CN102692872A - 结晶器离散状态方程辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种结晶器离散状态方程辨识方法，其步骤包括有：(1)采集输入数据u(k)和输出数据y(k)，采集N对数据样本ZN；(2)构建结晶器离散状态方程观测矩阵Q_r；(3)获得结晶器状态矩阵A、C估计值；(4)构建结晶器状态矩阵B、D的线性方程

(5)利用最小二乘法解B、D的线性方程获得B、D的估计值。本发明利用子空间方法对结晶器系统进行离散状态方程辨识，该方法能够获得噪声干扰环境下的结晶器离散状态方程参数无偏估计，便于结晶器跟踪不同的频率、振幅。

Description

结晶器离散状态方程辨识方法

技术领域

本发明有关于钢铁冶金行业中连铸机结晶器控制系统设计，特别是指一种领域结晶器离散状态方程辨识方法。

背景技术

目前，炼钢连铸工艺中的结晶器振动对铸坯脱模及表面质量有着直接、重要的影响，实际应用中在保证振动工艺参数基本稳定的前提下，通过适当地调整频率、振幅等振动基本参数来获得良好的铸坯脱模效果和铸坯表面质量。由于结晶器需要跟踪不同的频率、振幅，为此需要采用基于状态反馈的控制方法才能获得良好的跟踪效果，而状态反馈控制在控制器设计、状态估计等方面必须以结晶器离散状态方程为基础，因此需要对结晶器系统进行离散状态方程辨识，以获得噪声干扰环境下的结晶器离散状态方程参数无偏估计。

发明内容

有鉴于此，本发明的主要目的在于提供一种能够获得噪声干扰环境下的结晶器离散状态方程参数无偏估计的辨识方法。

为达到上述目的，本发明提供一种结晶器离散状态方程辨识方法，其步骤包括有：

(1)采集输入数据u(k)和输出数据y(k)，采集N对数据样本Z^N；

(2)构建结晶器离散状态方程观测矩阵Q_r；

(3)获得结晶器状态矩阵A、C估计值；

(4)构建结晶器状态矩阵B、D的线性方程 $\hat{y}\left(k\right)={\mathrm{CA}}^{k}x\left(0\right)+(\underset{\mathrm{\τ}=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}u{\left(\mathrm{\τ}\right)}^{\′}\⊗{\mathrm{CA}}^{k-\mathrm{\τ}-1})\mathrm{vec}\left(B\right)+u{\left(k\right)}^{\′}\⊗\mathrm{vec}\left(D\right);$

(5)利用最小二乘法解B、D的线性方程获得B、D的估计值。

所述步骤(2)具体包括：

(i)令结晶器噪声干扰条件下的离散状态方程形式为 $\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=\mathrm{Ax}\left(k\right)+\mathrm{Bu}\left(k\right)+w\left(k\right)\\ y\left(k\right)=\mathrm{Cx}\left(k\right)+v\left(k\right)\end{array}\right.,$ 其中x(k)是k时刻的结晶器状态值，u(k)是k时刻的结晶器输入值，y(k)是k时刻的结晶器输出，w(k)是k时刻的过程噪声(白噪声)干扰值，v(k)是k时刻的测量噪声(白噪声)干扰值，令x(k)为n×1列向量，u(k)为m×1维列向量，y(k)为p维向量，w(k)为n×1向量，v(k)为p×1矩阵，则A为n×n矩阵，B为n×m矩阵，C为p×n矩阵；

(ii)令 $Y_r\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}y\left(t\right)\\ y(t+1)\\ .\\ .\\ .\\ y(t+r-1)\end{array}\right],$ $U_r\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}u\left(t\right)\\ u(t+1)\\ .\\ .\\ .\\ u(t+r-1)\end{array}\right],$

其中r为大于零的偶数；

(iii)构建工具变量Π＝I-U′(UU′)^-1U，其中U′表示U的转置矩阵，U＝[U_r(r/2+1) U_r(r/2+2)…U_r(N+1-r)]；

(iv)令 $G=\frac{1}{N-1.5*r+1}\mathrm{Y\Π}{\mathrm{\Φ}}^{\′},$ $W_2={\left(\frac{1}{N-1.5*r+1}\mathrm{\Φ\Π}{\mathrm{\Φ}}^{\′}\right)}^{-1}\mathrm{\Φ},$ 其中

