CN103116888A - 利用平面三角形求解摄像机的内参数 - Google Patents

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CN103116888A
CN103116888A CN2013100402787A CN201310040278A CN103116888A CN 103116888 A CN103116888 A CN 103116888A CN 2013100402787 A CN2013100402787 A CN 2013100402787A CN 201310040278 A CN201310040278 A CN 201310040278A CN 103116888 A CN103116888 A CN 103116888A
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CN
China
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point
matrix
camera
triangle
points
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CN2013100402787A
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English (en)
Inventor
赵越
陈晓
钟良宣
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Yunnan University YNU
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Yunnan University YNU
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Abstract

本发明是由平面上任意三角形构成的用于摄像机自标定的模板。三角形模板上找到5个点，分别为三角形的三个顶点，某个边的垂足及垂线的中点，及垂足所在的边中垂足到任一顶点的中点，计算出这5个点的像点，利用平面上的点与像点之间的射影不变性，得出世界坐标平面到图像平面的单应矩阵，每个单应矩阵可以提供关于摄像机内参数的2个线性约束方程。从三个不同的方向拍摄三角形模板的三幅图像，通过求解的三个单应矩阵，得到关于摄像机内参数的6个线性约束方程，实现摄像机的线性自标定。利用本发明中的模板可实现全自动标定，减少了标定过程中由测量引起的误差。三角形是最简单的几何模型之一，用它作为标定模板具有操作简单，稳定性好的优点。

Description

利用平面三角形求解摄像机的内参数
技术领域
本发明属于计算机研究领域，涉及一种用于求解摄像机内参数的平面三角形靶标。利用平面上任意一个三角形作为标定模板，通过求解三幅图像上世界坐标平面到图像平面的单应矩阵，利用单应矩阵对摄像机内参数的约束条件，来实现摄像机的线性自标定。
背景技术
计算机视觉的基本任务之一，就是从摄像机获得的二维图像信息出发恢复物体在三维空间中的几何信息，从而识别和重建三维空间中物体的几何形状。在此过程中必须确定空间物体点的三维几何位置与其图像中的对应点之间的相互关系，而这种关系又由摄像机成像的几何模型决定的，这些几何模型的参数就是摄像机参数。在大多数条件下，这些参数都是通过实验得到的，这就是摄像机标定。它一般分为传统标定和自标定两种方法，无论哪种标定方法，标定物体都是采用一些特殊的几何模型，例如：平面正方形、三角形、圆、空间立方体、圆柱等等。如何建立这些几何模型与摄像机参数之间的关系尤其是某种线性的关系，是目前摄像机标定所追求的目标，也是目前计算机视觉领域研究的热点之一。
传统的摄像机标定方法虽然可以获得较高的精度，但是标定块制作困难，不便于操作。针对这一问题文献“A flexible new technique for camera calibration”, （Zhengyou　Zhang , IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 22, no. 11, pp. 1330-1334, 2000.）提出了用平面模板代替传统标定块的方法，这种方法简单方便，成本低，并且能获得较高的精度，但需要精确定位模板上点阵的物理坐标。文献“杨世梁，倪霞林.基于等边三角形的摄像机标定方法 [J]。计量与测量技术，2007,34（12）.”提出了用等边三角形作为标定模板，利用射影几何中的交比不变性，求出三组两两正交的直线的消失点的坐标，通过多幅图像即可线性求解出摄像机的内参数。该标定方法操作简单，稳定性好，适用广泛。文献“王奇志，王东生，徐德.利用三角形及其九点圆的摄像机标定[J].数学的实践与认识，42（11），2012.”提出利用三角形作为标定模板，利用三角形九点圆中其九个点的特殊性，来对摄像机进行标定。该标定方法避免了参数之间非线性方程求解，降低了参数之间求解的复杂性。
三角形是平面上一种简单的几何模型，利用任意平面三角形作为标定模板，结合单应矩阵的理论来进行摄像机标定的方法逐渐被推广。文献“孙凤梅，胡占义. 平面单应矩阵对摄像机内参数约束的一些性质”（计算机辅助设计与图形学学报，vol. 19, no. 5, 2007.）提出给定一个一般空间平面与图像平面之间的单应矩阵，如果空间平面在世界坐标系的已知，则单应矩阵可以提供关于摄像机内参数的2个约束条件，利用多幅图像即可线性求解出摄像机的内参数。文献“Flexible Camera Calibration By Viewing a Plane From Unknown Orientations”, (Zhengyou Zhang, Computer Vision, The Proceedings of the Seventh IEEE International Conference on 20-27 Sept. 1999.)中提出单应矩阵对内参数的两个约束条件，从而可以线性求解出摄像机的内参数。
发明内容
本发明提供了一种制作简单，适用广泛，稳定性好的用于求解摄像机内参数的靶标，该靶标是平面上任意的三角形。在求解摄像机内参数的过程中，只需摄像机从不同方位拍摄3幅图像就可以线性求解出5个摄像机内参数。
本发明采用如下技术方案：
