CN103208996A - 准循环码的频域编码方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种准循环码的频域编码方法，涉及准循环码频域编码技术，属于信息论及编码技术领域。本发明利用生成矩阵的频域形式进行编码，分为对非二进制准循环码和二进制准循环码的编码。对于非二进制准循环码，首先将GF(2^r)中消息序列m与生成矩阵的频域形式

相乘得到一组频域形式的码字然后将码字

直接傅里叶反变换为C，至此编码过程结束。对于二进制准循环码，首先将GF(2)中消息序列m与生成矩阵的频域形式

相乘得到一组频域形式的码字随后将码字

映射为满足共轭关系的

最后将

傅里叶反变换为C，至此编码过程结束。相比于传统编码方式，频域编码技术编码复杂度大幅度降低。

Description

准循环码的频域编码方法

技术领域

本发明涉及一种准循环码的频域编码方法，属于信息论及编码技术领域。

背景技术

1、现有技术的技术方案。

假设准循环码的生成矩阵G＝[I|P]，其中，G是ek×en的准循环矩阵，e表示准循环阵中每个小循环方阵的行数或者列数，每个准循环矩阵由k×n个小循环方阵构成，k表示准循环矩阵的行数，n表示准循环矩阵的列数，G由I和P两部分组成。I是ek×ek的单位阵，P是ke×(n-k)e的准循环阵。要编码的消息为消息序列m=[m₀,m₁,…,m_i,…,m_k],其中m_i是一个长为e的向量。编码后的码字为C=[C₀，C₁，…，C_i，…，C_n]，其中C_i是一个长为e的向量。对于二进制准循环码，生成矩阵G，消息序列m以及码字C中的元素均为二元域GF(2)中的元素。对于非二进制准循环码，生成矩阵G，消息序列m以及码字C中的元素均为GF(2^r)中的元素，其中GF(2^r)表示二元域GF(2)的r次方扩域。其传统的编码方式均为：

C＝m×G

2、现有技术的缺点

现有准循环码编码技术编码的计算复杂度很高，对于二进制准循环码以及非二进制准循环码而言，其编码复杂度均为O(k(n-k)e²)，即其编码的复杂度在k(n-k)e²的数量级上。

发明内容

本发明的目的是为了解决在常规准循环码编码过程较复杂的缺陷，提出了一种能大幅度降低编码运算复杂度的准循环码的频域编码方法。

一种准循环码的频域编码方法，包括以下几个步骤：

步骤一、判断准循环码的类别；

步骤二、针对非二进制准循环码进行编码；

步骤三、针对二进制准循环码进行编码。

本发明的优点为，频域编码相比于常规编码方式复杂度大大降低，具体表现如下：

（1）对于非二进制准循环码，常规的编码方式将长度为ke的消息编码成长度为ne的码字运算复杂度为O(k(n-k)e²)，而对于频域编码其运算复杂度为O(ek(n-k))。

（2）对于二进制准循环码，常规的编码方式将长度为ke的消息编码成长度为ne的码字运算复杂度为O(k(n-k)e²)，而对于频域编码其运算复杂度为O(ek(n-k)log₂e)。

附图说明

图1是本发明的方法流程图；

图2是本发明非二进制准循环码编码方法流程图；

图3是本发明二进制准循环码编码方法流程图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明是一种准循环码的频域编码方法，流程如图1所示，包括以下几个步骤：

步骤一、判断准循环码的类别。

准循环码的编码过程是将一段消息序列与准循环码生成矩阵相乘最终变为一段信息序列，设定消息序列为m，其中，m=[m₀,m₁,...,m_i,...,m_e]。

设n、e、k为正整数，ke为编码前消息序列m的长度，ne为编码后信息序列的长度，其中ke＜ne。

（1）当(ne,ke)线性分组码C_qc中元素在GF(2)中，符合以下条件：

1）C_qc中的码字由n组e个比特组成。

2）对C_qc中的码字的n组比特分别进行循环移位得到的码字仍然是C_qc中的码字。

则此线性分组码C_qc为二进制准循环码，转入步骤三。

（2）当(ne,ke)线性分组码C_qc中的元素在GF(2^r)中，且满足上述1）与2）的条件，则此线性分组码C_qc为非二进制准循环码，转入步骤二。

步骤二、针对非二进制准循环码进行编码。

如图2所示，首先将GF(2^r)中的消息序列m与生成矩阵的频域形式

相乘得到一组频域形式的码字

，然后将码字

直接傅里叶反变换为C，至此编码过程结束。

具体包括：

1）将生成矩阵G转化为其频域形式

对非二进制准循环码，假设准循环码的生成矩阵G（ek×en）是由k×n组的非二进制准循环矩阵组成，其中e+1为2的r次幂，即e＝2^r-1。其中，e表示准循环阵中每个小循环方阵的行数或者列数，每个准循环矩阵由k×n个小循环方阵构成，k表示准循环矩阵的行数，n表示准循环矩阵的列数。

