CN106054597B - 一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度保持性预测方法 - Google Patents

Abstract

一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度保持性预测方法，一般来说，需要长期测量误差数据和多次在规定的期限内对加工精度进行检测和分析，会产生复杂和庞大的数据误差。本发明为了在误差数据的基础上提出一种了加工精度保持性预测方法，首先利用旋量理论的指数矩阵形式，在机床的拓扑结构的基础上，建立起机床整体的空间误差模型进行基于拓扑结构的旋量理论误差建模，并进行了误差数据的测量，其次基于粗糙集(RS)理论对误差数据进行约简，然后基于最小二乘支持向量机(LS‑SVM)方法进行加工精度保持性预测。最后用仿真方法证明本发明所提出预测方法的有效性。

Description

一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度 保持性预测方法

技术领域

本发明提供了一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度保持性预测方法，属于机床精度设计领域。

背景技术

对于机床来说，加工精度是评价机床性能和特点的一个重要的指标。在现代生产中，由于高的金属去除率，加工时间的缩短、高的生产率和较短的工件安装时间，机床在现代制造业中发挥着重要的作用。然而，存在许多影响机床加工精度的因素，其中，几何误差和热误差约占总加工误差的60％。由于这些误差的重复性、随机性和可测性特点，误差预测与补偿是提高机床加工精度的有效途径。除了几何误差，由温度变化引起的热误差也有很大的影响机床的精度，尤其是在连续长时间做重复性的工作或在一个温度变化的车间进行加工，随着对加工精度要求的越来越高，如何使机床长时间保持较高加工精度越来越受制造商和用户的重视，即提高机床的加工精度保持。一般来说，机床的加工精度保持性可以通过实时测量加工误差进行预测。然而，通过这种方式，它会产生复杂和庞大的误差数据，除了由于误差源数量众多外，测量过程是非常复杂和耗时的。为了让精度保持性预测过程简洁有效，本发明提出了一种加工精度保持性预测的方法，该方法不仅可以减少测量工作量，还可以提高预测精度。

因此，可靠和准确的综合误差建模是分析加工精度保持性的第一步。误差建模的目的是建立误差源与机床加工精度的关系。它的精度设计和误差补偿的共同前提，并可以为误差补偿打下基础。国内外专家学者一直在建立机床空间误差模型领域进行不懈的探索和研究，开展了多方面的工作。实际测量到的误差量，主要依靠可靠的测量装置、高效的测量方法等。国内外许多学者都对几何误差建模方法进行了研究，提出了许多有效的建模方法。常用的建模方法有：例如三角关系建模法、误差矩阵法、二次关系模型法、机构学建模法、刚体运动学法、多体系统建模法等。

1982年，波兰学者Z.Pawlak提出了粗糙集理论——它是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析不精确，不一致、不完整等各种不完备的信息，还可以对数据进行分析和推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。

粗糙集分析仅利用数据本身提供的信息，无须任何先验知识，也不需要任何预备的或额外的有关数据信息，比如统计学中的概率分布、Dempster-Shafer理论中的基本概率赋值或者模糊集理论中的隶属度，而这些信息有时并不容易得到。此外，粗糙集还能表达和处理不完备信息，能在保留关键信息的前提下对数据进行简化并求得知识的最小表达，能识别并评估数据之间的依赖关系，揭示出概念简单的模式，能从经验数据中获取易被证实的规则知识。因此，越来越多的国内外学者都对粗糙集这一 方法进行关注和研究，使得粗糙集已成为人工智能领域中一个较新的学术热点,在机器学习、知识获取、决策分析、过程控制等许多领域得到了广泛的应用，本发明中采用粗糙集理论对温度测点进行约简。

通过粗糙集理论对温度测点进行约简后，较少的温度测点组合都能比较完整的表达机床温度场分布情况。为了更加准确快速的得到最佳的误差测点的组合，本发明采用灰关联分析对其进行筛选。此时，按照对误差测点的要求，可以限定时间测点个数，本文中为了简化误差项数量，得到8种组合。

Suykens和Vandewalle于1999年在SVM的基础上提出了最小二乘支持向量机(LS-SVM)，在LS-SVM中引入了损失函数和核函数方法，使其在能对时间序列进行回归拟合与预测，并成功地用等式约束替换了SVM中的不等式约束，把优化问题简化为线性方程组的求解问题，很大层度上减少了计算复杂度，在保证预测精度的同时，提高了预测速度。

LS-SVM模型采用了结构风险最小化原则，在小样本的条件下就可以实现模型的训练，并且训练效率高、泛化能力强，在非线性、非高斯时间序列预测中取得了很好的预测效果。而LS-SVM模型采用等式约束的优化条件、求解结构简单。因此，比起其他的预测方LS-SVM优势明显，但LS-SVM模型仍存在一些有待继续研究的问题。在实际应用中，LS-SVM模型的参数和核函数选取问题缺乏理论指导；怎样设计高效的LS-SVM在线预测算法来增强LS-SVM的实用性问题；与传统算法或技术相结合，拓展LS-SVM的应用范围等问题都亟待解决。因此，关于LS-SVM的研究工作是一个有价值、长时间的过程。此外，在时间序列预测研究中，怎样提高预测精度一直是最核心的问题，很多研究者对这个问题进行了大量的研究，并已取得了很大的进展，预测的精度得到了提高，如把人工神经网络、混沌理论预测等多种方法应用在时间序列预测中。但是时间序列的动态或实时预测是很多领域的关键技术，在很多实际工程应用领域，对预测的实时性也要求很高，譬如民用航空发动机与装备故障实时性能可靠性预测，实时预测交通流量等，在这些应用领域中，对于时间序列的预测效率有很高的要求。从以上的分析中可知，到现阶段为止，虽然已经取得了一系列时间序列预测研究成果，但在实际应用中，使用较广泛的还是人工神经网络预测法和传统统计学分析方法，虽然这些方法的预测精度得到很大的提升，但是很难满足实际应用中对实时性与预测精度的要求。所以，研究提高实际应用中预测精度与预测实时性，并具有适用性的预测方法，具有很大科研与应用意义，能为各行各业的决策者提供科学依据，具有重要的理论与现实价值。LS-SVM方法可以被用来对机床加工精度保持性的预测。通过仿真实验计算的结果表明，本发明所提出的方法是有效的。

