CN104502103A - 一种基于模糊支持向量机的轴承故障诊断方法 - Google Patents

Abstract

一种基于模糊支持向量机的轴承故障诊断方法，本方法以内圈单点故障、外圈单点故障以及滚珠单点故障三种故障为例，并结合轴承正常运转这四种情况进行了故障特征提取，包括时域特征参数以及对振动信号采用Hilbert变换进行解调，对解调后的信号进行频谱分析找到的频域故障特征频率。这些特征参数组成训练样本和测试样本。利用模糊C均值聚类算法对训练样本加入模糊隶属度，并采用支持向量机多分类方法进行故障判别。通过故障诊断实例分析部分显示了所建立的FSVM模型对于轴承故障诊断的正确率，表现出强大的分类性能和抗噪声的能力，为避免因轴承故障造成重大事故、经济损失等提供了理论方法，具有重要参考价值。

Description

一种基于模糊支持向量机的轴承故障诊断方法

技术领域

本发明属于故障诊断领域，涉及一种针对轴承故障所建立的模糊C均值聚类与支持向量机相结合的故障诊断方法。

背景技术

滚动轴承是电力、冶金、石化、机械、航空航天以及一些军事工业部门中使用最广泛的机械零件，也是机械设备最易受损的零件之一。有关统计资料表明：在使用轴承的旋转机械中，大约有30％的机械故障是由轴承引起的。这是因为轴承是机械设备中工作条件最为恶劣的部件，在机械设备中起着承受载荷和传递载荷的作用，工况复杂，其运行状态是否正常往往直接影响到整台机器的性能，若轴承在工作状态中发生故障，轻则使整个系统失效，造成一定的经济损失，严重的还会导致灾难性的事故。基于此，轴承的故障诊断方法是众多学者研究的热点。但是有的学者没有考虑轴承故障数据中的异常点的干扰，有的利用神经网络或者FCM进行分类，而轴承的故障诊断属于小样本问题。本发明建立的模糊支持向量机(FSVM)模型，对于不同的样本赋予不同的惩罚系数，在构造目标函数时不同的样本有不同的贡献，对异常样本赋予较小的权值，从而大大降低了异常点的影响。支持向量机(SVM)是建立在统计学习理论的VC维和结构风险最小化原理基础上的机器学习方法，实现的是结构风险最小化，在解决小样本、非线性及高维模式识别等问题中表现出了许多特有的优势。因此，本发明采用模糊C均值聚类算法计算模糊隶属度，与支持向量机相结合进行轴承故障诊断，为避免因轴承故障造成重大事故、经济损失等提供了理论方法，具有重要参考价值。

发明内容

本发明的目的是提供一种轴承故障诊断方法，首先提取故障特征值，之后建立模糊支持向量机模型，最后进行故障的训和预测。

本发明是采用以下技术手段实现的：一种基于模糊支持向量机的轴承故障诊断方法，1、通过Hilbert变换、时域、频域分析等数据预处理方法以及根据轴承的相关参数进行计算，确定特征参数，并提取特征向量；2、根据模糊C均值聚类算法的相关理论求解模糊隶属度矩阵，选取每个样本对各类别的模糊隶属度中最大值作为该样本的模糊隶属度，即得到所有训练样本的模糊隶属度标签；3、根据支持向量机相关理论，选取核函数及其参数；结合模糊C均值聚类算法建立模糊支持向量机模型，并通过matlab软件编程实现建立的FSVM模型算法；4、实例验证，利用建立的算法模型对训练样本进行训练，进而对测试样本进行预测，得到测试结果。

1、数据预处理及特征参数的选取

针对正常轴承、内圈单点故障、外圈单点故障和滚动体单点故障，这4种状况进行分析，选取n个样本。

采集到滚动轴承轴承的振动信号是典型的时域信号，其时域统计特征参数如均方根值、峰度、峰峰值、峭度等统计量能够很好地反映振动强度、信号能量、冲击时域等信息，因此选取时域信号当中的部分参数当做特征向量。时域特征参数提取后，经分析对比选择均方根值、峰峰值作为时域特征参数，表征能量和振动强度，其中均方根值其中N为采样点数，此处为1200，y_i为振动数据中加速度幅值。峰峰值FF＝y_max-y_min，其中y_max为振动样本中最大值，y_min为最小值。时域特征参数只能大概地判断轴承是否出现故障，至于是滚珠、内圈还是外圈的故障却定位不到。故障定位一般是在频域里找到故障特征频率。对振动信号采用Hilbert变换进行解调，对解调后的信号进行频谱分析找到故障特征频率的幅值。

根据轴承参数，并结合公式内圈单点故障频率 $f_f=\frac{1}{2}Z(1+\frac{d}{D}\cos \mathrm{\α})f,$ 外圈单点故障频率 $f_n=\frac{1}{2}Z(1-\frac{d}{D}\cos \mathrm{\α})f,$ 滚珠单点故障频率其中接触角α＝0°，f为基频，可计算得内圈单点故障频率、外圈单点故障频率；滚珠单点故障双故障频率。

4种运转情况中，每种选n/4组数据，共n组，其中每组数据用来训练、用来测试。则训练集合样本可设为X＝{x₁,x₂,…,x_n}，n为样本个数，其中x_i有s个特征，即x_i＝{x_i1,x_i2,…,x_is}。

