CN102554779B - 可变成型点直线包络外廓形线为凸函数回转件的加工方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种可变成型点直线包络外廓形线为凸函数回转件的加工方法，其特点在于，确定砂轮外圆面在下一个加工位置处与工件外廓形线上刀触点重合的成型点不同于砂轮外圆面在第一个加工位置处的成型点A，A与A′间的距离为e，e＝v*t，v为砂轮磨损速率，t为加工已用时间。本发明在加工过程中根据加工时间和切削量变化逐渐不等速地改变砂轮上的成型点，时刻保证了砂轮外圆面上成型点的精度，增加了砂轮外圆面一次加工的表面使用率。相比以前的加工方法，不仅保证了加工效率，更提高了加工精度。

Description

可变成型点直线包络外廓形线为凸函数回转件的加工方法

技术领域

本发明涉及一种机械加工方法，具体涉及一种采用平行砂轮直线包络磨削加工外廓形线为凸函数回转件，且加工中砂轮成型点逐渐不等速变化的加工方法。

背景技术

随着科学技术的进步，工程陶瓷、光学玻璃等硬脆材料已广泛应用于航空航天、生物科技、光学工程等领域。由于其高硬度、高精度要求等原因，使得它们的加工十分困难。现在应用的主要加工方法是利用砂轮的刀尖轨迹来磨削成型和最近出现的缓进给端面磨削外廓形线为凸函数回转件的加工方法。这两种方法都可以通过控制两条刀具轨迹间的距离来控制加工的精度和表面质量。而且第二种新型方法解决了第一种方法的低效率问题，但是由于在加工过程中，砂轮成型点不变，砂轮磨损严重，砂轮端面上成型点磨损后已无法保证加工精度，使得整体的加工精度受到影响。

发明内容

本发明为解决公知技术中存在的技术问题而提供一种可变成型点直线包络外廓形线为凸函数回转件的加工方法，该方法使用平行砂轮的外圆面进行磨削，并通过不断改变平行砂轮上的成型点来补偿由于成型点磨损造成的误差，保证磨削效率的同时，提高了磨削精度。

本发明为解决公知技术中存在的技术问题所采取的技术方案是：一种可变成型点直线包络外廓形线为凸函数回转件的加工方法，包括以下步骤：

一）工件装卡

将工件装卡在三轴联动数控机床上，将平行砂轮装在该三轴联动数控机床的刀架上，测得刀架回转中心Q₁到平行砂轮下端面的距离b和刀架回转中心Q₁到平行砂轮外圆面的距离L；

二）确定平行砂轮外圆面在第一个加工位置处的成型点A的位置

调整平行砂轮回转中心轴线，使其与X轴平行，沿X轴移动平行砂轮使其外圆面切于工件顶点P₁处，将工件顶点P₁作为工件外廓形线上的第一个刀触点，平行砂轮外圆面上与工件顶点相重合的点即为平行砂轮外圆面在第一个加工位置处的成型点A，测得A点到平行砂轮下端面线的距离a；

三）基于等残留高度确定工件外廓形线上下一个刀触点的坐标

第二个刀触点坐标(P_2z,P_2x)满足以下公式：

$h=\frac{l(1-\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2})}{\sin \mathrm{\θ}}$

$l=\sqrt{{(p_{2z}-p_{1z})}^2+{(p_{2x}-p_{1x})}^2}$

$\mathrm{\θ}=\mathrm{ar}\cos \frac{\stackrel{\→}{n_1}\·\stackrel{\→}{n_2}}{\left|\stackrel{\→}{n_1}\right|\left|\stackrel{\→}{n_2}\right|}$

其中，h为等残留高度值，l是相邻两个刀触点间的距离，θ是外廓形线函数x=f(z)在相邻的第一刀触点(P_1z P_1x)和第二刀触点(P_2z,P_2x)处的法向量的夹角，和

