CN103616851B - 数控机床的几何误差旋量理论建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种数控机床的几何误差旋量理论建模方法，包括：步骤一、对数控机床运动链分别在床身任一点建立全局坐标系R、在运动链末端参考点建立瞬时参考坐标系R′、在各个运动副上建立连体坐标系R_i；建立包含位置独立几何误差、非位置独立几何误差的机床运动链几何误差模型；步骤二、利用步骤一所述机床运动链几何误差建模方法，得到整机几何误差映射模型；步骤三、利用受约束刚体的变分空间、力空间及其子空间的性质，对影响整机末端可补偿与不可补偿自由度的几何误差进行分离，分别得到整机可补偿自由度与不可补偿自由度误差映射模型。本发明不仅为误差补偿提供了数学模型，而且为误差预防和机床精度匹配设计提供了重要的指导性理论依据。

Description

数控机床的几何误差旋量理论建模方法

技术领域

本发明涉及数控机床技术领域，特别是涉及一种数控机床几何误差通用数学模型的建模方法。

背景技术

数控机床加工精度的方法主要有两种：一种是误差预防，一种是误差补偿。误差建模是误差补偿的关键。齐次坐标变换矩阵的方法是最常用的建模工具，但这种建模方法无法直接得到机床六维位姿误差的统一显示表达。理论上，对于三轴、四轴和五轴数控机床，仅有与给定自由度对应的机床位姿误差才能够通过误差辨识得到补偿。因此，所建立的误差模型必须能够有效分离出影响机床可补偿与不可补偿位姿误差的几何误差源。

发明内容

为了克服现有技术存在的问题，本发明提供了针对以上不足，提出了一种数控机床的几何误差旋量理论建模方法，运用旋量理论与多体运动学理论相结合的方法完整的描述了机床的位置与姿态误差，并在此基础上利用受约束刚体的变分空间、力空间及其子空间的性质，将影响机床末端可补偿与不可补偿自由度误差的几何误差源进行有效分离。

本发明提出了一种数控机床的几何误差旋量理论建模方法，该方法包括以下步骤：

步骤一、对数控机床运动链分别在床身任一点建立全局坐标系R、在运动链末端参考点建立瞬时参考坐标系R′、在各个运动副上建立连体坐标系R_i；建立包含位置独立几何误差、非位置独立几何误差的机床运动链几何误差模型。其中：

位置独立几何误差，表示为：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_i=\left[\begin{array}{cc}\[\mathrm{\δ}_{i-1}{\mathrm{\θ}}_i\×\]& \mathrm{\δ}_{i-1}{r}_i+\mathrm{\δ}_{i-1}{r}_i\×\mathrm{\δ}_{i-1}{\mathrm{\θ}}_i\\ 0& 0\end{array}\right]$

其中，^i-1δθ_i＝(^i-1ε_x,i ^i-1ε_y,i ^i-1ε_z,i)^T与^i-1δr_i＝(^i-1δ_x,i ^i-1δ_y,i ^i-1δ_z,i)^T分别表示相邻运动部件连体坐标系之间的相对转角误差与相对位置误差，^i-1δ_x,i、^i-1δ_y,i与^i-1δ_z,i分别表示绕着连体坐标系R_i三个坐标轴的移动误差，^i-1ε_x,i、^i-1ε_y,i与^i-1ε_z,i分别表示沿着连体坐标系R_i三个坐标轴的转动误差，[^i-1δθ_i×]表示相对转角误差^i-1δθ_i的反对称矩阵；

非位置独立几何误差，表示为：

${\widehat{\mathrm{\Δ}}}_i=\left[\begin{array}{cc}\[{\mathrm{\δ\θ}}_i\left(q_i\right)\×\]& {\mathrm{\δr}}_i\left(q_i\right)\\ 0& 0\end{array}\right]$

其中，δr_i(q_i)与δθ_i(q_i)分别为第i个运动副的平动与转动误差矢量，q_i为第i个运动副的位置坐标，[δθ_i(q_i)×]表示转动误差矢量δθ_i(q_i)的反对称矩阵。

