CN103065052A - 一种测定机械产品理论寿命的方法 - Google Patents

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CN103065052A CN2013100046496A CN201310004649A CN103065052A CN 103065052 A CN103065052 A CN 103065052A CN 2013100046496 A CN2013100046496 A CN 2013100046496A CN 201310004649 A CN201310004649 A CN 201310004649A CN 103065052 A CN103065052 A CN 103065052A
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Abstract

一种测定机械产品理论寿命的方法，以样品的寿命试验数据为基础，利用自助加权范数法评估三参数威布尔分布可靠性的最优置信区间，基于可靠性经验值与理论值的差异，通过6个最小加权范数准则，构建出威布尔分布的最优参数信息向量，对最优参数信息向量进行自助再抽样，获得生成参数信息向量，在给定置信水平下，求解出参数的估计真值及其置信区间，并据此建立可靠性的估计真值函数及其最优置信区间函数，求解得到该机械产品的理论寿命。本发明优化选择多个不同的准则处理原始寿命数据，获得能体现总体多个侧面特征的威布尔参数最优信息向量，经过2次优化，优化了产品理论寿命的测定。

Description

一种测定机械产品理论寿命的方法
技术领域
本发明涉及到一种基于多准则优化的可靠性最优置信区间的试验评估方法，具体的说是一种测定机械产品理论寿命的方法。
背景技术
随着科学技术的发展，许多机械产品，如轴承、齿轮和液压泵等，尤其是用于现代航天航空系统的轴承、齿轮和液压泵等，对性能与寿命可靠性提出了更加严格的要求，以确保其安全可靠运行。
产品的理论寿命是否可靠、是否可以信赖，需要进行试验评估。迄今为止，在机械产品可靠性试验评估中，三参数威布尔分布被广泛应用，且主要聚焦于威布尔参数估计，采用的方法有极大似然法与最小二乘法，优化极大似然函数的变邻域搜索与模拟退火法，随机数法，高阶统计量法，矩与概率加权矩法，相关系数与割线优化法等。
由于任何试验的参数评估都伴随有不确定性，尤其对高可靠性重大装备与系统而言，过低估计可靠性，会造成巨大浪费且不能充分发挥产品性能；过高估计可靠性，将产生重大安全事故隐患。因此，必须优化评估可靠性置信区间。但现有的可靠性理论研究主要依赖于某一个准则如概率加权矩准则，并直接用原始试验寿命数据估计威布尔参数，不能优化评估可靠性，无法取得最优置信区间。这就不能评估给定置信水平下，产品理论寿命是否可靠、是否可以信赖。
发明内容
为解决现有方法无法准确取得机械产品可靠性的最优置信区间的问题，本发明提供了一种测定机械产品理论寿命的方法，采用多个准则优化威布尔参数和可靠性置信区间，获得可靠性的最优置信区间，进而评估给定置信水平下，产品理论寿命是否可靠、是否可以信赖。
本发明为解决上述技术问题采用的技术方案为：一种测定机械产品理论寿命的方法，包括以下步骤：
1）从产品中随机取出一批样品，对每个样品分别进行寿命试验，获得每个样品的原始寿命数据，将所有样品的原始寿命数据组成向量T：
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE001
                         （1）
式中，T为原始寿命数据组成的向量，i为样品序号，ti为第i个样品的寿命数据，n为样品个数；
2）获得可靠性经验值组成的向量
用可靠性中位秩经验值的计算公式（2a）和可靠性期望经验值的计算公式（2b）计算出产品寿命的可靠性经验值，得到可靠性中位秩经验值或期望经验值组成的向量R1
Figure 76074DEST_PATH_IMAGE002
                                 （2a）
                                  （2b）
Figure 743684DEST_PATH_IMAGE004
                                    （3）
式中，R1表示由可靠性中位秩经验值或期望经验值组成的向量；
3）获得可靠性理论值组成的向量
将式(1)寿命数据代入三参数威布尔分布寿命的可靠性函数式(4)，得到可靠性理论值组成的向量R0：
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE005
                     （4）
式中，
Figure 973808DEST_PATH_IMAGE006
为寿命的可靠性函数；t为寿命的随机变量；
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE007
为可靠性函数的3个威布尔参数，其中，为尺度参数，
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE009
为形状参数，
Figure 151291DEST_PATH_IMAGE010
为位置参数即最小寿命；
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE011
                                （5）
式中，R0表示由可靠性理论值组成的向量，为可靠性理论值；
4）获得6个可靠性差异信息的加权范数
取权重向量
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE013
为单位向量，取范数类型p=1,2,，由式(6)得到3个可靠性差异信息的加权范数；由可靠性经验值组成的向量和可靠性理论值组成的向量得到权重向量
Figure 56427DEST_PATH_IMAGE013
即式(7)，取范数类型p=1,2,
Figure 605220DEST_PATH_IMAGE014
，由式(6)得到3个可靠性差异信息的加权范数；于是获得6个可靠性差异信息的加权范数：
                                  （6）
式中，
Figure 630945DEST_PATH_IMAGE016