是刀触点(P_1z P_1x)和(P_2z,P_2x)处的法向量；

基于以上三个公式，可以求解得出基于等残留高度的下一个刀触点的坐标(P_2z,P_2x)，以及该刀触点处的切线与Z轴夹角θ₂；

四）求出从第一加工位置变换到第二加工位置平行砂轮回转中心轴线需要转过的角度β₁

β₁＝θ₁-θ₂

其中，θ₁为工件外廓形线第一刀触点P1点处切线与Z轴的夹角，θ₂为工件外廓形线第二刀触点P₂点处切线与Z轴的夹角；

五）确定平行砂轮外圆面在第二个加工位置处与工件外廓形线上第二个刀触点P₂重合的成型点，并使该成型点是不同于A的A＇，A与A＇间的距离为e，e＝v*t，v为平行砂轮磨损速率，t为加工已用时间；

六）求解成型点A在第二加工位置处的坐标(A_2Z,A_2X)

$A_{2z}=p_{2z}+(\±\frac{2}{\sqrt{1+f^{\′2}\left(z\right)}})$

$A_{2x}=p_{2x}+(\±\frac{f^{\′}\left(z\right)e}{\sqrt{1+f^{\′2}\left(z\right)}})$

其中，f′(z)是工件外廓形线表达式在第二刀触点的一阶导数；

七）确定刀架回转中心在第二个加工位置处的坐标值

利用下面的刚度位移矩阵求得刀架回转中心在第二个加工位置处的坐标值Q₂（Q_2Z,Q_2X）：

$\left[\begin{array}{c}{Q}_{2z}\\ Q_{2x}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})& -\sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})& (A_{2z}-p_{1z}\cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})+p_{1x}\sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2}))\\ \sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})& \cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})& (A_{2x}-p_{1z}\sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})-p_{1x}\cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2}))\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_{1x}+L\\ p_{1x}+b-a\\ 1\end{array}\right]$

其中，点（P_1z P_1x）为工件外廓形线的顶点坐标；（Q_2Z,Q_2X）为相对于工件外廓形线上第2个刀触点(P_2z,P_2x)的机床刀架回转中心坐标；（A_z,A_x）为平行砂轮上A点在与第2个刀触点(P_2z,P_2x)对应的加工位置处的坐标；

通过上面的计算获得刀架回转中心在第二个加工位置处的坐标值（Q_2Z,Q_2X）和平行砂轮回转轴线需要转过的角度β₁＝θ₁-θ₂，驱动刀架，使其回转中心运行至（Q_2Z,Q_2X），并转过角度β₁＝θ₁-θ₂，平行砂轮即可在第二个加工位置处完成磨削加工；

八）重复步骤三）～七），直至完成工件外廓形线的全部加工。

本发明具有的优点和积极效果是：在加工过程中根据加工时间和切削量变化逐渐不等速地改变平行砂轮上的成型点，时刻保证了平行砂轮外圆面上成型点的精度，增加了平行砂轮表面一次加工的表面使用率。当加工中逐渐改变平行砂轮外圆面上成型点时候，能够保证成型点处实际切削转速不变，改善了工件表面质量。相比以前的加工方法，不仅保证了加工效率，更提高了加工精度。

附图说明

图1为采用本发明实际加工的示意图；

图2为本发明的原理分析图；

图3为本发明的公式推导图。

具体实施方式

为能进一步了解本发明的发明内容、特点及功效，兹例举以下实施例，并配合附图详细说明如下：

请参阅图1，被加工工件的外廓形线方程为z=-3-x²，所要达到的加工残留高度h=0.005mm，采用可变成型点外圆面磨削外廓形线，包括以下步骤：

一）工件装卡

将工件装卡在三轴联动数控机床上，将平行砂轮装在该三轴联动数控机床的刀架上，测得刀架回转中心Q1到平行砂轮下端面的距离b和刀架回转中心Q1到平行砂轮外圆面的距离L。

