CN102385316B - 一种基于神经网络反步法的欠驱动自主水下航行器变深控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于神经网络反步法的欠驱动自主水下航行器变深控制方法，涉及欠驱动自主水下航行器的控制技术领域。所述的变深控制方法为：首先通过压力传感器采集压力信息，并根据该压力信息计算获得对应的自主水下航行器AUV所在的深度；然后建立欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型和鲁棒变深控制器模型，根据海流环境以及AUV水动力参数建立欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型，采用基于反馈增益的反步法设计鲁棒变深控制器模型；最后获得基于神经网络权重的在线学习算法和自适应鲁棒控制器参数的自适应规律，对获得的数学模型中存在的不确定性进行在线识别及误差估计，并给予补偿、优化最终控制器的输出信号，然后采用该控制器实现欠驱动自主水下航行器AUV的变深控制。

Description

一种基于神经网络反步法的欠驱动自主水下航行器变深控制方法

技术领域

本发明涉及欠驱动自主水下航行器的控制技术领域。

背景技术

海底地形的勘探和测绘对深海资源的开发有着重要的意义，欠驱动自主水下航行器AUV(Autonomous Underwater Vehicle)具有良好的机动性和续航能力，在海底地形、地貌的测绘中扮演着重要的角色，由于欠驱动自主水下航行器AUV的执行机构通常配置为尾部轴向推进器、尾部方向舵和尾部升降舵，在垂向方向上无直接驱动机构(如推进器)，仅通过尾部升降舵在自主水下航行器AUV具有一定的航速下产生的附加力和力矩能够实现深度控制，在地形测绘时自主水下航行器AUV携带的多波束侧扫声纳传感器对距海底的高度有一定要求，这就使得欠驱动自主水下航行器AUV的变深航行控制研究更具有实际意义。同时随着自主水下航行器AUV的工作深度的增加，复杂的海洋环境和外界海流的干扰对自主水下航行器AUV的深度控制器设计提出了更高的要求。

目前，国内外对于欠驱动自主水下航行器AUV变深控制的研究大多采用基于线性模型的控制方法，例如滑模控制、增益调度、最优控制，根据不同的工作点对模型进行线性化处理，设计一系列的控制器，仅能保证在工作点邻域内系统的局部稳定性，同时由于忽略模型不确定性的存在，因此无法保证系统的全局渐近稳定性。由于自主水下航行器AUV的数学模型无法精确获得，汪伟等在文献《AUV深度的模糊神经网络滑模控制》(机器人，2003，第25卷第3期)中提出利用模糊神经网络对滑模控制器的增益进行在线调整。唐旭东等在文献《一种水下机器人运动的过程神经元控制》(控制理论与应用，2009，第26卷第4期)中针对水下机器人受到时变的非线性流体动力和海流的干扰作用，提出了基于S模型的过程神经元控制方法，以上方法由于采用梯度法设计自适应规律，因此无法保证参数收敛速度和系统的全局稳定性。为了实现对模型中的不确定非线性项进行在线补偿，俞建成等分别在文献《水下机器人的神经网络自适应控制》(控制理论与应用，2008，第25卷第1期)和《基于模糊神经网络水下机器人直接自适应控制》(自动化学报，2007，第33卷第8期)中提出了神经网络直接自适应控制方法和基于模糊神经网络的自适应控制方法，结合李亚普诺夫稳定性理论证明了存在有界扰动和逼近误差条件下，系统的一致最终有界。以上方法不足之处为均要假设估计误差或不确定性的上界为已知的常值，导致控制器产生不必要的增益较高的控制信号。为实现对模型中不确定性的在线估计，优化控制器输出信号，Li等在文献《A neural network adaptive controller design for free-pitch-angle divingbehavior of an autonomous underwater vehicle》(Robotics and Autonomous Systems，2005，第52卷第2期)中提出了基于神经网络的自适应深度控制方法，利用神经网络对非线性函数的逼近特性，能够实现对有界扰动和未建模动态进行在线补偿，但由于采用传统的反步法设计控制器，导致迭代过程中存在虚拟控制量的高阶导数，使得控制器形式过于复杂。以上提出的深度控制器均未讨论不同初始纵倾角下的深度控制效果，无法满足实际工程中的多工况应用需求。

目前已经受专利保护或已提出申请的欠驱动自主水下航行器的控制方法，如中国专利局在2006年1月11日公开的(申请号：200510010117.9)“浮游式水下机器人运动的S面控制方法”，为针对一类具有六个自由度的全驱动遥控式水下机器人的S面控制方法，不同于本发明方法针对欠驱动自主水下航行器的设计目的；已申请的(申请号：201010173012.6)“无人潜航器垂直面欠驱动运动控制方法”为基于自适应神经模糊推理系统的自抗扰控制方法，虽然采用神经模糊推理系统对模型的不确定性进行在线辨识，但是由于采用梯度法对参数进行估计，无法保证参数的全局收敛性和系统的渐进稳定性，且本发明的控制方法的选取与其存在极大不同，使得本发明更加符合工程应用。

发明内容

本发明设计了一种基于神经网络反步法的欠驱动自主水下航行器变深控制方法。

本发明所述的变深控制方法的过程为：

步骤1.通过压力传感器采集压力信息，并根据该压力信息计算获得对应的自主水下航行器AUV所在的深度；

步骤2.建立欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型和鲁棒变深控制器模型；

根据海流环境以及AUV水动力参数，建立欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型，采用基于反馈增益的反步法设计鲁棒变深控制器模型；

步骤3.获得基于神经网络权重的在线学习算法和自适应鲁棒控制器参数的自适应规律，对步骤2获得的数学模型中存在的不确定性进行在线识别及误差估计，并给予补偿、优化最终控制器的输出信号，然后采用该控制器实现欠驱动自主水下航行器AUV的变深控制。

