CN102880796A - 一种多平行轴系统转子动力学性能计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及多平行轴系统转子动力学性能计算方法，具体计算步骤为：（1）选择分析对象和计算类型，输入轴承—转子系统的参数，完成转子系统的离散化等前处理操作，（2）调用轴承计算程序，计算各轴承的动、静特性参数，根据选定的分析对象和计算类型，组建考虑齿轮啮合的平行轴系的转子动力学方程，（3）调用求解函数计算动力学微分方程的特征值和特征向量，经有量纲化转换为动力学特性结果数据，完成系统稳定性、临界转速和强迫振动响应及振型的计算和分析。本发明在坚实的理论研究基础上开发了能用于工程实际的多平行轴系动力学性能计算分析手段，所计算的转子系统中可包含各类型支撑，较好的实现了轴承计算与转子系统动力学分析的结合。

Description

一种多平行轴系统转子动力学性能计算方法

技术领域

本发明属于转子动力学技术领域，涉及转子动力学性能计算方法，尤其是一种多平行轴系统转子动力学性能计算方法。

背景技术

齿轮耦合的轴承—转子系统中，多个轴系通过齿轮耦合联系在一起，系统具备由齿轮传动引起的新特性，横向振动通过齿轮传递后将引起转子产生扭转振动，即发生弯扭耦合振动。存在齿轮啮合的多平行轴系在风机、压缩机、增速器等机器中广泛存在，齿轮耦合的轴承－转子系统的典型应用之一就是双轴型透平压缩机，亦称DH型透平压缩机，其轴承－转子系统如图1所示。

齿轮的啮合作用使原本相互独立的多个轴承－转子系统联接在一起，从而使各轴承－转子系统的动力特性相互影响，整个系统的动力特性与单个子系统的动力特性大不一样。即使理想齿轮传动，齿坯刚度、轮齿刚度及其啮合刚度的时变性将使整个系统的动力特性产生变化，且齿轮啮合时存在的齿侧间隙、各种传动误差（包括齿轮各种制造误差、安装误差、热变形、磨损等）也将影响系统的动力学特性。关于齿轮啮合的研究，已经由最初的刚性啮合模型、弹性啮合模型发展到现在的世纪齿轮啮合刚度模型，数学模型与实际系统间的误差越来越小。具有齿轮耦合的轴承－转子系统最显著的特点就是弯扭耦合振动，弯扭耦合不仅影响系统的固有频率、不平衡响应，还影响系统的临界转速和稳定性。该类系统的设计过去一直采用转子单独设计的设计方法，忽略了各个转子之间的耦合关系，这种设计方法只能保证各个转子单独使用时，能够稳定运行，并不能保证耦合后还能正常运行。

发明内容

本发明的目的在于克服上述现有技术的缺点，提供一种多平行轴系统动力学性能计算方法，该方法能够快速计算，极大的方便使用者进行压缩机、风机等流体机械及增速器、减速器等具有齿轮传动的平行轴系的转子系统动力学分析，免除设计者需借助专门知识才能操作的要求，直接通过界面操作就可以进行转子动力学分析。

本发明的目的是通过以下技术方案来解决的：

这种多平行轴系统转子动力学性能计算方法，包括以下步骤：

1）多平行轴系统动力学分析前处理：

①输入转子及轴承的参数：包括轴段参数、附加质量参数、不平衡质量参数、齿轮参数及轴承类型、位置和动特性系数；

②按集总参数法，对各个转子进行离散化处理，将连续变截面的转子处理成由一系列无质量、刚度不变的轴段联结一系列质量块组成的多自由度离散系统，离散中各子段的质量按照质心不变的原则分到两端节点上，转动惯量按转动惯量不变原则简化到两边端点上，简化后轴段的等效抗弯刚度与各子段的抗弯刚度关系，按纯弯时两端截面相对转角不变求得；

2）系统动力学方程的建立：

①若轴系支撑为滑动轴承，计算各轴承的载荷，计算出滑动轴承的油膜刚度、阻尼系数表，每个轴承的实际工作点根据载荷用插值方法求得，不同转速下的动特性参数包括4个刚度系数和4个阻尼系数也用插值方法求得；

②在传递矩阵法的基础上，形成转子系统的弯曲振动方程和扭转振动方程，并计入齿轮啮合力得到齿轮啮合的刚度矩阵和阻尼矩阵，最终得到系统总质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵及激振力矩阵：

其中{X}=(X₁,Φ₁,…,X_j,Φ_j,…,X_n,Φ_n)^T；

3）动力学方程求解及结果后处理输出：

①特征值和强迫振动响应计算结果输出：绘制给定转速下的8阶或16阶特征值的实部、虚部的总图和各阶振型图；绘制强迫振动响应沿轴向的分布图；当系统包括2～3根转子时，由左至右依次分段表示第1、第2、第3根转子的振型或响应，包括X向、Y向弯曲模态及扭转模态；