本发明利用平面上任意的三角形作为标定模板实现摄像机的线性自标定。具体的步骤包括：在模板三角形上找到5个点，分别为三角形的三个顶点，某个边的垂足及垂线的中点，及垂足所在的边中垂足到任一顶点的中点，计算出这5个点的像点，从而可以计算出坐标平面到图像平面的单应矩阵,每个单应矩阵可以提供关于摄像机内参数的2个约束条件。然后，根据三幅图像上单应矩阵对内参数的约束条件线性求解摄像机的内参数。
（1）  求解单应矩阵
   在世界坐标系的平面上选择一个                                                
Figure 475448DEST_PATH_IMAGE001
作为标定模板（如图1），其中
Figure 523039DEST_PATH_IMAGE002
为三角形顶点，以三角形顶点
Figure 957431DEST_PATH_IMAGE003
作边的垂线，垂足
Figure 878299DEST_PATH_IMAGE005
为坐标原点，建立直角坐标系，
Figure 783326DEST_PATH_IMAGE006
，分别为
Figure 884323DEST_PATH_IMAGE008
的中点，(
Figure 498024DEST_PATH_IMAGE010
介于
Figure 149585DEST_PATH_IMAGE011
到
Figure 929323DEST_PATH_IMAGE012
之间）。选取标定模板上的五个点
Figure 386849DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure 201221DEST_PATH_IMAGE005
，
Figure 86000DEST_PATH_IMAGE013
，
Figure 353034DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure 614251DEST_PATH_IMAGE007
，这5个点的齐次坐标为
Figure 283129DEST_PATH_IMAGE014
，
Figure 338810DEST_PATH_IMAGE015
，
Figure 93139DEST_PATH_IMAGE016
，，
Figure 681433DEST_PATH_IMAGE018
（
Figure 899226DEST_PATH_IMAGE019
为
Figure 140851DEST_PATH_IMAGE005
点到
Figure 743871DEST_PATH_IMAGE013
的距离，
Figure 918500DEST_PATH_IMAGE019
可为任意数），5个点的射影深度分别为
Figure 519246DEST_PATH_IMAGE020
，
Figure 310484DEST_PATH_IMAGE021
，
Figure 654878DEST_PATH_IMAGE022
，
Figure 949593DEST_PATH_IMAGE023
，
Figure 721240DEST_PATH_IMAGE024
。如图2，设
Figure 593250DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 475755DEST_PATH_IMAGE026
，
Figure 159065DEST_PATH_IMAGE027
，
Figure 101613DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure 601865DEST_PATH_IMAGE029
分别为
Figure 84799DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure 619685DEST_PATH_IMAGE005
，
Figure 733135DEST_PATH_IMAGE013
，
Figure 455103DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure 679411DEST_PATH_IMAGE007
的5个点的像点。利用世界坐标中平面上的点与像点之间的射影不变性，有
Figure 334383DEST_PATH_IMAGE030
，
Figure 353155DEST_PATH_IMAGE031
，
Figure 827998DEST_PATH_IMAGE032
，可得出
Figure 855997DEST_PATH_IMAGE033
，
Figure 834318DEST_PATH_IMAGE034
，
Figure 289570DEST_PATH_IMAGE035
。
由世界坐标中平面上的点与像点之间的射影不变性可得：
Figure 254639DEST_PATH_IMAGE036
，
Figure 820750DEST_PATH_IMAGE037
为单应矩阵，则
Figure 919156DEST_PATH_IMAGE038
，其中
Figure 545309DEST_PATH_IMAGE039
为任意的比例因子，为图像平面上的像点，
Figure 98967DEST_PATH_IMAGE041
为世界坐标平面上的点。矩阵
Figure 583038DEST_PATH_IMAGE042
，
Figure 380093DEST_PATH_IMAGE043
为图像的畸变因子，
Figure 785667DEST_PATH_IMAGE044
为图像坐标系中
Figure 21476DEST_PATH_IMAGE045
轴、轴的尺度因子，
Figure 796851DEST_PATH_IMAGE047
是主点坐标，为摄像机的5个内参数。
Figure 892983DEST_PATH_IMAGE048
为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 666904DEST_PATH_IMAGE049
的旋转矩阵，
Figure 532092DEST_PATH_IMAGE050
Figure 1775DEST_PATH_IMAGE051
，为旋转矩阵的前两列，
Figure 897235DEST_PATH_IMAGE053
为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 616930DEST_PATH_IMAGE054
的平移向量。将
Figure 989005DEST_PATH_IMAGE055
，
Figure 59729DEST_PATH_IMAGE034
，
Figure 175453DEST_PATH_IMAGE035
代入单应矩阵，可得
Figure 558210DEST_PATH_IMAGE056