步骤3的具体过程为：

首先，对获得的欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型中存在的不确定性进行在线辨识，并通过反馈回路对不确定性进行补偿，通过李亚普诺夫稳定性理论设计神经网络权重的学习律，保证参数具有李亚普诺夫意义下的全局收敛性；所述不确定性包含未建模动态和由于海流作用引起的参数不确定性。

然后，针对欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型，设计自适应鲁棒控制器模型对神经网络的估计误差进行在线估计，并通过反馈回路予以补偿，优化最终控制器的输出信号，所述最终控制器的表达形式为：

${\mathrm{\δ}}_s={-k}_{1}q-k_2\mathrm{\θ}-k_3{z}_e-\frac{1}{b_s}(m_q{c}_1{c}_{2}u\sin \mathrm{\θ}+{\hat{W}}^T\mathrm{\Φ}\left(x\right)+\widehat{\mathrm{\ϵ}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\σ}}\right))---\left(43\right)$

式中：δ_s表示自主水下航行器AUV的水平升降舵舵角，单位是弧度，q表示自主水下航行器AUV的纵倾角速度，q_e表示纵倾角速度误差，θ表示自主水下航行器AUV的纵倾角，z_e表示跟踪误差，b_s表示舵效系数，

表示神经网络权值的估计值，Φ(x)为径向基神经网络的高斯基函数，

表示神经网络逼近误差的估计值，σ为常数，u表示自主水下航行器AUV的纵向速度。

通过李亚普诺夫稳定性理论设计估计误差的自适应律，保证系统闭环信号的一致渐进有界。

本发明所述的方法利用自主水下航行器搭载的多波束测距声纳和压力传感器的测量数据，设计的一种欠驱动航行器的变深控制方法，进而实现对海底地形的定高跟踪。

本发明相对现有技术具有如下的优点及效果：

1.基于反馈增益的反步法设计变深控制器，避免了采用传统反步法的思想设计变深控制器时，由于存在虚拟控制量的高阶导数导致控制器形式更为复杂的情况，且变深控制器具有相似于PID控制器的形式，参数调节易于工程应用。

2.设计神经网络控制器和自适应鲁棒控制器能够实现对模型存在的不确定性进行在线辨识，并通过反馈控制回路予以补偿，基于利亚普诺夫稳定性理论设计神经网络的学习律和估计误差的自适应律，能够保证参数的全局收敛性，使得控制器具有在线补偿由于海洋环境作用引起的模型参数不确定性的能力。

3.能够实现在不同初始纵倾角条件和深度幅值下的变深控制，满足实际工程中的多工况应用需求。

附图说明

图1是本发明欠驱动自主水下航行器AUV的变深控制器框图。

图2～5是采用本发明方法，分别在三种控制器参数条件下在不同初始条件下的控制效果图。其中，图2是采用表1中的第二组控制器参数Gain2下、分别在三种初始条件下的深度跟踪曲线图，图3是与图2对应的跟踪误差曲线图，图4是与图2对应的控制力矩变化曲线图。图5是与图2对应的在深度跟踪过程中AUV各状态变量的变化曲线图。

图6至9是分别采用PID控制方法和本发明的方法进行深度跟踪控制过程中的各种参数对比图，其中，本发明的方法是分别在表1所述的三种控制参数的情况下获得的三种情况，图6是变深控制响应曲线图，图7是跟踪误差曲线图，图8是控制力矩变化曲线图，图9是AUV变深控制各状态变量变化曲线图。

图10至13是在扰动作用下，分别采用PID控制和本发明的控制方法实现深度跟踪过程中的各参数的对比图，其中，本发明的方法是分别采用表1中所述的三种控制参数实现的深度跟踪，图10是深度跟踪曲线图，图11是深度跟踪误差曲线图，图12为控制力矩曲线图，图13为各状态变量曲线图。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式所述的一种基于神经网络反步法的欠驱动自主水下航行器变深控制方法的过程为：

步骤1.通过压力传感器采集压力信息，并根据该压力信息计算获得对应的自主水下航行器AUV所在的深度；

步骤2.建立欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型和鲁棒变深控制器模型；

根据海流环境以及AUV水动力参数，建立欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型，采用基于反馈增益的反步法设计鲁棒变深控制器模型；

步骤3.获得基于神经网络权重的在线学习算法和自适应鲁棒控制器参数的自适应规律，对步骤2获得的数学模型中存在的不确定性进行在线识别及误差估计，并给予补偿、优化最终控制器的输出信号，然后采用该控制器实现欠驱动自主水下航行器AUV的变深控制。

本实施方式中的步骤3的具体过程为：

首先，对获得的欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型中存在的不确定性进行在线辨识，并通过反馈回路对不确定性进行补偿，通过李亚普诺夫稳定性理论设计神经网络权重的学习律，保证参数具有李亚普诺夫意义下的全局收敛性；所述不确定性包含未建模动态和由于海流作用引起的参数不确定性。

然后，针对欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型，设计自适应鲁棒控制器模型对神经网络的估计误差进行在线估计，并通过反馈回路予以补偿，优化最终控制器的输出信号，所述最终控制器的表达形式为：

${\mathrm{\δ}}_s={-k}_{1}q-k_2\mathrm{\θ}-k_3{z}_e-\frac{1}{b_s}(m_q{c}_1{c}_{2}u\sin \mathrm{\θ}+{\hat{W}}^T\mathrm{\Φ}\left(x\right)+\widehat{\mathrm{\ϵ}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\σ}}\right))---\left(43\right)$

式中：δ_s表示自主水下航行器AUV的水平升降舵舵角，单位是弧度，q表示自主水下航行器AUV的纵倾角速度，q_e表示纵倾角速度误差，θ表示自主水下航行器AUV的纵倾角，z_e表示跟踪误差，b_s表示舵效系数，表示神经网络权值的估计值，Φ(x)为径向基神经网络的高斯基函数，

