CN102930546A - 利用一个四等分圆线性求解摄像机内参数的方法 - Google Patents

利用一个四等分圆线性求解摄像机内参数的方法 Download PDF

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CN102930546A
CN102930546A CN 201210451351 CN201210451351A CN102930546A CN 102930546 A CN102930546 A CN 102930546A CN 201210451351 CN201210451351 CN 201210451351 CN 201210451351 A CN201210451351 A CN 201210451351A CN 102930546 A CN102930546 A CN 102930546A
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赵越
崔倩
吕晓丹
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Yunnan University YNU
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Abstract

本发明涉及一种利用平面上一个四等分圆求解圆环点的像进行摄像机标定的方法，对标定的靶标从不同方向拍摄三幅图像，从图像上提取椭圆方程和两条互相垂直的直径的像，根据配及原则，利用共点四条直线的交比性质，得出平面上的消失线，利用消失线与圆的像椭圆相交得出圆环点的像。建立圆环点的像对应于摄像机内参数的约束方程，线性求解摄像机5个内参数。利用本发明中的靶标可以实现全自动标定，减少了标定过程中由测量引起的误差。由于二次曲线是一种更简洁更全局化的基元，在摄像机标定过程中提高了标定精度。

Description

利用一个四等分圆线性求解摄像机内参数的方法
技术领域
本发明属于计算机研究领域，涉及一种用于求解摄像机内参数的一个四等分圆靶标。利用平面上任意一个四等分圆作为标定模板，通过求解三幅图像上消失线与平面圆的像椭圆相交得出圆环点的像的坐标，线性确定摄像机的内参数。
背景技术
计算机视觉的基本任务之一，就是从摄像机获得的二维图像信息出发恢复物体在三维空间中的几何信息，从而识别和重建三维空间中物体的几何形状。在此过程中必须确定空间物体点的三维几何位置与其图像中的对应点之间的相互关系，而这种关系又由摄像机成像的几何模型决定的，这些几何模型的参数就是摄像机参数。在大多数条件下，这些参数都是通过实验得到的，这就是摄像机标定。它一般分为传统标定和自标定两种方法，无论哪种标定方法，标定物体都是采用一些特殊的几何模型，例如：平面正方形、三角形，圆，空间立方体、圆柱等等。如何建立这些几何模型与摄像机参数之间的关系尤其是某种线性的关系，是目前摄像机标定所追求的目标，也是目前计算机视觉领域研究的热点之一。
传统的摄像机标定方法虽然可以获得较高的精度，但是标定块制作困难，不便于操作。针对这一问题文献“A flexible new technique for camera calibration”, （Zhengyou　Zhang , IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 22, no. 11, pp. 1330-1334, 2000.）提出了用平面模板代替传统标定块的方法，这种方法简单方便，成本低，并且能获得较高的精度，但需要精确定位模板上点阵的物理坐标。文献“Planar conic based camera calibration”, (Changjiang Yang, Fengmei Sun , Zhanyi Hu, In Proceedings of International Conference on Pattern Recognition, vol.1, pp. 555-558, 2000.)将这一方法作了推广，用图像和模板之间的二次曲线对应来标定摄像机，而不是利用点与点之间的对应。由于二次曲线是一种更简洁更全局化的基元，因而可以进一步提高方法的稳定性。于是用曲线解决标定问题被广泛研究。文献“A new easy camera calibration technique based on circular points”, （Xiaoqiao　Meng, Zhanyi Hu，Pattern Recognition, vol. 36, no. 5, pp. 115-1164, 2003.）提出了用一个圆和通过圆心的若干条直线构成的标定模板，利用圆环点来求解摄像机内参数的方法，该方法首次将射影几何中的圆环点融入到摄像机标定中，于是圆环点成了摄像机自标定方法的理论基础（Hartley Richard, Zisserman Andrew,“Multiple view geometry in computer vision”, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.）。
