CN102064557A - 多机系统次同步谐振特征值分析模型 - Google Patents

Abstract

本发明涉及电力系统次同步谐振分析的特征值分析模型，公开了一种用于多机电力系统次同步谐振分析的特征值分析模型和步骤。此方法的推导和计算过程包括：分别列写汽轮发电机轴系多质量块模型转子运动方程；发电机磁链及电压的电磁暂态方程；输电线路电磁暂态方程；串联补偿电容电磁暂态方程以及励磁控制器等控制系统方程。对上述方程在稳态运行点进行线性化，得到关于状态量的微分方程组。在此基础上可以求解状态方程系数矩阵的特征值和特征向量。可以判断系统次同步谐振的稳定性，得到与谐振阻尼特性相关的许多信息；与控制理论相结合，还可用于设计控制器以抑制电力系统中的次同步谐振。

Description

多机系统次同步谐振特征值分析模型

技术领域

本发明涉及电力系统次同步谐振分析方法，具体涉及到多机电力系统次同步谐振的特征值分析模型。

技术背景

在电力系统次同步谐振的分析方法中，特征值分析法是一种严格的、准确的、基于线性系统理论的分析方法。特征值分析模型非常有效，能提供被研究对象的大量特征信息。在对被研究对象进行小干扰线性化所得到模型的基础上，特征值分析法通过求解系统状态方程系数矩阵的特征值和特征向量，可以判断系统次同步谐振的稳定性，得到与谐振阻尼特性相关的许多信息；与控制理论相结合，还可用于设计控制器以抑制电力系统中的次同步谐振。

由于次同步谐振问题要分析的是既非工频(50Hz或60Hz)又非低频(10Hz以下)的成分，故分析模型非常复杂：汽轮发电机轴系采用弹性多质量块模型；发电机方程要计及定子暂态；网络也要用电磁暂态模型。

在abc三相静止坐标系下，发电机定子绕组的自感、互感以及定、转子绕组间的互感系数均为随转子位置变化而周期性变化的参数。因此在abc坐标系下不能列写常系数微分方程组。为此，采用派克变换，立足于d和q旋转坐标分析电机的电磁现象。经过派克变换后得到的dq坐标系下的同步电机方程电感参数均为常数，所得方程均为常系数微分方程。

根据dq坐标系的定义，q轴位置与发电机电势位置E_q重合，而E_q与系统的夹角为功角。功角随发电机的参数、出力水平不同而不同。由于不同的发电机运行在不同的功角，所以不同发电机的dq轴位置并不相同，如图1。因此，采用dq坐标系列写多机系统特征根方程的难点在于，方程组只容许一个dq坐标系，而多台发电机各自采用不同的dq坐标系。

发明内容

本发明的目的是提供一种多机系统次同步谐振特征值分析模型，其特征在于，所述次同步谐振线性化特征值分析模型应包括不同参数汽轮发电机组多机系统特征值分析模型和相同参数汽轮发电机组多机系统特征值分析模型；所述不同参数汽轮发电机组多机系统特征值分析模型主要包括汽轮发电机组轴系方程、发电机电压和磁链方程、输电线路电磁暂态方程、串联补偿电容电磁暂态方程以及励磁控制器等控制系统方程，在此基础上可以求解状态方程系数矩阵的特征值和特征向量。

本发明的有益效果是此方法可以分别列写出汽轮发电机轴系多质量块模型转子运动方程；发电机磁链及电压的电磁暂态方程；输电线路电磁暂态方程；串联补偿电容电磁暂态方程以及励磁控制器等控制系统方程。对上述方程在稳态运行点进行线性化，得到关于状态量的微分方程组。可以判断系统次同步谐振的稳定性，得到与谐振阻尼特性相关的许多信息；与控制理论相结合，还可用于设计控制器以抑制电力系统中的次同步谐振。

附图说明

图为1多机系统dq坐标与同步坐标空间矢量图。

图2为多机系统次同步谐振分析用系统图。

图3为轴系各个质量块扭转运动关系。

图4为可控硅励磁调节系统传递框图

图5为dq-xy-abc坐标系关系。

图6为伊敏电厂一期、二期经串补送出系统图。

具体实施方式

本发明提供一种多机系统次同步谐振特征值分析模型。所述次同步谐振线性化特征值分析应包括汽轮发电机组轴系方程、发电机电压和磁链方程、输电线路电磁暂态方程、串联补偿电容电磁暂态方程以及励磁控制器等控制系统方程。下面以多机系统次同步谐振特征值分析实例来说明本发明。

一、不同参数汽轮发电机组多机系统特征值分析模型

1.发电机轴系方程

以IEEE次同步谐振第一标准算例的轴系参数为例，将汽轮发电机组轴系划分为六个轴段，每个轴段分别视为一个等值的刚性集中质量块，各质量块之间通过无质量的弹簧连接，以模拟轴段之间的力矩传递关系，其中HP、MP、LP1、LP2、GEN和EX分别表示汽轮机高压缸、中压缸、第一低压缸1、第二低压缸

2、发电机和励磁机质量块。

作用在每个质量块上的转矩包括原动性的蒸汽转矩和制动性的电磁转矩、相邻轴段之间传递的转矩以及阻尼转矩，如图3所示。根据虎克定律和牛顿第二力学定律，可以列写轴系转子运动方程如下：