机床运动链几何误差模型，表示为

$S_{t\left(1\right)}=M_{\left(1\right)}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}=\left[\begin{array}{cc}{M}_A& M_{\mathrm{\θ}}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}A\\ \mathrm{\θ}\end{array}\right)$

其中，S_t(1)表示在瞬时参考坐标系R′中度量的运动链末端六维位姿误差螺旋，ε₍₁₎表示运动链几何误差向量，且由A、θ两部分构成，A表示运动链所有非位置独立几何误差构成的误差向量，θ表示运动链所有位置独立几何误差构成的误差向量，M₍₁₎表示运动链误差映射矩阵，且由M_A、M_θ两部分构成，M_A表示运动链非位置独立几何误差映射矩阵，M_θ表示运动链位置独立几何误差映射矩阵；

步骤二、利用步骤一所述机床运动链几何误差建模方法，分别建立刀具运动链、工件运动链的几何误差映射模型，并将两者作差，得到整机几何误差映射模型，表示为：

S_t(2)＝S_t,T-S_t,W＝M₍₂₎ε₍₂₎

其中，S_t(2)表示整机末端误差螺旋，S_t,T、S_t,W分别表示刀具运动链、工件运动链的末端误差螺旋，M₍₂₎＝[M_T-M_W]表示整机误差映射矩阵，M_T、M_W分别表示刀具运动链、工件运动链的误差映射矩阵，表示整机几何误差向量，ε_T、ε_W分别表示刀具运动链、工件运动链的几何误差向量；

步骤三、利用受约束刚体的变分空间、力空间及其子空间的性质，对影响整机末端可补偿与不可补偿自由度的几何误差进行分离，分别得到整机可补偿自由度误差映射模型与不可补偿自由度误差映射模型；

可补偿自由度误差映射模型，表示为：

J_xaS_ta＝E_aε_a

其中，S_ta表示机床末端可补偿位姿误差螺旋，J_xa表示机床直接驱动雅可比矩阵，ε_a表示可补偿几何误差源，E_a表示机床可补偿位姿误差映射矩阵。

不可补偿自由度误差映射模型，表示为：

J_xcS_tc＝E_cε_c

其中，S_tc表示机床末端不可补偿位姿误差螺旋，J_xc表示机床直接约束雅可比矩阵，ε_c表示不可补偿几何误差源，E_c表示机床不可补偿位姿误差映射矩阵。

对于可补偿几何误差源ε_a，可以通过误差补偿的手段减小或消除其对机床末端精度的影响；对于不可补偿几何误差源ε_c，必须在加工及装配过程中予以严格控制，以减小或消除其对机床末端精度的影响。

与现有技术相比，本发明不仅为误差补偿提供了数学模型，而且为误差预防和机床精度匹配设计提供了重要的理论依据。

附图说明

图1为机床运动链结构简图；

图2为四轴数控机床结构简图；

图3为本发明的一种数控机床的几何误差旋量理论建模方法整体流程示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例，进一步详细说明本发明的具体实施方式。

步骤一、建立机床运动链几何误差模型

如图1所示，在床身任一点O建立全局坐标系R、在运动链末端参考点O′建立瞬时参考坐标系R′，并且R′始终与R保持平行。为了描述运动链中各几何误差源对运动链末端构件位姿误差的作用规律，在第i个运动副参考点上建立连体坐标系R_i。于此同时，在O′处建立一连体坐标系R_f+1，且运动链位于初始状态时R_f+1与R′方向一致。

根据机床运动链的结构特点，可以将几何误差源分为两类，即位置独立几何误差源与非位置独立几何误差源。

位置独立几何误差源的数值不随机床坐标的改变而改变，如系R_i位于其坐标原点时相对于系R_i-1的位姿误差，该类误差源主要表现为轴与轴之间的垂直度、平行度误差，以及五轴机床两转轴轴线间的偏心误差，且可表示为

