆柱周刃在工件坐标系下的砂轮初始磨削位姿：
初始磨削姿态下的砂轮坐标系应满足如下条件：砂轮坐标系原点OG始终在刃线轨迹上运动；坐标轴YG平行于螺旋刃线切矢量Ft；坐标轴XG与工件坐标系轴Xw重合，即当磨削圆锥旋转锉时，XG仅与坐标轴Xw相交；此外，砂轮坐标系的初始位置还由刃线螺旋角βw，工件半径Rw及锥度κw决定。
定义刃型砂轮初始姿态在工件坐标系下的变换矩阵MCylinder如下式(20)所示：
(4)圆锥周刃在工件坐标系下的砂轮初始磨削位姿：
针对锥形毛坯的初始姿态设定，需要考虑到锥度κw的影响，因此在式(20)上，另外引入绕任意矢量N旋转的矩阵Rot(N,ξ)以避免旋转矩阵相互影响导致的参数误差，Rot(N,ξ)如式(21)所示：
式中，ξ为绕矢量N的旋转角度，方向由右手定则确定。
在引入旋转矩阵Rot(N,ξ)后，进一步需要确定任意旋转矢量N，N为初始切平面XGOGYG的法矢量FN；旋转角度ξ为不考虑锥度的砂轮初始姿态下的砂轮坐标系YG反方向延长线与圆锥周刃切矢量Ft的夹角；首先，对螺旋刃线公式求导得到刃线上任意点P的切矢量Ft如式(22)所示：
式中，
矢量FN通过砂轮切矢量Ft|zp＝0与工件坐标轴Xw方向矢量叉乘计算得到：
旋转角度ξ为周刃切矢量Ft|zp＝0与不考虑工件锥度的初始位姿下的砂轮坐标系轴YG反方向矢量的夹角，令FYG-neg在工件坐标系的表达通过下式求得：
求得旋转角度ξ表达式为：
为保证旋转变换不对坐标系位置产生影响，在引入旋转矩阵后再对其进行位移即可，则圆锥周刃由初始砂轮坐标系到工件坐标系下表达的通用变换矩阵MCone如式(27)所示：
(5)周刃磨削运动模型：
由周刃螺旋刃线定义方式可知，其为等螺旋刃线结构，由于砂轮运动可视为“固定初始姿态+旋转位移运动”的形式，上述的初始砂轮姿态即为zp＝0时的砂轮磨削姿态，在砂轮磨削周刃过程中，砂轮的运动仅为工件轴线的旋转运动，轴向方向的位移运动以及在工件锥度κw≠0时的径向位移运动；由此建立周刃加工过程中的磨削运动矩阵Mblade(zp,κw)如下式所示：
式中，R(zp)＝Rw-Rw·tan(κw)，zp为自变量，zp∈(0,Lw)。
(6)端刃磨削运动模型
定义球面轮廓上磨削点P在母线方向上的切矢量为Fm，定义磨削点P沿螺旋刃线方向的切矢量为Fts，由螺旋角的定义可知，矢量Fm与Fts间的夹角即为螺旋角βs；易知，矢量Fm与Fts构成的平面处于球面轮廓于磨削点P处的切平面内，故球头处任意点螺旋刃线的切矢量Fts可视为该磨削点处的母线切矢量Fm绕由球面圆心指向磨削点P的磨削点法矢量FNP旋转磨削点P处的螺旋角βs得到。
在磨削运动过程中需要实时调整计算坐标系姿态，该过程的姿态调整需要根据磨削点P位置的实时螺旋角βs计算，则首先根据球头端刃刃线数学表达式(8)，求取刃线上任一点的切线Fts方程如下式所示：
式中，关于θs的导数/>如下式所示：
式中，βs为磨削点P处的螺旋角。
为求取螺旋角βs，还需确定磨削点P处母线矢量Fm，Fm视为由砂轮坐标系平面XdOdZd内母线矢量F′m绕坐标轴Zd旋转角度得到；易知，F′NP垂直于F′m且F′NP的单位矢量表达为F′NP(0,cosθs,sinθs,0)T，舍弃不符合要求的相反值后，取F′m值为(0,-sinθs,cosθs,0)T；则Fm可由下式求得：
式中，θs∈(-90,90)。
已知刃线上两切矢量公式，则端刃刃线上任意点的螺旋角βs可进一步由式(32)求得：
定义端刃磨削轨迹的运动为：绕端刃坐标系轴Zd，Yd方向的旋转运动，以及绕磨削点P法矢量FNP的螺旋角变换；同样考虑旋转变换过程的参数相互影响后，得到端刃坐标系下的磨削运动轨迹矩阵如式(33)所示：