二）确定平行砂轮外圆面在第一个加工位置处的成型点A的位置

调整平行砂轮回转中心轴线，使其与X轴平行，沿X轴移动平行砂轮使其外圆面切于工件顶点P₁处，将工件顶点P₁作为工件外廓形线上的第一个刀触点，平行砂轮外圆面上与工件顶点相重合的点即为平行砂轮外圆面在第一个加工位置处的成型点A，测得A点到平行砂轮下端面的距离a，即确定了平行砂轮外圆面在第一个加工位置处成型点的位置。

三）确定工件外廓形线上第二个刀触点P₂的坐标

已知P₁坐标为（-3，0），工件的外廓形线方程为z=-3-x²，所要达到的加工残留高度h=0.005mm，则第二个刀触点坐标(P_2z,P_2x)满足公式：

$h=\frac{l(1-\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2})}{\sin \mathrm{\θ}}$

恒成立，其中：

$l=\sqrt{{(p_{2z}-p_{1z})}^2+{(p_{2x}-p_{1x})}^2}$

$\mathrm{\θ}=\mathrm{ar}\cos \frac{\stackrel{\→}{n_1}\·\stackrel{\→}{n_2}}{\left|\stackrel{\→}{n_1}\right|\left|\stackrel{\→}{n_2}\right|}$

上式中，P_1z，P_1x是工件外廓形线上第一个刀触点的坐标，

和

是工件外廓形线上第一个刀触点(P_1z，P_1x)和第二个刀触点(P_2z,P_2x)处的法向量。

通过上面三个方程的联立编程求解，得到工件外廓形线的第二个刀触点坐标为P₂（-3.04，-0.2）。

四）求出从第一加工位置变换到第二加工位置平行砂轮回转中心轴线需要转过的角度β₁

已知工件外廓形线在P₁点处切线与Z轴夹角

已知P₂处坐标P₂（-3.04，-0.2），利用普通几何公式求出工件外廓形线在P₂点处切线与Z轴夹角θ₂＝1.3734，则平行砂轮回转中心轴线需要转过的角 ${\mathrm{\β}}_1={\mathrm{\θ}}_1-{\mathrm{\θ}}_2=\frac{\mathrm{\π}}{2}-1.3734=0.1974.$

五）确定平行砂轮外圆面在第二个加工位置处与工件外廓形线上第二个刀触点P₂重合的成型点，并使该成型点是不同于A的A＇，A与A＇间的距离为e，e＝v*t，v为平行砂轮磨损速率，t为加工已用时间。

六）求解成型点A在第二加工位置处的坐标(A_2Z,A_2X)

假设平行砂轮磨损速率v＝0.01mm/s，完成第一加工位置处的加工已用时间为10s，则e＝0.01*t＝0.1。带入公式：

$A_{2z}=p_{2z}+(\±\frac{e}{\sqrt{1+f^{\′2}\left(z\right)}})$

$A_{2x}=p_{2x}+(\±\frac{f^{\′}\left(z\right)e}{\sqrt{1+f^{\′2}\left(z\right)}})$

式中f′(z)是工件外廓形线表达式在第二刀触点的一阶导数。

求得：成型点A在第二个加工位置处的坐标为（-3.083，-0.293）。

七）确定刀架回转中心在第二个加工位置处的坐标值

已知A在第二个加工位置处的坐标为（-3.083，-0.293），利用下面的刚度位移矩阵求得刀架回转中心在第二个加工位置处的坐标值Q₂（Q_2Z,Q_2X）：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{Q}_{2z}\\ Q_{2x}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{co\; s}({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})& -\sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})& (A_{2z}-p_{1z}\cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})+p_{1x}\sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2}))\\ \sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})& \cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})& (A_{2x}-p_{1z}\sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})-p_{1x}\cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2}))\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_{1x}+L\\ p_{1x}+b-a\\ 1\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}\cos (1.3734-\frac{\mathrm{\π}}{2})& -\mathrm{si\; n}(1.3734-\frac{\mathrm{\π}}{2})& (-3.083-(-3)\cos (1.3734-\frac{\mathrm{\π}}{2})+0\sin (1.374-\frac{\mathrm{\π}}{2}))\\ \sin (1.374-\frac{\mathrm{\π}}{2})& \cos (1.3734-\frac{\mathrm{\π}}{2})& (-0.293-(-3)\sin (1.374-\frac{\mathrm{\π}}{2})-0\cos (1.374-\frac{\mathrm{\π}}{2}))\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-3+L\\ 0+b-a\\ 1\end{array}\right]\end{array}$