所以，建立精确的加工精度预测模型就显得十分重要，如何利用加工精度预测模型准确的分析出机床加工精度随时间的变化规律是本发明中的关键问题之一。

发明内容

本发明的目的提供了一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度保持性预测方法。基于误差测量数据，利用旋量理论的指数矩阵形式，在机床的拓扑结构的基础上，建立起机床整体的空间综合误差模型，该误差模型具有计算速度快、操作简单等优点；基于粗糙集(RS)理论对温度测点进行约简，获得能代表机床温度场的测点组合，然后基于最小二乘支持向量机(LS-SVM)方法进行加工精度保持性改进。最后用仿真方法证明本发明所提出方法的有效性，为精密机床的设计提供了重要的理论依据。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案为一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度保持性预测方法，用于解决机床加工精度保持性预测过程中的技术问题。该方法的实现过程如下，

步骤一 依据旋量理论建立机床的空间综合误差模型

根据旋量理论的指数矩阵形式，将机床的每个运动部分抽象为一个6×1的向量形式；将运动形式及综合误差模块化处理，并用指数矩阵形式表述，根据机床的拓扑结构建立起机床的空间综合误差模型；

步骤1.1旋量理论的指数矩阵形式

旋量理论应用到多轴机床综合误差建模。由于其运动性能，该模型可以用来描述每个轴的运动误差和机床综合误差。垂直度误差的也可以有旋量模型详细的描述。

然而，双频激光干涉仪测量的误差包括许多误差项，例如，几何误差、热变形误差等，其中几何误差、热变形误差占总误差的60％。所以，测量得到误差数据可理解为综合误差，可以表示为式(1)，即：

δ≈δ_G+δ_T (1)

其中，δ_G是几何误差项，δ_T是热变形误差。

由于制造和安装缺陷，几何误差不可避免地存在于每一个运动轴。在一般情况下，六个误差分量可以用来描述一个移动轴的几何误差，因为刚性体具有六个自由度，其中包括三个平移误差和三个旋转误差。一般的，每个轴向的运动都会有6个方向自由度，同时会产生3个平动的误差及3个转动的误差；Moon等人利用旋量理论，定义了误差模块m_e$_e，有：

m_e$_e＝[ε_x,ε_y,ε_z,δ_x,δ_y,δ_z]^T

一个六维向量$也可以代表所有的误差项，即：

$＝[ω^T v^T]^T＝[ω₁，ω₂，ω₃，v₁,v₂,v₃]^T (2)

刚体运动一般都包含平动及转动的，假设向量q在刚体坐标系及参考坐标系是相同的。则刚体的其次变换矩阵为：

旋量的指数形式对应的其次变换矩阵可以写为：T＝e^$θ。当ω＝0时，刚体只有平移运动，则其其次变换矩阵可写为：

当ω≠0时，对于刚体来讲也存在着旋转运动，此时指数矩阵的可被写成：

其中的三角级数展开式可以表示为：

综上所述，$是单位旋量，则刚体的指数矩阵写为：

在‖ω‖≠0时，机械部位的旋转角表示在‖ω‖＝0时，平移的距离可以表示为

由于机床是一个开链的机械结构，用指数矩阵表述其结构则有：

T(0)表示其原始变换矩阵，可将其应用于机床的误差建模。

步骤1.2基于拓扑结构下的三个轴方向误差模型的建立

以X向的运动部件为例，主要分为三部分；第一部分$_xx包含定位误差δ_xx及沿该方向的滚摆误差ε_xx；第二部分$_yx是水平面的线性误差δ_yx及颠摆误差ε_yx；第三部分$_zx是垂直面的线性误差δ_zx及偏摆误差ε_zx；

$_xx，$_yx和$_zx可以被写为：

$_xx＝[ε_xx,0,0,δ_xx,0,0]^T (8)

$_yx＝[0,ε_yx,0,0,δ_yx,0]^T (9)

$_zx＝[0,0,ε_zx,0,0,δ_zx]^T (10)

X轴的空间误差表示为：

X轴的误差模型用指数矩阵形式，表示为：

在本发明中，以一台三轴机床为例，其原理图如图1所示。多体系统理论提供了很详细关于机床的拓扑结构模型，在指数矩阵中也同样可以进行应用，本发明所选中三轴机床的拓扑结构图如图3所示。

理想状态下，机床是不存在误差的。建模的顺序如下：X_i→Y_i→Z_i。理想状态下的矩阵变换方程可以用T_i表示：

实际情况下，由于机床部件自身的误差和部件之间位置的误差，将整体部件误差旋量加入到旋量模块中；用T_a表示：

$_f＝[0,0,0,0,0,0]^T表示地基的旋量。

在工件坐标系中，根据实际与理想状态下的矩阵变换方程，得到多轴机床的空间误差模型：

对应空间误差在三个轴向上的分量E_x，E_y，E_z可表示为：

[E_x,E_y,E_z,1]^T＝E·[0,0,0,1]^T (16)