以矩阵形式表示砂轮大端面圆心坐标点Og-st及轴矢量Fg-st的初始量分别为[0,0,0,1]T，[0,0,1,0]T，分别合并公式(19)、(20)、(28)及(2)、(19)、(27)、(33)得到工件坐标系下周刃及端刃磨削过程的砂轮运动变换矩阵Mbody和Mhead如式所示：
本发明的有益技术效果为：
本发明实现灵活地对圆球头旋转锉进行加工，具有较好的刀具加工灵活性和加工精度。
附图说明
图1为坐标系定义示意图。
图2为周刃刃线模型示意图。
图3为端刃刃线模型示意图。
图4为分区及聚集型刃线对比图。
图5为分区型刃线关系建模图。
图6为分区型刃线参数控制示意图。
图7为分区型刃线参数区间求解。
图8为砂轮模型示意图。
图9为引入工艺参数的砂轮模型。
图10为圆柱周刃初始磨削位姿示意图。
图11为圆锥周刃初始磨削位姿示意图。
图12为砂轮磨削周刃运动示意图。
图13为球头旋转锉端刃磨削运动示意图。
图14为圆柱球头旋转锉仿真结果。
图15为圆柱球头旋转锉实际加工结果。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施实例对本发明作进一步详细说明。
本发明的一种球头旋转锉的数控磨削轨迹计算方法，包括以下步骤：
步骤1：定义关键坐标系。
工件坐标系
如图1所示，定义工件坐标系Ow-XwYwZw作为坐标系统中的绝对坐标系；定义工件坐标系XwOwYw平面为周刃螺旋刃起点所在平面，坐标原点为XwOwYw平面与刀具轴线交点；坐标轴Zw与刀具回转轴同轴；坐标轴Xw交于起始螺旋刃线起点；Yw由右手定则确定。
端刃坐标系
如图1所示，定义端刃坐标系Od-XdYdZd轴Zd重合于刀具轴线，轴Xd平行于XwYw平面且交于周刃刃线端点，综合考虑刃线连续性以及建模过程简化，端刃坐标系相对工件坐标系存在相位角转换关系，以坐标轴Xd与Xw间的夹角表示，其函数关系表达为：
式中，Lz为端刃坐标系原点Od与工件坐标系平面XwYw的距离，Rw为XwYw平面内的毛坯半径，βw为周齿螺旋角，κw为刀具回转体母线与轴线的夹角。
由坐标表达要求可知，需将端刃坐标系下的端刃刃线表达转换至工件坐标系下表示，故存在端刃坐标系到工件坐标系转换关系如矩阵Md→w所示：
式中，为周刃末点螺旋角，Lw为周刃长度。
砂轮坐标系
定义砂轮坐标系原点OG为刃线上沿工件坐标系Zw正方向移动的动点，XG轴交于刀具轴线；YG与螺旋刃线相切。
步骤2：周刃刃线模型建立。
如图2所示，本发明选用实际工程中应用广泛的等螺旋角刀刃曲线作为旋转锉的周刃刃线结构，且该周刃建模结构原理已非常成熟。首先定义刀具毛坯上一以螺旋前进方式的动点P的运动轨迹为刃线，建立旋转锉周刃刃线以轴向位移zp为自变量的参数化方程表达式如下(为便于坐标转换实现，本文中将所有点坐标及矢量坐标的表达均以单列四行矩阵的形式表达，该表达形式不影响最终计算结果)：
式中，为自变量zp对应的周刃回转角。
定义旋转锉刃线数量为N，与一般回转刀具不同，旋转锉刃线数量一般在(N＝10～24)之间，对于周刃刃线结构来说，其所有刃线结构相同，但其为按照中心阵列的方式均匀分布在刀具周刃上。定义相邻两刃之间的角度为分度角其取决于定义的刃线组数Ng和组内刃数Nb，且N＝Ng·Nb，规定分区型旋转锉N不为质数；分度角/>的函数表达如下所示：
联立式(3)、(4)建立旋转锉周刃上点P的轨迹Ptracks表达如式(5)所示：
/>
式中，n表示自工件坐标系Xw轴起始逆时针方向的第n条刃线。
步骤3：端刃刃线模型建立；
采用球坐标的方式对球头刃线进行参数化建模，将端刃坐标系原点置于端刃结构中心，以Xd轴作为球坐标自变量及回转角度的基准参照，为统一坐标表达形式，同时考虑刀位点的表达形式均为三维坐标，所以最后将球坐标系下的极坐标表达转化形成三维坐标系下的表达形式。如图3所示，采用投影的方式分别做端刃坐标轴Zd的垂线及齿偏h圆柱的切线，分别球头刃线相交形成的轨迹为无齿偏刃线及具有齿偏h的刃线，统一以球坐标形式构建的刃线方程如下所示：