圆是平面上一条特殊的二次曲线，平面上所有的圆都通过圆环点。利用圆作为标定模板，结合圆环点的理论来进行摄像机标定的方法逐渐被推广。文献（Yihong Wu, Haijiang Zhu, Zhanyi Hu, Fuchao Wu, “Camera calibration from the quasi-affine invariance of two parallel circles”, In Proceedings of the ECCV, pp. 190-202, 2004.）提出了用平行圆标定的方法，根据平行圆的交点是圆环点直接求解两个平行圆的像的交点来完成标定。文献（Yihong Wu, Xinju Li, Fuchao Wu, Zhanyi Hu, “Coplanar circle, quasi-affine invariance and calibration”, Image and Vision Computing, vol. 24, no. 4, pp. 319-326, 2006.）讨论了平面上任意两个圆的位置关系，根据圆的位置关系计算图像中二次曲线的交点来求得圆环点的像。
发明内容
本发明提供了一种制作简单，适用广泛，稳定性好的用于求解摄像机内参数的靶标，该靶标是由一个四等分圆组成。在求解摄像机内参数的过程中，只需摄像机从不同方位拍摄3幅图像就可以线性求解出摄像机的5个内参数。
本发明采用如下技术方案：
本发明是由四等分圆构成的用于摄像机自标定的靶标。具体的步骤包括：从图像上提取椭圆方程和两条相互垂直的直径的像，根据配极原则及共点四条直线的交比的性质，得出图像平面上的消失线，利用消失线与平面圆的像椭圆相交计算两个圆环点的像的坐标，根据三幅图像上的圆环点的像的坐标线性求解摄像机内参数。
（1）拟合图像中曲线方程
利用VC++6.0平台的OpenCV程序中的函数提取出图像特征点的坐标，并用最小二乘算法拟合出图像中的椭圆，得到图像上各椭圆方程。
（2）计算图像平面消失线
如果在世界坐标系的一个平面上，存在一个四等分圆（如图1），                                                
Figure 2012104513515100002DEST_PATH_IMAGE001
是圆的两条互相垂直的直径，且
Figure 2012104513515100002DEST_PATH_IMAGE002
在圆上，
Figure 2012104513515100002DEST_PATH_IMAGE003
为圆心，设直线上的无穷远点分别为
Figure 2012104513515100002DEST_PATH_IMAGE004
。 如图2，
Figure DEST_PATH_IMAGE005
分别是的像，
Figure 2012104513515100002DEST_PATH_IMAGE007
是的像，
Figure DEST_PATH_IMAGE008
是无穷远点
Figure 2012104513515100002DEST_PATH_IMAGE009
的像点，即方向的消失点，设
Figure 2012104513515100002DEST_PATH_IMAGE011
是无穷远点
Figure DEST_PATH_IMAGE012
的像点，即
Figure 2012104513515100002DEST_PATH_IMAGE013
方向的消失点；设
Figure DEST_PATH_IMAGE014
的坐标为
Figure 2012104513515100002DEST_PATH_IMAGE015
，的坐标为
Figure DEST_PATH_IMAGE017
；设圆上两点
Figure DEST_PATH_IMAGE018
关于圆的切线为
Figure 2012104513515100002DEST_PATH_IMAGE019
,其像
Figure DEST_PATH_IMAGE020
的关于圆切线分别为
Figure 2012104513515100002DEST_PATH_IMAGE021
，
Figure DEST_PATH_IMAGE022
所在的直线分别为
Figure DEST_PATH_IMAGE023
。点
Figure 930747DEST_PATH_IMAGE003
关于圆的极线是平面上的无穷远直线，设为
Figure DEST_PATH_IMAGE024
，像点
Figure 613532DEST_PATH_IMAGE007
关于像圆的极线是像平面上的无穷远直线，设为
Figure DEST_PATH_IMAGE025
；
Figure 597800DEST_PATH_IMAGE012
关于圆的极线是
Figure 756249DEST_PATH_IMAGE013
所在的直线，记为。根据射影几何中调和共轭理论及配极关系，得,根据射影变换中相应点的对应性和交比不变形性及保持配极关系不变，得
Figure DEST_PATH_IMAGE028
。设圆的像为
Figure DEST_PATH_IMAGE029
，其矩阵为
Figure DEST_PATH_IMAGE030
，那么点