由于刀具和工件的安装误差非常小，在本发明中不予考虑。所以机床的空间误差在三个轴向上的分量可以写为：

在公式(17)-(19)中，x代表X轴位移；y代表Y轴位移；z代表Z轴位移。步骤二 误差数据测量

在本发明中，以一台三轴机床为例，图1为其结构图。三轴机床共有21项误差，其中包括线性定位误差、直线度误差、角度误差和垂直度误差等，这些误差在被列在表1。为处理简单垂直误差按照已知常量对待，其数值如表2所示。本发明中的机床是连续和长期做重复性的加工相同的阶梯形工件。阶梯型工件如图2所示。

近年来，出现了很多种测量的方法，包括22线法、15线法、12线法、九线法和矢量对角线测量方法等。在本文中，九线法被采用来获得误差数据，因为这种方法识别理论与误差模型无关。机床连续工作6个月，通过API 6D激光干涉仪测量实验数据。每周工作完后刚开启机床时进行误差数据的采集，这些数据可以被认为是机床的几何误差数据，然后使机床连续运动，逐渐升温到机床温度恒定，在机床升温过程中间隔恒定时间进行误差数据的采集，并同时进行对应温度数据的采集，这些误差数据可以被认为是几何误差和热误差的综合误差，将综合误差值减去几何误差值便可得到机床的热误差值。使用激光干涉仪进行误差数据的测量，这项研究采集到了24组数据，每组误差数据都包括18项误差项，表3为部分测量数据。故可以得到下面数据：由激光干涉仪不同时间测量的机床的24组误差数据是{P₁(q),P₂(q),…,P₂₄(q)}。

步骤三 粗糙集理论约简准则

1982年，波兰学者Z.Pawlak提出了粗糙集理论——它是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析不精确，不一致、不完整等各种不完备的信息，还可以对数据进行分析和推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。

基于粗糙集进行知识发现需要事先建立知识发现的数据对象，称为信息系统。一个机床误差信息系统可由4元组表示其中是有限样本集，表示有限个机床加工对象组成的论域，表示样本个数；A＝{a₁,a₂,…,a_|A|}是一组用以描述机床加工对象时间影响属性，表现为论域上的一组二元关系(对完备信息系统而言,它通常是一组等价关系)，|A|表示属性个数； 用V_a表示属性a的值域；函数f:满足f(x,a)∈V_a。对任意的a∈A，其为论域中的每一个对象赋予唯一属性值。

在时变引起机床误差的系统中，属性集A可以分为时变条件属性集P(P＝{P₁,P₂,…,P_|k|})和时变 引起的结果属性集Y(Y＝{Y_t})，而且(T∪Y＝A，)。通过该信息系统，则可以构造一个机床综合误差系统决策表P∪Y,V,f＞。表示误差属性Y的所有等价类构成的集合，[r]_Y表示包含元素的等价类。如果两个元素同属于一个等价类，则它们之间是不可分辨的。不可分辨关系是粗糙集理论的出发点。

在随时间变化空间综合误差系统中，加工对象子集可以使用时变引起的条件属性子集P′表示，也就是说，一个任意的制造对象的集合，包括一个单一的类，这个类(即这个子集)可以使用由等价类引起的随时间变化引起的条件属性子集P′＝{P₁,…,P_m}来表示。一般而言，集合不能被精确的表示，集合中包含或排除的对象，在属性集P′的基础上没有区别，然而，集合可以用包含P′内唯一信息的上下子集来接近，即

式中，是一组必须随时间变化引起的条件属性集被分类的元素这是内包含的最大的子集。是一组必须随时间变化引起的条件属性集被分类的元素这是内包含的最小的子集。

是[r_i]_T′中所有等价类的集合，包含在的制造对象集合中。下近似是中一组完整的对象，这是属于集合的积极的分类。

根据粗糙集理论可知，数据分析的一个重要问题是发现属性之间的依赖性。也就是说，希望在信息系统中发现，那些时变条件属性集P和时变引起的结果属性集Y是强相关的。定义：属性集P、Y的依赖度为γ(P,Y)，有：

其中，γ(P,Y)，表示根据P能被准确分类的对象在整个系统中的比例，也称为关于P的分类质量。

如果γ(P,Y)＝1，称为误差属性集Y完全依赖于时变属性集P，即时变属性集P都是必须的。如果0＜γ(P,Y)＜1，称为误差属性集Y部分依赖于时变属性集P，时变属性集P部分是必须的。

决策表的属性重要性可通过从属性集P中去掉一个属性p∈P后对W的分 类能力的影响来测度。如前所述，γ(P,Y)表示了属性集P和Y之间的依赖性，它也表示划分关于P的近似精度。因此，对于某个属性p的重要性可以利用γ(P,Y)和γ(P-{p},Y)之间的变化来评价

属性p的重要性定义为：

如果P，Y已知，可简记为σ_(T,Y)(p)。σ(p)可被解释为去掉属性p后的分类误差。重要性系数也可对属性集合定义为：

如果P′为P的一个约简，则σ(P′)＝1。如果将P的任意子集P′视为P的近似约简，则可以定义约简近似的误差为

简记为ε(P′)，ε(P′)表示属性集P′近似属性集P的精确程。如果P′为P的一个约简，则ε(P′)＝0。

一般来说，可辨识矩阵是求解相对属性约简和属性核的主要方法之一。在信息系统 中，设一个对象全集按决策属性Y被分成不相交的类族，即 则W中P的区分矩阵M(P)＝{m_i,j}_n×n定义为：

决策表W的区分函数为：

区分函数Δ是一个具有|P|个布尔变量的合取-析取函数，其中变量p*与属性p对应。函数Δ的极小析取范式中的所有合取式是P的所有Y约简。

步骤四 LS-SVM方法准则

Suykens提出了最小二乘支持向量机(LS-SVM)方法。损失函数的最小二乘线性系统的基础，其原理是不等式约束变为等式约束，并将这一组方程被视为目标。在本文中，时变加工精度保持性提高，LS-SVM方法被应用来补偿空间误差。在LS-SVM方法中，时间(t)和精度保持性(d_actual)被作为模型的控制因素。