式中，为端刃螺旋角，θs为纬度角，齿偏量0<h<Rscosκw，Rs为球头半径。
自变量受齿偏量及周刃锥度影响，将其回转到平面Mxz中可得自变量θs取值范围如下：
θs∈κ(w,arccos(h/Rs)) (7)
为便于在工件坐标系下进行刃线表达，将球坐标系下的球头端刃刃线表达为如式(8)所示的三维坐标：
步骤4：刃线分区控制模型建立。
对于旋转锉球头分区型刃线的布置，按照何耀雄的理解[何耀雄,周云飞,周济.球头刀具刃形建模与过渡刃设计[J].机械工程学报,2001,37(9):101-104.]可以认为，球头刃线分区设计的本质就是一个球头轮廓面上的节点插值问题。
如图4所示，由于端刃刃线是分布在球面上的空间曲线，直接进行分区设计的计算过程较为复杂，为简化计算，不妨采用投影的方法将三维计算问题转化为二维计算问题，将刃线投影到端刃坐标系平面XdOdYd中。采用的分区方法为：将球头刃线按组进行划分，每组刃线由一个过球头顶点的主切削刃和若干副切削刃组成；定义第i副切削刃终点距离坐标原点的长度为刃过量li，偏离圆心的距离为hi，靠近球头刃顶点处刃线的疏密程度主要受刃偏量hi的影响。
如图5所示，由于球头第i，i＝1,2…Nb-1副切削刃起始回转角的存在，一组内任意主、副切削刃末点延长线在投影平面XdOdYd内必然相交，易知一组刃线内第i副切削刃相交点距离坐标原点Od的长度即为刃过中心量li，交点为Pu_i，为建立主切削刃与副切削刃相对位置的函数关系，需要首先确定主、副刃线末点相交所形成的夹角∠Pu_i；通常主切削刃末点位于旋转锉顶点，由式(8)求导得端刃坐标系下主切削刃末点切矢量，即为无齿偏情况下，θs＝90°时的刃线切矢量，其投影在坐标平面XdOdYd中的单位矢量FP-end如式(9)所示：/>
对于第i副切削刃末点矢量的求取，由式(10)得到，对于分区型旋转锉，其求取一组刃线内的角度参数即可；
式中，θ(hi)为第i副切削刃对应的自变量θs上限，且θ(hi)＝arccos(hi/Rs)，hi为第i个副切削刃的刃偏量，0≤i≤Nb。
联立式(9)、(10)进一步求得一组刃线内主切削刃与第i副切削刃末点切矢量在投影平面内的夹角∠Pu_i为：
由刃偏刃线成形方法可知，其末点切于以端刃坐标系原点Od为圆心的齿偏hi圆环，故可构成直角三角形ΔPh_end_iPu_iPend，根据直角三角正切关系可构建如下所示函数关系：
式中，hi为同一刃线组内第i个副切削刃刃偏量，li为交点Pu_i与主切削刃Pend末点距离。
由式(9)～(12)联合求解可得关于变量θ(hi)，hi以及li的数学模型，如式(13)所示：
式中，θ(hi)＝arccos(hi/Rs)，故该式为仅和hi及li相关的函数关系式。
进一步选取li作为刃线分区的控制量，选取hi作为刃线疏密的因变参数，为实现对各副切削刃分区布置进行统一的控制，规定一组内各个副切削刃于端刃坐标系平面内均交主切削上于同一点Pm，并以主切削刃的齿过量lm作为分区控制量进行球头刃线分区的控制，如图6所示。故依次在XdOdYd坐标平面内计算同组刃线第i副切削刃的刃偏量hi，使得各副切削刃末点延长线交于主刃延长线于Pm点处。
对刃线齿偏量的范围求解，应综合主切削刃及副切削刃的齿偏区间。同时，由式(6)可知，若刃偏量满足如下条件：则该式无解，从而无法得到副切削刃刃线方程。结合上述要求，求解刃偏量hi的取值范围如式(14)所示：
0≤hi＜Rscosκw,κw∈(-90,90) (14)
对于聚焦型球头旋转锉，其刃线结构可视为其所有副切削刃刃偏量均为零的特殊情况。综上所述，将聚焦型球头旋转锉视为分区型球头旋转锉的特殊情况，由此简化了球头旋转锉的刃线结构模型并简化了分区过程，从而实现球头旋转锉参数化的分区调整。
步骤5：刃线参数求解。