$\frac{d{\mathrm{\δ}}_i}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ω}}_i-{\mathrm{\ω}}_0,i=\mathrm{1,2},...,6---(1-1)$

$\left\{\begin{array}{c}{T}_{J1}\frac{d{\mathrm{\ω}}_1}{\mathrm{dt}}=T_{m1}-D_{11}{\mathrm{\ω}}_1-D_{12}({\mathrm{\ω}}_1-{\mathrm{\ω}}_2)-k_{12}({\mathrm{\δ}}_1-{\mathrm{\δ}}_2)\\ T_{J2}\frac{d{\mathrm{\ω}}_2}{\mathrm{dt}}=T_{m2}-D_{22}{\mathrm{\ω}}_2-D_{12}({\mathrm{\ω}}_2-{\mathrm{\ω}}_1)-D_{23}({\mathrm{\ω}}_2-{\mathrm{\ω}}_3)-k_{12}({\mathrm{\δ}}_2-{\mathrm{\δ}}_1)-k_{23}({\mathrm{\δ}}_2-{\mathrm{\δ}}_3)\\ T_{J3}\frac{d{\mathrm{\ω}}_3}{\mathrm{dt}}=T_{m3}-D_{33}{\mathrm{\ω}}_3-D_{23}({\mathrm{\ω}}_3-{\mathrm{\ω}}_2)-D_{34}({\mathrm{\ω}}_3-{\mathrm{\ω}}_4)-k_{23}({\mathrm{\δ}}_3-{\mathrm{\δ}}_2)-k_{34}({\mathrm{\δ}}_3-{\mathrm{\δ}}_4)\\ T_{J4}\frac{d{\mathrm{\ω}}_4}{\mathrm{dt}}=T_{m4}-D_{44}{\mathrm{\ω}}_4-D_{34}({\mathrm{\ω}}_4-{\mathrm{\ω}}_3)-D_{45}({\mathrm{\ω}}_4-{\mathrm{\ω}}_5)-k_{34}({\mathrm{\δ}}_4-{\mathrm{\δ}}_3)-k_{45}({\mathrm{\δ}}_4-{\mathrm{\δ}}_5)\\ T_{J5}\frac{d{\mathrm{\ω}}_5}{\mathrm{dt}}=-T_e-D_{55}{\mathrm{\ω}}_5-D_{45}({\mathrm{\ω}}_5-{\mathrm{\ω}}_4)-D_{56}({\mathrm{\ω}}_5-{\mathrm{\ω}}_6)-k_{45}({\mathrm{\δ}}_5-{\mathrm{\δ}}_4)-k_{56}({\mathrm{\δ}}_5-{\mathrm{\δ}}_6)\\ T_{J6}\frac{d{\mathrm{\ω}}_6}{\mathrm{dt}}=-T_{\mathrm{ex}}-D_{66}{\mathrm{\ω}}_6-D_{56}({\mathrm{\ω}}_6-{\mathrm{\ω}}_5)-k_{56}({\mathrm{\δ}}_6-{\mathrm{\δ}}_5)\end{array}\right.---(1-2)$

其中，δ_i为轴系第i个质量块相对于同步旋转参考轴的电气角位移，单位为rad；ω_i为轴系第i个质量块的电气角速度，单位为rad/s。T_mi为作用在汽轮机第i个质量块上的原动转矩，单位为p.u.；T_e和T_ex分别为作用在发电机和励磁机质量块上的电磁转矩，单位为p.u.。T_Ji为第i个质量块的惯性时间常数，单位为s。将转子运动方程在运行点线性化，得到以下线性化方程：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ω}}_i=\frac{1}{T_{\mathrm{Ji}}}[\mathrm{\Δ}{T}_i{-D}_{\mathrm{ii}}\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_i-D_{i-1,i}(\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_i-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_{i-1})-D_{i,i+1}(\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_i-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_{i+1})\\ -K_{i-1,i}(\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_i-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_{i-1})-K_{i,i+1}(\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_i-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_{i+1})\\ \mathrm{p\Δ}{\mathrm{\δ}}_i={\mathrm{\ω}}_b\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_i\\ i=\mathrm{1,2},...,6\end{array}\right.---(1-3)$

式中，由于第一质量块5对应于发电机转子轴块，故有Δδ₅＝Δδ，Δω₅＝Δω，ΔT₅＝-ΔT_e；而第二质量块6对应于励磁机转子，假定ΔT₆＝-ΔT_ex＝0；并且K_0，1＝K_6，7＝0，D_0，1＝D_6，7＝0.

忽略汽轮机调速器动态作用的情况下，式(1-3)中ΔT_i＝0，i＝1，2，3，4。

2.同步发电机方程

考虑发电机转子有三个等值阻尼绕组D，g，Q的情况，即转子d轴和q轴上各有两个绕组，分别为f、D和g、Q的情况，其中绕组f为励磁绕组、由于正常运行时三相对称，因此不考虑零序分量，同时认为d轴和q轴上各绕组间的互感相等，分别等于X_ad和X_aq。得到发电机电压和磁链方程：(如图2所示，图中1为1号汽轮发电机组，2为2号汽轮发电机组)

