CN102778355B - 一种基于emd和pca的滚动轴承状态辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了属于轨道交通安全技术领域的一种基于EMD和PCA的滚动轴承状态辨识方法。包括以下步骤：1）获取实验数据；2）进行两类状态实验数据划分或四类状态实验数据划分；3）对划分的每段数据分别进行经验模态分解处理，获得每段数据的IMF分量，组成各自的IMF矩阵；4）提取滚动轴承状态的统计特征向量；5）确定安全域边界；6）辨识滚动轴承运行状态。本发明的有益效果为：本发明提供了基于EMD-PCA-LSSVM的滚动轴承运行状态安全域估计方法以及正常和各种故障状态的辨识方法，可得安全域准确率和多种状态辨识率均大于95%。本发明为滚动轴承故障监测、诊断提供了快速、有效的方法。

Description

一种基于EMD和PCA的滚动轴承状态辨识方法

技术领域

本发明属于轨道交通安全技术领域。本发明涉及一种基于EMD和PCA的滚动轴承状态辨识方法。

背景技术

在轨道车辆、汽车、工程机械行业中，滚动轴承的应用十分广泛，但同时故障率也较高，据统计仅有10%～20%的滚动轴承可以达到设计寿命。因此准确有效的滚动轴承运行状态监测和识别对于提高工作效率、降低运营成本、保障设备运行安全具有重要意义。

特征的提取和状态的辨识是滚动轴承状态监测中需解决的关键问题，国内外学者已经对此进行了深入研究。在特征提取方面，经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)是一种较新的信号处理方法，具有自适应和高信噪比的特点，十分适合于机械振动信号等非平稳、非线性信号的分析处理，且通过EMD分解出的本征模函数(Intrinsic Mode Function,IMF)分量可用于提取故障特征信息。目前，已有学者采用计算各IMF的能量矩、能量熵、Renyi熵、Shannon熵以及计算IMF矩阵奇异值等方法进行了故障特征提取的研究。但上述研究均未考虑振动信号的统计特征，而振动信号的各种统计量往往包含了丰富的对象运行状态信息，可检测出其运行状态的变化。主成分分析(Principal Component Analysis,PCA)是一种典型的多元统计模式识别方法，参数限制少，计算简单。迄今，基于PCA的多元统计性能监控方法在质量控制、过程监测和故障诊断等领域已有诸多应用。在状态监测中，通过PCA对当前状态的采样数据进行最佳综合简化后，可求得不同子空间的统计变量值及其控制限，这些统计变量及其控制限可以表征当前状态的统计特性。在状态辨识方面，最小二乘支持向量机(Least Square Support Vector Machine,LSSVM)是一种基于经典支持向量机(Support Vector Machine,SVM)的扩展和改进的智能分类方法。其不仅具有经典SVM的小样本学习能力强、泛化性能好、有效避免局部极小的特点，而且运算速度快，无需指定逼近精度。因此LSSVM在模式识别、预测控制等领域有广泛应用。

安全域分析及估计理论最早由WU等提出，应用于电力系统安全状态评价,之后扩展到网络控制、公路交通、电子政务等方面。针对滚动轴承状态监测和识别的研究，其安全域是一个在从域的角度全面描述滚动轴承可正常（无故障）运行区域的定量模型。直观来说，在状态特征变量所确定的空间中划定一个区域，估计此区域的边界，当滚动轴承的状态特征变量值所确定的状态点落在此区域内时，则认定此时滚动轴承运行状态正常（无故障），当状态点落在此区域外时，则认为此时滚动轴承运行状态非正常（故障）。当状态特征变量数为2，即所确定的空间为二维平面空间时，滚动轴承的运行状态安全域如图1所示，其中v₁、v₂为两个状态特征变量，P₁、P₂分别表示滚动轴承运行状态正常和故障时的两个状态点。安全域估计的主要工作是获得安全域边界，即一能够区分正常和故障两种状态的分类决策函数。