由步骤4定义的分区方式可知，每组刃线分布依照相同规律进行，且需要保证每一组旋转锉刃线的分布均在两相邻主切削刃刃线的区域之内，且刃线间不能交叉。故需进一步求解旋转锉刃线参数的取值范围。每一组球头切削刃的边界均为下一相邻主切削刃。如图7所示，由球坐标表达特点，球面上每一点均可由经纬度坐标表示，则在不交叉的要求下，每组刃线的终点与相交主切削刃的交点具有相同的经纬度坐标，将其对应的纬度自变量值θs作为刃线不交叉时的自变量区间上限。
首先，将设定的分区控制参数lm带入式(12)中求解分区模型中第i副切削刃刃偏参数hi，i＝1,2,3…，并由式(6)进一步确定球头刃线第i个副切削刃函数方程如式(15)所示：
分区球头旋转锉刃线组数Ng和组内刃数Nb可知，任意两主切削刃间的相位角为任意两相邻刃线相位角/>以及主切屑削刃上回转角/>由球坐标系下求相交刃线点对应副切削刃自变量区间上限θmax-i，联立式(6)、(15)求取球坐标下的交点Pmax-i，i＝1,2…Nb-1)如式(16)所示：
式中， 为主切削刃螺旋线经度角；则有分区型球头旋转锉刃线磨削自变量θs-i区间为：
κw≤θs-i≤θmax-i (17)
步骤6：砂轮磨削运动模型。
(1)磨削运动定义及砂轮回转面模型：
旋转锉容屑槽的加工采用1V1/1A1平行砂轮磨削，磨削过程可视为：工件固定不动，砂轮以一初始磨削位姿沿螺旋刃线磨削运动的方式。
如图8所示，砂轮回转轮廓的数学模型在砂轮坐标系下建立，将砂轮大端面圆心与砂轮坐标系原点重合，以及将砂轮回转轴线与砂轮坐标系ZG重叠，沿砂轮坐标系ZG轴正向方向建立砂轮实体分层离散数学模型，由此建立砂轮回转轮廓方程如式(18)所示：
式中，hG为砂轮高度方向自变量，ψG为砂轮hG截面回转角度自变量，κG为砂轮锥度。
(2)砂轮工艺参数变换矩阵：
定义容屑槽前角为γ，切深参数为cd，为避免初始砂轮位姿设定过程中参数间的相互影响，规定砂轮参数定义的变换过程如下：首先将砂轮数学模型沿砂轮坐标系XG轴正方向平移RG-cd。如图9所示，使得坐标原点OG重合于磨削点P，其次将砂轮绕砂轮坐标系YG轴顺时针旋转前角γ，参数变换矩阵MG-para(γ,cd)如式(19)所示：
(3)圆柱周刃在工件坐标系下的砂轮初始磨削位姿：
如图10所示，初始磨削姿态下的砂轮坐标系应满足如下条件：砂轮坐标系原点OG始终在刃线轨迹上运动；坐标轴YG平行于螺旋刃线切矢量Ft；坐标轴XG与工件坐标系轴Xw重合，即当磨削圆锥旋转锉时，XG仅与坐标轴Xw相交；此外，砂轮坐标系的初始位置还由刃线螺旋角βw，工件半径Rw及锥度κw决定。
定义刃型砂轮初始姿态在工件坐标系下的变换矩阵MCylinder如下式(20)所示：
(4)圆锥周刃在工件坐标系下的砂轮初始磨削位姿：
如图11所示，针对锥形毛坯的初始姿态设定，需要考虑到锥度κw的影响，因此在式(20)上，额外引入一个旋转矩阵，在上述变换矩阵表达中，若引入多个绕坐标轴旋转的矩阵会使得矩阵间相互影响，进而导致磨削过程中容屑槽前角等参数无法保证，所以在上述矩阵中仅保留一个保证螺旋角的绕坐标轴旋转矩阵，并在此基础上另外引入绕任意矢量N旋转的矩阵Rot(N,ξ)以避免旋转矩阵相互影响导致的参数误差，Rot(N,ξ)如式(21)所示：
式中，ξ为绕矢量N的旋转角度，方向由右手定则确定。
在引入旋转矩阵Rot(N,ξ)后，进一步需要确定任意旋转矢量N，N为初始切平面XGOGYG的法矢量FN；旋转角度ξ为不考虑锥度的砂轮初始姿态下的砂轮坐标系YG反方向延长线与圆锥周刃切矢量Ft的夹角；首先，对螺旋刃线公式求导得到刃线上任意点P的切矢量Ft如式(22)所示：
式中，
矢量FN通过砂轮切矢量Ft|zp＝0与工件坐标轴Xw方向矢量叉乘计算得到：
旋转角度ξ为周刃切矢量Ft|zp＝0与不考虑工件锥度的初始位姿下的砂轮坐标系轴YG反方向矢量的夹角(锐角)，令FYG-neg在工件坐标系的表达通过下式求得：