为可靠性差异信息的加权范数；
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE017
为权重向量；p为范数类型，p=1,2,
Figure 84929DEST_PATH_IMAGE014
，分别表示1-范数，2-范数和
Figure 221512DEST_PATH_IMAGE014
-范数；
Figure 624812DEST_PATH_IMAGE018
                              （7）
5）建立威布尔参数评估的6个范数准则，得到6个最优范数值
由步骤4得到的6个可靠性差异信息的加权范数建立威布尔参数评估的6个范数准则，得到式(8)-式(13)的6个最优范数值；
准则1——最小1-范数准则
最小1-范数准则为
Figure 572170DEST_PATH_IMAGE020
                                 (8)
即威布尔参数
Figure 264183DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE021
使可靠性差异信息的1-范数最小；
准则2——最小2-范数准则
最小2-范数准则为
Figure 188145DEST_PATH_IMAGE022
                                (9)
即威布尔参数的最优估计值使可靠性差异信息的2-范数最小；
准则3——最小
Figure 591692DEST_PATH_IMAGE024
-范数准则
最小
Figure 567739DEST_PATH_IMAGE014
-范数准则为
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE025
                               (10)
即威布尔参数
Figure 46124DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值
Figure 876546DEST_PATH_IMAGE026
使可靠性差异信息的
Figure 211712DEST_PATH_IMAGE014
-范数最小；
准则4——最小加权1-范数准则
最小加权1-范数准则为
                             (11)
即威布尔参数
Figure 878317DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值
Figure 645547DEST_PATH_IMAGE028
使可靠性差异信息的加权1-范数最小；
准则5——最小加权2-范数准则
最小加权2-范数准则为
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE029
                             (12)
即威布尔参数
Figure 81208DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值
Figure 587275DEST_PATH_IMAGE030
使可靠性差异信息的加权2-范数最小；
准则6——最小加权
Figure 990444DEST_PATH_IMAGE014
-范数准则
最小加权
Figure 810632DEST_PATH_IMAGE014
-范数准则为
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE031
                            (13)
即威布尔参数
Figure 851532DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值
Figure 794080DEST_PATH_IMAGE032
使可靠性差异信息的加权
Figure 169698DEST_PATH_IMAGE014
-范数最小；
6）构建威布尔分布的最优参数信息向量
为方便叙述，用符号
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE033
统一表示参数、
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE035
和
Figure 187518DEST_PATH_IMAGE036
，从6个范数准则中选出M个，并重新编号为m=1,2,…,M(M=3,4,5,6)；用对应的威布尔参数的最优估计值构成最优参数信息向量
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE037
即式(14)；
Figure 723804DEST_PATH_IMAGE038
                                     (14)
7）建立威布尔参数的概率密度函数
对最优参数信息向量
Figure 649035DEST_PATH_IMAGE037
用自助法进行等概率可放回再抽样，获得生成参数信息向量
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE039
即式(15)：
Figure 811026DEST_PATH_IMAGE040
                          (15)
式中，
Figure 325052DEST_PATH_IMAGE039
为基于自助加权范数法的生成参数信息向量，b表示第b次自助抽样，B为自助抽样次数，
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE041
为第b次自助抽样时获得的第m个数据(m=1,2,…,M)，
Figure 547086DEST_PATH_IMAGE042
为生成参数信息向量
Figure 959613DEST_PATH_IMAGE039
的第b个元素即参数数据；
根据统计学的直方图原理，由生成参数信息向量
Figure 410448DEST_PATH_IMAGE039
建立威布尔参数
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE043
的概率密度函数