②临界转速及失稳转速计算结果输出：包括在给定转速范围内各阶特征值虚部及实部与主动轴或某一轴转速的关系曲线；以红色实线表示各根转子的转速与主动轴转速的关系曲线，红线与特征值虚部曲线交点的横坐标值，就是系统的一个阻尼临界转速；特征值实部曲线与横坐标的交点，其值就是失稳转速；只要选择转速范围、第几根转子、第几阶特征值，就能计算获得在该转速范围内的系统的阻尼临界转速及对应的对数衰减率。

进一步的，上述步骤1）的①中，若进行某一转速下的特征值及振型分析和不平衡响应分析，输入主动轴的转速或某一转子的转速；当进行临界转速及失稳转速计算时，输入主动轴的最低转速和最高转速或某一转子的最低转速和最高转速，并选择转速步长。

本发明具有以下有益效果：

本发明多平行轴系统转子动力学性能计算方法在坚实的理论研究基础上开发了能用于工程实际的多平行轴系动力学性能计算分析手段，所计算的转子系统中可包含各类型支撑，较好的实现了轴承计算与转子系统动力学分析的结合。

附图说明

图1是齿轮耦合的DH型透平压缩机滑动轴承—转子系统图；

图2是转子简化及离散图；

图3是转子弯曲振动力学模型；

图4是转子扭转振动力学模型；

图5是齿轮啮合力分析模型；

图6是DH型透平压缩机主动轴简图；

图7是DH型透平压缩机低速齿轮轴简图；

图8是DH型透平压缩机高速齿轮轴简图；

图9～图16是在工作转速下轴系前8阶模态振型图；

图17是轴系不平衡响应分析图形；

图18是轴系稳定性分析图形。

具体实施方式

本发明的转子动力学性能计算方法，包括以下步骤：

1）多平行轴系统动力学分析前处理：

①在压缩机、减速器、增速器等中选择计算对象，选定特征值及强迫振动响应计算或临界转速及失稳转速计算，同时可选择考虑齿轮耦合的多平行轴系统分析或其中某一根转子分析。

②输入系统各转子及轴承的参数：包括轴段参数、附加质量参数、不平衡质量参数、齿轮参数及轴承类型、位置和动特性系数等。

若进行某一转速下的特征值及振型分析和不平衡响应分析，输入主动轴的转速（耦合系统分析）或某一转子的转速(单根转子分析)。当进行临界转速及失稳转速计算时，输入主动轴的最低转速和最高转速（耦合系统分析）或某一转子(单根转子分析)的最低转速和最高转速，并选择转速步长。

③按集总参数法，对各个转子进行离散化处理，将连续变截面的转子处理成由一系列无质量、刚度不变的轴段联结一系列质量块组成的多自由度离散系统，离散中各子段的质量按照质心不变的原则分到两端节点上，转动惯量按转动惯量不变原则简化到两边端点上，简化后轴段的等效抗弯刚度与各子段的抗弯刚度关系，按纯弯时两端截面相对转角不变求得。

2）系统动力学方程的建立：

①若轴系支撑为滑动轴承，计算各轴承的载荷，调用轴承性能计算程序计算出滑动轴承的油膜刚度、阻尼系数表，每个轴承的实际工作点可根据载荷用插值方法求得，不同转速下的动特性参数包括4个刚度系数和4个阻尼系数也用插值方法求得，较好的实现了轴承分析与转子系统动力学分析的结合。

②在传递矩阵法的基础上，形成转子系统的弯曲振动方程和扭转振动方程，并计入齿轮啮合力得到齿轮啮合的刚度矩阵和阻尼矩阵，最终得到系统总质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵及激振力矩阵：其中{X}＝(X₁,Φ₁,…,X_j,Φ_j,…,X_n,Φ_n)^T。

3）动力学方程求解及结果后处理输出：

①特征值和强迫振动响应计算结果输出：可绘制给定转速下的8阶或16阶特征值的实部(对数衰减率)、虚部(固有涡动频率)的总图和各阶振型图；可输出强迫振动响应沿轴向的分布图。当系统包括2～3根转子时，由左至右依次分段表示第1、第2、第3根转子的振型或响应，包括X向、Y向弯曲模态及扭转模态。

②临界转速及失稳转速计算结果输出：包括在给定转速范围内各阶特征值虚部（固有涡动频率）及实部（对数衰减率）与主动轴(耦合系统分析时)或某一轴（单根转子分析时）转速的关系曲线；以红色实线表示各根转子的转速与主动轴（或该转子）转速的关系曲线，红线与特征值虚部（涡动频率）曲线交点的横坐标值，就是系统的一个阻尼临界转速。特征值实部（对数衰减率）曲线与横坐标的交点，其值就是失稳转速。只要选择转速范围、第几根转子、第几阶特征值，就可计算获得在该转速范围内的系统的阻尼临界转速及对应的对数衰减率。