2、利用模糊C均值聚类(FCM)算法求解模糊隶属度

模糊C均值聚类算法是一种无监督的基于目标函数的隶属度计算方法。在众多模糊聚类算法中，模糊C-均值算法应用最广泛且较成功，它通过优化目标函数得到每个样本点对所有类中心的隶属度，从而决定样本点的类属以达到自动对样本数据进行分类的目的。它在对样本数据进行分类的同时，精确地给出了每个样本属于各类别的模糊隶属度，不仅原理简单、计算速度快，而且聚类效果明显，性能优越。

求解模糊隶属度过程中，要把n个样本的数据集X＝{X₁,X₂,…,X_n}分为c类(2≤c≤n)，其中X矩阵表示形式为：可设有c个聚类中心V＝{V₁,V₂,…,V_c}，V矩阵表示形式为：模糊隶属度矩阵U为U＝{U₁,U₂,…,U_n}，V矩阵表示形式为：其中：u_ik表示第k个样本在第i类样本中的隶属度。取d_ik为样本x_k与聚类中心v_i的欧式就离，记作

$d_{\mathrm{ik}}=\left|\right|x_k-v_i\left|\right|=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{kj}}-v_{\mathrm{ij}})}^2}---\left(1\right)$

聚类准则是使下列目标函数达到最小值

$\min J_{\mathrm{FCM}}(X,U,V)=\min \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m{\left(d_{\mathrm{ik}}\right)}^2=\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\min \left\{\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m{\left(d_{\mathrm{ik}}\right)}^2\right\}---\left(2\right)$

u_ik满足

$\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}=1---\left(3\right)$

m是模糊因子用来决定聚类结果模糊度的权重指数，m∈[1,∞)，取其经验范围为1.5≤m≤2.5。在(3)式的约束条件对(2)式求解，可构造拉格朗日函数：

$F=\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m{\left(d_{\mathrm{ik}}\right)}^2-\mathrm{\λ}(\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}-1)---\left(4\right)$

其中λ≥0，求该函数对μ_ik，λ的偏导数并令其等于0，得到最优条件为：

$\begin{array}{c}\frac{\∂F}{\∂{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ik}}}={\mathrm{mu}}_{\mathrm{ik}}^{m-1}{\left(d_{\mathrm{ik}}\right)}^2-\mathrm{\λ}=0\\ \frac{\∂F}{\∂\mathrm{\λ}}=\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}-1=0\end{array}---\left(5\right)$

将(5)式带入(4)式，可得到各模糊隶属度μ_ik和聚类中心v_i

$u_{\mathrm{ik}}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{d_{\mathrm{ik}}}{d_{\mathrm{jk}}}\right)}^{\frac{2}{m-1}}}---\left(6\right)$

$v_i=\frac{\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m\·x_k}{\underset{k=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m}---\left(7\right)$

通过不断地迭代最终可得到各类的聚类中心和数据样本的模糊隶属度矩阵。

根据以上算法原理，FCM求解具体步骤如下：

1)初始化：分别给定聚类类别c(2≤c≤n)，样本个数为n，模糊权重m(1.5≤m≤2.5)迭代停止阀值ε，迭代计数次数设定为l，初始化聚类原型V^(l)(l＝0)；

2)根据V^(l)，按照公式(6)更新模糊划分矩阵U^(l+1)得：

$u_{\mathrm{ik}}^{(l+1)}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{d_{\mathrm{ik}}^{\left(l\right)}}{d_{\mathrm{jk}}^{\left(l\right)}}\right)}^{-\frac{2}{m-1}}}---\left(8\right)$

3)根据U^(l)，按照公式(7)计算新的聚类中心矩阵V^(l+1)得：

$v_i^{(l+1)}=\frac{\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{\mathrm{ik}}^{\left(l\right)}\right)}^m\·x_k}{\underset{k=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{\mathrm{ik}}^{\left(l\right)}\right)}^m}---\left(9\right)$

4)根据(2)式计算目标函数minJ_FCM(X,U,V)的值；

5)判定阀值：如果|V^(l+1)-V^(l)|≤ε或者达到最大迭代次数，则停止迭代，否则l＝l+1，转到2)；

6)在模糊隶属度矩阵U中，依次比较每个样本对各类别的模糊隶属度，选取其中的最大值最为该样本的模糊隶属度，输出结果。

在针对轴承故障诊断中，求解模糊隶属度时，针对四种轴承状况，给定聚类类别、训练样本个数、迭代停止阀值ε、迭代计数次数、最大迭代次数；通过不断迭代聚类，达到迭代停止阀值，迭代停止，此时目标函数达到最小值，得到最终的训练样本的模糊隶属度矩阵，选取每个样本对各类别的模糊隶属度中最大值作为该样本的模糊隶属度，即得到所有训练样本的模糊隶属度标签。

