CN103546210B - 多基站协作场景中基于安全速率优化的预编码方法 - Google Patents

Abstract

本发明是多基站协作场景中基于安全速率优化的预编码方法，具体指一种多基站协作场景中基于安全速率优化的预编码信息处理方法，涉及无线通信预编码技术领域。具体为：各基站向用户发送训练序列，用户和窃听者的收发信机根据接收到的信号进行信道估计，分别得到各基站与用户和窃听者之间的信道信息；中央处理器根据得到的信道信息，计算所有基站的预编码矩阵，并将各预编码矩阵反馈给相应的基站；各基站将同一信号经预编码处理后发送给用户；用户和窃听者对接收到的信号进行检测，估计发送的信号。它通过同时得到各基站的预编码矩阵最大化系统的安全速率，避免了传统的迭代算法不能确保得到的解为全局最优解的缺陷，能够有效地提高系统的安全速率。

Description

多基站协作场景中基于安全速率优化的预编码方法

技术领域

本发明涉及无线通信预编码技术领域，具体是一种在多基站协作场景中基于安全速率优化的预编码信息处理方法。

背景技术

在无线通信中，由于无线媒介的开放性，数据传输的安全问题变得更具挑战性,是一项需要深入研究的课题。在过去较长的时间内，学者们致力于用加密的方法来确保信息的安全传输，这种加密算法通常基于事先确定好的协议，然而，对于WIFI（WirelessFidelity）和用户对用户直接通信的类型，由于它们的接入和离开是随机的，所以执行这种协议是很困难的。因此，基于物理层的信息安全问题逐渐受到研究者的关注。

安全传输的最初概念是由A.D.Wyner提出的，他阐述了不需要密钥就可以实现机密信息的安全传输，同时窃听者不会获得信息，而且提出了安全速率的概念来衡量通信系统的安全性。同时，随着多天线技术的发展，研究者把他们的注意力转移到这种更有前景的领域来增强安全速率。

目前，主流的安全速率定义为被窃听用户的速率减去窃听者的速率。一般来说，对安全速率的研究主要分为两类，一类是基于预编码技术，另一类是基于人工噪声。经对现有文献检索发现，C.Jeong,I.KimandD.Kim，“JointSecureBeamformingDesignattheSourceandtheRelayforanAmplify-and-ForwardMIMOUntrustedRelaySystem”，IEEETransactionsonSignalProcessing（非信任中继前向放大MIMO系统中源端和中继的联合安全波束成型设计，IEEE信号处理学报）中，作者研究了一个单基站单用户，并且具有一个协作中继的系统，同时假设这个中继也是一个潜在的窃听者。基于基站和中继的预编码设计，这篇文章得出了系统的最大安全速率。

经检索又发现，H.Wang,Q.YinandX.Xia，“DistributedBeamformingforPhysical-LayerSecurityofTwo-WayRelayNetworks”，IEEETransactionsonSignalProcessing（双向中继网络中物理层安全的分布式波束成型）中，作者考虑了一个双向中继的场景，这时窃听者在两个时隙中都可以窃听到用户的信息，通过相应的预编码设计得到最大的安全速率。

虽然传统的迭代算法以先后优化各个节点的预编码矩阵从而得到最优的安全速率，但这种方法不能确保得到的解为全局最优解。

此外，经检索发现，S.GoelandR.Negi，“GuaranteeingSecrecyusingArtificialNoise”，IEEETransactionsonWirelessCommunications（利用人为噪声保证安全，IEEE无线通信学报）和J.HuangandA.L.Swindlehurst，“QoS-constrainedrobustbeamforminginMISOwiretapchannelswithahelper”，SystemsandComputers(ASILOMAR)2011ConferenceRecordoftheFortyFifthAsilomarConferenceonSignals（存在一个帮助者的MISO窃听信道中基于QoS约束的鲁棒性波束成型，2011年第四十五届Asilomar信号会议的系统和计算机会议记录）中，作者们都是通过增加人工噪声干扰窃听者，从而提高安全速率。不同点在于，在前一篇中，人工噪声是在发送端，而在后一篇中，由另外一个帮助者产生人工噪声。