。由于
Figure 116230DEST_PATH_IMAGE005
，
Figure 35645DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure 729931DEST_PATH_IMAGE013
三点共线，所以
Figure 443809DEST_PATH_IMAGE057
，为比例因子，代入点，，
Figure 394873DEST_PATH_IMAGE013
坐标得
Figure 661906DEST_PATH_IMAGE059
，
Figure 923123DEST_PATH_IMAGE060
，即
Figure 592002DEST_PATH_IMAGE061
，所以有
Figure 647682DEST_PATH_IMAGE062
，对两边叉乘
Figure 402012DEST_PATH_IMAGE028
可得：
Figure 201340DEST_PATH_IMAGE063
。同理，
Figure 724726DEST_PATH_IMAGE005
，
Figure 216887DEST_PATH_IMAGE007
，
Figure 458512DEST_PATH_IMAGE003
可得
Figure 795953DEST_PATH_IMAGE064
。令，
Figure 836907DEST_PATH_IMAGE066
，则可求出单应矩阵：
Figure 565829DEST_PATH_IMAGE067
。
（2）  求解单应矩阵对内参数的约束方程
  令单应矩阵
Figure 834523DEST_PATH_IMAGE068
，其中
Figure 394818DEST_PATH_IMAGE069
，
Figure 166465DEST_PATH_IMAGE070
，分别为单应矩阵
Figure 124242DEST_PATH_IMAGE037
的第一列，第二列，第三列。
Figure 476726DEST_PATH_IMAGE072
，其中
Figure 481591DEST_PATH_IMAGE073
为任意的比例因子。为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 716974DEST_PATH_IMAGE049
的旋转矩阵，
Figure 189544DEST_PATH_IMAGE051
，
Figure 365310DEST_PATH_IMAGE052
为旋转矩阵的前两列。
Figure 290541DEST_PATH_IMAGE053
为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 829363DEST_PATH_IMAGE054
的平移向量。因为旋转矩阵
Figure 890860DEST_PATH_IMAGE048
是一个正交矩阵，根据正交矩阵的性质可得：旋转矩阵
Figure 237527DEST_PATH_IMAGE048
的各列分别两两正交，则
Figure 650054DEST_PATH_IMAGE051
，
Figure 740370DEST_PATH_IMAGE052
是一组正交向量，由于
Figure 921953DEST_PATH_IMAGE073
为任意的比例因子，可推出
Figure 173942DEST_PATH_IMAGE074
（其中
Figure 73765DEST_PATH_IMAGE075
为绝对二次曲线的图像）。由
Figure 702193DEST_PATH_IMAGE076
，有
Figure 3861DEST_PATH_IMAGE077
，
Figure 426752DEST_PATH_IMAGE078
，，则可得出单应矩阵对绝对曲线的像的两个约束方程
Figure 136585DEST_PATH_IMAGE080
和
Figure 987168DEST_PATH_IMAGE081
。
（3） 求解摄像机内参数
从三个不同的方向拍摄三角形模板的三幅图像，可以得出绝对二次曲线的像
Figure 596004DEST_PATH_IMAGE075
的六个线性方程，则可以线性求解出绝对二次曲线的像
Figure 831813DEST_PATH_IMAGE075
。在利用Cholesky 分解法即可求出摄像机的内参数矩阵
Figure 842494DEST_PATH_IMAGE082
，
Figure 872767DEST_PATH_IMAGE042
，
Figure 968899DEST_PATH_IMAGE043
为图像的畸变因子，
Figure 742820DEST_PATH_IMAGE044
为图像坐标系中
Figure 732642DEST_PATH_IMAGE045
轴、
Figure 871499DEST_PATH_IMAGE046
轴的尺度因子，
Figure 517244DEST_PATH_IMAGE047
是主点坐标，为摄像机的5个内参数。
本发明优点：
（1） 该模板制作简单，用直尺和三角板即可画出一个三角形模板。
（2） 该方法只需标定模板上的5个点坐标即可估计出单应矩阵。
（3） 只需用摄像机从不同方位拍摄3幅图像便可线性求解出摄像机的5个内参数。
附图说明
图1 是用于求解摄像机内参数的三角形模板示意图。
图2 三角形模板的图像示意图。
具体实施方式
一种用于求解摄像机内参数的标定模板，利用平面上任意的三角形作为标定模板，如图1。用此新型标定模板完成摄像机内参数的求解需要经过以下步骤：
（1） 求解单应矩阵
   在世界坐标系的平面上选择一个
Figure 766960DEST_PATH_IMAGE001
作为标定模板（如图1），其中为三角形顶点，以三角形顶点
Figure 124309DEST_PATH_IMAGE003
作
Figure 260279DEST_PATH_IMAGE004
边的垂线，垂足
Figure 313686DEST_PATH_IMAGE005
为坐标原点，建立直角坐标系，
Figure 215783DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure 696443DEST_PATH_IMAGE007
分别为
Figure 51201DEST_PATH_IMAGE084
的中点，
Figure 908298DEST_PATH_IMAGE009
(
Figure 664902DEST_PATH_IMAGE010
介于
Figure 378780DEST_PATH_IMAGE085
到
Figure 486413DEST_PATH_IMAGE012