为了揭示一个系统的动力学行为，就必须建立一个符合实际系统的数学模型，建立多平行轴系统模型的关键是如何考虑齿轮啮合这一因素。首先建立轴承－转子系统的线性动力学模型，然后根据齿轮参数确定实际齿轮啮合刚度、啮合阻尼，并考虑齿面摩擦力、齿侧间隙、啮合脱齿及齿背啮合等情况及斜齿圆柱齿轮传动时轴向力对系统动力特性的影响，通过齿轮间的啮合力，将多个转子－轴承系统联系起来，最终建立齿轮耦合的轴承—转子系统的非线性动力学模型。针对系统动力学模型的求解，可完成系统动力稳定性、临界转速和动力响应等动力学特性分析，为系统动力学性能改进提供数值依据。

1、转子系统的离散

一个实际转子是质量连续分布的弹性体，其上安装有叶轮、齿轮、联轴器、质量盘等零部件。可用集总参数法将转子离散成n个无质量的弹性轴段和n+1无弹性的集总质量，如图2所示。

2、齿轮耦合的轴承－转子系统的数学模型

（1）系统弯曲振动方程

取离散后第j轴段分析，图3为转子在xoz平面和在yoz平面内的力和力矩分布，取第j个截面在xoz平面和yoz平面中的状态变量为

[y,ψ,N,Q]^T，由力、力矩及变形平衡可得第j轴段的运动方程：

${\left\{\begin{array}{c}y\\ \mathrm{\ψ}\\ N\\ Q\end{array}\right\}}_j^R={\left[\begin{array}{cccc}1& l& \frac{l^2}{2\mathrm{EI}}& -\frac{l^3}{6\mathrm{EI}}\\ 0& 1& \frac{l}{\mathrm{EI}}& -\frac{l^2}{2\mathrm{EI}}\\ 0& 0& 1& -l\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}_j{\left\{\begin{array}{c}y\\ \mathrm{\ψ}\\ N\\ Q\end{array}\right\}}_{j-1}^R{+\left\{\begin{array}{c}0\\ 0\\ N_k\\ \mathrm{\Σ}{P}_y\end{array}\right\}}_j$

该单元上，外力矩、外力在x、y方向上的表达式为：

${\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Σ}{P}_x\\ \mathrm{\Σ}{P}_y\end{array}\right\}}_j={\left[\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& m\end{array}\right]}_j{\left\{\begin{array}{c}\stackrel{..}{x}\\ \stackrel{..}{y}\end{array}\right\}}_j+{\left[\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}\\ d_{\mathrm{yx}}& d_{\mathrm{yy}}\end{array}\right]}_j{\left\{\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\\ \stackrel{.}{y}\end{array}\right\}}_j+{\left[\begin{array}{cc}{k}_{\mathrm{xx}}& k_{\mathrm{xy}}\\ k_{\mathrm{yx}}& k_{\mathrm{yy}}\end{array}\right]}_j{\left\{\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right\}}_j+{\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{cx}}\\ P_{\mathrm{cy}}\end{array}\right\}}_j$

上式中：

k_xx、k_xy、k_yx、k_yy－轴承油膜刚度；

d_xx、d_xy、d_yx、d_yy－轴承油膜阻尼；

M_ck、N_ck－齿轮啮合力的轴向分量产生的弯矩；

P_cx、P_cy－外加激励力、不平衡力、齿轮啮合力、重力或其它控制力。

最终可得用位移、转角及其导数

表示的第j个单元力及力矩的平衡方程：

考虑自由端部边界条件 ${\left\{\begin{array}{c}M\\ S\end{array}\right\}}_0^R={\left\{\begin{array}{c}M\\ S\end{array}\right\}}_n^R=0,$

经无量纲化，可得到转子－轴承系统的弯曲振动方程：

$\left[M\right]\left\{\stackrel{..}{X}\right\}+\left[C\right]\left\{\stackrel{.}{X}\right\}+\left[K\right]\left\{X\right\}=\left\{F\right\}$

式中，[M]、[C]、[K]、{F}分别为系统的总质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和总激振力向量。位移向量{X}=(X₁,Φ₁,…,X_j,Φ_j,…,X_n,Φ_n)^T

（2）扭转运动方程

图4为转子扭转振动的力学模型，其中J_zj为第j个轴段的集总极转动惯量，k_θj为第j个轴段的扭转刚度，G为材料的剪切弹性模量，d_j和l_j分别为第j个轴段的直径和长度，θ_j为扭转角位移，M_p为齿轮啮合力产生的扭矩。

第j个单元的扭转振动方程为：

$J_{\mathrm{zj}}{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_j+k_{\mathrm{\θj}+1}({\mathrm{\θ}}_j-{\mathrm{\θ}}_{j+1})+k_{\mathrm{\θj}}({\mathrm{\θ}}_j-{\mathrm{\θ}}_{j-1})+M_{\mathrm{pj}}=0$