假设G＝[W_i,j]，其中W_i,j=circ(a_i,j,0，a_i，j，1，…，a_i，j,e-1)是一个e×e的准循环矩阵，且第一行为a_i,j,0，a_i,j,1，…,a_i,j,e-1,其中0≤i＜k，0≤j＜n，W_i,j表示G矩阵中位于第i行j列的小矩阵，circ(a_i,j,0,a_i,j,1,…,a_i,j,e-1)表示W_i,j中第一行的元素分别为a_i,j,0，a_i,j,1,…,a_i,j,e-1。

将G转化为矩阵

具体为：

其中：V＝[α^-ij]，V^-1＝[α^ij]，α为GF(2^r)中的本原元，[α^ij]表示第i行j列的元素为α^ij的矩阵，diag表示对角矩阵。

矩阵

由k×n组e×e的对角阵组成，即

其中：

对

进行行列变换，得到G^F,π，具体为：

设π_row和π_col分别为长为ek，en的序列。π_row中的第p个元素

其中0≤p＜ek，(p)_e表示p/e的余数，

表示p/e的商。

其中0≤q＜en，(q)_e表示q/e的余数，

表示q/e的商。

π_row(p)、π_col(q)的反变换分别为

将

中第0行至第ek-1行中的元素分别置于第π_row(0)行至第π_row(ek-1)行中，然后再将第0列至第en-1列中的元素分别置于第π_col(0)列至第π_col(en-1)列中,得到矩阵其中D_t＝[d_i,j,t]，d_i,j,t为矩阵D_t中的第i行j列的元素，对于0≤i＜k，0≤j＜n，0≤t＜e，有

2）将m编码为

需要编码的消息序列m=[m₀，m₁,…,m_i,…,m_e],其中m_i是一个长为k的子序列，即m_i＝[m_i,t]，m_i,t表示m中第i个子序列m_i的第t个元素，且0≤t＜k。

编码后的码字C的傅里叶变换为

其中

是一个定义在GF(2^r)中的长为n的子序列，即

且0≤t＜n。

的得到方式为：

3）将

进行傅里叶反变化得到码字C，转化方式如下：

其中，编码后的码字为C=[C₀,C₁，…，C_i，…，C_e]，其中C_i是一个长为n的子序列，即C_i＝[c_i,t]，c_i,t表示C中第i个子序列C_i的第t个元素，且0≤t＜n。

编码过程结束。

步骤三、针对二进制准循环码进行编码。

如图3所示，首先将GF(2)中消息序列m与生成矩阵的频域形式

相乘得到一组频域形式的码字

随后将码字

映射为满足共轭关系的

最后将傅里叶反变换为C，至此编码过程结束。

具体包括：

1）将生成矩阵G转化为其频域形式

对于二进制准循环码，假设其生成矩阵G（ek×en）是由k×n组的二进制准循环矩阵组成，其中e＝2^r-1。其中，e为准循环码中循环块的大小，ek为编码前的消息长度， en为编码后的信息长度。

假设G＝[W_i,j]，其中W_i,j=circ(a_i,j,0，a_i,j,1,…,a_i,j,e-1)是一个e×e的准循环矩阵，其中0≤i＜k，0≤j＜n。在GF(2^r)中有λ组共轭组，分别表示为Ψ₀,Ψ₁,…,Ψ_λ-1。Ψ_i定义为

其中η_i为第i个共轭组中元素的个数,t_i表示第i个共轭组中的第一个元素。

为GF(2^r)的子域GF(2^ηi)中的一组基。共轭组中的所有元素构成了GF(2^r)中的所有元素。

转换方式与非二进制准循环码编码中G的转换方式相同，与步骤二1）相同。

2）将m编码为

需要编码的消息序列m=[m₀,m₁,…，m_e],其中m_i是一个长为k的向量。

为频域中的码字，编码方式如下，

此时

中的元素并不满足共轭关系，即对于序列

中的第t个子序列

和第(2t)_e个子序列，其中0≤t＜e，都不存在即子序列

中每个元素进行平方后都不等于

中的对应元素，其中(2t)_e表示(2t)/e的余数。

3）将

映射成一组满足共轭关系的频域中的码字

编码后的码字的傅里叶变换为

其中

是一个定义在GF(2^r)中的长为n的向量，映射关系如下；

其中，

表示

中的第(t_i2^μ)_e个元素，

表示

中的第(t_i2^μ)_e个元素。

4）将

进行傅里叶反变化得到二进制码字C，转化方式如下，

其中，编码后的码字为C=[C₀,C₁，…，C_i，…，C_e]，其中C_i是一个长为n的子序列，即C_i＝[c_i,t]，c_i,t表示C中第i个子序列C_i的第t个元素，且0≤t＜n。

