CN102982240B - 基于变尺度混沌模拟退火算法的圆度误差评定方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种基于变尺度混沌模拟退火算法的圆度误差评定方法，先将模拟退火算法作为寻优的粗搜索，然后利用混沌优化算法的高效性作为寻优的细搜索，确保寻优过程简洁高效，该模拟退火算法的优化结果不依赖于初始值，因此先采用模拟退火算法能保证寻找到实际全局最优区域，而混沌优化算法具有很好的执行效率，适合在全局最优区域内进行细搜索，从而搜索到全局最优解，因此在优化过程中具有更小的迭代次数，同时本发明提出的混沌映射x_tin=cos(1/x_tin ²)能更好地实现混沌寻优，在执行过程中[a_1,i+1，b_1,i+1]、[a_2,i+1，b_2,i+1]根据解空间变化而不断减小，使得寻优过程不断逼近全局最优解。

Description

基于变尺度混沌模拟退火算法的圆度误差评定方法

技术领域

本发明涉及一种基于变尺度混沌模拟退火算法的圆度误差评定方法。

背景技术

圆度误差是衡量加工零件是否是理想圆的重要指标。评定圆度误差的过程就是将理想圆和被测工件截面的实际形状进行比较的过程。测量工件的参数有圆度、直径、跳动、同轴度等。测量时的形位参数、偏心误差、工件回转误差以及圆度误差将会使测量结果与计量室检测结果差异较大。其中尤其以圆度误差影响最大，因此圆度误差的测量和评定决定了加工零件的回转精度、加工精度以及装配精度。

在工程实践中计算圆度常用的方法有罚函数法、单纯形法、遗传法、曲率法和区域搜索法等。缪立栋等所著的《基于多种群实数编码遗传算法的圆度误差评定》在实数编码的基础上引进多种群遗传算法，提高了全局搜索速度和精度。李秀明等所著的《圆度误差评定的曲率法研究》提出了基于曲率的圆度误差评定方法，根据曲率半径不断筛选候选点，直至剩余满足判别准则的3点，筛选条件是不断去掉曲率最大或曲率最小的点。黄富贵等所著的《基于区域搜索的圆度误差评定方法》选取被测圆周上均匀分布的3个点作为初始圆，求取初始圆的圆心，然后以此圆心作为正方形搜索的中心确定搜索的步长和大小，进而得到圆度误差，该方法避免了最小二乘法带来的非线性运算，提高了圆度误差的计算精度。

评定圆度误差常用的方法有最小二乘法、最小区域圆法、最小外接圆法和最大内切圆法。其中最小二乘法最简单，但是圆度误差较大，且不符合国家标准规定的圆度误差测量标准。最小外接圆法和最大内切圆法均要对数据采集进行线性化处理，同时为保证误差精度需要对计算附加额外条件，因此评定过程较为复杂，不易被工程技术人员掌握。

混沌理论是20世纪物理学三大重大发明之一。作为一门新兴学科，其研究的理论成果在计算机科学、信息科学、最优化理论、物理学、经济学和气象学等多个领域得到广泛应用。混沌是非线性系统中普遍存在的现象，其行为表现为不确定性、不可预测、不可重复等特点，集中体现为貌似随机的不确定运动。

混沌优化的核心是利用混沌的不确定性和遍历性产生相应的混沌映射，把该映射作为随机数发生器产生相应的扰动因子来搜索全局最优点。优化的目标函数为y=f(x)，x∈R+，混沌优化的步骤为：

（1）算法初始化，生成自变量x相同维度的随机数；

（2）按照混沌迭代发生器产生混沌变量；

（3）根据混沌变量进行判断，若同时满足循环次数不大于最大混沌迭代次数和混沌现态值小于预设初始值，则当前最优值为现态值，与此同时初始值变为现态值，若不满足，则保持预设初始值不变，同时转至步骤(2)；

（4）判断循环次数是否大于最大混沌迭代次数，若大于则停止搜索，输出最优值。

模拟退火算法是Kirkpartrick等人利用固体退火的物理过程建立相应的数学模型而得到的自启发优化方法。它是一种随机搜索方法，与普通的局部搜索方法相比，其在搜索过程中按一定概率接受比目标解更差的搜索点，因此能跳出局部极值点，最大限度的搜索到全局最优解。

