CN102147599A - 椭圆弧插补方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种椭圆弧插补方法，包括：步骤一、以标准椭圆方程的参数形式表示椭圆弧所在椭圆的轨迹；步骤二、对于当前插补点P_i(x_i，y_i)，计算其到下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)的步距角Δθ；步骤三、根据当前插补点P_i(x_i，y_i)的坐标计算下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)的坐标；步骤四、若当前插补点P_i(x_i，y_i)未超过椭圆弧终点，而下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)刚好到达或超过椭圆弧终点时，则插补到达椭圆弧终点，结束插补过程；否则插补未到达椭圆弧终点，以P_i+1(x_i+1，y_i+1)作为新的当前插补点进行插补，然后返回步骤二。本发明的椭圆弧插补方法适用于具有任意起点和终点的逆时针和顺时针椭圆弧以及整个椭圆的插补，插补点计算简单快速且轨迹精度高、终点判别快速准确。

Description

椭圆弧插补方法

技术领域

本发明涉及数控技术领域，尤其涉及一种椭圆弧插补方法。

背景技术

在激光轨迹加工过程中，由伺服电机所驱动的机床不可能严格地按照所要求加工的轨迹曲线运动，只能用折线轨迹逼近所要加工的轨迹曲线。数控装置利用插补算法计算插补点的位置，通过插补计算生成插补点，从而将连续的轨迹曲线分解成离散的点。将离散的插补点送入数控系统的位置控制模块即可控制机床生成运动轨迹。

在数控激光打标机、数控激光切割机、数控端面磨刀机等数控设备中，常需要进行椭圆弧或椭圆轨迹加工，因此需要在这样的数控系统中实现椭圆弧插补。椭圆弧插补需要解决两个问题。一是插补计算，即生成插补点，从而将连续的椭圆弧轨迹分解成离散的点，点的间距可以通过插补速度和插补周期进行调节。离散的插补点送入数控系统的位置控制模块即可控制机床生成运动轨迹。实际的轨迹是连续小线段轨迹，所以椭圆插补的实质是用多段线段近似椭圆弧，线段长度越短，插补点坐标精度越高，则近似精度就越高，即轨迹精度就越高。二是进行终点判别，以便插补到达椭圆弧终点时及时准确的结束插补任务，避免欠插补和过插补现象的发生。但是现有的椭圆弧插补算法或者计算复杂、计算效率不高，导致数控系统很难做到实时处理，或者采用近似计算导致插补点坐标精度不高，终点判别也存在判别算法复杂、判别准确度低等问题。

发明内容

本发明的目的在于针对现有椭圆弧插补方法的不足提供一种高速度高精度的椭圆弧插补方法。

为实现上述目的，本发明提供了一种椭圆弧插补方法，包括：

步骤一、以标准椭圆方程的参数形式

表示椭圆弧所在椭圆的轨迹；

步骤二、对于当前插补点P_i(x_i，y_i)，使用公式

计算其到下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)的步距角Δθ，其中Δl为根据预定的速度规划算法得到的插补步长；

步骤三、根据当前插补点P_i(x_i，y_i)的坐标计算下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)的坐标：

逆时针插补时，

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i+1}=a\cos (\mathrm{\θi}+\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i)=a\cos \mathrm{\θ}i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i-a\sin \mathrm{\θ}i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i=x_i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{ay}}_i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i/b\\ y_{i+1}=b\sin (\mathrm{\θi}+\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i)=b\sin \mathrm{\θ}i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i+b\cos \mathrm{\θ}i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i=y_i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i+{\mathrm{bx}}_i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i/a\end{array}\right.;$

顺时针插补时，

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i+1}=a\cos (\mathrm{\θi}-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i)=a\cos \mathrm{\θ}i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i+a\sin \mathrm{\θ}i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i=x_i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i+{\mathrm{ay}}_i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i/b\\ y_{i+1}=b\sin (\mathrm{\θi}-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i)=b\sin \mathrm{\θ}i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i-b\cos \mathrm{\θ}i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i=y_i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{bx}}_i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i/a\end{array}\right.;$

步骤四、若当前插补点P_i(x_i，y_i)未超过椭圆弧终点，而下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)刚好到达或超过椭圆弧终点时，则插补到达椭圆弧终点，结束插补过程；否则插补未到达椭圆弧终点，以P_i+1(x_i+1，y_i+1)作为新的当前插补点进行插补，然后返回步骤二。