表示神经网络逼近误差的估计值，σ为常数，u表示自主水下航行器AUV的纵向速度，

通过李亚普诺夫稳定性理论设计估计误差的自适应律，保证系统闭环信号的一致渐进有界。

具体实施方式二，本实施方式结合附图对具体实施方式一所述的基于神经网络反步法的欠驱动自主水下航行器变深控制方法的进一步的详细描述：

步骤(2)中，建立欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型的过程为：

忽略横摇运动对垂直面运动的影响，得到简化的垂直面运动方程，设自主水下航行器AUV纵向速度由推力系统单独控制保持在稳定航速u_d，

则自主水下航行器AUV的数学模型的动力学微分方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{w}=\frac{1}{m_w}(m_{\mathrm{uq}}\mathrm{uq}+d_w)\\ \stackrel{\·}{q}=\frac{1}{m_q}(d_q+u^2{M}_{{\mathrm{\δ}}_s}{\mathrm{\δ}}_s)+{\mathrm{\Δ}}_q\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中

$\left\{\begin{array}{c}{m}_w=m-Z_{\stackrel{\·}{w}},m_{\mathrm{uq}}=m-Z_q\\ m_q=I_y-M_{\stackrel{\·}{q}}\\ d_w=Z_{\mathrm{uw}}\mathrm{uw}+Z_{w\left|w\right|}w\left|w\right|+(W-B)\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{mz}}_g{q}^2\\ d_q=M_{\mathrm{uw}}\mathrm{uw}+M_{\mathrm{uq}}\mathrm{uq}-{\mathrm{mz}}_g\mathrm{wq}+(W-B)z_g\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right.---\left(2\right)$

自主水下航行器AUV的数学模型的运动学微分方程

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{z}=-u\sin \mathrm{\θ}+w\cos \mathrm{\θ}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=q\end{array}\right.---\left(3\right)$

公式中w表示自主水下航行器AUV的垂向运动速度，

表示垂向速度w的变化率，表示纵倾角速度q的变化率，Z_(·)，M_(·)表示水动力系数，m为自主水下航行器AUV的质量，m_w、m_uq和m_q是由式(2)计算获得各种转换后的质量和附加质量，W表示自主水下航行器AUV的重量，B表示自主水下航行器AUV受到的浮力，I_y为自主水下航行器AUV绕y轴运动的转动惯量，Δ_q表示海流作用扰动项，

表示自主水下航行器AUV的垂向位置变化率，

表示纵倾角θ的变化率，

假设垂向运动速度w相对于u很小，则获得简化后的运动学方程为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{z}=-u\sin \mathrm{\θ}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=q\end{array}\right.---\left(4\right)$

欠驱动AUV变深控制器的设计目的是根据动力学模型(1)和运动方程(4)，在保持纵向速度u_d＞0恒定下，对于给定阶跃变化的深度参考信号z_d，设计反馈控制规律和自适应律使得实际深度z跟踪期望深度z_d，即满足

结合反步法迭代构造Lyapunov能量函数的优点，基于增益反馈的思想设计控制器，不同于传统反步法通过非线性项抵消获得虚拟控制量，避免了控制器中含有虚拟控制量的高阶导数的形式。

根据上述原理，本实施方式中，步骤(2)中所述的基于反馈增益的反步法设计鲁棒变深控制器模型的方法的具体过程为：

选取如下坐标变换

z_e＝z_d-z       (5)

θ_e＝θ-α₁    (6)

q_e＝q-α₂      (7)

其中α₁和α₂分别表示为纵倾角和纵倾角速度的虚拟控制量，z_d表示期望深度，z表示实际测量深度，θ_e表示纵倾角误差，所述跟踪深度信号为阶跃变化，所以

表示期望深度z_d的变化率，

表示期望深度变化率

的导数，反步法的过程为：

第一步：

选取Lyapunov能量函数为

$V_1=\frac{1}{2}{z}_e^2---\left(8\right)$

公式中V₁表示非负定的李亚普诺夫函数，式(8)两边求导，由式(4)和式(5)得

${\stackrel{\·}{V}}_1=z_e{\stackrel{\·}{z}}_e=z_e({\stackrel{\·}{z}}_d+u\sin \mathrm{\θ})---\left(9\right)$

若取虚拟控制量α₁的控制规律为：

α₁＝-c₁z_e    (10)

公式中，c₁表示待定鲁棒变深控制器的设计参数、且满足c₁＞0，则式(9)变为

${\stackrel{\·}{V}}_1={-c}_{1}u\frac{\sin \mathrm{\θ}}{\mathrm{\θ}}{z}_e^2+u\frac{\sin \mathrm{\θ}}{\mathrm{\θ}}{z}_e{\mathrm{\θ}}_e---\left(11\right)$

由于 $\&Exists;0<\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}<1,$ $\&ForAll;\mathrm{\&theta;}\&Element;(-\mathrm{\&pi;}/2,\mathrm{\&pi;}/2),$ 所以满足 $c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}>0$ 成立，

由式(6)和式(10)得

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e=\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1=q+c_{1}u\sin \mathrm{\&theta;}---\left(12\right)$

第二步：

结合式(8)重新选取Lyapunov函数为

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{p}_1{\mathrm{\&theta;}}_e^2,p_1>0---\left(13\right)$

公式中，p₁为鲁棒变深控制器设计参数，对式(13)两边求导，将式(12)代入整理得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2={-c}_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2+u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e{\mathrm{\&theta;}}_e+p_1{\mathrm{\&theta;}}_e{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e$

(14)

${=-c}_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2+p_1{\mathrm{\&theta;}}_e(q+c_{1}u\sin \mathrm{\&theta;}+\frac{1}{p_1}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{uz}}_e)$

根据式(6)和式(10)，式(14)变为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2={-c}_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2$

$+p_1{\mathrm{\&theta;}}_e(q+c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}_e+(\frac{1}{p_1}-c_1^2)\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{uz}}_e)---\left(15\right)$