之间）。选取标定模板上的五个点
Figure 881623DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure 492732DEST_PATH_IMAGE005
，
Figure 580774DEST_PATH_IMAGE013
，
Figure 910124DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure 109025DEST_PATH_IMAGE007
这5个点的齐次坐标为
Figure 577571DEST_PATH_IMAGE014
，
Figure 836514DEST_PATH_IMAGE015
，
Figure 715477DEST_PATH_IMAGE016
，
Figure 452489DEST_PATH_IMAGE017
，（为
Figure 506398DEST_PATH_IMAGE005
点到
Figure 47101DEST_PATH_IMAGE013
的距离，
Figure 752889DEST_PATH_IMAGE019
可为任意数），5个点的射影深度分别为
Figure 88055DEST_PATH_IMAGE020
，，
Figure 958108DEST_PATH_IMAGE022
，
Figure 518403DEST_PATH_IMAGE023
，
Figure 24470DEST_PATH_IMAGE024
。
如图2，设
Figure 305934DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 188440DEST_PATH_IMAGE026
，
Figure 603241DEST_PATH_IMAGE027
，
Figure 545789DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure 46040DEST_PATH_IMAGE029
分别为，
Figure 1544DEST_PATH_IMAGE005
，
Figure 849414DEST_PATH_IMAGE013
，，
Figure 61270DEST_PATH_IMAGE007
的5个点的像点。利用世界坐标中平面上的点与像点之间的射影不变性，有
Figure 450663DEST_PATH_IMAGE086
，
Figure 735014DEST_PATH_IMAGE087
，
Figure 209857DEST_PATH_IMAGE088
，可得出，
Figure 216176DEST_PATH_IMAGE034
，
Figure 671429DEST_PATH_IMAGE035
。
由世界坐标中平面上的点与像点之间的射影不变性可得：
Figure 571251DEST_PATH_IMAGE089
，则
Figure 214327DEST_PATH_IMAGE038
，其中
Figure 250416DEST_PATH_IMAGE039
为任意的比例因子，
Figure 938887DEST_PATH_IMAGE040
为图像平面上的像点，
Figure 326006DEST_PATH_IMAGE041
为世界坐标平面上的点。矩阵
Figure 492545DEST_PATH_IMAGE042
，
Figure 711037DEST_PATH_IMAGE043
为图像的畸变因子，为图像坐标系中
Figure 179244DEST_PATH_IMAGE045
轴、
Figure 352736DEST_PATH_IMAGE046
轴的尺度因子，
Figure 425735DEST_PATH_IMAGE047
是主点坐标，为摄像机的5个内参数。
Figure 393691DEST_PATH_IMAGE048
为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 552140DEST_PATH_IMAGE049
的旋转矩阵，
Figure 191248DEST_PATH_IMAGE051
，为旋转矩阵的前两列。
Figure 978780DEST_PATH_IMAGE053
为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 228496DEST_PATH_IMAGE054
的平移向量。
将
Figure 338403DEST_PATH_IMAGE055
，
Figure 648162DEST_PATH_IMAGE034
，
Figure 781203DEST_PATH_IMAGE035
代入
Figure 834610DEST_PATH_IMAGE038
，可得单应矩阵
Figure 799024DEST_PATH_IMAGE056
。由于
Figure 279683DEST_PATH_IMAGE005
，
Figure 634441DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure 491539DEST_PATH_IMAGE013
三点共线，所以
Figure 248142DEST_PATH_IMAGE057
，
Figure 899704DEST_PATH_IMAGE090
为比例因子，代入
Figure 10267DEST_PATH_IMAGE005
，，
Figure 16586DEST_PATH_IMAGE013
坐标得
Figure 104627DEST_PATH_IMAGE059
，，即
Figure 367299DEST_PATH_IMAGE061
，所以有
Figure 98494DEST_PATH_IMAGE062
，对两边叉乘
Figure 357437DEST_PATH_IMAGE028
可得：
Figure 908504DEST_PATH_IMAGE063
。同理，，，
Figure 661063DEST_PATH_IMAGE003
可得
Figure 27322DEST_PATH_IMAGE064
。令
Figure 633271DEST_PATH_IMAGE065
，
Figure 11163DEST_PATH_IMAGE066
，则可求出单应矩阵：
Figure 674225DEST_PATH_IMAGE067
。
（2） 求解单应矩阵对内参数的约束方程
令单应矩阵
Figure 137568DEST_PATH_IMAGE068
，其中
Figure 544278DEST_PATH_IMAGE069