D轴电压和磁链方程为

$\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_f\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{R}_a& 0& 0\\ 0& R_f& 0\\ 0& 0& R_D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-i_d\\ i_f\\ i_D\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p{\mathrm{\ψ}}_d\\ p{\mathrm{\ψ}}_f\\ p{\mathrm{\ψ}}_D\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ω}{\mathrm{\ψ}}_q\\ 0\\ 0\end{array}\right]---(1-4)$

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}_d\\ {\mathrm{\ψ}}_f\\ {\mathrm{\ψ}}_D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_d& x_{\mathrm{ad}}& x_{\mathrm{ad}}\\ x_{\mathrm{ad}}& x_f& x_{\mathrm{fD}}\\ x_{\mathrm{ad}}& x_{\mathrm{fD}}& x_D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-i_d\\ i_f\\ i_D\end{array}\right]$

Q轴电压和磁链方程为

$\left[\begin{array}{c}{u}_q\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{R}_a& 0& 0\\ 0& R_f& 0\\ 0& 0& R_D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-i_q\\ i_g\\ i_Q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p{\mathrm{\ψ}}_q\\ p{\mathrm{\ψ}}_g\\ p{\mathrm{\ψ}}_Q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ω}{\mathrm{\ψ}}_d\\ 0\\ 0\end{array}\right]---(1-5)$

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}_q\\ {\mathrm{\ψ}}_g\\ {\mathrm{\ψ}}_Q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_q& x_{\mathrm{aq}}& x_{\mathrm{aq}}\\ x_{\mathrm{aq}}& x_g& x_{\mathrm{aq}}\\ x_{\mathrm{aq}}& x_{\mathrm{aq}}& x_Q\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-i_q\\ i_g\\ i_Q\end{array}\right]$

将发电机各绕组磁链和电压方程在其运行点线性化后得到方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ψ}}_d\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\ψ}}_f\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\ψ}}_D\end{array}\right]=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{ccc}{x}_d& x_{\mathrm{ad}}& x_{\mathrm{ad}}\\ x_{\mathrm{ad}}& x_f& x_{\mathrm{ad}}\\ x_{\mathrm{ad}}& x_{\mathrm{ad}}& x_D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\Δ}{i}_d\\ \mathrm{\Δ}{i}_f\\ \mathrm{\Δ}{i}_D\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ψ}}_q\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\ψ}}_g\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\ψ}}_Q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_q& x_{\mathrm{aq}}& x_{\mathrm{aq}}\\ x_{\mathrm{aq}}& x_g& x_{\mathrm{aq}}\\ x_{\mathrm{aq}}& x_{\mathrm{aq}}& x_Q\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\Δ}{i}_q\\ \mathrm{\Δ}{i}_g\\ \mathrm{\Δ}{i}_Q\end{array}\right]\end{array}\right.---(1-6)$

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{u}_d\\ \mathrm{\Δ}{u}_f\\ 0\end{array}\right]=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{ccc}{R}_a& 0& 0\\ 0& R_f& 0\\ 0& 0& R_D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\Δ}{i}_d\\ \mathrm{\Δ}{i}_f\\ \mathrm{\Δ}{i}_D\end{array}\right]+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_b}\left[\begin{array}{c}\mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ψ}}_d\\ \mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ψ}}_f\\ \mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ψ}}_D\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ω\Δ}{\mathrm{\ψ}}_q\\ 0\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}_{q0}\\ 0\\ 0\end{array}\right]\mathrm{\Δ\ω}\\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{u}_q\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{R}_a& 0& 0\\ 0& R_g& 0\\ 0& 0& R_Q\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\Δ}{i}_q\\ \mathrm{\Δ}{i}_g\\ \mathrm{\Δ}{i}_Q\end{array}\right]+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_b}\left[\begin{array}{c}\mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ψ}}_q\\ \mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ψ}}_g\\ \mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ψ}}_Q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ω\Δ}{\mathrm{\ψ}}_d\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}_{d0}\\ 0\\ 0\end{array}\right]\mathrm{\Δ\ω}\end{array}\right.---(1-7)$

3.发电机电磁转矩方程

发电机电磁转矩方程为：

$T_e=\frac{3}{2}({\mathrm{\ψ}}_d{i}_q-{\mathrm{\ψ}}_q{i}_d)\frac{\mathrm{\ω}}{{\mathrm{\ω}}_M}=\frac{3}{2}({\mathrm{\ψ}}_d{i}_q-{\mathrm{\ψ}}_q{i}_d)\·n_p---(1-8)$

ω_M为转子机械角速度，n_p为发电机的极对数。

线性化后，电磁转矩方程为：

ΔT_c＝i_q0Δψ_d+ψ_d0Δi_q-i_d0Δψ_q-ψ_q0Δi_d    (1-9)

4.线路方程

在图1所示的系统图中，用电阻R表示变压器电阻R_T、线路电阻R_L及系统等值电阻R_S之和，电抗X表示工频下变压器电抗X_T、线路电抗X_L及系统等值电抗X_S之和，发电机端电压为u_t，补偿电容两端电压为u_c，无穷大母线电压为u₀，则电阳R及电抗X串联支路的电压方程为：

$\left\{\begin{array}{c}R{i}_a+\mathrm{Xp}{i}_a=u_{\mathrm{ta}}-u_{\mathrm{Ca}}-u_{0a}\\ {\mathrm{Ri}}_b+\mathrm{Xp}{i}_b=u_{\mathrm{tb}}-u_{\mathrm{Cb}}-u_{0b}\\ {\mathrm{Ri}}_c+X{\mathrm{pi}}_c=u_{\mathrm{tc}}-u_{\mathrm{Cc}}-u_{0c}\end{array}\right.---(1-10)$