Figure 215656DEST_PATH_IMAGE014
关于
Figure 425051DEST_PATH_IMAGE029
的切线方程为（
Figure DEST_PATH_IMAGE032
是点
Figure 767171DEST_PATH_IMAGE014
关于
Figure 819440DEST_PATH_IMAGE029
的切线），即
Figure DEST_PATH_IMAGE033
，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE034
是切线上的任一点，展开即可得出
Figure DEST_PATH_IMAGE035
的齐次线坐标，同理也可得出
Figure 207172DEST_PATH_IMAGE016
关于
Figure 661287DEST_PATH_IMAGE029
的切线方程为
Figure DEST_PATH_IMAGE036
（
Figure DEST_PATH_IMAGE037
是点关于
Figure 182715DEST_PATH_IMAGE029
的切线），即
Figure DEST_PATH_IMAGE038
，其中
Figure 49171DEST_PATH_IMAGE034
是切线上的任一点，展开即可得出
Figure DEST_PATH_IMAGE039
的齐次线坐标。由点
Figure DEST_PATH_IMAGE040
的坐标可得直线
Figure DEST_PATH_IMAGE041
的齐次线坐标，根据 （其中是系数），得出，将
Figure DEST_PATH_IMAGE045
的坐标代入
Figure DEST_PATH_IMAGE046
就可得出
Figure DEST_PATH_IMAGE047
，那么
Figure DEST_PATH_IMAGE048
也就可得出，进而消失线
Figure 433492DEST_PATH_IMAGE025
就确定了。
 （3）计算两个圆环点的像的坐标
根据消失线
Figure DEST_PATH_IMAGE049
与圆的像
Figure 727201DEST_PATH_IMAGE029
相交，即
Figure 878697DEST_PATH_IMAGE025
与叉乘为零，得出的交点就是圆环点的两个像点，记为
Figure DEST_PATH_IMAGE050
。
（4）求解摄像机内参数
获取三幅图像，由消失线与圆的像椭圆相交得出圆环点的像，线性求解出摄像机的5个内参数，即矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE051
，
Figure DEST_PATH_IMAGE052
为图像的畸变因子，
Figure DEST_PATH_IMAGE053
为图像坐标系中
Figure DEST_PATH_IMAGE054
轴
Figure DEST_PATH_IMAGE055
轴的尺度因子，
Figure DEST_PATH_IMAGE056
是主点坐标，为摄像机的5个内参数。
本发明优点：
（1）该靶标制作简单，任意一个圆将其四等分或将一个光盘放置在棋盘格中，就构成一个四等分圆。
（2）对该靶标的物理尺度没有要求，无需知道圆的位置及各点的世界坐标。
（3）只需用摄像机从不同方位拍摄3幅图像便可线性求解出摄像机的5个内参数。
附图说明
图1 是用于求解摄像机内参数的靶标结构示意图。
图2 是平面消失线的求解原理图。
具体实施方式
一种用于求解摄像机内参数的靶标，它是由平面上一个四等分圆构成的，如图1。用此新型靶标完成摄像机内参数的求解需要经过以下步骤：基于一个四等分圆的摄像机标定方法采用的实验模板是平面上任意的一个四等分圆，如图1所示。
Figure 384075DEST_PATH_IMAGE001
是圆的两条互相垂直的直径，且
Figure 642494DEST_PATH_IMAGE002
在圆上，
Figure 891073DEST_PATH_IMAGE003
为圆心，利用本发明中的方法对用于实验的摄像机进行标定，具体步骤如下：
（1）拟合图像中曲线方程
利用VC++6.0平台的OpenCV程序中的函数提取出图像特征点的坐标，并用最小二乘算法拟合各图像中的曲线，获取图像上各条椭圆曲线方程。
（2）计算图像平面消失线
如果在世界坐标系的一个平面上，存在一个四等分圆（如图1）， 是圆的两条互相垂直的直径，且在圆上，
Figure 329641DEST_PATH_IMAGE003
为圆心，设直线
Figure 924571DEST_PATH_IMAGE001
上的无穷远点分别为。 如图2，
Figure 605399DEST_PATH_IMAGE005
分别是
Figure 67604DEST_PATH_IMAGE006
的像，
Figure 149830DEST_PATH_IMAGE007
是
Figure 355683DEST_PATH_IMAGE003
的像，
Figure 223276DEST_PATH_IMAGE008
是无穷远点
Figure 121962DEST_PATH_IMAGE009
的像点，即
Figure 957063DEST_PATH_IMAGE010