其中，步骤四中，以Pe(Xe，Ye)表示椭圆弧终点，采用如下判别条件判别插补是否到达椭圆弧终点，当判别条件的运算结果为真时表示插补到达椭圆弧终点：

对于逆时针插补，

终点Pe(Xe，Ye)在第一象限时的判别条件为

(Xe＞0&&Ye＞＝0)&&

(((X_i＞Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye))‖

((X_i＞Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＜＝0&&Y_i+1＞0))‖

((X_i＞0&&Y_i＜0)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye)))；

终点Pe(Xe，Ye)在第二象限时的判别条件为

(Xe＜＝0&&Y e＞0)&&

(((X_i＞Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye))‖

((X_i＞Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＜0&&Y_i+1＜＝0))‖

((X_i＞0&&Y_i＞0)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye)))；

终点Pe(Xe，Ye)在第三象限时的判别条件为

(Xe＜0&&Ye＜＝0)&&

(((X_i＜Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye))‖

((X_i＜Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＞＝0&&Y_i+1＜0))‖

((X_i＜0&&Y_i＞0)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye)))；

终点Pe(Xe，Ye)在第四象限时的判别条件为

(Xe＞＝0&&Ye＜0)&&

(((X_i＜Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye))‖

((X_i＜Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＞0&&Y_i+1＞＝0))‖

((X_i＜0&&Y_i＜0)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye)))；

对于顺时针插补，

终点Pe(Xe，Ye)在第一象限时的判别条件为

(Xe＞0&&Ye＞＝0)&&

(((X_i＜Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye))‖

((X_i＜Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＜＝0&&Y_i+1＞0))‖

((X_i＜0&&Y_i＞0)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye)))；

终点Pe(Xe，Ye)在第二象限时的判别条件为

(Xe＜＝0&&Ye＞0)&&

(((X_i＜Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye))‖

((X_i＜Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＜0&&Y_i+1＜＝0))‖

((X_i＜0&&Y_i＜0)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye)))；

终点Pe(Xe，Ye)在第三象限时的判别条件为

(Xe＜0&&Ye＜＝0)&&

(((X_i＞Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye))‖

((X_i＞Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＞＝0&&Y_i+1＜0))‖

((X_i＞0&&Y_i＜0)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye)))；

终点Pe(Xe，Ye)在第四象限时的判别条件为

(Xe＞＝0&&Ye＜0)&&

(((X_i＞Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＜＝X&&Y_i+1＜＝Ye))‖

((X_i＞Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＞0&&Y_i+1＞＝0))‖

((X_i＞0&&Y_i＞0)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye)))。

综上所述，本发明的椭圆弧插补方法适用于具有任意起点和终点的逆时针和顺时针椭圆弧以及整个椭圆的插补，插补点计算简单快速且轨迹精度高、终点判别快速准确。

附图说明

下面结合附图，通过对本发明的具体实施方式详细描述，将使本发明的技术方案及其他有益效果显而易见。

附图中，

图1为本发明椭圆弧插补方法的流程图；

图2为应用本发明椭圆弧插补方法对椭圆弧进行插补的示意图。

具体实施方式

参见图1及图2，图1为本发明椭圆弧插补方法的流程图，图2为应用本发明椭圆弧插补方法对椭圆弧进行插补的示意图。如图1所示，本发明的椭圆弧插补方法包括如下步骤。

步骤一、以标准椭圆方程的参数形式

表示椭圆弧所在椭圆的轨迹。椭圆弧为椭圆轨迹的一部分，因此椭圆弧或椭圆的轨迹都可以用相应的椭圆方程来描述，采用标准椭圆方程的形式利于简化计算。图2中椭圆弧所在椭圆的中心位于平面直角坐标系的原点O，椭圆的长轴和短轴分别与坐标轴重合。标准椭圆方程如式(1)所示，

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1---\left(1\right)$

其参数形式如式(2)所示，

$\left\{\begin{array}{c}x=a\cos \mathrm{\θ}\\ y=b\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right.---\left(2\right)$

步骤二、对于当前插补点P_i(x_i，y_i)，使用公式

计算其到下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)的步距角Δθ，其中Δl为根据预定的速度规划算法得到的插补步长。因为插补步长是通过预先确定的速度规划算法得到，所以本发明的插补方法能够与步进电机的加减速算法无缝集成。

对式(2)进行导数运算得，

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{dx}=-a\sin \mathrm{\θd\θ}\\ \mathrm{dy}=b\cos \mathrm{\θd\θ}\end{array}\right.---\left(3\right)$