，
Figure 166890DEST_PATH_IMAGE070
，
Figure 672957DEST_PATH_IMAGE071
分别为单应矩阵
Figure 951492DEST_PATH_IMAGE037
的第一列，第二列，第三列。
Figure 833997DEST_PATH_IMAGE072
，其中
Figure 311115DEST_PATH_IMAGE073
为任意的比例因子。
Figure 988084DEST_PATH_IMAGE048
为世界坐标系到摄像机坐标系的的旋转矩阵，
Figure 228060DEST_PATH_IMAGE050
Figure 497367DEST_PATH_IMAGE051
，
Figure 610816DEST_PATH_IMAGE052
为旋转矩阵的前两列。
Figure 598364DEST_PATH_IMAGE053
为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 822672DEST_PATH_IMAGE054
的平移向量。因为旋转矩阵
Figure 212065DEST_PATH_IMAGE048
是一个正交矩阵，根据正交矩阵的性质可得：旋转矩阵
Figure 496416DEST_PATH_IMAGE048
的各列分别两两正交，所以
Figure 705680DEST_PATH_IMAGE050
Figure 795996DEST_PATH_IMAGE051
，是一组正交向量。由于
Figure 495148DEST_PATH_IMAGE073
为任意的比例因子，可推出
Figure 394970DEST_PATH_IMAGE074
，
Figure 26328DEST_PATH_IMAGE075
为绝对二次曲线的像，因为
Figure 62417DEST_PATH_IMAGE076
，所以
Figure 750887DEST_PATH_IMAGE077
，，
Figure 304545DEST_PATH_IMAGE079
，则可得出单应矩阵对绝对二次曲线的像
Figure 460720DEST_PATH_IMAGE075
的两个约束方程
Figure 320092DEST_PATH_IMAGE080
和。
（3）求解摄像机内参数
从三个不同的方向拍摄三角形模板的三幅图像，可以得出绝对二次曲线的像
Figure 899158DEST_PATH_IMAGE075
的六个线性方程，则可以线性求解出绝对二次曲线的像
Figure 909839DEST_PATH_IMAGE075
。在利用Cholesky 分解法即可求出摄像机的内参数矩阵
Figure 940112DEST_PATH_IMAGE082
。
实施例
本发明提出了利用平面上任意三角形作为标定模板线性确定摄像机的内参数。本发明采用的实验模块结构示意图如图1所示。下面以一实例对本发明的实施方案做出更为详细的描述。
基于几何图形的摄像机标定方法采用的实验模板是平面上任意的三角形，如图1所示。在世界坐标系的平面上选择一个
Figure 36244DEST_PATH_IMAGE001
作为标定模板，其中为三角形的三个顶点，以三角形顶点
Figure 940932DEST_PATH_IMAGE003
作
Figure 142106DEST_PATH_IMAGE004
边的垂线，垂足
Figure 525201DEST_PATH_IMAGE005
为坐标原点，建立直角坐标系，
Figure 40496DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure 88087DEST_PATH_IMAGE007
分别为
Figure 397845DEST_PATH_IMAGE084
的中点，
Figure 265307DEST_PATH_IMAGE091
。其中
Figure 318714DEST_PATH_IMAGE039
为点到
Figure 701471DEST_PATH_IMAGE013
点的距离，取
Figure 321808DEST_PATH_IMAGE092
，选取标定模板上的五个点
Figure 975643DEST_PATH_IMAGE003
、
Figure 935509DEST_PATH_IMAGE005
、
Figure 649387DEST_PATH_IMAGE013
、
Figure 429124DEST_PATH_IMAGE006
、
Figure 886650DEST_PATH_IMAGE007
，这5个点的齐次坐标分别为
Figure 701023DEST_PATH_IMAGE093
，
Figure 588732DEST_PATH_IMAGE015
，
Figure 855765DEST_PATH_IMAGE094
，
Figure 116982DEST_PATH_IMAGE095
，
Figure 785861DEST_PATH_IMAGE096
，射影深度分别为
Figure 841541DEST_PATH_IMAGE020
，
Figure 595871DEST_PATH_IMAGE021
，
Figure 660779DEST_PATH_IMAGE022
，
Figure 184164DEST_PATH_IMAGE023
，。利用本发明中的方法对用于实验的摄像机进行标定，具体实施步骤如下：
（1） 求解单应矩阵
本发明采用的图像分辨率为640×480个像，用摄像机从不同方向拍摄多幅实验图片，选取三幅较为清晰的图片，读入图像。如图2，设
Figure 652371DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 989812DEST_PATH_IMAGE026
，
Figure 367704DEST_PATH_IMAGE027
，
Figure 296345DEST_PATH_IMAGE028
，分别为
Figure 166398DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure 475762DEST_PATH_IMAGE005
，，，的5个像点。利用世界坐标中平面上的点与像点之间的射影不变性，
Figure 292091DEST_PATH_IMAGE086
，
Figure 234639DEST_PATH_IMAGE097
，，可得出
Figure 686666DEST_PATH_IMAGE055
，
Figure 893657DEST_PATH_IMAGE099
，
Figure 69423DEST_PATH_IMAGE100