设定

消去式(15)中的符号不确定项得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2={-c}_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2+p_1{\mathrm{\&theta;}}_e(q+c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}_e)---\left(16\right)$

若取虚拟控制量α₂的控制规律为：

α₂＝-c₂θ_e，c₂＞0    (17)

则式(16)变为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2={-c}_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2+p_1{\mathrm{\&theta;}}_e{q}_e---\left(18\right)$

c₂为鲁棒变深控制器的设计参数，选取参数满足c₂＞c₁u条件，由于 $\&Exists;0<\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}<1,$ $\&ForAll;x\&Element;(-\mathrm{\&pi;}/2,\mathrm{\&pi;}/2),$ 则 $1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}>0$ 成立，

由式(7)和式(17)得

${\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_e=\stackrel{\&CenterDot;}{q}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2=\stackrel{\&CenterDot;}{q}+c_2(q+c_{1}u\sin \mathrm{\&theta;})---\left(19\right)$

经上述过程获得鲁棒变深控制器的设计参数及设计规律，完成鲁棒变深控制器模型的设计。

这些变量和参数会出现在最终的欠驱动自主水下航行器变深控制器的数学模型中，替换其中的变量对最终的数学模型进行化简。

由于获得的AUV数学模型中的参数无法精确获得，因此给控制器设计带来一定困难，本发明利用了神经网络具有非线性映射和在线学习的特点，采用神经网络实现对数学模型中的不确定性进行在线辨识，并得到相应参数的自适应规律。

基于上述原理，本实施方式中的骤(3)中所述的获得基于神经网络权重的在线学习算法和自适应鲁棒控制器参数的自适应规律的具体过程为：

采用径向基神经网络对AUV数学模型中的非线性函数进行逼近

f_q(u，w，q)＝W^*TΦ(x)+ε(x)    (20)

其中f_q(u，w，q)表示纵倾运动方程(1)中的不确定项，该不确定项包括参数不确定性和外界扰动作用，

ε(x)为神经网络的逼近误差，x表示神经网络输入向量，W^*为神经网络最优权值矩阵，满足

$W^{*}=\arg \underset{W\&Element;R^n}{\min }\left(\sup \right|{\hat{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)-f_q(u,w,q)\left|\right)---\left(21\right)$

${\mathrm{\&Phi;}}_j\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\exp (-\frac{{\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{x}-c_j\left|\right|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_j^2})---\left(22\right)$

式中：

为隐含层第j个神经元的输入向量，c_j第j个神经元基函数的中心值，σ_j为第j个神经元基函数的宽度参数，

所以式(1)可以表示为

$\stackrel{\&CenterDot;}{q}=\frac{b_s}{m_q}+W^{*T}\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)+\mathrm{\&epsiv;}\left(x\right)---\left(23\right)$

其中ε(x)代表由于未知的神经网络权重W^*引起的参数不确定性，

假设估计误差满足|ε|≤ε^*条件，其中ε^*＞0定义为满足条件的最小上界，ε表示神经网络的逼近误差，

由于模型中不确定项的上界ε^*和神经网络的权值W^*无法精确已知，所以需要对W^*和ε^*进行在线估计，并设计相应的参数自适应规律，

结合式(13)选取Lyapunov函数为，其中

表示神经网络权重的估计值，W^*表示神经网络权重的最优值；ε^*神经网络逼近误差的上界

$V_3=V_2+\frac{1}{2}{p}_2{q}_e^2+\frac{1}{2}({\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\tilde{W}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}^2)---\left(24\right)$

V₃表示非负定的李亚普诺夫函数，p₂表示控制器设计参数，

表示神经网络权重的估计误差，γ表示适应增益系数，其中Γ＝Γ^T为正定自适应增益矩阵，γ＞0，对式(24)两边求导得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3={-c}_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2$

(25)

${+p}_2{q}_e({\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_e+\frac{p_1}{p_2}{\mathrm{\&theta;}}_e)+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}$

代入式(19)得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3={-c}_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2$

(26)

${+p}_2{q}_e(\stackrel{\&CenterDot;}{q}+c_2(q+c_{1}u\sin \mathrm{\&theta;})+\frac{p_1}{p_2}{\mathrm{\&theta;}}_e)+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}$

设计等价控制输入为

${\mathrm{\&delta;}}_s=\frac{m_q}{b_s}({-c}_3{q}_e-c_2(q+c_{1}u\sin \mathrm{\&theta;})-\frac{p_1}{p_2}{\mathrm{\&theta;}}_e-{\hat{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)-\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right))---\left(27\right)$

其中变量 $b_s=u^2{M}_{{\mathrm{\&delta;}}_s},$

由式(23)和式(27)可知式(26)变为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3={-c}_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2-c_3{p}_2{q}_e^2---\left(28\right)$

${+p}_2{q}_e(-{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)-\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right)+\mathrm{\&epsiv;}\left(x\right))+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}$

由 $\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}={\mathrm{\&epsiv;}}^{*}+\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}$ 得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\&le;-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2-c_3{p}_2{q}_e^2$

$-p_2{q}_e{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)-p_2{q}_e({\mathrm{\&epsiv;}}^{*}+\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}})\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right)---\left(29\right)$

$+p_2\left|q_e\right|{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}$

整理后式(29)变为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\&le;-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2-c_3{p}_2{q}_e^2$

$-p_2{q}_e{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)+p_2{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}\left(\right|q_e|-q_e\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right))---\left(30\right)$

$-p_2{q}_e\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right)+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{~}}{W}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}$

由于其中k为常数，满足k＝e^-(k+1)成立，σ为常数，σ＞0。

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\&le;-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2-c_3{p}_2{q}_e^2$

$+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}-p_2{q}_e{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)+p_2{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}\mathrm{k\&eta;}---\left(31\right)$

$-p_2{q}_e\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right)+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}$