椭圆上一个以当前点P_i(x_i，y_i)为起始点的微小曲线段的长度可以由式(4)求得，

$\mathrm{dl}=\sqrt{{\mathrm{dx}}_i^2+d{y}_i^2}=\sqrt{a^2{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_i+b^2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_i}\mathrm{d\θ}=\sqrt{a^2{y_i}^2/b^2+b^2{x_i}^2/a^2}\mathrm{d\θ}---\left(4\right)$

因此，由式(4)可得步距角近似计算公式，如式(5)所示。

$\mathrm{\Δ\θ}=\frac{\mathrm{\Δl}}{\sqrt{a^2{y_i}^2/b^2+b^2{x_i}^2/a^2}}---\left(5\right)$

步骤三、根据当前插补点P_i(x_i，Y_i)的坐标计算下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)的坐标。

插补计算是指已知当前插补点的坐标P_i(x_i，y_i)，求下一个插补点坐标P_i+1(x_i+1，y_i+1)，通过插补计算使得从椭圆弧起点至椭圆弧终点的连续曲线分解为离散的插补点，将离散的插补点依次送入数控系统的位置控制模块即可控制机床生成椭圆弧运动轨迹。逆时针、顺时针椭圆弧插补点计算分别如式(6)、式(7)所示。

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i+1}=a\cos (\mathrm{\θi}+\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i)=a\cos \mathrm{\θ}i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i-a\sin \mathrm{\θ}i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i=x_i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{ay}}_i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i/b\\ y_{i+1}=b\sin (\mathrm{\θi}+\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i)=b\sin \mathrm{\θ}i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i+b\cos \mathrm{\θ}i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i=y_i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i+{\mathrm{bx}}_i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i/a\end{array}\right.---\left(6\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i+1}=a\cos (\mathrm{\θi}-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i)=a\cos \mathrm{\θ}i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i+a\sin \mathrm{\θ}i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i=x_i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i+{\mathrm{ay}}_i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i/b\\ y_{i+1}=b\sin (\mathrm{\θi}-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i)=b\sin \mathrm{\θ}i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i-b\cos \mathrm{\θ}i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i=y_i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{bx}}_i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i/a\end{array}\right.---\left(7\right)$

求得下一插补点坐标之后，即可计算出下一个插补周期的位置增量，如式(8)所示，

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{x}_{i+1}=x_{i+1}-x_i\\ \mathrm{\Δ}{y}_{i+1}=y_{i+1}-y_i\end{array}\right.---\left(8\right)$

本发明的插补点计算公式直接由参数形式公式推导得到，因此插补点位于椭圆弧上，插补点坐标精度高。式(6)与式(7)说明下一插补点坐标可由当前插补点坐标计算得到。步距角公式由微分公式推导得到，而且步距角只与当前插补点以及插补步长有关，插补点坐标只与当前插补点坐标以及步距角有关，而不需计算与存储角度等其它信息，所以本发明的插补点计算具有坐标精度高、计算简单的特点。

步骤四、若当前插补点P_i(x_i，y_i)未超过椭圆弧终点，而下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)刚好到达或超过椭圆弧终点时，则插补到达椭圆弧终点，结束插补过程；否则插补未到达椭圆弧终点，以P_i+1(x_i+1，y_i+1)作为新的当前插补点进行插补，然后返回步骤二。

为了精确的插补椭圆弧，避免欠插补和过插补现象的发生，必须进行准确的终点判别，以便插补到达椭圆弧终点时及时准确的结束插补任务。本发明以当前插补点、下一插补点、椭圆弧终点三者之间的位置关系进行终点判别。其基本原理可以表述为：若当前插补点未超过椭圆弧终点，而下一插补点刚好到达或超过椭圆弧终点时，则插补到达椭圆弧终点；否则则继续进行插补。实际计算时还需考虑插补的类型(顺时针插补、逆时针插补)和终点所在象限(第一象限(X＞0，Y≥0)、第二象限(X≤0，Y＞0)、第三象限(X＜0，Y≤0)、第四象限(X≥0，Y＜0))。

以一段终点Pe(Xe，Ye)位于第二象限的逆时针椭圆弧插补为例，即(Xe≤0，Ye＞0)，为了进行准确的终点判别，必须考虑三种情况。

情况1：当前插补点P_i(x_i，y_i)位于第二象限中而且未超过终点Pe(Xe，Ye)，即X_i＞Xe，Y_i＞Ye；下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)也位于第二象限中。根据终点判别原理，此时插补到达终点的条件为：P_i+1刚好到达或超过Pe，即X_i+1≤Xe，Y_i+1≤Ye。