3、支持向量机基本理论及模糊支持向量机的建立

支持向量机理论是建立在统计学习理论的VC维和结构风险最小化原理基础上的机器学习方法，实现的是结构风险最小化，在对给定的数据逼近的精度和逼近的复杂性之间寻求折中，以期获得最好的推广能力，最终解决的是一个凸二次规划问题，从理论上说得到的是全局最优解。轴承故障样本数据属于非线性问题，解决非线性问题的实质是通过核函数和映射函数内积的关系，把在高维特征空间中的分类问题转化到原始空间中进行，就相当于在高维特征空间中进行最优超平面分类。采用不同的函数作为支持向量机的核函数。

对于线性可分问题时，定义两个标准超平面：H1：(w·x)+b＝1和H2：(w·x)+b＝-1，其中，H1，H2分别为过各类中心离分类超平面最近的样本且平行于分类超平面的平面，则H1到分类超平面H：(w·x)+b＝0的距离为H1到H2的距离为为了最大化分类间隔，应最小化||w||²＝w^Tw，并保证H1和H2之间没有样本存在，即训练样本中所有样本都应满足，即约束条件为：

y_i(w·x_i)+b≥1，i＝1,2,…,n    (10)

目标函数为：

$\min \mathrm{\φ}\left(w\right)=\frac{1}{2}{\left|\right|w\left|\right|}^2---\left(11\right)$

这是一个凸二次规划问题，其解可通过求解下面的拉格朗日函数的最小值获得：

$L(w,b,\mathrm{\α})=\frac{1}{2}{\left|\right|w\left|\right|}^2-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i[y_i((w\·x_i)+b)-1]---\left(12\right)$

对于轴承故障诊断这样的非线性问题，定义核函数为：

特征空间的分类约束条件参考(10)式转换为：

ξ_i为松弛变量

参考式(11)目标函数为：

$\min \mathrm{\φ}\left(w\right)=\frac{1}{2}{w}^{T}w+C\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}_i---\left(14\right)$

参考(12)式，定义拉格朗日函数为：

分别对w，b和ξ_i求偏导数，并令它们等于0，有：

因为α_i≥0，β_i≥0，由C-α_i-β_i＝0可得：

0≤α_i≤C    (17)

将式(16)带入式(15)得：

根据拉格朗日乘子与不等式约束的乘积，这个优化问题的解还必须满足：

最终非线性支持向量机转化为下面的对偶二次规划问题：

$\underset{\mathrm{\α}}{\max }\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\α}}_j{y}_i{y}_{j}K(x_i,x_j)$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{\mathrm{\α}}_i=0\\ 0\≤{\mathrm{\α}}_i\≤C,i=\mathrm{1,2},\·\·\·,n\end{array}\right.---\left(20\right)$

最后求解可得最优分类函数为：

$f\left(x\right)=\mathrm{sgn}(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{y}_{i}K(x_i,x)+b\}---\left(21\right))$

这就是SVM模型，而FSVM是在SVM的基础上添加了模糊隶属度这一项。对于二分类情况，可令其训练样本集为：(x_i,y_i,μ_i)，其中i＝1,…,n，x_i∈R^d，y_i∈{+1,-1}，0≤μ_i≤1，x_i为训练样本输入，y_i为训练样本的输出标签，μ_i表示训练样本x_i属于类别y_i的程度，即模糊隶属度。模糊支持向量机的分类思想与支持向量机一样，引入模糊隶属度后，求解过程中(20)式变成0≤α_i≤μ_iC，即对惩罚因子C进行了模糊化，根据训练样本x_i对分类的贡献程度μ_i的不同，对其使用不同的惩罚因子μ_iC。这样，只要对所有训练样本赋予准确的模糊隶属度μ_i就可以在不影响建立最优超平面的同时，削弱噪声点和异常点对支持向量机训练的负面影响。

4、实例验证，FSVM故障诊断

轴承系统的故障诊断主要包括训练阶段和测试阶段。训练阶段主要是根据样本选择适当的分类器参数，包括核函数的参数和惩罚因子C。分别对4种情况分成两组，训练前在第2部分已经利用FCM算法求出了所有训练样本的模糊隶属度，将其添加到对应训练样本集中，这样就得到了含有模糊隶属度的训练样本。模糊处理后的每个训练样本都是一个6维向量，分别包括4个特征参数、1个模糊隶属度和1个输出标签。之后，统一量纲，对训练数据和测试数据的4个特征参数进行归一化处理将样本变换到[0,1]之间。参数选择，经过训练测试选用RBF核函数，K(x,y)＝exp(-||x-y||²)/σ²，选取参数σ²＝0.5，C＝40，采用基于二叉树的支持向量机多分类方法进行训练测试，从而判别故障类型。对每种情况的测试数据进行测试。

验证了利用FSVM算法对轴承系统进行故障诊断的可行性。

通过故障诊断实例分析部分显示了本文所建立的FSVM模型对于轴承故障诊断的有效性，表现出强大的分类性能和抗噪声的能力，为避免因轴承故障造成重大事故、经济损失等提供了理论方法，具有重要参考价值。

本发明的特点在于基于支持向量机和模糊C均值聚类算法的理论，建立FSVM模型，并用数值计算方法结合频谱分析等确定故障特征参数。模型中考虑了振动信号当中的噪声和野值的影响。发明内容包括四部分。在第一部分中得到特征向量样本，在第二部分中，计算训练样本的模糊隶属度，在第三部分中建立模糊支持向量机模型，通过matlab编程实现算法，在第四部分中，通过对轴承数据样本的训练和预测这一实例，论证本发明提出的模型的性能及其价值。