基于神经网络权重的在线学习算法为

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{W}}=\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}=\mathrm{\&Gamma;}[p_2{q}_e\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_1(\hat{W}-W_0)]---\left(32\right)$

自适应鲁棒控制器参数的自适应规律为

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}}=\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}=\mathrm{\&gamma;}[p_2{q}_e\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_2(\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0)]---\left(33\right)$

其中λ₁＞0，λ₂＞0，W₀为初始神经网络权重矩阵，ε₀为估计误差初始值，λ₁和λ₂均表示适应增益参数，通过引入σ修正项增加了系统在神经网络逼近误差存在时的鲁棒性，避免了由于参数漂移过大引起控制器增益过高，长期陷入饱和问题。

将式(32)和式(33)代入到式(31)得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\&le;-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2-c_3{p}_2{q}_e^2---\left(34\right)$

$+p_2{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}\mathrm{k\&eta;}-{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{W}}^T(\hat{W}-W_0)-{\mathrm{\&lambda;}}_2{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}^T(\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0)$

η为常数，

由下式成立

${\tilde{W}}^T(\hat{W}-W_0)=\frac{1}{2}{\left|\right|\tilde{W}\left|\right|}^2+\frac{1}{2}{\left|\right|\hat{W}-W_0\left|\right|}^2-\frac{1}{2}{\left|\right|W^{*}-W_0\left|\right|}^2---\left(35\right)$

${\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}^T(\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0)=\frac{1}{2}{\left|\right|\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\left|\right|}^2+\frac{1}{2}{\left|\right|\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0\left|\right|}^2-\frac{1}{2}{\left|\right|{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0\left|\right|}^2---\left(36\right)$

由(35)和(36)得，对式(34)进行不等式放缩得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\&le;{-d}_1{z}_e^2-d_2{p}_1{\mathrm{\&theta;}}_e^2-c_3{p}_2{q}_e^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_1{\left|\right|\tilde{W}\left|\right|}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_2{\left|\right|\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\left|\right|}^2$

(37)

$+p_2{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}\mathrm{k\&eta;}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_1{\left|\right|W^{*}-W_0\left|\right|}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_2{\left|\right|{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0\left|\right|}^2$

d₁和d₂为中间变量，分别为

$d_1=c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}},$ $d_2=c_2(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}})---\left(38\right)$

由上式得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3<-c{V}_3+\mathrm{\&mu;}---\left(39\right)$

其中

$c:=\min \{{2d}_1,{2d}_2,{2c}_3,{\mathrm{\&gamma;\&lambda;}}_2,\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left({\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\right)}\}---\left(40\right)$

$\mathrm{\&mu;}:=p_2{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}\mathrm{k\&eta;}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_1{\left|\right|W^{*}-W_0\left|\right|}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_2{\left|\right|{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0\left|\right|}^2$

λ_min表示矩阵的最小特征值，W₀表示神经网络初始权值矩阵，W^*表示神经网络最优权值矩阵，如果选择变量

μ定义如式(40)，然后式(39)满足

0≤V₃(t)≤ρ+(V₃(0)-ρ)e^-ct    (41)

根据欠驱动AUV的数学模型(1)和跟踪误差方程(5)，如果设计控制规律为式(42)，神经网络权重的在线学习算法和自适应鲁棒控制器参数的自适应律为式(32)和式(33)，则能够保证闭环系统的所有信号及状态一致最终有界，且收敛到原点附近极小的邻域内。

将式(27)中的中间变量替换为初始的状态变量得到最终的控制器形式，框图如图1所示

${\mathrm{\&delta;}}_s={-k}_{1}q-k_2\mathrm{\&theta;}-k_3{z}_e-\frac{1}{b_s}(m_q{c}_1{c}_{2}u\sin \mathrm{\&theta;}+{\hat{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)+\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right))---\left(42\right)$

其中

$k_1=\frac{m_q}{b_s}(c_2+c_3)$

$k_2=\frac{m_q}{b_s}(c_2{c}_3+\frac{1}{c_1^2{p}_2})---\left(43\right)$

$k_3=\frac{m_q}{b_s}(c_1{c}_2{c}_3+\frac{1}{c_1{p}_2})$

由式(43)可以看出最后的控制器的形式，前三项为状态变量的线性组合，类似于PID控制器的形式，仅在最后一项中包含非线性项以实现对模型参数的在线辨识和扰动上界的估计。因此控制器参数的调节规律可以参考PID控制器的经验进行调节。

下面举例说明，验证本发明方法的有效性。采用表1所述的三组变深控制器的参数：

表1  控制器增益参数

	c1	c2	c3	p2
					Gain1	0.08	0.16	20	50
Gain2	0.05	0.1	20	100
					Gain3	0.04	0.08	5	100

采用这三组控制器参数进行对比仿真实验，获得三组参数对应的曲线。其中图2是采用表1中的第二组控制增益参数Gain2下、分别在三种初始条件下的深度跟踪曲线图。图中分别给出了期望深度曲线，以及在AUV在三种不同初始条件下的深度跟踪相应曲线，图中，曲线10(m)0(deg)表示初始条件为：初始深度为10m、初始纵倾角度为度0deg情况下的深度跟踪曲线，该种条件下，大约75秒就能够达到期望深度；曲线8(m)10(deg)表示初始条件为：初始深度为8m、初始纵倾角度为度10deg情况下的深度跟踪曲线，该种条件下，大约85秒就能够达到期望深度；曲线5(m)20(deg)表示初始条件为：初始深度为10m、初始纵倾角度为度20deg情况下的深度跟踪曲线，该种条件下，大约100秒就能够达到期望深度。图3至图5分别是与图2对应的跟踪误差曲线图、控制力矩变化曲线图和各状态变量的变化曲线图，根据图2至图5所述曲线，可以获知本发明所述的控制器在3组不同参数设置下均能够适应不同初始条件下的无超调的深度跟踪控制，而优于现有PID控制器在同一组参数下无法满足不同工作点的控制效果，且深度跟踪具有一定的超调量。