情况2：当前插补点P_i(x_i，y_i)位于第二象限中而且未超过终点Pe(Xe，Ye)，即X_i＞Xe，Y_i＞Ye；而下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)穿过第二象限，到达第三象限中。由于Pe位于第二象限，所以P_i+1超过Pe，根据终点判别原理，此时插补到达终点。

情况3：当前插补点P_i(x_i，y_i)位于第一象限中，即X_i＞0，Y_i＞0，由于终点Pe(Xe，Ye)位于二象限中，所以P_i未超过Pe；而下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)穿过第一象限，到达第二象限中。根据终点判别原理，此时插补到达终点的条件为：P_i+1刚好到达或超过Pe，即X_i≤Xe或Y_i≤Ye。

综合情况1、情况2与情况3，采用逻辑运算符的形式来描述终点位于第二象限的逆时针椭圆弧插补的终点判别条件：

(Xe＜＝0&&Ye＞0)&&

(((X_i＞Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye))‖

((X_i＞Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＜0&&Y_i+1＜＝0))‖

((X_i＞0&&Y_i＞0)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye)))        (9)

同理可得逆时针椭圆插补其它各象限的终点判别条件，分别如式(10)～式(12)所示，顺时针椭圆插补各象限的终点判别条件，分别如式(13)～式(16)所示。

终点判别(逆时针)：

终点在第一象限的判别条件：

(Xe＞0&&Ye＞＝0)&&

(((X_i＞Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye))‖

((X_i＞Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＜＝0&&Y_i+1＞0))‖

((X_i＞0&&Y_i＜0)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye)))        (10)

终点在第三象限的判别条件：

(Xe＜0&&Ye＜＝0)&&

(((X_i＜Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye))‖

((X_i＜Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＞＝0&&Y_i+1＜0))‖

((X_i＜0&&Y_i＞0)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye)))        (11)

终点在第四象限的判别条件：

(Xe＞＝0&&Ye＜0)&&

(((X_i＜Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye))‖

((X_i＜Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＞0&&Y_i+1＞＝0))‖

((X_i＜0&&Y_i＜0)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye)))        (12)

终点判别(顺时针)：

终点在第一象限的判别条件：

(Xe＞0&&Ye＞＝0)&&

(((X_i＜Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye))‖

((X_i＜Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＜＝0&&Y_i+1＞0))‖

((X_i＜0&&Y_i＞0)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye)))         (13)

终点在第二象限的判别条件：

(Xe＜＝0&&Ye＞0)&&

(((X_i＜Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye))‖

((X_i＜Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＜0&&Y_i+1＜＝0))‖

((X_i＜0&&Y_i＜0)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye)))         (14)

终点在第三象限的判别条件：

(Xe＜0&&Ye＜＝0)&&

(((X_i＞Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye))‖

((X_i＞Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＞＝0&&Y_i+1＜0))‖

((X_i＞0&&Y_i＜0)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye)))         (15)

终点在第四象限的判别条件：

(Xe＞＝0&&Ye＜0)&&

(((X_i＞Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＜＝X&&Y_i+1＜＝Ye))‖

((X_i＞Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＞0&&Y_i+1＞＝0))‖

((X_i＞0&&Y_i＞0)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye)))         (16)

本发明的终点判别条件将判别区域限制在由当前插补点、椭圆弧终点、下一插补点所围成的一个微小区域，具有判别准确、条件完备、适用于具有任意起点和终点的逆时针和顺时针椭圆弧以及整个椭圆、易于编程实现等优点。

综上所述，本发明结合高精度的插补计算方法与高效完备的终点判别方法，实现了任意椭圆弧和椭圆的插补处理，具有以下几个突出的优点；插补点始终在椭圆轨迹上，所以轨迹精度高；步距角由插补步长计算得到，而插补步长由速度规划算法得到，所以该插补算法能够与加减速算法无缝集成；只需计算角度增量(步距角)的正弦与余弦值，而不用计算初始角、结束角，简化了计算，实现了高速度的插补；虽然步距角是个近似解，但由于插补步长很小，所以近似精度高；而且近似误差只对速度曲线有影响，而对插补点精度无影响；终点判别条件对任意终点位置有效，判别条件运算量小，终点判别快速准确；该方法能够插补具有任意起始点的逆时针、顺时针椭圆弧段以及整个椭圆。

以上所述，对于本领域的普通技术人员来说，可以根据本发明的技术方案和技术构思作出其他各种相应的改变和变形，而所有这些改变和变形都应属于本发明后附的权利要求的保护范围。

Claims (2)