为了得到dq坐标系下外电路的电压和电流方程，需要使用从三相abc坐标系下的变量到dq坐标系之间的派克变换；由于三相对称，以下的变换中，没有考虑零序分量，派克变换矩阵为：

$A=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\θ}& \cos (\mathrm{\θ}-\frac{2\mathrm{\π}}{3})& \cos (\mathrm{\θ}+\frac{2\mathrm{\π}}{3})\\ -\sin \mathrm{\θ}& -\sin (\mathrm{\θ}-\frac{2\mathrm{\π}}{3})& -\sin (\mathrm{\θ}+\frac{2\mathrm{\π}}{3})\end{array}\right]---(1-11)$

其中θ为d轴超前a轴的角度；

应用派克变换，将式(1-10)线性化后得到dq坐标系下的线性化方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{R\Δ}{i}_d-\mathrm{\ωX\Δ}{i}_q-X{i}_{q0}\mathrm{\Δ\ω}+\mathrm{Xp\Δ}{i}_d=\mathrm{\Δ}{u}_d-\mathrm{\Δ}{u}_{\mathrm{Cd}}-\mathrm{\Δ}{u}_{0d}\\ \mathrm{R\Δ}{i}_q+\mathrm{\ωX\Δ}{i}_d+X{i}_{d0}\mathrm{\Δ\ω}+\mathrm{Xp\Δ}{i}_q=\mathrm{\Δ}{u}_q-\mathrm{\Δ}{u}_{\mathrm{Cq}}-\mathrm{\Δ}{u}_{0q}\end{array}\right.---(1-12)$

其中u_0d和u_0q分别为无穷大母线电压u₀在d轴、q轴上的分量。

由于δ是以无穷大母线电压相量为参考时发电机转子q轴的角度，因此，可以得出u_0d和u_0q的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{0d}=U_0\sin \mathrm{\δ}\\ u_{0q}=U_0\cos \mathrm{\δ}\end{array}\right.---(1-13)$

将其线性化后，得到：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{u}_{0d}=U_0\cos {\mathrm{\δ}}_0\mathrm{\Δ\δ}=u_{\mathrm{sq}0}\mathrm{\Δ\δ}\\ \mathrm{\Δ}{u}_{0q}=-U_0\sin {\mathrm{\δ}}_0\mathrm{\Δ\δ}=-u_{\mathrm{sd}0}\mathrm{\Δ\δ}\end{array}\right.---(1-14)$

5.串联补偿电容方程

设X_C为工频下串补电容C的容抗，其标幺值为1/C，则电容两端的电压和电

流关系式为： $\left\{\begin{array}{c}p{u}_{\mathrm{Ca}}=X_C{i}_a\\ p{u}_{\mathrm{Cb}}=X_C{i}_b\\ p{u}_{\mathrm{Cc}}=X_C{i}_c\end{array}\right.---(1-15)$

对上式进行派克变换，得到dq坐标系下的对应关系式

$\left\{\begin{array}{c}p{u}_{\mathrm{Cd}}-\mathrm{\ω}{u}_{\mathrm{Cq}}=X_C{i}_d\\ p{u}_{\mathrm{Cq}}+\mathrm{\ω}{u}_{\mathrm{Cd}}=X_C{i}_q\end{array}\right.---(1-16)$

线性化方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{p\Δ}{u}_{\mathrm{Cd}}-{\mathrm{\ω}}_0{u}_{\mathrm{Cq}}-u_{\mathrm{Cq}0}\mathrm{\Δ\ω}=X_C\mathrm{\Δ}{i}_d\\ \mathrm{p\Δ}{u}_{\mathrm{Cq}}+{\mathrm{\ω}}_0{u}_{\mathrm{Cd}}+u_{\mathrm{Cd}0}\mathrm{\Δ\ω}=X_C\mathrm{\Δ}{i}_q\end{array}\right.---(1-17)$

6.可控硅励磁调节系统

图4所示励磁调节系统在运行点线性化后的动态方程为

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{p\Δ}{u}_R=-\frac{K_A}{T_A}\mathrm{\Δ}{u}_t-\frac{1}{T_A}\mathrm{\Δ}{u}_R\\ \mathrm{p\Δ}{E}_{\mathrm{fd}}=-\frac{1}{T_E}\mathrm{\Δ}{u}_R-\frac{1}{T_E}\mathrm{\Δ}{E}_{\mathrm{fd}}\end{array}\right.---(1-18)$

式中，发电机端电压u_t与u_d和u_q增量之间的关系式如下：

$\mathrm{\Δ}{u}_t=\frac{u_{d0}}{u_{t0}}\mathrm{\Δ}{u}_d+\frac{u_{q0}}{u_{t0}}\mathrm{\Δ}{u}_q---(1-19)$

E_fd为励磁机输出，其与励磁电压u_f标幺值之间的关系用增量表示如下：

$E_{\mathrm{fd}}=\frac{x_{\mathrm{ad}}}{R_f}\mathrm{\Δ}{u}_f---(1-20)$

采用式(1-5)的线性变换后，可以将状态量Δψ_d，Δψ_f，Δψ_D，Δψ_q，Δψ_g，Δψ_Q用Δi_d，Δi_f，Δi_D，Δi_q，Δi_g，Δi_Q代替，线路方程式(1-12)所含的状态量Δi_d，Δi_q就可以并入(1-5)一起考虑，状态量减少两个。