Y＝[Y_r(r/2+1) Y_r(r/2+2)…Y_r(N+1-r)]，

(v)令对进行奇异值分解获得

其中U_g、S、V分别为

进行奇异值分解获得的3个矩阵，取U_g的左边pr×n矩阵作为新矩阵U₂，令O_r＝U₂。

在所述步骤(3)中，矩阵O_r(1：p，1：n)为结晶器离散状态矩阵C，状态矩阵A满足方程O_r(p+1：pr，1：n)＝O_r(1：p(r-1)，1：n)A，解方程即可获得矩阵A。

在所述步骤(4)中，运算符

表示克罗内科乘法运算，“vec”表示将对应矩阵从第2列起，每一列元素接在前一列之后形成一个列向量。

所述步骤(5)具体包括：

(i)令θ＝[x₀(1)…x₀(n) B₁₁…B_nm D₁₁…D_pm]′，则步骤(4)中的结晶器输出y(k)估计值可以表示为线性方程形式其中 $\mathrm{\ψ}\left(k\right)=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{CA}}^{k-1}& \underset{\mathrm{\τ}=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}u{\left(\mathrm{\τ}\right)}^{\′}\⊗{\mathrm{CA}}^{k-\mathrm{\τ}-1}& u{\left(k\right)}^{\′}\⊗I_p\end{array}\right];$

(ii)利用最小二乘法求解步骤(i)中的未知参数θ，获得结晶器离散状态矩阵B、D及状态变量初始值x(0)。

所述输入值u(k)为结晶器油缸阀开度，所述输出值y(k)为结晶器位置。

本发明利用子空间方法对结晶器系统进行离散状态方程辨识，该方法能够获得噪声干扰环境下的结晶器离散状态方程参数无偏估计，便于结晶器跟踪不同的频率、振幅。

附图说明

图1为本发明提出的基于子空间法结晶器离散状态方程辨识方法流程图；

图2为本发明实施例中结晶器输入、输出采样曲线图；

图3为本发明实施例中结晶器输出估计值与实际值之间对比图。

具体实施方式

为便于对本发明的方法及达到的效果有进一步的了解，现结合附图并举较佳实施例详细说明如下。

本发明提出一种基于子空间法的结晶器离散状态方程辨识方法，该方法以结晶器油缸阀开度为输入值u(t)，以结晶器位置为输出值y(t)，利用输入输出数据首先构建结晶器离散状态矩阵A、C，在矩阵A、C基础上再利用最小二乘法估计状态矩阵B、D，从而完成结晶器离散状态矩阵的全部辨识。

如图1所示，为达到上述目的，本发明辨识方法的具体步骤包括：

(1)采集输入输出数据，以结晶器油缸阀开度为输入值u(k)，以结晶器位置为输出值y(k)，采集N对数据样本Z^N；

(2)构建结晶器离散状态方程观测矩阵Q_r，其具体包括：

(i)令结晶器噪声干扰条件下的离散状态方程形式为

其中x(k)是k时刻的结晶器状态值，u(k)是k时刻的结晶器输入值，y(k)是k时刻的结晶器输出，w(k)是k时刻的过程噪声(白噪声)干扰值，v(k)是k时刻的测量噪声(白噪声)干扰值，令x(k)为n×1列向量，u(k)为m×1维列向量，y(k)为p维向量，w(k)为n×1向量，v(k)为p×1矩阵，则A为n×n矩阵，B为n×m矩阵，C为p×n矩阵；

(ii)令 $Y_r\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}y\left(t\right)\\ y(t+1)\\ .\\ .\\ .\\ y(t+r-1)\end{array}\right],$ $U_r\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}u\left(t\right)\\ u(t+1)\\ .\\ .\\ .\\ u(t+r-1)\end{array}\right],$

其中r为大于零的偶数；

(iii)构建工具变量Π＝I-U′(UU′)^-1U，其中U′表示U的转置矩阵，U＝[U_r(r/2+1) U_r(r/2+2)…U_r(N+1-r)]；

(iv)令 $G=\frac{1}{N-1.5*r+1}\mathrm{Y\Π}{\mathrm{\Φ}}^{\′},$ $W_2={\left(\frac{1}{N-1.5*r+1}\mathrm{\Φ\Π}{\mathrm{\Φ}}^{\′}\right)}^{-1}\mathrm{\Φ},$ 其中

