CN104731014B - 椭圆振动辅助切削微槽的形貌建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种超声椭圆振动辅助车削的微槽形貌建模方法，属于数控加工领域。步骤为：建立机床加工坐标系、工件坐标系、刀具坐标系和椭圆振动辅助切削的局部坐标系；根据加工参数和椭圆振动参数，以加工工件表面为基准，垂直于切削方向建立车刀刀尖圆弧曲线方程和刀具超声椭圆振动切削轨迹方程；转换车刀刀尖圆弧曲线方程和刀具超声椭圆振动切削轨迹方程到工件坐标系；在工件坐标系下，车刀刀尖圆弧曲线沿转换后的超声椭圆振动切削轨迹扫掠形成空间的刀尖振动曲面；通过计算相邻椭圆振动轨迹之间的交线，保留相邻椭圆振动轨迹交线之间的刀尖振动曲面便形成工件表面的微槽表面形貌。本发明可以解决椭圆振动辅助切削微槽的表面形貌生成问题。

Description

椭圆振动辅助切削微槽的形貌建模方法

技术领域

本发明属于数控加工领域，特别涉及超声椭圆振动车削加工中刀具高频振动引起的微槽曲面建模领域。

背景技术

随着精密及超精密加工技术的迅猛发展,椭圆振动切削由于其降低切削力、提高加工质量、抑止工件毛刺产生、增加刀具寿命等优点,已经受到广泛关注。鉴于对高精密零件的加工质量要求越来越高,学者们就进一步提高椭圆振动切削的加工表面质量设计出了多种椭圆振动切削的方法和配套的振动切削装置。在椭圆振动切削过程中,刀具的振动切削振动相对于工件表面产生了连续重叠的椭圆轨迹。在每一个周期,刀具相对于工件的位置在不停的变化,同时在工件的切削方向上留下微型形貌。这种因刀具椭圆振动引起的微观形貌是决定工件表面粗糙度的关键。目前学者们的研究很少涉及对其工件曲面进行数学建模分析，而实际振动切削实验之前的建模仿真对整个实验无疑有着重要的参考和指导意义。本发明根据椭圆振动切削表面形貌形成机理，提出了一种基于车刀刀尖圆弧振动形成曲面计算的工件微观表面形貌的建模方法。本发明在详细分析椭圆振动加工中的各个参数对微槽生成影响的基础上，根据椭圆振动切削的特性建立了椭圆振动微槽曲面方程，对椭圆振动加工的微槽表面形貌进行研究，从而可以解决椭圆振动加工中微槽表面形貌的生成问题，形成椭圆振动切削工件表面形貌的生成模型。

发明内容

本发明的目的，在于提供一种椭圆振动辅助表面微槽形貌的建模方法，可解决椭圆振动的工件表面形貌的建模问题。

为了达成上述目的，本发明的解决方案是：

1.一种椭圆振动辅助切削微槽的形貌建模方法，其特征在于包括如下步骤：

(1)建立机床加工坐标系o_j-x_jy_jz_j、工件坐标系o_g-x_gy_gz_g、刀具坐标系o_d-x_dy_dz_d和椭圆振动辅助切削局部坐标系o_z-x_zy_zz_z，以上坐标系均为右手笛卡尔标准直角坐标系。

建立机床加工坐标系：以车刀刀尖圆弧曲线和工件的初始接触点为坐标原点o_j点，o_j点和工件轴线所在平面为x_jo_jz_j平面，其中o_jz_j轴平行于工件轴向并指向装夹平面，o_jx_j轴垂直于o_jz_j轴并指向刀具方向，根据右手定则确定o_jy_j轴方向。机床加工坐标系相对于机床静止。

建立工件坐标系：以车刀刀尖圆弧曲线和工件的初始接触点为坐标原点o_g点，o_g点和工件轴线所在平面为x_go_gz_g平面，其中o_gz_g轴平行于工件轴向并指向装夹平面，o_gx_g轴垂直于o_gz_g轴指向刀具方向，根据右手定则确定o_gy_g轴方向。工件坐标系随工件旋转，速度为工件表面的切削速度v_cut，其中N为车床主轴转速，R为工件半径，f为椭圆振动频率，以上参数均是参考机床加工坐标系。考虑到微槽尺寸与工件半径比例关系，在对最终微槽形貌精度影响可以忽略的前提下，工件坐标系的绕工件轴线的旋转振动简化为沿机床加工坐标系o_gy_g轴负方向速率为v_cut的平移振动。