求得旋转角度ξ表达式为：
为保证旋转变换不对坐标系位置产生影响，在引入旋转矩阵后再对其进行位移即可，则圆锥周刃由初始砂轮坐标系到工件坐标系下表达的通用变换矩阵MCone如式(27)所示：
(5)周刃磨削运动模型：
针对周刃磨削运动模型的研究，具体又划分为圆柱和圆锥刃形，可将圆柱刃形视为工件锥度κw为0的特殊情况，为方便描述，本文将对其建立统一的运动变换规律。如图12所示，由周刃螺旋刃线定义方式可知，其为等螺旋刃线结构，由于砂轮运动可视为“固定初始姿态+旋转位移运动”的形式，上述的初始砂轮姿态即为zp＝0时的砂轮磨削姿态，在砂轮磨削周刃过程中，砂轮的运动仅为工件轴线的旋转运动，轴向方向的位移运动以及在工件锥度κw≠0时的径向位移运动；由此建立周刃加工过程中的磨削运动矩阵Mblade(zp,κw)如下式所示：
式中，R(zp)＝Rw-Rw·tan(κw)，zp为自变量，zp∈(0,Lw)。
(6)端刃磨削运动模型
如图13所示，定义球面轮廓上磨削点P在母线方向上的切矢量为Fm，定义磨削点P沿螺旋刃线方向的切矢量为Fts，由螺旋角的定义可知，矢量Fm与Fts间的夹角即为螺旋角βs；易知，矢量Fm与Fts构成的平面处于球面轮廓于磨削点P处的切平面内，故球头处任意点螺旋刃线的切矢量Fts可视为该磨削点处的母线切矢量Fm绕由球面圆心指向磨削点P的磨削点法矢量FNP旋转磨削点P处的螺旋角βs得到。
按照砂轮坐标系相对静止的要求，在磨削运动过程中需要实时调整计算坐标系姿态，该过程的姿态调整需要根据磨削点P位置的实时螺旋角βs计算，则首先根据球头端刃刃线数学表达式(8)，求取刃线上任一点的切线Fts方程如下式所示：
式中，关于θs的导数/>如下式所示：
式中，βs为磨削点P处的螺旋角。
为求取螺旋角βs，还需确定磨削点P处母线矢量Fm，Fm视为由砂轮坐标系平面XdOdZd内母线矢量F′m绕坐标轴Zd旋转角度得到；易知，F′NP垂直于F′m且F′NP的单位矢量表达为/>舍弃不符合要求的相反值后，取F′m值为/>则Fm可由下式求得：
式中，θs∈(-90,90)。
已知刃线上两切矢量公式，则端刃刃线上任意点的螺旋角βs可进一步由式(32)求得：
为保证刃线的连续性，端刃刃线起始处的螺旋角βs应与周刃螺旋角β一致。由此可知，在磨削过程由周刃到端刃的运动过程中，端刃的终点位置与周刃的起始位置的砂轮坐标系重合，即有砂轮姿态一致，便于在实际加工过程中采用一次成形的方式进行加工，且无需再次定义端刃砂轮坐标系到工件坐标系的变换矩阵。综上所述，定义端刃磨削轨迹的运动为：绕端刃坐标系轴Zd，Yd方向的旋转运动，以及绕磨削点P法矢量FNP的螺旋角变换；同样考虑旋转变换过程的参数相互影响后，得到端刃坐标系下的磨削运动轨迹矩阵如式(33)所示：
通过砂轮磨削参数模型，初始姿态转换矩阵以及磨削运动轨迹三个部分的叠加可以得到砂轮磨削过程的完整运动位姿模型，该数学模型包括砂轮圆心坐标轨迹，运动轴矢量轨迹。以矩阵形式表示砂轮大端面圆心坐标点Og-st及轴矢量Fg-st的初始量分别为[0,0,0,1]T，[0,0,1,0]T，分别合并公式(19)、(20)、(28)及(2)、(19)、(27)、(33)得到工件坐标系下周刃及端刃磨削过程的砂轮运动变换矩阵Mbody和Mhead如式所示：
仿真实例：
该磨削方案基于Visual Studio 2019环境进行了算法模块开发，并基于工艺方案及算法模块的可靠性要求，通过Vericut 8.0实现了针对磨削参数模型及算法模块的计算结果的仿真验证和实际的加工验证，加工参数如下表1所示：
表1工艺参数表
仿真验证如图14所示，完成相应的磨削过程后，对圆柱球头旋转锉成品采用光学检测仪PG1000对旋转锉整体结构尺寸以及局部尺寸进行测量，得到圆球头旋转锉相关实测参数如表2所示。