发明内容

本发明的目的是对滚动轴承运行状态进行监测和识别，获取滚动轴承安全域边界以辨识正常和故障两种运行状态，进而辨识滚动轴承的正常及滚动体、内圈、外圈故障四种运行状态。本发明可以为滚动轴承的状态监测提供可行的途径，进而提高滚动轴承的工作效率、降低运营成本，对滚动轴承的安全稳定运行提供保障。

一种基于EMD和PCA的滚动轴承状态辨识方法包括以下步骤：

1）获取实验数据：分别采集滚动轴承的运行状态处于正常和故障情况下的振动加速度数据，故障包括滚动体故障、内圈故障和外圈故障；

2）进行两类状态实验数据划分或四类状态实验数据划分；

两类状态实验数据划分是指：按照时间间隔t_I分别划分将滚动轴承的运行状态处于正常情况下的振动加速度数据和滚动轴承的运行状态处于故障情况下的振动加速度数据；划分的每个数据段对应一个特征向量；

四类状态实验数据划分是指：按照时间间隔t_I分别划分将滚动轴承的运行状态处于正常情况下的振动加速度数据、滚动轴承的运行状态处于滚动体故障情况下的振动加速度数据、滚动轴承的运行状态处于内圈故障情况下的振动加速度数据和滚动轴承的运行状态处于外圈故障下的振动加速度数据；划分的每段数据对应一个特征向量；

3）当步骤2）进行两类状态实验数据划分时，对划分的每段数据分别进行经验模态分解处理，获得每段数据的固有模态函数分量，组成各自的固有模态函数矩阵；

当步骤2）进行四类状态实验数据划分时，对划分的每段数据分别进行经验模态分解处理，获得每段数据的固有模态函数分量，组成各自的固有模态函数矩阵；

4）提取滚动轴承的状态特征向量：对每个固有模态函数矩阵进行主成分分析处理，计算对应的T²统计量的控制限和SPE统计量的控制限，这两个控制限的值构成了每段数据的二维统计特征向量，每段数据的二维统计特征向量对应一个状态点；将获得的T²统计量的控制限和SPE统计量的控制限分别进行归一化处理，当步骤2）进行两类状态实验数据划分时，分别标记为“正常”和“故障”两类样本；当步骤2）进行四类状态实验数据划分时，分别标记为“正常”、“滚动体故障”、“内圈故障”和“外圈故障”四类样本；

5）当步骤2）进行两类状态实验数据划分时，利用最小二乘支持向量机算法将此“正常”和“故障”两类样本进行分类，得到对应的分类线，此分类线即为滚动轴承运行状态的安全域边界，根据此边界能够辨识正常和故障两种情况；

当步骤2）进行四类状态实验数据划分时，利用多分类的最小二乘支持向量机算法将此“正常”、“滚动体故障”、“内圈故障”和“外圈故障”四类样本进行分类，获得状态辨识结果。

所述时间间隔t_I为采集数据时滚动轴承自转一圈所需的时间。

本发明的有益效果为：本发明提供了基于EMD-PCA-LSSVM的滚动轴承运行状态安全域估计方法以及正常和各种故障状态的辨识方法，可得安全域准确率和多种状态辨识率均大于95%。本发明为滚动轴承故障监测、诊断提供了快速、有效的方法。

附图说明

图1是滚动轴承运行状态的安全域示意图；

图2是基于EMD-PCA-LSSVM安全域估计以及状态辨识方法的实施过程图(其中划分后的数据段个数Q=T_S/t_I，T_S为采样时间，t_I为数据划分的时间间隔)；