7.采用坐标变换，将dq坐标系下方程变换到xy同步坐标系下：

分析多机系统次同步谐振，需要分别对不同发电机列写各自dq坐标系下的电压和磁链方程。而多机系统中，每台发电机的参数及运行工况不同。由于采用dq坐标系描述的发电机方程，q轴位置与电势E_q位置相同，而不同发电机电势E_q位置不同，因此造成了每台发电机分别采用了不同的dq坐标系；而作为一个完整的状态空间，一个多机系统次同步谐振线性化微分方程组，只能有唯一一个参考坐标系。解决这个问题的方法是将电磁网络电压、电流等电气量方程采用同步坐标系xy坐标系描述，并将每台发电机在各自dq坐标系下的方程变换到xy坐标系下(如图5所示)。

电压、电流等电气量在xy同步坐标和dq坐标下向量关系为：

$u_{d,q}=u_{x,y}{e}^{j\·(\mathrm{\δ}-\frac{\mathrm{\π}}{2})}$

$i_{d,q}=i_{x,y}{e}^{j\·(\mathrm{\δ}-\frac{\mathrm{\π}}{2})}$

上式采用dq坐标和xy同步坐标分量表示为：

$\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sin \mathrm{\δ}& -\cos \mathrm{\δ}\\ \cos \mathrm{\δ}& \sin \mathrm{\δ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sin \mathrm{\δ}& -\cos \mathrm{\δ}\\ \cos \mathrm{\δ}& \sin \mathrm{\δ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_x\\ i_y\end{array}\right]$

将上述方程在δ₀点线性化后，得到微分形式的dq坐标系参数与xy同步坐标系参数之间的换算关系如下：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{u}_d\\ \mathrm{\Δ}{u}_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sin {\mathrm{\δ}}_0& -\cos {\mathrm{\δ}}_0\\ \cos {\mathrm{\δ}}_0& \sin {\mathrm{\δ}}_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{u}_x\\ \mathrm{\Δ}{u}_y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\δ}}_0& \sin {\mathrm{\δ}}_0\\ -{\sin \mathrm{\δ}}_0& \cos {\mathrm{\δ}}_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{x0}\\ u_{y0}\end{array}\right]\mathrm{\Δ\δ}---(2-1)$

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{i}_d\\ \mathrm{\Δ}{i}_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sin {\mathrm{\δ}}_0& -\cos {\mathrm{\δ}}_0\\ \cos {\mathrm{\δ}}_0& \sin {\mathrm{\δ}}_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{i}_x\\ \mathrm{\Δ}{i}_y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\δ}}_0& \sin {\mathrm{\δ}}_0\\ -{\sin \mathrm{\δ}}_0& \cos {\mathrm{\δ}}_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{x0}\\ i_{y0}\end{array}\right]\mathrm{\Δ\δ}---(2-2)$

将式(2-1)、(2-2)代入式(1-6)、(1-7)，则发电机电压和磁链方程中dq坐标下的变量Δu_d，Δu_q，Δi_d，Δi_q变为同步坐标系下变量Δu_x，Δu_y，Δi_x，Δi_y。同样，将式(2-1)、(2-2)带入输电线路方程(1-12)和串联补偿电容方程(1-17)，则方程中dq坐标系下的变量Δu_d，Δu_q，Δi_d，Δi_q变化为同步坐标系下的变量Δu_x，Δu_y，Δi_x，Δi_y。通过上述变换，可以实现全部电压、电流均采用相同的xy同步坐标系，可以实现多台发电机端电气量与线路的接口。

按照上述步骤可以对不同参数汽轮发电机组多机系统特征值分析模型列写出由42个一阶微分方程构成的方程组，它描述了图1所示具有固定串联电容补偿的2机系统的全部状态。此42个状态组成的状态相量为

x＝[Δω₁，Δω₂，Δω₃，Δω₄，Δω₅，Δω₆，Δδ₁，Δδ₂，Δδ₃，Δδ₄，Δδ₅，Δδ₆，Δω′₁，Δω′₂，Δω′₃，Δω′₄，Δω′₅，Δω′₆，Δδ′₁，Δδ′₂，Δδ′₃，Δδ′₄，Δδ′₅，Δδ′₆，Δi_x，Δi_f，Δi_D，Δi_y，Δi_g，Δi_Q，Δu_R，ΔE_fd，Δi′_x，Δi′_f，Δi′_D，Δi′_y，Δi′_g，Δi′_Q，Δu′_R，ΔE′_fd，Δu_Cx，Δu_Cy]^T

二、相同参数汽轮发电机组多机系统特征值分析模型

对于多台相同参数的发电机，不需要分别对每台发电机列写方程，只需要将多台发电机容量相加，并将原有发电机电气标幺参数在新容量下重新折算。发电机轴系标么参数包括质量块惯性时间常数、轴刚度以及机械阻尼等，也都按照新容量重新折算。

折算关系如下式：(省略标么值符号*)

x′＝x/N_gen

J′＝J·N_gen    (2-3)