由此可知，关于在对多个基站协作的场景下来优化安全速率的预编码方法没有进行过多研究，在多基站协作场景下对安全速率进行优化具有十分重要的意义。

发明内容

本发明的目的在于提供一种对于多基站协作场景中存在窃听者时，如何通过对基站进行联合预编码从而优化系统安全速率的方法。本发明假设用户和窃听者的信道状态信息是已知的，通过对基站进行适当的联合预编码来最大化系统的安全速率。目标是最大化合法用户的信噪比，同时窃听者的信噪比要小于一定的阈值，并且各个基站还要满足各自的功率约束。与传统的采用迭代的方法来优化各基站的预编码矩阵相比，本发明通过凸优化过程能够同时得到各基站的预编码矩阵，获得各基站的全局最优解，从而使系统得到更高的安全速率。

本发明基于包括K个基站、一个用户和一个窃听者，一个用于信号处理的中央处理器的通信系统结构，具体方法为:

A.K个基站同时向用户发送训练序列P₁，用户根据接收到的信号对信道进行估计，得到基站与用户之间的信道信息窃听者根据接收到的信号对信道进行估计，得到基站与窃听者之间的信道信息

B.用户和窃听者将得到的基站与用户之间的信道信息 和基站与窃听者之间的信道信息反馈给各基站，然后各基站分别将获得的信道信息传输给中央处理器，中央处理器根据和计算所有基站的预编码矩阵F，其中F=blkdiag{F₁,F₂,…F_K}，F_i为第i个基站的预编码矩阵,并将F_i反馈给第i个基站，i=1,2,…K。所有基站的预编码矩阵的计算步骤如下：

（1）、将优化系统安全速率进行凸优化；定义系统的安全速率为：C=∣C_u－C_e∣⁺，其中∣x∣⁺表示取0与x间的最大值，C_u、C_e分别表示用户、窃听者的速率，且计算如下：C_u=log(1+SNR_u)、C_e=log(1+SNR_e)，其中SNR_u、SNR_e分别表示用户和窃听者的信噪比；

然后，把优化C_u和C_e转化为分别优化SNR_u和SNR_e；此时，目标成为最大化SNR_u，同时各基站需要满足各自的功率约束，SNR_e也要小于一个阈值，阈值取0至2之间的数，约束条件表示为：

$\mathrm{Tr}\left(F_i{F}_i^H\right)\≤P_i,i=\mathrm{1,2},...K$

SNR_e≤r_e

其中， ${\mathrm{SNR}}_u=\frac{{\left|\right|\underset{i=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(u\right)}{F}_i\left|\right|}^2}{{\left|\right|n_u\left|\right|}^2},{\mathrm{SNR}}_e=\frac{{\left|\right|\underset{i=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(e\right)}{F}_i\left|\right|}^2}{{\left|\right|n_e\left|\right|}^2},$ r_e表示窃听者的阈值。

（2）、设计各基站的预编码矩阵，最大化系统的安全速率；定义矩阵F，且F=blkdiag{F₁,F₂,…F_K}，得到P_i是由“0”和“1”排列组成的的矩阵。同时，引入等式vec(F)=T_ff，这里f定义为：

$f=\left[\begin{array}{c}\mathrm{vec}\left(F_1\right)\\ \mathrm{vec}\left(F_2\right)\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{vec}\left(F_K\right)\end{array}\right]$

T_f是由“0”和“1”组成的矩阵，它可以通过观察vec(F)的非零项来得到。利用等式 $\mathrm{Tr}\left(X^H\mathrm{YXW}\right)=\mathrm{vec}{\left(X\right)}^H(W^T\⊗Y)\mathrm{vec}\left(X\right)$ 和Tr(AB)＝Tr(BA)，SNR_u和两个约束条件的表达式分别改写为：

$\mathrm{Tr}\left(F_i{F}_i^H\right)=\mathrm{Tr}\left({\mathrm{Cff}}^H\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\left|\right|\underset{i=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(e\right)}{F}_i\left|\right|}^2}{{\left|\right|n_e\left|\right|}^2}=\frac{\mathrm{Tr}\left({\left(\underset{i=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(e\right)}{P}_{i}F{P}_i^T\right)}^H\left(\underset{i=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(e\right)}{P}_{i}F{P}_i^T\right)\right)}{N_e{\mathrm{\σ}}_e^2}\\ =\frac{\mathrm{Tr}\left({\mathrm{Bff}}^H\right)}{N_e{\mathrm{\σ}}_e^2}\end{array}$