方向的消失点，设
Figure 701028DEST_PATH_IMAGE011
是无穷远点
Figure 709214DEST_PATH_IMAGE012
的像点，即
Figure 513222DEST_PATH_IMAGE013
方向的消失点；设
Figure 835619DEST_PATH_IMAGE014
的坐标为，
Figure 225460DEST_PATH_IMAGE016
的坐标为
Figure 465949DEST_PATH_IMAGE017
；设圆上两点
Figure 10063DEST_PATH_IMAGE018
关于圆的切线为
Figure 971197DEST_PATH_IMAGE019
,其像
Figure 792522DEST_PATH_IMAGE020
的关于圆切线分别为
Figure 328546DEST_PATH_IMAGE021
，
Figure 235322DEST_PATH_IMAGE022
所在的直线分别为
Figure 147DEST_PATH_IMAGE023
。点关于圆的极线是平面上的无穷远直线，设为
Figure 648483DEST_PATH_IMAGE024
，像点
Figure 42555DEST_PATH_IMAGE007
关于像圆的极线是像平面上的无穷远直线，设为
Figure 342562DEST_PATH_IMAGE025
；
Figure 872900DEST_PATH_IMAGE012
关于圆的极线是所在的直线，记为
Figure 632095DEST_PATH_IMAGE026
。根据射影几何中调和共轭理论及配极关系，得
Figure 4301DEST_PATH_IMAGE027
,根据射影变换中相应点的对应性和交比不变形性及保持配极关系不变，得
Figure 654725DEST_PATH_IMAGE028
。设圆的像为，其矩阵为
Figure 806538DEST_PATH_IMAGE030
，那么点
Figure 716856DEST_PATH_IMAGE014
关于的切线方程为（
Figure 907163DEST_PATH_IMAGE032
是点
Figure 745806DEST_PATH_IMAGE014
关于
Figure 229877DEST_PATH_IMAGE029
的切线），即
Figure 761353DEST_PATH_IMAGE033
，其中是切线上的任一点，展开即可得出
Figure 88222DEST_PATH_IMAGE035
的齐次线坐标，同理也可得出
Figure DEST_PATH_IMAGE057
关于
Figure 161220DEST_PATH_IMAGE029
的切线方程为
Figure 942225DEST_PATH_IMAGE036
（是点
Figure 546699DEST_PATH_IMAGE016
关于
Figure 756094DEST_PATH_IMAGE029
的切线），即
Figure 363793DEST_PATH_IMAGE038
，其中
Figure 540697DEST_PATH_IMAGE034
是切线上的任一点，展开即可得出的齐次线坐标。由点
Figure 588735DEST_PATH_IMAGE040
的坐标可得直线
Figure 367335DEST_PATH_IMAGE041
的齐次线坐标，根据
Figure 31535DEST_PATH_IMAGE042
 （其中
Figure 553783DEST_PATH_IMAGE043
是系数），得出
Figure 469262DEST_PATH_IMAGE044
，将的坐标代入
Figure 304680DEST_PATH_IMAGE046
就可得出
Figure 505985DEST_PATH_IMAGE047
，那么
Figure 403534DEST_PATH_IMAGE048
也就可得出，进而消失线
Figure 648571DEST_PATH_IMAGE025
就确定了。
（3）计算两个圆环点的像的坐标      
根据消失线
Figure 162729DEST_PATH_IMAGE025
与圆的像
Figure 902146DEST_PATH_IMAGE029
相交，即
Figure 919780DEST_PATH_IMAGE025
与
Figure 601297DEST_PATH_IMAGE030
叉乘为零，得出的交点就是圆环点的两个像点，记为
Figure 337172DEST_PATH_IMAGE050
。
（4）求解摄像机内参数
获取三幅图像，由消失线与圆的像椭圆相交得出圆环点的像，线性求解出摄像机的5个内参数，即矩阵
Figure 208176DEST_PATH_IMAGE051
，
Figure 80317DEST_PATH_IMAGE052
为图像的畸变因子，
Figure 680538DEST_PATH_IMAGE053
为图像坐标系中
Figure 638130DEST_PATH_IMAGE054
轴
Figure 968617DEST_PATH_IMAGE055
轴的尺度因子，