改进模型如下：

式中，x_i是坐标位置；t代表时间；d_standard是标准尺寸；d_im改善后的坐标位置；ξ_i是剩余变量，其中ξ_i∈R；φ(·)空间映射的核函数：φ(·):Rⁿ→R^nh；ω是权重向量，ω∈R^nh；γ可调参数；b是偏差值。终止条件设置为|d_im-d_standard|≤0.05mm。

引入拉格朗日函数用在模型求解中：

式中，α_i是拉格朗日乘子。

根据极值的存在，一系列方程组可以被计算。

上式约去ω和ξ，整理可以得到：

根据Mercer条件，LS-SVM内核函数K((x,t,d_standard),(x_l,t_l,d_standard))的回归估计如下：

其中，α,b可以通过公式(31)计算得到。核函数满足Mercer条件的任意对称函数，通常采用径向基函数(Radical Basis Function,RBF)。

核函数为K((x_i,t_i,d_standard),(x_j,t_j,d_standard))＝exp[-((x_j,t_j,d_standard)-(x_i,t_i,d_standard))²/(2σ²)]，式中，待定参数σ的值很大，且收敛速度很快。因此，RBF主要受正则化参数γ和核函数的宽度σ的影响。LS-SVM方法的学习能力和泛化能力主要由这两个参数决定。但相比选择其它类型的核函数，在样本数据较少、高维或先验知识不足的情况下，因为RBF核函数参数较少，所以采用RBF核函数的支持向量机模型的适应性更好，总体预测效果更好些，在实际应用中更多的实例采用RBF核函数。

附图说明

图1三轴加工中心结构图。

图2阶梯型工件。

图3三轴加工中心的拓扑结构图。

图4实际测得的时变的精度保持性。

图5实际测得精度保持性与模型预测结果的差异性。

图6实际测得精度保持性与模型预测结果的残差。

图7为本方法的实施流程图。

具体实施方式

算例：以三轴联动数控加工机床为例(图1)

步骤一 依据旋量理论建立机床的空间综合误差模型

根据旋量理论的指数矩阵形式，将机床的每个运动部分抽象为一个6×1的向量形式；将运动形式及综合误差模块化处理，并用指数矩阵形式表述，根据机床的拓扑结构建立起机床的空间综合误差模型；

步骤1.1旋量理论的指数矩阵形式

旋量理论应用到多轴机床综合误差建模。由于其运动性能，该模型可以用来描述每个轴的运动误差和机床综合误差。垂直度误差的也可以有旋量模型详细的描述。

然而，双频激光干涉仪测量的误差包括许多误差项，例如，几何误差、热变形误差等，其中几何误差、热变形误差占总误差的60％。所以，测量得到误差数据可以表示为式(9)，即：

δ≈δ_G+δ_T (32)

其中，δ_G是几何误差项，δ_T是热变形误差。

由于制造和安装缺陷，几何误差不可避免地存在于每一个运动轴。在一般情况下，六个误差分量可以用来描述一个移动轴的几何误差，因为刚性体具有六个自由度，其中包括三个平移误差和三个旋转误差。一般的，每个轴向的运动都会有6个方向自由度，同时会产生3个平动的误差及3个转动的误差；Moon等人利用旋量理论，定义了误差模块m_e$_e，有：

m_e$_e＝[ε_x,ε_y,ε_z,δ_x,δ_y,δ_z]^T

一个六维向量$也可以代表所有的误差项，即：

$＝[ω^T v^T]^T＝[ω₁，ω₂，ω₃，v₁,v₂,v₃]^T (33)

刚体运动一般都包含平动及转动的，假设向量q在刚体坐标系及参考坐标系是相同的。则刚体的其次变换矩阵为：

旋量的指数形式对应的其次变换矩阵可以写为：T＝e^$θ。当ω＝0时，刚体只有平移运动，则其其次变换矩阵可写为：

当ω≠0时，对于刚体来讲也存在着旋转运动，此时指数矩阵的可被写成：

其中的三角级数展开式可以表示为：

综上所述，$是单位旋量，则刚体的指数矩阵可以写为：

在‖ω‖≠0时，机械部位的旋转角可表示在‖ω‖＝0时，平移 的距离可以表示为

由于机床是一个开链的机械结构，用指数矩阵表述其结构则有：

T(0)表示其原始变换矩阵，可将其应用于机床的误差建模。

步骤1.2基于拓扑结构下的三个轴方向误差模型的建立

以X向的运动部件为例，主要分为三部分；第一部分$_xx包含定位误差δ_xx及沿该方向的滚摆误差ε_xx；第二部分$_yx是水平面的线性误差δ_yx及颠摆误差ε_yx；第三部分$_zx是垂直面的线性误差δ_zx及偏 摆误差ε_zx；

$_xx，$_yx和$_zx可以被写为：

$_xx＝[ε_xx,0,0,δ_xx,0,0]^T (39)

$_yx＝[0,ε_yx,0,0,δ_yx,0]^T (40)

$_zx＝[0,0,ε_zx,0,0,δ_zx]^T (41)

X轴的空间误差可表示为：

X轴的误差模型用指数矩阵形式，表示为：

在本发明中，以一台三轴机床为例，其原理图如图1所示。多体系统理论提供了很详细关于机床的拓扑结构模型，在指数矩阵中也同样可以进行应用，本发明所选中三轴机床的拓扑结构图如图4所示，