模拟退火过程中初始温度的大小影响优化问题的最终解，初始温度越高，退火过程经历时间越长，则寻优结果越接近于最优解；初始温度的选择决定了算法寻优的质量和效率。模拟退火算法的步骤为：

（1）算法初始化，设置初始退火温度T0、随机产生一组初始向量作为初始解和初始能量值；

（2）对初始解在一定邻域范围内进行随机扰动，产生搜索解及其对应的现态能量值；

（3）若现态能量值小于初始能量值，则判断搜索有效，继续执行步骤（2），否则对邻域范围以概率为exp(能量差值/kT)接受，而以1-exp(能量差值/kT)的概率拒绝接受现态数值；

（4）根据随机扰动状态转移进行判断，若同时满足循环次数不大于最大迭代次数和现态能量转移函数，则重复执行步骤(2)和步骤(3)；

（5）执行退温函数，降低退火温度；

（6）重复执行步骤(2)和(5)，判断循环次数是否大于最大迭代次数，若大于则停止搜索，输出最优值。

混沌优化过程中单纯增大迭代次数并不能提高搜索的效率，甚至会造成搜索局限于局部最优点附近。模拟退火利用马科夫链描述退火过程中由一个状态跳变到另一个状态转换关系，计算对应温度的马科夫链稳定状态的转移概率，然后再降低退火温度，直到固体内部达到稳定状态。当温度保持不变和温度趋近于0时，马科夫链的极限分布存在，并且在温度为0时，马科夫链的极限分布和的概率为1。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于变尺度混沌模拟退火算法的圆度误差评定方法，克服了传统算法易收敛于局部极小值点和运算效率较低的缺点，具有较强的鲁棒性。

一种基于变尺度混沌模拟退火算法的圆度误差评定方法，具体包括如下步骤：

（1）优化的目标为F=min[R_er(x₀,y₀)]，其中 $R_{\mathrm{er}}(x_0,y_0)=\underset{i\∈A1\∪A2}{\min }[\underset{A2}{\max }\left(\sqrt{{(x_i+x_0)}^2+{(y_i+y_0)}^2}\right)-\underset{A1}{\min }\left(\sqrt{{(x_i+x_0)}^2+{(y_i+y_0)}^2}\right)]$ 为优化函数，A1和A2分别表示包容被测工件轮廓的最小同心圆和最大同心圆，(x₀,y₀)为所求理想圆圆心，(x_i,y_i)为实际工件的采样坐标，i∈[1,n]，其中n为工件的坐标点数，x₀,y₀为优化自变量，[a_1,i,b_1,i]和[a_2，i，b_2,i]分别为为优化变量x₀和y₀的取值区间；设置初始退火温度T、随机产生一组初始向量作为初始解x_intial和y_intial、初始能量值E₀、最大迭代次数M₁、混沌迭代次数M₂、M₃，其中M₃设置为0.2*M₂~0.8*M₂、相对误差因子e；

（2）对初始解x_intial和y_intial在邻域范围内进行随机扰动，初始解扰动按照如下方式产生：x_t=x_intial+(rand-0.5)*exp(-2*M₁/kT);y_t=y_intial+(rand-0.5)*exp(-2*M₁/kT);其中rand是(0,1)内的随机数，E_t为对应的现态能量值，k为波尔兹曼常数；

（3）若现态能量值E_t小于初始能量值E₀，则搜索有效，继续执行步骤(2)，否则对邻域范围以概率为exp(ΔE/kT)接受，而以1-exp(ΔE/kT)的概率拒绝接受现态能量值，其中ΔE=E_t-E₀，k为波尔兹曼常数；

（4）根据随机扰动状态转移进行判断，若同时满足循环次数不大于最大迭代次数M₁和现态能量转移函数，则重复执行步骤(2)和步骤(3)；

（5）执行退温函数T_k+1=T_k/(M₁+1)，降低退火温度；

（6）重复执行步骤(2)至(5)，判断循环次数是否大于最大迭代次数M₁，若大于则停止搜索，输出当前最优解x_tin、y_tin和相应的圆度误差值R_er(x_tin,y_tin)；