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_i=\left[\begin{array}{cc}\[\mathrm{\δ}_{i-1}{\mathrm{\θ}}_i\×\]& \mathrm{\δ}_{i-1}{r}_i+\mathrm{\δ}_{i-1}{r}_i\×\mathrm{\δ}_{i-1}{\mathrm{\θ}}_i\\ 0& 0\end{array}\right]$

其中，^i-1δθ_i＝(^i-1ε_x,i ^i-1ε_y,i ^i-1ε_z,i)^T与^i-1δr_i＝(^i-1δ_x,i ^i-1δ_y,i ^i-1δ_z,i)^T分别表示相邻运动部件连体坐标系之间的相对转角误差与相对位置误差，^i-1δ_x,i、^i-1δ_y,i与^i-1δ_z,i分别表示绕着连体坐标系R_i三个坐标轴的移动误差，^i-1ε_x,i、^i-1ε_y,i与^i-1ε_z,i分别表示沿着连体坐标系R_i三个坐标轴的转动误差，[^i-1δθ_i×]表示相对转角误差^i-1δθ_i的反对称矩阵。

非位置独立几何误差源的数值随机床坐标的改变而改变，如系R_i在运动过程中沿/绕自身轴线的六维运动误差，且表示为

${\widehat{\mathrm{\Δ}}}_i=\left[\begin{array}{cc}\[{\mathrm{\δ\θ}}_i\left(q_i\right)\×\]& {\mathrm{\δr}}_i\left(q_i\right)\\ 0& 0\end{array}\right]$

其中，δr_i(q_i)与δθ_i(q_i)分别为第i个运动副的平动与转动误差矢量，q_i为第i个运动副的位置坐标，[δθ_i(q_i)×]表示转动误差矢量δθ_i(q_i)的反对称矩阵。

理想情况下，末端构件在系R中的位置和姿态可利用齐次变换矩阵表示为

⁰T_f+1＝⁰T₁ ¹T₂…^i-1T_i…^f-1T_f ^fT_f+1

${T_{i-1}}_i=\left[\begin{array}{cc}{R_{i-1}}_i& {p_{i-1}}_i\\ 0& 1\end{array}\right]$

其中，^i-1T_i表示系R_i相对于系R_i-1的齐次变换矩阵，^i-1p_i为系R_i原点的位置矢量在系R_i-1中的度量，^i-1R_i表示系R_i相对于系R_i-1的姿态矩阵。

当考虑运动链所有几何误差源时，末端构件在系R_f+1中的实际位姿可以表示为

${T_0}_{f+1}(I_4+{\widehat{\mathrm{\Δ}}_{f+1}}_{f+1})=\left(\underset{i=1}{\overset{f}{\Π}}\right(I_4+{\widehat{\mathrm{\θ}}}_i\left){T_{i-1}}_i\right(I_4+{\hat{A}}_l\left)\right){T_f}_{f+1}---\left(1\right)$

将式(1)线性化并借助伴随变换，可以将在坐标系R中度量的运动链末端构件位姿误差螺旋表示为

$S_{t\left(1\right)}=M_{\left(1\right)}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}=\left[\begin{array}{cc}{M}_A& M_{\mathrm{\θ}}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}A\\ \mathrm{\θ}\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中，S_t(1)表示在瞬时参考坐标系R′中度量的运动链末端六维位姿误差螺旋，ε₍₁₎表示运动链几何误差向量，且由A、θ两部分构成，A表示运动链所有非位置独立几何误差构成的误差向量，θ表示运动链所有位置独立几何误差构成的误差向量，M₍₁₎表示运动链误差映射矩阵，且由M_A、M_θ两部分构成，M_A表示运动链非位置独立几何误差映射矩阵，M_θ表示运动链位置独立几何误差映射矩阵；