建立刀具坐标系：以车刀刀尖圆弧曲线顶点为坐标原点o_d，过o_d点指向刀尖曲线圆弧圆心方向为o_dx_d轴，在刀具前刀面所在平面内与o_dx_d轴垂直并指向工件装夹处为o_dz_d轴，根据右手定则确定o_dy_d轴方向。刀具坐标系相对于刀具静止。

建立椭圆振动辅助切削局部坐标系：以车刀刀尖圆弧曲线顶点的椭圆振动轨迹为参考对象，该椭圆振动轨迹中椭圆长轴定义为工件切削方向轴长，长轴的半轴长记为C；椭圆短轴定义为工件切深方向轴长，短轴的半轴长记为B。椭圆振动辅助切削局部坐标系的坐标原点位于椭圆圆心，o_zx_z轴与椭圆短半轴B轴重合并指向刀具方向，o_zy_z轴与椭圆长半轴C轴重合并指向未切削工件方向，根据右手定则确定o_zz_z轴方向。

(2)根据加工参数和椭圆振动参数，以加工工件表面为基准，垂直于切削方向建立车刀刀尖圆弧曲线方程和刀具超声椭圆振动切削轨迹方程。

以刀具坐标系o_d-x_dy_dz_d为参考，x_do_dz_d平面内刀尖圆弧曲线L_d方程如式(1)所示：

其中，r为车刀刀尖圆弧曲线半径。

以椭圆振动辅助切削局部坐标系为参考，设定车刀刀尖圆弧顶点的椭圆振动从与o_zy_z轴负半轴交点开始并向o_zx_z轴负方向振动，则车刀刀尖圆弧顶点的椭圆振动方程L_t如式(2)所示：

其中ω＝2πf，f为椭圆振动频率，t为时间，椭圆振动辅助切削局部坐标系相对于机床加工坐标系静止。C为椭圆振动轨迹中工件切削方向半轴长，B为椭圆振动轨迹中工件切深方向半轴长。

(3)转换刀具坐标系下的车刀刀尖圆弧曲线方程和椭圆振动辅助切削局部坐标系下的刀具椭圆振动方程到工件坐标系；

机床加工坐标系下的参数方程到工件坐标系变换矩阵如式(3)所示，参数方程沿机床加工坐标系o_jy_j轴负方向以速率v_cut作平移振动：

其中，t为时间。

刀具坐标系下的参数方程到机床加工坐标系变换矩阵如式(4)所示，由于原点和坐标轴方向相同，故为单位矩阵：

车刀刀尖圆弧曲线方程从刀具坐标系到工件坐标系的变换矩阵如式(5)所示：

经过式(6)计算得到以工件坐标系为参考的初始时刻(t＝0)时车刀刀尖圆弧曲线方程L_d′(7)：

L_d′＝L_d×M_dg(t＝0) (6)

其中，r为车刀刀尖圆弧曲线半径。

椭圆振动辅助切削局部坐标系下的参数方程到机床加工坐标系变换矩阵如式(8)所示，参数方程沿机床加工坐标系o_jx_j轴负向平移F₀：

其中，F₀为无椭圆振动状态下切削加工时的切削深度。

则刀尖圆弧椭圆振动方程从椭圆振动辅助切削局部坐标系到工件坐标系的变换矩阵如式(9)所示：

经过式(10)计算得到以工件坐标系为参考的刀具圆弧椭圆振动方程L_t′(11)：

L_t′＝L_t×M_zg (10)

其中，ω＝2πf，t为时间，v为切削速度。

(4)在工件坐标系下，车刀刀尖圆弧曲线沿椭圆振动轨迹扫掠形成空间刀尖圆弧扫掠曲面。

在工件坐标系下，由于刀具在o_jx_j轴方向向左一般平移切削振动的同时存在x_jo_jy_j平面的椭圆振动，经过分析得到工件坐标系下椭圆振动长短半轴如式(12)所示：