其中， $A=\underset{i=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{T}_f^H{\left(P_j^T{P}_i\right)}^T\⊗\left(P_i^T{H}_i^{\left(u\right)H}{H}_j^{\left(u\right)}{P}_j\right)T_f,$

$B=\underset{i=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{T}_f^H{\left(P_j^T{P}_i\right)}^T\⊗\left(P_i^T{H}_i^{\left(e\right)H}{H}_j^{\left(e\right)}{P}_j\right)T_f,C=T_f^H{\left(P_i^T{P}_i\right)}^T\⊗\left(P_i^T{P}_i\right)T_f.$

随后，引入一个新的矩阵W=ff^H。因此，约束条件又重新写为：

Tr(CW)≤P_i,i＝1,2,…K

$\frac{\mathrm{Tr}\left(\mathrm{BW}\right)}{N_e{\mathrm{\σ}}_e^2}\≤r_e$

rank(W)＝1

上述约束条件简化为：

Tr(CW)≤P_i,i＝1,2,…K

$\mathrm{Tr}\left(\mathrm{BW}\right)\≤{\tilde{r}}_e$

rank(W)＝1

和的选取理论上应该尽量小，这样能够得到更大的安全速率，但是当和的值过小时，目标函数可能无法得到合适的解。矩阵W的秩为1的约束条件使此最优化过程成为非凸的。首先根据半正定松弛，忽略W的秩为1的约束条件，使最优化过程转化为一个半正定规划，这时，就可以使用内点法来解得最优的预编码矩阵。然后，假设由内点法得到的最优解为如果通过特征值分解得到f^opt，如果那么用矩阵随机化的方法解决。这时，用r表示矩阵的秩，它是一个比1大的数，然后用下面的方法得到最优解。

首先，将分解为其中V是一个的矩阵；然后找到一个满足Tr(V^HA_iVM)＝0，i＝0,1,2.的非零r×r的厄米特矩阵M，用ρ₁,ρ₂,…ρ_R表示M的特征向量，并令；接下来生成一个新的矩阵 ${\tilde{W}}^{\′}=V(I_R-(1/\mathrm{\ρ})M)V^H,$ 并令 $\tilde{W}={\tilde{W}}^{\′}.$ 按照这种算法循环执行下去，直到

C.K个基站将要发送的信号s经过预编码处理后发送给用户，假设第i个基站有N_i根收发天线，用户有N_u根收发天线，窃听者有N_e根收发天线。用户、窃听者接收到的信号分别表示为：

$y_u=\underset{i=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(u\right)}{F}_{i}s+n_u$

$y_e=\underset{i=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(e\right)}{F}_{i}s+n_e$

其中，分别是一个N_u×N_i阶、N_e×N_i阶的矩阵，分别表示第i个基站和合法用户之间、窃听者之间的信道；Fi是一个N_i×N_i阶的矩阵，表示第i个基站的预编码矩阵；s是一个N_i×1的向量，表示基站发射的信号，并且其中E{x}表示x的数学期望，上标H表示共轭转置运算；n_u、n_e分别是一个N_u×1、N_e×1的向量，分别表示用户端、窃听者端的高斯白噪声，并且 $E\left\{n_e{n}_e^H\right\}={\mathrm{\σ}}_e^{2}I.$

D.用户端和窃听者对接收到的信号进行检测处理，分别得到估计的发送信号s₁，s₂。

上述的中央处理器是一个与各基站相连的信号处理设备，与各基站以有线的方式通信，并对各基站的联合预编码矩阵进行计算，它的具体位置可以根据各基站的实际位置进行合适地选择。

综上所述，与现有技术相比，该发明的有益效果是在多基站协作场景中，对各基站进行了联合预编码设计，通过同时得到各基站的预编码矩阵并且最大化用户的速率和一些约束条件最大化系统的安全速率，避免了传统的迭代算法不能确保得到的解为全局最优解的缺陷，能够有效地提高系统的安全速率，改善系统的性能。