K′＝K·N_gen

D′＝D·N_gen

其中x为折算前的发电机电气参数，J，K，D为折算前的轴系惯性时间常数、轴刚度和机械阻尼；x′为折算后的发电机电气参数，J′，K′，D′为折算后的轴系惯性时间常数、轴刚度和机械阻尼；N_gen为并列运行的发电机台数。以伊敏电厂一期、二期机组经串补送出系统次同步谐振分析为例(如图6为伊敏电厂一期、二期经串补送出系统图所示)。敏发电厂现有一期2台500MW发电机组、二期2台600MW发电机组，经过伊敏-冯屯双回线路至冯屯，再经冯屯-大庆三回线路至大庆，送入系统。伊敏-冯屯线路串补度45％。如图6所示的伊敏电厂一期、二期经串补送出系统的系统参数如下：伊敏-冯屯线路：X_L＝111Ω，X_C＝49.95Ω；冯屯-大庆线路：X_L＝28.75Ω；等值系统阻抗：X_S＝23Ω；1#、2#发电机升压变压器(表11#、2#发电机组电气参数)：X_T＝70.2Ω；3#、4#发电机升压变压器(表23#、4#发电机组电气参数)：X_T＝51.1Ω；表3所示为1#、2#发电机组轴系多质量块模型参数；表4所示为3#、4#发电机组轴系多质量块模型参数。

表11#、2#发电机组电气参数

表23#、4#发电机组电气参数

表31#、2#发电机组轴系多质量块模型参数

表43#、4#发电机组轴系多质量块模型参数

由上述参数构成的四机系统，共包含34个状态变量。采用本发明的多机系统次同步谐振特征根计算方法，所得34个特征根如表5所示。

表5多机系统次同步谐振特征根

序号	特征根	序号	特征根
				1	-3.1568e+004	18	9.6297e-003-1.5758e+002i
2	-3.1416e+004	19	4.4518e-002+1.3462e+002i
				3	-8.5121e+000+4.6056e+002i	20	4.4518e-002-1.3462e+002i

4	-8.5121e+000-4.6056e+002i	21	-9.5379e-002+9.3899e+001i
				5	-1.0004e-004+3.1417e+002i	22	-9.5379e-002-9.3899e+001i
6	-1.0004e-004-3.1417e+002i	23	-4.5245e-002+7.9530e+001i
				7	-2.7822e+000+3.1403e+002i	24	-4.5245e-002-7.9530e+001i
8	-2.7822e+000-3.1403e+002i	25	-3.9882e+001
				9	-2.3466e-004+2.2365e+002i	26	-2.6879e+001
10	-2.3466e-004-2.2365e+002i	27	-2.5113e+001
				11	2.0761e-003+1.9428e+002i	28	-9.2285e-001+1.0452e+001i
12	2.0761e-003-1.9428e+002i	29	-9.2285e-001-1.0452e+001i
				13	1.2065e-002+1.7644e+002i	30	-1.0591e+001
14	1.2065e-002-1.7644e+002i	31	4.5116e-002+6.6560e+000i
				15	-5.6966e+000+1.6736e+002i	32	4.5116e-002-6.6560e+000i
16	-5.6966e+000-1.6736e+002i	33	-2.3578e+000
				17	9.6297e-003+1.5758e+002i	34	-1.6265e-001

Claims (7)

1.一种多机系统次同步谐振特征值分析模型，其特征在于，所述次同步谐振线性化特征值分析模型应包括不同参数汽轮发电机组多机系统特征值分析模型和相同参数汽轮发电机组多机系统特征值分析模型；所述不同参数汽轮发电机组多机系统特征值分析模型主要包括汽轮发电机组轴系方程、发电机电压和磁链方程、输电线路电磁暂态方程、串联补偿电容电磁暂态方程以及励磁控制器等控制系统方程的建立。

2.根据权利要求1所述一种多机系统次同步谐振特征值分析模型，其特征在于，所述汽轮发电机组轴系方程是基于IEEE次同步谐振第一标准算例的轴系参数，将汽轮发电机组轴系划分为六个轴段，每个轴段分别视为一个等值的刚性集中质量块，各质量块之间通过无质量的弹簧连接，描述模拟轴段之间的力矩传递关系，其中HP、MP、LP1、LP2、GEN和EX分别表示汽轮机高压缸、中压缸、第一低压缸(1)、第二低压缸(2)、发电机和励磁机质量块；作用在每个质量块上的转矩包括原动性的蒸汽转矩和制动性的电磁转矩、相邻轴段之间传递的转矩以及阻尼转矩，根据虎克定律和牛顿第二力学定律，轴系转子运动方程如下：

$\frac{d{\mathrm{\δ}}_i}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ω}}_i-{\mathrm{\ω}}_0,i=\mathrm{1,2},...,6---(1-1)$

将转子运动方程在运行点线性化，得到以下线性化方程：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ω}}_i=\frac{1}{T_{\mathrm{Ji}}}[\mathrm{\Δ}{T}_i{-D}_{\mathrm{ii}}\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_i-D_{i-1,i}(\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_i-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_{i-1})-D_{i,i+1}(\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_i-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_{i+1})\\ -K_{i-1,i}(\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_i-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_{i-1})-K_{i,i+1}(\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_i-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_{i+1})\\ \mathrm{p\Δ}{\mathrm{\δ}}_i={\mathrm{\ω}}_b\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_i\\ i=\mathrm{1,2},...,6\end{array}\right.---(1-3)$

式中，由于GEN为第一质量块(5)，对应于发电机转子轴块，故有Δδ₅＝Δδ，Δω₅＝Δω，ΔT₅＝-ΔT_e；而EX为第二质量块(6)，对应于励磁机转子，假定ΔT₆＝-ΔT_ex＝0；并且K_0，1＝K_6，7＝0，D_0，1＝D_6，7＝0.