图3是DAGSVM多分类方法示意图；

图4是滚动轴承运行状态的安全域估计结果，其中子图4a和图4b分别为情况1和情况2的结果；

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实施例具体说明：

如图2所示，一种基于EMD和PCA的滚动轴承状态辨识方法包括以下步骤：

1）获取实验数据：分别采集滚动轴承的运行状态处于正常和故障情况下的振动加速度数据，故障包括滚动体故障、内圈故障和外圈故障；

2）进行两类状态实验数据划分或四类状态实验数据划分；

两类状态实验数据划分是指：按照时间间隔t_I分别划分将滚动轴承的运行状态处于正常情况下的振动加速度数据和滚动轴承的运行状态处于故障情况下的振动加速度数据；划分的每个数据段对应一个特征向量；

四类状态实验数据划分是指：按照时间间隔t_I分别划分将滚动轴承的运行状态处于正常情况下的振动加速度数据、滚动轴承的运行状态处于滚动体故障情况下的振动加速度数据、滚动轴承的运行状态处于内圈故障情况下的振动加速度数据和滚动轴承的运行状态处于外圈故障下的振动加速度数据；划分的每段数据对应一个特征向量；

时间间隔t_I为采集数据时滚动轴承自转一圈所需的时间；

3）当步骤2）进行两类状态实验数据划分时，对划分的每段数据分别进行经验模态分解处理，获得每段数据的固有模态函数(Intrinsic Mode Function，IMF)分量，组成各自的固有模态函数矩阵；

当步骤2）进行四类状态实验数据划分时，对划分的每段数据分别进行经验模态分解处理，获得每段数据的固有模态函数分量，组成各自的固有模态函数矩阵；

4）提取滚动轴承的状态特征向量：对每个固有模态函数矩阵进行主成分分析处理，计算对应的T²统计量的控制限和SPE统计量的控制限，这两个控制限的值构成了每段数据的二维统计特征向量，每段数据的二维统计特征向量对应一个状态点；将获得的T²统计量的控制限和SPE统计量的控制限分别进行归一化处理，当步骤2）进行两类状态实验数据划分时，分别标记为“正常”和“故障”两类样本；当步骤2）进行四类状态实验数据划分时，分别标记为“正常”、“滚动体故障”、“内圈故障”和“外圈故障”四类样本；

5）当步骤2）进行两类状态实验数据划分时，利用最小二乘支持向量机算法将此“正常”和“故障”两类样本进行分类，得到对应的分类线，此分类线即为滚动轴承运行状态的安全域边界，根据此边界能够辨识正常和故障两种情况；

当步骤2）进行四类状态实验数据划分时，利用多分类的最小二乘支持向量机算法将此“正常”、“滚动体故障”、“内圈故障”和“外圈故障”四类样本进行分类，获得状态辨识结果。

下面是本发明的一个具体实施例：

该实施例所需数据是由Dr.KennethA.Loparo提供的滚动轴承实验数据，轴承型号为205-2RS JEM SKF型深沟球轴承，电机负载3马力，转速1730r/min，滚动体及内、外圈的故障直径均0.1778mm，深度为0.2794mm，故障较轻微，采集时间10s。

1）实验数据分段划分：由于采用Dr.Kenneth A.Loparo提供的滚动轴承实验数据，分为以下两种情况数据进行了试验：情况1：采样频率12k Hz，驱动端数据；情况2：采样频率48k Hz，风扇端数据。

本实施例按滚动轴承的转速确定用于划分数据段的时间间隔，即按轴承每转一转所采集的数据点划为一个数据段。则两种情况下各状态的数据均划分为288段，其中第1情况每段数据包含426个数据点，第2种情况每段数据包含个1706数据点。

2）各段数据本征模函数分量获取：对所得的每段原始数据运用EMD获得其IMF分量。每个IMF分量需满足两个条件：第一，过零点的数量与极值点的数量相等或至多相差一个；第二，在任一时间点，局部最大值确定的上包络线和局部最小值确定的下包络线的均值为零，即信号关于时间轴局部对称。