。
由世界坐标中平面上的点与像点之间的射影不变性可得：
Figure 994654DEST_PATH_IMAGE036
，则
Figure 15699DEST_PATH_IMAGE038
，其中
Figure 342776DEST_PATH_IMAGE039
为任意的比例因子，
Figure 689443DEST_PATH_IMAGE040
为图像平面上的像点，为世界坐标平面上的点。矩阵
Figure 926707DEST_PATH_IMAGE042
，
Figure 108289DEST_PATH_IMAGE043
为图像的畸变因子，为图像坐标系中
Figure 528611DEST_PATH_IMAGE045
轴、轴的尺度因子，
Figure 458707DEST_PATH_IMAGE047
是主点坐标，为摄像机的5个内参数。
Figure 84860DEST_PATH_IMAGE048
为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 3137DEST_PATH_IMAGE049
的旋转矩阵，
Figure 372939DEST_PATH_IMAGE051
，
Figure 857010DEST_PATH_IMAGE052
为旋转矩阵的前两列。
Figure 654065DEST_PATH_IMAGE053
为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 59638DEST_PATH_IMAGE054
的平移向量。将
Figure 967551DEST_PATH_IMAGE055
，
Figure 40549DEST_PATH_IMAGE099
，
Figure 8505DEST_PATH_IMAGE100
代入
Figure 432534DEST_PATH_IMAGE038
，可得
Figure 144138DEST_PATH_IMAGE101
。由于
Figure 9325DEST_PATH_IMAGE005
，
Figure 944920DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure 528349DEST_PATH_IMAGE013
三点共线，所以
Figure 374469DEST_PATH_IMAGE061
,
Figure 94164DEST_PATH_IMAGE102
，两边叉乘
Figure 200660DEST_PATH_IMAGE028
可得：
Figure 271384DEST_PATH_IMAGE063
。同理，
Figure 387108DEST_PATH_IMAGE005
，，
Figure 35444DEST_PATH_IMAGE003
，可得
Figure 593464DEST_PATH_IMAGE064
。令，
Figure 676006DEST_PATH_IMAGE066
，则可求出单应矩阵：
Figure 593147DEST_PATH_IMAGE103
（令射影深度
Figure 435201DEST_PATH_IMAGE021
=1）。由此可以计算出三幅图像上的单应矩阵：
第一幅图上的单应矩阵是
Figure 830410DEST_PATH_IMAGE104
，
第二幅图上的单应矩阵是
Figure 707099DEST_PATH_IMAGE105
，
第三幅图上的单应矩阵是
Figure 529562DEST_PATH_IMAGE106
；
（2）  求解单应矩阵对内参数的约束方程
令单应矩阵
Figure 858912DEST_PATH_IMAGE068
，其中
Figure 57812DEST_PATH_IMAGE069
，
Figure 726691DEST_PATH_IMAGE070
，
Figure 50881DEST_PATH_IMAGE071
分别为单应矩阵的第一列，第二列，第三列。
Figure 338959DEST_PATH_IMAGE072
，其中为任意的比例因子，可令
Figure 354506DEST_PATH_IMAGE108
=1。
Figure 596131DEST_PATH_IMAGE048
为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 933572DEST_PATH_IMAGE049
的旋转矩阵，
Figure 577043DEST_PATH_IMAGE051
，
Figure 912209DEST_PATH_IMAGE052
为旋转矩阵的前两列。为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 782262DEST_PATH_IMAGE054
的平移向量。因为旋转矩阵
Figure 342556DEST_PATH_IMAGE048
是一个正交矩阵，根据正交矩阵的性质可得：旋转矩阵的各列分别两两正交，所以
Figure 127159DEST_PATH_IMAGE050
Figure 9664DEST_PATH_IMAGE051
，
Figure 424465DEST_PATH_IMAGE052
是一组正交向量。由于
Figure 367013DEST_PATH_IMAGE073
为任意的比例因子，可推出
Figure 804948DEST_PATH_IMAGE074
，
Figure 279093DEST_PATH_IMAGE075
是绝对二次曲线的像
Figure 751662DEST_PATH_IMAGE075
。因为，其中
Figure 914976DEST_PATH_IMAGE110
为
Figure 139284DEST_PATH_IMAGE005
点的射影深度，令
Figure 200781DEST_PATH_IMAGE111
，所以
Figure 547449DEST_PATH_IMAGE112
，
Figure 959976DEST_PATH_IMAGE113
，
Figure 50291DEST_PATH_IMAGE114
，则得出单应矩阵对绝对二次曲线的像
Figure 231874DEST_PATH_IMAGE075
的两个约束方程
Figure 483864DEST_PATH_IMAGE115
和
Figure 383687DEST_PATH_IMAGE080
（其中
Figure 949797DEST_PATH_IMAGE075
为绝对二次曲线的像）。
第一幅图像中单应矩阵对
Figure 313782DEST_PATH_IMAGE075