Figure 529714DEST_PATH_IMAGE044
即式(16)：
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE045
                                              (16)
式中，
Figure 171917DEST_PATH_IMAGE044
为基于自助加权范数法的参数
Figure 9423DEST_PATH_IMAGE043
的概率密度函数；
8）获得威布尔参数的估计真值与置信区间
对威布尔参数的概率密度函数进行积分运算，用数学期望估计出威布尔参数的估计真值即(17)：
Figure 300038DEST_PATH_IMAGE048
                                         (17)
给定显著性水平，对威布尔参数的概率密度函数进行积分运算，得到置信水平P下的威布尔参数
Figure 863875DEST_PATH_IMAGE046
的置信区间(,,
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE051
)，表示为式(19)和式(20)：
Figure 479850DEST_PATH_IMAGE052
                                          (19)
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE053
                                        (20)
9）获得可靠性的估计真值及其置信区间
由参数估计真值和威布尔可靠性函数式(4)，得到可靠性的估计真值函数式(21)：
Figure 59178DEST_PATH_IMAGE054
                     (21)
该函数式的求解结果即为该产品的理论寿命可靠性的评估结果；
在置信水平P下，由置信区间(
Figure 668014DEST_PATH_IMAGE049
,
Figure 28457DEST_PATH_IMAGE050
,
Figure 976821DEST_PATH_IMAGE051
)和威布尔可靠性函数式(4)得到8个备选的可靠性区间函数式(22)-式(29)：
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE055
                               (22)
Figure 633193DEST_PATH_IMAGE056
                              (23)
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE057
                              (24)
Figure 667008DEST_PATH_IMAGE058
                              (25)
                              (26)
Figure 299983DEST_PATH_IMAGE060
                              (27)
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE061
                              (28)
Figure 368433DEST_PATH_IMAGE062
                              (29)
对8个备选的可靠性区间函数进行优化选择，得到可靠性置信区间的下界值函数
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE063
和上界值函数
Figure 183987DEST_PATH_IMAGE064
即(30)和式(31)：
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE065
                         (30)
Figure 705099DEST_PATH_IMAGE066
                         (31)
10）根据可靠性的最优置信区间得到测定理论寿命的可靠性范围
给定置信水平P，在n个样品的寿命数据中，若有s个被包含在可靠性置信区间
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE067
中，则包含率为s/n；根据最小动态不确定性原理，选择M个范数准则，使动态不确定度函数为最小，得到最小动态不确定度函数式(32)：
                                   (32)
最小动态不确定度函数满足置信水平条件式(33)：
Figure 2013100046496100002DEST_PATH_IMAGE069
                                           (33)
满足式(32)和式(33)的置信区间函数为可靠性的最优置信区间函数，其结果就是测定该产品的理论寿命的可靠性范围。
有益效果：本发明相对现有技术只借助某一个准则对原始寿命数据再抽样去估计威布尔参数和可靠性置信区间函数的方法来说，优化选择多个不同的准则处理原始寿命数据，获得能体现总体多个侧面特征的威布尔参数最优信息向量，并对这个最优信息向量再抽样，经过2次优化，最终得到可靠性估计真值函数及其满足最小不确定性的最优置信区间函数，求解该函数即得到该产品的理论寿命范围。
附图说明
图1为实施例1中滚动轴承性能寿命案例的参数结果；
图2为实施例1中滚动轴承性能寿命案例可靠性结果对比；
图3为实施例1中滚动轴承性能寿命案例可靠性估计结果；
图4为实施例2中直升机部件失效案例参数估计真值及其置信区间；
图5为实施例2中直升机部件失效案例可靠性估计结果；
图6为实施例3中试件疲劳寿命案例参数估计真值及其置信区间；
图7为实施例3中试件疲劳寿命案例可靠性估计结果。
具体实施方式
一种测定机械产品理论寿命的方法，包括以下步骤：
1）从产品中随机取出一批样品，对每个样品分别进行寿命试验，获得每个样品的原始寿命数据，将所有样品的原始寿命数据组成向量T：
