CN103512751A - 一种基于概率神经网络的轴承健康状态识别方法 - Google Patents

Abstract

一种基于概率神经网络的轴承健康状态识别方法，步骤如下：1）采集原始信号；2）选择和评估参数：运用统计学原理计算震动信号产生的特征集，选取的统计特征，评估选取参数对已知数据分配的能力。3）构造概率神经网络模型；4）将输入参数输入概率神经网络进行状态识别。本发明将轴承的运行状态分为正常，亚健康和故障三种状态，采用概率神经网络（PNN）对轴承的健康状态进行估计，使用样本熵等作为概率神经网络（PNN）的输入特征参数，评估数据的分布能力，通过与传统轴承状态的正常-故障模型进行实验对比，并给出了轴承健康状态的识别结果。

Description

一种基于概率神经网络的轴承健康状态识别方法

技术领域

本发明涉及一种用于工业生产中机械设备滚动轴承的故障诊断方法，尤其是一种基于概率神经网络的轴承健康状态识别方法。 

背景技术

机械设备的故障诊断技术在现在的成果中越来越重要。如果设备故障没有及时的发现并消除，不仅会引起机械设备的损伤，还会导致严重的死机。工业生产中对机械安全性和可靠性的要求越来越高，并且对机械要求智能化状态监测和故障诊断系统。滚动轴承故障就是工业设备中最常见的故障，有效的发现并诊断出滚动轴承的故障不仅能够保证其可靠性，并且还能减少维修费用。故障诊断的通用技术是震动信号分析，许多研究都是基于震动信号处理的，这些研究大体分为三种领域：频域分析，时域分析，时频域分析。小波变换是最好的一种时频分析，不像时频分布那样是一种信号的时频表示，它是信号的时标表示，并已经广泛的应用于轴承故障诊断的信号处理中。开发一种智能的故障诊断体制是非常有价值的，这可以使相对不熟练的操作员对机器的运行状态做出更加可靠和快速的判定。为了解决这个问题，近年来各种智能计算技术集中地运用到故障诊断领域，例如人工神经网络（ANN）和支持向量机（SVM），这些技术的应用在很大程度 上提高了故障诊断在实践中的自动化和性能。 

但是在这些方法中，轴承的故障都简单的分为两类（正常状态和故障状态），而从正常状态到故障状态还有一段过程。最近几年，大量的研究集中在轴承性能退化或者健康状态的评估中，其中有文献提出了一种滚动轴承健康评估的新方法，即转速异步平均包罗谱特征提取技术。有的研究运用粗糙支持向量数据描述来评估轴承性能退化，并运用适当的向量机和逻辑回归做出评估，有些研究则运用提升的小波包分解技术和模糊C均值方法。通常情况下轴承处于正常和故障之间中间状态的状态，即“亚健康”状态。当轴承处于亚健康状态下，不能说它已经发生故障，但是如果置之不理，那很快就会发生故障，所以这种状态的诊断非常重要。 

传统的健康-故障模型简单的把轴承的状态分为两种状态：健康状态和故障状态。这种分类方法具有一定的缺陷，即当诊断为故障状态时，表明轴承已经发生了严重致命的故障。一旦轴承处于故障状态，整个机械设备就随时可能发生故障，从而引起重大事故和重大的经济损失。这种分类方法不利于故障的早期发现和排除。 

发明内容

本发明提供一种更加科学合理的便于管理的轴承健康状态识别方法，它能够及时全面分析轴承状态。该方法引入轴承健康度的概念，根据健康度的值，将轴承的运行状态分为健康，亚健康和故障三种状态；运用概率神经网络（PNN）对轴承的健康状态进行估计。 

本发明的目的是通过下述技术方案实现的：一种基于概率神经网 络的轴承健康状态识别方法,其特征在于，步骤如下： 

1）采集原始信号：通过数据采集系统采集正常轴承和单点驱动端缺陷的数据； 

2）选择和评估参数：运用统计学原理计算震动信号产生的特征集，选取的统计特征如下： 

幅度： 

Range＝max(x_i)-min(x_i)   （8） 

有效值： 

${\mathrm{\μ}}_x=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i---\left(9\right)$

绝对平均值： 

${\mathrm{\μ}}_{\left|x\right|}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\left|x_i\right|---\left(10\right)$

均方值： 

${\mathrm{\ψ}}_x^2=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2---\left(11\right)$