的两个约束方程是（
Figure 674357DEST_PATH_IMAGE116
，
Figure 123792DEST_PATH_IMAGE117
为绝对二次曲线的像
Figure 493594DEST_PATH_IMAGE075
矩阵中的元素）
Figure DEST_PATH_IMAGE118
，
 
Figure 449436DEST_PATH_IMAGE119
；
第二幅图像中单应矩阵对
Figure 308808DEST_PATH_IMAGE075
的两个约束方程是
Figure 917644DEST_PATH_IMAGE120
，
Figure DEST_PATH_IMAGE121
；
第三幅图像中单应矩阵对
Figure 153453DEST_PATH_IMAGE075
的两个约束方程是
Figure 164134DEST_PATH_IMAGE122
，
Figure 194407DEST_PATH_IMAGE123
。
（3）  求解摄像机内参数
从三个不同的方向拍摄三角形模板的三幅图像，可以得出绝对二次曲线的像
Figure 290539DEST_PATH_IMAGE075
的六个线性方程，则可以线性求解出绝对二次曲线的像
Figure 64460DEST_PATH_IMAGE075
。在利用Cholesky 分解法对
Figure 929648DEST_PATH_IMAGE075
 进行分解可唯一确定，再求逆得到，这样求出的
Figure 776567DEST_PATH_IMAGE082
 与内参数矩阵相差一个常数因子，因为内参数矩阵最后一个元素为1，所以将
Figure 26283DEST_PATH_IMAGE082
的最后一个元素归一化，即得到的摄像机内参数矩阵。
Figure 383632DEST_PATH_IMAGE125
，
Figure 519603DEST_PATH_IMAGE043
为0.2725，
Figure 573009DEST_PATH_IMAGE044
分别为1999.7213, 1799.8322，
Figure 475106DEST_PATH_IMAGE047
为（799.9614，650.0461），是摄像机的5个内参数。

Claims (1)

1.本发明利用平面上任意的三角形作为标定模板实现摄像机的线性自标定；具体的步骤包括：在模板三角形上找到5个点，分别为三角形的三个顶点，某个边的垂足及垂线的中点，及垂足所在的边中垂足到任一顶点的中点，计算出这5个点的像点，从而可以计算出坐标平面到图像平面的单应矩阵,每个单应矩阵可以提供关于摄像机内参数的2个约束条件；然后，根据三幅图像上单应矩阵对内参数的约束条件线性求解摄像机的内参数；
（1）求解单应矩阵
在世界坐标系的平面上选择一个                                                
Figure 165550DEST_PATH_IMAGE001
作为标定模板，其中
Figure 150823DEST_PATH_IMAGE002
为三角形顶点，以三角形顶点
Figure 522899DEST_PATH_IMAGE003
作
Figure 593623DEST_PATH_IMAGE004
边的垂线，垂足
Figure 709347DEST_PATH_IMAGE005
为坐标原点，建立直角坐标系，
Figure 549127DEST_PATH_IMAGE006
，分别为
Figure 384544DEST_PATH_IMAGE008
的中点，
Figure 303959DEST_PATH_IMAGE009
(
Figure 60562DEST_PATH_IMAGE010
介于
Figure 712124DEST_PATH_IMAGE011
到
Figure 822686DEST_PATH_IMAGE012
之间）；选取标定模板上的五个点
Figure 217896DEST_PATH_IMAGE003
，，
Figure 917047DEST_PATH_IMAGE013
，
Figure 246398DEST_PATH_IMAGE006
，，这5个点的齐次坐标为
Figure 910914DEST_PATH_IMAGE014
，
Figure 169857DEST_PATH_IMAGE015
，，
Figure 723515DEST_PATH_IMAGE017
，
Figure 309217DEST_PATH_IMAGE018
（
Figure 739062DEST_PATH_IMAGE019
为
Figure 777425DEST_PATH_IMAGE005
点到
Figure 318128DEST_PATH_IMAGE013
的距离，
Figure 23915DEST_PATH_IMAGE019
可为任意数），5个点的射影深度分别为
Figure 359082DEST_PATH_IMAGE020
，，
Figure 232064DEST_PATH_IMAGE022
，
Figure 792359DEST_PATH_IMAGE023
，
Figure 298427DEST_PATH_IMAGE024
；设，
Figure 459466DEST_PATH_IMAGE026
，
Figure 811950DEST_PATH_IMAGE027
，
Figure 816815DEST_PATH_IMAGE028
，分别为
Figure 737684DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure 272571DEST_PATH_IMAGE005
，
Figure 120441DEST_PATH_IMAGE013
，
Figure 107988DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure 332296DEST_PATH_IMAGE007
的5个点的像点；利用世界坐标中平面上的点与像点之间的射影不变性，有：
Figure 721689DEST_PATH_IMAGE030
，，，可得
Figure 234514DEST_PATH_IMAGE033
，，
Figure 933666DEST_PATH_IMAGE035
；由世界坐标中平面上的点与像点之间的射影不变性可得：
Figure 895806DEST_PATH_IMAGE036
，
Figure 461916DEST_PATH_IMAGE037
为单应矩阵，则
Figure 560322DEST_PATH_IMAGE038
，其中
Figure 186476DEST_PATH_IMAGE039