表2实测参数表
实际加工如图15所示，通过实际测量结果可知，实际加工的测量参数精度虽然低于仿真加工，刃线间的测量余量为0.03mm，但其测量结果误差εm仍未超出误差限ε∈(-0.025mm，+0.025mm)的设定范围，由于实际加工中的误差不可避免，综合考虑砂轮磨损、毛坯精度以及机床误差等多因素的复合影响，该误差仍处于一个合理的区间内。

Claims (1)

1.一种球头旋转锉的数控磨削轨迹计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：定义关键坐标系；
工件坐标系
定义工件坐标系Ow-XwYwZw作为坐标系统中的绝对坐标系；定义工件坐标系XwOwYw平面为周刃螺旋刃起点所在平面，坐标原点为XwOwYw平面与刀具轴线交点；坐标轴Zw与刀具回转轴同轴；坐标轴Xw交于起始螺旋刃线起点；Yw由右手定则确定；
端刃坐标系
定义端刃坐标系Od-XdYdZd轴Zd重合于刀具轴线，轴Xd平行于XwYw平面且交于周刃刃线端点，综合考虑刃线连续性以及建模过程简化，端刃坐标系相对工件坐标系存在相位角转换关系，以坐标轴Xd与Xw间的夹角表示，其函数关系表达为：
式中，Lz为端刃坐标系原点Od与工件坐标系平面XwYw的距离，Rw为XwYw平面内的毛坯半径，βw为周齿螺旋角，κw为刀具回转体母线与轴线的夹角；
由坐标表达要求可知，需将端刃坐标系下的端刃刃线表达转换至工件坐标系下表示，故存在端刃坐标系到工件坐标系转换关系如矩阵Md→w所示：
式中，为周刃末点螺旋角，Lw为周刃长度；
砂轮坐标系
定义砂轮坐标系原点OG为刃线上沿工件坐标系Zw正方向移动的动点，XG轴交于刀具轴线；YG与螺旋刃线相切；
步骤2：周刃刃线模型建立；
首先定义刀具毛坯上一以螺旋前进方式的动点P的运动轨迹为刃线，建立旋转锉周刃刃线以轴向位移zp为自变量的参数化方程表达式如下：
式中，为自变量zp对应的周刃回转角；
定义旋转锉刃线数量为N，定义相邻两刃之间的角度为分度角其取决于定义的刃线组数Ng和组内刃数Nb，且N＝Ng·Nb，规定分区型旋转锉N不为质数；分度角/>的函数表达如下所示：
联立式(3)、(4)建立旋转锉周刃上点P的轨迹Ptracks表达如式(5)所示：
式中，n表示自工件坐标系Xw轴起始逆时针方向的第n条刃线；
步骤3：端刃刃线模型建立；
采用球坐标的方式对球头刃线进行参数化建模，将端刃坐标系原点置于端刃结构中心，以Xd轴作为球坐标自变量及回转角度的基准参照，为统一坐标表达形式，同时考虑刀位点的表达形式均为三维坐标，所以最后将球坐标系下的极坐标表达转化形成三维坐标系下的表达形式；采用投影的方式分别做端刃坐标轴Zd的垂线及齿偏h圆柱的切线，分别球头刃线相交形成的轨迹为无齿偏刃线及具有齿偏h的刃线，统一以球坐标形式构建的刃线方程如下所示：
式中，为端刃螺旋角，θs为纬度角，齿偏量0<h<Rscosκw，Rs为球头半径；
自变量受齿偏量及周刃锥度影响，将其回转到平面Mxz中可得自变量θs取值范围如下：
θs∈(κw,arccos(h/Rs)) (7)将球坐标系下的球头端刃刃线表达为如式(8)所示的三维坐标：
步骤4：刃线分区控制模型建立；
将球头刃线按组进行划分，每组刃线由一个过球头顶点的主切削刃和若干副切削刃组成；定义第i副切削刃终点距离坐标原点的长度为刃过量li，偏离圆心的距离为hi，靠近球头刃顶点处刃线的疏密程度主要受刃偏量hi的影响；
由于球头第i，i＝1,2…Nb-1副切削刃起始回转角的存在，一组内任意主、副切削刃末点延长线在投影平面XdOdYd内必然相交，易知一组刃线内第i副切削刃相交点距离坐标原点Od的长度即为刃过中心量li，交点为Pu_i，为建立主切削刃与副切削刃相对位置的函数关系，需要首先确定主、副刃线末点相交所形成的夹角∠Pu_i；通常主切削刃末点位于旋转锉顶点，由式(8)求导得端刃坐标系下主切削刃末点切矢量，即为无齿偏情况下，θs＝90°时的刃线切矢量，其投影在坐标平面XdOdYd中的单位矢量FP-end如式(9)所示：