忽略汽轮机调速器动态作用的情况下，式(1-3)中ΔT_i＝0，i＝1，2，3，4。

3.根据权利要求1所述一种多机系统次同步谐振特征值分析模型，其特征在于，所述发电机电压和磁链方程为考虑发电机转子有三个等值阻尼绕组D，g，Q的情况，即转子d轴和q轴上各有两个绕组，分别为f、D和g、Q的情况，其中绕组f为励磁绕组、由于正常运行时三相对称，因此不考虑零序分量，同时认为d轴和q轴上各绕组间的互感相等，分别等于X_ad和X_aq。得到发电机电压和磁链方程：将发电机各绕组磁链和电压方程在其运行点线性化后得到方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ψ}}_d\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\ψ}}_f\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\ψ}}_D\end{array}\right]=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{ccc}{x}_d& x_{\mathrm{ad}}& x_{\mathrm{ad}}\\ x_{\mathrm{ad}}& x_f& x_{\mathrm{ad}}\\ x_{\mathrm{ad}}& x_{\mathrm{ad}}& x_D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\Δ}{i}_d\\ \mathrm{\Δ}{i}_f\\ \mathrm{\Δ}{i}_D\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ψ}}_q\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\ψ}}_g\\ \mathrm{\Δ}{\mathrm{\ψ}}_Q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_q& x_{\mathrm{aq}}& x_{\mathrm{aq}}\\ x_{\mathrm{aq}}& x_g& x_{\mathrm{aq}}\\ x_{\mathrm{aq}}& x_{\mathrm{aq}}& x_Q\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\Δ}{i}_q\\ \mathrm{\Δ}{i}_g\\ \mathrm{\Δ}{i}_Q\end{array}\right]\end{array}\right.---(1-6)$

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{u}_d\\ \mathrm{\Δ}{u}_f\\ 0\end{array}\right]=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{ccc}{R}_a& 0& 0\\ 0& R_f& 0\\ 0& 0& R_D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\Δ}{i}_d\\ \mathrm{\Δ}{i}_f\\ \mathrm{\Δ}{i}_D\end{array}\right]+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_b}\left[\begin{array}{c}\mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ψ}}_d\\ \mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ψ}}_f\\ \mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ψ}}_D\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ω\Δ}{\mathrm{\ψ}}_q\\ 0\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}_{q0}\\ 0\\ 0\end{array}\right]\mathrm{\Δ\ω}\\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{u}_q\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{R}_a& 0& 0\\ 0& R_g& 0\\ 0& 0& R_Q\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\Δ}{i}_q\\ \mathrm{\Δ}{i}_g\\ \mathrm{\Δ}{i}_Q\end{array}\right]+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_b}\left[\begin{array}{c}\mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ψ}}_q\\ \mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ψ}}_g\\ \mathrm{p\Δ}{\mathrm{\ψ}}_Q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ω\Δ}{\mathrm{\ψ}}_d\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}_{d0}\\ 0\\ 0\end{array}\right]\mathrm{\Δ\ω}\end{array}\right.---(1-7)$

4.根据权利要求1所述一种多机系统次同步谐振特征值分析模型，其特征在于，所述输电线路电磁暂态方程为用电阻R表示变压器电阻R_T、线路电阻R_L及系统等值电阻R_S之和，电抗X表示工频下变压器电抗X_T、线路电抗X_L及系统等值电抗X_S之和，发电机端电压为u_t，补偿电容两端电压为u_c，无穷大母线电压为u₀，则电阻R及电抗X串联支路的电压方程为：

$\left\{\begin{array}{c}R{i}_a+\mathrm{Xp}{i}_a=u_{\mathrm{ta}}-u_{\mathrm{Ca}}-u_{0a}\\ {\mathrm{Ri}}_b+\mathrm{Xp}{i}_b=u_{\mathrm{tb}}-u_{\mathrm{Cb}}-u_{0b}\\ {\mathrm{Ri}}_c+X{\mathrm{pi}}_c=u_{\mathrm{tc}}-u_{\mathrm{Cc}}-u_{0c}\end{array}\right.---(1-10)$

为了得到dq坐标系下外电路的电压和电流方程，需要使用从三相abc坐标系下的变量到dq坐标系之间的派克变换；由于三相对称，以下的变换中，没有考虑零序分量，派克变换矩阵为：

$A=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\θ}& \cos (\mathrm{\θ}-\frac{2\mathrm{\π}}{3})& \cos (\mathrm{\θ}+\frac{2\mathrm{\π}}{3})\\ -\sin \mathrm{\θ}& -\sin (\mathrm{\θ}-\frac{2\mathrm{\π}}{3})& -\sin (\mathrm{\θ}+\frac{2\mathrm{\π}}{3})\end{array}\right]---(1-11)$