均方根（RMS）： 

${\mathrm{\ψ}}_x=\sqrt{\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2}---\left(12\right)$

方差： 

${\mathrm{\σ}}_x^2=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-{\mathrm{\μ}}_x)}^2---\left(13\right)$

标准差： 

$\mathrm{SD}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-\mathrm{\μ})}^2}{n-1}}---\left(14\right)$

偏度： 

$S=\frac{M_3}{{\mathrm{\δ}}^3}=\frac{E\left(X\right)\left[{(X-\mathrm{\μ})}^3\right]}{{\mathrm{\δ}}^3}---\left(15\right)$

峰态： 

$K=\frac{M_4}{{\mathrm{\δ}}^4}=\frac{E\left(X\right)\left[{(X-\mathrm{\μ})}^4\right]}{{\mathrm{\δ}}^4}---\left(16\right)$

峰值： 

peak＝max(X_i)   （17） 

波形指标： 

$\mathrm{WI}=\frac{\mathrm{peak}}{{\mathrm{\μ}}_x}=\frac{\max \left(x_i\right)}{1/N\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i}---\left(18\right)$

脉冲指标： 

$\mathrm{II}=\frac{\mathrm{peak}}{{\mathrm{\μ}}_{\left|x\right|}}=\frac{\max \left(X_i\right)}{1/N\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\left|x_i\right|}---\left(19\right)$

样本熵：计算过程如下 

步骤一：N点序列，首先计算N*N的距离矩阵D，第i行第j列的元素就是d，并定义成点i，j之间的距离。 

$d_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{c}1,|u\left(i\right)-u\left(j\right)|<r\\ 0,u\left(i\right)-u\left(j\right)|\&GreaterEqual;r\end{array}\right.(i=\mathrm{1,2},...,n;j=\mathrm{1,2}..,n,i\&NotEqual;j)---\left(20\right)$

步骤二：用矩阵D中的元素很容易得到

和

（假设窗长度是2） 

$C_i^2\left(r\right)=\underset{i,j=1}{\overset{N-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d}_{\mathrm{ij}}\&cap;d_{(i+1)(j+1)}---\left(21\right)$

$C_i^3\left(r\right)=\underset{i,j=1}{\overset{N-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d}_{\mathrm{ij}}\&cap;d_{(i+1)(j+1)}\&cap;d_{(i+1)(j+2)}---\left(22\right)$

步骤三：通过

2和

计算得到和

${\mathrm{\&phi;}}^m\left(r\right)=\frac{1}{N-m+1}\underset{i=1}{\overset{N-m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\ln C_i^m\left(r\right)---\left(23\right)$

步骤四：计算样本熵 

$\mathrm{SampEn}(m,r,N)=-\ln \frac{{\mathrm{\&phi;}}^{m+1}\left(r\right)}{{\mathrm{\&phi;}}^m\left(r\right)}---\left(24\right)$

评估上述13个参数对已知数据分配的能力，并另外选取性能比较好的绝对值平均值，峰态，标准差，均方根和样本熵作为输入特征。 

3）构造概率神经网络模型：输入层有5个节点表示输入特征，求和层和输出层都是3个节点，表示健康的三个状态，模式层有150个节点，表示选取的150个样本； 

4）将输入参数输入概率神经网络进行状态识别，根据健康度的定义HD＝P(healthy)-P(failure)，计算健康度的值，根据轴承健康度的阈值来判定轴承所处的运行状态为健康、亚健康或故障。当0.4＜HD＜1时，轴承为健康状态，当-0.4＜HD＜0.4时，轴承为亚健康状态，当-1＜HD＜-0.4时，轴承为故障状态。 

本发明的有益效果：本发明解决了现有技术存在的不足，定义一个过渡的中间状态，即“亚健康”状态，当轴承处于该状态时，说明轴承有病变的征兆，此时采取相应的措施维护，来减缓或是阻止轴 承的进一步病变，或是提高对其监测检查的频率，一旦其发生故障我们就可以及时的发现，这样就可以避免事故的发生，减小经济上的损失。另一方面，当轴承处于亚健康状态时，通过专业人员对其进行相应的调整和保养，还可以延长轴承的使用寿命，从而延长整个机械装备的寿命。 