其中，C_G和B_G分别对应工件坐标系下刀尖椭圆振动轨迹的长短半轴，相邻两个椭圆振动轨迹中心之间的距离为

在工件坐标系下初始时刻时车刀刀尖圆弧曲线方程L_d′如式(13)所示：

加入x_jo_jy_j平面内的刀具椭圆振动之后得到刀尖圆弧空间扫掠曲面方程S₀如式(14)所示：

其中F(y)为加工坐标系下x_jo_jy_j平面内的椭圆振动轨迹方程。设定车刀刀尖初始位置与工件表面相切，无椭圆振动状态下切削中刀尖圆弧顶点相对于工件表面的切削深度为F₀；添加椭圆振动之后，任意时刻刀尖圆弧顶点相对于工件表面的深度为固定切削深度F₀和刀尖椭圆振动在o_jx_j方向位移之和，微槽相对于原工件表面最大切削深度Δh＝F₀+B_G。

设定在y＝0处椭圆振动轨迹达到最低点，则该条椭圆振动轨迹方程如式(15)所示：

对应的刀尖椭圆振动扫掠曲面S₁如式(16)所示：

(5)通过计算相邻椭圆振动轨迹之间的交线，保留相邻椭圆振动轨迹交线之间的刀尖振动曲面便形成工件表面的微槽表面形貌。

设定在工件坐标系下x_go_gy_g平面内y＝0处第一条车刀刀尖椭圆振动轨迹达到最低点，如式(17)所示：

则在x_go_gy_g平面内与之相邻的下一条轨迹如式(18)所示：

计算得交点在o_gy_g轴上坐标为F₁(y)关于o_gx_g轴对称，在整个F₁(y)轨迹中对最终微槽曲面有效的是[-y_l,y_l]区间内刀尖圆弧曲线扫掠形成的曲面。则F₁(y)上最终刀尖圆弧曲线在工件表面的有效扫掠曲面方程S_s如式(19)所示：

S_s为一次椭圆振动切削刀尖圆弧扫掠曲面，曲面S_s在o_gy_g轴周期延拓得到多次椭圆振动切削刀尖圆弧扫掠曲面S_ds，如式(20)所示：

刀尖圆弧扫掠曲面方程S_ds转换到工件表面微槽曲面方程S_gw，在工件坐标系下给定区域内将超出工件表面部分数据(即x坐标值大于零的部分)置零，最终工件表面微槽曲面方程S_gw如式(21)所示：

采用上述方案后，本发明根据不同加工因素建立多个坐标系；各个坐标系和参数方程通过坐标转换矩阵统一转化到工件坐标系，在工件坐标系下对车刀刀尖椭圆振动进行数学建模，建立车刀刀尖圆弧振动轨迹曲面；在根据各个参数计算出相邻椭圆振动刀尖轨迹曲面交线，保留交线之间的部分曲面，最后保留的刀尖圆弧移动曲面沿切削方向延拓并转换到工件表面，得到整个椭圆振动加工后的工件表面形貌，解决了车削加工过程中由刀具椭圆振动引起的工件表面微槽形貌问题。

附图说明

图1是本发明中机床加工坐标系示意图；

图2是本发明中工件坐标系示意图；

图3是本发明中刀具坐标系示意图；

图4是本发明中椭圆振动辅助切削局部坐标系示意图；

图5是本发明中相邻刀具轨迹相交示意图；

图6是本发明中相邻刀具轨迹不相交示意图；

图7是本发明中刀具路径示意图；

图中标号名称：1-刀尖截面局部轮廓；2-刀尖圆弧曲线；3-机床坐标系下刀尖振动轨迹切削方向椭圆长半轴C；4-机床坐标系下刀尖振动轨迹切深方向椭圆短半轴B；5-椭圆振动辅助切削局部坐标系下刀尖椭圆振动轨迹；6-工件表面；7-工件坐标系下刀尖椭圆振动轨迹；