图6至9是分别采用PID控制方法和本发明的方法进行深度跟踪控制过程中的各种参数对对比图，根据对比结果，可以获知本发明所述的控制器在表1所述的3组不同参数设置下均能够适应不同深度幅值变化下的无超调的深度跟踪控制，并且均优于现有PID控制器在同一组参数下无法满足不同工作点的控制效果，且深度跟踪具有一定的超调量。

图10至13是在扰动作用下，分别采用PID控制和本发明的控制方法实现深度跟踪过程中的各参数的对比图，根据对比结果，可以获知本发明与PID相比较，本发明控制器在表中的第二组参数Gain2下，能够适应外界扰动变化并予以补偿，实现精确深度跟踪控制，而采用现有PID控制器在相同参数下无法有效抑制干扰作用。

Claims (1)

1.一种基于神经网络反步法的欠驱动自主水下航行器变深控制方法，其特征在于，该方法的过程为：

步骤1.通过压力传感器采集压力信息，并根据该压力信息计算获得对应的自主水下航行器AUV所在的深度；

步骤2.建立欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型和鲁棒变深控制器模型：

根据海流环境以及AUV水动力参数，建立欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型，采

用基于反馈增益的反步法设计鲁棒变深控制器模型；所述建立欠驱动自主水下航行器

AUV的数学模型的过程为：

忽略横摇运动对垂直面运动的影响，得到简化的垂直面运动方程，设自主水下航行器AUV纵向速度由推力系统单独控制保持在稳定航速u_d，

则自主水下航行器AUV的数学模型的动力学微分方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{w}=\frac{1}{m_w}(m_{\mathrm{uq}}\mathrm{uq}+d_w)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{q}=\frac{1}{m_q}(d_q+u^2{M}_{{\mathrm{\&delta;}}_s}{\mathrm{\&delta;}}_s)+{\mathrm{\&Delta;}}_q\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中

$\left\{\begin{array}{c}{m}_w=m-Z_{\stackrel{\&CenterDot;}{w}},m_{\mathrm{uq}}=m-Z_q\\ m_q=I_y-M_{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}\\ d_w=Z_{\mathrm{uw}}\mathrm{uw}+Z_{w\left|w\right|}w\left|w\right|+(W-B)\cos \mathrm{\&theta;}+{\mathrm{mz}}_g{q}^2\\ d_q=M_{\mathrm{uw}}\mathrm{uw}+M_{\mathrm{uq}}\mathrm{uq}-{\mathrm{mz}}_g\mathrm{wq}+(W-B)z_g\sin \mathrm{\&theta;}\end{array}---\left(2\right)\right.$

自主水下航行器AUV的数学模型的运动学微分方程

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{z}=-u\sin \mathrm{\&theta;}+w\cos \mathrm{\&theta;}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=q\end{array}\right.---\left(3\right)$

公式中w表示自主水下航行器AUV的垂向运动速度，

表示垂向速度w的变化率，

表示纵倾角速度q的变化率，Z(·),M(·)表示水动力系数，m为自主水下航行器AUV的质量，m_w、m_uq和m_q是由式（2）计算获得各种转换后的质量和附加质量，W表示自主水下航行器AUV的重量，B表示自主水下航行器AUV受到的浮力，I_y为自主水下航行器AUV绕y轴运动的转动惯量，Δ_q表示海流作用扰动项，

表示自主水下航行器AUV的垂向位置变化率，

表示纵倾角θ的变化率，

假设垂向运动速度w相对于u很小，则获得简化后的运动学方程为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{z}=-u\sin \mathrm{\&theta;}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=q\end{array}\right.,---\left(4\right)$

所述的基于反馈增益的反步法设计鲁棒变深控制器模型的方法的具体过程为：

选取如下坐标变换

z_e＝z_d-z            (5)

θ_e＝θ-α₁           (6)

q_e=q-α₂           (7)

其中α₁和α₂分别表示为纵倾角和纵倾角速度的虚拟控制量，z_d表示期望深度，z表示实际测量深度，θ_e表示纵倾角误差，跟踪深度信号为阶跃变化，所以

表示期望深度z_d的变化率，

表示期望深度变化率

的导数，反步法的过程为：

第一步：

选取Lyapunov能量函数为

$V_1=\frac{1}{2}{z}_e^2---\left(8\right)$ 公式中V₁表示非负定的李亚普诺夫函数，式(8)两边求导，由式(4)和式(5)得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=z_e{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_e=z_e({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_d+u\sin \mathrm{\&theta;})---\left(9\right)$

若取虚拟控制量α₁的控制规律为：

α₁=-c₁z_e               (10)公式中，c₁表示待定鲁棒变深控制器的设计参数、且满足c₁>0，则式(13)变为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2+u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e{\mathrm{\&theta;}}_e---\left(11\right)$

由于 $\&Exists;0<\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}<1,\&ForAll;\mathrm{\&theta;}\&Element;(-\mathrm{\&pi;}/2,\mathrm{\&pi;}/2),$ 所以满足 $c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}>0$ 成立，

由式(6)和式(10)得

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e=\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1=q+c_{1}u\sin \mathrm{\&theta;}---\left(12\right)$

第二步：

结合式(8)重新选取Lyapunov函数为

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{p}_1{\mathrm{\&theta;}}_e^2,p_1>0---\left(13\right)$ 公式中，p₁为鲁棒变深控制器设计参数，对式(13)两边求导，将式(12)代入整理得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2+u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e{\mathrm{\&theta;}}_e+p_1{\mathrm{\&theta;}}_e{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e$ $=-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2+p_1{\mathrm{\&theta;}}_e(q+c_{1}u\sin \mathrm{\&theta;}+\frac{1}{p_1}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{uz}}_e)---\left(14\right)$