经无量纲化扭转振动方程化为：

${\stackrel{\‾}{J}}_{\mathrm{zj}}{\stackrel{\stackrel{\‾}{..}}{\mathrm{\θ}}}_j+{\mathrm{\α}}_{\mathrm{\θ}}^{j+1}({\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}_j-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}_{j+1})+{\mathrm{\α}}_{\mathrm{\θ}}^j({\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}_j-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}_{j-1})+{\stackrel{\‾}{M}}_{\mathrm{pj}}=0$

其中 ${\mathrm{\α}}_{\mathrm{\θ}}^j=\frac{2G}{E}{\left(\frac{D^4}{L}\right)}_j$

第一个和最后一个节点的扭转振动方程为：

${\stackrel{\‾}{J}}_{z1}{\stackrel{\stackrel{\‾}{..}}{\mathrm{\θ}}}_1+{\mathrm{\α}}_{\mathrm{\θ}}^2({\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}_1-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}_2)+{\stackrel{\‾}{M}}_{p1}=0$

${\stackrel{\‾}{J}}_{\mathrm{zn}}{\stackrel{\stackrel{\‾}{..}}{\mathrm{\θ}}}_n+{\mathrm{\α}}_{\mathrm{\θ}}^n({\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}_n-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}_{n-1})+{\stackrel{\‾}{M}}_{\mathrm{pn}}=0$

将转子各单元扭转振动方程集总，可得到转子扭转振动方程：

$\left[J_z\right]\left\{\stackrel{\stackrel{\‾}{..}}{\mathrm{\θ}}\right\}+\left[K_{\mathrm{\θ}}\right]\left\{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}\right\}=\left\{M_p\right\}$

（3）齿轮啮合力

图5为平行转子－轴承系统中，齿轮传动受力分析图，中间大齿轮为主动轮，驱动两侧平行配置的从动齿轮。在自由状态下，齿轮中心在o₁、o₂、o₃，啮合线与齿轮中心连线间的夹角分别为α₁₂、α₁₃。当传递动力或受到外部作用力时，转子产生变形，齿轮中心移动到o′₁、o′₂、o′₃，此时，啮合线方向发生变化，啮合线与齿轮中心连线的夹角分别为α′₁₂、α′₁₃，并且，齿轮1、2中心、齿轮1、3中心连线与x轴方向的夹角分别为β₁₂、β₁₃。

当不考虑齿面间的摩擦力时，可求得齿轮间的啮合力如下：

式中，

为齿轮所在节点的位移向量，上标1、2、3表示转子类别，下标g、q、p表示齿轮在该转子上所处的节点位置，r₁、r₂、r₃为齿轮的基圆半径，

分别为齿轮1、2及齿轮1、3之间的平均啮合刚度，c₁₂、c₁₃为齿轮的啮合阻尼，且 $c_{12}=2\mathrm{\ξ}\sqrt{\frac{{\stackrel{\‾}{k}}_{12}{m}_1{m}_2}{m_1+m_2}},$ $c_{13}=2\mathrm{\ξ}\sqrt{\frac{{\stackrel{\‾}{k}}_{13}{m}_1{m}_3}{m_1+m_3}}.$

式中m₁，m₂，m₃分别为三个齿轮的等效质量

ξ－齿轮啮合阻尼比，可取0.05。

在齿轮实际啮合过程中，啮合点沿啮合线作周期性变化，所以，啮合力轴向分量的位置也在不断变化，但变化距离相对齿轮尺寸来说很小，故可近似认为啮合力始终作用在节点处。齿轮间的啮合力对相互啮合的一对齿轮而言，实际上是一对作用力和反作用力，将该作用力分别沿坐标轴方向投影可得：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{x1}=-F_{12}\·\cos {({\mathrm{\α}}^{\′}-\mathrm{\β})}_{12}+F_{13}\·\cos {({\mathrm{\α}}^{\′}-\mathrm{\β})}_{13}\\ F_{y1}=-F_{12}\·\sin {({\mathrm{\α}}^{\′}-\mathrm{\β})}_{12}+F_{13}\·\sin {({\mathrm{\α}}^{\′}-\mathrm{\β})}_{13}\\ F_{z1}=F_{12}.\tan \mathrm{\β}+F_{13}.\tan \mathrm{\β}\\ M_{x1}=0\\ M_{y1}=-\frac{r_1}{\sin {\mathrm{\α}}_{12}^{\′}}.F_{12}.\tan \mathrm{\β}+\frac{r_1}{\sin {\mathrm{\α}}_{13}}.F_{13}.\tan \mathrm{\β}\\ T_1=-F_{12}\·r_1-F_{13}\·r_1\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}{F}_{x2}=F_{12}\·\cos {({\mathrm{\α}}^{\′}-\mathrm{\β})}_{12}\\ F_{y2}=F_{12}\·\sin {({\mathrm{\α}}^{\′}-\mathrm{\β})}_{12}\\ F_{z2}=-F_{12}.\tan \mathrm{\β}\\ M_{x2}=0\\ M_{y2}=-\frac{r_2}{\sin {\mathrm{\α}}_{12}^{\′}}.F_{12}.\tan \mathrm{\β}\\ T_2=-F_{12}\·r_2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{x3}={-F}_{13}\·\cos {({\mathrm{\α}}^{\′}-\mathrm{\β})}_{13}\\ F_{y3}=-F_{13}\·\sin {({\mathrm{\α}}^{\′}-\mathrm{\β})}_{13}\\ F_{z3}=-F_{13}.\tan \mathrm{\β}\\ M_{x3}=0\\ M_{y3}=\frac{r_3}{\sin {\mathrm{\α}}_{13}^{\′}}.F_{13}.\tan \mathrm{\β}\\ T_3=-F_{13}\·r_3\end{array}\right.$