理想状态下，机床是不存在误差的。建模的顺序如下：X_i→Y_i→Z_i。理想状态下的矩阵变换方程可以用T_i表示：

实际情况下，由于机床部件自身的误差和部件之间位置的误差，将整体部件误差旋量加入到旋量模块中；用T_a表示：

$_f＝[0,0,0,0,0,0]^T表示地基的旋量。

在工件坐标系中，根据实际与理想状态下的矩阵变换方程，得到多轴机床的空间误差模型：

对应空间误差在三个轴向上的分量E_x，E_y，E_z可表示为：

[E_x,E_y,E_z,1]^T＝E·[0,0,0,1]^T (47)

由于刀具和工件的安装误差非常小，在本发明中不予考虑。所以机床的空间误差在三个轴向上的分量可以写为：

在公式(48)-(50)中，x代表X轴位移；y代表Y轴位移；z代表Z轴位移。步骤二 误差数据测量

在本发明中，以一台三轴机床为例，图1为其结构图。三轴机床共有21项误差，其中包括线性定位误差、直线度误差、角度误差和垂直度误差等，这些误差在被列在表1。为处理简单垂直误差按照已知常量对待，其数值如表2所示。本发明中的机床是连续和长期做重复性的加工相同的阶梯形工件。阶梯型工件如图2所示。

近年来，出现了很多种测量的方法，包括22线法、15线法、12线法、九线法和矢量对角线测量方法等。在本文中，九线法被采用来获得误差数据，因为这种方法识别理论与误差模型无关。机床连续工作6个月，通过API 6D激光干涉仪测量实验数据。每周工作完后刚开启机床时进行误差数据的采集，这些数据可以被认为是机床的几何误差数据，然后使机床连续运动，逐渐升温到机床温度恒定，在机床升温过程中间隔恒定时间进行误差数据的采集，并同时进行对应温度数据的采集，这些误差数据可以被认为是几何误差和热误差的综合误差，将综合误差值减去几何误差值便可得到机床的热误差值。如图3所示为使用激光干涉仪进行误差数据的测量，这项研究采集到了24组数据，每组误差数据都包括18项误差项，表3为部分测量数据。故可以得到下面数据：由激光干涉仪不同时间测量的机床的24组误差数据是{P₁(q),P₂(q),…,P₂₄(q)}。

步骤三 误差数据处理

3.1粗糙集理论约简准则

1982年，波兰学者Z.Pawlak[57]提出了粗糙集理论——它是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析不精确，不一致、不完整等各种不完备的信息，还可以对数据进行分析和推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。

基于粗糙集进行知识发现需要事先建立知识发现的数据对象，称为信息系统。一个机床误差信息系统可由4元组表示其中是有限样本集，表示有限个机床加工对象组成的论域，表示样本个数；A＝{a₁,a₂,…，a_|A|}是一组用以描述机床加工对象时间影响属性，表现为论域上的一组二元关系(对完备信息系统而言,它通常是一组等价关系)，|A|表示属性个数； 用V_a表示属性a的值域；函数f:满足f(x,a)∈V_a。对任意的a∈A，其为论域中的每一个对象赋予唯一属性值。

在时变引起机床误差的系统中，属性集A可以分为时变条件属性集P(P＝{P₁,P₂,…,P_|k|})和时变引起的结果属性集Y(Y＝{Y_t})，而且(T∪Y＝A，)。通过该信息系统，则可以构造一个机床综合误差系统决策表 表示误差属性Y的所有等价类构成的集合，[r]_Y表示包含元素的等价类。如果两个元素同属于一个等价类，则它们之间是不可分辨的。不可分辨关系是粗糙集理论的出发点。

在随时间变化空间综合误差系统中，加工对象子集可以使用时变引起的条件属性子集P′表示，也就是说，一个任意的制造对象的集合，包括一个单一的类，这个类(即这个子集)可以使用由等价类引起的随时间变化引起的条件属性子集P′＝{P₁,…,P_m}来表示。一般而言，集合不能被精确的表示，集合中包含或排除的对象，在属性集P′的基础上没有区别，然而，集合可以用包含P′内唯一信息的上下子集来接近，即

式中，是一组必须随时间变化引起的条件属性集被分类的元素这是内包含的最大的子集。是一组必须随时间变化引起的条件属性集被分类的元素这是内包含的最小的子集。

是[r_i]_T′中所有等价类的集合，包含在的制造对象集合中。下近似是中一组完整的对象，这是属于集合的积极的分类。

根据粗糙集理论可知，数据分析的一个重要问题是发现属性之间的依赖性。也就是说，希望在信息系统中发现，那些时变条件属性集P和时变引起的结果属性集Y是强相关的。定义：属性集P、Y的依赖度为γ(P,Y)，有：

其中，γ(P,Y)，表示根据P能被准确分类的对象在整个系统中的比例，也称为关于P的分类 质量。

如果γ(P,Y)＝1，称为误差属性集Y完全依赖于时变属性集P，即时变属性集P都是必须的。如果0＜γ(P,Y)＜1，称为误差属性集Y部分依赖于时变属性集P，时变属性集P部分是必须的。

决策表的属性重要性可通过从属性集P中去掉一个属性p∈P后对W的分类能力的影响来测度。如前所述，γ(P,Y)表示了属性集P和Y之间的依赖性，它也表示划分关于P的近似精度。因此，对于某个属性p的重要性可以利用γ(P,Y)和γ(P-{p},Y)之间的变化来评价

属性p的重要性定义为：

如果P，Y已知，可简记为σ_(T,Y)(p)。σ(p)可被解释为去掉属性p后的分类误差。重要性系数也可对属性集合定义为：

如果P′为P的一个约简，则σ(P′)＝1。如果将P的任意子集P′视为P的近似约简，则可以定义约简近似的误差为

简记为ε(P′)，ε(P′)表示属性集P′近似属性集P的精确程。如果P′为P的一个约简，则ε(P′)＝0。

一般来说，可辨识矩阵是求解相对属性约简和属性核的主要方法之一。在信息系统 中，设一个对象全集按决策属性Y被分成不相交的类族，即 则W中P的区分矩阵M(P)＝{m_i,j}_n×n定义为：