附图说明

图1是概率神经网络的结构图。 

图20.007"and0.021"故障样本在健康-故障模型下的分类结果。 

图30.007"and0.021"故障样本在亚健康模型下的分类结果。 

图40.014"and0.021"故障样本在健康-故障模型下的分类结果。 

具体实施方式

1、本发明的理论依据：即健康度的定义的提出：轴承健康状态在实际中是一个模糊的概念，有时候轴承的状态是不明确的。在特定范围内由于受到主观因素的影响，不同的专家也会有不同的判断，正常状态到故障状态之间还有一段过程。在这个过程中，轴承既不是正常状态也不是故障状态。 

由于这种模糊不清的概念，传统的健康-故障模型便存在了缺点，为了克服现存研究中的缺点，本文提出了轴承健康度（HD）的概念，这是轴承健康状态的定量指示器和轴承运行状态的分类参考标准。在 这项研究中，健康度的范围定义在[-1,1]这个区间中，当健康度取值是-1时，说明轴承已经发生严重故障，当健康度取值是1时，意味着轴承的状态正常。当取值是0时，说明轴承处于两种状态之间，我们称之为边界状态。当0＜HD＜1时，值越大状态越好，当-1＜HD＜0时，值越小故障越严重。做一个定性分析，根据健康度的范围，轴承运行状态分为三个层次：健康，亚健康和故障。其健康度分别处于[0.4,1],[-0.4,0.4],[-1,0.4]三个区间。在研究中，健康度（HD）定义为以下表达式： 

HD＝P(healthy)-P(failure) 

（1） 

当P(healthy)+P(failure)＝1时，所指的健康和故障就是健康-故障模型中的健康和故障状态， 

P代表概率。从表达式中我们可以看出，HD的实质就是健康和故障之间的不同点。值越大，差别越明显，当取值为0时说明我们无法区别故障和正常状态。本文选取HD＝0.4作为标准，当HD＝0.4时，正常和故障状态之间较大数值的概率为0.7，能够很好的区分这两种状态。当标准确定后，HD的范围分成三部分，分别与健康，亚健康和故障相对应。 

2、本发明使用的模型工具：概率神经网络（PNN）广泛的应用于分类和预测领域，并且有许多优点，例如训练时间短，分类精确度高。本文的主要目标是实现健康状态的分类与诊断，所以选择PNN作为模型工具来解决问题。 

2.1概率神经网络（PNN）的背景材料：在实际应用中，概率神经网络（PNN）是一种非常好的Bayes–Parzen模式分类器，Specht首次于1990引入了概率神经网络，并证明了Bayes–Parzen分类器怎样分解为大量的简单进程在多子层神经网络中实现，每一层能并行的独立运行。由于概率神经网络主要基于Bayes–Parzen分类器，所以对于讨论条件概率的贝叶斯定理和讨论随机变量的概率密度函数对Parzen方法都是很有意义的。为了理解贝叶斯定理，给出一个取自不同类(1,2,...,k,...K)的样本组成的样本向量x＝[x₁,x₂,...,x_n]，假设属于第k类样本的先验概率为h_k，与分类错误相关的风险值为l_k，每类的概率密度函数f₁(x),f₂(x),..,f_k(x),...f_K(x)是已知的，如果满足如下条件，贝叶斯理论便将一个未知的样本分到第i类中。 

h_il_if_i＞h_jl_lf_j  

j＝1,2,..,K 

（2） 

从公式2中可以得知，贝叶斯理论证明未知样本往往属于具有高密度，分类错误的风险值或先验概率值高的类别。 

贝叶斯分类器方法最大的问题在于通常概率密度函数f_k(x)是未知的，几乎所有的统计学分类算法标准中，分类是和随机变量总体的优先分布相关的，是事先知道或合理假设的，很多时候我们假设的是正常（高斯）分布，然而，这种常态的假定通常不能调整，当分布是未知的（这是经常出现的情况）并且真正的分布与假设脱离的时候，传统的统计方法一般会出现重要的分类问题，结果造成高分类错误率。我们需要从训练样本组成的训练集中获取f_k(x)的估计，而不只是 假设正常的分布，结果的分布会是结合了所有随机变量的多元概率密度函数（PDF）。 