式中F_xi、F_yi、F_zi、M_xi、M_yi、T_i为由于齿轮相互啮合而分别作用在齿轮1、齿轮2和齿轮3上的作用力和力矩，β为齿轮螺旋角，r_i为齿轮的基圆半径（i＝1，2，3）。

忽略啮合线方向变化对系统的影响，并进行无量纲化处理可得

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{P}}_x^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{\‾}{P}}_y^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{\‾}{M}}_k^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{\‾}{N}}_k^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{\‾}{M}}_p^{\left(1\right)}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccccc}{\cos }^2\mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& 0& 0& R_1\cos \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& {\sin }^2\mathrm{\α}& 0& 0& R_1\sin \mathrm{\α}\\ R_1\tan \mathrm{\β}c\tan \mathrm{\α}& R_1\tan \mathrm{\β}& 0& 0& \frac{R_1^2\tan \mathrm{\β}}{\sin \mathrm{\α}}\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ R_1\cos \mathrm{\α}& R_1\sin \mathrm{\α}& 0& 0& R_1^2\end{array}\right]({\stackrel{\‾}{K}}_{12}\left\{\begin{array}{c}{X}_g^{\left(1\right)}\\ Y_g^{\left(1\right)}\\ {\mathrm{\Φ}}_g^{\left(1\right)}\\ {\mathrm{\Ψ}}_g^{\left(1\right)}\\ {\mathrm{\Θ}}_g^{\left(1\right)}\end{array}\right\}+C_{12}\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{X}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{Y}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Φ}}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Θ}}}_g^{\left(1\right)}\end{array}\right\})$

$+\left[\begin{array}{ccccc}{\cos }^2\mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& 0& 0& -R_1\cos \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& {\sin }^2\mathrm{\α}& 0& 0& {-R}_1\sin \mathrm{\α}\\ R_1\tan \mathrm{\β}c\tan \mathrm{\α}& R_1\tan \mathrm{\β}& 0& 0& \frac{-R_1^2\tan \mathrm{\β}}{\sin \mathrm{\α}}\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ -R_1\cos \mathrm{\α}& -R_1\sin \mathrm{\α}& 0& 0& R_1^2\end{array}\right]({\stackrel{\‾}{K}}_{13}\left\{\begin{array}{c}{X}_g^{\left(1\right)}\\ Y_g^{\left(1\right)}\\ {\mathrm{\Φ}}_g^{\left(1\right)}\\ {\mathrm{\Ψ}}_g^{\left(1\right)}\\ {\mathrm{\Θ}}_g^{\left(1\right)}\end{array}\right\}+C_{13}\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{X}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{Y}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Φ}}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Θ}}}_g^{\left(1\right)}\end{array}\right\})$

$-\left[\begin{array}{ccccc}{\cos }^2\mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& 0& 0& R_2\cos \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& {\sin }^2\mathrm{\α}& 0& 0& R_2\sin \mathrm{\α}\\ R_1\tan \mathrm{\β}c\tan \mathrm{\α}& R_1\tan \mathrm{\β}& 0& 0& \frac{R_1{R}_2\tan \mathrm{\β}}{\sin \mathrm{\α}}\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ R_1\cos \mathrm{\α}& R_1\sin \mathrm{\α}& 0& 0& R_1{R}_2\end{array}\right]({\stackrel{\‾}{K}}_{12}\left\{\begin{array}{c}{X}_q^{\left(2\right)}\\ Y_q^{\left(2\right)}\\ {\mathrm{\Φ}}_q^{\left(2\right)}\\ {\mathrm{\Ψ}}_q^{\left(2\right)}\\ {\mathrm{\Θ}}_q^{\left(2\right)}\end{array}\right\}+C_{12}\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{X}}_q^{\left(2\right)}\\ {\stackrel{.}{Y}}_q^{\left(2\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Φ}}}_q^{\left(2\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}}}_q^{\left(2\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Θ}}}_q^{\left(2\right)}\end{array}\right\})$