EMD“筛选”得到IMF分量的步骤如下：

①设原始信号为x(t)，找出其所有局部极值点，将所有的局部极大值点和局部极小值点分别用三次样条曲线连接起来，得到x(t)的上、下包络线；

②记上包络、下包络局部均值组成的序列为m₁，令

h₁(t)=x(t)-m₁      (1)

③判断h₁(t)是否满足上述IMF分量所需的两个条件，若不满足，则将其作为待处理信号，继续进行①、②两步，即

h₂(t)=h₁(t)-m₂     (2)

如此重复k次，

h_k(t)=h_k-1(t)-m_k  （3）

直至h_k(t)满足IMF分量的两个条件。记h_k(t)为

c₁(t)=h_k(t)       （4）

得到第一个IMF分量c₁(t)。使用时，为终止使上述迭代过程，常选用相邻两个结果的标准差(Standard Deviation,SD)小于某一个值作为停止准则，SD定义为

$\mathrm{SD}=\underset{t=0}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{|h_{k-1}\left(t\right)-h_k\left(t\right)|}^2}{h_k^2\left(t\right)}---\left(5\right)$

式中，T为信号长度。

④将IMF分量从原始信号中分离出来，得

r₁(t)=x(t)-c₁(t)  （6）

⑤将r₁(t)作为新的原始信号，重复步骤①～④，可得到

$\left\{\begin{array}{c}{r}_2\left(t\right)=r_1\left(t\right)-c_2\left(t\right)\\ r_3\left(t\right)=r_2\left(t\right)-c_3\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ r_n\left(t\right)=r_{n-1}\left(t\right)-c_n\left(t\right)\end{array}\right.---\left(7\right)$

当IMF分量c_n(t)小于某一阈值或r_n(t)变为单调函数时，停止分解过程，本发明采用后者作为终止条件。

⑥将式(6)、(7)相加，得

$x\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i\left(t\right)+r_n\left(t\right)---\left(8\right)$

式中，r_n(t)为分解的残余量，表示信号的平均趋势。

通过以上“筛选”过程，原始信号x(t)最终可分解为n个平稳的IMF分量c_i(t)，i＝1,2…n和一个残余量r_n(t)的线性和，且各IMF分量的频率成分从大到小排列，c₁(t)的频率最高，c_n(t)的频率最低，表明各个IMF分量被分解到不同的频段，这有利于信号特征的提取。

（3）基于PCA提取滚动轴承状态的统计特征量

基于正常和故障状态下的滚动轴承振动数据的各IMF分量，选取最常用的T²统计量和SPE统计量，分别计算不同状态下的两统计量的值及其控制限，并提取其控制限的值作为滚动轴承的状态特征量用于安全域估计和状态辨识。PCA基本算法以及T²和SPE统计量的控制限计算如下所示：

①建立多元统计模型

对于某段数据来说，其IMF矩阵可表示为数据集Y，Y=[c₁ c₂ … c_n]，则对数据集Y_a×b(a为样本个数，b为变量个数)中每一时刻的数据向量(表示实数域)按下式进行标准化

$\stackrel{\‾}{y}=D_{\mathrm{\σ}}^{-1}[y-E\left(y\right)]---\left(9\right)$

式中，E(y)=[μ₁,μ₂,…,μ_b]^T为y对应的均值向量，D_σ=diag(σ₁,σ₂,…,σ_b)为方差矩阵，为第j个变量的标准差，j=1,2…b。

记标准化后的数据集为对的相关系数矩阵作奇异值分解

R=UD_λU^T            （10）

式中，为一酉矩阵，D_λ=diag(λ₁,λ₂,…,λ_b)为一对角阵。在新的坐标系U的各个方向上的方差满足λ₁>λ₂>…>λ_b。称U的前d(d＜b)维线性无关向量P=[u₁,u₂,…,u_d]构成的子空间为主元空间后b-d维向量P'=[u_d+1，u_d+2，…,u_b]构成的子空间为残差空间主元个数d通常采用方差累计贡献率法确定。则数据向量可分解为