通常运用Parzen方法从训练样本集中获得分布估计量，1962年Parzen提出了PDF单变量实例，而多元PDF估计量g(x)表述如下： 

$g(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{1}{N{\mathrm{\&delta;}}_1{\mathrm{\&delta;}}_2...{\mathrm{\&delta;}}_n}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}W(\frac{x_1-x_{1,i}}{{\mathrm{\&delta;}}_1},\frac{x_1-x_{2,i}}{{\mathrm{\&delta;}}_2},...,\frac{x_1-x_{n,i}}{{\mathrm{\&delta;}}_n})---\left(3\right)$

其中δ₁,δ₂,..,δ_n是平滑参数，代表了n个随机变量x₁,x₂,...,x_n平均值的标准差（也叫窗宽度或核宽度），W是具有特定特征的加权函数，N是训练样本的总数。如果所有的平滑参数都相等（例如δ₁＝δ₂＝...＝δ_n＝δ），运用钟形高斯函数得到公式3的简化形式： 

$g\left(x\right)=\frac{1}{N{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{n/2}{\mathrm{\&delta;}}^n}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\exp \left[\frac{\left|\right|x-x_i|{|}^2}{{2\mathrm{\&delta;}}^2}\right]---\left(4\right)$

其中x是随机变量的矢量（解释变量），x_i是训练矢量，公式4代表多元分布的平均值，每个分布集中在一个独特的训练样本，需要注意的是，高斯加权函数的假定并不意味着全部的PDF都是高斯（正常）的，然而，像倒数函数（w(r)＝1/1+r2）这样的加权函数就可能用得到这种假设。随着样本量N的增加，Parzen方法的PDF估计量会逐渐的接近真正的优先密度函数。 

2.2概率神经网络（PNN）的拓扑结构 

经典的概率神经网络（PNN）结构如附图1所示，输入层单元仅 仅将输入信息传送给模式层神经元，接收到来自输入层的模式X(x1,x2,...,xn)后，模式层的神经元Pij就根据下列公式计算输出值： 

其中d表示模式矢量x的维数，δ是平滑参数，C_ij是神经元中心矢量。 

求和层的每个神经元计算模式x的最大似然值，通过对属于同一类的所有神经元输出信息进行汇总与求平均值，将x分到C_i类： 

$f\left(x\right)=\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&phi;}\left(x\right)---\left(6\right)$

其中，N表示一类中心矢量的总数。 

如果每类的先验概率是相同的，并且每类与判断错误相关的损失也是相同的，决策层单元将根据求和层所有神经元的输出依照贝叶斯决策规则将x进行分类： 

C(x)＝argmax(f_i(x))  i＝1,2,...,m   （7） 

其中，C(x)表示模式x的分类，m是所有类的训练样本总数。 

3、本发明基于概率神经网络的轴承健康状态的识别方法，步骤如下： 

1）采集原始信号。实验中所使用的实验数据来自Case Western Reserve University电气工程实验室收集的正常轴承和单点驱动端缺陷的数据，驱动端轴承实验的数据以每秒48000个样本的速度收 集，损坏直径分别是"0.007","0.014"and"0.021"，并且电机负荷（HP）是3。一般认为，损坏直径为"0.021"时，轴承就发生了故障。 

2）选择参数。运用统计学原理计算震动信号产生的特征集，本文选取的统计特征有： 

幅度：幅度展示了信号值最大值与最小值之间的差异 

Range＝max(x_i)-min(x_i)   （8） 

有效值：信号的平均值又称为有效值 

${\mathrm{\&mu;}}_x=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i---\left(9\right)$

绝对平均值：绝对平均值就是信号振幅绝对值的算术平均值。 

${\mathrm{\&mu;}}_{\left|x\right|}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|x_i\right|---\left(10\right)$

均方值：均方值不仅反应的信号的平均值，而且也反应了信号的分散度。 

${\mathrm{\&psi;}}_x^2=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2---\left(11\right)$

均方根（RMS）：RMS反应了信号的震动强度和能量。 

${\mathrm{\&psi;}}_x=\sqrt{\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2}---\left(12\right)$

方差：方差描述了信号脱离中心的强度。 

${\mathrm{\&sigma;}}_x^2=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(x_i-{\mathrm{\&mu;}}_x)}^2---\left(13\right)$

标准差：在震动信号中，标准差用来测量能量。 

$\mathrm{SD}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(x_i-\mathrm{\&mu;})}^2}{n-1}}---\left(14\right)$