Figure 753137DEST_PATH_IMAGE001
                         （1）
式中，T为原始寿命数据组成的向量，i为样品序号，ti为第i个样品的寿命数据，n为样品个数；
2）获得可靠性经验值组成的向量
用可靠性中位秩经验值的计算公式（2a）和可靠性期望经验值的计算公式（2b）计算出产品寿命的可靠性经验值，得到可靠性中位秩经验值或期望经验值组成的向量R1
                                 （2a）
                                  （2b）
Figure 311661DEST_PATH_IMAGE004
                                    （3）
式中，R1表示由可靠性中位秩经验值或期望经验值组成的向量；
3）获得可靠性理论值组成的向量
将式(1)寿命数据代入三参数威布尔分布寿命的可靠性函数式(4)，得到可靠性理论值组成的向量R0：
Figure 151441DEST_PATH_IMAGE005
                     （4）
式中，
Figure 569784DEST_PATH_IMAGE006
为寿命的可靠性函数；t为寿命的随机变量；
Figure 550640DEST_PATH_IMAGE007
为可靠性函数的3个威布尔参数，其中，
Figure 345421DEST_PATH_IMAGE008
为尺度参数，
Figure 39707DEST_PATH_IMAGE009
为形状参数，为位置参数即最小寿命；
Figure 923536DEST_PATH_IMAGE011
                                （5）
式中，R0表示由可靠性理论值组成的向量，
Figure 256428DEST_PATH_IMAGE012
为可靠性理论值；
4）获得6个可靠性差异信息的加权范数
取权重向量
Figure 805221DEST_PATH_IMAGE013
为单位向量，取范数类型p=1,2,
Figure 581678DEST_PATH_IMAGE014
，由式(6)得到3个可靠性差异信息的加权范数；由可靠性经验值组成的向量和可靠性理论值组成的向量得到权重向量
Figure 848712DEST_PATH_IMAGE013
即式(7)，取范数类型p=1,2,
Figure 719716DEST_PATH_IMAGE014
，由式(6)得到3个可靠性差异信息的加权范数；于是获得6个可靠性差异信息的加权范数：
Figure 388594DEST_PATH_IMAGE015
                                  （6）
式中，
Figure 834488DEST_PATH_IMAGE016
为可靠性差异信息的加权范数；
Figure 323238DEST_PATH_IMAGE017
为权重向量；p为范数类型，p=1,2,
Figure 263512DEST_PATH_IMAGE014
，分别表示1-范数，2-范数和
Figure 786898DEST_PATH_IMAGE014
-范数；
                              （7）
5）建立威布尔参数评估的6个范数准则，得到6个最优范数值
由步骤4得到的6个可靠性差异信息的加权范数建立威布尔参数评估的6个范数准则，得到式(8)-式(13)的6个最优范数值
Figure 881204DEST_PATH_IMAGE019
；
准则1——最小1-范数准则
最小1-范数准则为
Figure 359590DEST_PATH_IMAGE020
                                 (8)
即威布尔参数
Figure 737481DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值
Figure 525178DEST_PATH_IMAGE021
使可靠性差异信息的1-范数最小；
准则2——最小2-范数准则
最小2-范数准则为
Figure 988520DEST_PATH_IMAGE022
                                (9)
即威布尔参数的最优估计值
Figure 768574DEST_PATH_IMAGE023
使可靠性差异信息的2-范数最小；
准则3——最小
Figure 963057DEST_PATH_IMAGE024
-范数准则
最小
Figure 116958DEST_PATH_IMAGE014
-范数准则为
Figure 999464DEST_PATH_IMAGE025
                               (10)
即威布尔参数
Figure 538898DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值
Figure 215867DEST_PATH_IMAGE026
使可靠性差异信息的
Figure 591485DEST_PATH_IMAGE014
-范数最小；
准则4——最小加权1-范数准则
最小加权1-范数准则为
Figure 966097DEST_PATH_IMAGE027
                             (11)
即威布尔参数
Figure 173087DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值
Figure 224220DEST_PATH_IMAGE028
使可靠性差异信息的加权1-范数最小；
准则5——最小加权2-范数准则
最小加权2-范数准则为
Figure 149450DEST_PATH_IMAGE029
                             (12)
即威布尔参数的最优估计值
Figure 825468DEST_PATH_IMAGE030
使可靠性差异信息的加权2-范数最小；
准则6——最小加权
Figure 109819DEST_PATH_IMAGE014
-范数准则
最小加权
Figure 945182DEST_PATH_IMAGE014
-范数准则为
Figure 973181DEST_PATH_IMAGE031
                            (13)