（7）将x_tin和y_tin作为混沌迭代的初始值生成相应的混沌迭代变量，其混沌迭代的具体关系式为：x_tin=cos(1/x_tin ²)，y_tin=cos(1/y_tin ²)，设定混沌迭代次数为p；

（8）将生成的混沌迭代变量执行M₂次混沌搜索，现态混沌变量x_tink=a_1,i+(b_1,i-a_1,i)*x_tin，y_tink=a_2,i+(b_2,i-a_2,i)*y_tin，若现态混沌变量x_tink，y_tink满足R_er(x_tink，y_tink)<R_er(x_tin,y_tin)，则x_tink，y_tink为当前最优解，继续执行步骤(8)，直至搜索次数达到M₂，此时的最优解为x_tmin，y_tmin，否则转入步骤(7)；

（9）根据x_tmin，y_tmin将优化变量区间[a_1,i,b_1,i]和[a_2,i,b_2,i]变更为[a_1,i+1,b_1,i+1]和[a_2,i+1,b_2,i+1]，其中a_1,i+1=x_tmin-c(b_1,i-a_1,i)，b_1,i+1=x_tmin+c*(b_1,i-a_1,i)，a_2,i+1=y_tmin-c*(b_2,i-a_2,i)，b_2,i+1=y_tmin+c*(b_2,i-a_2,i)，c表示变尺度系数，取值范围在(0,0.5)；如果a_j,i+1<a_j,i，则a_j,i+1=a_j,i；如果b_j,i+1>b_j,i，则b_j,i+1=b_j,i，其中j＝（1,2)；

（10）对x_tmin，y_tmin进行混沌变换，同时迭代M₃次重复执行步骤(7)；

（11）重复执行步骤(7)至步骤(9)，直到迭代M₃次后x_tmin，y_tmin对应的函数值偏差不超过相对误差因子e，该相对误差因子e的数值根据实际问题变化而不同，一般为1^-310^-6；

（12）重复执行步骤(11)，直到迭代次数为p时，算法寻优结束，输出最优解x_tmin，y_tmin。

本发明将模拟退火和混沌优化结合在一起，首先采用模拟退火算法在优化区间内进行大范围搜索，确定全局最优解的位置，然后利用混沌优化方法搜索全局最优解的具体位置，同时结合变尺度的思想将全局最优解求出。

附图说明

图1为圆度误差包含区域的图示；

图2为圆度误差包含区域A1的图示；

图3为圆度误差包含区域A2的图示。

以下结合附图和具体实施例对本发明作进一步详述。

具体实施方式

本发明采用最小区域圆法来评定圆度误差，其原因有以下两点：（1）最小区域圆法是国际上通用的圆度误差评定方法，也是我国唯一认可的方法；（2）相比于其他三种常用的圆度误差评定方法，最小区域圆法能实现最高的误差测量精度以及测量的全局特性。最小区域圆法实际上是求解两个同心圆半径的最小值。评定圆度误差的过程就是将理想圆和被测工件截面的实际形状比较的过程。最小区域圆法研究的对象是包容工件的实际工件最大和最小区域。传统的算法对于圆心坐标的微小变化不敏感，且容易陷入局部极小值点，本发明克服了传统算法易收敛于局部极小值点和运算效率较低的缺点，具有较强的鲁棒性。

如图1为圆度误差的包容区域，其中R为外接实际工件的最大理想圆半径，r为内接实际工件的最小理想圆半径。图1中的包含区域即为两个同心圆所夹的部分，因此圆度误差为包含区域的最小值。

图1所示的包含区域可分为两个部分，分别为图2和图3所示的阴影区域。图2所示的阴影区域把最小理想圆包含在内，而图3所示的阴影区域则内接于最大理想圆。最小区域圆法评定圆度误差R_er即为寻找函数R-r的极小值。