Figure 960844DEST_PATH_IMAGE056
是主点坐标。
实施例
本发明提出了利用平面上任意一个四等分圆作为靶标线性确定摄像机的内参数。本发明采用的实验模块结构示意图如图1所示。下面以一实例对本发明的实施方案做出更为详细的描述。基于一个四等分圆的摄像机标定方法采用的实验模板是平面上任意一个四等分圆，如图1所示。
Figure 734896DEST_PATH_IMAGE006
是圆的两条互相垂直的直径，
Figure 179784DEST_PATH_IMAGE003
为圆心，利用本发明中的方法对用于实验的摄像机进行标定，具体步骤如下：
（1）拟合图像中圆的投影曲线方程
本发明采用的图像分辨率为1600×1300个像素，用摄像机从不同方向拍摄多幅实验图片，选取三幅较为清晰的图片，读入图像，利用OpenCV中函数提取出图像特征点的坐标，并用最小二乘算法拟合图像中的各条曲线，获取椭圆曲线方程。
经过以上方法计算出三幅图像上的像椭圆
Figure DEST_PATH_IMAGE058
，如下：
第一个椭圆的矩阵：
Figure DEST_PATH_IMAGE059
；
第二个椭圆的矩阵：
Figure DEST_PATH_IMAGE060
；
第三个椭圆的矩阵：
Figure DEST_PATH_IMAGE061
。
（2）计算图像平面消失线
如果在世界坐标系的一个平面上，存在一个四等分圆（如图1）， 
Figure 177007DEST_PATH_IMAGE001
是圆的两条互相垂直的直径，且
Figure 587872DEST_PATH_IMAGE002
在圆上，
Figure 910269DEST_PATH_IMAGE003
为圆心，设直线
Figure 457925DEST_PATH_IMAGE001
上的无穷远点分别为
Figure 690323DEST_PATH_IMAGE004
。 如图2，
Figure 540599DEST_PATH_IMAGE005
分别是
Figure 553554DEST_PATH_IMAGE006
的像，
Figure 780267DEST_PATH_IMAGE007
是
Figure 601593DEST_PATH_IMAGE003
的像，
Figure 137616DEST_PATH_IMAGE008
是无穷远点
Figure 44392DEST_PATH_IMAGE009
的像点，即
Figure 809217DEST_PATH_IMAGE010
方向的消失点，设
Figure 750628DEST_PATH_IMAGE011
是无穷远点
Figure 191974DEST_PATH_IMAGE012
的像点，即
Figure 586046DEST_PATH_IMAGE013
方向的消失点；设
Figure 886053DEST_PATH_IMAGE014
的坐标为
Figure 947550DEST_PATH_IMAGE015
，
Figure 559797DEST_PATH_IMAGE016
的坐标为
Figure 441165DEST_PATH_IMAGE017
；设圆上两点
Figure 547793DEST_PATH_IMAGE018
关于圆的切线为
Figure 198217DEST_PATH_IMAGE019
,其像
Figure 246944DEST_PATH_IMAGE020
的关于圆切线分别为
Figure 615609DEST_PATH_IMAGE021
，
Figure 525927DEST_PATH_IMAGE022
所在的直线分别为
Figure 358754DEST_PATH_IMAGE023
。点
Figure 329115DEST_PATH_IMAGE003
关于圆的极线是平面上的无穷远直线，设为
Figure 450655DEST_PATH_IMAGE024
，像点
Figure 23719DEST_PATH_IMAGE007
关于像圆的极线是像平面上的无穷远直线，设为
Figure 773369DEST_PATH_IMAGE025
；
Figure 39265DEST_PATH_IMAGE012
关于圆的极线是
Figure 989379DEST_PATH_IMAGE013
所在的直线，记为
Figure 631713DEST_PATH_IMAGE026
。根据射影几何中调和共轭理论及配极关系，得
Figure 235870DEST_PATH_IMAGE027
,根据射影变换中相应点的对应性和交比不变形性及保持配极关系不变，得。设圆的像为
Figure 847428DEST_PATH_IMAGE029
，其矩阵为
Figure 886928DEST_PATH_IMAGE030
，那么点关于的切线方程为
Figure 756292DEST_PATH_IMAGE031
（
Figure 599483DEST_PATH_IMAGE032
是点
Figure 53598DEST_PATH_IMAGE014
关于
Figure 707564DEST_PATH_IMAGE029
的切线），即
Figure 247130DEST_PATH_IMAGE033
，其中是切线上的任一点，展开即可得出