具体实施方式

以下结合附图，对本发明的技术方案进行详细说明。

1.一种椭圆振动辅助切削微槽的形貌建模方法，其特征在于包括如下步骤：

(1)建立机床加工坐标系o_j-x_jy_jz_j、工件坐标系o_g-x_gy_gz_g、刀具坐标系o_d-x_dy_dz_d和椭圆振动辅助切削局部坐标系o_z-x_zy_zz_z，以上坐标系均为右手笛卡尔标准直角坐标系。

建立机床加工坐标系：以车刀刀尖圆弧曲线和工件的初始接触点为坐标原点o_j点，o_j点和工件轴线所在平面为x_jo_jz_j平面，其中o_jz_j轴平行于工件轴向并指向装夹平面，o_jx_j轴垂直于o_jz_j轴并指向刀具方向，根据右手定则确定o_jy_j轴方向，如图1所示。机床加工坐标系相对于机床静止。

建立工件坐标系：以车刀刀尖圆弧曲线和工件的初始接触点为坐标原点o_g点，o_g点和工件轴线所在平面为x_go_gz_g平面，其中o_gz_g轴平行于工件轴向并指向装夹平面，o_gx_g轴垂直于o_gz_g轴指向刀具方向，根据右手定则确定o_gy_g轴方向，如图2所示。工件坐标系随工件旋转，速度为工件表面的切削速度v_cut，其中N为车床主轴转速，R为工件半径，f为椭圆振动频率，以上参数均是参考机床加工坐标系。考虑到微槽尺寸与工件半径比例关系，在对最终微槽形貌精度影响可以忽略的前提下，工件坐标系的绕工件轴线的旋转振动简化为沿机床加工坐标系o_gy_g轴负方向速率为v_cut的平移振动，如图3所示。

建立刀具坐标系：以车刀刀尖圆弧曲线顶点为坐标原点o_d，过o_d点指向刀尖曲线圆弧圆心方向为o_dx_d轴，在刀具前刀面所在平面内与o_dx_d轴垂直并指向工件装夹处为o_dz_d轴，根据右手定则确定o_dy_d轴方向，如图4所示。刀具坐标系相对于刀具静止。

建立椭圆振动辅助切削局部坐标系：以车刀刀尖圆弧曲线顶点的椭圆振动轨迹为参考对象，该椭圆振动轨迹中椭圆长轴定义为工件切削方向轴长，半轴长记为C；椭圆短轴定义为工件切深方向轴长，半轴长记为B，如图5所示。椭圆振动辅助切削局部坐标系的坐标原点位于椭圆圆心，o_zx_z轴与椭圆短半轴B轴重合并指向刀具方向，o_zy_z轴与椭圆长半轴C轴重合并指向未切削工件方向，根据右手定则确定o_zz_z轴方向，如图6所示。

(2)根据加工参数和椭圆振动参数，以加工工件表面为基准，垂直于切削方向建立车刀刀尖圆弧曲线方程和刀具超声椭圆振动切削轨迹方程。

以刀具坐标系o_d-x_dy_dz_d为参考，x_do_dz_d平面内刀尖圆弧曲线L_d方程如式(1)所示：

其中，r为车刀刀尖圆弧曲线半径。

以椭圆振动辅助切削局部坐标系为参考，设定车刀刀尖圆弧顶点的椭圆振动从与o_zy_z轴负半轴交点开始并向o_zx_z轴负方向振动，则车刀刀尖圆弧顶点的椭圆振动方程L_t如式(2)所示：

其中ω＝2πf，f为椭圆振动频率，t为时间，椭圆振动辅助切削局部坐标系相对于机床加工坐标系静止。C为椭圆振动轨迹中工件切削方向半轴长，B为椭圆振动轨迹中工件切深方向半轴长。

