CN102708238A - 基于qr分解方法的结晶器arx模型辨识方法 - Google Patents

基于qr分解方法的结晶器arx模型辨识方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于QR分解方法的结晶器ARX模型辨识方法，包括：A、采集输入、输出数据，并以结晶器油缸阀开度u(t)为输入数据，以结晶器位置y(t)为输出数据，采集N对数据样本ZN；B、构建所述结晶器ARX模型A(q)y(t)＝B(q)u(t)+e(t)；C、设ARX模型待辨识参数为θ、令基于参数θ的模型输出预测值为
Figure DSA00000709297600011
令辨识过程的目标函数为V(θ，ZN)；D、构建矩阵YT＝[yT(1+n)…yT(N)]和矩阵
Figure DSA00000709297600012
E、再令[Φ Y]＝QR，对矩阵[Φ Y]进行QR分解获得矩阵R；F、计算出所述ARX模型的待优化参数θ，则求出目标函数V(θ，ZN)。采用本发明的方法，能够为设计性能优良的结晶器控制系统提供科学、合理的数学模型。

Description

基于QR分解方法的结晶器ARX模型辨识方法
技术领域
本发明涉及钢铁冶金技术中连铸机结晶器控制系统，尤其涉及一种基于QR分解方法的结晶器ARX(Auto Regression with eXtra inputs)模型辨识方法。
背景技术
结晶器振动对铸坯脱模及表面质量有着直接、重要的影响，在板坯连铸实际浇铸过程中，拉速通常是随着工况条件(如浇铸温度)的变化而发生变化的，为确保获得良好的铸坯脱模效果和铸坯表而质量，应在保证振动工艺参数基本稳定的前提下，适当地调整频率、振幅等振动基本参数。然而，要获得良好的频率、振幅控制效果，必须设计合理的结晶器控制系统以快速、准确跟踪频率、振幅给定值，而优秀的控制系统是以模型为基础进行系统分析和设计的，鉴于目前结晶器控制系统基于经验的PID控制器设计方法，有必要首先对结晶器进行模型辨识，在合理模型基础上再进行控制系统设计以获得良好的控制效果。
发明内容
有鉴于此，本发明的主要目的在于提供一种基于QR分解方法的结晶器ARX模型辨识方法，其以结晶器油缸阀开度为输入，以结晶器位置为输出，在采样数据基础上建立结晶器ARX模型最小平方和指标函数，利用QR分解方法对最小平方和指标函数进行分解，通过矩阵运算能够准确逼近ARX模型未知参数全局最优解，为工程应用中结晶器控制系统设计提供科学的模型基础。
为达到上述目的，本发明的技术方案是这样实现的：
一种基于QR分解方法的结晶器ARX模型辨识方法，该方法包括：
A、采集输入、输出数据，并以结晶器油缸阀开度u(t)为输入数据，以结晶器位置y(t)为输出数据，采集N对数据样本ZN；
B、构建所述结晶器ARX模型A(q)y(t)＝B(q)u(t)+e(t)；其中：A(q)为第一多项式；B(q)为第二多项式；e(t)为高斯白噪声；
C、设ARX模型待辨识参数为θ、令基于参数θ的模型输出预测值为
Figure BSA00000709297900021
令辨识过程的目标函数为V(θ，ZN)；
D、构建矩阵YT＝[yT(1+n) … yT(N)]和矩阵其中：
n为na、nb中数值大者；N为自然数；
E、再令[Φ Y]＝QR，对矩阵[Φ Y]进行QR分解获得矩阵R；
F、计算出所述ARX模型的待优化参数θ，则求出目标函数V(θ，ZN)。
其中，步骤B所述第一结晶器输出多项式A(q)＝1+a1q-1+a2q-2+…+anaq-na；第二结晶器输出多项式B(q)＝1+b1q-1+b2q-2+…+bnbq-nb；q-1为后向移动算子，q为前向移动算子；na为结晶器输出多项式阶次，nb为结晶器输入多项式阶次。
步骤C所述待辨识参数θ＝[a1 a2 … ana b1 b2 … bnb]；所述基于参数θ的模型输出预测值
Figure BSA00000709297900023