$-\left[\begin{array}{ccccc}{\cos }^2\mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& 0& 0& -R_3\cos \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& {\sin }^2\mathrm{\α}& 0& 0& -R_3\sin \mathrm{\α}\\ R_1\tan \mathrm{\β}c\tan \mathrm{\α}& R_1\tan \mathrm{\β}& 0& 0& \frac{-R_1{R}_3\tan \mathrm{\β}}{\sin \mathrm{\α}}\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ -R_1\cos \mathrm{\α}& -R_1\sin \mathrm{\α}& 0& 0& R_1{R}_3\end{array}\right]({\stackrel{\‾}{K}}_{13}\left\{\begin{array}{c}{X}_p^{\left(3\right)}\\ Y_p^{\left(3\right)}\\ {\mathrm{\Φ}}_p^{\left(3\right)}\\ {\mathrm{\Ψ}}_p^{\left(3\right)}\\ {\mathrm{\Θ}}_p^{\left(3\right)}\end{array}\right\}+C_{13}\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{X}}_p^{\left(3\right)}\\ {\stackrel{.}{Y}}_p^{\left(3\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Φ}}}_p^{\left(3\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}}}_p^{\left(3\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Θ}}}_p^{\left(3\right)}\end{array}\right\})$

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{P}}_x^{\left(2\right)}\\ {\stackrel{\‾}{P}}_y^{\left(2\right)}\\ {\stackrel{\‾}{M}}_k^{\left(2\right)}\\ {\stackrel{\‾}{N}}_k^{\left(2\right)}\\ {\stackrel{\‾}{M}}_p^{\left(2\right)}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccccc}{\cos }^2\mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& 0& 0& R_2\cos \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& {\sin }^2\mathrm{\α}& 0& 0& R_2\sin \mathrm{\α}\\ -R_2\tan \mathrm{\β}c\tan \mathrm{\α}& -R_2\tan \mathrm{\β}& 0& 0& \frac{-R_2^2\tan \mathrm{\β}}{\sin \mathrm{\α}}\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ R_2\cos \mathrm{\α}& R_2\sin \mathrm{\α}& 0& 0& R_2^2\end{array}\right]({\stackrel{\‾}{K}}_{12}\left\{\begin{array}{c}{X}_q^{\left(2\right)}\\ Y_q^{\left(2\right)}\\ {\mathrm{\Φ}}_q^{\left(2\right)}\\ {\mathrm{\Ψ}}_q^{\left(2\right)}\\ {\mathrm{\Θ}}_q^{\left(2\right)}\end{array}\right\}+C_{12}\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{X}}_q^{\left(2\right)}\\ {\stackrel{.}{Y}}_q^{\left(2\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Φ}}}_q^{\left(2\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}}}_q^{\left(2\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Θ}}}_q^{\left(2\right)}\end{array}\right\})$

$-\left[\begin{array}{ccccc}{\cos }^2\mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& 0& 0& R_1\cos \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& {\sin }^2\mathrm{\α}& 0& 0& R_1\sin \mathrm{\α}\\ -R_2\tan \mathrm{\β}c\tan \mathrm{\α}& {-R}_2\tan \mathrm{\β}& 0& 0& \frac{{-R}_1{R}_2\tan \mathrm{\β}}{\sin \mathrm{\α}}\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ R_2\cos \mathrm{\α}& R_2\sin \mathrm{\α}& 0& 0& R_1{R}_2\end{array}\right]({\stackrel{\‾}{K}}_{12}\left\{\begin{array}{c}{X}_g^{\left(1\right)}\\ Y_g^{\left(1\right)}\\ {\mathrm{\Φ}}_g^{\left(1\right)}\\ {\mathrm{\Ψ}}_g^{\left(1\right)}\\ {\mathrm{\Θ}}_g^{\left(1\right)}\end{array}\right\}+C_{12}\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{X}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{Y}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Φ}}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Θ}}}_g^{\left(1\right)}\end{array}\right\})$

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{P}}_x^{\left(3\right)}\\ {\stackrel{\‾}{P}}_y^{\left(3\right)}\\ {\stackrel{\‾}{M}}_k^{\left(3\right)}\\ {\stackrel{\‾}{N}}_k^{\left(3\right)}\\ {\stackrel{\‾}{M}}_p^{\left(3\right)}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccccc}{\cos }^2\mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& 0& 0& -R_3\cos \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& {\sin }^2\mathrm{\α}& 0& 0& {-R}_3\sin \mathrm{\α}\\ -R_3\tan \mathrm{\β}c\tan \mathrm{\α}& -R_3\tan \mathrm{\β}& 0& 0& \frac{R_3^2\tan \mathrm{\β}}{\sin \mathrm{\α}}\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ -R_3\cos \mathrm{\α}& {-R}_3\sin \mathrm{\α}& 0& 0& R_3^2\end{array}\right]({\stackrel{\‾}{K}}_{13}\left\{\begin{array}{c}{X}_p^{\left(3\right)}\\ Y_p^{\left(3\right)}\\ {\mathrm{\Φ}}_p^{\left(3\right)}\\ {\mathrm{\Ψ}}_p^{\left(3\right)}\\ {\mathrm{\Θ}}_p^{\left(3\right)}\end{array}\right\}+C_{13}\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{X}}_p^{\left(3\right)}\\ {\stackrel{.}{Y}}_p^{\left(3\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Φ}}}_p^{\left(3\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}}}_p^{\left(3\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Θ}}}_p^{\left(3\right)}\end{array}\right\})$