(3)转换刀具坐标系下的车刀刀尖圆弧曲线方程和椭圆振动辅助切削局部坐标系下的刀具椭圆振动方程到工件坐标系；

机床加工坐标系下的参数方程到工件坐标系变换矩阵如式(3)所示，参数方程沿机床加工坐标系o_jy_j轴负方向以速率v_cut作平移振动：

其中，t为时间。

刀具坐标系下的参数方程到机床加工坐标系变换矩阵如式(4)所示，由于原点和坐标轴方向相同，故为单位矩阵：

车刀刀尖圆弧曲线方程从刀具坐标系到工件坐标系的变换矩阵如式(5)所示：

经过式(6)计算得到以工件坐标系为参考的初始时刻(t＝0)时车刀刀尖圆弧曲线方程L_d′(7)：

L_d′＝L_d×M_dg(t＝0) (6)

其中，r为车刀刀尖圆弧曲线半径。

椭圆振动辅助切削局部坐标系下的参数方程到机床加工坐标系变换矩阵如式(8)所示，参数方程沿机床加工坐标系o_jx_j轴负向平移F₀：

其中，F₀为一般切削加工时的切削深度。

则刀尖圆弧椭圆振动方程从椭圆振动辅助切削局部坐标系到工件坐标系的变换矩阵如式(9)所示：

经过式(10)计算得到以工件坐标系为参考的刀具圆弧椭圆振动方程L_t′(11)：

L_t′＝L_t×M_zg (10)

其中，ω＝2πf，t为时间，v为切削速度。

(4)在工件坐标系下，车刀刀尖圆弧曲线沿椭圆振动轨迹扫掠形成空间刀尖圆弧扫掠曲面。

在工件坐标系下，由于刀具在o_jx_j轴方向向左一般平移切削振动的同时存在x_jo_jy_j平面的椭圆振动，经过分析得到工件坐标系下椭圆振动长短半轴如式(12)所示：

其中，C_G和B_G分别对应工件坐标系下刀尖椭圆振动轨迹的长短半轴，相邻两个椭圆振动轨迹中心之间的距离为

在工件坐标系下初始时刻时车刀刀尖圆弧曲线方程L_d′如式(13)所示：

加入x_jo_jy_j平面内的刀具椭圆振动之后得到刀尖圆弧空间扫掠曲面方程S₀如式(14)所示：

其中F(y)为加工坐标系下x_jo_jy_j平面内的椭圆振动轨迹方程。设定车刀刀尖初始位置与工件表面相切，一般切削中刀尖圆弧顶点相对于工件表面的切削深度为F₀；添加椭圆振动之后，任意时刻刀尖圆弧顶点相对于工件表面的深度为固定切削深度F₀和刀尖椭圆振动在o_jx_j方向位移之和，微槽相对于原工件表面最大切削深度Δh＝F₀+B_G，如图7所示。

设定在y＝0处椭圆振动轨迹达到最低点，则该条椭圆振动轨迹方程如式(15)所示：

对应的刀尖椭圆振动扫掠曲面S₁如式(16)所示：

(5)通过计算相邻椭圆振动轨迹之间的交线，保留相邻椭圆振动轨迹交线之间的刀尖振动曲面便形成工件表面的微槽表面形貌。

设定在工件坐标系下x_go_gy_g平面内y＝0处第一条车刀刀尖椭圆振动轨迹达到最低点，如式(17)所示：

则在x_go_gy_g平面内与之相邻的下一条轨迹如式(18)所示：

计算得交点在o_gy_g轴上坐标为F₁(y)关于o_gx_g轴对称，在整个F₁(y)轨迹中对最终微槽曲面有效的是[-y_l,y_l]区间内刀尖圆弧曲线扫掠形成的曲面。则F₁(y)上最终刀尖圆弧曲线在工件表面的有效扫掠曲面方程S_s如式(19)所示：

S_s为一次椭圆振动切削刀尖圆弧扫掠曲面，曲面S_s在o_gy_g轴周期延拓得到多次椭圆振动切削刀尖圆弧扫掠曲面S_ds，如式(20)所示：

刀尖圆弧扫掠曲面方程S_ds转换到工件表面微槽曲面方程S_gw，在工件坐标系下给定区域内将超出工件表面部分数据(即x坐标值大于零的部分)置零，最终工件表面微槽曲面方程S_gw如式(21)所示：