决策表W的区分函数为：

区分函数Δ是一个具有|P|个布尔变量的合取-析取函数，其中变量p*与属性p对应。函数Δ的极小析取范式中的所有合取式是P的所有Y约简。

3.2粗糙集理论约简

把所测的24组随时间变化作为条件属性C，即C＝{P₁(q),P₂(q),…,P₂₄(q)}，所测的机床误差数据作为结果属性D，即D＝{Y(q)}，从而建立了一个系统决策表根据粗糙集理论方法,对决策系统K进行条件属性的化简后将得到最小条件属性约简。数据约简后，测量周的组合被得到，如表6所示。

根据表6可知，通过测量周约简可以得到129种组合，这些误差测量周组合都能比较完整的表达机床加工误差分布情况。为了更加准确快速的得到最佳的误差测量周的组合，本文采用灰关联分析对其进行筛选。此时，按照对误差测点的要求，可以限定时间测点个数，本文中为了简化误差数据数量，得到8种组合：

{1，2，7，10，11，14，17，19}，{1，8，10，11，13，14，15，22}，{1，6，9，10，11，14，19，22，24}，{1，8，10，11，14，19，22，24}，{1，10，11，13，14，17，18，19}，{1，4，8，10，11，14，15，19}，{1，10，11，14，18，19，20，24}，{1，10，11，14，17，18，19，24}，{1，9，10，11，14，15，18，19}。其中组合{1，10，11，14，18，19，20，24}是被选来使用的。

3.3实时加工精度计算

被选为实例的机床连续很长一段时间进行加工同样的工件。这一工作模式中机床的精度保持性和影响工件精度因素是最值得关注的问题。为了对这一问题进行研究，每周都对机床进行误差的测量，每月对工件精度进行抽样检验。根据粗糙集理论，最有效的组合被选择。在这一节中，我们使用这些组合进行实时加工精度分析。如上述第说，体积误差分布可以被计算，由体积误差的分布可知，三轴机床的精度一直在下降，刚开始工作时，体积误差范围在“-22.68μm至32.77μm”。到第24周体积误差范围在“-83.52μm至43.89μm”。机床连续长时间工作而没有维维护，机床精度是天天降低的，对工件的尺寸精度检测也揭示了这一问题，如图4所示，实际测得的精度保持性越来越低。符号k代表工件的精度。如果k接近1，意味机床的精度保持性较好，有：

式中，d_standard代表要求的尺寸；

d_actual代表实际加工出来的尺寸。

步骤四 时变精度保持性的提高

前文对时变精度保持性进行了研究。结果表明，由于持续的长时间的重复加工，精度保持性不能保持不变，机床需要维修和调整，只有这样的机床才可以正常的工作。因此，如何提高机床的时变精度保持性是厂家和用户面对的难题。在这一部分中，依据约简后的误差数据组合，基于最小二乘支持向量机(LS-SVM)方法提出了一种时变加工精度保持性预测方法。

4.1 LS-SVM方法准则

Suykens提出了最小二乘支持向量机(LS-SVM)方法。损失函数的最小二乘线性系统的基础，其原理是不等式约束变为等式约束，并将这一组方程被视为目标。在本文中，时变加工精度保持性提高，LS-SVM方法被应用来补偿空间误差。在LS-SVM方法中，时间(t)和精度保持性(d_actual)被作为模型的 控制因素。

改进模型如下：

式中，x_i是坐标位置；t代表时间；d_standard是标准尺寸；d_im改善后的坐标位置；ξ_i是剩余变量，其中ξ_i∈R；φ(·)空间映射的核函数：φ(·):Rⁿ→R^nh；ω是权重向量，ω∈R^nh；γ可调参数；b是偏差值。终止条件设置为|d_im-d_standard|≤0.05mm。

引入拉格朗日函数用在模型求解中：

式中，α_i是拉格朗日乘子。

根据极值的存在，一系列方程组可以被计算。

上式约去ω和ξ，整理可以得到：

根据Mercer条件，LS-SVM内核函数K((x,t,d_standard),(x_l,t_l,d_standard))的回归估计如下：

其中，α,b可以通过公式(31)计算得到。核函数满足Mercer条件的任意对称函数，通常采用径向基函数(Radical Basis Function,RBF)。

核函数为K((x_i,t_i,d_standard),(x_j,t_j,d_standard))＝exp[-((x_j,t_j,d_standard)-(x_i,t_i,d_standard))²/(2σ²)]，式中，待定参数σ的值很大，且收敛速度很快。因此，RBF主要受正则化参数γ和核函数的宽度σ的影响。LS-SVM方法的学习能力和泛化能力主要由这两个参数决定。但相比选择其它类型的核函数，在样本数据较少、高维或先验知识不足的情况下，因为RBF核函数参数较少，所以采用RBF核函数的支持向量机模型的适应性更好，总体预测效果更好些，在实际应用中更多的实例采用RBF核函数。

4.1加工精度保持性改进仿真

前文提供了提高加工精度保持性的方法，本节的主要目是如何预测加工精度保持性。改进的LS-SVM模型表明，选择RBF函数为核函数，根据经验值取γ＝49.8，σ²＝0.2。机床的实际精度保持性通过每周测量工件尺寸获得，然后基于第1到第12周实际加工精度保持性数据预测第13周到第24周的加工精度保持性，图5为实际测得精度保持性与模型预测结果的差异性，图6为实际测得精度保持性与模型预测结果的残差，如图5所示，通过每周测量工件的尺寸精度可知，机床的加工精度逐渐降低，精度保持性的值K也逐渐变大，由图6知，精度保持性K的值通过实际测得工件获得的结果与通过模型预测获得的结果最大差值为0.021，差值非常小，因此本模型预测准确性比较高，故本发明提出的预测方法在预测机床加工精度保持性方面很有效，同时对机床误差补偿方面具有重要指导意义。