附图说明

图1轴承正常情况下时域波形、频谱图以及经Hilbert解调后波形、频谱图。

图2滚珠单点故障时域波形、频谱图以及Hilbert解调后时域波形、频谱图。

图3内圈单点故障时域波形、频谱图以及Hilbert解调后时域波形、频谱图。

图4外圈单点故障时域波形、频谱图以及Hilbert解调后时域波形、频谱图。

图5模糊C均值聚类分析的聚类效果图。

图6支持向量机二叉树分类方法模型。

图7FSVM测试结果。

图8为线性可分图示。

图9为本方法的实施流程图。

具体实施方式

本发明是一种轴承故障诊断算法，下面结合附图，对本发明的实施进行具体说明。

以美国西储大学轴承振动数据库的部分实验数据中SKF的6205-2RS深沟球轴承为例。

1、数据预处理及特征参数的选取

针对正常轴承、内圈0.18毫米单点故障、外圈0.18毫米单点故障和滚动体0.18毫米单点故障，这4种状况进行分析，共选取240个样本。

采集到滚动轴承轴承的振动信号是典型的时域信号，其时域统计特征参数如均方根值、峰度、峰峰值、峭度等统计量能够很好地反映振动强度、信号能量、冲击时域等信息，因此选取时域信号当中的部分参数当做特征向量。时域特征参数提取后，经分析对比选择均方根值、峰峰值作为时域特征参数，表征能量和振动强度，其中均方根值其中N为采样点数，此处为1200，y_i为振动数据中加速度幅值。峰峰值FF＝y_max-y_min，其中y_max为振动样本中最大值，y_min为最小值。时域特征参数只能大概地判断轴承是否出现故障，至于是滚珠、内圈还是外圈的故障却定位不到。故障定位一般是在频域里找到故障特征频率。对振动信号采用Hilbert变换进行解调，对解调后的信号进行频谱分析找到故障特征频率的幅值。

图1为轴承正常情况下时域波形、频谱图以及经Hilbert解调后波形、频谱图；图2为滚珠单点故障时域波形、频谱图以及Hilbert解调后时域波形、频谱图；图3为内圈单点故障时域波形、频谱图以及Hilbert解调后时域波形、频谱图；图4为外圈单点故障时域波形、频谱图以及Hilbert解调后时域波形、频谱图。

表1 6205-2RS深沟球轴承参数

根据表1中SKF6205深沟球轴承的参数，并结合公式内圈单点故障

频率 $f_f=\frac{1}{2}Z(1+\frac{d}{D}\cos \mathrm{\α})f,$ 外圈单点故障频率 $f_n=\frac{1}{2}Z(1-\frac{d}{D}\cos \mathrm{\α})f,$ 滚珠单点故障频率其中接触角α＝0°，f为基频，可计算得内圈单点故障频率为5.42倍频，约为162Hz；外圈单点故障频率为3.58倍频，约为107Hz；滚珠单点故障双故障频率为2f_b，即4.7倍频，约为141Hz。结合以上频谱图，发现滚珠频域故障特征不明显，内圈、外圈故障特征明显，选择3.6倍频、5.4倍频，即110Hz和160Hz作为频域故障特征参数。

所以此次提取的故障特征值包括RMS、峰峰值、3.6倍频幅值、5.4倍频幅值。4种运转情况中，每种选60组数据，共240组，其中每种20组用来训练，40组用来测试。即训练样本80个，测试样本160个。则训练集合样本可设为X＝{x₁,x₂,…,x_n}，n为样本个数，其中x_i有s个特征，即x_i＝{x_i1,x_i2,…,x_is}。

2、利用模糊C均值聚类(FCM)算法求解模糊隶属度

模糊C均值聚类算法是一种无监督的基于目标函数的隶属度计算方法。在众多模糊聚类算法中，模糊C-均值算法应用最广泛且较成功，它通过优化目标函数得到每个样本点对所有类中心的隶属度，从而决定样本点的类属以达到自动对样本数据进行分类的目的。它在对样本数据进行分类的同时，精确地给出了每个样本属于各类别的模糊隶属度，不仅原理简单、计算速度快，而且聚类效果明显，性能优越。

求解模糊隶属度过程中，要把n个样本的数据集X＝{X₁,X₂,…,X_n}分为c类(2≤c≤n)，其中X矩阵表示形式为：可设有c个聚类中心V＝{V₁,V₂,…,V_c}，V矩阵表示形式为：模糊隶属度矩阵U为U＝{U₁,U₂,…,U_n}，V矩阵表示形式为：其中：u_ik表示第k个样本在第i类样本中的隶属度。取d_ik为样本x_k与聚类中心v_i的欧式就离，记作

$d_{\mathrm{ik}}=\left|\right|x_k-v_i\left|\right|=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{kj}}-v_{\mathrm{ij}})}^2}---\left(1\right)$