以上实例仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明保护范围之内。

Claims (1)

1.一种椭圆振动辅助切削微槽的形貌建模方法，其特征在于包括如下步骤：

(1)建立机床加工坐标系o_j-x_jy_jz_j、工件坐标系o_g-x_gy_gz_g、刀具坐标系o_d-x_dy_dz_d和椭圆振动辅助切削局部坐标系o_z-x_zy_zz_z，以上坐标系均为右手笛卡尔标准直角坐标系；

建立机床加工坐标系：以车刀刀尖圆弧曲线和工件的初始接触点为坐标原点o_j点，o_j点和工件轴线所在平面为x_jo_jz_j平面，其中o_jz_j轴平行于工件轴向并指向装夹平面，o_jx_j轴垂直于o_jz_j轴并指向刀具方向，根据右手定则确定o_jy_j轴方向；机床加工坐标系相对于机床静止；

建立工件坐标系：以车刀刀尖圆弧曲线和工件的初始接触点为坐标原点o_g点，o_g点和工件轴线所在平面为x_go_gz_g平面，其中o_gz_g轴平行于工件轴向并指向装夹平面，o_gx_g轴垂直于o_gz_g轴指向刀具方向，根据右手定则确定o_gy_g轴方向；工件坐标系随工件旋转，速度为工件表面的切削速度v_cut，其中N为车床主轴转速，R为工件半径，f为椭圆振动频率，以上参数均是参考机床加工坐标系；考虑到微槽尺寸与工件半径比例关系，在对最终微槽形貌精度影响可以忽略的前提下，工件坐标系的绕工件轴线的旋转振动简化为沿机床加工坐标系o_gy_g轴负方向速率为v_cut的平移振动；

建立刀具坐标系：以车刀刀尖圆弧曲线顶点为坐标原点o_d，过o_d点指向刀尖曲线圆弧圆心方向为o_dx_d轴，在刀具前刀面所在平面内与o_dx_d轴垂直并指向工件装夹处为o_dz_d轴，根据右手定则确定o_dy_d轴方向；刀具坐标系相对于刀具静止；

建立椭圆振动辅助切削局部坐标系：以车刀刀尖圆弧曲线顶点的椭圆振动轨迹为参考对象，该椭圆振动轨迹中椭圆长轴定义为工件切削方向轴长，长轴的半轴长记为C；椭圆短轴定义为工件切深方向轴长，短轴的半轴长记为B；椭圆振动辅助切削局部坐标系的坐标原点位于椭圆圆心，o_zx_z轴与椭圆短半轴B轴重合并指向刀具方向，o_zy_z轴与椭圆长半轴C轴重合并指向未切削工件方向，根据右手定则确定o_zz_z轴方向；

(2)根据加工参数和椭圆振动参数，以加工工件表面为基准，垂直于切削方向建立车刀刀尖圆弧曲线方程和刀具超声椭圆振动切削轨迹方程；

以刀具坐标系o_d-x_dy_dz_d为参考，x_do_dz_d平面内刀尖圆弧曲线L_d方程如式(1)所示：

其中，r为车刀刀尖圆弧曲线半径；

以椭圆振动辅助切削局部坐标系为参考，设定车刀刀尖圆弧顶点的椭圆振动从与o_zy_z轴负半轴交点开始并向o_zx_z轴负方向振动，则车刀刀尖圆弧顶点的椭圆振动方程L_t如式(2)所示：

其中ω＝2πf，f为椭圆振动频率，t为时间，椭圆振动辅助切削局部坐标系相对于机床加工坐标系静止；C为椭圆振动轨迹中工件切削方向半轴长，B为椭圆振动轨迹中工件切深方向半轴长；