所述辨识过程的目标函数
Figure BSA00000709297900024
其中：
Figure BSA00000709297900025
将步骤F所述计算所述ARX模型的待优化参数θ的过程如下：将所述矩阵R的左上角(na+nb)×(na+nb)块矩阵设为R1矩阵，将矩阵R第na+nb+1列中从第1行至na+nb行元素设为矩阵R2，将矩阵R第na+nb+1行第na+nb+1列元素设为矩阵R3；计算矩阵R1的逆矩阵R4，则所述ARX模型待优化参数θ＝R4*R2。
所述目标函数V(θ，ZN)＝R3。
本发明所提供的基于QR分解方法的结晶器ARX模型辨识方法，具有以下优点：
采用本发明的上述结晶器ARX模型计算方法，能够利用采样数据快速、准确逼近模型未知参数全局最优解，为设计性能优良的结晶器控制系统提供了科学、合理的数学模型。
附图说明
图1为本发明的ARX模型结构原理图；
图2为实施例中结晶器ARX模型预测输出值与实际采样数据之间的对比图。
具体实施方式
下面结合附图及本发明的实施例对本发明的方法作进一步详细的说明。
如图1、图2所示，本发明的基于QR分解方法的结晶器ARX模型辨识方法，主要包括如下步骤：
步骤1：采集输入、输出数据，并以结晶器油缸阀开度u(t)为输入数据，以结晶器位置y(t)为输出数据，采集N对数据样本ZN。
步骤2：构建的结晶器ARX模型为：
A(q)y(t)＝B(q)u(t)+e(t)；
其中：第一结晶器输出多项式A(q)＝1+a1q-1+a2q-2+…+anaq-na；
第二结晶器输出多项式B(q)＝1+b1q-1+b2q-2+…+bnbq-nb；
q-1为后向移动算子即q-1y(t)＝y(t-1)；q为前向移动算子；na为结晶器输出多项式阶次，nb为结晶器输入多项式阶次；e(t)为高斯白噪声。所述ARX模型原理图，如图1所示。
步骤3：令ARX模型待辨识参数θ＝[a1 a2 … ana b1 b2 … bnb]；令基于参数θ的模型输出预测值为
Figure BSA00000709297900031
其表达式为：
Figure BSA00000709297900032
其中：
步骤4：令辨识过程的目标函数为：
Figure BSA00000709297900042
步骤5：构建矩阵YT＝[yT(1+n) … yT(N)]，其中：n为na、nb中数值大者；N为自然数。
步骤6：构建矩阵
Figure BSA00000709297900043
其中：n为na、nb中数值大者，N为自然数。
步骤7：令[Φ Y]＝QR，对矩阵[Φ Y]进行QR分解获得矩阵R。
步骤8：将矩阵R的左上角(na+nb)×(na+nb)块矩阵设为R1矩阵，将矩阵R第na+nb+1列中从第1行至na+nb行元素设为矩阵R2，将矩阵R第na+nb+1行第na+nb+1列元素设为矩阵R3。
步骤9：计算矩阵R1的逆矩阵R4。
步骤10：令θ＝R4*R2即为ARX模型待优化参数。
步骤11：则目标函数V(θ，ZN)＝R3。
下面举例描述本发明的方法：
表1为某钢厂一板坯连铸机结晶器采样数据，其采样时间间隔Ts＝0.003秒，数据点数N＝250。
选择2阶ARX结晶器模型，令A(q)＝1+a1q-1+a2q-2，B(q)＝b1q-1+b2q-2，则待辨识参数θ＝[a1 a2 b1 b2]，按照步骤5～步骤9可得矩阵R1、R2、R3分别为：
R 1 = 157.89 157.98 27.26 22.37 0 - 2.085 - 195.58 - 201.39 0 0 - 70.93 - 61.85 0 0 0 35.77 ;
R2＝[-157.78 -1.96 -0.42 -0.11]T；
R3＝-0.549；
R 4 = 0.00633 0.4799 - 1.3207 0.414 0 - 0.4796 1.3224 - 0.4135 0 0 - 0.0141 - 0.0244 0 0 0 0.02796 .