聚类准则是使下列目标函数达到最小值

$\min J_{\mathrm{FCM}}(X,U,V)=\min \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m{\left(d_{\mathrm{ik}}\right)}^2=\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\min \left\{\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m{\left(d_{\mathrm{ik}}\right)}^2\right\}---\left(2\right)$

u_ik满足

$\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}=1---\left(3\right)$

m是模糊因子用来决定聚类结果模糊度的权重指数，m∈[1,∞)，取其经验范围为1.5≤m≤2.5。在(3)式的约束条件对(2)式求解，可构造拉格朗日函数：

$F=\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m{\left(d_{\mathrm{ik}}\right)}^2-\mathrm{\λ}(\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}-1)---\left(4\right)$

其中λ≥0，求该函数对μ_ik，λ的偏导数并令其等于0，得到最优条件为：

$\begin{array}{c}\frac{\∂F}{\∂{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ik}}}={\mathrm{mu}}_{\mathrm{ik}}^{m-1}{\left(d_{\mathrm{ik}}\right)}^2-\mathrm{\λ}=0\\ \frac{\∂F}{\∂\mathrm{\λ}}=\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}-1=0\end{array}---\left(5\right)$

将(5)式带入(4)式，可得到各模糊隶属度μ_ik和聚类中心v_i

$u_{\mathrm{ik}}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{d_{\mathrm{ik}}}{d_{\mathrm{jk}}}\right)}^{\frac{2}{m-1}}}---\left(6\right)$

$v_i=\frac{\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m\·x_k}{\underset{k=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m}---\left(7\right)$

通过不断地迭代最终可得到各类的聚类中心和数据样本的模糊隶属度矩阵。

根据以上算法原理，FCM求解具体步骤如下：

1)初始化：分别给定聚类类别c(2≤c≤n)，样本个数为n，模糊权重m(1.5≤m≤2.5)迭代停止阀值ε，迭代计数次数设定为l，初始化聚类原型V^(l)(l＝0)；

2)根据V^(l)，按照公式(6)更新模糊划分矩阵U^(l+1)得：

$u_{\mathrm{ik}}^{(l+1)}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{d_{\mathrm{ik}}^{\left(l\right)}}{d_{\mathrm{jk}}^{\left(l\right)}}\right)}^{-\frac{2}{m-1}}}---\left(8\right)$

3)根据U^(l)，按照公式(7)计算新的聚类中心矩阵V^(l+1)得：

$v_i^{(l+1)}=\frac{\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{\mathrm{ik}}^{\left(l\right)}\right)}^m\·x_k}{\underset{k=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{\mathrm{ik}}^{\left(l\right)}\right)}^m}---\left(9\right)$

4)根据(2)式计算目标函数minJ_FCM(X,U,V)的值；

5)判定阀值：如果|V^(l+1)-V^(l)|≤ε或者达到最大迭代次数，则停止迭代，否则l＝l+1，转到②；

6)在模糊隶属度矩阵U中，依次比较每个样本对各类别的模糊隶属度，选取其中的最大值最为该样本的模糊隶属度，输出结果。

在针对轴承故障诊断中，求解模糊隶属度时，针对四种轴承状况，给定聚类类别c＝4，训练样本个数为n＝80，m取为2，迭代停止阀值ε取为0.00001，迭代计数次数设定为l，最大迭代次数设为100次，通过不断迭代聚类，当迭代次数为10时，达到迭代停止阀值，迭代停止，此时目标函数达到最小值为2.383926，得到最终的训练样本的模糊隶属度矩阵，选取每个样本对各类别的模糊隶属度中最大值作为该样本的模糊隶属度，即得到所有训练样本的模糊隶属度标签，其特征向量聚类效果的前三维可视化如图5所示。

3、支持向量机基本理论及模糊支持向量机的建立

支持向量机(Support Vector Machine，SVM)理论是建立在统计学习理论的VC维和结构风险最小化原理基础上的机器学习方法，实现的是结构风险最小化，在对给定的数据逼近的精度和逼近的复杂性之间寻求折中，以期获得最好的推广能力，最终解决的是一个凸二次规划问题，从理论上说得到的是全局最优解。轴承故障样本数据属于非线性问题，解决非线性问题的实质是通过核函数和映射函数内积的关系，把在高维特征空间中的分类问题转化到原始空间中进行，就相当于在高维特征空间中进行最优超平面分类。采用不同的函数作为支持向量机的核函数。

对于线性可分问题时结合图8作说明：

定义两个标准超平面：H1：(w·x)+b＝1和H2：(w·x)+b＝-1，其中，H1，H2分别为过各类中心离分类超平面最近的样本且平行于分类超平面的平面，则H1到分类超平面H：(w·x)+b＝0的距离为

H1到H2的距离为为了最大化分类间隔，应最小化||w||²＝w^Tw，并保证H1和H2之间没有样本存在，即训练样本中所有样本都应满足，即约束条件为：

y_i(w·x_i)+b≥1，i＝1,2,…,n    (10)

目标函数为：

$\min \mathrm{\φ}\left(w\right)=\frac{1}{2}{\left|\right|w\left|\right|}^2---\left(11\right)$

这是一个凸二次规划问题，其解可通过求解下面的拉格朗日函数的最小值获得：

$L(w,b,\mathrm{\α})=\frac{1}{2}{\left|\right|w\left|\right|}^2-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i[y_i((w\·x_i)+b)-1]---\left(12\right)$