对于第i副切削刃末点矢量的求取，由式(10)得到，对于分区型旋转锉，其求取一组刃线内的角度参数即可；
式中，θ(hi)为第i副切削刃对应的自变量θs上限，且θ(hi)＝arccos(hi/Rs)，hi为第i个副切削刃的刃偏量，0≤i≤Nb；
联立式(9)、(10)进一步求得一组刃线内主切削刃与第i副切削刃末点切矢量在投影平面内的夹角∠Pu_i为：
由刃偏刃线成形方法可知，其末点切于以端刃坐标系原点Od为圆心的齿偏hi圆环，故可构成直角三角形ΔPh_end_iPu_iPend，根据直角三角正切关系可构建如下所示函数关系：
式中，hi为同一刃线组内第i个副切削刃刃偏量，li为交点Pu_i与主切削刃Pend末点距离；
由式(9)～(12)联合求解可得关于变量θ(hi)，hi以及li的数学模型，如式(13)所示：
式中，θ(hi)＝arccos(hi/Rs)，故该式为仅和hi及li相关的函数关系式；
进一步选取li作为刃线分区的控制量，选取hi作为刃线疏密的因变参数，为实现对各副切削刃分区布置进行统一的控制，规定一组内各个副切削刃于端刃坐标系平面内均交主切削上于同一点Pm，并以主切削刃的齿过量lm作为分区控制量进行球头刃线分区的控制；故依次在XdOdYd坐标平面内计算同组刃线第i副切削刃的刃偏量hi，使得各副切削刃末点延长线交于主刃延长线于Pm点处；
求解刃偏量hi的取值范围如式(14)所示：
0≤hi＜Rscosκw,κw∈(-90,90) (14)
步骤5：刃线参数求解；
首先，将设定的分区控制参数lm带入式(12)中求解分区模型中第i副切削刃刃偏参数hi，i＝1,2,3…，并由式(6)进一步确定球头刃线第i个副切削刃函数方程如式(15)所示：
分区球头旋转锉刃线组数Ng和组内刃数Nb可知，任意两主切削刃间的相位角为任意两相邻刃线相位角/>以及主切屑削刃上回转角/>由球坐标系下求相交刃线点对应副切削刃自变量区间上限θmax-i，联立式(6)、(15)求取球坐标下的交点Pmax-i，i＝1,2…Nb-1)如式(16)所示：
式中， 为主切削刃螺旋线经度角；则有分区型球头旋转锉刃线磨削自变量θs-i区间为：
κw≤θs-i≤θmax-i (17)
步骤6：砂轮磨削运动模型；
(1)磨削运动定义及砂轮回转面模型：
旋转锉容屑槽的加工采用1V1/1A1平行砂轮磨削，磨削过程可视为：工件固定不动，砂轮以一初始磨削位姿沿螺旋刃线磨削运动的方式；
砂轮回转轮廓的数学模型在砂轮坐标系下建立，将砂轮大端面圆心与砂轮坐标系原点重合，以及将砂轮回转轴线与砂轮坐标系ZG重叠，沿砂轮坐标系ZG轴正向方向建立砂轮实体分层离散数学模型，由此建立砂轮回转轮廓方程如式(18)所示：
式中，hG为砂轮高度方向自变量，ψG为砂轮hG截面回转角度自变量，κG为砂轮锥度；
(2)砂轮工艺参数变换矩阵：
定义容屑槽前角为γ，切深参数为cd，为避免初始砂轮位姿设定过程中参数间的相互影响，规定砂轮参数定义的变换过程如下：首先将砂轮数学模型沿砂轮坐标系XG轴正方向平移RG-cd；使得坐标原点OG重合于磨削点P，其次将砂轮绕砂轮坐标系YG轴顺时针旋转前角γ，参数变换矩阵MG-para(γ,cd)如式(19)所示：
(3)圆柱周刃在工件坐标系下的砂轮初始磨削位姿：
初始磨削姿态下的砂轮坐标系应满足如下条件：砂轮坐标系原点OG始终在刃线轨迹上运动；坐标轴YG平行于螺旋刃线切矢量Ft；坐标轴XG与工件坐标系轴Xw重合，即当磨削圆锥旋转锉时，XG仅与坐标轴Xw相交；此外，砂轮坐标系的初始位置还由刃线螺旋角βw，工件半径Rw及锥度κw决定；