$R_{\mathrm{er}}=\underset{A1\&cup;A2}{\min }[R-r]=\underset{i\&Element;A1\&cup;A2}{\min }[\underset{A2}{\max }\left(R\right)-\left(r\right)]=\underset{i\&Element;A1\&cup;A2}{\min }[\underset{A2}{\max }\left(R_i\right)-\underset{A1}{\min }\left(R_i\right)]---\left(1\right)$

圆度误差评定过程中圆心的微小变化会引起R和r的连续变化，导致圆度误差R_er发生改变。由于圆心变化在限定区域内具有无限移动的可能性，每次微小变化均会使R_er发生改变，但必有一次变化使得R_er达到极小值。设所求的理想圆心为(x₀,y₀)，(x_i,y_i)为实际工件坐标值，A1和A2分别表示包容被测工件轮廓的最小同心圆和最大同心圆，则 $R_{\mathrm{er}}(x_0,y_0)=\underset{i\&Element;A1\&cup;A2}{\min }[\underset{A2}{\max }\left(\sqrt{{(x_i+x_0)}^2+{(y_i+y_0)}^2}\right)-\underset{A1}{\min }\left(\sqrt{{(x_i+x_0)}^2+{(y_i+y_0)}^2}\right)]---\left(2\right)$

本发明基于变尺度混沌模拟退火算法的圆度误差评定方法，具体包括如下步骤：

（1）优化的目标为F=min[R_er(x₀,y₀)]，其中R_er为优化函数，(x_i,y_i)为实际工件的采样坐标，i∈[1,n]，其中n为工件的坐标点数，x₀,y₀为优化自变量，[a_1,i,b_1,i]和[a_2,i,b_2,i]分别为为优化变量x₀和y₀的取值区间；设置初始退火温度T、随机产生一组初始向量作为初始解x_intial和y_intial、初始能量值E₀、最大迭代次数M₁、混沌迭代次数M₂、M₃，其中M₃设置为0.2*M₂~0.8*M₂、相对误差因子e；

（2）对初始解x_intial和y_intial在邻域范围内进行随机扰动，初始解扰动按照如下方式产生：x_t=x_intial+(rand-0.5)*exp(-2*M₁/kT);yt=y_intial+(rand-0.5)*exp(-2*M₁/kT);其中rand是(0,1)内的随机数，Et为对应的现态能量值，k为波尔兹曼常数；

（3）若现态能量值E_t小于初始能量值E₀，则搜索有效，继续执行步骤(2)，否则对邻域范围以概率为exp(ΔE/kT)接受，而以1-exp(ΔE/kT)的概率拒绝接受现态能量值，其中ΔE=E_t-E₀，k为波尔兹曼常数；

（4）根据随机扰动状态转移进行判断，若同时满足循环次数不大于最大迭代次数M₁和现态能量转移函数，则重复执行步骤(2)和步骤(3)；

（5）执行退温函数T_k+1=T_k/(M₁+1)，降低退火温度；

（6）重复执行步骤(2)至(5)，判断循环次数是否大于最大迭代次数M₁，若大于则停止搜索，输出当前最优解x_tin、y_tin和相应的圆度误差值R_er(x_tin,y_tin)；

（7）将x_tin和y_tin作为混沌迭代的初始值生成相应的混沌迭代变量，其混沌迭代的具体关系式为：x_tin=cos(1/x_tin ²)，y_tin=cos(1/y_tin ²)，设定混沌迭代次数为p；

（8）将生成的混沌迭代变量执行M₂次混沌搜索，现态混沌变量x_tink=a_1,i+(b_1,i-a_1,i)*x_tin，y_tink=a_2,i+(b_2,i-a_2,i)*y_tin，若现态混沌变量x_tink，y_tink满足R_er(x_tink，y_tink)<R_er(x_tin,y_tin)，则x_tink，y_tink为当前最优解，继续执行步骤(8)，直至搜索次数达到M₂，此时的最优解为x_tmin，y_umin，否则转入步骤(7)；