即威布尔参数的最优估计值
Figure 547699DEST_PATH_IMAGE032
使可靠性差异信息的加权
Figure 634472DEST_PATH_IMAGE014
-范数最小；
6）构建威布尔分布的最优参数信息向量
为方便叙述，用符号统一表示参数
Figure 174355DEST_PATH_IMAGE034
、
Figure 800509DEST_PATH_IMAGE035
和
Figure 622183DEST_PATH_IMAGE036
，从6个范数准则中选出M个，并重新编号为m=1,2,…,M(M=3,4,5,6)；用对应的威布尔参数的最优估计值构成最优参数信息向量
Figure 929667DEST_PATH_IMAGE037
即式(14)；
Figure 85842DEST_PATH_IMAGE038
                                     (14)
7）建立威布尔参数的概率密度函数
对最优参数信息向量
Figure 69847DEST_PATH_IMAGE037
用自助法进行等概率可放回再抽样，获得生成参数信息向量
Figure 678683DEST_PATH_IMAGE039
即式(15)：
Figure 524280DEST_PATH_IMAGE040
                          (15)
式中，
Figure 534961DEST_PATH_IMAGE039
为基于自助加权范数法的生成参数信息向量，b表示第b次自助抽样，B为自助抽样次数，为第b次自助抽样时获得的第m个数据(m=1,2,…,M)，为生成参数信息向量
Figure 936752DEST_PATH_IMAGE039
的第b个元素即参数数据；
根据统计学的直方图原理，由生成参数信息向量建立威布尔参数
Figure 393327DEST_PATH_IMAGE043
的概率密度函数
Figure 711176DEST_PATH_IMAGE044
即式(16)：
Figure 164154DEST_PATH_IMAGE045
                                              (16)
式中，
Figure 149427DEST_PATH_IMAGE044
为基于自助加权范数法的参数的概率密度函数；
8）获得威布尔参数的估计真值与置信区间
对威布尔参数的概率密度函数进行积分运算，用数学期望估计出威布尔参数
Figure 952746DEST_PATH_IMAGE046
的估计真值
Figure 943836DEST_PATH_IMAGE047
即(17)：
Figure 783616DEST_PATH_IMAGE048
                                         (17)
给定显著性水平，对威布尔参数的概率密度函数进行积分运算，得到置信水平P下的威布尔参数
Figure 451227DEST_PATH_IMAGE046
的置信区间(,
Figure 538448DEST_PATH_IMAGE050
,
Figure 498314DEST_PATH_IMAGE051
)，表示为式(19)和式(20)：
Figure 838291DEST_PATH_IMAGE052
                                          (19)
Figure 618028DEST_PATH_IMAGE053
                                        (20)
9）获得可靠性的估计真值及其置信区间
由参数估计真值
Figure 950920DEST_PATH_IMAGE047
和威布尔可靠性函数式(4)，得到可靠性的估计真值函数式(21)：
                     (21)
该函数式的求解结果即为该产品的理论寿命可靠性的评估结果；
在置信水平P下，由置信区间(
Figure 774706DEST_PATH_IMAGE049
,
Figure 41739DEST_PATH_IMAGE050
,
Figure 178322DEST_PATH_IMAGE051
)和威布尔可靠性函数式(4)得到8个备选的可靠性区间函数式(22)-式(29)：
Figure 847201DEST_PATH_IMAGE055
                               (22)
Figure 528980DEST_PATH_IMAGE056
                              (23)
Figure 283310DEST_PATH_IMAGE057
                              (24)
Figure 223584DEST_PATH_IMAGE058
                              (25)
Figure 746969DEST_PATH_IMAGE059
                              (26)
Figure 98185DEST_PATH_IMAGE060
                              (27)
Figure 339810DEST_PATH_IMAGE061
                              (28)
Figure 818196DEST_PATH_IMAGE062
                              (29)
对8个备选的可靠性区间函数进行优化选择，得到可靠性置信区间的下界值函数
Figure 196088DEST_PATH_IMAGE063
和上界值函数即(30)和式(31)：
Figure 948592DEST_PATH_IMAGE065
                         (30)
Figure 230668DEST_PATH_IMAGE066
                         (31)
10）根据可靠性的最优置信区间得到测定理论寿命的可靠性范围
给定置信水平P，在n个样品的寿命数据中，若有s个被包含在可靠性置信区间
Figure 463067DEST_PATH_IMAGE067
中，则包含率为s/n；根据最小动态不确定性原理，选择M个范数准则，使动态不确定度函数为最小，得到最小动态不确定度函数式(32)：