Figure 202634DEST_PATH_IMAGE035
的齐次线坐标，同理也可得出
Figure 48009DEST_PATH_IMAGE057
关于
Figure 809292DEST_PATH_IMAGE029
的切线方程为
Figure 259865DEST_PATH_IMAGE036
（
Figure 422993DEST_PATH_IMAGE037
是点
Figure 418762DEST_PATH_IMAGE016
关于的切线），即，其中是切线上的任一点，展开即可得出
Figure 105909DEST_PATH_IMAGE039
的齐次线坐标。由点
Figure 966418DEST_PATH_IMAGE040
的坐标可得直线
Figure 103001DEST_PATH_IMAGE041
的齐次线坐标，根据
Figure 116088DEST_PATH_IMAGE042
 （其中是系数），得出
Figure 470638DEST_PATH_IMAGE044
，将
Figure 66705DEST_PATH_IMAGE045
的坐标代入
Figure 58931DEST_PATH_IMAGE046
就可得出
Figure 567404DEST_PATH_IMAGE047
，那么
Figure 277871DEST_PATH_IMAGE048
也就可得出，进而消失线
Figure 146470DEST_PATH_IMAGE025
就确定了。
经过以上方法计算出三幅图像上的三条消失线分别为：
Figure DEST_PATH_IMAGE062
，如下：
第一幅图像上消失线：
；
第二幅图像上消失线：
Figure DEST_PATH_IMAGE064
；
第三幅图像上消失线：
Figure DEST_PATH_IMAGE065
。
(3)计算两个圆环点的像的坐标
消失线与圆的像椭圆相交得出圆环点的像，经过计算可以得到三幅图像上的圆环点的像分别为：，如下：
第一幅图像上的圆环点的两个像点
Figure DEST_PATH_IMAGE067
；
第二幅图像上的圆环点的两个像点：
Figure DEST_PATH_IMAGE068
；
第三幅图像上的圆环点的两个像点：
Figure DEST_PATH_IMAGE069
；
（4）求解出摄像机内参数
经过以上步骤得到的三幅图像上的圆环点的像的坐标，可线性地求解出摄像机内参数矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE070
，五个内参数（单位：像素）分别为，
Figure DEST_PATH_IMAGE072
， 
Figure DEST_PATH_IMAGE073
，
Figure DEST_PATH_IMAGE074
和
Figure DEST_PATH_IMAGE075
。

Claims (1)

1.一种利用一个四等分圆线性求解摄像机内参数的方法，其特征在于：利用一个平面的靶标，此靶标是由平面上一个四等分圆构成；首先从图像上提取椭圆方程和两条相互垂直的直径的像，根据配极原则及共点四条直线的交比的性质，得出图像平面上的消失线，再利用消失线与平面圆的像椭圆相交计算两个圆环点的像的坐标，根据三幅图像上的圆环点的像的坐标线性求解摄像机内参数；具体步骤包括：图像平面消失线求解，两个圆环点的像的坐标求解，摄像机内参数矩阵中的                                                
Figure 582257DEST_PATH_IMAGE001
5个参数求解：
（1）计算图像平面消失线
如果在世界坐标系的一个平面上，存在一个四等分圆，
Figure 695837DEST_PATH_IMAGE002
是圆的两条互相垂直的直径，且
Figure 263085DEST_PATH_IMAGE003
在圆上，
Figure 420397DEST_PATH_IMAGE004
为圆心，设直线
Figure 89407DEST_PATH_IMAGE002
上的无穷远点分别为
Figure 724787DEST_PATH_IMAGE005
；
Figure 208858DEST_PATH_IMAGE006
分别是的像，
Figure 690448DEST_PATH_IMAGE008
是
Figure 129519DEST_PATH_IMAGE004
的像，
Figure 422092DEST_PATH_IMAGE009
是无穷远点
Figure 921206DEST_PATH_IMAGE010
的像点，即
Figure 548497DEST_PATH_IMAGE011
方向的消失点，设
Figure 791259DEST_PATH_IMAGE012
是无穷远点的像点，即
Figure 873933DEST_PATH_IMAGE014
方向的消失点；设
Figure 988519DEST_PATH_IMAGE015
的坐标为
Figure 34973DEST_PATH_IMAGE016
，的坐标为
Figure 143054DEST_PATH_IMAGE018
；设圆上两点关于圆的切线为
Figure 63923DEST_PATH_IMAGE020