步骤二、建立机床误差模型

利用步骤一所述机床运动链几何误差建模方法，分别建立刀具运动链、工件运动链的几何误差映射模型，并将两者作差，得到整机几何误差映射模型，表示为：

S_t(2)＝S_t,T-S_t,W＝M₍₂₎ε₍₂₎

其中，S_t(2)表示整机末端误差螺旋，S_t,T、S_t,W分别表示刀具运动链、工件运动链的末端误差螺旋，M₍₂₎＝[M_T-M_W]表示整机误差映射矩阵，M_T、M_W分别表示刀具运动链、工件运动链的误差映射矩阵，表示整机几何误差向量，ε_T、ε_W分别表示刀具运动链、工件运动链的几何误差向量；

步骤三、分离可补偿与不可补偿误差源

机床整机末端位姿误差螺旋可以描述为许动变分子空间与受限变分子空间的基向量的线性组合的形式

$S_t=\underset{i=1}{\overset{f}{\Σ}}{a}_i{\hat{S}}_{ta,i}+\underset{j=1}{\overset{6-f}{\Σ}}{c}_j{\hat{S}}_{tc,j}---\left(3\right)$

其中，与a_i(与c_j)分别为许动(受限)变分螺旋以及它们的系数。

对式(2)和式(3)两端分别关于驱动力子空间基底与约束力子空间基底做内积，可以得到许动(受限)变分螺旋系数与机床几何误差源间的映射关系，将该关系代入式(2)并整理成矩阵格式，即可得到整机可补偿自由度误差映射模型与不可补偿自由度误差映射模型。

可补偿自由度误差映射模型，表示为：

J_xaS_ta＝E_aε_a

其中，S_ta表示机床末端可补偿位姿误差螺旋，J_xa表示机床直接驱动雅可比矩阵，ε_a表示可补偿几何误差源，E_a表示机床可补偿位姿误差映射矩阵。

不可补偿自由度误差映射模型，表示为：

J_xcS_tc＝E_cε_c

其中，S_tc表示机床末端不可补偿位姿误差螺旋，J_xc表示机床直接约束雅可比矩阵，ε_c表示不可补偿几何误差源，E_c表示机床不可补偿位姿误差映射矩阵。

如图2所示，以典型四轴数控机床为例，利用上述方法建立机床几何误差模型，并实现对可补偿与不可补偿几何误差源的分离。

在床身参考点建立全局坐标系R，在刀尖点(工件被加工点)建立全局坐标系R′，系R′始终与系R保持平行。在各运动副上建立连体坐标系，分别记为系X/Y/Z/B。

机床整机位姿误差螺旋可以表示为

S_t＝M_Tε_T-M_Wε_W

式中

M_T＝[^R′A_X ^R′A_Y ^R′P_X ^R′P_Y]，M_W＝[^R′A_Z ^R′A_B ^R′P_Z ^R′P_B]

${\mathrm{\ϵ}}_T={\left(\begin{array}{cccc}{A}_X^T& A_Y^T& {\mathrm{\θ}}_X^T& {\mathrm{\θ}}_Y^T\end{array}\right)}^T,{\mathrm{\ϵ}}_W={\left(\begin{array}{cccc}{A}_Z^T& A_B^T& {\mathrm{\θ}}_Z^T& {\mathrm{\θ}}_B^T\end{array}\right)}^T$