则按照步骤8可得参数估计值θ＝[-1.336872 0.336427 0.003197 0.003147]。附图2为辨识模型预测输出与实际输出采样数据之间的对比曲线，从图2中可以发现按照本发明提出的算法辨识得到的ARX模型能够精确逼近实际结晶器系统。
表1：实施例1中的结晶器样本数据。
  序号   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
  输入   46.875   12.02619   11.91768   11.75492   12.22512   11.91406   11.90683   11.87066   11.54876   11.61386
  输出   8.583912   8.715567   8.860388   8.91305   9.071036   9.189525   9.308015   9.466001   9.571325   9.663484
  序号   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20
  输入   11.71152   11.2594   11.13643   10.78559   10.61198   10.21412   10.04413   10.01157   9.939236   9.595631
  输出   9.834635   9.953125   10.11111   10.2296   10.38759   10.50608   10.59823   10.70356   10.83521   10.96687
  序号   21   22   23   24   25   26   27   28   29   30
  输入   9.255642   9.320747   8.915654   8.814381   8.977141   8.289931   8.289931   7.97526   7.722078   7.515914
  输出   11.0327   11.17752   11.25651   11.30917   11.46716   11.53299   11.63831   11.73047   11.80946   11.88845
  序号   31   32   33   34   35   36   37   38   39   40
  输入   7.309751   7.143374   6.71658   6.5068   6.072772   5.703848   5.645978   5.298756   4.774306   4.481337
  输出   11.95428   12.05961   12.12543   12.21759   12.29659   12.33608   12.40191   12.49407   12.54673   12.62572
  序号   41   42   43   44   45   46   47   48   49   50
  输入   4.000289   3.642216   3.096065   2.871817   2.654803   2.177373   1.884404   1.381655   0.907841   0.719763
  输出   12.67839   12.75738   12.78371   12.81004   12.8627   12.88903   12.9417   12.98119   12.98119   13.00752
  序号   51   52   53   54   55   56   57   58   59   60
  输入   -0.24233   -1.54803   -3.35286   -5.12514   -6.89742   -8.87948   -10.5288   -12.5977   -14.5616   -16.2218
  输出   12.99436   13.03385   13.04702   13.04702   13.06018   13.00752   13.00752   12.98119   12.9022   12.83637
  序号   61   62   63   64   65   66   67   68   69   70
  输入   -18.0194   -19.4734   -21.0576   -22.2186   -23.1156   -24.66   -25.6402   -26.3853   -27.2244   -27.4993
  输出   12.71788   12.61256   12.44141   12.24392   12.1386   11.95428   11.74363   11.55932   11.29601   11.07219
  序号   71   72   73   74   75   76   77   78   79   80
  输入   -27.8827   -27.8501   -28.3095   -28.4252   -28.2661   -27.7416   -27.0906   -26.4685   -25.3328   -24.5913
  输出   10.79572   10.6114   10.38759   10.15061   9.874132   9.610822   9.360677   9.071036   8.860388   8.583912
  序号   81   82   83   84   85   86   87   88   89   90
  输入   -23.2458   -21.8967   -20.3631   -18.6921   -16.6667   -14.7931   -13.2198   -10.8579   -8.65885   -6.30064
  输出   8.333767   8.083623   7.833478   7.570168   7.346354   7.188368   6.951389   6.753906   6.556423   6.411603
  序号   91   92   93   94   95   96   97   98   99   100
  输入   -4.07624   -2.48119   -1.37442   -0.40509   0.596788   1.312934   1.902488   2.470341   2.933304   3.504774