附图说明

图1是本发明的多基站协作系统的模型框图。

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明的方法进一步描述

本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方案和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

本发明应用的通信系统结构包括K个基站、一个用户和一个窃听者，一个中央处理器用于信号处理。

以下实施例的无线通信系统具体包括两个基站、一个用户和一个窃听者。同时基站、用户和窃听者的天线数都为2，而且系统采用瑞利平坦衰落信道。待发送信号功率为所有用户和窃听者的接收噪声均为零均值单位方差的复高斯白噪声，所有基站的发射功率也都相同。

本发明描述了2个基站同时为一个用户服务，同时系统中存在一个窃听者会窃听到用户的信息，通过对多基站进行联合预编码来优化系统的安全速率。以下对本发明的多基站协作场景中基于安全速率优化的预编码信号处理方法进行详细说明。

一种多基站协作场景中基于安全速率优化的预编码方法，包括以下步骤：

a.基站1和基站2同时向用户发送信号p,用户根据接收到的信号进行信道估计，得到各基站与用户之间的信道窃听者根据接收到的信号进行信道估计，得到各基站与用户之间的信道

b.用户和窃听者将得到的信道信息和分别反馈给基站1和基站2，然后各基站分别将获得的信道信息传输给中央处理器，中央处理器根据得到的信道信息计算两个基站的预编码矩阵F，其中F=blkdiag{F₁,F₂}，并将F_i反馈给第i个基站，i=1,2。所有基站的预编码矩阵的计算步骤如下：

（1）、将优化系统安全速率进行凸优化；定义系统的安全速率为：C=∣C_u－C_e∣⁺，其中∣x∣⁺表示取0与x间的最大值，C_u、C_e分别表示用户、窃听者的速率，且计算如下：C_u=log(1+SNR_u)、C_e=log(1+SNR_e)，其中SNR_u、SNR_e分别表示用户和窃听者的信噪比；

然后，把优化C_u和C_e转化为分别优化SNR_u和SNR_e；此时，目标成为最大化SNR_u，同时各基站需要满足各自的功率约束，SNR_e也要小于一个阈值，阈值取0至2之间的数，约束条件表示为：

$\mathrm{Tr}\left(F_i{F}_i^H\right)\≤P_i,i=\mathrm{1,2}$

SNR_e≤r_e

其中， ${\mathrm{SNR}}_u=\frac{{\left|\right|\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(u\right)}{F}_i\left|\right|}^2}{{\left|\right|n_u\left|\right|}^2},{\mathrm{SNR}}_e=\frac{{\left|\right|\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(e\right)}{F}_i\left|\right|}^2}{{\left|\right|n_e\left|\right|}^2},$ r_e表示窃听者的阈值。

（2）、设计各基站的预编码矩阵，最大化系统的安全速率；定义矩阵F，且F=blkdiag{F₁,F₂}，得到，P_i是由“0”和“1”排列组成的的矩阵。同时，引入等式vec(F)=T_ff，这里f定义为：

$f=\left[\begin{array}{c}\mathrm{vec}\left(F_1\right)\\ \mathrm{vec}\left(F_2\right)\end{array}\right]$

T_f是由“0”和“1”组成的矩阵，它可以通过观察vec(F)的非零项来得到。利用等式 $\mathrm{Tr}\left(X^H\mathrm{YXW}\right)=\mathrm{vec}{\left(X\right)}^H(W^T\⊗Y)\mathrm{vec}\left(X\right)$ 和Tr(AB)＝Tr(BA)，SNR_u和两个约束条件的表达式分别改写为：

$\mathrm{Tr}\left(F_i{F}_i^H\right)=\mathrm{Tr}\left({\mathrm{Cff}}^H\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\left|\right|\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(e\right)}{F}_i\left|\right|}^2}{{\left|\right|n_e\left|\right|}^2}=\frac{\mathrm{Tr}\left({\left(\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(e\right)}{P}_{i}F{P}_i^T\right)}^H\left(\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(e\right)}{P}_{i}F{P}_i^T\right)\right)}{2}\\ =\frac{\mathrm{Tr}\left({\mathrm{Bff}}^H\right)}{2}\end{array}$