$\left[\begin{array}{c}-3.083+0.9806L+0.1961(b-a)\\ -0.2924-0.1961L+0.9806(b-a)\\ 1\end{array}\right]$

其中L，a，b是已知参数，开始已经获得，通过数控机床界面输入。

通过上面的计算已经获得了刀架回转中心在第二个加工位置处的坐标值（-3.083+0.9806L+0.1961(b-a)，-0.2924-0.1961L+0.9806(b-a)）和平行砂轮回转轴线需要转过的角度

驱动刀架，使其回转中心运行至（Q_2Z,Q_2X），并转过角度β₁＝θ₁-θ₂，平行砂轮即在第二个加工位置处完成磨削加工。

八）重复步骤三）～七），求得刀架回转中心在第三个加工位置处的坐标值以及其从第二个加工位置处转到第三个加工位置处需要转过的角度，从而完成第三个加工位置处工件的磨削加工。以此类推，即可求得整个加工过程中需要的刀架回转中心的坐标值，和加工中平行砂轮回转中心不断旋转所需要的角度值，从而完成工件外廓形线的全部加工。

上述采用可变成型点直线包络外廓形线为凸函数回转件的加工方法，是对现有缓进给端面磨削加工外廓形线为凸函数回转件方法的一种改进，是利用平行砂轮直线包络来完成外廓形线为凸函数回转体的磨削加工。就是先选定平行砂轮外圆面上的某一点（根据实际工件形状选择）作为成型点，通过调整平行砂轮回转轴线的角度使得平行砂轮外圆面始终与回转件外廓形线相切于平行砂轮成型点，而且最重要的是，在加工中平行砂轮上的成型点随着加工时间和切削量变化逐渐不等速的改变，始终保证成型点为平行砂轮外圆面上未磨损点，最终由平行砂轮外圆面包络出工件外形。

请参见图2～图3，图2为本发明的原理分析图，图2示出了平行砂轮回转轴线的转角及机床刀架回转中心的坐标可以通过如下步骤进行调整：1）将回转工件安装在三轴联动机床上，将平行砂轮安装在如图2所示的能够在X轴和Z轴方向上平动并且能够在X轴和Z轴形成的平面内转动的机床刀架上，然后在工件顶点P₁处对刀确定平行砂轮外圆面在第一个加工位置处的成型点A；该机床可以在现有机床上改装制得；2）工件外廓形线的顶点P₁为第一个刀接触点的坐标，然后计算基于等残留高度(残留高度是指：两条相邻刀具轨迹间残留区域到理想工件表面的最大距离)的下一个刀触点P_j的坐标，以及下一刀触点P_j处工件外廓形线切线与Z轴的夹角θ_j；3）使平行砂轮外圆面上与P_j重合的成型点是不同于A的A＇，A与A＇间的距离为e，e＝v*t，v为平行砂轮磨损速率，t为加工已用时间；4）求出成型点A在对应下一个刀触点P_j加工位置处的坐标；5）利用刚体位移矩阵建立的数学模型，将计算得到的成型点A在对应刀触点P_j加工位置处的坐标转变为机床刀架回转中心的运动坐标，同时机床刀架回转中心需要转过的角度β_i由上一个刀触点处的切线与Z轴夹角和相邻的下一个刀触点处的切线与Z轴夹角之差求得。

上述步骤2）中计算基于等残留高度的下一个刀触点的坐标，以及该刀触点处的切线与Z轴夹角的方法如下：

对于任意的回转工件外廓形线函数x=f(z)，已知第一个刀触点(P_1z P_1x)和所要求达到的等残留高度值h，求下一个刀触点坐标(P_2z,P_2x)，(P_2z,P_2x)满足公式：