                                   (32)
最小动态不确定度函数满足置信水平条件式(33)：
Figure 372303DEST_PATH_IMAGE069
                                           (33)
满足式(32)和式(33)的置信区间函数为可靠性的最优置信区间函数，其结果就是该产品的理论寿命的可靠性范围。
下面使用本方法结合生产中的具体案例做进一步的阐述。
实施例1 滚动轴承性能寿命的评估
根据某滚动轴承摩擦磨损寿命的参数取值特征，设威布尔参数
Figure 192491DEST_PATH_IMAGE007
=(30, 2.5, 10)，用反函数法模拟出n=9个轴承单元的性能失效数据(单位：24h)：
T=(22.1953, 26.4647, 29.8623, 32.9314, 35.9090, 38.9691, 42.3123, 46.2903, 51.8801)
用自助加权范数法处理模拟的9个失效数据，计算出参数
Figure 233391DEST_PATH_IMAGE007
的估计真值，然后比较参数估计真值与参数真值之间的相对误差，并比较可靠性估计真值函数R0(t)与可靠性理论值R0以及可靠性期望经验值R1之间的一致性。
采用范数准则1~6，取B=80000，结果见图1和图2。由图1可以看出，自助加权范数法的估计真值与真值之间的最大相对误差很小，只有1.3%。由图2可以看出，自助加权范数法的可靠性估计真值函数R0(t)与可靠性理论值R0以及可靠性期望经验值R1几乎完全重合。
设置信水平P=90%，可靠性估计真值函数R0(t)及其最优置信区间函数[RL(t), RU(t)]的结果见图3。为方便对比分析，图3中还显示了可靠性期望经验值R1。可以看出，9个可靠性期望经验值，全部被可靠性最优置信区间函数[RL(t), RU(t)] 包含，包含率为9/9=100%，这个百分比大于置信水平P=90%，该滚动轴承摩擦磨损寿命满足最小不确定性的可靠性最优置信区间。因此，在给定的置信水平下，该滚动轴承的理论摩擦磨损寿命是可靠的和可以信赖的。
实施例2 直升机部件失效案例
某直升机部件206-011-147-005的失效数据(n=13，单位：h)为：
T=(156.5, 213.4, 265.7, 265.7, 337.7, 337.7, 406.3, 573.5, 573.5, 644.6, 744.8, 774.8, 1023.6)
采用范数准则1~6，取B=80000，置信水平P=99.999%，用自助加权范数法处理失效数据，参数估计真值
Figure 551556DEST_PATH_IMAGE047
及其置信区间(
Figure 237753DEST_PATH_IMAGE049
,
Figure 631694DEST_PATH_IMAGE050
,
Figure 745143DEST_PATH_IMAGE051
)的结果见图4，可靠性估计真值函数R0(t)及其最优置信区间函数[RL(t), RU(t)]的结果见图5。为方便对比分析，图5中还显示了可靠性中位秩经验值R1。
由图5可以看出，有1个数据超出可靠性最优置信区间函数[RL(t), RU(t)]，包含率为12/13=92.3%，这个百分比小于置信水平P=99.999%，该直升机部件寿命不满足最小不确定性的可靠性最优置信区间。因此，在给定的置信水平下，该直升机部件的理论寿命是不可靠的和不可以信赖的。
实施例3 某试件疲劳寿命案例
在同一应力水平下测得一组试件的疲劳寿命数据(n=20，单位：kC)：
T=(350, 380, 400, 430, 450, 470, 480, 500, 520, 540, 550, 570, 600, 610,6 30, 650, 670, 730, 770, 840)
采用范数准则1和4~6，取B=80000，置信水平P=90%，用自助加权范数法获得的结果见图6和图7。为方便对比分析，图7中还显示了现有方法(概率加权矩法)的可靠性估计真值结果R以及可靠性期望经验值R1。
由图7可以看出，自助加权范数法的可靠性估计真值函数R0(t)与现有方法的估计真值函数R对可靠性期望经验值R1的一致性都很好。而且，20个可靠性期望经验值全部被可靠性最优置信区间函数[RL(t), RU(t)]包含，包含率为20/20=100%，这个百分比大于置信水平P=90%，该试件疲劳寿命满足最小不确定性的可靠性最优置信区间。因此，在给定的置信水平下，该试件的理论疲劳寿命是可靠的和可以信赖的。
现有方法约定，在90%的置信水平下，可靠性真值为90%时对应总体百分位值的置信下界为388.7 kC，这是真实寿命下界值。现有方法估计的寿命下界值与可靠性下界值分别是374.6 kC与87.8%；自助加权范数法估计的寿命下界值与可靠性下界值分别是384.4 kC与88%。可见，自助加权范数法的估计结果更接近真实寿命值388.7 kC和可靠性真值90%。这表明自助加权范数法获得的可靠性置信区间函数更优。
上述案例研究表明，自助加权范数法获得的可靠性估计真值函数R0(t)对可靠性经验值R1的拟合效果很好，可靠性最优置信区间函数[RL(t), RU(t)]对可靠性经验值的包含率大于置信水平，这表明自助加权范数法的估计结果与试验结果有很好的一致性。因此，用本方法评估可靠性估计真值函数及其置最优信区间函数是有效的和可行的。

Claims (1)

1.一种测定机械产品理论寿命的方法，其特征在于，包括以下步骤：
1）从产品中随机取出一批样品，对每个样品分别进行寿命试验，获得每个样品的原始寿命数据，将所有样品的原始寿命数据组成向量T：
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE001
                         （1）
式中，T为原始寿命数据组成的向量，i为样品序号，ti为第i个样品的寿命数据，n为样品个数；
2）获得可靠性经验值组成的向量
用可靠性中位秩经验值的计算公式（2a）和可靠性期望经验值的计算公式（2b）计算出产品寿命的可靠性经验值，得到可靠性中位秩经验值或期望经验值组成的向量R1
                                 （2a）
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE003