$\stackrel{\‾}{y}=y_P+y_E---\left(11\right)$

式中， 分别为在和上的投影。

②在主元空间中建立T²统计量并计算其控制限T²统计量的定义为

$T^2={\left|\right|D_{{\mathrm{\λ}}_d}^{-0.5}t\left|\right|}^2={\left|\right|D_{{\mathrm{\λ}}_d}^{-0.5}{P}^T\stackrel{\‾}{y}\left|\right|}^2=\stackrel{\‾}{y}{\mathrm{PD}}_{{\mathrm{\λ}}_d}^{-1}{P}^T{\stackrel{\‾}{y}}^T---\left(12\right)$

式中，为D_λ的前d个对角元素组成的矩阵，为主元打分向量。对于样本个数为a，主元个数为d的数据向量T²服从自由度为d和a-d的F分布，即

$\frac{a-d}{d}\·\frac{T^2}{a-1}~F(d,a-d)---\left(13\right)$

式中，F(d,a-d)为自由度d和a-d的中心F分布。

则置信度为α的T²统计量控制限T² _CL为

$T_{\mathrm{CL}}^2=\frac{d(a-1)}{a-d}\·F_{\mathrm{\α}}(d,a-d)---\left(14\right)$

式中，F_α(d,a-d)为自由度d和a-d的中心F分布的上100α百分位点，其值可由F分布表查得。本实施例取常用置信度水平α=0.95。

③在主元空间中建立SPE统计量并计算其控制限

SPE统计量定义为

$\mathrm{SPE}={\left|y_E\right|}^2=\stackrel{\‾}{y}(I-{\mathrm{PP}}^T){\stackrel{\‾}{y}}^T---\left(15\right)$

当检验水平为α时，SPE的控制限SPE_CL为

${\mathrm{SPE}}_{\mathrm{CL}}={\mathrm{\θ}}_1{[\frac{C_{\mathrm{\α}}\sqrt{2{\mathrm{\θ}}_2{h}_0^2}}{{\mathrm{\θ}}_1}+1+\frac{{\mathrm{\θ}}_2{h}_2(h_0-1)}{{\mathrm{\θ}}_1^2}]}^{\frac{1}{h_0}}---\left(16\right)$

式中，θ₁=λ_d+1+λ_d+2+…+λ_b，C_α为标准正态分布的100α百分位点，(其中)。与②中相同，α=0.95

④保存将T² _CL和SPE_CL值所确定的待分类数据样本点

将T² _CL和SPE_CL变量分别作为横坐标和纵坐标，构成一个二维平面空间，每段数据获得一个T² _CL值和一个SPE_CL值，从而可在二维平面上构成一个数据点（滚动轴承的运行状态点），分别保存每种状态数据下的各段数据对应的此数据点以用于安全域估计和状态辨识。

（4）基于LSSVM的安全域估计

对于所给非线性样本(g_l,o_l)，l＝1,2，...N，其中g_l为输入数据（即所保存的T² _CL和SPE_CL的值所确定的数据点），o_l为输出数据（即用于做标记的判别变量），N为样本点个数，LSSVM可描述为如下优化问题：

式中，J为目标函数，ω为权值向量，η为阈值，ε为松弛变量，γ为惩罚系数。非线性映射将样本g_l从原空间映射到高维空间。相应的Lagrange函数为

式中，β_l为Lagrange乘子。由优化条件

消去ω和ε，可得如下线性方程组

$\left[\begin{array}{cc}0& 1^T\\ 1& K+\mathrm{\γI}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\η}\\ \mathrm{\β}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ O\end{array}\right]---\left(20\right)$

式中，I为单位矩阵，(其中l,q=1,2,…,N)，β=[β₁,β₂,…,β_N]^T，O=[o₁,o₂,…,o_N]^T。可解得η和β，则分类决策函数为

$f\left(g\right)=\mathrm{sgn}[\underset{l=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{l}K(g,g_l)+\mathrm{\η}]---\left(21\right)$