  输出   6.240451   6.121962   6.029803   5.937645   5.884983   5.858652   5.83232   5.83232   5.819155   5.819155
  序号   101   102   103   104   105   106   107   108   109   110
  输入   3.978588   4.466869   5.038339   5.349392   5.78342   6.047454   6.394676   6.940828   7.143374   7.273582
  输出   5.819155   5.819155   5.858652   5.871817   5.924479   5.963976   5.977141   6.042969   6.121962   6.174624
  序号   111   112   113   114   115   116   117   118   119   120
  输入   7.606337   7.671441   8.036748   8.062066   8.445457   8.658854   8.626302   8.969907    9.1182   9.197772
  输出   6.266782   6.319444   6.424768   6.47743   6.556423   6.674913   6.740741   6.832899   6.938223   6.990885
  序号   121   122   123   124   125   126   127   128   129   130
  输入   9.693287   9.671586   9.982639   10.09115   10.01157   10.4239   10.44922   11.04601   11.09303   11.2377
  输出   7.109375   7.188368   7.293692   7.425347   7.491175   7.609664   7.649161   7.76765   7.872974   7.951967
  序号   131   132   133   134   135   136   137   138   139   140
  输入   11.54514   11.48727   11.79832   11.76939   11.95747   12.18533   12.01895   12.01895   12.0298   12.04789
  输出   8.083623   8.162616   8.294271   8.386429   8.478588   8.623408   8.741898   8.860388   8.978877   9.110532
  序号   141   142   143   144   145   146   147   148   149   150
  输入   11.93215   11.85619   11.78024   11.83449   11.38238   11.216   10.84708   10.93388   10.88686   10.60113
  输出   9.229022   9.360677   9.466001   9.637153   9.768808   9.926794   10.01895   10.12428   10.2691   10.38759
  序号   151   152   153   154   155   156   157   158   159   160
  输入   10.43475   10.05498   9.805411   9.733073   9.443721   9.42202   9.190538   8.846933   8.922888   8.470775
  输出   10.53241   10.66406   10.75622   10.88788   10.96687   11.08536   11.20385   11.26968   11.40133   11.46716
  序号   161   162   163   164   165   166   167   168   169   170
  输入   8.449074   8.098235   8.083767   7.826968   7.273582   7.24103   6.872106   6.720197   6.579138   6.061921
  输出   11.58565   11.63831   11.73047   11.86212   11.91479   12.00694   12.07277   12.12543   12.23076   12.28342
  序号   171   172   173   174   175   176   177   178   179   180
  输入   5.877459   5.389178   5.005787   4.680266   4.134115   3.870081   3.43967   3.002025   2.672888   2.267795
  输出   12.37558   12.45457   12.50723   12.59939   12.65205   12.70472   12.77054   12.81004   12.8627   12.88903
  序号   181   182   183   184   185   186   187   188   189   190
  输入   1.974826   1.548032   1.063368   0.831887   0.57147   -0.63657   -1.84823   -3.67115   -5.26982   -7.18678
  输出   12.92853   12.98119   12.98119   12.99436   13.03385   13.00752   13.04702   13.03385   13.04702   13.04702