其中， $A=\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{T}_f^H{\left(P_j^T{P}_i\right)}^T\⊗\left(P_i^T{H}_i^{\left(u\right)H}{H}_j^{\left(u\right)}{P}_j\right)T_f,$

$B=\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{T}_f^H{\left(P_j^T{P}_i\right)}^T\⊗\left(P_i^T{H}_i^{\left(e\right)H}{H}_j^{\left(e\right)}{P}_j\right)T_f,C=T_f^H{\left(P_i^T{P}_i\right)}^T\⊗\left(P_i^T{P}_i\right)T_f.$

随后，引入一个新的矩阵W=ff^H。因此，约束条件又重新写为：

Tr(CW)≤P_i,i＝1,2

$\frac{\mathrm{Tr}\left(\mathrm{BW}\right)}{2}\≤r_e$

rank(W)＝1

上述约束条件简化为：

Tr(CW)≤P_i,i＝1,2

$\mathrm{Tr}\left(\mathrm{BW}\right)\≤{\tilde{r}}_e$

rank(W)＝1

和的选取理论上应该尽量小，这样能够得到更大的安全速率，但是当和的值过小时，目标函数可能无法得到合适的解。矩阵W的秩为1的约束条件使此最优化过程成为非凸的。首先根据半正定松弛，忽略W的秩为1的约束条件，使最优化过程转化为一个半正定规划，这时，就可以使用内点法来解得最优的预编码矩阵。然后，假设由内点法得到的最优解为如果通过特征值分解得到f^opt，如果那么用矩阵随机化的方法解决。这时，用r表示矩阵的秩，它是一个比1大的数，然后用下面的方法得到最优解。

首先，将分解为其中V是一个阶的矩阵；然后找到一个满足Tr(V^HA_iVM)＝0，i＝0,1,2.的非零r×r的厄米特矩阵M，用ρ₁,ρ₂,…ρ_R表示M的特征向量，并令；接下来生成一个新的矩阵 ${\tilde{W}}^{\′}=V(I_R-(1/\mathrm{\ρ})M)V^H,$ 并令 $\tilde{W}={\tilde{W}}^{\′}.$ 按照这种算法循环执行下去，直到

c.两个基站将要发送的信号s经过预编码处理后发送给用户，用户、窃听者接收到的信号分别表示为：

$y_u=\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(u\right)}{F}_{i}s+n_u$

$y_e=\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i^{\left(e\right)}{F}_{i}s+n_e$

d.用户端和窃听者对接收到的信号进行检测处理，分别得到估计的发送信号s₁，s₂。

综上所述，本发明在多基站协作场景中，对各基站进行了联合预编码设计，通过同时得到各基站的预编码矩阵并且最大化用户的速率和一些约束条件最大化系统的安全速率，避免了传统的迭代算法不能确保得到的解为全局最优解的缺陷，能够有效地提高系统的安全速率，改善系统的性能。

Claims (2)

1.一种多基站协作场景中基于安全速率优化的预编码方法，基于包括K个基站、一个用户和一个窃听者，一个用于信号处理的中央处理器的通信系统结构，其特征在于，包括以下步骤：

A.K个基站同时向用户发送训练序列P₁，用户根据接收到的信号进行信道估计，得到基站与用户之间的信道信息窃听者根据接收到的信号对信道进行估计，得到基站与窃听者之间的信道信息

B.中央处理器根据基站与用户之间的信道信息和基站与窃听者之间的信道信息计算所有基站的预编码矩阵F，其中F＝blkdiag{F₁，F₂，...F_k}，F_i为第i个基站的预编码矩阵，并将F_i反馈给第i个基站，i＝1，2，...K；

C.K个基站将要发送的信号s经过预编码处理后发送给用户，假设第i个基站有N_i根收发天线，用户有N_u根收发天线，窃听者有N_e根收发天线，用户、窃听者接收到的信号分别表示为：