$-\left[\begin{array}{ccccc}{\cos }^2\mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& 0& 0& {-R}_1\cos \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}& {\sin }^2\mathrm{\α}& 0& 0& -R_1\sin \mathrm{\α}\\ -R_3\tan \mathrm{\β}c\tan \mathrm{\α}& {-R}_3\tan \mathrm{\β}& 0& 0& \frac{{-R}_1{R}_3\tan \mathrm{\β}}{\sin \mathrm{\α}}\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ {-R}_3\cos \mathrm{\α}& {-R}_3\sin \mathrm{\α}& 0& 0& R_1{R}_3\end{array}\right]({\stackrel{\‾}{K}}_{13}\left\{\begin{array}{c}{X}_g^{\left(1\right)}\\ Y_g^{\left(1\right)}\\ {\mathrm{\Φ}}_g^{\left(1\right)}\\ {\mathrm{\Ψ}}_g^{\left(1\right)}\\ {\mathrm{\Θ}}_g^{\left(1\right)}\end{array}\right\}+C_{13}\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{X}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{Y}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Φ}}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Ψ}}}_g^{\left(1\right)}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\Θ}}}_g^{\left(1\right)}\end{array}\right\})$

可得齿轮节点处齿轮啮合所产生的作用力和作用力矩：

$P_c=\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{P}}_x^{\left(i\right)}\\ {\stackrel{\‾}{P}}_y^{\left(i\right)}\end{array}\right\},$ $M_c=\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{M}}_k^{\left(i\right)}\\ {\stackrel{\‾}{N}}_k^{\left(i\right)}\end{array}\right\},$ $M_p={\stackrel{\‾}{M}}_p^{\left(i\right)},(i=\mathrm{1,2,3})$

而在非齿轮节点处，P_c=0，M_c=0，M_p=0。将各个转子的弯曲振动方程和扭转运动方程进行组装，然后将三个转子的运动方程再组装在一起，将上式代入后，可得到系统总的运动方程式

$M\stackrel{..}{X}+C\stackrel{.}{X}+\mathrm{KX}=F$

式中M－系统总质量矩阵；C－系统总阻尼矩阵；K－系统总刚度矩阵；

F－系统总激振力列矢量。

3、系统的数学分析方法

（1）固有振动分析

当系统没有承受任何外界激励力时，系统固有振动方程为 $M\stackrel{..}{X}+C\stackrel{.}{X}+\mathrm{KX}=0$

设解具有一般形式X＝X₀e^λT，λ=-U+iV，代入上式后，可得(Mλ²+Cλ+K)X₀=0

式中λ是特征值，其实部反映该阶模态对应的模态阻尼的大小，虚部为该阶模态下的阻尼固有频率；X₀是特征向量，反映该阶模态下的振型，轴承—转子系统固有振动分析问题就转换为式（2-18）的二次特征值和特征向量问题

（2）系统强迫振动分析

在齿轮耦合的转子－轴承系统中，由于每根转子的转速不同，而且，每根转子上的不平衡质量也许不是唯一的，因此，在该系统中，有多个不平衡激励力，可表示为

$F=F_1{e}^{{\mathrm{i\ω}}_{1}t}+F_2{e}^{{\mathrm{i\ω}}_{2}t}+\·\·\·+F_n{e}^{{\mathrm{i\ω}}_{n}t}=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{F}_j{e}^{{\mathrm{i\ω}}_{j}t}$

式中F_j为广义外激励幅值，为复数，ω_j为激励力的频率，F_j还可表示为

F_j=F_R0j+iF_IOj    (j=1,2,…,n)

式中，F_ROj，F_IOj分别为激励力幅值的实部和虚部。在线性范围内，频率为ω_j的激励只会激起同频响应，不会激起其它频率成份的响应，即不同频率的激励所产生的响应是线性独立的，因此，可分别求出不同频率的响应，然后进行叠加，就可得到所有激励的总响应。设F_j引起的激励为

$X_j=X_{j0}{e}^{{\mathrm{i\ω}}_{j}t}=(X_{R0j}+i{X}_{I0j})e^{{\mathrm{i\ω}}_{j}t}$