根据式(6)和式(10)，式(14)变为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2$

$+p_1{\mathrm{\&theta;}}_e(q+c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}_e+(\frac{1}{p_1}-c_1^2)\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{uz}}_e)---\left(15\right)$

设定

消去式(15)中的符号不确定项得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2+p_1{\mathrm{\&theta;}}_e(q+c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}_e)---\left(16\right)$

若取虚拟控制量α₂的控制规律为：

α₂-c₂θ_e,c₂>0                (17)

则式(16)变为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2+p_1{\mathrm{\&theta;}}_e{q}_e---\left(18\right)$

c₂为鲁棒变深控制器的设计参数，选取参数满足c₂>c₁u条件，由于 $\&Exists;0<\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}<1,\&ForAll;x\&Element;(-\mathrm{\&pi;}/2,\mathrm{\&pi;}/2),$ 则 $1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}>0$ 成立，

由式(7)和式(17)得

${\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_e=\stackrel{\&CenterDot;}{q}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2=\stackrel{\&CenterDot;}{q}+c_2(q+c_{1}u\sin \mathrm{\&theta;})---\left(19\right)$

经上述过程获得鲁棒变深控制器的设计参数及设计规律，建立鲁棒变深控制器模型；

步骤3.获得基于神经网络权重的在线学习算法和自适应鲁棒控制器参数的自适应规律，对步骤2获得的数学模型中存在的不确定性进行在线识别及误差估计，并给予补偿、优化最终控制器的输出信号，然后采用该控制器实现欠驱动自主水下航行器AUV的变深控制，所述的获得基于神经网络权重的在线学习算法和自适应鲁棒控制器参数的自适应规律的具体过程为：

采用径向基神经网络对AUV数学模型中的非线性函数进行逼近

f_q(u,w,q)=W^*TΦ(x)+ε(x)           (20)

其中f_q(u,w,q)表示纵倾运动方程(1)中的不确定项，该不确定项包括参数不确定性和外界扰动作用，

ε(x)为神经网络的逼近误差，x表示神经网络输入向量，W^*为神经网络最优权值矩阵，满足

$W^{*}=\arg \underset{W\&Element;R^n}{\min }\left(\sup \right|{\hat{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)-f_q(u,w,q)\left|\right)---\left(21\right)$

${\mathrm{\&Phi;}}_j\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\exp (-\frac{{\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{x}-c_j\left|\right|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_j^2})---\left(22\right)$

式中：

为隐含层第j个神经元的输入向量，c_j第j个神经元基函数的中心值，σ_j为第j个神经元基函数的宽度参数，

所以式(1)可以表示为

$\stackrel{\&CenterDot;}{q}=\frac{b_s}{m_q}+W^{*T}\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)+\mathrm{\&epsiv;}\left(x\right)---\left(23\right)$

其中ε(x)代表由于未知的神经网络权重W^*引起的参数不确定性，

假设估计误差满足|ε|≤ε^*条件，其中ε^*>0定义为满足

条件的最小上界，ε表示神经网络的逼近误差，

由于模型中不确定项的上界ε^*和神经网络的权值W^*无法精确已知，所以需要对W^*和ε^*进行在线估计，并设计相应的参数自适应规律，

结合式(13)选取Lyapunov函数为，其中

表示神经网络权重的估计值，W^*表示神经网络权重的最优值；ε^*神经网络逼近误差的上界

$V_3=V_2+\frac{1}{2}{p}_2{q}_e^2+\frac{1}{2}({\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\tilde{W}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}^2)---\left(24\right)$

V₃表示非负定的李亚普诺夫函数，p₂表示控制器设计参数，

表示神经网络权重的估计误差，γ表示适应增益系数，其中Γ=Γ^T为正定自适应增益矩阵，γ>0，对式(24)两边求导得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3=-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2$ $\left(25\right)$

$+p_2{q}_e({\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_e+\frac{p_1}{p_2}{\mathrm{\&theta;}}_e)+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}$

代入式(19)得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3=-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2$ $\left(26\right)$

$+p_2{q}_e(\stackrel{\&CenterDot;}{q}+c_2(q+c_{1}u\sin \mathrm{\&theta;})+\frac{p_1}{p_2}{\mathrm{\&theta;}}_e)+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}$

设计等价控制输入为

${\mathrm{\&delta;}}_s=\frac{m_q}{b_s}(-c_3{q}_e-c_2(q+c_{1}u\sin \mathrm{\&theta;})-\frac{p_1}{p_2}{\mathrm{\&theta;}}_e-{\hat{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)-\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right))---\left(27\right)$

其中变量b_s=u²M_δs，

由式(23)和式(27)可知式(26)变为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3=-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2-c_3{p}_2{q}_e^2---\left(28\right)$

$+p_2{q}_e(-{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)-\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right)+\mathrm{\&epsiv;}\left(x\right))+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}$

由 $\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}={\mathrm{\&epsiv;}}^{*}+\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}$ 得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\&le;-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2-c_3{p}_2{q}_e^2$

$-p_2{q}_e{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)-p_2{q}_e({\mathrm{\&epsiv;}}^{*}+\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}})\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right)---\left(29\right)$

$+p_2\left|q_e\right|{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}$

整理后式(29)变为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\&le;-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2-c_3{p}_2{q}_e^2$

$-p_2{q}_e{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)-p_2{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}\left(\right|q_e|-q_e\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right))---\left(30\right)$

$-p_2{q}_e\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right)+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}$

由于

其中k为常数，满足k＝e^-(k+1)成立，σ为常数，σ>0；

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\&le;-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2-c_3{p}_2{q}_e^2$

$+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}-p_2{q}_e{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)+p_2{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}\mathrm{k\&eta;}---\left(31\right)$

$-p_2{q}_e\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right)+{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}$