1.一种椭圆弧插补方法，其特征在于，包括：

步骤一、以标准椭圆方程的参数形式

表示椭圆弧所在椭圆的轨迹；

步骤二、对于当前插补点P_i(x_i，y_i)，使用公式

计算其到下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)的步距角Δθ，其中Δl为根据预定的速度规划算法得到的插补步长；

步骤三、根据当前插补点P_i(x_i，y_i)的坐标计算下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)的坐标：

逆时针插补时，

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i+1}=a\cos (\mathrm{\θi}+\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i)=a\cos \mathrm{\θ}i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i-a\sin \mathrm{\θ}i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i=x_i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{ay}}_i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i/b\\ y_{i+1}=b\sin (\mathrm{\θi}+\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i)=b\sin \mathrm{\θ}i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i+b\cos \mathrm{\θ}i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i=y_i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i+{\mathrm{bx}}_i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i/a\end{array}\right.;$

顺时针插补时，

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i+1}=a\cos (\mathrm{\θi}-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i)=a\cos \mathrm{\θ}i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i+a\sin \mathrm{\θ}i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i=x_i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i+{\mathrm{ay}}_i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i/b\\ y_{i+1}=b\sin (\mathrm{\θi}-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i)=b\sin \mathrm{\θ}i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i-b\cos \mathrm{\θ}i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i=y_i\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{bx}}_i\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i/a\end{array}\right.;$

步骤四、若当前插补点P_i(x_i，y_i)未超过椭圆弧终点，而下一插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1)刚好到达或超过椭圆弧终点时，则插补到达椭圆弧终点，结束插补过程；否则插补未到达椭圆弧终点，以P_i+1(x_i+1，y_i+1)作为新的当前插补点进行插补，然后返回步骤二。

2.如权利要求1所述的椭圆弧插补方法，其特征在于，步骤四中，以Pe(Xe，Ye)表示椭圆弧终点，采用如下判别条件判别插补是否到达椭圆弧终点，当判别条件的运算结果为真时表示插补到达椭圆弧终点：

对于逆时针插补，

终点Pe(Xe，Ye)在第一象限时的判别条件为

(Xe＞0&&Ye＞＝0)&&

(((X_i＞Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye))‖

((X_i＞Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＜＝0&&Y_i+1＞0))‖

((X_i＞0&&Y_i＜0)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye)))；

终点Pe(Xe，Ye)在第二象限时的判别条件为

(Xe＜＝0&&Ye＞0)&&

(((X_i＞Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye))‖

((X_i＞Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＜0&&Y_i+1＜＝0))‖

((X_i＞0&&Y_i＞0)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye)))；

终点Pe(Xe，Ye)在第三象限时的判别条件为

(Xe＜0&&Ye＜＝0)&&

(((X_i＜Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye))‖

((X_i＜Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＞＝0&&Y_i+1＜0))‖

((X_i＜0&&Y_i＞0)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye)))；

终点Pe(Xe，Ye)在第四象限时的判别条件为

(Xe＞＝0&&Ye＜0)&&

(((X_i＜Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye))‖

((X_i＜Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＞0&&Y_i+1＞＝0))‖

((X_i＜0&&Y_i＜0)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye)))；

对于顺时针插补，

终点Pe(Xe，Ye)在第一象限时的判别条件为

(Xe＞0&&Ye＞＝0)&&

(((X_i＜Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye))‖

((X_i＜Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＜＝0&&Y_i+1＞0))‖

((X_i＜0&&Y_i＞0)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye)))；

终点Pe(Xe，Ye)在第二象限时的判别条件为

(Xe＜＝0&&Ye＞0)&&

(((X_i＜Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye))‖

((X_i＜Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＜0&&Y_i+1＜＝0))‖

((X_i＜0&&Y_i＜0)&&(X_i+1＞＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye)))；

终点Pe(Xe，Ye)在第三象限时的判别条件为

(Xe＜0&&Ye＜＝0)&&

(((X_i＞Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye))‖

((X_i＞Xe&&Y_i＜Ye)&&(X_i+1＞＝0&&Y_i+1＜0))‖

((X_i＞0&&Y_i＜0)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＞＝Ye)))；

终点Pe(Xe，Ye)在第四象限时的判别条件为

(Xe＞＝0&&Ye＜0)&&

(((X_i＞Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＜＝X&&Y_i+1＜＝Ye))‖

((X_i＞Xe&&Y_i＞Ye)&&(X_i+1＞0&&Y_i+1＞＝0))‖

((X_i＞0&&Y_i＞0)&&(X_i+1＜＝Xe&&Y_i+1＜＝Ye)))。

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