本实施例选高斯径向基函数作为核函数，式中ρ为径向基函数宽度，经试凑，取为ρ=0.5。

$K(g,g_l)=\exp \left(\frac{-{\left|\right|g-g_l\left|\right|}^2}{{\mathrm{\ρ}}^2}\right)---\left(22\right)$

（5）基于DAGSVM多分类方法的四种状态辨识

针对多分类问题，需要组合多个二分类SVM来构造多分类SVM分类器。本实施例采用决策导向无环图SVM(Directed Acyclic GraphSVM,DAGSVM)多分类方法进行滚动轴承的正常及滚动体故障、内圈故障、外圈故障四种状态的辨识。对于一个有M类的数据样本分类问题，DAGSVM需要构造每两类间的分类面，既M(M-1)/2个完成二分类的子分类器，并将所有子分类器构成一个两向有向无环图，包括M(M-1)/2个节点和M个叶。其中每个节点为一个子分类器，并与下一层的两个节点(或叶)相连。当对一个未知样本进行分类时，首先从顶部的根节点(包含两类)开始，据根节点的分类结果用下一层的左节点或右节点继续分类，直到达到底层某个叶为止，该叶所表示类别即为未知样本的类别。本实施例用于滚动轴承状态辨识的DAGSVM如图3所示。

此外，本实施例中所有LSSVM训练时均将输入数据按6:4的比例分为训练和测试两部分，表1中所给的评价指标值均为测试数据的。

表1.正常和故障两种状态的数据分类结果

表2.正常、滚动体故障、内圈故障、外圈故障四种状态的分类结果

图4是滚动轴承运行状态的安全域估计结果。可见，所获得的安全域边界的分类精度高，输出结果与目标结果一致性很高。表1给出了安全域估计的正常和故障两种状态时的测试数据分类结果。表2给出了滚动轴承的正常、滚动体故障、内圈故障、外圈故障四种状态的辨识结果。可见，安全域估计准确率和多种状态辨识正确率均大于95%，Fleiss Kappa值均高于0.90。实施例试验结果表明本发明提出的EMD-PCA-LSSVM的方法用于滚动轴承的安全域估计和多状态辨识是有效的和可行的。

Claims (1)

1.一种基于EMD和PCA的滚动轴承状态辨识方法，包括以下步骤：

1)获取实验数据：分别采集滚动轴承的运行状态处于正常和故障情况下的振动加速度数据，故障包括滚动体故障、内圈故障和外圈故障；

2)进行两类状态实验数据划分或四类状态实验数据划分；

两类状态实验数据划分是指：按照时间间隔t_I分别划分滚动轴承的运行状态处于正常情况下的振动加速度数据和滚动轴承的运行状态处于故障情况下的振动加速度数据；划分的每个数据段对应一个特征向量；

四类状态实验数据划分是指：按照时间间隔t_I分别划分滚动轴承的运行状态处于正常情况下的振动加速度数据、滚动轴承的运行状态处于滚动体故障情况下的振动加速度数据、滚动轴承的运行状态处于内圈故障情况下的振动加速度数据和滚动轴承的运行状态处于外圈故障下的振动加速度数据；划分的每段数据对应一个特征向量；

3)当步骤2)进行两类状态实验数据划分时，对划分的每段数据分别进行经验模态分解处理，获得每段数据的固有模态函数分量，组成各自的固有模态函数矩阵；

当步骤2)进行四类状态实验数据划分时，对划分的每段数据分别进行经验模态分解处理，获得每段数据的固有模态函数分量，组成各自的固有模态函数矩阵；

4)提取滚动轴承的状态特征向量：对每个固有模态函数矩阵进行主成分分析处理，计算对应的T²统计量的控制限和SPE统计量的控制限，这两个控制限的值构成了每段数据的二维统计特征向量，每段数据的二维统计特征向量对应一个状态点；将获得的T²统计量的控制限和SPE统计量的控制限分别进行归一化处理；