其中θ为d轴超前a轴的角度；

应用派克变换，将式(1-10)线性化后得到dq坐标系下的线性化方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{R\Δ}{i}_d-\mathrm{\ωX\Δ}{i}_q-X{i}_{q0}\mathrm{\Δ\ω}+\mathrm{Xp\Δ}{i}_d=\mathrm{\Δ}{u}_d-\mathrm{\Δ}{u}_{\mathrm{Cd}}-\mathrm{\Δ}{u}_{0d}\\ \mathrm{R\Δ}{i}_q+\mathrm{\ωX\Δ}{i}_d+X{i}_{d0}\mathrm{\Δ\ω}+\mathrm{Xp\Δ}{i}_q=\mathrm{\Δ}{u}_q-\mathrm{\Δ}{u}_{\mathrm{Cq}}-\mathrm{\Δ}{u}_{0q}\end{array}\right.---(1-12)$

其中u_0d和u_0q分别为无穷大母线电压u₀在d轴、q轴上的分量。

由于δ是以无穷大母线电压相量为参考时发电机转子q轴的角度，因此，可以得出u_0d和u_0q的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{0d}=U_0\sin \mathrm{\δ}\\ u_{0q}=U_0\cos \mathrm{\δ}\end{array}\right.---(1-13)$

将其线性化后，得到：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{u}_{0d}=U_0\cos {\mathrm{\δ}}_0\mathrm{\Δ\δ}=u_{\mathrm{sq}0}\mathrm{\Δ\δ}\\ \mathrm{\Δ}{u}_{0q}=-U_0\sin {\mathrm{\δ}}_0\mathrm{\Δ\δ}=-u_{\mathrm{sd}0}\mathrm{\Δ\δ}\end{array}\right.---(1-14)$

5.根据权利要求1所述一种多机系统次同步谐振特征值分析模型，其特征在于，所述串联补偿电容电磁暂态方程为设X_C为工频下串补电容C的容抗，其标幺值为1/C，则电容两端的电压和电流关系式为：

$\left\{\begin{array}{c}p{u}_{\mathrm{Ca}}=X_C{i}_a\\ p{u}_{\mathrm{Cb}}=X_C{i}_b\\ p{u}_{\mathrm{Cc}}=X_C{i}_c\end{array}\right.---(1-15)$

对上式进行派克变换，得到dq坐标系下的对应关系式

$\left\{\begin{array}{c}p{u}_{\mathrm{Cd}}-\mathrm{\ω}{u}_{\mathrm{Cq}}=X_C{i}_d\\ p{u}_{\mathrm{Cq}}+\mathrm{\ω}{u}_{\mathrm{Cd}}=X_C{i}_q\end{array}\right.---(1-16)$

线性化方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{p\Δ}{u}_{\mathrm{Cd}}-{\mathrm{\ω}}_0{u}_{\mathrm{Cq}}-u_{\mathrm{Cq}0}\mathrm{\Δ\ω}=X_C\mathrm{\Δ}{i}_d\\ \mathrm{p\Δ}{u}_{\mathrm{Cq}}+{\mathrm{\ω}}_0{u}_{\mathrm{Cd}}+u_{\mathrm{Cd}0}\mathrm{\Δ\ω}=X_C\mathrm{\Δ}{i}_q\end{array}\right.---(1-17)$

6.根据权利要求1所述一种多机系统次同步谐振特征值分析模型，其特征在于，励磁控制器控制系统方程为励磁调节系统在运行点线性化后的动态方程为

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{p\Δ}{u}_R=-\frac{K_A}{T_A}\mathrm{\Δ}{u}_t-\frac{1}{T_A}\mathrm{\Δ}{u}_R\\ \mathrm{p\Δ}{E}_{\mathrm{fd}}=-\frac{1}{T_E}\mathrm{\Δ}{u}_R-\frac{1}{T_E}\mathrm{\Δ}{E}_{\mathrm{fd}}\end{array}\right.---(1-18)$

式中，发电机端电压u_t与u_d和u_q增量之间的关系式如下：

$\mathrm{\Δ}{u}_t=\frac{u_{d0}}{u_{t0}}\mathrm{\Δ}{u}_d+\frac{u_{q0}}{u_{t0}}\mathrm{\Δ}{u}_q---(1-19)$

E_fd为励磁机输出，其与励磁电压u_f标幺值之间的关系用增量表示如下：

$E_{\mathrm{fd}}=\frac{x_{\mathrm{ad}}}{R_f}\mathrm{\Δ}{u}_f---(1-20)$

7.根据权利要求1所述一种多机系统次同步谐振特征值分析模型，其特征在于，所述相同参数汽轮发电机组多机系统特征值分析模型对于多台相同参数的发电机，不需要分别对每台发电机列写方程，只需要将多台发电机容量相加，并将原有发电机电气标幺参数在新容量下重新折算。发电机轴系标么参数包括质量块惯性时间常数、轴刚度以及机械阻尼等，也都按照新容量重新折算。

折算关系如下式：(省略标么值符号*)

x′＝x/N_gen

J′＝J·N_gen    (2-3)

K′＝K·N_gen

D′＝D·N_gen

其中x为折算前的发电机电气参数，J，K，D为折算前的轴系惯性时间常数、轴刚度和机械阻尼；x’为折算后的发电机电气参数，J’，K’，D’为折算后的轴系惯性时间常数、轴刚度和机械阻尼；N_gen为并列运行的发电机台数。

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