A_X＝(δ_x(x) δ_y(x) δ_z(x) ε_x(x) ε_y(x) ε_z(x))^T，θ_X＝0_6×1

A_Y＝(δ_x(y) δ_y(y) δ_z(y) ε_x(y) ε_y(y) ε_z(y))^T，θ_Y＝(0 0 0 0 0 S_yx)^T

A_Z＝(δ_x(z) δ_y(z) δ_z(z) ε_x(z) ε_y(z) ε_z(z))^T，θ_Z＝(0 0 0 S_zy S_zx 0)^T

A_B＝(δ_x(β) δ_y(β) δ_z(β) ε_x(β) ε_y(β) ε_z(β))^T，θ_B＝(0 0 0 S_βz 0 S_βx)^T其中，S_t为机床整机位姿误差螺旋，M_T、M_W分别表示刀具运动链、工件运动链的误差映射矩阵，ε_T、ε_W分别表示刀具运动链、工件运动链的几何误差向量，^NA_M表示机床部件M的非位置独立几何误差源向坐标系N映射的误差映射矩阵，^NP_M表示机床部件M的位置独立几何误差源向坐标系N映射的误差映射矩阵，Δ_M表示机床部件M的非位置独立几何误差源向量，θ_X表示机床部件M的位置独立几何误差源向量，δ_n(m)表示机床运动部件M运动至其坐标m处时在方向n上的平动几何误差数值，ε_n(m)表示机床运动部件M运动至其坐标m处时在方向n上的转动几何误差数值，0_6×1为六行一列且元素全为零的矩阵，S_mn表示m轴与n轴间的垂直度误差。

各子空间的基向量可以表示为

${\hat{S}}_{ta,1}=\left(\begin{array}{c}{i}_X\\ 0\end{array}\right),{\hat{S}}_{ta,2}=\left(\begin{array}{c}{j}_Y\\ 0\end{array}\right),{\hat{S}}_{ta,3}=\left(\begin{array}{c}{k}_Z\\ 0\end{array}\right),{\hat{S}}_{ta,4}=\left(\begin{array}{c}{r_{R^{\′}}}_B\×j_B\\ j_B\end{array}\right)$

${\hat{S}}_{wc,1}=\left(\begin{array}{c}0\\ i_B\end{array}\right),{\hat{S}}_{wc,2}=\left(\begin{array}{c}0\\ k_B\end{array}\right)$

${\hat{S}}_{wa,1}=\left(\begin{array}{c}{i}_X\\ {r_{R^{\′}}}_B\×i_X\end{array}\right),{\hat{S}}_{wa,2}=\left(\begin{array}{c}{j}_Y\\ {r_{R^{\′}}}_B\×j_Y\end{array}\right),{\hat{S}}_{wa,3}=\left(\begin{array}{c}{k}_Z\\ {r_{R^{\′}}}_B\×k_Z\end{array}\right),{\hat{S}}_{wa,4}=\left(\begin{array}{c}0\\ j_B\end{array}\right)$

${\hat{S}}_{tc,1}=\left(\begin{array}{c}{r_{R^{\′}}}_B\×i_B\\ i_B\end{array}\right),{\hat{S}}_{tc,2}=\left(\begin{array}{c}{r_{R^{\′}}}_B\×i_B\\ k_B\end{array}\right)$

其中，与分别表示第i个运动副相对应的单位许动变分螺旋与第j个运动副相对应的单位受限变分螺旋，与分别表示第i个运动副相对应的单位驱动力螺旋与第j个运动副相对应的单位约束力螺旋。此外，i、j、k表示坐标轴单位向量在全局坐标系下的度量，角标为所在坐标系的名称，如i_X为系X的x轴单位向量在系R′中的度量；^R′r_B表示系B原点位置矢量在系R′中的度量。

利用步骤三中所述方法，可以得到整机可补偿自由度误差映射模型与不可补偿自由度误差映射模型，分别表示为

J_xaS_ta＝E_aε_a，J_xcS_tc＝E_cε_c (4)

由式(4)可知，几何误差源ε_x(x)、ε_z(x)、ε_x(y)、ε_z(y)、ε_x(z)、ε_z(z)、ε_x(β)、ε_z(β)、S_yx、S_zy、S_βz以及S_βx对机床不可补偿位姿误差螺旋存在影响，应当在制造过程中予以有效控制。

Claims (1)

1.一种数控机床的几何误差旋量理论建模方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一、对数控机床运动链分别在床身任一点建立全局坐标系R、在运动链末端参考点建立瞬时参考坐标系R′、在各个运动副上建立连体坐标系R_i；建立包含位置独立几何误差、非位置独立几何误差的机床运动链几何误差模型；其中：

位置独立几何误差，表示为：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_i=\left[\begin{array}{cc}{\[}^{i-1}{\mathrm{\δ\θ}}_i\×\]& {}^{i-1}{\mathrm{\δr}}_i+\mathrm{\δ}_{i-1}{r}_i\×\mathrm{\δ}_{i-1}{\mathrm{\θ}}_i\\ 0& 0\end{array}\right]$