当步骤2)进行两类状态实验数据划分时，分别标记为“正常”和“故障”两类样本；

当步骤2)进行四类状态实验数据划分时，分别标记为“正常”、“滚动体故障”、“内圈故障”和“外圈故障”四类样本；

其特征在于，还包括：

当步骤2)进行两类状态实验数据划分时，利用最小二乘支持向量机算法将此“正常”和“故障”两类样本进行分类，得到对应的分类线，此分类线即为滚动轴承运行状态的安全域边界，根据此边界能够辨识正常和故障两种情况；

其中，最小二乘支持向量机的安全域估计具体内容为：

对于所给非线性样本(g_l,o_l)，l＝1,2,…N，其中g_l为输入数据，即所保存的T² _CL和SPE_CL的值所确定的数据点；o_l为输出数据，即用于做标记的判别变量，N为样本点个数，最小二乘支持向量机描述为如下优化问题：

式中，J为目标函数，ω为权值向量，η为阈值，ε_l为松弛变量，γ为惩罚系数；非线性映射将样本g_l从原空间映射到高维空间，相应的Lagrange函数为

式中，β_l为Lagrange乘子，由优化条件

消去ω和ε_l，得如下线性方程组

$\left[\begin{array}{cc}0& 1^T\\ 1& K+\mathrm{\γI}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\η}\\ {\mathrm{\β}}_l\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ O\end{array}\right]$

式中，I为单位矩阵，其中l,q＝1,2,…,N，β_l＝[β₁，β₂，…，β_N]^T，O＝[o₁,o₂,…,o_N]^T，解得η和β_l，则分类决策函数为

$f\left(g\right)=\mathrm{sgn}[\underset{l=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{l}K(g,g_l)+\mathrm{\η}],$

选高斯径向基函数作为核函数，式中ρ为径向基函数宽度，取ρ＝0.5；

$K(g,g_l)=\exp \left(\frac{-{\left|\right|g-g_l\left|\right|}^2}{{\mathrm{\ρ}}^2}\right);$

基于DAGSVM多分类方法的四种状态辨识具体内容为：

采用决策导向无环图SVM多分类方法进行滚动轴承的正常及滚动体故障、内圈故障、外圈故障四种状态的辨识，对于一个有M类的数据样本分类问题，DAGSVM需要构造每两类间的分类面，即M(M-1)/2个完成二分类的子分类器，并将所有子分类器构成一个两向有向无环图，包括M(M-1)/2个节点和M个叶；其中每个节点为一个子分类器，并与下一层的两个节点或叶相连；当对一个未知样本进行分类时，首先从顶部的根节点开始，据根节点的分类结果用下一层的左节点或右节点继续分类，直到达到底层某个叶为止，该叶所表示类别即为未知样本的类别；

当步骤2)进行四类状态实验数据划分时，利用多分类的最小二乘支持向量机算法将此“正常”、“滚动体故障”、“内圈故障”和“外圈故障”四类样本进行分类，获得状态辨识结果；

基于正常和故障状态下的滚动轴承振动数据的各IMF分量，选取T²统计量和SPE统计量，分别计算不同状态下的两统计量的值及其控制限，并提取其控制限的值作为滚动轴承的状态特征量用于安全域估计和状态辨识，PCA基本算法以及T²和SPE统计量的控制限计算步骤如下：

步骤401，建立多元统计模型

将某段数据的IMF矩阵表示为数据集Y_a×b则对数据集Y_a×b中每一时刻的数据向量其中a为样本个数，b为变量个数；表示实数域；按下式进行标准化，

$\stackrel{\‾}{y}=D_{\mathrm{\σ}}^{-1}[y-E\left(y\right)]$

式中，E(y)＝[μ₁,μ₂,…,μ_b]^T为y对应的均值向量，D_σ＝diag(σ₁,σ₂,…,σ_b)为方差矩阵，为第j个变量的标准差，j＝1,2…b，为标准化后的数据集；