Y＝[Y_r(r/2+1) Y_r(r/2+2)…Y_r(N+1-r)]，

(v)令

对

进行奇异值分解获得其中U_g、S、V分别为

进行奇异值分解获得的3个矩阵，取U_g的左边pr×n矩阵作为新矩阵U₂，令O_r＝U₂；

(3)获得结晶器状态矩阵A、C估计值，矩阵O_r(1：p，1：n)为结晶器离散状态矩阵C，状态矩阵A满足方程O_r(p+1：pr，1：n)＝O_r(1：p(r-1)，1：n)A，解方程即可获得矩阵A；

(4)根据步骤(2)中(i)结晶器离散状态方程可知结晶器输出y(k)估计值可以表示为公式 $\hat{y}\left(k\right)={\mathrm{CA}}^{k}x\left(0\right)+(\underset{\mathrm{\τ}=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}u{\left(\mathrm{\τ}\right)}^{\′}\⊗{\mathrm{CA}}^{k-\mathrm{\τ}-1})\mathrm{vec}\left(B\right)+u{\left(k\right)}^{\′}\⊗\mathrm{vec}\left(D\right),$ 其为结晶器状态矩阵B、D的线性方程，其中运算符

表示克罗内科乘法运算，“vec”表示将对应矩阵从第2列起，每一列元素接在前一列之后形成一个列向量；

(5)利用最小二乘法解B、D的线性方程获得B、D的估计值，其具体包括：

(i)令θ＝[x₀(1)…x₀(n) B₁₁…B_nm D₁₁…D_pm]′，则步骤(4)中的结晶器输出y(k)估计值可以表示为线性方程形式

其中 $\mathrm{\ψ}\left(k\right)=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{CA}}^{k-1}& \underset{\mathrm{\τ}=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}u{\left(\mathrm{\τ}\right)}^{\′}\⊗{\mathrm{CA}}^{k-\mathrm{\τ}-1}& u{\left(k\right)}^{\′}\⊗I_p\end{array}\right],$ 其中I_p为p×p单位矩阵；

(ii)利用最小二乘法求解步骤(i)中的未知参数θ，获得结晶器离散状态矩阵B、D及状态变量初始值x(0)；

本发明提出的上述基于子空间方法的结晶器离散状态方程辨识方法，能够获得结晶器噪声干扰环境下的离散状态方程各状态矩阵的无偏估计，较其他辨识结晶器脉冲传递函数形式的方法能够更加直接获得离散状态方程，减少了传递函数进行状态方程转换的过程，特别适合工程应用中的需要。

下面以具体实例介绍本发明的辨识方法：

某钢厂一板坯连铸机结晶器输入输出数据采样曲线如附图2所示，从附图2中可知结晶器输出受到噪声干扰较强，因此采用基于本发明提出的基于子空间法的结晶器离散状态方程能够获得噪声干扰下的状态矩阵无偏估计。

若取结晶器为3阶系统，则状态向量为3×1形式，按照步骤(1)-(3)可得状态矩阵估计值为

$\hat{A}=\left[\begin{array}{ccc}1.002510056139960& 0.017724540053033& -0.016276181973757\\ -0.005249488118963& 1.009025252522062& 0.032496645738692\\ 0.002384070395678& -0.066772366022720& -0.976781942101993\end{array}\right],$

$\hat{C}=\left[\begin{array}{ccc}-0.072236029347446& -0.163152929191430& -0.183215116531872\end{array}\right].$

在矩阵A、C基础上，再按照步骤(4)-(5)可得矩阵B、D、x(0)估计值为

$\hat{B}=\left[\begin{array}{c}-0.119673275225718\\ 0.040337588089017\\ -0.045675162035200\end{array}\right],$ $\hat{D}=[-0.083419947468527],$ $x\left(0\right)=\left[\begin{array}{c}-69.493336137890083\\ 1.841285256631480\\ -23.355843467825792\end{array}\right].$

在获得状态矩阵估计值基础上，利用步骤(4)中的结晶器输出估计值公式可得结晶器在如附图2所示的噪声干扰下的估计值，对应的结晶器输出估计值曲线如附图3所示。从附图3中可以明显发现，结晶器输出估计值

具有非常平滑的曲线，与测量得到的输出值相比具有非常好的滤波效果，另外，估计值也没有明显的滞后现象，证明了本发明提出的基于子空间结晶器离散状态方程辨识方法能够获得噪声干扰环境下的结晶器状态矩阵无偏估计。

以上所述，仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种结晶器离散状态方程辨识方法，其特征在于，其步骤包括有：