（9）根据x_tmin，y_tmin将优化变量区间[a_1，i，b_1,i]和[a_2,i,b_2,i]变更为[a_1,i+1,b_1,i+1]和[a_2,i+1,b_2,i+1]，其中a_1,i+1=x_tmin-c(b_1,i-a_1,i)，b_1,i+1=x_tmin+c*(b_1,i-a_1,i)，a_2,i+1=y_tmin-c*(b_2,i-a_2,i)，b_2,i+1=y_tmin+c*(b_2,i-a_2,i)，c表示变尺度系数，取值范围在(0,0.5)；为确保[a_j，i+1,b_j,i+1](其中j＝1,2)的取值范围不超过[a_j,i,b_j,i](其中j＝1,2)，因此做如下处理，如果a_j,i+1<a_j,i，则a_j,i+1=a_j,i；如果b_j,i+1>b_j,i，则b_j,i+1=b_j,i(其中j=1,2)；

（10）对x_tmin，y_tmin进行混沌变换，同时迭代M₃次重复执行步骤(7)

（11）重复执行步骤(7)至步骤(9)，直到迭代M₃次后x_tmin，y_tmin对应的函数值偏差不超过相对误差因子e，该相对误差因子e的数值根据实际问题变化而不同，一般为10^-3～10^-6；

（12）重复执行步骤(11)，直到迭代次数为p时，算法寻优结束，输出最优解x_tmin，y_tmin。

本发明提出的混沌映射x_tin=cos(1/x_tin ²)相比于传统的Logistic映射、Tent映射等具有更大的Lyapunov指数，在其大于零的区域，随着时间增大，算法的初始状态产生的轨道分离程度增大，在所有可能的取值状态空间中轨道分离的平均指数率增大，可以得出在时间相同的情形下提出的映射具有更好的遍历特性。本发明采用该映射作为混沌产生器，在执行过程中要达到某一状态，提出的算法能迅速搜寻到该状态，更有效缩短搜索时间和提高搜索速度。

从测度论上分析，变尺度混沌模拟退火（BCSA）算法属于下降算法机制，设在算法执行过程中搜寻到的优化解分别为(x₀₁,y₀₁),(x₀₂,y₀₂),(x₀₃,y₀₃)，…(x_0n,y_0n)，则R_er(x₀₁,y₀₁)≤R_er(x₀₂,y₀₂)≤…≤R_er(x_0n,y_0n)，因而假设L表示全局最优解(x₀*,y₀*)的邻域，则R_er(x₀*,y₀*)≤R_er(x_0i,y_0i)，BCSA优化算法产生的解序列(x_0i,y_0i)落入L的事件集合为Ri，由于在算法执行过程中的变量搜索空间不断缩小，因此说明概率测度单调不减，P(R1)≤P(R2)≤…≤P(Ri)≤…≤P(Rn)，又因为存在1≥M>0，对任意的i∈n都有：|P(Ri)|≤M，因此当i趋向于无穷大时，P(Ri)=1。存在正整数j，当i＞j时，P(Rj)＞1-M，则P(Ri)≥1-M^(i-j)，变尺度混沌模拟退火(BCSA)算法能以概率1收敛于全局最优解。

本发明的变尺度混沌模拟算法先将模拟退火算法作为寻优的粗搜索，然后利用混沌优化算法的高效性作为寻优的细搜索，确保寻优过程简洁高效。由于模拟退火算法具有较好的鲁棒特性，并且优化结果不依赖于初始值，因此先采用模拟退火算法能保证寻找到实际全局最优区域，而混沌优化算法则具有很好的算法执行效率，适合在全局最优区域内进行细搜索，从而搜索到全局最优解。因此在优化过程中具有更小的迭代次数，能更好地实现混沌寻优。算法执行过程中[a_1，i+1，b_1，i+1]、[a_2,i+1,b_2,i+1]根据解空间变化而不断减小，使得寻优过程不断逼近全局最优解。

以上所述，仅是本发明较佳实施例而已，并非对本发明的技术范围作任何限制，故凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何细微修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.一种基于变尺度混沌模拟退火算法的圆度误差评定方法，其特征在于包括如下步骤：