为任意的比例因子，为图像平面上的像点，
Figure 740134DEST_PATH_IMAGE041
为世界坐标平面上的点；矩阵
Figure 958626DEST_PATH_IMAGE042
，
Figure 817997DEST_PATH_IMAGE043
为图像的畸变因子，
Figure 426833DEST_PATH_IMAGE044
为图像坐标系中轴、
Figure 673324DEST_PATH_IMAGE046
轴的尺度因子，
Figure 641280DEST_PATH_IMAGE047
是主点坐标，为摄像机的5个内参数；
Figure 802658DEST_PATH_IMAGE048
为世界坐标系到摄像机坐标系的的旋转矩阵，
Figure 441767DEST_PATH_IMAGE050
Figure 642941DEST_PATH_IMAGE051
，
Figure 226369DEST_PATH_IMAGE052
为旋转矩阵的前两列；
Figure 476085DEST_PATH_IMAGE053
为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 523676DEST_PATH_IMAGE054
的平移向量；将
Figure 833434DEST_PATH_IMAGE055
，，
Figure 19882DEST_PATH_IMAGE035
代入到单应矩阵
Figure 921979DEST_PATH_IMAGE038
，可得
Figure 402639DEST_PATH_IMAGE056
；由于
Figure 757397DEST_PATH_IMAGE005
，，
Figure 371098DEST_PATH_IMAGE013
三点共线，所以
Figure 22659DEST_PATH_IMAGE057
，
Figure 2013100402787100001DEST_PATH_IMAGE058
为比例因子，代入点
Figure 320173DEST_PATH_IMAGE005
，
Figure 715382DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure 326492DEST_PATH_IMAGE013
坐标得
Figure 414533DEST_PATH_IMAGE059
，
Figure 743884DEST_PATH_IMAGE060
，即
Figure 677205DEST_PATH_IMAGE061
，所以有
Figure 408400DEST_PATH_IMAGE062
，两边叉乘
Figure 667343DEST_PATH_IMAGE028
可得：；同理，
Figure 221001DEST_PATH_IMAGE005
，
Figure 809633DEST_PATH_IMAGE007
，
Figure 36215DEST_PATH_IMAGE003
可得
Figure 277841DEST_PATH_IMAGE064
；令
Figure 818543DEST_PATH_IMAGE065
，
Figure 258752DEST_PATH_IMAGE066
，则可求出单应矩阵：；
（2）求解单应矩阵对内参数的约束方程
令单应矩阵，其中
Figure 791867DEST_PATH_IMAGE069
，
Figure 352162DEST_PATH_IMAGE070
，
Figure 858230DEST_PATH_IMAGE071
分别为单应矩阵的第一列，第二列，第三列；
Figure 19269DEST_PATH_IMAGE072
，其中
Figure 434070DEST_PATH_IMAGE073
为任意的比例因子；
Figure 111039DEST_PATH_IMAGE048
为世界坐标系到摄像机坐标系的的旋转矩阵，
Figure 186952DEST_PATH_IMAGE051
，为旋转矩阵的前两列；
Figure 569709DEST_PATH_IMAGE053
为世界坐标系到摄像机坐标系的
Figure 494940DEST_PATH_IMAGE054
的平移向量；因为旋转矩阵
Figure 781565DEST_PATH_IMAGE048
是一个正交矩阵，根据正交矩阵的性质可得：旋转矩阵
Figure 108641DEST_PATH_IMAGE048
的各列分别两两正交，所以
Figure 602256DEST_PATH_IMAGE051
，是一组正交向量；由于
Figure 874155DEST_PATH_IMAGE073
为任意的比例因子，可推出
Figure 391724DEST_PATH_IMAGE074
，
Figure 291546DEST_PATH_IMAGE075
为绝对二次曲线的图像，因为
Figure 919974DEST_PATH_IMAGE076
，所以
Figure 956063DEST_PATH_IMAGE077
，
Figure 647463DEST_PATH_IMAGE078
，
Figure 769003DEST_PATH_IMAGE079
，则可得出单应矩阵对绝对曲线的像
Figure 201121DEST_PATH_IMAGE075
的两个约束方程
Figure 357296DEST_PATH_IMAGE080
和
Figure 216668DEST_PATH_IMAGE081
；
（3）求解摄像机内参数
从三个不同的方向拍摄三角形模板的三幅图像，可以得出绝对二次曲线的像
Figure 950137DEST_PATH_IMAGE075
的六个线性方程，则可以线性求解出绝对二次曲线的像
Figure 858050DEST_PATH_IMAGE075
；在利用Cholesky 分解法即可求出摄像机的内参数矩阵
Figure 931049DEST_PATH_IMAGE082
，
Figure 899005DEST_PATH_IMAGE042
，
Figure 57453DEST_PATH_IMAGE043
为图像的畸变因子，
Figure 769058DEST_PATH_IMAGE044
为图像坐标系中
Figure 962141DEST_PATH_IMAGE045
轴、
Figure 100999DEST_PATH_IMAGE046
轴的尺度因子，
Figure 484094DEST_PATH_IMAGE047
是主点坐标，为摄像机的5个内参数。
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