$y_u=\underset{i=1}{\overset{K}{\Σ}}{H}_i^{\left(u\right)}{F}_{i}s+n_u$

$y_e=\underset{i=1}{\overset{K}{\Σ}}{H}_i^{\left(e\right)}{F}_{i}s+n_e$

其中，分别是一个N_u×N_i阶、N_e×N_i阶的矩阵，分别表示第i个基站和合法用户之间、窃听者之间的信道；F_i是一个N_i×N_i阶的矩阵，表示第i个基站的预编码矩阵；s是一个N_i×1的向量，表示基站发射的信号，并且其中E{x}表示x的数学期望，上标H表示共轭转置运算；n_u、n_e分别是一个N_u×1、N_e×1的向量，分别表示用户端、窃听者端的高斯白噪声，并且 $E\left\{n_e{n}_e^H\right\}={\mathrm{\σ}}_e^{2}I;$

D.用户端和窃听者对接收到的信号进行检测处理，分别得到估计的发送信号s₁，s₂。

2.根据权利要求1所述的多基站协作场景中基于安全速率优化的预编码方法，其特征在于，第B步中所述的所有基站的预编码矩阵F的计算步骤如下：

(1)、将优化系统安全速率进行凸优化；定义系统的安全速率为：C＝|C_u-C_e|+，其中|X|+表示取0与X间的最大值，C_u、C_e分别表示用户、窃听者的速率，且计算如下：C_u＝log(1+SNR_u)、C_e＝log(1+SNR_e)，其中SNR_u、SNR_e分别表示用户和窃听者的信噪比；

然后，把优化C_u和C_e转化为分别优化SNR_u和SNR_e；此时，目标成为最大化SNR_u，同时各基站需要满足各自的功率约束，SNR_e也要小于一个阈值，阈值取0至2之间的数，约束条件表示为：

Tr(F_iF_i ^H)≤P_i，i＝1，2，...，K

SNR_e≤r_e

其中， ${\mathrm{SNR}}_u=\frac{\left|\right|\underset{i=1}{\overset{K}{\Σ}}{H}_i^{\left(u\right)}{F}_i|{|}^2}{\left|\right|n_u|{|}^2},{\mathrm{SNR}}_e=\frac{\left|\right|\underset{i=1}{\overset{K}{\Σ}}{H}_i^{\left(e\right)}{F}_i|{|}^2}{\left|\right|n_e|{|}^2},$ P_i为基站i的功率约束，r_e表示窃听者的阈值；

(2)、设计各基站的预编码矩阵，最大化系统的安全速率；定义矩阵F，且F＝blkdiag{F₁，F₂，...F_k}，得到P_i是由“0”和“1”排列组成的的矩阵；同时，引入等式vec(F)＝T_ff和W＝ff^H，这里f定义为：

$f=\left[\begin{array}{c}vec\left(F_1\right)\\ vec\left(F_2\right)\\ .\\ .\\ .\\ vec\left(F_K\right)\end{array}\right]$

T_f是由“0”和“1”组成的矩阵；

此时，SNR_u和约束条件的表达式分别改写为：

$\frac{\left|\right|\underset{i=1}{\overset{K}{\Σ}}{H}_i^{\left(u\right)}{F}_i|{|}^2}{\left|\right|n_u|{|}^2}=\frac{Tr\left(AW\right)}{N_u{\mathrm{\σ}}_u^2}$

T_r(CW）≤P_i，i＝1，2，...，K

$Tr\left(BW\right)\≤{\tilde{r}}_e$

rank(W)＝1

忽略rank(W)＝1的约束条件，转化为一个半正定规划，由内点法解得最优的预编码矩阵；

其中， $A=\underset{i=1}{\overset{K}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{K}{\Σ}}{T}_f^H{\left(P_j^T{P}_i\right)}^T\⊗\left(P_i^T{H}_i^{\left(u\right)H}{H}_j^{\left(u\right)}{P}_j\right)T_f,$

$B=\underset{i=1}{\overset{K}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{K}{\Σ}}{T}_f^H{\left(P_j^T{P}_i\right)}^T\⊗\left(P_i^T{H}_i^{\left(e\right)H}{H}_j^{\left(e\right)}{P}_j\right)T_f,C=T_f^H{\left(P_i^T{P}_i\right)}^T\⊗\left(P_i^T{P}_i\right)T_f;$

参数P_i是基站i的功率约束；r_e表示窃听者的阈值，N_e是窃听者的收发天线根数。