式中，X_ROj、X_IOj为振幅的实部和虚部，将式（2.43）、（2.44）、（2.45）代入式（2.39），按实部、虚部展开，并写成矩阵形式，可得

$\left[\begin{array}{cc}K-{\mathrm{\ω}}_{j}M& -{\mathrm{\ω}}_{j}C\\ {\mathrm{\ω}}_{j}C& K-{\mathrm{\ω}}_{j}M\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{X}_{R0j}\\ X_{I0j}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{F}_{R0j}\\ R_{I0j}\end{array}\right\}$

求解代数方程组即得X_ROj，X_IOj，进行叠加可得系统的响应为

$X=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_j=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(X_{R0j}+i{X}_{I0j})e^{{\mathrm{i\ω}}_{j}t}$

本发明以上所述的多平行轴系统转子动力学性能计算方法可以采用软件程序实现，该软件的主要界面如下：

（1）主界面：输入分析对象的总体参数，包括转子类型、计算内容、转子传递功率、特征值阶数、主动轴转速等；

（2）转子参数界面：输入各转子及其轴承的有关参数，包括转子参数、不平衡质量参数、附加质量参数、轴承参数等，

（3）特征值、强迫振动响应计算结果输出界面：包括在该给定转速下的8阶或16阶特征值的实部(对数衰减率)、虚部(固有涡动频率)及各阶复振型，以及强迫振动响应沿轴向的分布，

（4）临界转速及失稳转速计算结果输出界面：包括在给定转速范围内各阶特征值虚部（固有涡动频率）及实部（对数衰减率）与主动轴(耦合系统分析时)或某一轴（单根转子分析时）转速的关系曲线。

另外，本发明给出一个优选实施例如下：

某DH型透平压缩机为齿轮耦合的滑动轴承—转子系统的典型应用，如图1所示，中间大齿轮为主动轮，其两侧平行配置两个从动小齿轮，在低速小齿轮轴和高速小齿轮轴上分别安装有3个或4个叶轮。

主动轴、低速齿轮轴和高速齿轮轴简图6～图8如下，齿轮齿数分别为269、55和41，主动轴输入转速为2988r/min，输入功率为2500kW，在轴系的计算分析过程中考虑了齿轮耦合对系统动力学特性的影响。

在工作转速下轴系前8阶模态振型如图9～图16所示，可以看出其分别对应着各单根轴模态或产生了新的模态，且扭转模态因为考虑了齿轮耦合的因素而变得更加明显。不平衡响应分析如图17所示，稳定性分析如图18所示。

Claims (2)

1.一种多平行轴系统转子动力学性能计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

1）多平行轴系统动力学分析前处理：

①输入转子及轴承的参数：包括轴段参数、附加质量参数、不平衡质量参数、齿轮参数及轴承类型、位置和动特性系数；

②按集总参数法，对各个转子进行离散化处理，将连续变截面的转子处理成由一系列无质量、刚度不变的轴段联结一系列质量块组成的多自由度离散系统，离散中各子段的质量按照质心不变的原则分到两端节点上，转动惯量按转动惯量不变原则简化到两边端点上，简化后轴段的等效抗弯刚度与各子段的抗弯刚度关系，按纯弯时两端截面相对转角不变求得；

2）动力学方程的建立：

①若轴系支撑为滑动轴承，计算各轴承的载荷，计算出滑动轴承的油膜刚度、阻尼系数表，每个轴承的实际工作点根据载荷用插值方法求得，不同转速下的动特性参数包括4个刚度系数和4个阻尼系数也用插值方法求得；

②在传递矩阵法的基础上，形成转子系统的弯曲振动方程和扭转振动方程，并计入齿轮啮合力得到齿轮啮合的刚度矩阵和阻尼矩阵，最终得到系统总质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵及激振力矩阵；

3）动力学方程求解及结果后处理输出：

①特征值和强迫振动响应计算结果输出：绘制给定转速下的8阶或16阶特征值的实部、虚部的总图和各阶振型图；绘制强迫振动响应沿轴向的分布图；当系统包括2～3根转子时，由左至右依次分段表示第1、第2、第3根转子的振型或响应，包括X向、Y向弯曲模态及扭转模态；

②临界转速及失稳转速计算结果输出：包括在给定转速范围内各阶特征值虚部及实部与主动轴或某一轴转速的关系曲线；以红色实线表示各根转子的转速与主动轴转速的关系曲线，红线与特征值虚部曲线交点的横坐标值，就是系统的一个阻尼临界转速；特征值实部曲线与横坐标的交点，其值就是失稳转速；只要选择转速范围、第几根转子、第几阶特征值，就能计算获得在该转速范围内的系统的阻尼临界转速及对应的对数衰减率。

2.根据权利要求1所述的多平行轴系统转子动力学性能计算方法，其特征在于，步骤1）的①中，若进行某一转速下的特征值及振型分析和不平衡响应分析，输入主动轴的转速或某一转子的转速；当进行临界转速及失稳转速计算时，输入主动轴的最低转速和最高转速或某一转子的最低转速和最高转速，并选择转速步长。

Images