对的相关系数矩阵R作奇异值分解R＝UD_λU^T，式中，为一酉矩阵，D_λ＝diag(λ₁,λ₂,…,λ_b)为一对角阵；在新的坐标系U的各个方向上的方差满足λ₁>λ₂>…>λ_b；称U的前d维线性无关向量P＝[u₁,u₂,…,u_d]构成的子空间为主元空间后b-d维向量P'＝[u_d+1,u_d+2,…,u_b]构成的子空间为残差空间主元个数d采用方差累计贡献率法确定；则数据向量分解为

$\stackrel{\‾}{y}=y_P+y_E$

式中， $y_P\∈{\tilde{S}}_P,y_E\∈{\tilde{S}}_E,$ 分别为在和上的投影；

步骤402，在主元空间中建立T²统计量并计算其控制限：

T²统计量的定义为

$T^2={\left|\right|D_{{\mathrm{\λ}}_d}^{-0.5}t\left|\right|}^2={\left|\right|D_{{\mathrm{\λ}}_d}^{-0.5}{P}^T\stackrel{\‾}{y}\left|\right|}^2=\stackrel{\‾}{y}{\mathrm{PD}}_{{\mathrm{\λ}}_d}^{-1}{P}^T\stackrel{\‾}{y}$

式中，为D_λ的前d个对角元素组成的矩阵，为主元打分向量；对于样本个数为a，主元个数为d的数据向量T²服从主元个数d和a-d的F分布，即

$\frac{a-d}{d}\·\frac{T^2}{a-1}~F(d,a-d)$

式中，F(d,a-d)为主元个数d和a-d的中心F分布，则置信度为α的T²统计量控制限T² _CL为

$T_{\mathrm{Cl}}^2=\frac{d(a-1)}{a-d}\·F_{\mathrm{\α}}(d,a-d)$

式中，F_α(d,a-d)为主元个数d和a-d的中心F分布的上100α百分位点，其值由F分布表查得，取置信度水平α＝0.95；

步骤403，在残差空间中建立SPE统计量并计算其控制限：

SPE统计量定义为

$\mathrm{SPE}={\left|y_E\right|}^2=\stackrel{\‾}{y}(I-{\mathrm{PP}}^T){\stackrel{\‾}{y}}^T,$

当检验水平为α时，SPE的控制限SPE_CL为

${\mathrm{SPE}}_{\mathrm{CL}}={\mathrm{\θ}}_1{[\frac{C_{\mathrm{\α}}\sqrt{{2\mathrm{\θ}}_2{h}_0^2}}{{\mathrm{\θ}}_1}+1+\frac{{\mathrm{\θ}}_2{h}_0(h_0-1)}{{\mathrm{\θ}}_1^2}]}^{\frac{1}{h_0}},$

式中，θ₁＝λ_d+1+λ_d+2+…+λ_b，C_α为标准正态分布的100α百分位点， $h_0=\frac{1-2\mathrm{\α}{\mathrm{\θ}}_3}{3{\mathrm{\θ}}_2^2},$ 其中 ${\mathrm{\θ}}_3={\mathrm{\λ}}_{d+1}^3+{\mathrm{\λ}}_{d+2}^3+...+{\mathrm{\λ}}_b^3,$ 与步骤402中相同，α＝0.95；

步骤404，T² _CL和SPE_CL值所确定的待分类数据样本点：

将T² _CL和SPE_CL变量分别作为横坐标和纵坐标，构成一个二维平面空间，每段数据获得一个T² _CL值和一个SPE_CL值，从而在二维平面上构成一个数据点，即滚动轴承的运行状态点，分别保存每种状态数据下的各段数据对应的此数据点，以用于安全域估计和状态辨识。