(1)优化的函数为F＝min[R_er(x₀,y₀)]，其中 $R_{er}(x_0,y_0)=\underset{i\&Element;A1\&cup;A2}{\min }\&lsqb;\underset{A2}{\max }\left(\sqrt{{(x_i+x_0)}^2+{(y_i+y_0)}^2}\right)-\underset{A1}{\min }\left(\sqrt{{(x_i+x_0)}^2+{(y_i+y_0)}^2}\right)\&rsqb;$ 为优化函数，A1和A2分别表示包容被测工件轮廓的最小同心圆和最大同心圆，(x₀,y₀)为所求理想圆圆心，(x_i,y_i)为实际工件的采样坐标，i∈[1,n]，其中n为工件的坐标点数，x₀,y₀为优化自变量，[a_1,i,b_1,i]和[a_2,i,b_2,i]分别为优化变量x₀和y₀的取值区间；设置初始退火温度T、随机产生一组初始向量作为初始解x_intial和y_intial、初始能量值E₀、最大迭代次数M₁、混沌迭代次数M₂、M₃，其中M₃设置为0.2*M₂～0.8*M₂、相对误差因子e；

(2)对初始解x_intial和y_intial在邻域范围内进行随机扰动，初始解扰动按照如下方式产生：x_t＝x_intial+(rand-0.5)*exp(-2*M₁/kT)；y_t＝y_intial+(rand-0.5)*exp(-2*M₁/kT)；其中rand是(0,1)内的随机数，E_t为现阶段变量t对应的能量值，k为波尔兹曼常数；

(3)若能量值E_t小于初始能量值E₀，则搜索有效，继续执行步骤(2)，否则对邻域范围以概率为exp(ΔE/kT)接受，而以1-exp(ΔE/kT)的概率拒绝接受能量值E_t，其中ΔE＝E_t-E₀，k为波尔兹曼常数；

(4)根据随机扰动状态转移进行判断，若同时满足循环次数不大于最大迭代次数M₁和能量值E_t小于能量值E_t-1，则重复执行步骤(2)和步骤(3)；

(5)执行退温函数T_k+1＝T_k/(M₁+1)，降低退火温度；

(6)重复执行步骤(2)至(5)，判断循环次数是否大于最大迭代次数M₁，若大于则停止搜索，输出当前最优解x_tin、y_tin和相应的圆度误差值R_er(x_tin,y_tin)；

(7)将x_tin和y_tin作为混沌迭代的初始值生成相应的混沌迭代变量，其混沌迭代的具体关系式为：x_tin＝cos(1/x_tin ²)，y_tin＝cos(1/y_tin ²)，设定混沌迭代次数为p；

(8)将生成的混沌迭代变量执行M₂次混沌搜索，现态混沌变量x_tink＝a_1,i+(b_1,i-a_1,i)*x_tin，y_tink＝a_2,i+(b_2,i-a_2,i)*y_tin，若现态混沌变量x_tink，y_tink满足R_er(x_tink，y_tink)<R_er(x_tin,y_tin)，则x_tink，y_tink为当前最优解，继续执行步骤(8)，直至搜索次数达到M₂，此时的最优解为x_tmin，y_tmin，否则转入步骤(7)；

(9)根据x_tmin，y_tmin将优化变量区间[a_1,i,b_1,i]和[a_2,i,b_2,i]变更为[a_1,i+1,b_1,i+1]和[a_2,i+1,b_2,i+1]，其中a_1,i+1＝x_tmin-c(b_1,i-a_1,i)，b_1,i+1＝x_tmin+c*(b_1,i-a_1,i)，a_2,i+1＝y_tmin-c*(b_2,i-a_2,i)，b_2,i+1＝y_tmin+c*(b_2,i-a_2,i)，c表示变尺度系数，取值范围在(0,0.5)；如果a_j,i+1<a_j,i，则a_j,i+1＝a_j,i；如果b_j,i+1>b_j,i，则b_j,i+1＝b_j,i，其中j＝(1,2)；

(10)对x_tmin，y_tmin进行混沌变换，同时迭代M₃次重复执行步骤(7)；

(11)重复执行步骤(7)至步骤(9)，直到迭代M₃次后x_tmin，y_tmin对应的函数值偏差不超过相对误差因子e，该相对误差因子e的数值根据实际问题变化而不同，一般为10^-3～10^-6；

(12)重复执行步骤(11)，直到迭代次数为p时，算法寻优结束，输出最优解x_tmin，y_tmin。