                                  （2b）
Figure 950706DEST_PATH_IMAGE004
                                    （3）
式中，R1表示由可靠性中位秩经验值或期望经验值组成的向量；
3）获得可靠性理论值组成的向量
将式(1)寿命数据代入三参数威布尔分布寿命的可靠性函数式(4)，得到可靠性理论值组成的向量R0：
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE005
                     （4）
式中，为寿命的可靠性函数；t为寿命的随机变量；
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE007
为可靠性函数的3个威布尔参数，其中，
Figure 751751DEST_PATH_IMAGE008
为尺度参数，
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE009
为形状参数，
Figure 503807DEST_PATH_IMAGE010
为位置参数即最小寿命；
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE011
                                （5）
式中，R0表示由可靠性理论值组成的向量，
Figure 513220DEST_PATH_IMAGE012
为可靠性理论值；
4）获得6个可靠性差异信息的加权范数
取权重向量
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE013
为单位向量，取范数类型p=1,2,
Figure 717936DEST_PATH_IMAGE014
，由式(6)得到3个可靠性差异信息的加权范数；由可靠性经验值组成的向量和可靠性理论值组成的向量得到权重向量
Figure 605252DEST_PATH_IMAGE013
即式(7)，取范数类型p=1,2,
Figure 274131DEST_PATH_IMAGE014
，由式(6)得到3个可靠性差异信息的加权范数；于是获得6个可靠性差异信息的加权范数：
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE015
                                  （6）
式中，
Figure 205177DEST_PATH_IMAGE016
为可靠性差异信息的加权范数；为权重向量；p为范数类型，p=1,2,
Figure 146457DEST_PATH_IMAGE014
，分别表示1-范数，2-范数和
Figure 821152DEST_PATH_IMAGE014
-范数；
Figure 344538DEST_PATH_IMAGE018
                              （7）
5）建立威布尔参数评估的6个范数准则，得到6个最优范数值
由步骤4得到的6个可靠性差异信息的加权范数建立威布尔参数评估的6个范数准则，得到式(8)-式(13)的6个最优范数值
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE019
；
准则1——最小1-范数准则
最小1-范数准则为
Figure 474516DEST_PATH_IMAGE020
                                 (8)
即威布尔参数
Figure 653825DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE021
使可靠性差异信息的1-范数最小；
准则2——最小2-范数准则
最小2-范数准则为
Figure 115899DEST_PATH_IMAGE022
                                (9)
即威布尔参数
Figure 759370DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE023
使可靠性差异信息的2-范数最小；
准则3——最小-范数准则
最小
Figure 449557DEST_PATH_IMAGE014
-范数准则为
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE025
                               (10)
即威布尔参数的最优估计值
Figure 964032DEST_PATH_IMAGE026
使可靠性差异信息的
Figure 922629DEST_PATH_IMAGE014
-范数最小；
准则4——最小加权1-范数准则
最小加权1-范数准则为
Figure 2013100046496100001DEST_PATH_IMAGE027
                             (11)
即威布尔参数
Figure 810951DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值
Figure 693456DEST_PATH_IMAGE028
使可靠性差异信息的加权1-范数最小；
准则5——最小加权2-范数准则
最小加权2-范数准则为
                             (12)
即威布尔参数
Figure 734356DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值使可靠性差异信息的加权2-范数最小；
准则6——最小加权
Figure 52522DEST_PATH_IMAGE014
-范数准则
最小加权
Figure 660089DEST_PATH_IMAGE014
-范数准则为
Figure DEST_PATH_IMAGE031
                            (13)
即威布尔参数
Figure 70342DEST_PATH_IMAGE007
的最优估计值使可靠性差异信息的加权
Figure 797438DEST_PATH_IMAGE014
-范数最小；
6）构建威布尔分布的最优参数信息向量