偏度：偏度就是数据偏斜的方向和程度。 

$S=\frac{M_3}{{\mathrm{\&delta;}}^3}=\frac{E\left(X\right)\left[{(X-\mathrm{\&mu;})}^3\right]}{{\mathrm{\&delta;}}^3}---\left(15\right)$

峰态：峰态用来测量数据相对于正常分布来说是否达到峰值或是否是单调的。 

$S=\frac{M_4}{{\mathrm{\&delta;}}^4}=\frac{E\left(X\right)\left[{(X-\mathrm{\&mu;})}^4\right]}{{\mathrm{\&delta;}}^4}---\left(16\right)$

峰值：峰值就是信号呈现的最大瞬时值，代表了信号的强度。 

peak＝max(X_i)   （17） 

波形指标：当波形指标变大时，说明滚动轴承可能是日蚀故障，如果波形指标变小就可能发生磨损故障。 

$\mathrm{WI}=\frac{\mathrm{peak}}{{\mathrm{\&mu;}}_x}=\frac{\max \left(x_i\right)}{1/N\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i}---\left(18\right)$

脉冲指标： 

$\mathrm{II}=\frac{\mathrm{peak}}{{\mathrm{\&mu;}}_{\left|x\right|}}=\frac{\max \left(X_i\right)}{1/N\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|x_i\right|}---\left(19\right)$

样本熵： 

本发明首次将样本熵应用到PNN中，样本熵（SampEn）量化了时间序列数据的复杂度，也可以应用到缩短时间序列数据，此外，它是抗瞬间短强度干扰（异常值）的，例如峰值。样本熵运用在生理信号 的非线性分析，序列相似性越高，样本熵的值越小。实际应用中，样本熵也用来处理随机确定部件的混合信号。性能分析要好于简单的统计参数（例如平均值，方差，标准差），所有的特征使得样本熵非常适合震动信号分析。其计算过程如下： 

步骤一：N点序列，首先计算N*N的距离矩阵D，第i行第j列的元素就是d，并定义成点i，j之间的距离。 

$d_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{c}1,|u\left(i\right)-u\left(j\right)|<r\\ 0,u\left(i\right)-u\left(j\right)|\&GreaterEqual;r\end{array}\right.(i=\mathrm{1,2},...,n;j=\mathrm{1,2}..,n,i\&NotEqual;j)---\left(20\right)$

步骤二：用矩阵D中的元素很容易得到

和

（假设窗长度是2） 

$C_i^2\left(r\right)=\underset{i,j=1}{\overset{N-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d}_{\mathrm{ij}}\&cap;d_{(i+1)(j+1)}---\left(21\right)$

$C_i^3\left(r\right)=\underset{i,j=1}{\overset{N-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d}_{\mathrm{ij}}\&cap;d_{(i+1)(j+1)}\&cap;d_{(i+1)(j+2)}---\left(22\right)$

步骤三：通过

和

计算得到

和

${\mathrm{\&phi;}}^m\left(r\right)=\frac{1}{N-m+1}\underset{i=1}{\overset{N-m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\ln C_i^m\left(r\right)---\left(23\right)$

步骤四：计算样本熵 

$\mathrm{SampEn}(m,r,N)=-\ln \frac{{\mathrm{\&phi;}}^{m+1}\left(r\right)}{{\mathrm{\&phi;}}^m\left(r\right)}---\left(24\right)$

3）参数评估。评估上述13个参数对已知数据分配的能力，并另外选取性能比较好的绝对值平均值，峰态，标准差，均方根和样本熵作为输入特征。 

4）实验结果分析。我们选取损坏直径为0.021的样本和正常样本作为训练数据。附图2中，数字1表示正常状态，数字2表示故障状态，前50个样本是正常样本，中间的50个是损坏直径为0.007的样本，最后50个是损坏直径是0.021的样本。传统的正常-故障模型中，因为与正常样本和0.021直径的相比，0.007直径的样本更接近正常状态，所以损坏直径为0.007的样本被诊断为正常状态，但是并不是绝对的正常状态。在附图3中，数字1表示健康状态，数字2表示亚健康状态，数字3表示故障状态，正如图中所示，0.007直径的样本分到亚健康这一类。 

在附图4中，数字1和2同附图2中的相同，但是中间的50个样本是直径0.014的样本。传统的正常-故障模型中，有些0.014直径的样本诊断为正常状态，有些诊断为故障状态，0.014直径故障要比0.007直径故障严重，但都不是故障状态。 