对于轴承故障诊断这样的非线性问题，定义核函数为：

特征空间的分类约束条件参考(10)式转换为：

ξ_i为松弛变量

参考式(11)目标函数为：

$\min \mathrm{\φ}\left(w\right)=\frac{1}{2}{w}^{T}w+C\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}_i---\left(14\right)$

参考(12)式，定义拉格朗日函数为：

分别对w，b和ξ_i求偏导数，并令它们等于0，有：

因为α_i≥0，β_i≥0，由C-α_i-β_i＝0可得：

0≤α_i≤C    (17)

将式(16)带入式(15)得：

根据拉格朗日乘子与不等式约束的乘积，这个优化问题的解还必须满足：

最终非线性支持向量机转化为下面的对偶二次规划问题：

$\underset{\mathrm{\α}}{\max }\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\α}}_j{y}_i{y}_{j}K(x_i,x_j)$

$s.t.\left\{\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{\mathrm{\α}}_i=0\\ 0\≤{\mathrm{\α}}_i\≤C,i=\mathrm{1,2},\·\·\·,n\end{array}\right.---\left(20\right)$

最后求解可得最优分类函数为：

$f\left(x\right)=\mathrm{sgn}(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{y}_{i}K(x_i,x)+b\}---\left(21\right))$

这就是SVM模型，而FSVM是在SVM的基础上添加了模糊隶属度这一项。对于二分类情况，可令其训练样本集为：(x_i,y_i,μ_i)，其中i＝1,…,n，x_i∈R^d，y_i∈{+1,-1}，0≤μ_i≤1，x_i为训练样本输入，y_i为训练样本的输出标签，μ_i表示训练样本x_i属于类别y_i的程度，即模糊隶属度。模糊支持向量机的分类思想与支持向量机一样，引入模糊隶属度后，求解过程中(20)式变成0≤α_i≤μ_iC，即对惩罚因子C进行了模糊化，根据训练样本x_i对分类的贡献程度μ_i的不同，对其使用不同的惩罚因子μ_iC。这样，只要对所有训练样本赋予准确的模糊隶属度μ_i就可以在不影响建立最优超平面的同时，削弱噪声点和异常点对支持向量机训练的负面影响。

4、实例验证(FSVM故障诊断)

轴承系统的故障诊断主要包括训练阶段和测试阶段。训练阶段主要是根据样本选择适当的分类器参数，主要包括核函数的参数和惩罚因子C。分别对4种情况分成两组，一组是各选取20个样本共80个作为训练样本，另一组是各选取40个共160个作为测试样本。训练前在第2部分已经利用FCM算法求出了所有训练样本的模糊隶属度，将其添加到对应训练样本集中，这样就得到了含有模糊隶属度的训练样本。模糊处理后的每个训练样本都是一个6维向量，分别包括4个特征参数、1个模糊隶属度和1个输出标签。之后，统一量纲，对训练数据和测试数据的4个特征参数进行归一化处理将样本变换到[0,1]之间。参数选择，经过训练测试选用RBF核函数，K(x,y)＝exp(-||x-y||²)/σ²，选取参数σ²＝0.5，C＝40，采用如图6所示的基于二叉树的支持向量机多分类方法进行训练测试，从而判别故障类型。对每种情况的40组测试数据进行测试，测试结果见图7。

实验结果表明：FSVM模型对于现有的数据表现出了不低于85％的识别率。验证了利用FSVM算法对轴承系统进行故障诊断的可行性。

通过故障诊断实例分析部分显示了本文所建立的FSVM模型对于轴承故障诊断的有效性，表现出强大的分类性能和抗噪声的能力，为避免因轴承故障造成重大事故、经济损失等提供了理论方法，具有重要参考价值。

本方法的实施流程如图9所示。

Claims (1)

1.一种基于模糊支持向量机的轴承故障诊断方法，其特征在于：该方法包括下述流程，S1通过Hilbert变换、时域、频域分析等数据预处理方法以及根据轴承的相关参数进行计算，确定特征参数，并提取特征向量；S2根据模糊C均值聚类算法的相关理论求解模糊隶属度矩阵，选取每个样本对各类别的模糊隶属度中最大值作为该样本的模糊隶属度，即得到所有训练样本的模糊隶属度标签；S3根据支持向量机相关理论，选取核函数及其参数；结合模糊C均值聚类算法建立模糊支持向量机模型，并通过matlab软件编程实现建立的FSVM模型算法；S4实例验证，利用建立的算法模型对训练样本进行训练，进而对测试样本进行预测，得到测试结果；

S1数据预处理及特征参数的选取

针对正常轴承、内圈单点故障、外圈单点故障和滚动体单点故障，这4种状况进行分析，选取n个样本；

采集到滚动轴承轴承的振动信号是典型的时域信号，其时域统计特征参数如均方根值、峰度、峰峰值、峭度等统计量能够很好地反映振动强度、信号能量、冲击时域等信息，因此选取时域信号当中的部分参数当做特征向量；时域特征参数提取后，经分析对比选择均方根值、峰峰值作为时域特征参数，表征能量和振动强度，其中均方根值其中N为采样点数，此处为1200，y_i为振动数据中加速度幅值；峰峰值FF＝y_max-y_min，其中y_max为振动样本中最大值，y_min为最小值；时域特征参数只能大概地判断轴承是否出现故障，至于是滚珠、内圈还是外圈的故障却定位不到；故障定位一般是在频域里找到故障特征频率；对振动信号采用Hilbert变换进行解调，对解调后的信号进行频谱分析找到故障特征频率的幅值；