至此，编码过程结束。

实施实例

对于在无线通信领域利用到的一组64进制的（4095,2160）准循环码，其中的元素为64进制，码长为4095位，信息位长为2160位，准循环码中循环块大小e为63。利用针对非二进制准循环码编码方法，可将一个长为2160位的64进制消息编码为长为4095位的64进制信息。相比于传统的编码方法，该编码方法的计算复杂度仅为1.59%。

对于在航天领域利用到的一组2进制的（4095,2160）准循环码，其中的元素为2进制，码长为4095位，信息位长为2160位，准循环码中循环块大小e为63。利用针对二进制准循环码编码方法，可将一个长为2160位的二进制消息编码为长为4095位的二进制信息。相比于传统的编码方法，该编码方法的计算复杂度仅为传统编码方法的9.52%。

对于在存储和航空领域利用到的一组2进制的（8176,7154）准循环码，其中的元素为2进制，码长为8176位，信息位长为7154位，准循环码中循环块大小e为511。利用针对二进制准循环码编码方法，可将一个长为7154位的二进制消息编码为长为8176位的二进制信息。相比于传统的编码方法，该编码方法的计算复杂度仅为传统编码方法的1.77%。

Claims (3)

1.一种准循环码的频域编码方法，其特征在于，包括以下几个步骤：

步骤一、判断准循环码的类别；

设消息序列为m，其中，m=[m₀,m₁,…,m_i,…,m_e],其中m_i是一个长为k的向量；

设n、e、k为正整数，ke为编码前消息序列m的长度，ne为编码后信息序列的长度，其中ke＜ne；

（1）当(ne,ke)线性分组码C_qc中元素在GF(2)中，其中，GF(2)表示二元域，若符合以下条件：

1）C_qc中的码字由n组e个比特组成；

2）对C_qc中的码字的n组比特分别进行循环移位得到的码字仍然是C_qc中的码字；

则此线性分组码C_qc为二进制准循环码，转入步骤三；

（2）当(ne,ke)线性分组码C_qc中的元素在GF(2^r)中，且满足上述1）与2）的条件，则此线性分组码C_qc为非二进制准循环码，转入步骤二，其中GF(2^r)表示二元域GF(2)的r次方扩域；

步骤二、针对非二进制准循环码进行编码；

首先将GF(2^r)中的消息序列m与生成矩阵的频域形式

相乘得到一组频域形式的码字

然后将码字直接傅里叶反变换为C，至此编码过程结束；

步骤三、针对二进制准循环码进行编码；

首先将GF(2)中消息序列m与生成矩阵的频域形式

相乘得到一组频域形式的码字

随后将码字

映射为满足共轭关系的

最后将

傅里叶反变换为C，至此编码过程结束。

2.根据权利要求1所述的一种准循环码的频域编码方法，其特征在于，所述的步骤二具体包括以下几个步骤：

具体包括：

1）将生成矩阵G转化为其频域形式

对非二进制准循环码，假设准循环码的生成矩阵G（ek×en）是由k×n组的非二进制准循环矩阵组成，其中e+1为2的r次幂，即e＝2^r-1，e表示准循环阵中每个小循环方阵的行数或者列数，每个准循环矩阵由k×n个小循环方阵构成，k表示准循环矩阵的行数，n表示准循环矩阵的列数；

假设G＝[W_i,j]，其中W_i,j=circ(a_i,j,0，a_i,j,1,…,a_i,j,e-1)是一个e×e的准循环矩阵，且第一行为a_i,j,0，a_i,j,1，…，a_i,j,e-1,其中0≤i＜k，0≤j＜n，W_i,j表示G矩阵中位于第i行j列的小矩阵，circ(a_i,j,0,a_i,j,1,…,a_i,j,e-1)表示W_i,j中第一行的元素分别为a_i,j,0,a_i,j,1,…,a_i,j,e-1;