(1)采集输入数据u(k)和输出数据y(k)，采集N对数据样本Z^N；

(2)构建结晶器离散状态方程观测矩阵Q_r；

(3)获得结晶器状态矩阵A、C估计值；

(4)构建结晶器状态矩阵B、D的线性方程

$\hat{y}\left(k\right)={\mathrm{CA}}^{k}x\left(0\right)+(\underset{\mathrm{\τ}=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}u{\left(\mathrm{\τ}\right)}^{\′}\⊗{\mathrm{CA}}^{k-\mathrm{\τ}-1})\mathrm{vec}\left(B\right)+u{\left(k\right)}^{\′}\⊗\mathrm{vec}\left(D\right);$

(5)利用最小二乘法解B、D的线性方程获得B、D的估计值。

2.如权利要求1所述的结晶器离散状态方程辨识方法，其特征在于，所述步骤(2)具体包括：

(i)令结晶器噪声干扰条件下的离散状态方程形式为 $\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=\mathrm{Ax}\left(k\right)+\mathrm{Bu}\left(k\right)+w\left(k\right)\\ y\left(k\right)=\mathrm{Cx}\left(k\right)+v\left(k\right)\end{array}\right.,$ 其中x(k)是k时刻的结晶器状态值，u(k)是k时刻的结晶器输入值，y(k)是k时刻的结晶器输出，w(k)是k时刻的过程噪声(白噪声)干扰值，v(k)是k时刻的测量噪声(白噪声)干扰值，令x(k)为n×1列向量，u(k)为m×1维列向量，y(k)为p维向量，w(k)为n×1向量，v(k)为p×1矩阵，则A为n×n矩阵，B为n×m矩阵，C为p×n矩阵；

(ii)令 $Y_r\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}y\left(t\right)\\ y(t+1)\\ .\\ .\\ .\\ y(t+r-1)\end{array}\right],$ $U_r\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}u\left(t\right)\\ u(t+1)\\ .\\ .\\ .\\ u(t+r-1)\end{array}\right],$ 其中r为大于零的偶数；

(iii)构建工具变量Π＝I-U′(UU′)^-1U，其中U′表示U的转置矩阵，U＝[U_r(r/2+1)U_r(r/2+2)…U_r(N+1-r)]；

(iv)令 $G=\frac{1}{N-1.5*r+1}\mathrm{Y\Π}{\mathrm{\Φ}}^{\′},$ $W_2={\left(\frac{1}{N-1.5*r+1}\mathrm{\Φ\Π}{\mathrm{\Φ}}^{\′}\right)}^{-1}\mathrm{\Φ},$ 其中

Y＝[Y_r(r/2+1) Y_r(r/2+2)…Y_r(N+1-r)]，

(v)令对进行奇异值分解获得

其中U_g、S、V分别为

进行奇异值分解获得的3个矩阵，取U_g的左边pr×n矩阵作为新矩阵U₂，令O_r＝U₂。

3.如权利要求2所述的结晶器离散状态方程辨识方法，其特征在于，在所述步骤(3)中，矩阵O_r(1：p，1：n)为结晶器离散状态矩阵C，状态矩阵A满足方程O_r(p+1：pr，1：n)＝O_r(1：p(r-1)，1：n)A，解方程即可获得矩阵A。

4.如权利要求2所述的结晶器离散状态方程辨识方法，其特征在于，在所述步骤(4)中，运算符表示克罗内科乘法运算，“vec”表示将对应矩阵从第2列起，每一列元素接在前一列之后形成一个列向量。

5.如权利要求4所述的结晶器离散状态方程辨识方法，其特征在于，所述步骤(5)具体包括：

(i)令θ＝[x₀(1)…x₀(n) B₁₁…B_nm D₁₁…D_pm]′，则步骤(4)中的结晶器输出y(k)估计值可以表示为线性方程形式

其中

$\mathrm{\ψ}\left(k\right)=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{CA}}^{k-1}& \underset{\mathrm{\τ}=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}u{\left(\mathrm{\τ}\right)}^{\′}\⊗{\mathrm{CA}}^{k-\mathrm{\τ}-1}& u{\left(k\right)}^{\′}\⊗I_p\end{array}\right];$

(ii)利用最小二乘法求解步骤(i)中的未知参数θ，获得结晶器离散状态矩阵B、D及状态变量初始值x(0)。

6.如权利要求1所述的结晶器离散状态方程辨识方法，其特征在于，所述输入值u(k)为结晶器油缸阀开度，所述输出值y(k)为结晶器位置。

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