Claims (1)

1.一种基于概率神经网络的轴承健康状态识别方法,其特征在于，步骤如下：

1）采集原始信号：通过数据采集系统采集正常轴承和单点驱动端缺陷的数据；

2）选择和评估参数：运用统计学原理计算震动信号产生的特征集，选取的统计特征如下：

幅度：

Range=max(x_i)-min(x_i)                    （8）

有效值：

${\mathrm{\&mu;}}_x=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i---\left(9\right)$

绝对平均值：

${\mathrm{\&mu;}}_{\left|x\right|}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|x_i\right|---\left(10\right)$

均方值：

${\mathrm{\&psi;}}_x^2=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2---\left(11\right)$

均方根（RMS）：

${\mathrm{\&psi;}}_x=\sqrt{\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2}---\left(12\right)$

方差：

${\mathrm{\&sigma;}}_x^2=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(x_i-{\mathrm{\&mu;}}_x)}^2---\left(13\right)$

标准差：

$\mathrm{SD}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(x_i-\mathrm{\&mu;})}^2}{n-1}}---\left(14\right)$

偏度：

$S=\frac{M_3}{{\mathrm{\&delta;}}^3}=\frac{E\left(X\right)\left[{(X-\mathrm{\&mu;})}^3\right]}{{\mathrm{\&delta;}}^3}---\left(15\right)$

峰态：

$K=\frac{M_4}{{\mathrm{\&delta;}}^4}=\frac{E\left(X\right)\left[{(X-\mathrm{\&mu;})}^4\right]}{{\mathrm{\&delta;}}^4}---\left(16\right)$

峰值：

peak=max(X_i)                   （17）

波形指标：

$\mathrm{WI}=\frac{\mathrm{peak}}{{\mathrm{\&mu;}}_x}=\frac{\max \left(x_i\right)}{1/N\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i}---\left(18\right)$

脉冲指标：

$\mathrm{II}=\frac{\mathrm{peak}}{{\mathrm{\&mu;}}_{\left|x\right|}}=\frac{\max \left(x_i\right)}{1/N\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|x_i\right|}---\left(19\right)$

样本熵：其计算过程如下

步骤一：N点序列，首先计算N*N的距离矩阵D，第i行第j列的元素就是d，并定义成点i，j之间的距离。

$d_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{c}1,|u\left(i\right)-u\left(j\right)|<r\\ 0,u\left(i\right)-u\left(j\right)|\&GreaterEqual;r\end{array}\right.(i=\mathrm{1,2},...,n;j=\mathrm{1,2},..,n,i\&NotEqual;j)---\left(20\right)$

步骤二：用矩阵D中的元素很容易得到

和

假设窗长度是2；

$C_i^2\left(r\right)=\underset{i,j=1}{\overset{N-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d}_{\mathrm{ij}}\&cap;d_{(i+1)(j+1)}---\left(21\right)$

$C_i^3\left(r\right)=\underset{i,j=1}{\overset{N-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d}_{\mathrm{ij}}\&cap;d_{(i+1)(j+1)}\&cap;d_{(i+1)(j+2)}---\left(22\right)$

步骤三：通过

和

计算得到

和

${\mathrm{\&phi;}}^m\left(r\right)=\frac{1}{N-m+1}\underset{i=1}{\overset{N-m+1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\ln C_i^m\left(r\right)---\left(23\right)$

步骤四：计算样本熵

$\mathrm{SampEn}(m,r,N)=-\ln \frac{{\mathrm{\&phi;}}^{m+1}\left(r\right)}{{\mathrm{\&phi;}}^m\left(r\right)}---\left(24\right)$

评估上述13个参数对已知数据分配的能力，并另外选取性能比较好的绝对值平均值，峰态，标准差，均方根和样本熵作为输入特征。

3）构造概率神经网络模型：输入层有5个节点表示输入特征，求和层和输出层都是3个节点，表示健康的三个状态，模式层有150个节点，表示选取的150个样本；

4）将输入参数输入概率神经网络进行状态识别，根据健康度的定义HD=P(healthy)-P(failure)，计算健康度的值，根据轴承健康度的阈值来判定轴承所处的运行状态为健康、亚健康或故障。当0.4<HD<1时，轴承为健康状态，当-0.4<HD<0.4时，轴承为亚健康状态，当-1<HD<-0.4时，轴承为故障状态。

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