基于神经网络权重的在线学习算法为

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{W}}=\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}=\mathrm{\&Gamma;}[p_2{q}_e\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_1(\hat{W}-W_0)]---\left(32\right)$

自适应鲁棒控制器参数的自适应规律为

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}}=\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}=\mathrm{\&gamma;}[p_2{q}_e\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_2(\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0)]---\left(33\right)$

其中λ₁>0，λ₂>0，W₀为初始神经网络权重矩阵，ε₀为估计误差初始值，λ₁和λ₂均表示适应增益参数，通过引入σ修正项增加了系统在神经网络逼近误差存在时的鲁棒性，避免了由于参数漂移过大引起控制器增益过高，长期陷入饱和问题；

将式(32)和式(33)代入到式(31)得到

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\&le;-c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}{z}_e^2-c_2{p}_1(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}}){\mathrm{\&theta;}}_e^2-c_3{p}_2{q}_e^2---\left(34\right)$

$+p_2{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}\mathrm{k\&eta;}-{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{W}}^T(\hat{W}-W_0)-{\mathrm{\&lambda;}}_2{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}^T(\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0)$

η为常数，

${\tilde{W}}^T(\hat{W}-W_0)=\frac{1}{2}{\left|\right|\tilde{W}\left|\right|}^2+\frac{1}{2}{\left|\right|\hat{W}-W_0\left|\right|}^2-\frac{1}{2}{\left|\right|W^{*}-W_0\left|\right|}^2---\left(35\right)$

${\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}^T(\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0)=\frac{1}{2}{\left|\right|\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\left|\right|}^2+\frac{1}{2}{\left|\right|\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0\left|\right|}^2-\frac{1}{2}{\left|\right|{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0\left|\right|}^2---\left(36\right)$

由式(35)和(36)得，式(34)变为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\&le;-d_1{z}_e^2-d_2{p}_1{\mathrm{\&theta;}}_e^2-c_3{p}_2{q}_e^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_1{\left|\right|\tilde{W}\left|\right|}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_2{\left|\right|\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}\left|\right|}^2---\left(37\right)$

$+p_2{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}\mathrm{k\&eta;}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_1{\left|\right|W^{*}-W_0\left|\right|}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_2{\left|\right|{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0\left|\right|}^2$

d₁和d₂为中间变量，分别为

$d_1=c_{1}u\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}},d_2=c_2(1-\frac{c_{1}u}{c_2}\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&theta;}})---\left(38\right)$

由上式得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3<-c{V}_3+\mathrm{\&mu;}---\left(39\right)$

其中

$c:=\min \{{2d}_1,{2d}_2,{2c}_3,\mathrm{\&gamma;}{\mathrm{\&lambda;}}_2,\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left({\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\right)}\}---\left(40\right)$

$\mathrm{\&mu;}:=p_2{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}\mathrm{k\&eta;}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_1{\left|\right|W^{*}-W_0\left|\right|}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&lambda;}}_2{\left|\right|{\mathrm{\&epsiv;}}^{*}-{\mathrm{\&epsiv;}}_0\left|\right|}^2$

λ_min表示矩阵的最小特征值，W₀表示神经网络初始权值矩阵，W^*表示神经网络最优权值矩阵，如果选择变量

c和μ定义如式(40)，然后式(39)满足

0≤V₃(t)≤ρ+(V₃(0)-ρ)e^-ct           (41)

根据欠驱动AUV的数学模型(1)和跟踪误差方程(5)，获得设计控制规律为式(42)，神经网络权重的在线学习算法和自适应鲁棒控制器参数的自适应律为式(32)和式(33)，则能够保证闭环系统的所有信号及状态一致最终有界，且收敛到原点附近极小的邻域内，

将式(27)中的中间变量替换为初始的状态变量得到最终的控制器形式

${\mathrm{\&delta;}}_s=-k_{1}q-k_2\mathrm{\&theta;}-k_3{z}_e-\frac{1}{b_s}(m_q{c}_1{c}_{2}u\sin \mathrm{\&theta;}+{\hat{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)+\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right))---\left(42\right)$

其中

$k_1=\frac{m_q}{b_s}(c_2+c_3)$

$k_2=\frac{m_q}{b_s}(c_2{c}_3+\frac{1}{c_1^2{p}_2}),---\left(43\right)$

$k_3=\frac{m_q}{b_s}(c_1{c}_2{c}_3+\frac{1}{c_1{p}_2})$

首先，对获得的欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型中存在的不确定性进行在线辨识，并通过反馈回路对不确定性进行补偿，通过李亚普诺夫稳定性理论设计神经网络权重的学习律，保证参数具有李亚普诺夫意义下的全局收敛性；所述不确定性包含未建模动态和由于海流作用引起的参数不确定性；

然后，针对欠驱动自主水下航行器AUV的数学模型，设计自适应鲁棒控制器模型对神经网络的估计误差进行在线估计，并通过反馈回路予以补偿，优化最终控制器的输出信号，所述最终控制器的表达形式为：

${\mathrm{\&delta;}}_s=-k_{1}q-k_2\mathrm{\&theta;}-k_3{z}_e-\frac{1}{b_s}(m_q{c}_1{c}_{2}u\sin \mathrm{\&theta;}+{\hat{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)+\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}\tanh \left(\frac{q_e}{\mathrm{\&sigma;}}\right))---\left(44\right)$

式中：δ_s表示自主水下航行器AUV的水平升降舵舵角，单位是弧度，q表示自主水下航行器AUV的纵倾角速度，q_e表示纵倾角速度误差，θ表示自主水下航行器AUV的纵倾角，z_e表示跟踪误差，b_s表示舵效系数，

表示神经网络权值的估计值，Φ(x)为径向基神经网络的高斯基函数，

表示神经网络逼近误差的估计值，σ为常数，u表示自主水下航行器AUV的纵向速度，

通过李亚普诺夫稳定性理论设计估计误差的自适应律，保证系统闭环信号的一致渐进有界。

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