将G转化为矩阵具体为：

其中：V＝[α^-ij]，V^-1＝[α^ij]，α为GF(2^r)中的本原元，[α^ij]表示第i行j列的元素为α^ij的矩阵，diag表示对角矩阵；

矩阵

由k×n组e×e的对角阵组成，即

其中：

对

进行行列变换，得到G^F,π，具体为：

设π_row和π_col分别为长为ek，en的序列，π_row中的第p个元素

其中0≤p＜ek，(p)_e表示p/e的余数，表示p/e的商；

0≤q＜en，其中0≤q＜en，(q)_e表示q/e的余数，

表示q/e的商；

π_row(p)、π_col(q)的反变换分别为

将

中第0行至第ek-1行中的元素分别置于第π_row(0)行至第π_row(ek-1)行中，然后再将第0列至第en-1列中的元素分别置于第π_col(0)列至第π_col(en-1)列中,得到矩阵

其中D_t＝[d_i,j,t]，d_i,j,t为矩阵D_t中的第i行j列的元素，对于0≤i＜k，0≤j＜n，0≤t＜e，有

2）将m编码为

需要编码的消息序列m=[m₀,m₁,…,m_i,…,m_e],其中m_i是一个长为k的子序列，即m_i＝[m_i,t]，m_i,t表示m中第i个子序列m_i的第t个元素，且0≤t＜k；

编码后的码字C的傅里叶变换为

其中

是一个定义在GF(2^r)中的长为n的子序列，即且0≤t＜n；

具体为：

3）将

进行傅里叶反变化得到码字C，转化方式如下：

其中，编码后的码字为C=[C₀,C₁，…，C_i，…，C_e]，其中C_i是一个长为n的子序列，即C_i＝[c_i,t]，c_i,t表示C中第i个子序列C_i的第t个元素，且0≤t＜n，α为GF(2^r)中的本原元；

编码过程结束。

3.根据权利要求1所述的一种准循环码的频域编码方法，其特征在于，所述的步骤三具体包括以下几个步骤：

具体包括：

1）将生成矩阵G转化为其频域形式

对于二进制准循环码，假设其生成矩阵G（ek×en）是由k×n组的二进制准循环矩阵组成，其中e＝2^r-1；其中，e为准循环码中循环块的大小，ek为编码前的消息长度，en为编码后的信息长度；

假设G＝[W_i,j]，其中W_i,j=circ(a_i,j,0，a_i,j,1,…,a_i,j,e-1)是一个e×e的准循环矩阵，其中0≤i＜k，0≤j＜n；在GF(2^r)中有λ组共轭组，分别表示为Ψ₀,Ψ₁,…,Ψ_λ-1；Ψ_i定义为

其中η_i为第i个共轭组中元素的个数,t_i表示第i个共轭组中的第一个元素；

为GF(2^r)的子域GF(2^ηi)中的一组基；共轭组中的所有元素构成了GF(2^r)中的所有元素；

将G转化为矩阵

具体为：

其中：V＝[α^-ij]，V^-1＝[α^ij]，α为GF(2^r)中的本原元，[α^ij]表示第i行j列的元素为α^ij的矩阵，diag表示对角矩阵；

矩阵

由k×n组e×e的对角阵组成，即其中：

对

进行行列变换，得到G^F,π，具体为：

设π_row和π_col分别为长为ek，en的序列，π_row中的第p个元素

其中0≤p＜ek，(p)_e表示p/e的余数，

表示p/e的商；

0≤q＜en，其中0≤q＜en，(q)_e表示q/e的余数，表示q/e的商；

π_row(p)、π_col(q)的反变换分别为

将

中第0行至第ek-1行中的元素分别置于第π_row(0)行至第π_row(ek-1)行中，然后再将第0列至第en-1列中的元素分别置于第π_col(0)列至第π_col(en-1)列中,得到矩阵

其中D_t＝[d_i,j,t]，d_i,j,t为矩阵D_t中的第i行j列的元素，对于0≤i＜k，0≤j＜n，0≤t＜e，有

2）将m编码为

需要编码的消息序列m=[m₀,m₁,…,m_e],其中m_i是一个长为k的向量；

为频域中的码字，编码方式如下，

此时

中的元素并不满足共轭关系，共轭关系指的是对于序列

中的第t个子序列

和第(2t)_e个子序列，其中0≤t＜e，都存在

即子序列

中每个元素进行平方后都等于

中的对应元素，其中(2t)_e表示(2t)/e的余数；

3）将

映射成一组满足共轭关系的频域中的码字

编码后的码字的傅里叶变换为

其中

是一个定义在GF(2^r)中的长为n的向量，映射关系如下；

其中，

表示

中的第(t_i2^μ)_e个元素，

表示

中的第(t_i2^μ)_e个元素；

4）将

进行傅里叶反变换得到二进制码字C，转化方式如下，

其中，编码后的码字为C=[C₀，C₁，…，C_i，…，C_e]，其中C_i是一个长为n的子序列，即C_i＝[c_i,t]，c_i,t表示C中第i个子序列C_i的第t个元素，且0≤t＜n；

编码过程结束。

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