根据轴承参数，并结合公式内圈单点故障频率外圈单点故障频率滚珠单点故障频率其中接触角α＝0°，f为基频，可计算得内圈单点故障频率、外圈单点故障频率；滚珠单点故障双故障频率；

4种运转情况中，每种选n/4组数据，共n组，其中每组数据用来训练、用来测试；则训练集合样本可设为X＝{x₁,x₂,…,x_n}，n为样本个数，其中x_i有s个特征，即x_i＝{x_i1,x_i2,…,x_is}；

S2利用模糊C均值聚类(FCM)算法求解模糊隶属度

模糊C均值聚类算法是一种无监督的基于目标函数的隶属度计算方法；在众多模糊聚类算法中，模糊C-均值算法应用最广泛且较成功，它通过优化目标函数得到每个样本点对所有类中心的隶属度，从而决定样本点的类属以达到自动对样本数据进行分类的目的；它在对样本数据进行分类的同时，精确地给出了每个样本属于各类别的模糊隶属度，不仅原理简单、计算速度快，而且聚类效果明显，性能优越；

求解模糊隶属度过程中，要把n个样本的数据集X＝{X₁,X₂,…,X_n}分为c类(2≤c≤n)，其中X矩阵表示形式为：可设有c个聚类中心V＝{V₁,V₂,…,V_c}，V矩阵表示形式为：模糊隶属度矩阵U为U＝{U₁,U₂,…,U_n}，V矩阵表示形式为：其中：u_ik表示第k个样本在第i类样本中的隶属度；取d_ik为样本x_k与聚类中心vi的欧式就离，记作

$d_{\mathrm{ik}}=\left|\right|x_k-v_i\left|\right|=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{kj}}-v_{\mathrm{ij}})}^2}---\left(1\right)$

聚类准则是使下列目标函数达到最小值

$\min J_{\mathrm{FCM}}(X,U,V)=\min \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m{\left(d_{\mathrm{ik}}\right)}^2=\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\min \left\{\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m{\left(d_{\mathrm{ik}}\right)}^2\right\}---\left(2\right)$

u_ik满足

$\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}=1---\left(3\right)$

m是模糊因子用来决定聚类结果模糊度的权重指数，m∈[1,∞)，取其经验范围为1.5≤m≤2.5；在(3)式的约束条件对(2)式求解，可构造拉格朗日函数：

$F=\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m{\left(d_{\mathrm{ik}}\right)}^2-\mathrm{\λ}(\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}-1)---\left(4\right)$

其中λ≥0，求该函数对μ_ik，λ的偏导数并令其等于0，得到最优条件为：

$\begin{array}{c}\frac{\∂F}{\∂{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ik}}}={\mathrm{mu}}_{\mathrm{ik}}^{m-1}{\left(d_{\mathrm{ik}}\right)}^2-\mathrm{\λ}=0\\ \frac{\∂F}{\∂\mathrm{\λ}}=\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}-1=0\end{array}---\left(5\right)$

将(5)式带入(4)式，可得到各模糊隶属度μ_ik和聚类中心v_i

$u_{\mathrm{ik}}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{d_{\mathrm{ik}}}{d_{\mathrm{jk}}}\right)}^{\frac{2}{m-1}}}---\left(6\right)$

$v_i=\frac{\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m\·x_k}{\underset{k=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ik}}^m}---\left(7\right)$

通过不断地迭代最终可得到各类的聚类中心和数据样本的模糊隶属度矩阵；

根据以上算法原理，FCM求解具体步骤如下：

1)初始化：分别给定聚类类别c(2≤c≤n)，样本个数为n，模糊权重m(1.5≤m≤2.5)迭代停止阀值ε，迭代计数次数设定为l，初始化聚类原型V^(l)(l＝0)；

2)根据V^(l)，按照公式(6)更新模糊划分矩阵U^(l+1)得：

$u_{\mathrm{ik}}^{(l+1)}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{d_{\mathrm{ik}}^{\left(l\right)}}{d_{\mathrm{jk}}^{\left(l\right)}}\right)}^{-\frac{2}{m-1}}}---\left(8\right)$

3)根据U^(l)，按照公式(7)计算新的聚类中心矩阵V^(l+1)得：

$v_i^{(l+1)}=\frac{\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{\mathrm{ik}}^{\left(l\right)}\right)}^m\·x_k}{\underset{k=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{\mathrm{ik}}^{\left(l\right)}\right)}^m}---\left(9\right)$

4)根据(2)式计算目标函数minJ_FCM(X,U,V)的值；

5)判定阀值：如果|V^(l+1)-V^(l)|≤ε或者达到最大迭代次数，则停止迭代，否则l＝l+1，转到2)；

6)在模糊隶属度矩阵U中，依次比较每个样本对各类别的模糊隶属度，选取其中的最大值最为该样本的模糊隶属度，输出结果；

在针对轴承故障诊断中，求解模糊隶属度时，针对四种轴承状况，给定聚类类别、训练样本个数、迭代停止阀值ε、迭代计数次数、最大迭代次数；通过不断迭代聚类，达到迭代停止阀值，迭代停止，此时目标函数达到最小值，得到最终的训练样本的模糊隶属度矩阵，选取每个样本对各类别的模糊隶属度中最大值作为该样本的模糊隶属度，即得到所有训练样本的模糊隶属度标签；