为方便叙述，用符号
Figure DEST_PATH_IMAGE033
统一表示参数
Figure 959429DEST_PATH_IMAGE034
、
Figure DEST_PATH_IMAGE035
和
Figure 207876DEST_PATH_IMAGE036
，从6个范数准则中选出M个，并重新编号为m=1,2,…,M(M=3,4,5,6)；用对应的威布尔参数的最优估计值构成最优参数信息向量
Figure DEST_PATH_IMAGE037
即式(14)；
                                     (14)
7）建立威布尔参数的概率密度函数
对最优参数信息向量
Figure 842437DEST_PATH_IMAGE037
用自助法进行等概率可放回再抽样，获得生成参数信息向量
Figure DEST_PATH_IMAGE039
即式(15)：
Figure 558851DEST_PATH_IMAGE040
                          (15)
式中，
Figure 678117DEST_PATH_IMAGE039
为基于自助加权范数法的生成参数信息向量，b表示第b次自助抽样，B为自助抽样次数，为第b次自助抽样时获得的第m个数据(m=1,2,…,M)，
Figure 54741DEST_PATH_IMAGE042
为生成参数信息向量
Figure 954564DEST_PATH_IMAGE039
的第b个元素即参数数据；
根据统计学的直方图原理，由生成参数信息向量
Figure 458357DEST_PATH_IMAGE039
建立威布尔参数的概率密度函数
Figure 448441DEST_PATH_IMAGE044
即式(16)：
Figure DEST_PATH_IMAGE045
                                              (16)
式中，
Figure 746698DEST_PATH_IMAGE044
为基于自助加权范数法的参数的概率密度函数；
8）获得威布尔参数的估计真值与置信区间
对威布尔参数的概率密度函数进行积分运算，用数学期望估计出威布尔参数
Figure 690570DEST_PATH_IMAGE046
的估计真值
Figure DEST_PATH_IMAGE047
即(17)：
Figure 518848DEST_PATH_IMAGE048
                                         (17)
给定显著性水平，对威布尔参数的概率密度函数进行积分运算，得到置信水平P下的威布尔参数的置信区间(,
Figure 613154DEST_PATH_IMAGE050
,
Figure DEST_PATH_IMAGE051
)，表示为式(19)和式(20)：
Figure 724330DEST_PATH_IMAGE052
                                          (19)
Figure DEST_PATH_IMAGE053
                                        (20)
9）获得可靠性的估计真值及其置信区间
由参数估计真值
Figure 921962DEST_PATH_IMAGE047
和威布尔可靠性函数式(4)，得到可靠性的估计真值函数式(21)：
Figure 516017DEST_PATH_IMAGE054
                     (21)
该函数式的求解结果即为该产品的理论寿命可靠性的评估结果；
在置信水平P下，由置信区间(
Figure 612149DEST_PATH_IMAGE049
,,
Figure 126624DEST_PATH_IMAGE051
)和威布尔可靠性函数式(4)得到8个备选的可靠性区间函数式(22)-式(29)：
Figure DEST_PATH_IMAGE055
                               (22)
Figure 452432DEST_PATH_IMAGE056
                              (23)
Figure DEST_PATH_IMAGE057
                              (24)
Figure 973543DEST_PATH_IMAGE058
                              (25)
Figure DEST_PATH_IMAGE059
                              (26)
Figure 899955DEST_PATH_IMAGE060
                              (27)
                              (28)
Figure 822912DEST_PATH_IMAGE062
                              (29)
对8个备选的可靠性区间函数进行优化选择，得到可靠性置信区间的下界值函数和上界值函数
Figure 319621DEST_PATH_IMAGE064
即(30)和式(31)：
                         (30)
Figure 16444DEST_PATH_IMAGE066
                         (31)
10）根据可靠性的最优置信区间得到测定理论寿命的可靠性范围
给定置信水平P，在n个样品的寿命数据中，若有s个被包含在可靠性置信区间中，则包含率为s/n；根据最小动态不确定性原理，选择M个范数准则，使动态不确定度函数为最小，得到最小动态不确定度函数式(32)：
Figure 7534DEST_PATH_IMAGE068
                                   (32)
最小动态不确定度函数满足置信水平条件式(33)：
Figure DEST_PATH_IMAGE069
                                           (33)
满足式(32)和式(33)的置信区间函数为可靠性的最优置信区间函数，其结果就是该产品的理论寿命的可靠性范围。
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