  序号   191   192   193   194   195   196   197   198   199   200
  输入   -9.08203   -10.7964   -12.8906   -14.5942   -16.4605   -17.9905   -19.7085   -21.3252   -22.3307   -23.6256
  输出   13.00752   13.00752   12.9417   12.88903   12.78371   12.70472   12.59939   12.41507   12.27025   12.08594
  序号   201   202   203   204   205   206   207   208   209   210
  输入   -24.66   -25.293   -26.3346   -26.8012   -27.7742   -28.1648   -28.1829   -28.125   -28.0852   -27.8067
  输出   11.86212   11.69097   11.45399   11.29601   11.07219   10.80888   10.54557   10.30859   10.05845   9.900463
  序号   211   212   213   214   215   216   217   218   219   220
  输入   -28.125   -27.2569   -26.5878   -25.4376   -24.3634   -22.9167   -21.394   -20.5548   -18.8368   -16.6522
  输出   9.610822   9.360677   9.071036   8.807726   8.53125   8.254774   8.109954   7.859809   7.570168   7.346354
  序号   221   222   223   224   225   226   227   228   229   230
  输入   -14.7678   -12.5651   -10.4637   -8.0693   -6.29702   -3.94965   -2.27865   -1.24421   -0.18446   0.499132
  输出   7.109375   6.911892   6.688079   6.582754   6.411603   6.227286   6.121962   6.016638   5.963976   5.911314
  序号   231   232   233   234   235   236   237   238   239   240
  输入   1.240596   1.945891   2.452257   3.088831   3.653067   3.880932   4.58261   4.95515   5.414497   5.996817
  输出   5.871817   5.858652   5.83232   5.819155   5.858652   5.83232   5.858652   5.871817   5.871817   5.924479
  序号   241   242   243   244   245   246   247   248   249   250
  输入   6.268084   6.604456   6.77445   7.204861   7.526765   7.642506   8.018663   8.025897   8.098235   8.532263
  输出   5.963976   6.029803   6.0693   6.121962   6.200955   6.253617   6.358941   6.451099   6.503761   6.609086
以上所述，仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种基于QR分解方法的结晶器ARX模型辨识方法，其特征在于，该方法包括：
A、采集输入、输出数据，并以结晶器油缸阀开度u(t)为输入数据，以结晶器位置y(t)为输出数据，采集N对数据样本ZN；
B、构建所述结晶器ARX模型A(q)y(t)＝B(q)u(t)+e(t)；其中：A(q)为第一多项式；B(q)为第二多项式；e(t)为高斯白噪声；
C、设ARX模型待辨识参数为θ、令基于参数θ的模型输出预测值为令辨识过程的目标函数为V(θ，ZN)；
D、构建矩阵YT＝[yT(1+n) … yT(N)]和矩阵其中：n为na、nb中数值大者；N为自然数；
E、再令[Φ Y]＝QR，对矩阵[Φ Y]进行QR分解获得矩阵R；
F、计算出所述ARX模型的待优化参数θ，则求出目标函数V(θ，ZN)。
2.根据权利要求1所述的基于QR分解方法的结晶器ARX模型辨识方法，其特征在于，步骤B所述第一结晶器输出多项式A(q)＝1+a1q-1+a2q-2+…+anaq-na；第二结晶器输出多项式B(q)＝1+b1q-1+b2q-2+…+bnbq-nb；q-1为后向移动算子，q为前向移动算子；na为结晶器输出多项式阶次，nb为结晶器输入多项式阶次。
3.根据权利要求1所述的基于QR分解方法的结晶器ARX模型辨识方法，其特征在于，步骤C所述待辨识参数θ＝[a1 a2 … ana b1 b2 … bnb]；所述基于参数θ的模型输出预测值
Figure FSA00000709297800013
所述辨识过程的目标函数
Figure FSA00000709297800014
其中：
Figure FSA00000709297800015
4.根据权利要求1或3所述的基于QR分解方法的结晶器ARX模型辨识方法，其特征在于，将步骤F所述计算所述ARX模型的待优化参数θ的过程如下：将所述矩阵R的左上角(na+nb)×(na+nb)块矩阵设为R1矩阵，将矩阵R第na+nb+1列中从第1行至na+nb行元素设为矩阵R2，将矩阵R第na+nb+1行第na+nb+1列元素设为矩阵R3；计算矩阵R1的逆矩阵R4，则所述ARX模型待优化参数θ＝R4*R2。
5.根据权利要求4所述的基于QR分解方法的结晶器ARX模型辨识方法，其特征在于，所述目标函数V(θ，ZN)＝R3。
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