(3)转换刀具坐标系下的车刀刀尖圆弧曲线方程和椭圆振动辅助切削局部坐标系下的刀具椭圆振动方程到工件坐标系；

机床加工坐标系下的参数方程到工件坐标系变换矩阵如式(3)所示，参数方程沿机床加工坐标系o_jy_j轴负方向以速率v_cut作平移振动：

其中，t为时间；

刀具坐标系下的参数方程到机床加工坐标系变换矩阵如式(4)所示，由于原点和坐标轴方向相同，故为单位矩阵：

车刀刀尖圆弧曲线方程从刀具坐标系到工件坐标系的变换矩阵如式(5)所示：

经过式(6)计算得到以工件坐标系为参考的初始时刻(t＝0)时车刀刀尖圆弧曲线方程L_d′(7)：

L_d′＝L_d×M_dg(t＝0) (6)

其中，r为车刀刀尖圆弧曲线半径；

椭圆振动辅助切削局部坐标系下的参数方程到机床加工坐标系变换矩阵如式(8)所示，参数方程沿机床加工坐标系o_jx_j轴负向平移F₀：

其中，F₀为无椭圆振动状态下切削加工时的切削深度；

则刀尖圆弧椭圆振动方程从椭圆振动辅助切削局部坐标系到工件坐标系的变换矩阵如式(9)所示：

经过式(10)计算得到以工件坐标系为参考的刀具圆弧椭圆振动方程L_t′(11)：

L_t′＝L_t×M_zg (10)

其中，ω＝2πf，t为时间，v为切削速度；

(4)在工件坐标系下，车刀刀尖圆弧曲线沿椭圆振动轨迹扫掠形成空间刀尖圆弧扫掠曲面；

在工件坐标系下，由于刀具在o_jx_j轴方向向左一般平移切削振动的同时存在x_jo_jy_j平面的椭圆振动，经过分析得到工件坐标系下椭圆振动长短半轴如式(12)所示：

其中，C_G和B_G分别对应工件坐标系下刀尖椭圆振动轨迹的长短半轴，相邻两个椭圆振动轨迹中心之间的距离为

在工件坐标系下初始时刻时车刀刀尖圆弧曲线方程L_d′如式(13)所示：

加入x_jo_jy_j平面内的刀具椭圆振动之后得到刀尖圆弧空间扫掠曲面方程S₀如式(14)所示：

其中F(y)为加工坐标系下x_jo_jy_j平面内的椭圆振动轨迹方程；设定车刀刀尖初始位置与工件表面相切，无椭圆振动状态下切削中刀尖圆弧顶点相对于工件表面的切削深度为F₀；添加椭圆振动之后，任意时刻刀尖圆弧顶点相对于工件表面的深度为固定切削深度F₀和刀尖椭圆振动在o_jx_j方向位移之和，微槽相对于原工件表面最大切削深度Δh＝F₀+B_G；

设定在y＝0处椭圆振动轨迹达到最低点，则该条椭圆振动轨迹方程如式(15)所示：

对应的刀尖椭圆振动扫掠曲面S₁如式(16)所示：

(5)通过计算相邻椭圆振动轨迹之间的交线，保留相邻椭圆振动轨迹交线之间的刀尖振动曲面便形成工件表面的微槽表面形貌；

设定在工件坐标系下x_go_gy_g平面内y＝0处第一条车刀刀尖椭圆振动轨迹达到最低点，如式(17)所示：

则在x_go_gy_g平面内与之相邻的下一条轨迹如式(18)所示：

计算得交点在o_gy_g轴上坐标为F₁(y)关于o_gx_g轴对称，在整个F₁(y)轨迹中对最终微槽曲面有效的是[-y_l,y_l]区间内刀尖圆弧曲线扫掠形成的曲面；则F₁(y)上最终刀尖圆弧曲线在工件表面的有效扫掠曲面方程S_s如式(19)所示：

S_s为一次椭圆振动切削刀尖圆弧扫掠曲面，曲面S_s在o_gy_g轴周期延拓得到多次椭圆振动切削刀尖圆弧扫掠曲面S_ds，如式(20)所示：

(其中n为整数) (20)

刀尖圆弧扫掠曲面方程S_ds转换到工件表面微槽曲面方程S_gw，在工件坐标系下给定区域内将超出工件表面部分数据(即x坐标值大于零的部分)置零，最终工件表面微槽曲面方程S_gw如式(21)所示：

[ny_l≤y≤(n+2)y_l](其中n为整数) (21)。