定义刃型砂轮初始姿态在工件坐标系下的变换矩阵MCylinder如下式(20)所示：
(4)圆锥周刃在工件坐标系下的砂轮初始磨削位姿：
针对锥形毛坯的初始姿态设定，需要考虑到锥度κw的影响，因此在式(20)上，另外引入绕任意矢量N旋转的矩阵Rot(N,ξ)以避免旋转矩阵相互影响导致的参数误差，Rot(N,ξ)如式(21)所示：
式中，ξ为绕矢量N的旋转角度，方向由右手定则确定；
在引入旋转矩阵Rot(N,ξ)后，进一步需要确定任意旋转矢量N，N为初始切平面XGOGYG的法矢量FN；旋转角度ξ为不考虑锥度的砂轮初始姿态下的砂轮坐标系YG反方向延长线与圆锥周刃切矢量Ft的夹角；首先，对螺旋刃线公式求导得到刃线上任意点P的切矢量Ft如式(22)所示：
式中，
矢量FN通过砂轮切矢量Ft|zp＝0与工件坐标轴Xw方向矢量Fx_w＝[1,0,0,0]T叉乘计算得到：
旋转角度ξ为周刃切矢量Ft|zp＝0与不考虑工件锥度的初始位姿下的砂轮坐标系轴YG反方向矢量的夹角，令FYG-neg＝[0,-1,0,0]T，FYG-neg在工件坐标系的表达通过下式求得：
求得旋转角度ξ表达式为：
为保证旋转变换不对坐标系位置产生影响，在引入旋转矩阵后再对其进行位移即可，则圆锥周刃由初始砂轮坐标系到工件坐标系下表达的通用变换矩阵MCone如式(27)所示：
(5)周刃磨削运动模型：
由周刃螺旋刃线定义方式可知，其为等螺旋刃线结构，由于砂轮运动可视为“固定初始姿态+旋转位移运动”的形式，上述的初始砂轮姿态即为zp＝0时的砂轮磨削姿态，在砂轮磨削周刃过程中，砂轮的运动仅为工件轴线的旋转运动，轴向方向的位移运动以及在工件锥度κw≠0时的径向位移运动；由此建立周刃加工过程中的磨削运动矩阵Mblade(zp,κw)如下式所示：
式中，R(zp)＝Rw-Rw·tan(κw)，zp为自变量，zp∈(0,Lw)；
(6)端刃磨削运动模型
定义球面轮廓上磨削点P在母线方向上的切矢量为Fm，定义磨削点P沿螺旋刃线方向的切矢量为Fts，由螺旋角的定义可知，矢量Fm与Fts间的夹角即为螺旋角βs；易知，矢量Fm与Fts构成的平面处于球面轮廓于磨削点P处的切平面内，故球头处任意点螺旋刃线的切矢量Fts可视为该磨削点处的母线切矢量Fm绕由球面圆心指向磨削点P的磨削点法矢量FNP旋转磨削点P处的螺旋角βs得到；
在磨削运动过程中需要实时调整计算坐标系姿态，该过程的姿态调整需要根据磨削点P位置的实时螺旋角βs计算，则首先根据球头端刃刃线数学表达式(8)，求取刃线上任一点的切线Fts方程如下式所示：
式中，关于θs的导数/>如下式所示：
式中，βs为磨削点P处的螺旋角；
为求取螺旋角βs，还需确定磨削点P处母线矢量Fm，Fm视为由砂轮坐标系平面XdOdZd内母线矢量F′m绕坐标轴Zd旋转角度得到；易知，F′NP垂直于F′m且F′NP的单位矢量表达为F′NP(0,cosθs,sinθs,0)T，舍弃不符合要求的相反值后，取F′m值为(0,-sinθs,cosθs,0)T；则Fm可由下式求得：
式中，θs∈(-90,90)；
已知刃线上两切矢量公式，则端刃刃线上任意点的螺旋角βs可进一步由式(32)求得：
定义端刃磨削轨迹的运动为：绕端刃坐标系轴Zd，Yd方向的旋转运动，以及绕磨削点P法矢量FNP的螺旋角变换；同样考虑旋转变换过程的参数相互影响后，得到端刃坐标系下的磨削运动轨迹矩阵如式(33)所示：
以矩阵形式表示砂轮大端面圆心坐标点Og-st及轴矢量Fg-st的初始量分别为[0,0,0,1]T，[0,0,1,0]T，分别合并公式(19)、(20)、(28)及(2)、(19)、(27)、(33)得到工件坐标系下周刃及端刃磨削过程的砂轮运动变换矩阵Mbody和Mhead如式所示：
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