表1三轴机床的误差

表2垂直度误差数值

表3 24组测量数据中的部分数据

X向的6项几何误差数据(第一周)

Y向的6项几何误差数据(第一周)

Z向的6项几何误差数据(第一周)

X向的6项几何误差数据(第十五周)

Y向的6项几何误差数据(第十五周)

Z向的6项几何误差数据(第十五周)

表4基于粗糙集理论的误差测点约简组合

Claims (1)

1.一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度保持性预测方法，其特征在于：该方法的实现过程如下，

步骤一 依据旋量理论建立机床的空间综合误差模型

根据旋量理论的指数矩阵形式，将机床的每个运动部分抽象为一个6×1的向量形式；将运动形式及综合误差模块化处理，并用指数矩阵形式表述，根据机床的拓扑结构建立起机床的空间综合误差模型；

步骤1.1 旋量理论的指数矩阵形式

旋量理论应用到多轴机床综合误差建模；由于其运动性能，该模型能够用来描述每个轴的运动误差和机床综合误差；垂直度误差的也有旋量模型详细的描述；

然而，双频激光干涉仪测量的误差包括许多误差项，所述误差项包括几何误差、热变形误差，其中几何误差、热变形误差占总误差的60％；所以，测量得到误差数据表示为式(1)，即：

δ≈δ_G+δ_T (1)

其中，δ_G是几何误差项，δ_T是热变形误差；

由于制造和安装缺陷，几何误差不可避免地存在于每一个运动轴；六个误差分量用来描述一个移动轴的几何误差，因为刚性体具有六个自由度，其中包括三个平移误差和三个旋转误差；每个轴向的运动都会有六个方向自由度，同时会产生三个平动的误差及三个转动的误差利用旋量理论，定义了误差模块m_e$_e，有：

m_e$_e＝[ε_x,ε_y,ε_z,δ_x,δ_y,δ_z]^T

一个六维向量$也代表所有的误差项，即：

$＝[ω^Tv^T]^T＝[ω₁，ω₂，ω₃，v₁,v₂,v₃]^T (2)

刚体运动都包含平动及转动的，假设向量q在刚体坐标系及参考坐标系是相同的；则刚体的齐次变换矩阵为：

旋量的指数形式对应的齐次变换矩阵写为：当ω＝0时，刚体只有平移运动，则齐次变换矩阵写为：

当ω≠0时，对于刚体来讲也存在着旋转运动，此时指数矩阵的被写成：

其中的三角级数展开式表示为：

综上所述，$是单位旋量，则刚体的指数矩阵写为：

在||ω||≠0时，机械部位的旋转角表示在||ω||＝0时，平移的距离表示为

由于机床是一个开链的机械结构，用指数矩阵表述其结构则有：

T(0)表示其原始变换矩阵，将其应用于机床的误差建模；

步骤1.2基于拓扑结构下的三个轴方向误差模型的建立

X向的运动部件分为三部分；第一部分$_xx包含定位误差δ_xx及沿该方向的滚摆误差ε_xx；第二部分$_yx是水平面的线性误差δ_yx及颠摆误差ε_yx；第三部分$_zx是垂直面的线性误差δ_zx及偏摆误差ε_zx；

$_xx，$_yx和$_zx被写为：

$_xx＝[ε_xx,0,0,δ_xx,0,0]^T (8)

$_yx＝[0,ε_yx,0,0,δ_yx,0]^T (9)

$_zx＝[0,0,ε_zx,0,0,δ_zx]^T (10)

X轴的空间误差表示为：

X轴的误差模型用指数矩阵形式，表示为：

在三轴机床中，多体系统理论提供了很详细关于机床的拓扑结构模型，在指数矩阵中也同样能够进行应用；

理想状态下，机床是不存在误差的；建模的顺序如下：X_i→Y_i→Z_i；理想状态下的矩阵变换方程用T_i表示：

实际情况下，由于机床部件自身的误差和部件之间位置的误差，将整体部件误差旋量加入到旋量模块中；用T_a表示：

表示地基的旋量；

在工件坐标系中，根据实际与理想状态下的矩阵变换方程，得到多轴机床的空间误差模型：

E＝T_i ^-1·T_a (15)

对应空间误差在三个轴向上的分量E_x，E_y，E_z表示为：

[E_x,E_y,E_z,1]^T＝E·[0,0,0,1]^T (16)

由于刀具和工件的安装误差非常小，在本方法中不予考虑；所以机床的空间误差在三个轴向上的分量写为：

在公式(17)-(19)中，x代表X轴位移；y代表Y轴位移；z代表Z轴位移；

步骤二 误差数据测量

在三轴机床中，三轴机床共有21项误差，其中包括线性定位误差、直线度误差、角度误差和垂直度误差，这些误差在被列在表1；为处理简单垂直误差按照已知常量对待，其数值如表2所示；本方法中的机床是连续和长期做重复性的加工相同的阶梯形工件；

九线法被采用来获得误差数据，因为这种方法识别理论与误差模型无关；机床连续工作6个月，通过API6D激光干涉仪测量实验数据；每周工作完后刚开启机床时进行误差数据的采集，这些数据被认为是机床的几何误差数据，然后使机床连续运动，逐渐升温到机床温度恒定，在机床升温过程中间隔恒定时间进行误差数据的采集，并同时进行对应温度数据的采集，这些误差数据被认为是几何误差和热误差的综合误差，将综合误差值减去几何误差值便得到机床的热误差值；使用激光干涉仪进行误差数据的测量，这项研究采集到了24组数据，每组误差数据都包括18项误差项，表3为部分测量数据；故得到下面数据：由激光干涉仪不同时间测量的机床的24组误差数据是{P₁(q),P₂(q),…,P₂₄(q)}；