$h=\frac{l(1-\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2})}{\sin \mathrm{\θ}}$

恒成立，其中h为等残留高度值，l是相邻两个刀触点间的距离，可由下式求

$l=\sqrt{{(p_{2z}-p_{1z})}^2+{(p_{2x}-p_{1x})}^2}$

式中θ是外廓形线函数x=f(z)在相邻刀触点(P_1z P_1x)和(P_2z,P_2x)处的法向量的夹角，

$\mathrm{\θ}=\mathrm{ar}\cos \frac{\stackrel{\→}{n_1}\·\stackrel{\→}{n_2}}{\left|\stackrel{\→}{n_1}\right|\left|\stackrel{\→}{n_2}\right|}$

其中

和

是刀触点(P_1z P_1x)和(P_2z,P_2x)处的法向量。

基于以上三个方程，可以得出基于等残留高度的下一个刀触点的坐标(P_2z,P_2x)，以及该刀触点处的切线与Z轴夹角θ₂。然后再利用求出的刀触点(P_2z,P_2x)按上述三个公式求得下一个刀触点(P_3z,P_3x)。以及这个刀触点处的切线与Z轴夹角θ₃。

上述步骤4）中平行砂轮在第一加工位置处的成型点A在对应刀触点P_j处加工位置的

坐标(A_z,A_x)由下面的公式求得：

$A_x=p_{\mathrm{jx}}+(\±\frac{f^{\′}\left(z\right)e}{\sqrt{1+f^{\′2}\left(z\right)}})$

式中(P_jz,P_jx)是工件外廓形线上的刀触点坐标，f′(z)是工件外廓形线表达式在该刀触点的一阶导数，e是平行砂轮在第一加工位置处的成型点A与对应该刀触点（即点（P_jzP_jx）加工位置处的平行砂轮外圆面成型点A＇间的距离，由公式e＝v*t求得。其中v是平行砂轮加工面磨损速率，根据加工工件材料和某时刻的磨削量确定，在实际加工中，根据实际情况不同时段赋予不同的值；t是指已用加工时间。

上述步骤5）中的刚体位移矩阵建立的数学模型如下：

$\left[\begin{array}{c}{Q}_{\mathrm{jz}}\\ Q_{\mathrm{jx}}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\mathrm{\θ}}_j-\frac{\mathrm{\π}}{2})& -\sin ({\mathrm{\θ}}_j-\frac{\mathrm{\π}}{2})& (A_{2z}-p_{1z}\cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})+p_{1x}\sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2}))\\ \sin ({\mathrm{\θ}}_j-\frac{\mathrm{\π}}{2})& \cos ({\mathrm{\θ}}_j-\frac{\mathrm{\π}}{2})& (A_{2x}-p_{1z}\sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})-p_{1x}\cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2}))\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_{1z}+L\\ p_{1x}+b-a\\ 1\end{array}\right]$

其中点（P_1z P_1x）为工件外廓形线的顶点坐标；（Q_jz Q_jx）为相对于工件外廓形线上第j个刀触点（P_jz P_jx）的机床刀架回转中心坐标；（A_z A_x）为平行砂轮上A点在与第j个刀触点（P_jz P_jx）对应的加工位置处的坐标；θ_j为工件外廓形线在刀触点（P_jz P_jx）处切线与Z轴夹角；L，a,b是确定参数，可通过数控机床界面输入，在刀具的每次走刀中是确定不变的。

尽管上面结合附图对本发明的优选实施例进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，并不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，还可以作出很多形式，这些均属于本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种可变成型点直线包络外廓形线为凸函数回转件的加工方法，其特征在于，包括以下步骤：

一）工件装卡

将工件装卡在三轴联动数控机床上，将平行砂轮装在该三轴联动数控机床的刀架上，测得刀架回转中心Q₁到平行砂轮下端面的距离b和刀架回转中心Q₁到平行砂轮外圆面的距离L；