其中，^i-1δθ_i＝(^i-1ε_x,i ^i-1ε_y,i ^i-1ε_z,i)^T与^i-1δr_i＝(^i-1δ_x,i ^i-1δ_y,i ^i-1δ_z,i)^T分别表示相邻运动部件连体坐标系之间的相对转角误差与相对位置误差，^i-1δ_x,i、^i-1δ_y,i与^i-1δ_z,i分别表示绕着连体坐标系R_i三个坐标轴的移动误差，^i-1ε_x,i、^i-1ε_y,i与^i-1ε_z,i分别表示沿着连体坐标系R_i三个坐标轴的转动误差，[^i-1δθ_i×]表示相对转角误差^i-1δθ_i的反对称矩阵；

非位置独立几何误差，表示为：

${\widehat{\mathrm{\Δ}}}_i=\left[\begin{array}{cc}\[{\mathrm{\δ\θ}}_i\left(q_i\right)\×\]& {\mathrm{\δr}}_i\left(q_i\right)\\ 0& 0\end{array}\right]$

其中，δr_i(q_i)与δθ_i(q_i)分别为第i个运动副的平动与转动误差矢量，q_i为第i个运动副的位置坐标，[δθ_i(q_i)×]表示转动误差矢量δθ_i(q_i)的反对称矩阵；

机床运动链几何误差模型，表示为

$S_{t\left(1\right)}=M_{\left(1\right)}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}=\left[\begin{array}{cc}{H}_A& H_{\mathrm{\θ}}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}A\\ \mathrm{\θ}\end{array}\right)$

其中，S_t(1)表示在瞬时参考坐标系R′中度量的运动链末端六维位姿误差螺旋，ε₍₁₎表示运动链几何误差向量，且由A、θ两部分构成，A表示运动链所有非位置独立几何误差构成的误差向量，θ表示运动链所有位置独立几何误差构成的误差向量，M₍₁₎表示运动链误差映射矩阵，且由M_A、M_θ两部分构成，M_A表示运动链非位置独立几何误差映射矩阵，M_θ表示运动链位置独立几何误差映射矩阵；

步骤二、利用步骤一所述机床运动链几何误差建模方法，分别建立刀具运动链、工件运动链的几何误差映射模型，并将两者作差，得到整机几何误差映射模型，表示为：

S_t(2)＝S_t,T-S_t,W＝M₍₂₎ε₍₂₎

其中，S_t(2)表示整机末端误差螺旋，S_t,T、S_t,W分别表示刀具运动链、工件运动链的末端误差螺旋，M₍₂₎＝[M_T-M_W]表示整机误差映射矩阵，M_T、M_W分别表示刀具运动链、工件运动链的误差映射矩阵，表示整机几何误差向量，ε_T、ε_W分别表示刀具运动链、工件运动链的几何误差向量；

步骤三、利用受约束刚体的变分空间、力空间及其子空间的性质，对影响整机末端可补偿与不可补偿自由度的几何误差进行分离，分别得到整机可补偿自由度误差映射模型与不可补偿自由度误差映射模型；

可补偿自由度误差映射模型，表示为：

J_xaS_ta＝E_aε_a

其中，S_ta表示机床末端可补偿位姿误差螺旋，J_xa表示机床直接驱动雅可比矩阵，ε_a表示可补偿几何误差源，E_a表示机床可补偿位姿误差映射矩阵；

不可补偿自由度误差映射模型，表示为：

J_xcS_tc＝E_cε_c

其中，S_tc表示机床末端不可补偿位姿误差螺旋，J_xc表示机床直接约束雅可比矩阵，ε_c表示不可补偿几何误差源，E_c表示机床不可补偿位姿误差映射矩阵；

对于可补偿几何误差源ε_a，通过误差补偿的手段减小或消除其对机床末端精度的影响；对于不可补偿几何误差源ε_c，必须在加工及装配过程中予以严格控制，以减小或消除其对机床末端精度的影响。