步骤三 粗糙集理论约简准则

基于粗糙集进行知识发现需要事先建立知识发现的数据对象，称为信息系统；一个机床误差信息系统由4元组表示其中是有限样本集，表示有限个机床加工对象组成的论域，表示样本个数；A＝{a₁,a₂,…,a_A}是一组用以描述机床加工对象时间影响属性，表现为论域上的一组二元关系，|A|表示属性个数；用V_a表示属性a的值域；函数满足f(x,a)∈V_a；对任意的a∈A，其为论域中的每一个对象赋予唯一属性值；

在时变引起机床误差的系统中，属性集A分为时变条件属性集P(P＝{P₁,P₂,…,P_|k|})和时变引起的结果属性集Y(Y＝{Y_t})，而且T∪Y＝A，通过该信息系统，则构造一个机床综合误差系统决策表 表示误差属性Y的所有等价类构成的集合，[r]_Y表示包含元素的等价类；如果两个元素同属于一个等价类，则它们之间是不可分辨的；不可分辨关系是粗糙集理论的出发点；

在随时间变化空间综合误差系统中，加工对象子集使用时变引起的条件属性子集P′表示，也就是说，一个任意的制造对象的集合，包括一个单一的类，这个类使用由等价类引起的随时间变化引起的条件属性子集P′＝{P₁,…,P_m}来表示；集合不能被精确的表示，集合中包含或排除的对象，在属性集P′的基础上没有区别，然而，集合用包含P′内唯一信息的上下子集来接近，即

式中，是一组必须随时间变化引起的条件属性集被分类的元素这是内包含的最大的子集；是一组必须随时间变化引起的条件属性集被分类的元素这是内包含的最小的子集；

是[r_i]_T′中所有等价类的集合，包含在的制造对象集合中；下近似是中一组完整的对象，这是属于集合的积极的分类；

根据粗糙集理论可知，数据分析的一个重要问题是发现属性之间的依赖性；也就是说，希望在信息系统中发现，那些时变条件属性集P和时变引起的结果属性集Y是强相关的；定义：属性集P、Y的依赖度为γ(P,Y)，有：

其中，γ(P,Y)，表示根据P能被准确分类的对象在整个系统中的比例，也称为关于P的分类质量；

如果γ(P,Y)＝1，称为误差属性集Y完全依赖于时变条件属性集P，即时变条件属性集P都是必须的；如果0＜γ(P,Y)＜1，称为误差属性集Y部分依赖于时变条件属性集P，时变条件属性集P部分是必须的；

决策表的属性重要性通过从时变条件属性集P中去掉一个属性p∈P后对W的分类能力的影响来测度；如上所述，γ(P,Y)表示了属性集P和Y之间的依赖性，它也表示划分关于P的近似精度；因此，对于某个属性p的重要性利用γ(P,Y)和γ(P-{p},Y)之间的变化来评价属性p的重要性定义为：

如果P，Y已知，简记为σ_(T,Y)(p)；σ(p)被解释为去掉属性p后的分类误差；重要性系数也能够对属性集合定义为：

如果P′为P的一个约简，则σ(P′)＝1；如果将P的任意子集P′视为P的近似约简，则定义约简近似的误差为

简记为ε(P′)，ε(P′)表示属性集P′近似时变条件属性集P的精确程；如果P′为P的一个约简，则ε(P′)＝0；

可辨识矩阵是求解相对属性约简和属性核的方法；在信息系统中，设一个对象全集按决策属性Y被分成不相交的类族，即则W中P的区分矩阵M(P)＝{m_i,j}_n×n定义为：

策表W的区分函数为：

区分函数Δ是一个具有|P|个布尔变量的合取-析取函数，；函数Δ的极小析取范式中的所有合取式是P的所有Y约简；

步骤四 LS-SVM方法准则

Suykens提出了最小二乘支持向量机LS-SVM方法；损失函数的最小二乘线性系统的基础，其原理是不等式约束变为等式约束，并将这一组方程被视为目标；在本文中，时变加工精度保持性提高，LS-SVM方法被应用来补偿空间误差；在LS-SVM方法中，时间t和精度保持性d_actual被作为模型的控制因素；

改进模型如下：

式中，x_i是坐标位置；t代表时间；d_standard是标准尺寸；d_im改善后的坐标位置；ξ是剩余变量，其中ξ∈R；φ(·)空间映射的核函数：φ(·):Rⁿ→R^nh；ω是权重向量，ω∈R^nh；γ是可调参数；b是偏差值；终止条件设置为|d_im-d_standard|≤0.05mm；

引入拉格朗日函数用在模型求解中：

式中，α_i是拉格朗日乘子；

根据极值的存在，一系列方程组被计算；

上式约去ω和ξ，整理得到：

根据Mercer条件，LS-SVM内核函数K((x,t,d_standard),(x_l,t_l,d_standard))的回归估计如下：

其中，α,b通过公式(31)计算得到；核函数满足Mercer条件的任意对称函数，通常采用径向基函数(Radical Basis Function,RBF)；核函数为K((x_i,t_i,d_standard),(x_j,t_j,d_standard))＝exp[-((x_j,t_j,d_standard)-(x_i,t_i,d_standard))²/(2σ²)]，式中，待定参数σ的值很大，且收敛速度很快；因此，RBF受正则化参数γ和核函数的宽度σ的影响；LS-SVM方法的学习能力和泛化能力由这两个参数决定；

表1 三轴机床的误差

表2 垂直度误差数值

表3 24组测量数据中的部分数据