二）确定平行砂轮外圆面在第一个加工位置处的成型点A的位置

调整平行砂轮回转中心轴线，使其与X轴平行，沿X轴移动平行砂轮使其外圆面切于工件顶点P₁处，将工件顶点P₁作为工件外廓形线上的第一个刀触点，平行砂轮外圆面上与工件顶点相重合的点即为平行砂轮外圆面在第一个加工位置处的成型点A，测得A点到平行砂轮下端面线的距离a；

三）基于等残留高度确定工件外廓形线上下一个刀触点的坐标

第二个刀触点坐标(P_2z,P_2x)满足以下公式：

$h=\frac{l(1-\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2})}{\sin \mathrm{\θ}}$

$l=\sqrt{{(p_{2z}-p_{1z})}^2+{(p_{2x}-p_{1x})}^2}$

$\mathrm{\θ}=\mathrm{ar}\cos \frac{\stackrel{\→}{n_1}\·\stackrel{\→}{n_2}}{\left|\stackrel{\→}{n_1}\right|\left|\stackrel{\→}{n_2}\right|}$

其中，h为等残留高度值，l是相邻两个刀触点间的距离，θ是外廓形线函数x=f(z)在相邻的第一刀触点(P_1z P_1x)和第二刀触点(P_2z,P_2x)处的法向量的夹角，

和

是刀触点(P_1z P_1x)和(P_2z,P_2x)处的法向量；

基于以上三个公式，可以求解得出基于等残留高度的下一个刀触点的坐标(P_2z,P_2x)，以及该刀触点处的切线与Z轴夹角θ₂；

四）求出从第一加工位置变换到第二加工位置平行砂轮回转中心轴线需要转过的角度β₁

β₁＝θ₁-θ₂

其中，θ₁为工件外廓形线第一刀触点P₁点处切线与Z轴的夹角，θ₂为工件外廓形线第二刀触点P₂点处切线与Z轴的夹角；

五）确定平行砂轮外圆面在第二个加工位置处与工件外廓形线上第二个刀触点P₂重合的成型点，并使该成型点是不同于A的A＇，A与A＇间的距离为e，e＝v*t，v为平行砂轮磨损速率，t为加工已用时间；

六）求解成型点A在第二加工位置处的坐标(A_2Z,A_2X)

$A_{2z}=p_{2z}+(\±\frac{e}{\sqrt{1+f^{\′2}\left(z\right)}})$

$A_{2x}=p_{2x}+(\±\frac{f^{\′}\left(z\right)e}{\sqrt{1+f^{\′2}\left(z\right)}})$

其中，f′(z)是工件外廓形线表达式在第二刀触点的一阶导数；

七）确定刀架回转中心在第二个加工位置处的坐标值

利用下面的刚度位移矩阵求得刀架回转中心在第二个加工位置处的坐标值Q₂（Q_2Z,Q_2X）：

$\left[\begin{array}{c}{Q}_{2z}\\ Q_{2x}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})& -\sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})& (A_{2z}-p_{1z}\cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})+p_{1x}\sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2}))\\ \sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})& \cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})& (A_{2x}-p_{1z}\sin ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2})-p_{1x}\cos ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{\mathrm{\π}}{2}))\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_{1x}+L\\ p_{1x}+b-a\\ 1\end{array}\right]$

其中，点（P_1z P_1x）为工件外廓形线的顶点坐标；（Q_2Z,Q_2X）为相对于工件外廓形线上第2个刀触点(P_2z,P_2x)的机床刀架回转中心坐标；（A_2z,A_2x）为平行砂轮上A点在与第2个刀触点(P_2z,P_2x)对应的加工位置处的坐标；

通过上面的计算获得刀架回转中心在第二个加工位置处的坐标值（Q_2Z,Q_2X）和平行砂轮回转轴线需要转过的角度β₁＝θ₁-θ₂，驱动刀架，使其回转中心运行至（Q_2Z,Q_2X），并转过角度β₁＝θ₁-θ₂，平行砂轮即可在第二个加工位置处完成磨削加工；

八）重复步骤三）～七），直至完成工件外廓形线的全部加工。

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