S3支持向量机基本理论及模糊支持向量机的建立

支持向量机理论是建立在统计学习理论的VC维和结构风险最小化原理基础上的机器学习方法，实现的是结构风险最小化，在对给定的数据逼近的精度和逼近的复杂性之间寻求折中，以期获得最好的推广能力，最终解决的是一个凸二次规划问题，从理论上说得到的是全局最优解；轴承故障样本数据属于非线性问题，解决非线性问题的实质是通过核函数和映射函数内积的关系，把在高维特征空间中的分类问题转化到原始空间中进行，就相当于在高维特征空间中进行最优超平面分类；采用不同的函数作为支持向量机的核函数；

对于线性可分问题时，定义两个标准超平面：H1：(w·x)+b＝1和H2：(w·x)+b＝-1，其中，H1，H2分别为过各类中心离分类超平面最近的样本且平行于分类超平面的平面，则H1到分类超平面H：(w·x)+b＝0的距离为H1到H2的距离为为了最大化分类间隔，应最小化||w||²＝w^Tw，并保证H1和H2之间没有样本存在，即训练样本中所有样本都应满足，即约束条件为：

y_i(w·x_i)+b≥1，i＝1,2,…,n            (10)

目标函数为：

$\min \mathrm{\φ}\left(w\right)=\frac{1}{2}{\left|\right|w\left|\right|}^2---\left(11\right)$

这是一个凸二次规划问题，其解可通过求解下面的拉格朗日函数的最小值获得：

$L(w,b,\mathrm{\α})=\frac{1}{2}{\left|\right|w\left|\right|}^2-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i[y_i((w\·w_i)+b)-1]---\left(12\right)$

对于轴承故障诊断这样的非线性问题，定义核函数为：特征空间的分类约束条件参考(10)式转换为：

ξ_i为松弛变量

参考式(11)目标函数为：

$\min \mathrm{\φ}\left(w\right)=\frac{1}{2}{w}^{T}w+C\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}_i---\left(14\right)$

参考(12)式，定义拉格朗日函数为：

分别对w，b和ξ_i求偏导数，并令它们等于0，有：

因为α_i≥0，β_i≥0，由C-α_i-β_i＝0可得：

0≤α_i≤C           (17)

将式(16)带入式(15)得：

根据拉格朗日乘子与不等式约束的乘积，这个优化问题的解还必须满足：

最终非线性支持向量机转化为下面的对偶二次规划问题：

$\underset{\mathrm{\α}}{\max }\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\α}}_j{y}_i{y}_{j}K(x_i,x_j)$

$s.t.\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{\mathrm{\α}}_i=0\\ 0\≤{\mathrm{\α}}_i\≤C,i=\mathrm{1,2},...,n\end{array}\right.---\left(20\right)\end{array}$

最后求解可得最优分类函数为：

$f\left(x\right)=\mathrm{sgn}\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{y}_{i}K(x_i,x)+b\}---\left(21\right)$

这就是SVM模型，而FSVM是在SVM的基础上添加了模糊隶属度这一项；对于二分类情况，可令其训练样本集为：(x_i,y_i,μ_i)，其中i＝1,…,n，x_i∈R^d，y_i∈{+1,-1}，0≤μ_i≤1，x_i为训练样本输入，y_i为训练样本的输出标签，μ_i表示训练样本x_i属于类别y_i的程度，即模糊隶属度；模糊支持向量机的分类思想与支持向量机一样，引入模糊隶属度后，求解过程中(20)式变成0≤α_i≤μ_iC，即对惩罚因子C进行了模糊化，根据训练样本x_i对分类的贡献程度μ_i的不同，对其使用不同的惩罚因子μ_iC；这样，只要对所有训练样本赋予准确的模糊隶属度μ_i就可以在不影响建立最优超平面的同时，削弱噪声点和异常点对支持向量机训练的负面影响；

S4实例验证，FSVM故障诊断

轴承系统的故障诊断主要包括训练阶段和测试阶段；训练阶段主要是根据样本选择适当的分类器参数，包括核函数的参数和惩罚因子C；分别对4种情况分成两组，训练前在第2部分已经利用FCM算法求出了所有训练样本的模糊隶属度，将其添加到对应训练样本集中，这样就得到了含有模糊隶属度的训练样本；模糊处理后的每个训练样本都是一个6维向量，分别包括4个特征参数、1个模糊隶属度和1个输出标签；之后，统一量纲，对训练数据和测试数据的4个特征参数进行归一化处理将样本变换到[0,1]之间；参数选择，经过训练测试选用RBF核函数，K(x,y)＝exp(-||x-y||²)/σ²，选取参数σ²＝0.5，C＝40，采用基于二叉树的支持向量机多分类方法进行训练测试，从而判别故障类型；对每种情况的测试数据进行测试；

验证了利用FSVM算法对轴承系统进行故障诊断的可行性。