,其像
Figure 182664DEST_PATH_IMAGE021
的关于圆切线分别为
Figure 194482DEST_PATH_IMAGE022
，
Figure 283661DEST_PATH_IMAGE006
所在的直线分别
Figure 406338DEST_PATH_IMAGE023
；点
Figure 913674DEST_PATH_IMAGE004
关于圆的极线是平面上的无穷远直线，设为，像点
Figure 407289DEST_PATH_IMAGE008
关于像圆的极线是像平面上的无穷远直线，设为；
Figure 429920DEST_PATH_IMAGE013
关于圆的极线是
Figure 783541DEST_PATH_IMAGE014
所在的直线，记为
Figure 581732DEST_PATH_IMAGE026
；根据射影几何中调和共轭理论及配极关系，得
Figure 859261DEST_PATH_IMAGE027
,根据射影变换中相应点的对应性和交比不变形性及保持配极关系不变，得
Figure 59298DEST_PATH_IMAGE028
；设圆的像为
Figure 583820DEST_PATH_IMAGE029
，其矩阵为
Figure 413849DEST_PATH_IMAGE030
，那么点
Figure 947598DEST_PATH_IMAGE015
关于
Figure 752874DEST_PATH_IMAGE029
的切线方程为
Figure 448298DEST_PATH_IMAGE031
（
Figure 221082DEST_PATH_IMAGE032
是点
Figure 292943DEST_PATH_IMAGE015
关于的切线），即
Figure 881367DEST_PATH_IMAGE033
，其中
Figure 875868DEST_PATH_IMAGE034
是切线上的任一点，展开即可得出
Figure 502153DEST_PATH_IMAGE035
的其次线坐标，同理也可得出
Figure 265709DEST_PATH_IMAGE017
关于
Figure 568515DEST_PATH_IMAGE029
的切线方程为
Figure 50312DEST_PATH_IMAGE036
（是点
Figure 361000DEST_PATH_IMAGE017
关于的切线），即
Figure 538220DEST_PATH_IMAGE038
，其中
Figure 771887DEST_PATH_IMAGE034
是切线上的任一点，展开即可得出
Figure 510035DEST_PATH_IMAGE039
的其次线坐标；由点
Figure 154643DEST_PATH_IMAGE040
的坐标可得直线的其次线坐标，根据
Figure 117231DEST_PATH_IMAGE042
 （其中
Figure 975466DEST_PATH_IMAGE043
是系数），得出，将的坐标代入就可得出，那么
Figure 743702DEST_PATH_IMAGE048
也就可得出，进而消失线就确定了；
（2）计算两个圆环点的像的坐标   
根据消失线
Figure 754176DEST_PATH_IMAGE025
与圆的像
Figure 587002DEST_PATH_IMAGE029
相交，即
Figure 744314DEST_PATH_IMAGE025
与
Figure 147745DEST_PATH_IMAGE030
叉乘为零，得出的交点就是圆环点的两个像点，记为
Figure 48705DEST_PATH_IMAGE049
；
（3）求解摄像机内参数
获取三幅图像上的圆环点的像的坐标，线性求解出摄像机的5个内参数，即内参数矩阵
Figure 736038DEST_PATH_IMAGE050
。
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Cited By (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN103116892A (zh) * 2013-03-15 2013-05-22 云南大学 两个相交相同圆及公切线求解摄像机内参数
CN106327504A (zh) * 2016-09-22 2017-01-11 云南大学 利用单个球及圆环点的像标定拋物折反射摄像机的方法

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SE01 Entry into force of request for substantive examination
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WD01 Invention patent application deemed withdrawn after publication

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